Rapport fra karakterundersøkelsen i matematikk i GLU

Transcription

ARBEIDSGRUPPE NEDSATT AV NASJONALT RÅD FOR LÆRERUTDANNING: CHRISTIANSEN, ENGE, LODE
17.03.15
Rapport fra karakterundersøkelsen i matematikk i GLU-utdanningene i 2014
Rapport fra karakterundersøkelsen i
matematikk i GLU-utdanningene i 2014
Etter vedtak i NRLU-AU i november 2013, nedsatte UHR i januar 2014 en arbeidsgruppe for
å stå for gjennomføring av arbeidet med karakterundersøkelsen i lærerutdanningene, etter
opplegg foreslått av en arbeidsgruppe høsten 2013Arbeidsgruppen har bestått av Andreas
Christiansen, Høgskolen Stord/Haugesund, Ole Enge, Høgskolen i Sør-Trøndelag og Beate
Lode, Høgskolen i Bergen.
Gruppen fikk i oppgaven å planlegge og gjennomføre undersøkelser, seminar og konferanse
som er skissert i notat utarbeidet av NRLUs arbeidsgruppe høsten 2013.
http://www.uhr.no/documents/Karakterundersokelse_i_matematikk___notat_fra_arbeidsgrup
pen_1.pdf
Undersøkelsen har så langt omfattet gjennomgang og undersøkelse av emneplaner,
eksamensoppgaver, eksamensbesvarelser og karakterlister i matematikk fra matematikkemner
primært i grunnskolelærerutdanning. Det har også vært arrangert et nasjonalt seminar om
vurderingsordninger i lærerutdanning (april 2014) og en nasjonal konferanse med foredrag og
diskusjon omkring karaktersetting/sensurering og om nasjonale retningslinjer for
karaktersetting (september 2014).
Arbeidsgruppens oppsummering, og om arbeid videre
Arbeidsgruppen opplever at fagmiljøet i GLU-utdanningene i matematikk ønsker et tettere
samarbeid om utarbeidelse av eksamensoppgaver og vurdering av eksamensbesvarelser.
Gruppen ønsker at den foreliggende rapport skal være et steg mot å etablere et felles språk for
å kunne drøfte innholdet i eksamensoppgaver, og for å diskutere og karaktersette
eksamensbesvarelser.
Om arbeidet og arbeid videre:
-
-
Forslag til retningslinjer for karaktersetting, med begrunnelser for valg og
utarbeidelse, sendes ut på høring i fagmiljøet.
Fagmiljøet ønsker at institusjonene innfører en ordning med tilsynssensorer, sensorer
som bidrar med utarbeidelse og vurdering av eksamensoppgaver. Arbeidsgruppen vil
oppfordre fagmiljøet til å samarbeide om å utvikle eksamensoppgaver for å øke
bevisstheten om hva som bør testes.
Arbeidsgruppen ønsker at arbeidet med kvalitetssikring av eksamensoppgaver og bruk
av retningslinjene for karaktersetting vil bli gjenstand for kontinuerlig drøfting innad i
fagmiljøet. En slik drøfting kan for eksempel skje under den årlige
etterutdanningskonferansen for lærerutdannere i matematikk.
Arbeidsgruppen mener at mye av arbeidet som er gjort i samband med karakterundersøkelsen,
herunder innsamling av karakterdata, eksamensoppgaver og svar, emneplaner, og utarbeidelse
1
17.03.15
av nasjonale retningslinjer for karaktersetting basert på fem kjerneområder, kan tilpasses til
andre fag i GLU-utdanningene.
Forslag til nasjonale retningslinjer for karaktersetting i matematikk i
grunnskolelærerutdanningene
Forslagene til retningslinjer bygger på arbeidet gjort i forbindelse med nasjonal
karakterkonferanse i september 2014. Konferansen hadde to nært beslektede temaer for
GLU-utdanningene:
 Beskrive minimumskriterier for å få karakteren E, altså bestått, i matematikk ved
lærerutdanningene
og
 Utforme et første forslag til nasjonale retningslinjer for karaktersetting i matematikk
Det første punktet blir i all hovedsak slått sammen med det andre ut fra en oppfatning av at
retningslinjene i sin beskrivelse av karakteren E gir minimumskriterier, men
minimumskriteriene vil også bli drøftet under avsnittet Bruk av retningslinjene.
Et utgangspunkt er at retningslinjene skal fange opp forhold som er essensielle og/eller
særegne for GLU-utdanningene i matematikk. For å få til dette er det viktig å se på hva
forskning sier hva undervisningsarbeid i matematikk går ut på, og ta utgangspunkt i de
nasjonale retningslinjene for faget i GLU-utdanningen.
En rekke internasjonale studier har sett på hva det innebærer å være matematikklærer.
Studiene har undersøkt hva slags matematikkunnskap en lærer bør ha, og hvordan ulik faglig
bakgrunn i matematikk påvirker lærerens arbeid i klasserommet. Sentrale forskere innen dette
temaet er Deborah L. Ball og hennes medarbeidere (se f.eks. Ball & Bass, 2003; Ball,
Lubiensky, & Mewborn, 2001, Ball, Thames, & Phelps, 2008). Hun og hennes medforskere
har gjort et omfattende forsknings- og utviklingsarbeid hvor de har videreutviklet Shulmans
(1987) kategorisering av lærerkunnskap til å gjelde matematikkundervisning. Andre
internasjonale forskere som har studert lærerkunnskap og undervisning av matematikk er
Blömeke (2014), Löen m.fl. (2013), Ruthven & Rowland (2011), Hill m.fl.., (2008), Ma
(1999) og Fennema m.fl. (1992). Fra Danmark har vi KOM–rapporten (Niss, 2002) sin
beskrivelse av matematikklærerkompetanser. Norske forskere som har arbeidet med dette er
blant andre Fauskanger & Mosvold (2013), Hole & Kleve (2012), Solem & Hovik (2012),
Fauskanger, Bjuland & Mosvold (2010), Kleve (2010 a, b) og Enge & Valenta (2010). Disse
studiene synliggjør ulike aspekt ved læreres kunnskaper, og de beskriver en lærerkunnskap
som er kompleks og omfattende. Forskning viser altså at det å være lærer i matematikk i
grunnskolen er både faglig og fagdidaktisk krevende.
Ball, Thames og Phelps (2008) har identifisert en rekke utfordringer knyttet til det arbeidet
lærere gjør i forbindelse med undervisning i matematikk (se også D. Ball, 2009, Jakobsen,
Fauskanger, Mosvold, & Bjuland, 2014). Disse inkluderer blant annet å:
 Presentere matematiske ideer
 Vurdere og evaluere elevers matematiske påstander eller utsagn (ofte raskt)
2
17.03.15
 Bruke og analysere representasjoner, knytte representasjoner til underliggende ideer
og foreta overganger mellom ulike representasjoner
 Velge og utvikle gode definisjoner
 Bruke matematisk notasjon og språk og vurdere bruken av dette
 Gi og analysere matematiske forklaringer
 Generere enklere eller komplekse versjoner av et problem
 Stille fruktbare matematiske spørsmål
 Hvorfor virker dette? Virker det for alle tilfeller? Har vi alle løsninger? Hva er
sammenhengen mellom disse to representasjonene?
 Tenke på spesielle tilfeller, grensetilfeller
Mye av dette finner vi igjen i de nasjonale retningslinjene for GLU-utdanningene i
matematikk. Om faget i lærerutdanningen heter det:
Matematikklærere skal legge til rette for helhetlig matematikkundervisning i tråd med relevant
forskning og gjeldende læreplan. Dette krever ulike typer kompetanse. For eksempel skal
lærerne kunne analysere elevenes matematiske utvikling, være gode matematiske veiledere og
samtalepartnere, kunne velge ut og lage gode matematiske eksempler og oppgaver, og kunne
evaluere og velge materiell til bruk i matematikkundervisningen. De må kunne se på matematikk
som en skapende prosess og kunne stimulere elevene til å bruke sine kreative evner.
Basert på forskning nevnt ovenfor og de nasjonale retningslinjer for lærerutdanningene har
arbeidsgruppen kommet fram til fem områder som strukturerer retningslinjene for
karaktersetting i matematikk i GLU-utdanningene. Arbeid med disse områdene er sentralt i
alle undervisningsaktiviteter i matematikk. Områdene er:





Matematisk språk og kommunikasjon
Bruke representasjoner
Argumentere, begrunne og bevise
Oppfatte og tolke elevers uttrykk for matematisk forståelse
Legge til rette for undervisningsaktiviteter som fremmer elevers matematiske
kompetanse, kreativitet og positive holdning til matematikk
Disse kategoriene må ikke betraktes som isolerte områder. De er ofte overlappende og tett
sammenflettet. Nedenfor utdyper områdene med vi med eksempler som beskriver et område.
Matematisk språk og kommunikasjon: Å bruke matematisk språk på en korrekt og presis
måte består av å kunne forstå og bruke matematiske symboler i utregninger, slik som å regne
2 1
ut x 2  4 x  3  0 eller : . Lærerstudenter må kunne vurdere egen og andres bruk av
3 4
matematisk notasjon og språk. En viktig bit her er å kunne vurdere og utvikle definisjoner i
matematikk. For eksempel det å vite definisjonen av et partall og kunne vurdere hvilke av
disse som er korrekte:
a. Et partall er et tall som kan deles i to like store deler.
3
17.03.15
b.
c.
d.
e.
Et partall er ethvert multiplum av 2.
Et partall er ethvert heltallig multiplum av 2.
Et partall er alle tall der sifferet på enerplassen er 0, 2, 4, 6 eller 8.
Et naturlig tall er et partall hvis det er summen av et naturlig tall med seg selv.
(fra Ball, 2011, vår oversettelse)
Videre ligger det i denne kategorien det å kunne gjennomføre, analysere og drøfte
matematiske diskusjoner (se for eksempel Enge & Valenta, 2014), og det å kunne gi
undervisningsforklaringer i matematikk (se for eksempel Dahl, 2014).
Selv om all bruk av matematisk språk skjer via bruk av ulike representasjoner så er bruken av
representasjoner og skifte mellom representasjoner en sentral indikator på matematisk
begrepsforståelse, og en sentral del av det å gjøre og lære matematikk (se Kilpatric,
Swafford, & Findell, 2001, side 119, Duval, 2006). Så bruken av representasjoner løftes fram
som et eget snetralt område i undervisningsarbeid i matematikk.
Bruke Representasjoner:«En representasjon er noe som står for noe annet» (Duval, 2006,
side 103, vår oversettting).Representasjoner inkluderer det matematiske symbolspråket,
muntlig språk, illustrasjoner og tegninger. Å bruke og analysere representasjoner er blant
annet å vite hvilke representasjoner som er nyttige i en gitt situasjon og til et gitt formål, for
eksempel vite hvilke regnefortellinger som passer til divisjonsstykket 36: 0,5. Et annet
eksempel er å vite hvilke styrker og svakheter som ligger i tolkningen av brøk som del av en
5
helhet, hva skjer for eksempel når du skal representere brøken i denne modellen? Det å
3
kunne å knytte en representasjon til en annen representasjon, gjøre overganger mellom
representatsjoner, er en viktig del av læring og undervising av matematikk (se for eksempel
Duval, 2006, Ball m.fl, 2008). Et eksempel er hvordan knytte 𝑦 = 3𝑥 + 1til en grafisk
representasjon av denne sammenhengen. Et annet eksempel er hvordan
elever/lærere/lærerstudenter kan bruke en illustrasjon/regnefortelling til å argumentere for en
regnestrategi, for eksempel hvorfor 18 ∙ 5 = (20 − 2) ∙ 5 = 20 ∙ 5 − 2 ∙ 5 = 100 − 10 (se
Valenta & Enge, 2013. For andre eksempler på utfordinger med overganger mellom
representasjoner se Berg, 2013, og Måsøval, 2011, side 218-222). I denne kategorien ligger
det også kompetanse om bruke av ulike verktøy for undervising og læring av matematikk, for
eksempel bruk av konkreter eller bruken av digitale hjelpemidler som for eksempel
dynamiske geometriprogram.
Å argumentere, begrunne og bevise: I dette området ligger det at en selv kan argumentere
for matematiske påstander og gjennomføre matematisk gyldige begrunnelser. Et eksempel er
å kunne begrunne en regnestrategi innen multiplikasjon, og argumentere for at den gjelder for
alle positive tall. Et annet eksempel er det å kunne bevise Pythagoras teorem, eller å kunne
bevise at produktet av to partall er et partall. Et krav til slike begrunnelser/bevis er at de må
være tilgjengelige for elever i grunnskolen. Det innebærer at studenten, avhengig av hvilket
klassetrinn elevene er på, må kjenne til og kunne bruke matematisk gyldige
argumentasjonsformer som representasjonsbevis, generisk eksempel og algebraiske bevis. For
eksempel må studentene kunne se forskjellen på følgende to utsagn fra tredjeklassinger som
skal argumentere for at summen av to oddetall er et partall:
4
17.03.15
a. Alle oddetall hvis du tar en sirkel om to og to så er det en til overs. Så, hvis du legg
sammen to oddetall så vil de to enerne som var til overs slå seg sammen og danne et
partall. Det er fordi alle partall hvis du tar en sirkel om to og to så blir det ingen til
overs.
b. Hvis du legg sammen to oddetall så vil de to enerne som var til overs slå seg sammen
og danne et partall.
(hentet fra Stylianides, 2008, vår oversettelse)
Forklaringen i a er et gyldig matematisk bevis, mens den i b ikke viser til noen definisjon av
verken partall eller oddetall. Sslik mangler den viktige elementer som må være til stede i
tredjeklassingers begynnende forståelse for partall, oddetall og bevis (se Stylianides, 2008,
side 12). Videre må studenter vurdere elevers begrunnelser og eventuelt bygge videre på
disse.
Oppfatte og tolke elevers uttrykk for matematisk forståelse: Lærerstudenter må kunne
oppfatte elevers gryende matematiske begrepsforståelse og prosedyrebeherskelse. Dette
innebærer blant annet å kunne oppfatte hva elever sier og gjør, gi tilbakemeldinger og/eller
bygge den videre undervisningen opp rundt slike innspill. Et eksempel er en fjerdeklassing
som skal regne 12 ∙ 10 og som i stedet regner 11 ∙ 11. Studentene må kunne oppfatte at dette
ikke gir samme svar, tolke det som en mulig overgeneralisering fra addisjon av positive
heltall, 12+10=11+11, og kunne gjennomføre en undervisningssekvens slik at
fjerdeklassingen selv kan se at svaret er feil og hva som kan gjøres for å finne det riktige
svaret. En måte å gjøre det på er å legge opp til resonnering omkring utregningen av stykkene,
for eksempel ta i bruk modeller for multiplikasjon i resonneringen og utregningen.
Et annet eksempel er ungdomsskoleelevene som løste ligningen 2 x 
2 x 2
3
  5 x   slik:
2x
5
4
5
17.03.15
Studentene må kunne tolke det eleven har gjort og vurdere hvilke tilbakemeldinger som skal
gis, og eventuelt foreslå og begrunne undervisningsaktiviteter som vil støtte eleven i
hans/hennes læring.
Legge til rette for undervisningsaktiviteter: Lærerstudenter må kunne velge oppgaver og
aktiviteter som legger til rette for læring i matematikk. Dette innebærer blant annet å kunne
vurdere og tilpasse innholdet i lærebøker. Videre må de kunne tilpasse eller utvikle opplegg
slik at alle elever får utfordringer. Slike valg og tilpassninger må de kunne begrunne ut fra
nødvendig matematisk kunnskap og relevant matematikkdidaktisk forskning. For eksempel så
kan de gjøre valg ut fra ulike kategoriseringer av oppgaver. En slik kategorisering finnes i
Stein, Smith, Henningsen, & Silver (2000) De beskriver et opplegg/en oppgave ved dens/dets
kognitive krav og har fire nivåer:
a. Det å huske resultater (Memorization)
b. Å kunne gjennomføre prosedyrer uten dette knyttes til noen begrunnelser eller til en
underliggende mening (Procedures without connections)
c. Opplegg som knytter sammen prosedyrer og begreper, opplegg der prosedyrer må
begrunnes, knyttes til mening (Procedures with connections)
d. Opplegg med aktiv utforsking og begrunnelser, fokus på begreper og sammenhenger
mellom matematiske ideer (Doing mathematics)
6
17.03.15
(se også Skott, Jess, & Hansen, 2008, Stein, Remillard, & Stein, 2007).
Et annet eksempel er hvordan studentene kan bruke Van Hieles nivåer for geometrisk
forståelse, utvidelser og kritikk av denne, i planlegging av undervisningsaktiviteter i geometri.
En måte å gjøre et opplegg/en oppgave mer åpent for utforskning er å fjerne informasjon fra
eller tilføye ny informasjon til en oppgave. For eksempel så kan oppgaven 9376 – 2469 =
erstattes med 9_76 – 2469 =.
(se Prestage & Perks, 2001, se også Skott, Jess, & Hansen, 2008, kap. 6).
Studentene må kjenne til ulike typer opplegg og aktiviteter. De må kunne utforme opplegg
som støtter opp om utvikling av begrepsforståelse, resonneringsevne, og utvikling av
matematisk språk. En sentral aktivitet her kan være matematisk modellering.
Basert på disse fem områdene foreslår vi følgende retningslinjer for karaktersetting i GLUutdanningen innen matematikk:
7
17.03.15
Forslag til retningslinjer for karaktersetting:
A
Betegnelse
Fremragende
Beskrivelse
Fremragende prestasjon som klart utmerker seg.
 Kandidaten kan bruke matematisk språk på en svært presis
måte.
 Kandidaten har svært god kunnskap om den betydningen
semiotiske representasjonsformer har i matematikk, kan
tolke, velge, lage og bruke representasjoner ut fra hensikten
i en gitt situasjon, og utnytte potensialet i ulike
representasjoner . Kandidaten ser klart hvilke utfordringer
som er knyttet til overganger mellom representasjonsformer.
 Kandidaten kan korrekt argumentere for, begrunne og
eventuelt bevise matematiske utsagn på en måte som er
forståelig for grunnskoleelever.
 Kandidaten kan på en overbevisende måte oppfatte og tolke
uttrykk for elevers matematiske forståelse, og kan bruke
dette til å drøfte undervisningsepisoder på en svært god
måte.
 Kandidaten kan på en svært god måte legge til rette for
undervisningsaktiviteter som fremmer elevers matematiske
kompetanse, kreativitet og positive holdning til matematikk.
Kandidaten kan på en svært god måte forankre sine opplegg
og synspunkter i relevant matematisk kunnskap og
matematikkdidaktisk forskning.
B
Meget god
Meget god prestasjon som klart skiller seg ut.
 Kandidaten kan bruke matematisk språk på en presis måte.
 Kandidaten har meget god kunnskap om den betydningen
tolke, velge, lage og bruke representasjoner på en effektiv
måte. Kandidaten ser godt hvilke utfordringer som er knyttet
til overganger mellom representasjonsformer.
 Kandidaten kan korrekt argumentere for, begrunne og
eventuelt bevise matematiske utsagn på en måte som er
 Kandidaten kan på en meget god måte oppfatte og tolke
uttrykk for elevers matematiske forståelse, og kan bruke
dette til å drøfte undervisningsepisoder på en meget god
måte.
 Kandidaten kan på en meget god måte legge til rette for
Kandidaten kan på en meget god måte underbygge sine
opplegg og synspunkter med relevant matematikkdidaktisk
forskning.
8
17.03.15
C
Betegnelse
God
Beskrivelse
God prestasjon.
 Kandidaten kan bruke matematisk språk på en god måte.
 Kandidaten har god kunnskap om den betydningen
tolke, velge, lage og bruke representasjoner på en god måte.
Kandidaten ser hvilke utfordringer som er knyttet til
overganger mellom representasjonsformer.
 Kandidaten kan argumentere for, begrunne og eventuelt
bevise matematiske utsagn på en måte som er forståelig for
grunnskoleelever.
 Kandidaten kan på en god måte oppfatte og tolke uttrykk for
elevers matematiske forståelse, og kan bruke dette til å
drøfte undervisningsepisoder på en god måte.
 Kandidaten kan på en god måte legge til rette for
Kandidaten kan på en god måte underbygge sine opplegg og
synspunkter med relevant matematikkdidaktisk forskning.
D
Nokså god
Nokså god prestasjon
 Kandidaten kan bruke matematisk språk, men til dels blir
framstillingen upresis og umatematisk.
 Kandidaten har kunnskap om den betydningen semiotiske
representasjonsformer har i matematikk, og kan i noen grad
tolke, velge, lage og bruke representasjoner. Kandidaten ser
bare i bregrenset grad hvilke utfordringer som er knyttet til
overganger mellom representasjonsformer.
 Kandidaten kan argumentere for, begrunne og eventuelt
bevise matematiske utsagn. Framstillingen er delvis upresis
eller kan være vanskelig å følge for grunnskoleelever.
 Kandidaten kan oppfatte og tolke uttrykk for elevers
matematiske forståelse, men tolkningene blir ofte på et
generelt nivå, og drøftingene av undervisningssituasjoner
blir generelle.
 Kandidaten kan på en begrenset måte legge til rette for
Kandidaten kan delvis underbygge sine opplegg og
synspunkter med relevant matematikkdidaktisk forskning.
9
17.03.15
E
Betegnelse
Tilstrekkelig
Beskrivelse
Prestasjon som er akseptabel ved at den tilfredsstiller
minimumskravene.
 Kandidaten kan bruke matematisk språk på en
tilfredsstillende måte, men språket er til dels upresist og
umatematisk.
 Kandidaten har noe kunnskap om den betydningen
semiotiske representasjonsformer har i matematikk, men har
problemer med å tolke, velge, lage og bruke
representasjoner. Kandidaten ser i svært begrenset grad
hvilke utfordringer som er knyttet til overganger mellom
representasjonsformer.
 Kandidaten kan til en viss grad argumentere for, begrunne
og eventuelt bevise matematiske utsagn, men har problemer
med å gjøre dette på en måte som er forståelig for
grunnskoleelever.
 Kandidaten kan til en viss grad oppfatte og tolke uttrykk for
elevers matematiske forståelse. Kandidaten klarer i liten
grad å drøfte undervisningsepisoder.
 Kandidaten kan til en viss grad legge rette for
kompetanse, kreativitet og positive holdning til matematikk,
men aktivitene blir ofte av generell karakter. Kandidaten
underbygger i liten grad sine opplegg og synspunkter med
relevant matematikkdidaktisk forskning.
F
Ikke bestått
Prestasjon som ikke tilfredsstiller minimumskravene.
 Kandidaten kan ikke bruke matematisk språk på en
tilfredsstillende måte, språket er upresist, og stor grad ikke
matematisk korrekt.
 Kandidaten har ikke tilstrekkelig kunnskap om den
betydningen semiotiske representasjonsformer har i
matematikk.
 Kandidaten kan ikke i tilstrekkelig grad argumentere for,
begrunne eller bevise matematiske utsagn på en måte som er
 Kandidaten oppfatter og tolker ikke i tilstrekkelig grad
elevers matematiske forståelse.
 Kandidaten kan ikke i tilstrekkelig grad legge til rette
kompetanse. Kandidaten kan ikke underbygge sine opplegg
10
17.03.15
En kommentar til retningslinjene og læringsutbytteformuleringer
Enkelte læringsutbytteformuleringer er utformet slik at de vil være i konflikt med forslagene
til retningslinjer for karaktersetting. I innledningen til Matematikk 1 1-7 og 5-10 står det at
kravene til undervisningskunnskap blant annet medfører «solid og reflektert forståelse for den
matematikken elevene skal lære». Dette blir så forsterket under utbytteformuleringene til at
studenten skal ha «inngående undervisningskunnskap». I retningslinjene for karakteren D står
det blant annet at «Kandidaten kan bruke matematisk språk, men til dels blir framstillingen
upresis og umatematisk». Upresis og utmatematisk kan ikke gå sammen med solid og
reflektert forståelse og vil slik kunne medføre problemer for bruken av retningslinjene og
karakterene D og E.
I læringsutbytteformuleringene for Matematikk 2 5-10 finner en at kandidaten «har god
kunnskap i matematisk analyse, inkludert derivasjon, integrasjon, differensialligninger og
enkle matematiske modeller og kan relatere disse begrepene til det matematikkfaglige
innholdet i trinn 5-10». Slik retningslinjene er utformet vil «god kunnskap i matematisk
analyse» kunne føre til problemer med bruken av karakterene D og E. Tilsvarende gjelder for
utbytteformuleringen i Matematikk 1 1-7 der studenten «har gode praktiske ferdigheter i
muntlig og skriftlig kommunikasjon i matematikkfaget …».
Sensurarbeid
På karakterkonferansen ble det diskutert eksamensformer og ulik bruk av sensorer. Det ble
uttrykt et stort ønske om å gjeninnføre ekstern sensor ved alle eksamener. Flere uttrykte et
ønske om også å kunne ha tilsynssensorer knyttet til sin institusjon. Dette er sensorer som er
tenkt å fungere som en konsulent under utarbeidelsen av eksamener/eksamensoppgaver og
som skal vurdere selve vurderingsformen. En kan tenke seg en måte å gjøre dette på er at
hvert universitet og høgskole knytter til seg inntil 3 eksterne tilsynssensor som er konsulenter
under utarbeidelsene av eksamensoppgaver. Det er ønskelig at slike tilsynssensorer er knyttet
til en institusjon over en lengre periode, gjerne i en treårsperiode.
Karakteroversikt for 2013
Vi vil her vise en oversikt over karakterfordelingen i noen utvalgte emner på GLUutdanningene. Vi ser på statistikk for det første emnet i Matematikk 1 for 1–7 og 5–10 siden
det er de to emnene som gis ved flest institusjoner og som har størst antall
eksamensbesvarelser. Første tabell er over Matematikk 1 1–7 første emne.
11
17.03.15
Tabellen viser karakterfordelingen i for Matematikk 1 1–7 første emne (tallene er antall
kandidater):
Institusjon
HiB
HiT
HiBusk
HiSF
HiH
HVO
HiØ
HSH
UiS
UiA
UiN
HiST
NLA
HiOA
HiNT
HiNE
HiVe
Kar a
13
13
2
1
0
1
3
1
5
12
0
9
2
4
1
2
8
Kar b
33
19
7
6
5
3
12
2
7
9
0
16
1
17
3
3
8
Kar c
48
14
9
14
13
13
17
9
7
28
6
33
5
47
7
10
14
Kar d
25
5
10
9
8
12
7
7
5
11
6
40
5
37
12
5
1
Kar e
17
2
4
2
12
5
5
2
7
6
6
34
2
28
2
1
2
Kar f
10
3
8
6
2
11
8
7
12
3
4
28
2
74
3
0
0
Antall
146
56
40
38
40
45
52
28
43
69
22
160
17
207
28
21
33
1045
Snittkar
C
C
D
D
D
D
C
D
D
C
D
D
D
D
D
C
B
(Snittkarakter er funnet ved å la A=5, B=4,…E=1, F=0.)
Fra UiT har vi kun eksamensdata for emne 2.
Vi har kjørt en kjikvadrattest som viser at det er en sammenheng mellom institusjon og
karakterfordeling. Det kan være mange årsaker til en slik sammenheng, for eksempel nivå på
de aktuelle studentene, ulik vanskelighetsgrad i de gitte eksamenene, ulik vurderingsstrenghet,
ulik eksamensform, og/eller mangel på ekstern kontroll (for eksempel i form av
tilsynssensorer, eksterne sensorer). Vi har ikke data for å kunne si noe om
årsakssammenhengen.
12
17.03.15
Neste tabell viser karakterfordelingen for Matematikk 1 5–10 første emne (tallene er antall
kandidater):
Institusjon
HiB
HiT
HiBusk
HiSF
HiH
HVO
HiØ
HSH
UiS
UiT
UiA
UiN
HiST
NLA
HiOA
HiNT
Kar a
2
4
2
2
2
1
0
1
0
5
2
2
14
0
8
2
Kar b
9
7
3
11
5
1
6
2
5
2
4
5
28
3
20
8
Kar c
6
10
9
10
5
8
10
12
9
3
9
12
45
4
20
7
Kar d
9
8
7
4
4
7
6
1
10
8
6
7
31
5
11
7
Kar e
1
3
3
8
3
1
4
2
0
2
4
3
16
3
5
1
Kar f
0
5
13
6
7
1
1
0
7
9
6
3
21
3
3
5
Antall
27
37
37
41
26
19
27
18
31
29
31
32
155
18
67
30
625
Snittkar
C
C
D
D
D
C
C
C
D
D
D
C
C
D
C
C
(Snittkarakter er funnet ved å la A=5, B=4,…E=1, F=0.)
Høgskolen i Vestfold hadde karakterene bestått/ikke bestått på sin eksamen, med 33 bestått og
1 ikke bestått som resultat.1 Igjen så ser vi at det er en sammenheng mellom institusjon og
karakterfordeling. Årsakene til en slik sammenheng er de samme som nevnt ovenfor for
Matematikk 1 1-7. Vi har ikke data til å kunne si noe om årsakssammenhengene.
Ser vi på det skriftlige materialet som er samlet inn, så finner vi at selve eksamensoppgavene
er til dels meget ulike. Dette er naturlig med tanke på ulikt pensum og ulik vekting av
fagdidaktiske emner på de ulike institusjonene, men fagmiljøet bør etterstrebe en større
enighet om hva en tester på eksamen.Arbeidsgruppen vil oppfordre fagmiljøet til å
samarbeide om å utvikle eksamensoppgaver for å øke bevisstheten om hva som bør testes.
Her vil vi igjen peke på bruken av tilssynssensorer som en mulig del av et slikt arbeid.
Matematikk 1 i grunnskolelærerutdanningen 1–7. trinn – Det helhetlige bildet
Vi vil peke på noen utfordringer knyttet til det å gi et oversiktsbilde av hva som måles og
framkommer i karakterstatistikker på avlagte eksamener i Matematikk 1 ved de ulike
høgskoler og universiteter for studieåret 2013- 2014. For å få oversikt, er det vesentlig å finne
likheter mellom innhold og organisering av kurset ved de forskjellige institusjonene. Men for
å forstå og sammenlikne, er det like vesentlig å løfte fram ulikheter på dette området. Hvis vi
velger å se på innhold og organisering som et landskap å orientere seg i, vil nettopp det å
beskrive et mangfold være betegnende. Se oversikt i vedlegg 1.
1
Høgskolen i Nesna er ikke med i oversikten siden de hadde mindre enn fem kandidater.
13
17.03.15
Alle emner til Matematikk 1 i grunnskolelærerutdanningen 1–7 er utviklet i tråd med nasjonal
forskrift og nasjonale retningslinjer. Retningslinjene inneholder fastlagte læringsutbyttebeskrivelser som er felles og gjelder for alle som tilbyr disse kursa ved de ulike høgskoler og
universiteter.
Matematikk 1 (1–7) er et profesjonsrettet kurs hvor praksis skal være en integrert del av
virksomheten. Dette kan organiseres på forskjellige måter – det overordnete målet er at
studentene oppnår læringsutbytte i tråd med beskrivelsene i de nasjonale retningslinjene. Ved
å se hvordan Matematikk 1 (1–7) er organisert ved 13 høgskoler (en privat inkludert) og 4
universiteter, finner en flere variabler, slik som om pensum om arbeidskrav er knyttet til
praksis eller mer rene matematikkoppgaver, og/eller ulik grad av å trekke inn
matematikkdidaktisk forskning. Ved noen institusjoner er arbeidskravene tenkt å være
forberedende til eksamen, mens andre steder er de tenkt å være supplerende. Det varierer også
når i utdanningen Matematikk 1 tilbys, og over hvor lang tid studiet foregår.
Ved alle de 13 høgskolene og 4 universitetene er det felles at kurset er delt i to
moduler/emner. Dette gir nok et bidrag til flere ulikheter ved at læringsutbyttebeskrivelsene i
de to modulene kan splittes opp på ulike måter. Samtidig viser det seg at denne splittingen
gjør at moduler ved noen institusjoner likner hverandre i oppbygging og innhold. Ved enkelte
høgskoler/universiteter er læringsutbyttebeskrivelsene ytterligere utdypet og svært detaljrike.
Ved 10 institusjoner blir det gitt en skriftlig individuell eksamen på den ene modulen/emnet,
og en muntlig individuell eksamen på den andre modulen/emnet. Hvilken modul som har
hvilken eksamensform kan variere. Ved en institusjon blir det gitt på tilsvarende måte to
skriftlige individuelle eksamener. To institusjoner har både en skriftlig og en muntlig
individuell eksamen på hver av sine to moduler, vektet etter en oppgitt prosent, og som
munner ut i en karakter for hver modul. En annen variant er en muntlig og en skriftlig
individuell eksamen på en og samme modul, som så vektes, og en skriftlig individuell
eksamen på den andre modulen. Videre finnes kombinasjon av skriftlig hjemmeeksamen og
individuell muntlig eksamen (vektet og slått sammen), og kombinasjon av muntlig
gruppeeksamen og individuell skriftlig eksamen (vektet og slått sammen). Variasjonen i
eksamensformer må ses som et svar på at undervisningskunnskap i matematikk er kompleks
og omfattende, og at noen eksamensformer i seg selv, blir vurdert til å kunne belyse enkelte
kunnskaper og kompetanser på en bedre måte enn andre.
Om koblingen mellom eksamensform og læringsutbytte
Ved høgskoler og universiteter som driver utdanning innenfor grunnskolelærerutdanningene
er det vanlig å dele 30 stp matematikkfag i to delemner og variere eksamensformene i de to
emnene. Valg av eksamensform er gjerne bestemt ut i fra hva studentene skal måles i, men er
ikke knyttet til avgrensede læringsutbyttebeskrivelser.
En bestemt eksamensform er ikke alene egnet til å måle et læringsutbytte. En
hjemmeeksamen kan for eksempel inneholde oppgaver som kan måle kandidatens
fagdidaktiske kunnskaper (se Jacobsen m.fl., 2014, Ball m.fl., 2008) som det å oppfatte og
tolke elevers ulike uttrykk for matematisk kunnskap innenfor et bestemt område, og hvor
han/hun kan komme med forslag til hvordan hun vil hjelpe eleven videre i sin læring. Når
kandidaten formulerer et slikt forslag, vil man også kunne måle matematisk kunnskap
14
17.03.15
gjennom hvor presis den matematisk språkbruken er, om det uttrykkes matematiske feil eller
om språket er unyansert, og om kandidaten velger egnete representasjonsformer og forklarer
på en forståelig måte for den tiltenkte aldersgruppen. Eksamensoppgavene kan gå på
begrepsmessige forhold, eller argumentasjon innenfor bevisførsel og regning. Ved en
hjemmeeksamen, har kandidaten mer tid til å tenke seg om og kan søke informasjon og
veiledning som langt på vei er i tråd med hvordan man som lærer kan forberede seg til
undervisning.
En skriftlig skoleeksamen kan langt på vei, måle de samme undervisningskunnskapene som
beskrevet i avsnittet over. I tillegg vil man kunne måle mer av paratheten i den matematiske
undervisningskunnskapen til kandidatene. På skriftlig eksamen må studentene stå på egne
bein og kvalitetssikre sin egen eksamensbesvarelse. Ved en muntlig eksamen, hevder mange
at man i tillegg til det som kan måles gjennom skriftlig arbeid, kan måle sider ved kandidatens
undervisningskunnskap i matematikk som er tett knyttet til undervisningssituasjoner i
klasserommet. Spesielt pekes det på verdien av den muntlige kommunikasjonsbiten. Muntlig
matematisk språkbruk innbefatter matematisk korrekthet, en presis bruk av begreper og
termer, og argumentasjon som er forståelig for tiltenkt aldersgruppe. En slik muntlig
beherskelse kan ikke måles på en skriftlig eksamen. En tilleggsdimensjon ved
undervisningskunnskap i matematikk som kan måles ved muntlig eksamen, er kandidatens
evne og kunnskap til å improvisere og komme med løsninger, forklaringer og endre retning i
undervisningen ved å kommunisere med elevene og tolke deres uttrykk.
Vi har imidlertid ikke dokumentasjon på eksamensoppgaver gitt ved muntlig eksamen, og det
er ikke gjort undersøkelser på hvordan det spørres og hvilke læringsutbyttebeskrivelser som
måles på muntlig eksamen.
15
17.03.15
Et eksempel på karaktersetting etter retningslinjene
Arbeidsgruppen har et eksempel på hvordan retningslinjene kan brukes i karaktersettingen av
eksamensbesvarelser.
Vi bruker følgende skriftlige eksamen i Matematikk 1 1–7 første emne, 15stp. Grunnen til at
denne er valgt er i hovedsak at arbeidsgruppen hadde tilgang til sensorveiledning og mange
eksamensbesvarelser, og slike kunne vise hvordan retningslinjene kan brukes i
karaktersetting.
Oppgavesettet består av 3 oppgaver. Alle oppgavene skal besvares og svarene begrunnes.
Oppgavene teller i utgangspunktet likt, men den endelige karakteren bygger på en
helhetsvurdering av besvarelsen.
Oppgave 1
a) Regn ut 21·49 på to ulike måter. Bruk regnefortellinger og/eller modeller til å begrunne alle
steg i utregningene dine. Tenk på at du viser bredden i din kompetanse bedre når du velger to
måter som er nokså forskjellige.
b) Kari har regnet ut 21·49 ved å flytte over en ener fra det ene tallet til det andre, og regnet
ut 20·50 = 1000. Hun sier at svaret på 21·49 er det samme som svaret på 20·50, altså 1000.
Hvordan vil du vise til Kari at hun har regnet ut feil, uten at du bare regner ut svaret på
21·49?
c) Tobias går i 4.klasse. Klassen jobber med multiplikasjon.
Plutselig utbryter Tobias: Se her, alle tallene i 8-gangen er også med i 4-gangen.
I. Utforsk om Tobias har rett i sin hypotese. Hvis du kommer frem til at hypotesen
stemmer, skal du argumentere for hvorfor den gjør det «for alle tall i 8-gangen».
II. I neste time ønsker du å ta utgangspunkt i hypotesen til Tobias og lage et opplegg for hele
klassen. Opplegget skal kunne karakteriseres som åpent. Skisser et slikt opplegg og begrunn
hvorfor du mener det er åpent.
Oppgave 2
a) Vi er i en 4. klasse. Klassen arbeider med innledende divisjon av positive heltall. Elevene
har arbeidet med følgende oppgave:
Det er 8 elever som skal dele likt 336 lodd. Loddene kommer enkeltvis eller i striper med
10 lodd i hver stripe. Hvor mange lodd får hver elev?
Etter at elevene har jobbet i smågrupper en stund samler læreren dem i lyttekroken.
Følgende dialog utspiller seg:
1. Lærer: Hvem vil starte? Paula, hva har dere gjort?
2. Paula: Vi tok 10 gange 8 som er 80. Så tok vi 10 gange 8 igjen, og 80 pluss 80 er 160. Så
igjen 10 gange 8, og 160 pluss 80 er 240. En gang til ble 320. Da er det tilbake 16 lodd
som er 2 på hver.
[Lærer skriver på tavla: 10 ∙ 8 = 80, 80 + 80 = 160, 160 + 80 = 240, 240 + 80 = 320, 16: 8 = 2]
3. Lærer: Takk Paula. En annen strategi? Maria og Sally?
4. Maria: Vi gjorde også som Paula og startet med 10 gange 8, som er 80. 80 til blir 160, og
160 pluss 160 er 320. Da var det bare 16 lodd igjen.
[Lærer skriver på tavla:
16
17.03.15
10 ∙ 8 = 80, 80 + 80 = 160, 160 + 160 = 320, 16 lodd igjen]
5. Sally: Så svaret er 42.
6. Lærer: Snu deg til din partner. Se på det Maria og Sally har gjort. Hva har de gjort? Kan
dere forklare hvordan de har tenkt?
[Etter 2 minutter ber læreren Karen om å si hva hun og hennes partner har kommet fram til.]
7. Karen: De tok 10 gange 8, som er 80. En gang til blir 160. Og så dobla de 160. Da fikk de
320 og da er det 16 igjen.
8. Lærer: Takk Karen. Maria og Sally doblet to ganger ja. Enn dere Jack, hva har dere tenkt?
9. Jack: Som Karen, og at det først blir 10 lodd på hver. Neste gang blir det 20, og det
dobbelte av det er 40. Pluss de 2 siste loddene, og da blir det 42.
10. Lærer: Takk Jack, ja 16 lodd delt på 8 elever blir 2 lodd på hver.
11. Tory (ivrig): Jeg gjorde sånn, jeg tenkte på hvor mange tierstriper det er i 336. Og det er
33. Nå er 4 gange 8 lik 32.
12. Paula (avbryter): Men det er jo bare 3 tiere i 336. Det er det midterste tallet som sier hvor
mange tiere det er.
13. Tory: Ja men det er tiere i hundrenene også, i 100 billetter er det 10 striper. Det er 10,
20, 30.
14. Lærer: Det var interessant. Du fant først ut hvor mange tierstriper det var, og så fant du ut
hvor mange striper med ti lodd hver elev fikk. Du tenkte slik?
[skriver på tavla: 33: 4 = 8 med 1 stripe igjen]
15. Tory: Ja.
16. Paula: Jeg vet hva du kan gjøre med den siste tierstripen. Du tar den sammen med de 6
siste loddene, da har du 16. Og jeg vet at 8 gange 2 er 16, så da har vi 4 striper med ti og
2 enkle. Altså 42 lodd.
17. Lærer: Dette var virkelig interessante strategier. Vi kunne gange med 10 og doble eller se
på hvor mange tiere vi hadde totalt. Gå tilbake til gruppene og lag en poster av det dere har
gjort.
I. Beskriv regnestrategiene til Paula, Maria og Sally, og Tory. Drøft likheter og forskjeller i
strategiene.
II. Hva kan være de faglige målene for samtalen? På bakgrunn av det, diskuter om samtalen er
en produktiv matematisk samtale. Identifiser ulike kommunikasjonsteknikker som brukes i
samtalen.
Oppgave 3
a) Hvilken brøk er størst av:
3
3
I. og
8
7
II.
5
6
og
12
13
Du skal i ditt resonnement gjøre rede for hvilke viktige aspekter og strategier ved brøk du
bruker for å avgjøre dette.
b) I en lærebok finner vi følgende spørsmål:
3
I. Hvis 15 drops utgjør av en pose, hvor mange drops er det i posen?
5
5
II. Hvis 15 drops utgjør av en pose, hvor mange drops er det i posen?
4
17
17.03.15
Finn svaret på de to spørsmålene og drøft hva de faglige målene med en slik oppgave kan
være.
2
c) Resonner deg frem til svaret på 2 : . Bruk en regnefortelling og/eller en tegning til å vise
3
hva svaret blir og hvorfor.
I vedlegg 3 finner en eksamensoppgavene, sensorveiledning, seks eksamensbesvarelser og
hvordan flere «sensorer» har brukt retningslinjene i «sensureringen» av besvarelsene.
18
17.03.15
Litteratur:
Ball, D. L., Thames, M. H., & Phelps, G. (2008). Content knowledge for teaching: What
makes it special? Journal of Teacher Education, 59(5), 389–407.
Ball, D. (2009). Making mathematics learnable in school: What is the work of teaching
mathematics? Presented at the Redesigning Pedagogy 3rd International Conference,
Singapore, June 1, 2009. Lastet ned fra http://wwwpersonal.umich.edu/~dball/presentations/index.html
Ball, D. (2011). What do math teachers need to know? Presentation for the Initiative for
Applied Research in Education expert committee at the Israel Academy of Sciences and
Humanities, Jerusalem, Israel, January 30, 2011. Lasted ned fra http://wwwpersonal.umich.edu/~dball/presentations/index.html
Berg C. V. (2013). Enhancing Mathematics Student Teachers’ Content Knowledge:
Conversion between Semiotic Representations. Lastet ned fra
http://cerme8.metu.edu.tr/wgpapers/wg17_papers.html
Blömeke, S. (2014). Framing the enterprise: benefits and challenges of international studies
on teacher knowledge and teacher beliefs—modeling missing links. I S. Blömke, Feng-Jui
Hsieh, G., & W. H. Schmidt (red.), International Perspectives on Teacher Knowledge, Beliefs
and Opportunities to Learn (pp. 3–17). Springer Netherlands.
Dahl, H. (2013). Undervisningsforklaringer i multiplikasjon. Tangenten, 1, 13–16.
Duval, R. (2006). A cognitive analysis of problems of comprehension in the learning of
mathematics. Educational Studies in Mathematics, 61, 103–131.
Enge, O., Valenta, A. (2010). Utvikling av matematikklærerkompetansen hos studenter i
allmennlærerutdanningen. Tidsskriftet FoU i praksis 2010; Volum 4.(3) s. 61–77, HIST.
Enge, O., Valenta, A. (2014). Matematiske diskusjoner om regnestrategier. Tangenten, 2, 40–
49.
Fennema, E., & Franke, M. L. (1992). Teachers' knowledge and its impact. I D. Grouws (red),
Handbook of research on mathematics teaching and learning: A project of the National
Council of Teachers of Mathematics (147-164). New York, NY, England: Macmillan
Publishing Co.
Hill, H. C, Ball, D. L., & Schilling, S. G. (2008). Unpacking pedagogical content knowledge:
Conceptualizing and measuring teachers' topic-specific knowledge of students. Journal for
Research in Mathematics Education, 39(4), 372–400.
Hole, A., & Kleve, B. (2012). The need for horizon content knowledge: examplified by work
with fractions in Norway. I G. Gunnarsdottir, F. Hreinsdottir, G. Palsdottir, M. Hannula, M.
Hannula-Sormunen, E. Jablonka, U. T. Jankvist, A. Ryve, P. Valero & K. Wæge (Red.),
Proceedings of Norma 11, The sixth Nordic conference on mathematics education. Reykjavik:
University of Iceland Press.
19
17.03.15
Jakobsen, A., Fauskanger, J., Mosvold, R., & Bjuland, R. (2014). Undervisningskunnskap i
matematikk for lærere på 1–7 trinn. I Gustavsen, T. S., Hinna, K. R. C., Borge, I. C., &
Andersen, P. S. (red.), QED 1–7, bind 2 (631-656). Cappelen Damm Akademisk.
Kilpatrick, J., Swafford, J.,& Findell, B. (red.). (2001). Adding it up.Washington, DC:
National Academy Press. Kan også lastes ned fra
http://www.nap.edu/openbook.php?record_id=9822
Kleve, B. (2010a). Brøkundervisning på barnetrinnet - aspekter av en lærers
matematikkunnskap. Acta Didactica Norge, 4(1, Art 5), 14.
Kleve, B. (2010b). Contingent Moments in a lesson on fractions. Research in Mathematics
Education, 12(2), 157-158.
Ma, L. (1999). Knowing and teaching elementary mathematics. Lawrence Erlbaum.
Mosvold, R., & Fauskanger, J. (2010). Undervisningskunnskap i matematikk: Tilpasning av
en amerikansk undersøkelse til norsk, og lærernes opplevelse av undersøkelsen. Norsk
Pedagogisk Tidsskrift, 94(2), 112–123.
Måsøval, H. S. (2011). Factors constraining students' establishment of algebraic generality in
shape patterns: A case study of didactical situations in mathematics at a university college.
Kristiansand: University of Agder, Faculty of Engineering and Science. Doctoral dissertations
at University of Agder (38)
Prestage, S., & Perks, P. (2001). Adapting and extending secondary mathematics activities.
New tasks for old. Oxon, UK: David Fulton Publishers.
Ruthven, K., & Rowland, T. (2011). Mathematical knowledge in teaching. US. Springer.
Skott, J., Jess, K., & Hansen, H. C. (2008). Delta, fagdidaktikk. Forlaget Samfundslitteratur.
Solem, I.H. & Hovik, E. (2012). «36 er et oddetall» - Aspekter ved undervisningskunnskap i
matematikk på barnetrinnet. Tidsskriftet FOU i praksis, 6 (1),47–60
Stein, K. K., Remillard, J., & Smith, M. S. (2007). How curriculum influences student
learning. I F. Lester (red.), Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and
Learning (319-369), Vol 1. Information Age Publishing, Charlotte, NC.
Stein, K. K., Smith, M. S., Henningsen, M. A., & Silver, E. (2000). Implementing standardbased mathematics instruction. A casebook for professional development. Reston, VA:
NCTM.
Stylianides, G. (2008). An analytical framework of reasoning-and-proving. For the Learning
of Mathematics, 28, 1.
Valenta, A., Enge, O. (2013). Student teachers' work on instructional explanations in
multiplication - representations and conversions between them. Nordisk matematikkdidaktikk,
Volum 18.(1), 31-59.
20
17.03.15
Vedlegg 1
Oversikt emneplaner Matematikk 1 1-7
Vedlegg 2
Oversikt emneplaner Matematikk 1 5-10
Vedlegg 3
Bruk av retningslinjene i sensurering av eksamensbesvarelser.
21

Rapport fra karakterundersøkelsen i matematikk i GLU

Transcription

Similar documents

Velkommen til presentasjon av Multi!

Søknad om tilrettelegging til eksamen

Samtaletrekk - Matematikksenteret

Regning i alle fag

Offentlig søkerliste avdelingsdirektør for strategi og virksomhetsstyring

Rutinebeskrivelse for hovedvakt ved digital skoleeksamen med

Håndbok Metodeutprøving Ny sjanse (pdf)

a) Lineær sammenheng: e) Informantsubjektiv: brukes hos

Retningslinjer veiledet praksis for tannleger.pdf

Trykk på denne lenken for å få navnene

Profesjonskunnskap for matematikklærerutdannere