INF3170 / INF4171 - Naturlig deduksjon
Transcription
INF3170 / INF4171 - Naturlig deduksjon
Naturlig deduksjon Regler Bevis INF3170 / INF4171 Naturlig deduksjon Andreas Nakkerud 25. august 2015 Sunnhet Naturlig deduksjon Regler Bevis Sunnhet Bevissystem: Naturlig deduksjon Vi skal se på en stuktur vi kaller utledning (eng: derivation). En utledning D med konlusjon φ skrives D φ Til å begynne med skal vi ikke definere meningsinnholdet av et bevis, men vi skal hinte til betydninger der det helper oss å rettfrediggjøre en definisjon. Naturlig deduksjon Regler Bevis Modus ponens Utledningene vi skal lage bygges opp fra regler (eng: rules). Den første reglen vi innfører er motivert av den kjente reglen modus ponens: φ φ→ψ ψ Intiusjonen bak denne reglen er at vi fra antakelsene φ og φ → ψ kan konkludere ψ. Reglen over kalles ofte →-eliminasjon (→ E ). Sunnhet Naturlig deduksjon Regler Bevis ∧-introduksjon Følgende regel er et eksempel på hvordan en utledning bygger opp til større formler: φ ψ φ∧ψ Reglen over kalles ∧-introduksjon (∧I ). Formlene over streken i en regel kalles premisser, formelen under streken kalles konklusjonen. Sunnhet Naturlig deduksjon Regler Bevis Sunnhet Eksempel: En enkel utledning φ1 φ1 → ψ1 →E ψ1 ψ1 ∧ ψ2 ψ2 ∧I Konklusjonen i en regel kan være et premiss for en annen. På denne måten bygger vi utledninger med flere premisser, men kun én konklusjon. Naturlig deduksjon Regler Bevis ∧-regler Introduksjon: φ ψ ∧I φ∧ψ Eliminasjon: φ∧ψ ∧E φ φ∧ψ ∧E ψ Sunnhet Naturlig deduksjon Regler Bevis →-regler Introduksjon: [φ] .. . ψ →I φ→ψ Eliminasjon: φ φ→ψ →E ψ Sunnhet Naturlig deduksjon Regler Bevis ⊥-regler Ex falsum sequitur quodlibet: ⊥ ⊥ φ Reductio ad absurdum: [¬φ] .. . ⊥ RAA φ Sunnhet Naturlig deduksjon Regler Bevis Sunnhet Antakelser og lukking av antakelser φ1 φ1 → ψ1 →E ψ1 ψ1 ∧ ψ2 ψ2 ∧I Utledninger har en trestruktur der roten er konklusjonen og de premissene som ikke også er konklusjoner er løvnodene. Disse premissene kalles ofte antakelser (eng: hypothesis, assumption). Reglene RAA og → I tillater at vi lukker antakelser. Vi gjør dette fordi antakelsene ikke lenger er premisser for utledningens konklusjon. Naturlig deduksjon Regler Bevis [φ ∧ ψ]1 [φ ∧ ψ]1 ∧E ∧E ψ φ ∧I ψ∧φ → I1 φ∧ψ →ψ∧φ I den nederste reglen eliminerer vi φ ∧ ψ som antakelse, ved å ta delformelen inn i konklusjonen. Sunnhet Naturlig deduksjon Regler Bevis Negasjon I naturlig deduksjon lar vi ¬φ være en forkortelse for φ → ⊥. [(φ → ⊥) → ⊥]1 [φ → ⊥]2 →E ⊥ RAA 2 φ → I1 ((φ → ⊥) → ⊥) → φ I anvendelsen av RAA konkluderer vi at antakelsen φ → ⊥ leder til en motsigelse, og vi konkluderer derfor φ uten antakelsen φ → ⊥. Sunnhet Naturlig deduksjon Regler Bevis Definisjon: Utledning Mengden av utledninger er den minste mengden X slik at φ ∈ X for alle φ ∈ PROP. D0 D 0 D D Hvis , 0 ∈ X , så er også φ φ0 ∈ X . φ φ φ ∧ φ0 D D D ∈ X , så er også φ ∧ ψ , φ ∧ ψ ∈ X . Hvis φ∧ψ φ ψ Sunnhet Naturlig deduksjon Regler Bevis Definisjon: Utledning φ Hvis D ∈ X , så er også ψ [φ] D ∈ X. ψ φ→ψ D0 Hvis D , ∈ X , så er også φ φ→ψ D D0 φ φ → ψ ∈ X. ψ Sunnhet Naturlig deduksjon Regler Bevis Definisjon: Utledning D Hvis D ∈ X , så er også ⊥ ∈ X . ⊥ φ [¬φ] ¬φ Hvis D ∈ X , så er også D ∈ X . ⊥ ⊥ φ Sunnhet Naturlig deduksjon Regler Bevis Lukking av antakelser Lukking av antakelser er ikke påbudt. [φ ∧ ψ]1 φ∧ψ ∧E ∧E ψ φ ∧I ψ∧φ → I1 φ∧ψ →ψ∧φ Det er skjeldent meningsfullt å la antakelser stå åpne. En utledning uten åpne antakelser kalles ofte et bevis (eng: proof ). Sunnhet Naturlig deduksjon Regler Bevis Lukking av antakelser Det er kun tillatt å lukke antakelser i delbevisene som danner premissene for reglen som lukker antakelsene. [P]1 [P]1 [P]1 ∧I P ∧P → I1 P → (P ∧ P) →E P ∧P ∧E P Vi har nå et bevis for den atomære formelen P, noe vi trolig ikke ønsker at skal være mulig. Sunnhet Naturlig deduksjon Regler Bevis Definisjon: Relasjonen ` La Γ ⊆ PROP og φ ∈ PROP. Hvis det finnes en utledning med konklusjon φ, der alle åpne antakelser forekommer i Γ, sier vi at φ kan utledes fra Γ, og skriver Γ ` φ. Dersom Γ = ∅ skriver vi ` φ, og sier at φ er et teorem. Sunnhet Naturlig deduksjon Regler Bevis Sunnhet Eksempel Vis at hvis Γ ∪ {φ} ` ψ, så har vi også at Γ ` φ → ψ. φ Anta at Γ ∪ {φ} ` ψ. Da finnes det en utledning D . Vi kan ψ [φ] D utvide denne utledningen til , hvor alle åpne ψ φ→ψ antakelser er i Γ. Naturlig deduksjon Regler Bevis Lemma: Sunnhet Vi skal nå diskutere meningsinnholdet i utledningene vi har definert. Følgende lemma sier at våre utledninger kun kan komme til sanne konklusjoner: Γ ` φ ⇒ Γ |= φ (Sunnhet) La D være en utledning med åpne antakelser i Γ, og med konklusjon φ. Vi viser ved induksjon over D at Γ |= φ. Sunnhet