Oppgaver med LF

Oppgaver Dag 2
1
Rang
1. La v (1) (2, 3, 1) , v (2) (1, 0, 1) og v (3) (0, 3, −1) . Definer A til å være
3 × 3-matrisen med nevnte vektorer som radvektorer. Regn ut Rank ( A ) . Er
vektorene lineært uavhengige?
Løsning:
2 3 1  0 3 −1 1
1 0 1  ∼ 1 0 1  ∼ 0

 
 
0 3 −1 0 3 −1 0
ikke lineært uavhengige.
0
3
0
1 
−1 . Rangen blir 2 og vektorene er dermed

0 
2. Gjør tilsvarende med vektorene v (1) (1, 0, 1) , v (2) (1, 1, 0) og v (3) (0, 1, 1) .
Løsning:
1 0 1 1
1 1 0 ∼ 0

 
0 1 1 0
0
1
1
1  1
−1 ∼ 0
 
1  0
0
1
0
1 
−1 . Rangen er 3 er de er lineært uavhengige.

2 
3. Rank ( A ) Rank ( B ) betyr ikke at Rank ( A2 ) Rank ( B 2 ) . Finn et moteksempel.
Løsning:
"
1
La A 0
#
"
0
0
og B 0
0
#
1
.
0
4. Vis at Rank ( AB ) Rank ( B T AT ) .
Løsning:
Bruk at Rank ( AB ) Rank (( AB ) T ) Rank ( B T AT ) . Første likhet bruker at
kolonnerang er lik radrang.
5. Vis at hvis A ikke er kvadratisk så er enten kolonnevektorene eller radvek-
1
torene lineært avhengige.
Løsning:
Hvis A er en m × n-matrise og m < n så er Rank ( A ) ≤ m. Det følger at
maksimalt m av de n kolonnene er lineært uavhengige. Tilsvarende for n < m.
2
Vektorrom
6. La A være matrisen fra oppgave 1. Bestem basiser for Row ( A ) , Col ( A ) og
Null ( A ) . Hva er dimensjonene til vektorrommene?
Løsning:
Radrom: { (1, 0, 1) , (0, 3, −1) }, kolonnerom: { (2, 1, 0) , (3, 0, −1) }. Begge har dimensjon lik 2. Nullrom: Echelonform gir at x 3 t er en fri variabel og 3x 2 t,
x2 t/3 og x 1 −x2 −t. Dermed er alle løsninger på formen t (−1, 1/3, 1) og
en basis for nullrommet er { (−1, 1/3, 1) }.
7. Gjør tilsvarende for matrisen i oppgave 2. Siden Rank ( A ) 3 så er dim Null ( A ) 3−3 0. Dermed er Null ( A ) 0. Radrom: { (1, 0, 1) , (0, 1, −1) , (0, 0, 2) }, kolonnerom: { (1, 1, 0) , (0, 1, 1) , (1, 0, 1) }.
8
0
8. Finn basiser for radrom og kolonnerom matrisen 
4
0
Løsning:
8 0 4 8
0 2 0 0

∼
4 0 2 0
0 4 0 0
0
2
0
0
0
2
0
4
4
0
.
2
0
4
0
.
0
0
Radrom: { (8, 0, 4) , (0, 2, 0) }, kolonnerom: { (8, 0, 4, 0) , (0, 2, 0, 4) }.
9. La V være mengden av alle vektorer v ( v1 , v2 , v3 ) slik at v1 + v2 0. Er V et
vektorrom? Hvis ja, finn en basis for V og bestem dimensjonen til vektorromet.
Løsning:
Ja, det er vektorrom. Hvis v ( v1 , v2 , v3 ) og w ( w 1 , w 2 , w 3 ) så er αv 1 +
βw 1 + αv2 + βw 2 α ( v1 + v2 ) + β ( w 1 + w 2 ) 0. En basis for vektorrommet er
{ (1, −1, 0) , (0, 0, 1) }.
10. La V være alle vektorer v ( v1 , v 2 , v3 ) slik at v1 ≥ 0. Er V et vektorrom?
Hvis ja, finn en basis for V og bestem dimensjonen til vektorrommet.
2
Løsning:
Nei, la α −1. Da er −v (−v1 , −v2 , −v 3 ) og −v1 < 0.
11. Finn tre forskjellige basiser for vektorromet R2 (alle vektorer ( v1 , v2 ) ).
Løsning:
{ (1, 0) , (0, 1) }, { (1, 0) , (1, 1) }, { (10, 1) , (2, 1) }.
12. (Fra en Matte3-eksamen) La A være en m × n-matrise og B en n × p-matrise
slik at AB 0. Vis at Col ( B ) er inneholdt i Null ( A ) . Bruk så dette til å vise at
Rank ( A ) + Rank ( B ) ≤ n.
Løsning:
La v ∈ Col ( B ) . Da er Av 0 per antakelse og dermed er v ∈ Null ( A ) .
n Rank ( A ) + dim Null ( A ) ≥ Rank ( A ) + dim Col ( B ) Rank ( A ) + Rank ( B ) .
Her har vi brukt at hvis W er et underrom av V så er dim W ≤ dim V.
3
Invers av Matriser
 3
−1

13. Bruk Gauss-Jordan til å finne inversen til −15 6
 5
−2
1 
−5 .

2 
Løsning:
 3
−1 1 1 0 0 3 −1 1 1
−15 6 −5 0 1 0 ∼ 0 0 1 0

 
−2 2 0 0 1 5 −2 2 0
 5
 0
1 −1 5 0 −3  0
1 0 5
 0
0
1 0 1 3  ∼  0
0 1 0

 
15 −6 6 0 0 3  15 −6 0 0
0 0 15 −5 5 5 0 0
1 3 ∼  0
0 1 0 1 3
 

0 1 15 −6 6 0 0 3
1
1
−6
0  0
3  ∼ 0
 
−15 1
2 0 −1


Den inverse er 5 1 0  .
0 1 3 
0 8 0


14. Bruk Gauss-Jordan til å finne inversen til 0 0 4 .
2 0 0
Løsning:
 0
0 1/2

0  .
Inversen er 1/8 0
 0 1/4 0 
3
1
0
0
0
1
0
5
0
2
1
1
0
0 
3 

−1
"
cos 2θ
15. Vær kreativ og finn inversen til A − sin 2θ
#
sin 2θ
.
cos 2θ
Løsning:
Husk at cos2 θ + sin2 θ 1. Dermed er det rimelig å prøve en matrise med
cos 2θ langs diagonalen.
"
cos 2θ
Sjekk at
sin 2θ
#
− sin 2θ
er den inverse.
cos 2θ
16. Vis at ( A2 ) −1 ( A−1 ) 2 .
Løsning:
A−1 A−1 AA A−1 IA A−1 A I og tilsvarende for AAA−1 A−1 .
17. Vis at ( AT ) −1 ( A−1 ) T .
Løsning:
AT ( A−1 ) T ( A−1 A ) T I T I og tilsvarende motsatt vei.
4