Løsningsforslag kap. 5

Løsningsforslag kap. 5
Henrik Vikøren
March 17, 2015
Del 1 - 30 min
Oppgave 1
Hvilket tall mangler?
a) 3+6=9, 9+6=15, 15+6=21, 21+6=27.
3,9,15,21,27.
b) 2+1=3, 3+2=5, 5+3=8, 8+4=12, 12+5=17.
2,3,5,8,12,17.
Oppgave 2
Etter fem år vil pengene Nina har på konto være gitt av uttrykket:
B = 50 000 · 1, 0455 .
Rentene hun har fått er lik differanse mellom det hun satt inn og hvor mye
hun har etter fem år og blir derfor:
R = 50 000 · 1, 0455 − 50 000.
Oppgave 3
Vi setter opp en funksjon for tilbud 1, som vi kaller for T1 (x), og en funksjon
for tilbud to, som vi kaller for T2 (x). Hvis x står for antall ganger Markus
støvsuger gulvet blir de to funksjonene:
T1 (x) = 1000 + 50x,
T2 (x) = 600 + 100x.
1
Oppgave 4
Grafen over illustrerer hvor mye diesel som er igjen på tanken etter Håvard
har kjørt x mil.
Funksjonen R(x) = 70 − 0, 7x med definisjonsmengde Dr ∈ [0, 100] beskriver
det samme som grafen.
Oppgave 5
a) Polynomfunksjon av 2. eller 3. grad godtas som svar.
b) Eksponentialfunksjon.
Del 2 - 60 min
Oppgave 6
a) Vi skriver inn dataene i regnearket i GeoGebra. Her lar vi 2003 tilsvare
x = 0, osv. Ved hjelp av regresjonsanalyse verktøyet finner vi funksjonen:
f (x) = 27, 1 − 1, 27x
2
b) 2010 er 7 år etter 2003. Vi skriver inn x=7 i utregningsfeltet og får at i
2010 er andelen kvinnelige røykere 18%.
c) For å finne ut når prosentandelen for første gang er lavere enn 5% kopierer
vi funksjonen til grafikkfeltet ved å trykke på knappen i høyre hjørne, rett
over grafen i dataanalyse-vinduet. I grafikkfeltet kan vi skirve inn y = 5,
og finne skjæringspunktet mellom grafen og linjen. Da får vi at andelen for første gang er under 5% etter 17,93 år, altså på slutten av 2020.
3
.
d) Vi har målinger fra 2003 til 2013. Innenfor dette tidsrommet kan vi
interpolere og finne relativt gode tilnærminger. Jo lenger utenfor de målte
dataene vi ekstrapolerer, jo større er sjangsen for at modellen vår feiler.
For å være på den sikre siden kan vi anta et gyldighetsområde fra 2000
til 2016.
Selv om prosentandelen kvinnelige røykere har gått ned i de tidsrommet
vi har gjort målinger betyr ikke det at dette vil fortsette i det uendelige.
Utviklingen kan stoppe opp, snu eller forsette til det ikke er flere kvinnelige
røykere igjen. Problemet er at dette kan ikke vi vite.
4
Oppgave 7
a)
Begge figurene har 36 kuler. Figuren til venstre er det 6te kvadrattallet,
mens figuren til høyre er det 8nde trekanttallet.
5
b)
c) Vi ser at mønsteret består av et kvadrat i midten, med fire trekanter
rundt. Det femte kvadratet vil ha 5 · 5 = 25 perler. Trekant nummer fem
vil ha 5(5+ 1)/2 = 15 perler. Det er som sagt ett kvadrat og fire trekanter
i hvert stjernetall, da blir det 25 + 4 · 15 = 85 perler i det 5te stjernetallet.
d) Her kan vi enten bruke regresjon med GeoGebra eller resonere oss frem
til en formel.
Resonement: Vi ser at stjernetall nummer n er satt sammen av kvadrattall nummer n pluss 4 ganger trekanttall nummer n. Formelen for kvadrattall nummer n er Kn = n2 . Formelen for trekanttall er Tn = n(n+1)
. Hvis
2
vi legger sammen formelen for ett kvadrattall og fire trekanttall får vi:
Sn = Kn + 4Tn = n2 + 4
= n2 + 4
n(n + 1)
2
n2 + n
= n2 + 2n2 + 2n = 3n2 + 2n.
2
GeoGebra: Vi legger inn tallnr. og antall perler i regnearket i GeoGebra.
Så bruker vi regresjonsanalyse verktøyet til å finne en formel for antall
perler. Ved å bruke polynom-regresjon av andre grad, får vi formelen
6
Sn = 3n2 + 2n.
e) Det letteste her er å bruke GeoGebra: Det første vi gjør er å kopiere
funksjonen til grafikkfeltet (evt. ved å skrive inn formelen i algebrafeltet,
hvis vi fant den ved å resonere). Vi kan så sette inn en linje som tilsvarer
y = 1000. Finner vi x-verdien der linjen krysser funksjonen vet vi hvilken
figur i rekken 1000 perler tilsvarer.
Av figuren ser vi at 1000 perler tilsvarer stjernetall nummer 17,93. Vi kan
7
selvsagt ikke lage tall nummer 17,93 men vet nå at det største tallet som
vi kan lage er tall nummer 17. Utifra formelen vi fant i oppgave d) kan
vi regne ut hvor mange perler det er i tall nr. 17:
S17 = 3 · 172 + 2 · 17 = 901.
Vi har altså 99 perler til overs etter å ha laget det 17. stjernetallet.
8