Resonnering okt 2015_til nett

Resonnering
Eksempelundervisning
Nord-Gudbrandsdalen, oktober 2015
Anne-Gunn Svorkmo
Astrid Bondø
MIRRORS
Eksempler på puslespillet Mirrors med tilhørende løsninger.
Bruk eksemplene til å bestemme mål og regler som styrer spillet.
Mirror Eksempel A
Mirror Eksempel A – Løsning
Mirrors
• Hvert avgrenset område i rutenettet
inneholder nøyaktig ett speil.
• En lysstråle (A) kommer inn i rutenettet, speiler seg og
går ut av rutenettet med tilsvarende bokstav (A).
• Tallet (2) angir antall ganger lysstrålen treffer et speil.
• Hvert speil må brukes minst en gang.
Japanske puslespill
1. Analysere eksempler på puslespill
med løsninger.
2. Avdekke og notere reglene som
gjelder for puslespillet.
3. Bruk reglene på flere puslespill av
samme type.
4. Fikk du korrekt løsning?
5. Lage egne puslespill.
Ide fra J Wanko Miami University Oxford OH
NCTM Annual Conferance 2014 New Orleans
Puslespillene er laget for Nikoli Magazine, Japan
Sudoku og andre spill …
• Kjenner du reglene?
– Deduktiv tenking
– Læreboka
• Må du finne mønster og
system og lage reglene?
– Induktiv tenking
– Læreplanen
Hva sier læreplanen (LK06)?
Formål med faget, grunnleggende ferdigheter og
kompetansemål…
• resonnere omkring ideer
• gjøre seg opp en mening, stille spørsmål og argumentere
• beskrive og forklare en tankegang og sette ord på
oppdagelser og ideer
• formulere logiske resonnement
• vurdere hvor gyldige løsningene er
Legg til rette for
induktiv resonnering
i klasserommet.
• være kritisk til kilder, analyser og resultat
Hva vil det si ”å resonnere”?
Store norske leksikon:
• tenke
• trekke
fornuftsslutninger
• følge en logisk
tankerekke
Engelsk:
Reason (verb)
• think
• think logically
• argue
• think rationally
• use one's common sense
• use one's head/brain
Resonnering i matematikk
Kilpatric m fl. (2001), Fosnot & Dolk (2001), Carpenter m fl. (2003), Barmby m fl. (2009),Russel m fl (2011), m fl.
• kunne forklare hvordan man tenker
og begrunne løsningene sine
• kunne følge med i et logisk
resonnement og vurdere
gyldigheten
• kunne begrunne sammenhenger
mellom ulike begrep, egenskaper,
framgangsmåter
• kunne argumentere for gyldigheten
av en hypotese gjennom logiske
resonnement (fra kjent til ukjent)
Se Tallforståelse av Anita Valenta
Trådmodellen knyttet til tallforståelse – kort oversikt.
Norges smarteste
55 ∙ 55
Hvordan tenker du?
47 ∙ 43
25 ∙ 35
19 ∙ 23
Hva vil det si å resonnere/begrunne i matematikk?
Vi er på 2. trinn og elever jobber med oppgaven 31+26.
En av elevene, Mari, skriver følgende:
31+26
30+27
57
Læreren spør hvordan hun har tenkt.
Mari sier: “Jeg flyttet 1 fra 31 til 26. Da blir det 30+27,
og det er lettere å regne da – det blir 57.”
Er dette et resonnement/en begrunnelse?
Skille mellom:
• hva har man gjort, og
• hvorfor man kan gjøre det
• hvordan man vet at det går an å regne slik
Stine, 6.trinn:
«Du kan flytte null når du ganger.
For eksempel 60 ∙ 25 = 6 ∙ 250.»
• Kan du flytte null?
Er svaret på 60 ∙ 25 det samme som svaret på 6 ∙ 250?
• Kan vi flytte null i for eksempel 603 ∙ 25?
• Kan vi flytte noe annet?
Som for eksempel 61 ∙ 25 = 6 ∙ 251?
• Hva om spørsmålet er 60 + 25? Kan vi flytte null nå?
• Hvorfor kan man flytte 0 i 60 ∙ 25 = 6 ∙ 250?
Hvorfor virker den regnestrategien?
• Kan man flytte 0 i 70 ∙ 43 også?
Hvordan kan vi være sikre (uten bare å regne og sjekke)?
Virker Stines regel i alle slike regnestykker?
Diskuter
•
•
•
•
Utforme et resonnement / en begrunnelse
slik at den er matematisk gyldig
(kan betraktes som et matematisk bevis)
og samtidig tilgjengelig for elever på 6.trinn
Hvordan
begrunne en generell påstand?
• Referere til autoriteter
• Utprøving på konkrete eksempler
• Bruk av et generisk eksempel – representasjonsbevis
• Deduktiv argumentasjon – algebraiske symboler,
bygger på kjente egenskaper og strukturer
Merk:
De to første er ikke matematisk gyldige.
Den siste er sjeldent mulig på barnetrinnet (grunnet
symboler, men også at hypotesen kan handle om
grunnleggende egenskaper slik som assosiativitet i
Stines regel)
Representasjonsbevis
Begrunnelsen tar utgangspunkt i et eksempel som presenteres
ved en tegning, modell, eller regnefortelling.
Følgende kriteria skal være oppfylt i begrunnelsen:
• Betydning av den involverte operasjonen er representert
tydelig i tegningen, konkretene eller regnehistorien.
• Representasjonen kan bli generalisert/tilpasset til å gjelde
for en hel klasse eksempler, for eksempel alle hele tall.
• Strategien det argumenteres for kommer tydelig frem i
representasjonen og konklusjonen, og om strategien virker
eller ikke følger av representasjonen.
Representasjonsbevis
Eksempler
• Tangram areal 2. trinn
• Iskrembevis 5. trinn
• Oddetall + oddetall alltid partall?
• Arealmodellen (kvadratsetningene)
• Dagens tall
Eksempel på elevsvar (5. trinn) når dagens tall er 1 og de arbeider med divisjon:
435 : 435 = 1
Hvis du tar et hvilket som helst tall og deler på det samme tallet får du alltid 1 til svar.
Et tall : det samme tallet = 1
t:t=1
Legg grunnlaget med modeller
Arealmodellen – utvidet bruk
4-Nov-15
18
Dagens tall
Svaret er 1!
Divisjon:
• Hvilke divisjonsstykker gir kvotienten 1?
Multiplikasjon:
• Hvilke multiplikasjonsstykker gir produktet 1?
Subtraksjon:
• Hvilke subtraksjonsstykker gir differensen 1?
Addisjon:
• Hvilke addisjonsstykker gir summen 1?
Lav inngangsterksel
• Elevene produserer oppgaver selv
• Fellestrekk/mønster i oppgavene, fra det
spesielle til det generelle
• Egenskaper ved de fire regningsartene
• Identitetselementer
• Hva hvis svaret er 2, eller 17 eller 128?
Susie undersøker og begrunner
(a + b)- b = a
Stemmer dette?
Er det slik alltid?
Hvordan vet du at det stemmer for ALLE tall?
Susie undersøker og begrunner
Susie går i andre klasse.
• Hvilke argumenter bruker Susie når hun skal
begrunne at a + b –b = a stemmer for alle tall?
• Er hun ikke helt sikker? Hvorfor/hvorfor ikke?
• Hvilke typer tall ønsker Susie å teste?
• Hvordan forklarer hun ar minus fem minus minus 5 er null?
• På hvilken måte – og ved hvilke to argument – beviser Susie
at påstanden er sann?
Susie går veien om identitetselementet 0.
• For det første: b – b = 0
• For det andre: a + 0 = a
Hvordan fremme matematisk tenking?
• Matematisk tenkning kan beskrives som mentale
aktiviteter som kan kategoriseres i seks grupper (Watson
& Mason, 1998)
–
–
–
–
–
–
eksemplifisering
forbedring
sammenlikning
formulering av hypoteser
generalisering
argumentasjon.
• Til disse kan man tenke seg en mengde spørsmål, som vil
engasjere elevene i de ulike typene av mental aktivitet.
Spørsmål som fremmer matematisk tenking
1. Å eksemplifisere og spesialisere
–
–
–
–
Gi/vis/finn et eksempel på…
Er … et eksempel på ….?
Hva er det som gjør …. til et eksempel på …?
Finn et moteksempel til …
2. Å komplettere og forbedre/videreutvikle
– Hva må tilføyes/endres/fjernes … for å sikre at …?
– Hva er galt med …. ?
– Hva kan tilføyes/fjernes/endres … uten at det har
innflytelse på …
Spørsmål som fremmer matematisk tenking
3. Å sammenlikne, sortere og organisere
– Hva er likt og hva er forskjellig ved …?
– Sorter eller organiser … etter …
– Hvordan kan disse ordnes på en måte som gjør at…
4. Å endre, variere
– Hva hvis (ikke) …
– Hvis vi endrer på dette, hvordan spiller det en rolle
videre?
– Løs/tegn/finn … på to eller flere måter – hva var den
beste/raskeste/enkleste måten?
Spørsmål som fremmer matematisk tenking
5. Å generalisere og formulere formodninger
– Hva skjer generelt med …, hvis …?
– Er det alltid/noen ganger/aldri tilfelle at ….?
– Beskriv alle mulige…
6. Å forklare, rettferdiggjøre, overbevise
– Forklar hvorfor …
– Hvordan kan vi være sikre på at …?
– Hvorfor kan man gjøre dette? Hvorfor gir det et
riktig svar?
Samarbeidsoppgave:
Hvor lange er stavene?
• Oppgaven går ut på å finne lengden på staver
ut fra fire informasjoner om stavene.
• I tillegg får dere vite at stavene skal ha en
samlet lengde på 30.
Vis løsningen ved å skravere
lengdene til stavene i et rutenett.
04.11.2015
27
Samarbeidsoppgave:
Hvor lange er stavene?
Spørsmål som fremmer matematisk tenkning
04.11.2015
29
Hvor lang er stavene?
• Lag to – tre spørsmål som fremmer
matematisk tenkning
Resonnement med kenguruoppgaver
Pararbeid
– Argumentere for løsning, forklare strategier
– Vise løsning ved hjelp av
- Konkreter
- Illustrasjoner
• Utfordre elever ved å utvide oppgaver
• Spørsmål som fremmer matematisk tenkning
Dersom nesa fortsatt er 9 cm lang…………
• Er det mulig at nesa kunne blitt 31 cm? Hvis ja, hvordan? Hvis nei, hvorfor ikke?
• Kan du endre på målene for løgn og sannhet slik at alle svaralternativer kan være mulige?
Vis eksempler.
Kengurukonkurransen 2013
Ecolier, oppg. 9
Krav til mål på løgn og sannhet
• Når løsning skal være et oddetall?
• Når løsning skal være et partall?
9 + 3  en lengde – 2  en lengde
odde + odde – par = par
odde + par – par = odde
Andre oppgaver som bygger på samme ide
En frosk vil hoppe opp ei trapp med mange trinn. Den kan gjøre to forskjellige hopp:
Enten 3 trinn opp eller 4 trinn ned i hvert hopp. Frosken starter på bakken.
Hva er det minste antall hopp frosken kan gjøre for å komme akkurat opp på det 22.
trinnet?
(A) 7
(B) 9
(C) 10
Kengurukonkurransen 2012
Ecolier, oppg. 16
(D) 12
(E) 15
Samtaletrekk
•
•
•
•
•
•
•
Gjenta
Repetere
Resonnere
Tilføye
Vente
Snu og snakk
Endre
RESONNERE
• «Så du sier at et partall pluss et
partall blir et partall? Kan du
forklare hvorfor det blir slik?»
• «Hva tenker dere andre? Er dere
enige eller uenige?
Hvorfor/hvorfor ikke?
Å vurdere en påstand
Påstand:
Under hver vokal er det et partall.
• Hvilket kort må du snu for å sjekke om påstanden er
sann?
4-Nov-15
36
Logiske oppgaver
Hvem er høyest?
• Joanna er høyere enn Anna,
men lavere enn Tom.
Rune er høyere enn Joanna.
Mari ville vært lavest, hvis
det ikke hadde vært for
Bård. Rune er ikke høyest.
• Skriv navnene i rekkefølge
fra den laveste til den
høyeste.
4-Nov-15
37
Logiske oppgaver
Hvem snakker sant?
I landet Fantasia finnes det 6-, 7- og 8-armede blekkspruter.
De som har 7 armer lyver alltid, mens de som har 6 eller 8
armer snakker alltid sant. En dag møttes fire blekkspruter.
Den blå blekkspruten sa: Vi har til sammen 28 armer.
Den grønne sa: Vi har til sammen 27 armer.
Den gule sa: Vi har 26 armer til sammen.
Den røde blekkspruten sa: Vi har 25 armer til sammen.
Hvilken farge har den blekkspruten som snakker sant?
A) Grønn
B) Blå
C) Gul
D) Rød
Kengurukonkurransen 2010
Benjamin, oppg. 24
E) Ingen
snakker sant
Oppsummering
Mål for undervisninga
Valg av oppgave som fremmer målet
Forventet elevrespons
Spørsmål som knytter elevsvar og mål
sammen
• Hvilke elevsvar skal løftes fram for å fremme
målet?
•
•
•
•
Å vurdere størrelser
Bamseliten sitter i toppen av et tre
Hvor høyt er omtrentlig treet ?
Å vurdere størrelser
Å vurdere størrelser
Hva kan omkretsen være?