Løsningsforslag

Matematikk for IT
Prøve 1
Torsdag 17. september 2015
Løsningsforslag
22. september 2015
Oppgave 1
Gitt følgende mengder
A = {0, 1, 2, 3, 4}, B = {0, 1, 2} og C = {0, 3, 6, 9}
Universet er
U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
a) Finn A – C.
A – C = {1, 2, 4}
b) Finn B  A .
Her må vi først finne B  A :
B  A  0, 1, 2, 3, 4
Komplementet av dette er
B  A   5, 6, 7, 8, 9
Oppgave 2
Bruk venndiagram til å løse følgende problem.
Gitt to mengder A og B. Anta nå at
B A
En tredje mengde C er gitt ved
C  A B
Hva er da C  B ?
Vi tegner først et venndiagram som viser B  A :
A
B
Mengden C = A – B er da den skraverte delen i følgende venndiagram:
A
C
B
Vi ser av dette venndiagrammet at B og C er disjunkte mengder, og følgelig er
CB 
Oppgave 3
Gitt mengden A = {1, 2, 3, 4}. Det er definert en relasjon, R, på A ved
R   ( x, y)
x| y 
altså at x har relasjon til y dersom x deler y.
a) Skriv relasjonsmengden på listeform og tegn relasjonen som en rettet graf.
R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 4)}
2
1
2
3
4
b) Er relasjonen en delvis ordning, en ekvivalensrelasjon eller ingen av delene? Begrunn
svaret.
For å svare på dette må vi undersøke relasjonens egenskaper.
Vi ser at relasjonen er refleksiv fordi alle elementer har relasjon til seg selv.
Relasjonen er ikke symmetrisk fordi vi for eksempel har (1, 2) men mangler (2, 1).
Relasjonen er antisymmetrisk fordi vi ikke har noen symmetriske par.
Relasjonen er transitiv fordi vi ikke har noen par som er moteksempler. Vi har for
eksempel (1, 2) og (2,4), og har da også (1, 4) slik vi skal.
En relasjon som er refleksiv, antisymmetrisk og transitiv, er en delvis ordning.
c) Tegn Hasse-diagrammet til R dersom det finnes.
Hasse diagrammet kan vi få av den rettede grafen i spørsmål a). Vi fjerner først de
refleksive kantene, og får følgende diagram:
1
3
2
4
Dernest fjerner vi de kantene som ikke er nødvendige fordi vi vet at relasjonen er
transitiv (fordi det er en delvis ordning). Dette gjelder da kanten (1, 4):
3
1
2
3
4
Dernest ordner vi nodene slik at alle pilene peker oppover, og fjerner deretter retningen
på kantene, og vi får da Hasse-diagrammet:
4
2
3
1
Oppgave 4
Gitt mengdene A = {a, b, c, d} og B = {0, 1, 2, 3}. Det er definert en relasjon, f, fra A til B
ved
f = {(a, 2), (b, 1), (c, 0), (d, 2)}
a) Begrunn at relasjonen f er en funksjon.
Denne relasjonen er en funksjon fordi alle elementene i definisjonsmengden A har
relasjon, og hver av disse relasjonene fra elementer i A er til ett bestemt element i B.
b) Er funksjonen injektiv og/eller surjektiv? Begrunn svaret.
For at funksjonen skal være injektiv, må ulike elementer i definisjonsmengden ha
ulike bilder i verdimengden. Her ser vi imidlertid at både a og d har bildet 2, og
funksjonen er derfor ikke injektiv.
4
For at funksjonen skal være surjektiv må alle elementer i kodomenet være bilde av et
element i definisjonsmengden. Her se vi at 3 ikke er bilde av noe element i
definisjonsmengden, og funksjonen er derfor ikke surjektiv.
c) Finn den inverse relasjonen, f
svaret.
f
f
1
1
. Er denne inverse relasjonen en funksjon? Begrunn
= {(2, a), (1, b), (0, c), (2, d)}
1
er ingen funksjon. Her kan vi velge mellom to begrunnelser (som strengt tatt er
den samme begrunnelsen):
- Fordi f ikke er bijektiv har den ikke noen invers funksjon
1
- Vi ser av relasjonsmengden til f at den ikke oppfyller kravene til en funksjon,
fordi elementet 2 har relasjon til to ulike elementer, og fordi elementet 3 ikke har
relasjon til noe element.
Oppgave 5
Under en flytur ble 210 passasjerer tilbudt te, kaffe og mineralvann til måltidet. Det viste seg
at 41 tok te, 78 tok mineralvann og 115 tok kaffe. Antall som fikk både te og mineralvann var
11, 4 fikk både te og kaffe, mens 1 fikk både te, kaffe og mineralvann. 5 passasjerer tok ikke
imot drikke til måltidet.
a) Hvor mange tok både kaffe og mineralvann?
Vi kaller mengden av de passasjerene som tok te for T, dem som tok kaffe for K og
dem som tok mineralvann for M.
Vi setter opp opplysningene som er gitt i oppgaven:
U  210
T  41
M  78
K  115
T  M  11
T K 4
T  K  M 1
T K M 5
Den siste opplysningen innebærer at antall som drakk et eller annet var
T  K  M  U  T  K  M  210  5  205 .
Fra inklusjons- og eksklusjonsprinsippet har vi:
T K M  T  K  M  T K  T M  K M  T K M
5
Vi skal finne K  M så vi flytter dette leddet over på venstre side og flytter
leddet T  K  M over på høyre side, og får da:
K M  T  K  M  T K  T M  T K M  T K M
Setter vi nå inn tall, finner vi
K  M  41  115  78  4  11  1  205  15
b) Hvor mange drakk enten kaffe eller te eller begge deler, men ikke mineralvann?
Her kan det være lurt å bruke et venndiagram for å finne hvordan man skal regne ut
dette:
T
K
M
Her er den mengden vi er ute etter den som er gråfarget, altså (T  K )  M . Antall
elementer i denne kan vi regne ut slik:
(T  K )  M 
T  K  T  K  T  M  | K  M | T  K  M 
41 + 115 – 4 – 11 – 15 + 1 = 127
En alternativ måte å regne ut dette på, er å si at dette er det totale antallet på flyet
minus dem som tok mineralvann og minus dem som ikke drakk noe:
(T  K )  M  U  M  T  K  M 
210 – 78 – 5 =127
Her er en oversikt over antall elementer i alle de ulike delene av disse mengdene, i
tilfelle noen lurer på det (dette var det ikke spørsmål etter):
6
T
K
3
27
97
5
1
14
10
53
M
Oppgave 6
En gruppe mennesker består av 7 kvinner og 6 menn. Av denne gruppen skal det velges ut en
komite på 5 personer som skal bestå av 3 kvinner og 2 menn. Hvor mange ulike slike komiteer
kan man danne?
Antall måter man kan trekke ut 3 kvinner fra en gruppe på 7 kvinner, er (fordi dette er uordnet
utvalg uten tilbakelegging)
7
7!
7!
7  6  5  4 !
  


 35
3

3
!
(
7

3
)!
3
!

4
!
3

2

1

4
!
 
Antall måter vi kan trekke ut 2 menn fra en gruppe på 6 menn, er
 6
6!
6!
6  5  4 !
  


 15
 2  2!(6  2)! 2!  4! 2 1 4 !
For hvert uttrekk av kvinner til komiteen, kan vi altså trekke ut 15 ulike varianter av menn til
komiteen. Antall ulike komiteer blir da totalt
35 ∙ 15 = 525
Oppgave 7
12
4 8
Finn faktoren foran leddet x y i ekspansjonen av ( x  y) .
Siden du ikke har kalkulator, trenger du ikke å regne ut denne faktoren, men bare sette opp
uttrykket og forkorte brøken du får så mye som mulig.
Denne faktoren kan finnes ved hjelp av binomialformelen, og er gitt ved
12 
12!
12! 12 1110  9  8! 12 1110  9
  



 11 5  9  495
8! 4  3  2 1
4  3  2 1
 8  8!(12  8)! 8!  4!
7
Oppgave 8
a) Konvertér 1101011012 til heksadesimalt (altså grunntall 16).
Vi grupperer tallet i fire og fire bit og begynner bakerst, altså 1 1010 11012:
11012 = 1310 =D16
10102 = 1010 = A16
12 = 110 = 116
Derfor: 1101011012 = 1AD16
b) Benytt binær multiplikasjon for å finne 11012 ∙ 1102
1101
∙110
0000
1101
1101
1001110
8