Eksamen 2015 - Universitetet i Oslo

UNIVERSITETET I OSLO
Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet
Eksamen i
INF1080 — Logiske metoder for informatikk
Eksamensdag:
9. desember 2015
Tid for eksamen:
09.00 – 13.00
Oppgavesettet er på 4 sider.
Vedlegg:
Ingen
Tillatte hjelpemidler: Ingen
Kontroller at oppgavesettet er komplett før
du begynner å besvare spørsmålene.
• Det er mulig å få 100 poeng totalt, og for hver oppgave er det angitt det maksimale
antall poeng.
• Det er mange oppgaver, så pass på at du bruker tiden din godt. Hvis du bruker 20
minutter på 10 poeng, så vil du ha 3 timer og 20 minutter til alle oppgavene, og da
vil du ha 40 minutter til å se over alt til slutt.
• Husk at det faktisk er noen som skal lese veldig nøye det du skriver. Sørg for at det
du skriver er klart, tydelig og enkelt å forstå, både når det gjelder form og innhold.
Sjekk at begrunnelsene dine er gode.
• Lykke til!
Oppgave 1
Mengdelære (10 poeng)
La A = {1, 2, {1, 3}} og B = {1, 3, {1, 2}}.
(a) [4 poeng] Er følgende påstander sanne eller usanne?
1. 3 ∈ A
2. 3 ∈ B
3. {1, 3} ⊆ A
4. {1, 3} ⊆ B
2. A ∩ B
3. A ∪ B
4. P(A)
(b) [4 poeng] Regn ut:
1. A \ B
(c) [1 poeng] Regn ut {1, 2} × {1, 3}.
(d) [1 poeng] Hva er kardinaliteten til {1, 2} × {1, 3}. Begrunn svaret ditt.
(Fortsettes på side 2.)
Oppgave 2
Relasjoner (10 poeng)
La R = {h1, 2i, h2, 3i} og S = {h1, 2i, h2, 1i, h3, 4i} være binære relasjoner på {1, 2, 3, 4, 5}.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
[2 poeng] Hva er den symmetriske tillukningen av R?
[2 poeng] Hva er den refleksive tillukningen av R?
[2 poeng] Hva er den transitive tillukningen av S?
[2 poeng] Hva er den symmetriske og transitive tillukningen av S?
[2 poeng] Hva er den refleksive, symmetriske og transitive tillukningen av S?
Oppgave 3
Funksjoner (10 poeng)
La f : {a, b, c} → {1, 2, 3} være gitt ved {ha, 1i, hb, 3i, hc, 2i}.
(a) [2 poeng] Er f injektiv, surjektiv, bijektiv eller ingen av delene?
La A, B, C, D være delmengder av {1, 2, 3} og f : A → B og g : C → D funksjoner.
(b) [4 poeng] Velg A, B og f slik at f er injektiv, men ikke surjektiv.
(c) [4 poeng] Velg C, D og g slik at g er surjektiv, men ikke injektiv.
Oppgave 4
Utsagnslogikk (10 poeng)
(a) [2 poeng] Sett opp sannhetsverditabellen for ¬P → Q.
For hver av følgende formler, skriv hvilke av de fire egenskapene gyldig, kontradiktorisk,
oppfyllbar og falsifiserbar formelen har. Du trenger ikke å begrunne svaret.
(b) [2 poeng] (P → Q) → P
(c) [2 poeng] P → (Q → P)
Hvis F og G er utsagnslogiske formler, så skriver vi F ⇒ G når G er en logisk konsekvens
av mengden som består av formelen F.
(d) [2 poeng] Vis at ⇒ er en transitiv relasjon.
(e) [2 poeng] Vis at ⇒ ikke er en anti-symmetrisk relasjon.
2
Oppgave 5
Førsteordens logikk (10 poeng)
(a) [5 poeng] Her er noen førsteordens formler. Sett ⇒-piler som angir hvilke formler
som er logiske konsekvenser av hvilke formler. For eksempel, sett en pil fra F til
G hvis G er en logisk konsekvens av F. Det er ikke nødvendig å sette en pil fra en
formel til seg selv.
∀x∀yRxy
∀x∃yRxy
∃y∀xRxy
∃x∃yRxy
(b) [5 poeng] Spesifiser en førsteordens modell M med domene {1, 2, 3} som oppfyller
følgende formler, men som er slik at R ikke tolkes som en refleksiv relasjon. Du
trenger ikke å begrunne at modellen oppfyller formlene.
∀x∃y(Rxy)
Oppgave 6
∀x∀y(Rxy → Ryy)
Naturlig deduksjon (10 poeng)
(a) [5 poeng] Gi et bevis for formelen A ∧ (B ∧ C) → (A ∧ C) i naturlig deduksjon.
(b) [5 poeng] Gi et bevis for formelen ¬P → (P → Q) i naturlig deduksjon.
Oppgave 7
Induksjon og rekursjon (10 poeng)
La A være alfabetet {a, c, e}. La språket U være den minste mengden slik at følgende
holder:
• e∈U
• Hvis x ∈ U og y ∈ U, så er xy ∈ U.
• Hvis x ∈ U, så er axa ∈ U.
• Hvis x ∈ U, så er cxc ∈ U.
(a) [1 poeng] Er aea ∈ U?
(b) [1 poeng] Er aea ∈ U?
(c) [1 poeng] Er acac ∈ U?
(d) [1 poeng] Er acecceca ∈ U?
Vi definerer nå funksjonen f : U → Z ved rekursjon på følgende måte.
• f(e) = 0
• f(xy) = f(x) + f(y)
• f(axa) = −f(x)
• f(cxc) = 2 · f(x)
(e) [1 poeng] Regn ut f(aeacaeac).
(f) [5 poeng] Vis ved strukturell induksjon på U at f(x) = 0 for alle x ∈ U.
3
Oppgave 8
Grafteori og trær (10 poeng)
Et tre er en sammenhengende, asyklisk graf. En node med grad én i et tre kalles en
løvnode.
(a) [2 poeng] Tegn alle trær med fire noder.
(b) [3 poeng] Tegn et tre som har seks noder, hvorav nøyaktig to er løvnøder.
(c) [5 poeng] Bevis at hvis du har et tre og legger til en kant (men ikke en node), har
du ikke lenger et tre.
Oppgave 9
Abstrakt algebra (10 poeng)
Finn førsteordens formler som representerer følgende utsagn. Anta at signaturen er
h e ; + ; = i og at + og = begge har aritet 2.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
[2 poeng] Operasjonen + er kommutativ.
[2 poeng] Operasjonen + er assosiativ.
[2 poeng] Elementet e er et identitetselement for operasjonen +.
[2 poeng] Alle elementer har en invers.
[2 poeng] Den unære operasjonen f er idempotent.
Oppgave 10
Automater / ekvivalensklasser (10 poeng)
La A være alfabetet {1, 2, 3} og la følgende være en deterministisk, endelig
tilstandsmaskin. La S være mengden av alle strenger som aksepteres av denne
tilstandsmaskinen, det vil si språket som denne tilstandsmaskinen definerer.
start
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
3
1,2,3
(a) [4 poeng] Finn ett regulært uttrykk som representerer S.
La relasjonen y på strenger være definert slik at (s y t) holder nøyaktig når t
fremkommer fra s ved å flytte tegnet lengst til venstre slik at det havner lengst til
høyre. For eksempel vil 123 y 231 og 311 y 113. Mer generelt vil (xs y sx) holde for
alle strenger s og tegn x. La være den transitive tillukningen av y. Denne relasjonen
blir en ekvivalensrelasjon på S. For eksempel har vi at 123 312 og 11 11. Denne
ekvivalensrelasjonen gir opphav til mange ekvivalensklasser.
(b) [3 poeng] Hva er ekvivalensklassen til 123?
(c) [3 poeng] Hvilke ekvivalensklasser har nøyaktig to elementer?
4