Addisjonssetningen

Addisjonssetningen
Henrik Vikøren
Bybroen VGS
14. april 2015
Henrik Vikøren
Addisjonssetningen
Addisjonssetningen
Eksempel fra virkeligheten: Vi har en bolle med 35 seigmenn;
10 gule, 15 røde og 10 grøne. Vi trekker en seigmann tilfeldig fra
bollen.
Hva er sannsynligheten for at:
a) vi trekker en gul seigemann,
b) vi trekker en rød seigemann,
c) vi trekker enten en rød eller en gul.
Henrik Vikøren
Addisjonssetningen
Addisjonsetningen
Sannsynligheten for at vi trekker en gul seigemann: Det er 35
seigemenn totalt, av disse er 10 gule. Det er altså ti gunstige og
35 mulige utfall. Da får vi at:
P(vi trekker en gul seigemann) =
10
2
= .
35
7
Sannsynligheten for at vi trekker en rød seigemann: 15 røde av
totalt 35.
P(vi trekker en rød seigemann) =
Henrik Vikøren
Addisjonssetningen
15
3
= .
35
7
Adisjonsetningen
Sannsynligheten for at vi trekker enten en rød eller gul: Det er
tilsammen 10 + 15 = 25 røde og gule seigemenn. Dette gir:
P(enten rød eller gul) =
Henrik Vikøren
5
25
= .
35
7
Addisjonssetningen
Vi ser på de to første oppgavene igjen og definerer noen hendelser.
A: vi trekker en gul seigemann.
B: vi trekker en rød seigemann.
Det er ingen seigemenn som er både røde og gule, det vil si at A
og B ikke har noen felles utfall.
Vi sier at hendelsene er disjunkte.
Henrik Vikøren
Addisjonssetningen
Addisjonsetningen
Hvis vi nå ser på sannsynlighetene vi regnet ut i oppgaven kan vi se
at:
P(A) =
2
7
P(B) =
3
7
5
P(A eller B) = .
7
Vi ser da at
P(A eller B) =
5
2+3
2 3
=
= + = P(A) + P(B).
7
7
7 7
Henrik Vikøren
Addisjonssetningen
Addisjonssetningen
Slik er det alltid for disjunkte hendelser.
Hvis A og B ikke har noen felles utfall,
er P(A eller B)=P(A) + P(B).
Henrik Vikøren
Addisjonssetningen
Addisjonssetningen
Eksempel på tavlen:
Vi trekker et kort fra en kortstokk. Finn sannsynligheten for at:
a) vi får spar,
b) vi får kløver,
c) vi får et svart kort.
Henrik Vikøren
Addisjonssetningen
Addisjonssetningen - med felles utfall
I en klasse er det 28 elever. Ti av elevene spiller fotball, 12 går
aktivt langrenn og fem elever går både aktivt langrenn og spiller
fotball, 17 elever driver med minst en av idrettene. Vi trekker
tilfeldig en elev fra klassen og ser på hendelsene:
A: eleven spiller fotball.
B: eleven går aktivt langrenn.
Siden det er fem elever som både spiller fotball og går aktivt
langrenn har hendelsen felles utfall.
Henrik Vikøren
Addisjonssetningen
Addisjonssetningen - med felles utfall
Av de to hendelsene:
A: eleven spiller fotball.
B: eleven går aktivt langrenn.
Kan vi lage to nye hendelser:
Hendelsen A ∩ B omfatter alle utfall som er både i A og B.
Hendelsen A ∪ B omfatter alle utfall som er med i A eller B
eller begge.
Henrik Vikøren
Addisjonssetningen
Addisjonsetningen - med felles utfall
Med et venn-diagram kan vi ilustrere de to hendelsene slik:
A∩B
A∪B
Skrevet med ord blir dette:
A ∩ B : eleven driver med begge idrettene.
A ∪ B: elven driver minst med en av indrettene.
Henrik Vikøren
Addisjonssetningen
Union og snitt
A ∩ B betyr ”A og B”. Vi leser det som ”A snitt B”.
A ∪ B betyr ”A eller B eller begge”. Vi leser det som ”A
union B”.
Henrik Vikøren
Addisjonssetningen
Adisjonssetningen - med felles utfall
Nå ser vi på sannsynligheten for hendelsene:
A: eleven spiller fotball.
B: eleven går aktivt langrenn.
12
28
P(A) =
10
28
P(B) =
P(A ∩ B) =
5
28
P(A ∪ B) =
Henrik Vikøren
Addisjonssetningen
17
.
28
Addisjonssetningen - med felles utfall
Hvis vi legger sammen sannsynligheten for A og B, får vi:
P(A) + P(B) =
22
.
28
Denne summen er større enn P(A ∪ B). Dette er fordi at vi har
talt med de fem elevene som både spiller fotball og går på langrenn
to ganger. Derfor er:
P(A ∪ B) =
10 12
5
10 + 12 − 5
=
+
−
= P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
28
28 28 28
Henrik Vikøren
Addisjonssetningen
Addisjonssetningen - med felles utfall
Hvis hendelsene A og B har felles utfall, er
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
Henrik Vikøren
Addisjonssetningen
Addisjonssetningen- med felles utfall
Eksempel på tavlen:
Vi kaster to terninger og ser på hendelsene:
A: ”minst én sekser”
B: ”sum øyne lik syv”.
Bruk den generelle addisjonssetningen til å finne sannsynligheten
for at vi får minst én sekser eller at sum øyne er lik syv.
Henrik Vikøren
Addisjonssetningen