1P kapittel 6 Sannsynlighet Løsninger til oppgavene i læreboka

Løsninger
1P kapittel 6 Sannsynlighet
Løsninger til oppgavene i læreboka
Oppgave 6.1
a
(Vi nøyer oss med å lage én tabell, hvor vi også fører inn svarene fra oppgave b og c.)
Antall kast
Antall enere
Relativ frekvens
b
c
d
50
12
0,240
100
23
0,230
500
87
0,174
1000
170
0,170
5000
853
0,171
10 000
1678
0,168
23
= 0, 230
100
Den relative frekvensen etter 100 kast er 0,230.
87
500
170
1000
853
5000
1678
10 000
= 0,174
= 0,170
= 0,171
= 0,168
Den relative frekvensen for enere nærmer seg etter hvert
1
= 0,167 .
6
Oppgave 6.3
a
b
156 369
= 0,514
304 221
Den relative frekvensen for guttefødsler er 0,514.
Vi har regnet den relative frekvensen utfra et veldig stort antall barn.
Da kan vi regne med at sannsynligheten er lik den relative frekvensen.
Sannsynligheten for at et nyfødt barn er en gutt, er altså 0,514 = 51, 4 % .
Oppgave 6.4
a
b
c
Sannsynligheten for å få mynt er 50 %. Da er også sannsynligheten for å få krone 50 %.
Det er altså like sannsynlig å få krone som mynt. Påstanden er riktig.
Hvis du har fått mynt i mindre enn 50 % av de 95 første kastene, påvirker ikke det antall mynt
du vil få i de neste fem kastene. Påstanden er gal.
Det er 50 % sannsynlig at vi får mynt og krone i hvert kast. Etter mange kast vil vi derfor
forvente å få omtrent like mange mynt og krone. Påstanden er riktig.
.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 1 av 34
Løsninger
d
e
At sannsynligheten for å få mynt er 50 %, betyr at du vil få mynt i omtrent 50 % av kastene
når du kaster en tikrone mange ganger. Det betyr ikke at du vil få mynt i nøyaktig 50 % av
kastene. Påstanden er gal.
Sannsynligheten for å få mynt er lik den relative frekvensen etter veldig mange kast.
1
Den relative frekvensen vil derfor nærme seg 50 % = etter mange kast.
2
Påstanden er riktig.
Oppgave 6.6
a
b
3 566 440 barn i denne perioden.
Totalt ble det født 1833 033 + 1 733 407 =
1833 033
= 0,5140
3 566 440
1 733 407
= 0, 4860
3 566 440
Den relative frekvensen for guttefødsler er 0,5140,
og den relative frekvensen for jentefødsler er 0,4860.
De relative frekvensene stemmer helt nøyaktig med at sannsynligheten er 51,4 % for gutt og
48,6 % for jente, akkurat som vi kan forvente når antallet barn er så høyt.
Oppgave 6.7
a
b
c
12 128
= 0, 0099
1 219 206
Den relative frekvensen for tvillingfødsler i perioden 1961–1980 er 0,0099.
19 164
= 0, 0164
1166 299
Den relative frekvensen for tvillingfødsler i perioden 1991–2010 er 0,0164.
Den relative frekvensen for tvillingfødsler har økt fra 0,0099 til 0,0164.
Det er en betydelig økning, og når antallet fødsler vi ser på også er så høyt, tyder det på at
sannsynligheten for å få tvillinger har endret seg.
Oppgave 6.8
a
b
Det er 27 elever i klassen. Det er derfor 27 mulige utfall i loddtrekningen.
Vi har en uniform sannsynlighetsmodell. Alle utfallene er altså like sannsynlige.
1
Sannsynligheten er derfor
for at Emma blir valgt.
27
Oppgave 6.9
a
De mulige utfallene er fargene på hjulet, altså rød, blå, gul, grå og grønn.
b
Det røde feltet dekker
1
av lykkehjulet.
4
Sannsynligheten for at hjulet stopper på rødt er derfor
© Aschehoug
www.lokus.no
1
.
4
Side 2 av 34
Løsninger
c
Det grønne feltet dekker
1
av lykkehjulet.
8
Sannsynligheten for at hjulet stopper på grønt er derfor
1
.
8
Oppgave 6.10
a
b
Det er fire mulige utfall i forsøket: MM, MK, KM og KK.
Vi kan få «minst én mynt» på tre forskjellige måter, nemlig MM, MK og KM.
3
Derfor er P(minst én mynt) = .
4
Det er to utfall som svarer til at vi får det samme på begge pengestykkene: MM og KK.
2 1
Derfor er P(det samme)= =
.
4 2
Oppgave 6.11
a
b
c
Det er 12 + 15 =
27 elever i klassen. Det er dermed 27 mulige utfall av loddtrekningen.
Det er 15 gutter i klassen. Altså er det 15 gunstige utfall for at en gutt blir trukket ut.
Det er 15 gunstige utfall, og 27 mulige utfall.
antall gunstige utfall 15 5
=
= =
P (gutt)
antall mulige utfall
27 9
5
Sannsynligheten er for at en gutt blir trukket ut.
9
Oppgave 6.12
a
Til sammen er det 8 + 7 + 5 =
20 biter i godteposen. Det er altså 20 mulige utfall.
Siden det er 8 sjokoladebiter i posen, er det 8 gunstige utfall. Dermed er
8 2
P(sjokolade)
= =
20 5
b
P(lakris) =
c
P(karamell)
=
7
20
5 1
=
20 4
Oppgave 6.13
a
b
Det er g = 13 hjerterkort i kortstokken, og m = 52 kort totalt. Derfor er
g 13 1
P(hjerter)
= = =
m 52 4
Det er g = 4 ess i kortstokken. Derfor er
g
4
1
P(ess)
= = =
m 52 13
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 3 av 34
Løsninger
c
Det er 4 ⋅ 4 =
16 honnørkort i kortstokken. Derfor er
16 4
P(honnør)
= =
52 13
Oppgave 6.14
a
b
1
Hendelsen «sum øyne lik sju» består av utfallene
(1 , 6) , (2 , 5) , (3 , 4) , (4 , 3) , (5 , 2) og (6 , 1) .
2
Hendelsen «minst én ener» består av utfallene
(1 , 6) , (1 , 5) , (1 , 4) , (1 , 3) , (1 , 2) , (1 , 1) ,
(2 , 1) , (3 , 1) , (4 , 1) , (5 , 1) og (6 , 1) .
3
Hendelsen «par» består av utfallene (1 , 1) , (2 , 2) ,
(3 , 3) , (4 , 4) , (5 , 5) og (6 , 6) .
1
Hendelsen «sum øyne lik sju» består av 6 gunstige utfall.
Totalt er det 36 mulige utfall. Altså er
6 1
P(sum øyne lik sju)
= =
36 6
Hendelsen «minst én ener» består av 11 gunstige utfall.
11
P(minst én ener) =
36
Hendelsen «par» består av 6 gunstige utfall.
6 1
P(par)
= =
36 6
2
3
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 4 av 34
Løsninger
Oppgave 6.15
Tenk at det er m seigmenn i skåla. Det er g = 5 seigmenn som er gule.
Sannsynligheten for å trekke en gul seigmann er 25 % = 0, 25 . Det gir
g
P(gul) =
m
5
0, 25 =
m
5
m=
0, 25
m = 20
Det er 20 seigmenn i skåla.
Oppgave 6.16
1 1 1
+ =
4 4 2
a
P(blå eller gul) = P(blå) + P(gul) =
b
P(rød eller grønn) = P(rød) + P(grønn) =
c
P(ikke grå) = P(grønn, rød, blå eller gul)
1 1 3
+ =
4 8 8
1 1 1 1 7
= P(grønn) + P(rød) + P(blå) + P(gul) = + + + =
8 4 4 4 8
Oppgave 6.17
a
P(A eller AB) = P(A) + P(AB) = 48 % + 4 % = 52 %
b
P(ikke 0) = P(A, B eller AB) = P(A) + P(B) + P(AB) = 48 % + 8 % + 4 % = 60 %
c
Blodgiveren må ha blodtype A eller blodtype 0.
P(A eller 0) = P(A) + P(0) = 48 % + 40 % = 88 %
Sannsynligheten er 88 % for at en pasient med blodtype A kan få overført blod fra den nye
blodgiveren.
Oppgave 6.18
a
b
c
d
Det er 10 lapper i esken, og dermed 10 mulige utfall.
Det er 10 mulige utfall, og alle utfallene er like sannsynlige.
1
Sannsynligheten er derfor
for at Ali får tallet 7.
10
Tallene fra og med 1 til og med 6 er mindre enn 7. Det er altså 6 gunstige utfall.
g 6 3
P(mindre enn 7)
= = =
m 10 5
3
Sannsynligheten er for at Ali får et tall som er mindre enn 7.
5
Tallene 8, 9 og 10 er større enn 7. Det er altså 3 gunstige utfall. Dermed er
3
P(større enn 7) =
10
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 5 av 34
Løsninger
Oppgave 6.19
a
P(blå)
=
6 1
=
30 5
b
P(rød)
=
12 2
=
30 5
c
P(ikke grønn)
= P(rød, gul eller blå)
=
12 + 8 + 6 26 13
= =
30
30 15
d
P(ikke gul)
= P(rød, grønn eller blå)
=
12 + 4 + 6 22 11
= =
30
30 15
Oppgave 6.20
a
Det er m = 52 kort i kortstokken, og alle kortene er like sannsynlige. Derfor er
1
1
P(kløver sju)
= =
m 52
b
=
Det er g = 4 ess i kortstokken. Derfor er P(ess)
c
=
Det er 52 − 4 =
48 kort som ikke er ess. Altså er P(ikke ess)
d
=
Det er 13 spar i kortstokken. Altså er P(spar)
e
=
Det er 52 − 13 =
39 kort som ikke er spar. Altså er P(ikke spar)
g
4
1
= =
.
m 52 13
48 12
=
.
52 13
13 1
=
.
52 4
39 3
=
.
52 4
Oppgave 6.21
a
1
© Aschehoug
2
3
www.lokus.no
Side 6 av 34
Løsninger
b
1
2
3
Hendelsen «sum antall øyne lik fem» består av fire utfall, nemlig (1 , 4) , (2 , 3) , (3 , 2)
og (4 , 1) . Totalt er det 36 mulige utfall. Altså er
4 1
P(sum antall øyne lik fem)
= =
36 9
Hendelsen «minst én sekser» består av 11 gunstige utfall.
11
P(minst én sekser) =
36
Hendelsen «sum antall øyne høyst lik fire» består av 6 gunstige utfall.
6 1
P(sum antall øyne høyst lik fire)
= =
36 6
Oppgave 6.22
a
b
c
d
Oddetallene er 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 og 19. Det er altså 10 oddetall og 20 lapper.
10 1
P(oddetall)
= =
20 2
Det er 10 partall, nemlig 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 og 20.
10 1
P(partall)
= =
20 2
Det er 8 primtall som er mindre enn eller lik 20, nemlig 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 og 19.
8 2
P(primtall)
= =
20 5
Det er 4 kvadrattall som er mindre enn eller lik 20, nemlig 1, 4, 9 og 16.
4 1
P(kvadrattall)
= =
20 5
Oppgave 6.23
a
Tenk at Johanne liker g av twistbitene. Totalt er det m = 30 twistbiter i posen.
1
Sannsynligheten for at Johanne liker en tilfeldig valgt twistbit er . Det gir
3
g
P(liker) =
m
1 g
=
3 30
1 ⋅ 30
g=
3
g = 10
Johanne liker 10 av twistbitene i posen.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 7 av 34
Løsninger
b
Tenk at det er m twistbiter i posen. Sigurd liker g = 8 av twistbitene.
Sannsynligheten for at han liker en tilfeldig valgt twistbit er 40 % = 0, 40 . Det gir
g
P(liker) =
m
8
0, 40 =
m
8
m=
0, 40
m = 20
Det er 20 twistbiter i posen.
Oppgave 6.24
a
P(oddetall) = P(1) + P(3) =10 % + 40 % = 50 %
b
P(partall) = P(4) + P(6) = 40 % + 10 % = 50 %
c
P(høyst tre) = P(1) + P(3) =10 % + 40 % = 50 %
d
P(minst tre) = P(3) + P(4) + P(6) = 40 % + 40 % + 10 % = 90 %
Oppgave 6.25
a
b
c
Det er m = 8 mulige utfall.
Hendelsen «tre krone» svarer til utfallet KKK. Altså er
1 1
P(tre krone)
= =
m 8
Hendelsen «tre mynt» svarer til utfallet MMM.
1
P(tre mynt) =
8
Det er tre utfall som er gunstige for hendelsen
«to krone og én mynt», nemlig KKM, KMK og MKK.
Altså er g = 3 . Det gir
g 3
P(to krone og én mynt)
= =
m 8
Oppgave 6.26
a
b
Du kan velge mellom tre forskjellige biter når du tar den første biten.
Når du skal ta den andre biten er det bare to biter igjen.
Hvis du f.eks. velger sjokoladebiten (S) først, er det bare karamell (K)
og lakris (L) som er igjen. Det er altså 6 forskjellige måter å velge
de to bitene på: SK, SL, KS, KL, LS og LK.
Se figuren til høyre.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 8 av 34
Løsninger
Oppgave 6.27
a
b
c
Det er 25 forskjellige måter å velge medlemmet på.
For hvert av disse valgene er det 24 forskjellige måter å velge varamedlem.
Vi kan altså velge medlem og varamedlem på m = 25 ⋅ 24 = 600 måter.
Vi kan velge en jente til medlem på 15 måter.
For hvert av disse valgene kan vi velge en jente til varamedlem på 14 måter.
Vi kan altså velge en jente både til medlem og varamedlem på g = 15 ⋅ 14 = 210 måter.
Alle de 600 utfallene er like sannsynlige. Dermed er
g 210
P(to jenter blir valgt)
= =
= 0,35
= 35 %
m 600
Oppgave 6.28
a
b
c
d
Knut kan velge mellom to forskjellige bukser og tre forskjellige skjorter.
Det totale antallet utfall i det sammensatte forsøket er derfor m = 2 ⋅ 3 = 6 .
Knut kan altså velge bukse og skjorte på 6 måter.
Se figuren til høyre.
Alle de 6 utfallene er like sannsynlige. Derfor er
1 1
P( HG=
) =
m 6
Det er to utfall som er gunstige for hendelsen «samme farge»,
nemlig BB og HH. Altså er
2 1
P(samme farge)= =
6 3
Oppgave 6.29
Ida kan trekke to knapper tilfeldig på m = 10 ⋅ 9 = 90 forskjellige måter.
Hun kan trekke to hvite knapper på g = 7 ⋅ 6 = 42 forskjellige måter.
Sannsynligheten for at hun trekker to hvite knapper er derfor
g 42
P(to hvite knapper)
= = = 0, 467
= 46, 7 %
m 90
Det er altså svaralternativ C som er riktig.
Oppgave 6.30
Vi kan trekke de to medlemmene av festkomiteen på m = 28 ⋅ 27 = 756 forskjellige måter.
Blant disse utfallene kan vi trekke ut to gutter på g = 16 ⋅ 15 = 240 forskjellige måter.
Sannsynligheten for at begge medlemmene av festkomiteen blir gutter er derfor
g 240
P(begge blir gutter)
= =
= 0,317
= 31, 7 %
m 756
Oppgave 6.31
a
Det er 52 kort i kortstokken. Vi kan derfor trekke ett kort på 52 måter.
Når vi skal trekke det andre kortet, er det 51 kort igjen i kortstokken.
Det sammensatte forsøket har altså m = 52 ⋅ 51 = 2652 mulige utfall.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 9 av 34
Løsninger
b
Det er 13 spar i kortstokken. Vi kan derfor trekke to spar på g = 13 ⋅ 12 = 156 måter.
c
Alle de 2652 utfallene er like sannsynlige. Sannsynligheten for å trekke to spar er derfor
g 156
P(to spar)
= =
= 0, 059
= 5,9 %
m 2652
Oppgave 6.32
a
b
Det er til sammen 8 + 6 + 4 + 3 =
21 pakker under juletreet.
Vi kan derfor velge to pakker tilfeldig på 21 ⋅ 20 =
420 måter.
Blant disse utfallene kan vi trekke to pakker til Nina på 8 ⋅ 7 =
56 måter.
Sannsynligheten for at begge pakkene er til Nina er derfor
56
P(begge til Nina)
= = 0,133
= 13,3 %
420
Det er 15 pakker som ikke er til Tobias. Vi kan derfor trekke to pakker som ikke er til Tobias
på 15 ⋅ 14 =
210 forskjellige måter. Dermed er
210
P(ingen til Tobias)
= = 0,500
= 50, 0 %
420
Oppgave 6.33
a
b
c
I hvert av de fire kastene kan vi få enten krone eller mynt.
Det er derfor totalt 16 mulige utfall: KKKK, KKKM,
KKMK, KKMM, KMKK, KMKM, KMMK, KMMM,
MKKK, MKKM, MKMK, MKMM, MMKK,
MMKM, MMMK og MMMM. Se valgtreet.
Vi ser av valgtreet at vi kan få én krone og
tre mynt på fire forskjellige måter, nemlig
KMMM, MKMM, MMKM og MMMK.
Alle utfallene er like sannsynlige.
Sannsynligheten for å få én krone og
tre mynt er derfor
4 1
P(én krone og tre mynt)
= =
16 4
Vi ser av valgtreet at vi kan få to krone og
to mynt på seks forskjellige måter, nemlig
KKMM, KMKM, KMMK, MKKM, MKMK og
MMKK. Sannsynligheten for å få to krone og
to mynt er derfor
6 3
P(to krone og to mynt)
= =
16 8
Oppgave 6.34
a
Totalt er det fire utfall: KK, KM, MK og MM.
Hendelsen B = «nøyaktig én krone» består av utfallene KM og MK.
b
Hendelsen B består av utfallene KK og MM.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 10 av 34
Løsninger
c
Hendelsen B består av to utfall. Derfor er P( B)=
2 1
=
.
4 2
Siden B og B er komplementære hendelser, er P( B ) =1 −
1 1
= .
2 2
Oppgave 6.35
Hendelsene «minst én gutt blir valgt» og «to jenter blir valgt» er komplementære.
15 ⋅14
= = 0,35
P(to jenter blir valgt)
25 ⋅ 24
P(minst én gutt blir valgt) =
1 − 0,35 =
0, 65 =
65 %
1 − P(to jenter blir valgt) =
Sannsynligheten for at minst én gutt blir valgt er 65 %.
Oppgave 6.36
a
Hendelsen A = «minst 5 øyne» består av utfallene 5 og 6.
b
Hendelsen A består av alle utfallene som ikke er med i A, altså 1, 2, 3 og 4.
Dette er tallene mindre enn eller lik 4. Altså er hendelsen A = «høyst 4 øyne» .
c
Totalt er det 6 mulige utfall. Dermed er
2 1
P( A)= =
6 3
1 2
P( A) =1 − P( A) =1 − =
3 3
Oppgave 6.37
a
Vi kan trekke den første kula på 5 forskjellige måter.
For hvert resultat av første trekning, kan vi trekke den andre kula på 4 forskjellige måter.
Vi kan derfor trekke to kuler på m = 5 ⋅ 4 = 20 måter.
b
Vi kan trekke to røde kuler på g = 3 ⋅ 2 = 6 måter.
c
Sannsynligheten for at vi trekker to røde kuler er gitt ved
g
6
3
P(to røde kuler)
= = =
m 20 10
Hendelsene «minst én blå kule» og «to røde kuler» er komplementære. Dermed er
3
7
1 P(to røde kuler) =−
1
P(minst én blå kule) =−
=
10 10
d
Oppgave 6.38
a
b
Vi kan trekke to elever på m = 28 ⋅ 27 = 756 forskjellige måter.
Vi kan trekke to gutter på g = 16 ⋅ 15 = 240 måter.
Dermed er
g 240
P(to gutter)
= =
= 0,317
= 31, 7 %
m 756
Hendelsene «minst én jente» og «to gutter» er komplementære. Derfor er
P(minst én jente) =
1 − P(to gutter) =
1 − 0,317 =
0, 683 =
68,3 %
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 11 av 34
Løsninger
Oppgave 6.39
a
b
c
d
Det er 20 seigmenn i skåla. Vi kan derfor trekke to seigmenn på m = 20 ⋅ 19 = 380 måter.
Hvis seigmennene skal ha samme farge, må vi trekke enten to røde eller to gule seigmenn.
Vi kan trekke to røde seigmenn på 10 ⋅ 9 =
90 forskjellige måter.
Vi kan også trekke to gule seigmenn på 10 ⋅ 9 =
90 forskjellige måter.
Dermed kan vi trekke to seigmenn med samme farge på g = 90 + 90 = 180 måter.
g 180
=
= 0, 474
= 47, 4 %
m 380
Hendelsene «ulik farge» og «samme farge» er komplementære. Dermed er
P(ulik farge) =
1 − P(samme farge) =
1 − 0, 474 =
0,526 =
52, 6 %
P(samme farge)
=
Oppgave 6.40
a
b
Kortstokken har 52 kort. Vi kan derfor trekke to kort på 52 ⋅ 51 =
2652 måter.
Det er f.eks. 13 spar i kortstokken. Vi kan derfor trekke to spar på 13 ⋅ 12 =
156 måter.
Siden det er like mange kort av hver farge, betyr dette at det også er 156 måter å trekke to
kløver, to hjerter eller to ruter.
Vi kan altså trekke to kort i samme farge på 4 ⋅ 156 =
624 måter.
Sannsynligheten for å trekke to kort i samme farge er dermed
624
P(samme farge)
= = 0,=
235 23,5 %
2652
Hendelsene «samme farge» og «forskjellig farge» er komplementære. Dermed er
1 − P(samme farge) =
1 − 0, 235 =
0, 765 =
P(forskjellig farge) =
76,5 %
Oppgave 6.41
a
b
Det er 13 biter i godteposen. Martin kan derfor trekke to biter på 13 ⋅ 12 =
156 måter.
1 Martin kan trekke to sjokoladebiter på 8 ⋅ 7 =
56 måter.
2
c
d
Martin kan trekke to karameller på 5 ⋅ 4 =
20 måter.
Martin kan trekke to like biter på 56 + 20 =
76 forskjellige måter. Dermed er
76
P(to like biter)
= = 0, 487
= 48, 7 %
156
Hendelsene «to forskjellige biter» og «to like biter» er komplementære. Derfor er
P(to forskjellige biter) =
1 − P(to like biter) =
1 − 0, 487 =
0,513 =
51,3 %
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 12 av 34
Løsninger
Oppgave 6.42
a
Senkveld
Ikke Senkveld
Totalt
Robinson
3
4
7
Ikke Robinson
7
13
20
Totalt
10
17
27
b
c
d
e
Det er tre elever som har sett begge programmene, og 27 elever totalt i klassen. Dermed er
3 1
P(begge)=
= = 0,111= 11,1 %
27 9
Det er 13 elever som ikke har sett noen av programmene.
13
P(ingen)
= = 0, 481
= 48,1 %
27
P(minst ett) =
1 − P(ingen) =
1 − 0, 481 =
0,519 =
51,9 %
Oppgave 6.43
a
Vi setter først opp en krysstabell for å få oversikten.
Matematikk
Ikke matematikk
Totalt
b
c
Samfunnsøkonomi
5
3
8
Ikke samfunnsøkonomi
10
7
17
Totalt
15
10
25
Vi ser at det er 5 elever som har valgt både matematikk og samfunnsøkonomi.
5 1
P(matematikk og samfunnsøkonomi)=
= = 0, 20= 20 %
25 5
Det er 10 elever som har valgt matematikk men ikke samfunnsøkonomi,
og 3 elever som har valgt samfunnsøkonomi men ikke matematikk.
Det er altså 13 elever som har valgt bare ett av fagene.
13
P(nøyaktig ett av fagene)
= = 0,52
= 52 %
25
Det er 15 elever som har matematikk, og 5 elever som har begge fagene. Derfor er
5 1
P(elev med matematikk har også samfunnsøkonomi)=
= = 0,333= 33,3 %
15 3
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 13 av 34
Løsninger
Oppgave 6.44
a
Vi får krysstabellen:
Løpsøvelser
Ikke løpsøvelser
Totalt
b
Høydehopp
7
5
12
Ikke høydehopp
28
10
38
Totalt
35
15
50
c
Det er 12 personer som konkurrerer i høydehopp, og 50 personer totalt.
12
P(høydehopp)
= = 0, 24
= 24 %
50
Det er 35 personer som konkurrerer i løpsøvelser.
d
35
= 0, 70
= 70 %
50
Det er 7 personer som konkurrerer i både høydehopp og løpsøvelser.
P(løpsøvelser)
=
P(høydehopp og løpsøvelser)
=
e
7
= 0,14
= 14 %
50
Det er 7 + 28 + 5 =
40 personer som konkurrerer i høydehopp eller løpsøvelser eller begge
deler.
40
P(høydehopp, løpsøvelser eller begge deler)
= = 0,80
= 80 %
50
Oppgave 6.45
a
Vi får krysstabellen:
Senkveld
25
10
35
X Factor
Ikke X Factor
Totalt
b
Ikke Senkveld
32
13
45
Totalt
57
23
80
c
Det er 57 elever som har sett X Factor, og 80 elever totalt. Dermed er
57
P(X Factor)
= = 0, 713
= 71,3 %
80
Det er 35 elever som har sett Senkveld.
d
35
= 0, 438
= 43,8 %
80
Det er 25 elever som har sett begge programmene.
P(Senkveld)
=
P(begge)
=
© Aschehoug
25
= 0,313
= 31,3 %
80
www.lokus.no
Side 14 av 34
Løsninger
e
f
Det er 25 + 32 + 10 =
67 elever som har sett minst ett av programmene.
67
P(minst ett av programmene)
= = 0,838
= 83,8 %
80
Det er 13 elever som har sett ingen av programmene.
P(ingen)
=
13
= 0,163
= 16,3 %
80
Oppgave 6.46
a
Vi lager en krysstabell for å få oversikten.
Katt
Ikke katt
Hund
2
8
Ikke hund
6
9
Totalt
8
17
9
P(verken hund eller katt)
= = 0,36
= 36 %
25
2
= 0, 08
= 8%
25
b
P(hund og katt)
=
c
P(katt, men ikke hund)
=
d
e
f
Totalt
10
15
25
6
= 0, 24
= 24 %
25
8
= 0,32
= 32 %
25
Det er 10 elever som har hund, og 2 elever som har både hund og katt.
2
P(elev med hund har også katt)
= = 0, 20
= 20 %
10
Det er 8 elever som har katt, og 2 elever som har både hund og katt.
2
P(elev med katt har også hund)= = 0, 25= 25 %
8
P(hund, men ikke katt)
=
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 15 av 34
Løsninger
Oppgave 6.47
a
I dette tilfellet kjenner vi ikke antallet biler, men vi kjenner prosentandelen med feil.
Vi setter derfor opp en krysstabell med prosenttall, der det totale antallet er 100 %.
Feil med lysene
Lysene i orden
Totalt
b
c
d
Feil med bremsene
4%
8%
12 %
Bremsene i orden
14 %
74 %
88 %
Totalt
18 %
82 %
100 %
Av krysstabellen ser vi at 82 % av bilene hadde lysene i orden. Siden vi velger én bilfører
tilfeldig, er det også sannsynligheten for at bilføreren hadde lys som var i orden.
88 % av bilene hadde bremsene i orden. Det også sannsynligheten for at en tilfeldig valgt
bilfører hadde bremser som var i orden.
4 % av bilene hadde verken lys eller bremser i orden. Derfor er sannsynligheten 4 % for at en
tilfeldig valgt bilfører verken hadde lys eller bremser i orden.
8 % av bilene hadde lys, men ikke bremser i orden. Det også sannsynligheten for at en
tilfeldig valgt bilfører hadde lys, men ikke bremser si orden
Oppgave 6.48
a
Det er 20 personer som spiller fotball og 20 som spiller håndball.
20 2
=
90 9
20 2
P (håndball)
= =
90 9
Det er ingen som spiller både fotball og håndball. Addisjonssetningen gir dermed
P(fotball eller håndball)
= P(fotball) + P(håndball)
2 2 4
= + = = 0, 444 = 44, 4 %
9 9 9
b Det er 20 personer som løper orientering og 15 som driver med friidrett.
20 2
P(orientering)
= =
90 9
15 1
P(friidrett)
= =
90 6
P(orientering eller
friidrett) P(orientering) + P(friidrett)
=
=
P (fotball)
=
© Aschehoug
2 1 7
+ = = 0,389 = 38,9 %
9 6 18
www.lokus.no
Side 16 av 34
Løsninger
c
Det er 20 personer som spiller fotball, 20 som spiller håndball og 15 som spiller volleyball.
20 2
P(fotball)
= =
90 9
20 2
P(håndball)
= =
90 9
15 1
P(volleyball)
= =
90 6
P(ballspill) =
P(fotball) + P(håndball) + P(volleyball)
2 2 1 11
= + + =
= 0, 611 = 61,1 %
9 9 6 18
Oppgave 6.49
a
Se figuren til høyre.
b
Av figuren ser vi at A ∩ B består av utfallene (1 , 5) , (2 , 5) ,
(3 , 5) , (4 , 5) , (5 , 4) , (5 , 3) , (5 , 2) og (5 , 1) .
Hendelsen A ∪ B består av alle utfall bortsett fra
(4 , 6) , (6 , 4) og (6 , 6) .
c
1
30
11
8
P( B)
∩ B)
, =
, P( A=
36
36
36
P( A ∪ B)= P( A) + P( B) − P( A ∩ B)
=
P( A)
=
2
30 11 8 33 11
+ −
=
=
36 36 36 36 12
33
Vi ser at A ∪ B består av 33 gunstige utfall. Altså er P( A ∪ B) = .
36
Oppgave 6.50
a
1
13 1
=
.
52 4
Et kort kan ikke være både ruter og hjerter. Hendelsene «ruter» og «hjerter» er disjunkte.
1 1 1
Derfor er P(ruter eller hjerter) = P(ruter) + P(hjerter) = + = .
4 4 2
2
b
Det er 52 kort i kortstokken. 13 av kortene er hjerter. Dermed er
13 1
P(hjerter)
= =
52 4
=
Det er 13 kort som er ruter. Altså er P(ruter)
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 17 av 34
Løsninger
Oppgave 6.51
a
b
Se figuren til høyre.
Av figuren ser vi at hendelsen A ∩ B består av
utfallene (1 , 4) og (4 , 1) .
Hendelsen A ∪ B består av utfallene (1 , 1) , (1 , 2) , (1 , 3) ,
(1 , 4) , (2 , 1) , (2 , 2) , (2 , 3) , (2 , 4) , (3 , 1) , (3 , 2) , (3 , 4) ,
(4 , 1) , (4 , 2) , (4 , 3) , (4 , 4) , (4 , 5) , (4 , 6) , (5 , 4) og (6 , 4) .
c
Hendelsen A ∩ B består av to utfall. Dermed er
2
1
P( A ∩ B) =
=
36 18
Hendelsen A ∪ B består av 19 utfall. Dermed er
19
P( A ∪ B) =
36
Oppgave 6.52
a
b
c
d
Det er 52 kort i kortstokken. Fire av kortene er konge. Dermed er
4
1
P(konge)
= =
52 13
Det er 26 svarte kort i kortstokken (13 kløver og 13 spar). Altså er
26 1
P(svart)
= =
52 2
Det er ett kort som er kløver konge og ett kort som er spar konge. Dermed er
2
1
P(svart konge)
= =
52 26
Fra addisjonssetningen får vi
P(svart eller konge) =P(svart) + P(konge) − P(svart konge)
1 1
1 13 2
1 14 7
= + −
= +
−
= =
2 13 26 26 26 26 26 13
Oppgave 6.53
a
P( A ∪ B)= P( A) + P( B) − P( A ∩ B)= 0, 22 + 0,18 − 0, 03= 0,37
b
Fra addisjonssetningen er P( A ∪ B)= P( A) + P( B) − P( A ∩ B) . Dermed er
P( A ∩ B)= P( A) + P( B) − P( A ∪ B)= 0, 45 + 0,35 − 0, 65= 0,15
Oppgave 6.54
a
Hendelsen «minst én feil» er det samme som «A eller B» (eller begge).
Fra addisjonssetningen får vi dermed
P(minst én feil) = P( A ∪ B) = P( A) + P( B) − P( A ∩ B) = 0, 030 + 0, 010 − 0, 002 = 0, 038 = 3,8 %
b
Sannsynligheten er 3,8 % for at et TV-apparat har minst én av de to feilene.
Hendelsene «minst én feil» og «ingen feil» er komplementære. Altså er
P(ingen feil) =
1 − P(minst én feil) =
1 − 0, 038 =
0,962 =
96, 2 %
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 18 av 34
Løsninger
Oppgave 6.55
For at vi skal kunne legge sammen sannsynlighetene for regn hver av dagene, må de to hendelsene
«regn på lørdag» og «regn på søndag» være disjunkte. Men det er de ikke. Det kan nemlig regne
begge dagene. Vi må derfor bruke den generelle addisjonssetningen i stedet.
Sannsynligheten for at det vil regne i løpet av helgen er dermed mindre enn 60 %.
Oppgave 6.56
a
Siden vi legger den første kula tilbake, er trekningen av de to kulene uavhengige hendelser.
Det er tre røde kuler, og fem kuler totalt. Det gir
3
P=
(første kule rød) P=
(andre kule rød)
5
Dermed er
3 3 9
P(begge kulene er røde) = P(første kule rød) ⋅ P(andre kule rød) = ⋅ =
5 5 25
b
2 2 4
P(begge kulene er blå) = P(første kule blå) ⋅ P(andre kule blå) = ⋅ =
5 5 25
c
3 2 6
P(første rød og andre blå) = P(første kule rød) ⋅ P(andre kule blå) = ⋅ =
5 5 25
Oppgave 6.57
a
Vi kan anta at kjønnet til de to barna er uavhengige. Produktsetningen gir da
P(begge gutter) = P(eldste gutt) ⋅ P(yngste gutt) = 0,514 ⋅ 0,514 = 0, 264 = 26, 4 %
Sannsynligheten er 26,4 % for at ekteparet har to gutter.
b
P(eldste gutt og yngste
=
jente) P(eldste gutt) ⋅ P(yngste jente)
= 0,514 ⋅ 0, 486 = 0, 250 = 25, 0 %
c
P(eldste jente og=
yngste gutt) P(eldste jente) ⋅ P(yngste gutt)
= 0, 486 ⋅ 0,514 = 0, 250 = 25, 0 %
Oppgave 6.58
a
Det røde feltet dekker
1
av lykkehjulet.
3
1
.
3
Siden de to trekningene med lykkehjulet er uavhengige, gir produktsetningen at
1 1 1
P(rødt begge gangene) = P(rødt første gang) ⋅ P(rødt andre gang) = ⋅ =
3 3 9
Sannsynligheten for at lykkehjulet stopper på det røde feltet er derfor
b
Det gule feltet dekker
1
av lykkehjulet.
6
Sannsynligheten for at lykkehjulet stopper på det gule feltet er derfor
Dermed er
1
.
6
1 1 1
P(rødt og så gult) = P(rødt første gang) ⋅ P(gult andre gang) = ⋅ =
3 6 18
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 19 av 34
Løsninger
Oppgave 6.59
a
Sannsynligheten for ikke å få sekser i ett kast er
Dermed er
b
5
. Kastene med terningen er uavhengige.
6
5
5 5 5 5 5 5
P(ingen seksere) = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =   = 0, 402 = 40, 2 %
6 6 6 6 6 6
Hendelsene «minst én sekser» og «ingen seksere» er komplementære. Derfor er
P(minst én sekser) =
1 − P(ingen seksere) =
1 − 0, 402 =
0,598 =
59,8 %
Oppgave 6.60
a
b
Vi kan anta at kjønnet til de tre barna er uavhengige. Da er
P(alle er jenter) = 0, 486 ⋅ 0, 486 ⋅ 0, 486 = 0, 4863 = 0,115 = 11,5 %
Sannsynligheten er 11,5 % for at alle de tre barna er jenter.
Hendelsene «alle er jenter» og «minst én gutt» er komplementære. Derfor er
P(minst én gutt) =
1 − P(alle er jenter) =
1 − 0,115 =
0,885 =
88,5 %
Sannsynligheten er 88,5 % for at minst ett av barna er en gutt.
Oppgave 6.61
a
Trekningen av en seigmann og en seigdame er uavhengige hendelser. Derfor er
P(rød seigmann og oransje
=
seigdame) P(rød seigmann) ⋅ P(oransje seigdame)
5 3 15
= ⋅ =
= 0,185 = 18,5 %
9 9 81
b
P(rød seigmann og grønn
=
seigdame) P(rød seigmann) ⋅ P(grønn seigdame)
5 6 30
= ⋅ =
= 0,370 = 37, 0 %
9 9 81
c
seigdame) P(gul seigmann) ⋅ P(oransje seigdame)
P(gul seigmann og oransje
=
4 3 12
= ⋅ =
= 0,148 = 14,8 %
9 9 81
d
seigdame) P(gul seigmann) ⋅ P(grønn seigdame)
P(gul seigmann og grønn
=
4 6 24
= ⋅ =
= 0, 296 = 29, 6 %
9 9 81
Oppgave 6.62
a
b
c
Tippingen av de to svarene er uavhengige hendelser. Derfor er
1 1 1
P(riktig på begge) = P(riktig på første) ⋅ P(riktig på andre) = ⋅ =
3 5 15
2 4 8
P(galt på begge) = P(galt på første) ⋅ P(galt på andre) = ⋅ =
3 5 15
Hendelsene «minst ett riktig svar» og «galt på begge» er komplementære. Dermed er
8
7
P(minst ett riktig svar) =−
1 P(galt på begge) =−
1
=
15 15
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 20 av 34
Løsninger
Oppgave 6.63
Hendelsene «minst én sekser» og «ingen seksere» er komplementære.
Vi regner derfor først ut sannsynligheten for ikke å få noen seksere.
5
For ett terningkast er denne sannsynligheten . Det gir
6
4
5 5 5 5 5
P (ingen seksere) = ⋅ ⋅ ⋅ =   = 0, 482
6 6 6 6 6
P (minst én sekser) =
1 − P (ingen seksere) =
1 − 0, 482 =
0,518 =
51,8 %
Det er altså svaralternativ C som er riktig.
Oppgave 6.64
Trekningen av forrett, hovedrett og dessert er tre uavhengige hendelser. Det gir
2 4 3 24
P(suppe, fisk og is) = P(suppe) ⋅ P(fisk) ⋅ P(is) = ⋅ ⋅ =
= 0, 057 = 5, 7 %
6 10 7 420
Sannsynligheten for at middagen består av suppe, fisk og is er 5,7 %.
Oppgave 6.65
a
Siden personene ikke er i følge, kan vi anta at de bestemmer seg for om de vil handle
uavhengig av hverandre. Dermed er
P(alle tre handler) = 0, 60 ⋅ 0, 60 ⋅ 0, 60 = 0, 603 = 0, 216 = 21, 6 %
b
P(ingen handler) = 0, 40 ⋅ 0, 40 ⋅ 0, 40 = 0, 403 = 0, 064 = 6, 4 %
c
Hendelsene «minst én handler» og «ingen handler» er komplementære. Dermed er
P(minst én handler) =
1 − P(ingen handler) =
1 − 0, 064 =
0,936 =
93, 6 %
Oppgave 6.66
a
Vi kan anta at kjønnet til de fire barna er uavhengige. Da er
4
P(fire gutter)
= 0,514
=
0,=
070 7, 0 %
b
Hendelsene «minst én jente» og «fire gutter» er komplementære. Dermed er
P(minst én jente) =
1 − P(fire gutter) =
1 − 0, 070 =
0,930 =
93, 0 %
c
P(storebror med tre småsøstre) =0,514 ⋅ 0, 4863 =0, 059 =5,9 %
Oppgave 6.67
a
For hver av guttene er sannsynligheten 92 % for at han ikke er rødgrønn fargeblind.
Sannsynligheten for at ingen av de 12 guttene er rødgrønn fargeblind er derfor
12
P(ingen fargeblind)
= 0,92
=
0,368
= 36,8 %
b
Hendelsene «minst én fargeblind» og «ingen fargeblind» er komplementære.
P(minst én fargeblind) =
1 − P(ingen fargeblind) =
1 − 0,368 =
0, 632 =
63, 2 %
c
Rødgrønn fargeblindhet er arvelig. Hvis én av guttene i en søskenflokk eller blant andre nære
slektninger er rødgrønn fargeblind, er det derfor større sannsynlighet for at også andre i
familien er fargeblinde. Og da kan vi ikke bruke produktsetningen for uavhengige hendelser.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 21 av 34
Løsninger
Oppgave 6.68
a
Når Mons skal trekke den første knappen, er det to blå og tre røde knapper i syskrinet.
Derfor er
3
P(første knapp rød) =
5
Hvis han først trekker en rød knapp, er det igjen to blå og to røde knapper.
Sannsynligheten for at den andre knappen også skal bli rød er dermed
2
P(andre knapp rød gitt at første knapp er rød) =
4
Fra produktsetningen for avhengige hendelser er derfor
3 2 6
3
=
P(begge knappene er røde) = ⋅ =
5 4 20 10
b
Sannsynligheten for at første knapp er blå, er P(første knapp blå) =
Nå er det igjen én blå og tre røde knapper. Altså er
P(andre knapp blå gitt at første knapp er blå) =
Dermed blir
c
2 1 2
1
P(begge knappene er blå) = ⋅ =
=
5 4 20 10
3
P(første knapp rød) =
5
P(andre knapp blå gitt at første knapp er rød) =
2
.
5
1
4
2
4
3 2 6
3
=
P(første knapp rød og andre knapp blå) = ⋅ =
5 4 20 10
Oppgave 6.69
a
Til å begynne med er det 7 blå og 4 røde kuler i esken.
Hvis vi trekker en blå kule, er det igjen 6 blå og 4 røde kuler. Dermed er
7 6
42
P(begge kulene er blå) = ⋅ =
= 0,382 = 38, 2 %
11 10 110
b
P(begge kulene er røde) =
c
P(første kule rød og andre kule blå) =
© Aschehoug
4 3 12
⋅ =
= 0,109 = 10,9 %
11 10 110
4 7
28
⋅ =
= 0, 255 = 25,5 %
11 10 110
www.lokus.no
Side 22 av 34
Løsninger
Oppgave 6.70
a
10
.
25
Hvis en gutt er valgt til medlem, er det igjen 9 gutter blant de 24 elevene som kan bli
Sannsynligheten for at medlemmet til elevrådet blir en gutt, er
varamedlem. Den betingede sannsynligheten for at varamedlemmet blir en gutt er altså
b
Fra produktsetningen får vi dermed
10 9
P(begge er gutter) = ⋅ = 0,15 = 15 %
25 24
Hendelsene «minst én jente» og «begge er gutter» er komplementære. Derfor er
P(minst én jente) =
1 − P(begge er gutter) =
1 − 0,15 =
0,85 =
85 %
9
.
24
Oppgave 6.71
a
10
.
25
Hvis Signe først trekker en NOX, er det 15 FOX og 9 NOX igjen i skåla.
Sannsynligheten for at den første karamellen er en NOX, er
Den betingede sannsynligheten for at den andre karamellen er en NOX er derfor
Til slutt er det igjen 15 FOX og 8 NOX i skåla.
Den betingede sannsynligheten for at den tredje karamellen er en NOX er derfor
b
Til sammen gir dette
10 9 8
P(tre NOX) =
⋅ ⋅ = 0, 052 = 5, 2 %
25 24 23
Hendelsene «minst én FOX» og «tre NOX» er komplementære. Derfor er
P(minst én FOX) =
1 − P(tre NOX) =
1 − 0, 052 =
0,948 =
94,8 %
9
.
24
8
.
23
Oppgave 6.72
a
5
.
8
Hvis vi først trekker en hvit kule, er det igjen 4 hvite og 3 svarte kuler.
Sannsynligheten for at den første kula er hvit, er
Den betingede sannsynligheten for at den andre kula også er hvit er derfor
b
Fra produktsetningen får vi dermed
5 4 20
P(begge kulene er hvite) = ⋅ =
= 0,357 = 35, 7 %
8 7 56
Etter å ha trukket en hvit kule, er det igjen 4 hvite og 3 svarte kuler.
Den betingede sannsynligheten for at den andre kula er svart er derfor
4
.
7
3
. Det gir
7
5 3 15
P(første kule hvit og andre kule svart) = ⋅ =
= 0, 268 = 26,8 %
8 7 56
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 23 av 34
Løsninger
c
3 5 15
P(første kule svart og andre kule hvit) = ⋅ = = 0, 268 = 26,8 %
8 7 56
d
3 2 6
P(begge kulene er svarte) = ⋅ = = 0,107 = 10, 7 %
8 7 56
Oppgave 6.73
a
Sannsynligheten for at den første eleven er en gutt, er
12
.
21
Den betingede sannsynligheten for at den andre eleven også er en gutt er derfor
b
Fra produktsetningen får vi dermed
12 11
P(begge er gutter) = ⋅
= 0,314 = 31, 4 %
21 20
Hendelsene «minst én jente» og «begge er gutter» er komplementære. Derfor er
1 − P(begge er gutter) =
1 − 0,314 =
0, 686 =
68, 6 %
P(minst én jente) =
11
.
20
Oppgave 6.74
a
b
Når vi skal trekke det første kortet, er 39 av de 52 kortene i kortstokken ikke spar.
Hvis vi først trekker noe annet enn spar, er derfor 38 av 51 kort ikke spar når vi skal trekke
det andre kortet. Det gir
39 38
P(ingen spar) = ⋅ = 0,559 = 55,9 %
52 51
P(minst én spar) =
1 − P(ingen spar) =
1 − 0,559 =
0, 441 =
44,1 %
c
Til å begynne med er 48 av 52 kort noe annet enn ess. Hvis vi først trekker noe annet enn ess,
er 47 av 51 kort noe annet enn ess når vi skal trekke det andre kortet. Det gir
48 47
P(ingen ess) = ⋅
= 0,851 = 85,1 %
52 51
d
P(minst ett ess) =
1 − P(ingen ess) =
1 − 0,851 =
0,149 =
14,9 %
Oppgave 6.75
1
. Når han skal trekke andre bokstav, er det
29
1
28 bokstaver igjen. Sannsynligheten for at andre bokstav blir E er derfor
. Til slutt er
28
1
sannsynligheten
for at tredje bokstav blir R. Sannsynligheten for å trekke ordet PER er altså
27
1 1 1
⋅ =
⋅
0, 000
=
046 0, 0046 %
29 28 27
Sannsynligheten for at første bokstav blir P, er
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 24 av 34
Løsninger
Oppgave 6.76
a
b
c
d
Når vi skal trekke første kloss, er 5 av 8 klosser hvite.
Hvis vi først trekker en hvit kloss, er 4 av de 7 gjenværende klossene hvite.
Hvis vi har trukket to hvite klosser, er til slutt 3 av 6 klosser hvite.
Fra produktsetningen får vi dermed
5 4 3
P(alle hvite) = ⋅ ⋅ = 0,179 = 17,9 %
8 7 6
Hendelsene «alle hvite» og «minst én svart» er komplementære. Derfor er
P(minst én svart) =
1 − P(alle hvite) =
1 − 0,179 =
0,821 =
82,1 %
Først er det 5 hvite klosser som utgjør de gunstige utfallene, deretter er det 4 hvite klosser
(siden vi allerede har trukket en hvit kloss), og til slutt er det 3 svarte klosser. Dermed er
5 4 3
P(hvit, hvit, svart) = ⋅ ⋅ = 0,179 = 17,9 %
8 7 6
3 5 4
P(svart, hvit, hvit) = ⋅ ⋅ = 0,179 = 17,9 %
8 7 6
Oppgave 6.77
a
b
Det er 14 jenter og 24 elever totalt i klassen. Dermed er
14 13 12 11
P(fire jenter) =
⋅ ⋅ ⋅ = 0, 094 = 9, 4 %
24 23 22 21
P(minst én gutt) =
1 − P(fire jenter) =
1 − 0, 094 =
0,906 =
90, 6 %
Oppgave 6.78
a
Det er 13 spar i kortstokken, og 52 kort totalt. Først er det altså 13 gunstige utfall (spar),
deretter er 12 av de 51 mulige utfallene gunstige, osv. Fra produktsetningen er dermed
13 12 11 10 9
P(fem spar) =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 0, 0005 = 0, 05 %
52 51 50 49 48
b
P(minst ett kort ikke spar) =
1 − P(fem spar) =
1 − 0, 0005 =
0,9995 =
99,95 %
Oppgave 6.79
a
Det er 20 konsonanter og 9 vokaler blant de 29 lappene. Det gir
20 19 18 17
P(bare konsonanter) =
⋅ ⋅ ⋅ = 0, 204 = 20, 4 %
29 28 27 26
b
P(minst én vokal) =
1 − P(bare konsonanter) =
1 − 0, 204 =
0, 796 =
79, 6 %
c
P(bare vokaler) =
© Aschehoug
9 8 7 6
⋅ ⋅ ⋅ = 0, 0053 = 0,53 %
29 28 27 26
www.lokus.no
Side 25 av 34
Løsninger
Oppgave 6.80
a
b
Se figuren til høyre.
Vegard kan få nøyaktig én blå sokk på to måter,
nemlig ved først å trekke en blå og så en svart sokk,
eller først å trekke en svart og så en blå sokk.
Fra produktsetningen får vi
7 4 14
P( BS ) = ⋅ =
11 10 55
4 7 14
P( SB) = ⋅ =
11 10 55
Addisjonssetningen gir dermed
= P( BS ) + P( SB)
P(nøyaktig én blå sokk)
14 14 28
= +
=
55 55 55
= 0,509
= 50,9 %
c
Hendelsene «samme farge» og «forskjellig farge» = «nøyaktig én blå sokk» er
komplementære. Altså er
P(samme farge) =
1 − P(nøyaktig én blå sokk) =
1 − 0,509 =
0, 491 =
49,1 %
Oppgave 6.81
a
Vi bruker valgtreet fra eksempel 22.
P(GJ ) = 0,514 ⋅ 0, 486 = 0, 250
P( JG ) = 0, 486 ⋅ 0,514 = 0, 250
Dermed er
P(én gutt og én jente) = P(GJ eller JG )
= P(GJ ) + P( JG )
= 0, 250 + 0, 250
= 0,500
= 50, 0 %
b
P(minst én gutt) =
1 − P(to jenter) =
1 − P( JJ )
=
1 − 0, 4862 =
0, 764 =
76, 4 %
c
P(minst én jente) =
1 − P(to gutter) =
1 − P(GG )
=
1 − 0,5142 =
0, 736 =
73, 6 %
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 26 av 34
Løsninger
Oppgave 6.82
a
Se figuren til høyre.
b
P(to FOX) = P( FF ) =
c
P(to NOX) = P( NN ) =
d
e
15 14
⋅
= 0,35 = 35 %
25 24
10 9
⋅ = 0,15 = 15 %
25 24
P(nøyaktig én FOX) = P( FN eller NF )
= P( FN ) + P( NF )
15 10 10 15
=
⋅ + ⋅
25 24 25 24
2 ⋅ 15 ⋅ 10
=
= 0,50
= 50 %
25 ⋅ 24
P(minst én FOX) = 1 − P(ingen FOX)
=
1 − P( NN ) =
1 − 0,15 =
0,85 =
85 %
Oppgave 6.83
a
b
Se figuren til høyre.
1 Det er to måter vi kan trekke én kule i hver farge,
nemlig først å trekke en blå og så en gul kule,
eller først å trekke en gul og så en blå kule.
Fra produktsetningen får vi
5 3 15
P( BG ) = ⋅ =
8 7 56
3 5 15
P(GB) = ⋅ =
8 7 56
Addisjonssetningen gir dermed
P(én av hver) = P( BG eller GB)
= P( BG ) + P(GB)
15 15 15
=
+
=
= 0,536 = 53, 6 %
56 56 28
2 P(samme farge) = 1 − P(forskjellig farge)
=
1 − P(én av hver) =
1 − 0,536 =
0, 464 =
46, 4 %
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 27 av 34
Løsninger
Oppgave 6.84
a
Se figuren til høyre.
b
P(to seigdamer) = P( DD) =
c
P(to seigmenn) = P( MM ) =
d
e
12 11
⋅ = 0,347 = 34, 7 %
20 19
8 7
⋅ = 0,147 = 14, 7 %
20 19
P(én av=
hver) P( MD eller=
DM ) P( MD) + P( DM )
8 12 12 8 2 ⋅ 8 ⋅ 12
=
⋅ + ⋅ =
20 19 20 19 20 ⋅ 19
= 0,505
= 50,5 %
P(minst én seigmann) = 1 − P(to seigdamer)
=
1 − 0,347 =
0, 653 =
65,3 %
Oppgave 6.85
a
b
c
1
av lykkehjulet. Sannsynligheten for at det stopper på det røde feltet
3
1
1
er derfor . Tilsvarende er sannsynligheten for at lykkehjulet stopper på det gule feltet .
6
3
Produktsetningen for uavhengige hendelser gir dermed
1 1 1
P( RG ) = P( R) ⋅ P(G ) = ⋅ =
3 6 18
Det røde feltet dekker
1 1 1
⋅ =
6 3 18
Fra addisjonssetningen får vi
P(GR) = P(G ) ⋅ P( R) =
P(én rød og én gul) = P( RG eller GR) = P( RG ) + P(GR) =
1 1 1
+ =
18 18 9
Oppgave 6.86
a
Sannsynligheten for å score på et straffespark er 80 % = 0,80 .
Sannsynligheten for å score på begge straffesparkene er derfor
P(to mål) = 0,80 ⋅ 0,80 = 0, 64 = 64 %
b
Sannsynligheten for å bomme på et straffespark er 20 % = 0, 20 .
Mona kan score på nøyaktig ett straffespark på to måter: hun kan score på det første og
bomme på det andre straffesparket, eller omvendt.
P( SB) = P( S ) ⋅ P( B) = 0,80 ⋅ 0, 20 = 0,16
P( BS ) = P( B) ⋅ P( S ) = 0, 20 ⋅ 0,80 = 0,16
Dermed er
P(ett mål) = P( SB eller BS ) = P( SB) + P( BS ) = 0,16 + 0,16 = 0,32 = 32 %
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 28 av 34
Løsninger
Oppgave 6.87
a
Sannsynligheten for at en gutt er rødgrønn fargeblind er 8 %.
Da er sannsynligheten for at en gutt ikke er rødgrønn fargeblind 92 %.
Sannsynligheten for at verken Jonas eller Martin er fargeblinde er altså
P(ingen fargeblind) = 0,92 ⋅ 0,92 = 0,846 = 84, 6 %
b
Det er to måter nøyaktig én av dem kan være rødgrønn fargeblind, nemlig at det er enten
Jonas eller Martin som er fargeblind, samtidig som den andre ikke er fargeblind.
P(kun Jonas) = 0, 08 ⋅ 0,92 = 0, 0736
P(kun Martin) = 0,92 ⋅ 0, 08 = 0, 0736
Dermed er
P(nøyaktig én fargeblind) =0, 0736 + 0, 0736 =0,147 =14, 7 %
Oppgave 6.88
a
b
c
d
e
Se figuren til høyre.
Av valgtreet ser vi at det er fire måter vi kan få
nøyaktig én rød kule på, nemlig RB, RG, BR og GR.
Addisjonssetningen gir dermed
P(én rød kule) = P( RB) + P( RG ) + P( BR) + P(GR)
5
5
5
5
=
+
+ +
= 0,530 = 53, 0 %
33 44 33 44
Det er fire måter vi kan nøyaktig én
blå kule på, nemlig RB, BR, BG og GB. Dermed er
P(én blå kule) = P( RB) + P( BR) + P( BG ) + P(GB)
5
5 1 1
=
+ + + = 0, 485 = 48,5 %
33 33 11 11
Det er fire måter vi kan nøyaktig én
gul kule på, nemlig RG, BG, GR og GB. Dermed er
P(én gul kule) = P( RG ) + P( BG ) + P(GR) + P(GB)
5 1
5 1
=
+ +
+ = 0, 409 = 40,9 %
44 11 44 11
Det er seks måter vi kan få forskjellig farge på,
nemlig RB, RG, BR, BG, GR og GB. Det gir
P(forskjellig farge)
= P( RB) + P( RG ) + P( BR) + P( BG ) + P(GR) + P(GB)
5
5
5 1 5 1
= +
+ + +
+ = 0, 712 = 71, 2 %
33 44 33 11 44 11
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 29 av 34
Løsninger
Oppgave 6.89
a
Merk: I 1. opplag av boka er det en trykkfeil i oppgave a. Vi skal her bestemme
sannsynligheten for det tre hendelsene gitt i prikkpunktene, dvs. BRR, RBR og RRB.
Feilen er rettet i 2. opplag av boka.
2
.
5
Dermed er det igjen én blå og tre røde kuler i esken. Hvis andre kule blir rød, er det til slutt
igjen én blå og to røde kuler. Altså er
2 3 2
P( BRR) = ⋅ ⋅ = 0, 20 = 20 %
5 4 3
Tilsvarende finner vi at
3 2 2
P( RBR) = ⋅ ⋅ = 0, 20 = 20 %
5 4 3
3 2 2
P( RRB) = ⋅ ⋅ = 0, 20 = 20 %
5 4 3
Vi kan få nøyaktig én blå kule på tre måter, nemlig ved å trekke kulene i rekkefølgen BRR,
RBR eller RRB. Siden de tre hendelsene er disjunkte, gir addisjonssetningen
P(nøyaktig én blå kule) = P( BRR eller RBR eller RRB)
= P( BRR) + P( RBR) + P( RRB)
Det er to blå og tre røde kuler i esken. Sannsynligheten for at første kule er blå, er da
b
c
P(nøyaktig én blå kule) = P( BRR) + P( RBR) + P( RRB) = 20 % + 20 % + 20 % = 60 %
Sannsynligheten for at vi får nøyaktig én blå kule er 60 %.
Oppgave 6.90
Det er tre måter det kan være nøyaktig én jente i søskenflokken, nemlig at enten den eldste, den
mellomste eller den yngste er jente, mens de to andre er gutter. Altså er
P(én jente og to gutter) = P( JGG ) + P(GJG ) + P(GGJ )
For hvert av de tre barna er P( J ) = 0, 486 og P(G ) = 0,514 . Dermed er
P( JGG ) = P( J ) ⋅ P(G ) ⋅ P(G ) = 0, 486 ⋅ 0,514 ⋅ 0,514 = 0, 486 ⋅ 0,5142
P(GJG ) = P(G ) ⋅ P( J ) ⋅ P(G ) = 0,514 ⋅ 0, 486 ⋅ 0,514 = 0, 486 ⋅ 0,5142
P(GGJ ) = P(G ) ⋅ P(G ) ⋅ P( J ) = 0,514 ⋅ 0,514 ⋅ 0, 486 = 0, 486 ⋅ 0,5142
Sannsynligheten for at det er én jente og to gutter i søskenflokken er derfor
P(én jente og to gutter) =
3 ⋅ 0, 486 ⋅ 0,5142 =
0,385 =
38,5 %
Oppgave 6.91
a
Vi kan anta at blodtypen til de to personene er uavhengige av hverandre.
For hver av dem er sannsynligheten for blodtype 0 lik 40 %. Dermed er
P(begge blodtype 0) = 0, 40 ⋅ 0, 40 = 0,16 = 16 %
b
Hendelsene «begge blodtype 0» og «minst én ikke blodtype 0» er komplementære. Altså er
P(minst én ikke blodtype 0) =
1 − P(begge blodtype 0) =
1 − 0,16 =
0,84 =
84 %
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 30 av 34
Løsninger
c
Det er to måter én av personene kan ha blodtype A og én blodtype 0, nemlig at person 1 har
blodtype A og person 2 blodtype 0 (A0), og omvendt (0A). Sannsynligheten for de to
= P(A) ⋅ P(0) og P(0A) =P(0) ⋅ P(A) =P(A) ⋅ P(0) . Altså er
hendelsene er like, siden P(A0)
P(én blodtype A og én blodtype 0) =
2 ⋅ P(A) ⋅ P(0) =
2 ⋅ 0, 48 ⋅ 0, 40 =
0,384 =
38, 4 %
d
Hvis de to personene er slektninger, er ikke blodtypene uavhengige av hverandre.
Vi må derfor forutsette at personene ikke er slektninger for å kunne bruke produktsetningen
for uavhengige hendelser.
Oppgave 6.92
a
Det er 4 blå (B), 2 grå (G) og 6 svarte (S) sokker i skuffen, til sammen 12 sokker.
Fra produktsetningen får vi da
4 3 1
P( BB) = ⋅ = = 0, 091 = 9,1 %
12 11 11
b
P(GG ) =
c
P( SS ) =
d
e
2 1
1
⋅ =
= 0, 015 = 1,5 %
12 11 66
6 5
5
⋅ =
= 0, 227 = 22, 7 %
12 11 22
Det er tre måter vi kan få to sokker med samme farge på, nemlig BB, GG og SS.
Sidene hendelsene er disjunkte, er
1 1
5 1
P(samme farge) =P( BB) + P(GG ) + P( SS ) = + +
= =0,333 =33,3 %
11 66 22 3
Hendelsene «samme farge» og «forskjellig farge» er komplementære. Derfor er
1 2
P(forskjellig farge) =1 − P(samme farge) =1 − = =0, 667 =66, 7 %
3 3
Kapitteltest
Del 1 – Uten hjelpemidler
Oppgave 1
a
b
Det er g = 3 røde bluser, og m = 12 bluser totalt i klesskapet.
Sannsynligheten for at blusen er rød er derfor
g 3 1
P(rød)
= = =
m 12 4
Tenk at det er g grønne bluser i klesskapet. Sannsynligheten for at Hanna velger en grønn
bluse er 25 % = 0, 25 . Det gir likningen
g
= 0, 25
12
=
g 0, 25 ⋅ 12
g =3
Hanna har 3 grønne bluser.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 31 av 34
Løsninger
Oppgave 2
a
b
4
.
6
Hvis Louise først velger sjokolade, er det igjen 3 sjokoladebiter og 2 karameller i skåla.
3
Den betingede sannsynligheten for at også den andre biten blir sjokolade er derfor .
5
Produktsetningen gir dermed
4 3 2
P(to sjokoladebiter) = ⋅ =
6 5 5
Hendelsene «to sjokoladebiter» og «minst én karamell» er komplementære. Derfor er
2 3
P(minst én karamell) =1 − P(to sjokoladebiter) =1 − =
5 5
Sannsynligheten for at den første biten blir sjokolade, er
Oppgave 3
a
Vi får krysstabellen:
Spansk
Ikke spansk
Totalt
b
c
Tysk
2
4
6
Ikke tysk
8
6
14
Totalt
10
10
20
Det er 6 elever som verken har spansk eller tysk.
6
3
= = 0,30
= 30 %
20 10
Sannsynligheten for at reiselederen verken har spansk eller tysk er 30 %.
Det er 8 elever som har spansk, men ikke tysk.
8
4
= = 0, 40
= 40 %
20 10
Sannsynligheten for at reiselederen har spansk, men ikke tysk, er 40 %.
Oppgave 4
Vi regner ut sannsynlighetene for å kunne sammenlikne.
a
I hvert av kastene er sannsynligheten
1
for å få mynt.
2
Sannsynligheten for å få to mynt når du kaster to pengestykker er derfor
b
1 1 1
⋅ =.
2 2 4
De gunstige utfallene for hendelsen «to eller færre øyne» er 1 og 2.
Sannsynligheten for å få to eller færre øyne når du kaster en terning er derfor
2 1
= .
6 3
Vi ser altså at a er mindre sannsynlig enn b.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 32 av 34
Løsninger
c
d
2 1
= .
6 3
De gunstige utfallene er (1 , 5) , (2 , 5) , (3 , 5) , (4 , 5) , (5 , 1) , (5 , 2) , (5 , 3) , (5 , 4) , (5 , 5) ,
(5 , 6) og (6 , 5) . Det er altså 11 gunstige utfall, og 36 utfall totalt.
11
Sannsynligheten for å få minst én femmer når du kaster to terninger er derfor
.
36
De gunstige utfallene er 5 og 6. Sannsynligheten er derfor
1 1 ⋅ 12 12
1 11
= =
Siden
ser vi at > . Altså er c mer sannsynlig enn d.
3 3 ⋅ 12 36
3 36
Del 2 – Med hjelpemidler
Oppgave 5
a
b
c
d
Det er 25 elever i klassen, og til sammen fem av dem røyker.
5 1
= = 0, 200= 20, 0 %
25 5
Sannsynligheten for at eleven røyker er 20,0 %.
Det er 14 jenter i klassen. Tre av jentene røyker. Det er altså 11 jenter som ikke røyker.
11
= 0,=
786 78, 6 %
14
Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt jente ikke røyker er 78,6 %.
Det er 20 elever som ikke røyker.
20
Sannsynligheten for at den første eleven ikke røyker er derfor
.
25
Hvis vi først velger en elev som ikke røyker, er det igjen 5 røykere og 19 ikke-røykere.
19
.
Den betingede sannsynligheten for at den andre eleven heller ikke røyker er derfor
24
Produktsetningen gir dermed
20 19
P(ingen røyker) = ⋅ = 0, 633 = 63,3 %
25 24
For at nøyaktig én av elevene skal røyke, må enten den første eleven være røyker (R) og den
andre ikke-røyker (I), altså RI, eller omvendt (IR). Vi får da
5 20 1
P( RI ) = ⋅
=
25 24 6
20 5 1
P( IR) =
⋅
=
25 24 6
1 1 1
P(nøyaktig én røyker) = P( RI ) + P( IR) = + = = 0,333 = 33,3 %
6 6 3
Sannsynligheten for at nøyaktig én av elevene røyker er 33,3 %.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 33 av 34
Løsninger
Oppgave 6
a
Sannsynligheten er 99,0 % for at testen viser at hun er gravid.
1, 0 % .
Sannsynligheten for at testen tyder at hun ikke er gravid er derfor 100 % − 99, 0 % =
b
De to testene er uavhengige.
Sannsynligheten for at begge testene viser graviditet (G) er derfor
P(GG ) = P(G ) ⋅ P(G ) = 0,990 ⋅ 0,990 = 0,980 = 98, 0 %
c
Hendelsene «begge viser graviditet» og «minst én viser ikke graviditet» er komplementære.
Dermed er
P(minst én viser ikke graviditet) = 1 − P(begge viser graviditet)
=
1 − P(GG ) =
1 − 0,980 =
0, 020 =
2, 0 %
Oppgave 7
a
b
c
For hvert av de tre skuddene er sannsynligheten 85 % for at Emil treffer blinken.
P(tre treff ) = 0,85 ⋅ 0,85 ⋅ 0,85 = 0,853 = 0, 614 = 61, 4 %
Sannsynligheten er 61,4 % for at han treffer blinken med alle skuddene.
Sannsynligheten er 15 % for å bomme for hvert av skuddene.
P(ingen treff ) = 0,15 ⋅ 0,15 ⋅ 0,15 = 0,153 = 0, 0034 = 0,34 %
Sannsynligheten er 0,34 % for at kan ikke treffer blinken en eneste gang.
Det er tre måter Emil kan treffe blinken på nøyaktig én gang, nemlig utfra hvilket av de tre
skuddene som treffer. Hvert av disse utfallene består av én treff og to bom.
Sannsynligheten for hvert av de tre utfallene er derfor den samme. Altså er
P(nøyaktig én treff ) =
3 ⋅ 0,85 ⋅ 0,15 ⋅ 0,15 =
0, 057 =
5, 7 %
Sannsynligheten for at Emil treffer blinken nøyaktig én gang er 5,7 %.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 34 av 34