docשיטות בתחום התדר
download 
Report Transcription
שיטות בתחום התדר
¡³©¤§³ª©¥¡¥° ¥±²¢¥¢¥©¤¡¨¤§ » ¨¢©¤
TECHNION — Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering
תורת הבקרה )(035188
דוגמאות בחינות סופיות
7בפברואר 2016
כ״ח בשבט ,תשע״ו
חלק I
שיטות בתחום התדר
שאלה מס׳ 1
באיור מטה מופיע תיאור אות מחזורי מסויים בזמן ותיאור אות אחר בתחום התדר .האם הדיאגרמות יכולות לתאר את אותו האות ?
)f(t
)F(ω
t
? Fourier transform
←−−−−−−−−−
ω
0
0
כן /לא ,מכיוון
שאלה מס׳ 2
באיור מטה מופיע תיאור אות מסויים בזמן ותיאור אות אחר בתחום התדר .האם הדיאגרמות יכולות לתאר את אותו האות ?
)f(t
ω
0
כן /לא ,מכיוון
שאלה מס׳ 3
√
).f(t) = π sin(t/π
חשבו את האנרגיה של האות
t
= ,Efמכיוון
שאלה מס׳ 4
2
חשבו את האנרגיה והעוצמה של האות
1
t
= Efו־
7 8
2
4
= ).f(t
0
= ,Pfמכיוון
שאלה מס׳ 5
2
= ).f(t
חשבו את האנרגיה והעוצמה של האות
t
= Efו־
)F(ω
t
? Fourier transform
←−−−−−−−−−
0
= ,Pfמכיוון
1
0
−3dB
−3dB
0dB
0
−6dB
ω = 0.36
0
ω = 0.75
ω = 1.14
ω = 1.34
)Open−Loop Gain (dB
−4
ω = 0.99
−12dB
ω = 1.34
−8
−12
ω = 1.62
−12dB
ω = 1.65
ω = 1.87
0
−90
−180
)Open−Loop Phase (deg
−8
)Open−Loop Gain (dB
−6dB
−4
−270
−12
−360
−90
0
)א(
−180
)Open−Loop Phase (deg
−270
−360
)ב(
איור :1ניקולס
שאלה מס׳ 6
1
הספקטרום של תגובת המערכת ) G(sלרעש לבן בעוצמה 2הוא
1 + ω2
= ) ,G(jωמכיוון
= ) .Y(ωמהי תגובת התדירות של )? G(s
שאלה מס׳ 7
איור )1א( מציג את תיאור ניקולס של פונקצית החוג הפתוח ) .L(sמה תחום רוחב הסרט של פונקציית הרגישות המשלימה ,ההדוק
ביותר שניתן להגיע אליו על בסיס הנתונים באיור?
∈ ,ωbמכיוון
שאלה מס׳ 8
איור )1ב( מציג את תיאור ניקולס של פונקצית החוג הפתוח ) .L(sמה תחום רוחב הסרט של פונקציית הרגישות המשלימה ,ההדוק ביותר
שניתן להגיע אליו על בסיס הנתונים באיור?
∈ ,ωbמכיוון
שאלה מס׳ 9
נתון כי פונקצית התמסורת ) L(sיציבה ומקיימת את הקשר
) L(jω
| |ω
L0 (jω) − 1 6 3 , ∀ω
עבור ) L0 (sידועה כלשהי .תחת אילו תנאים המערכת בחוג הסגור יציבה לכל ) L(sמסוג זה ? )אין צורך להסביר(
שאלה מס׳ 10
)s(s − 1
עבור התהליך
s3 + s + 1
בסיס מטריצת סילבסטר ,כך שקטבי החוג הסגור ימוקמו ב־? s = −1
= ) ,P(sמהו פולינום החוג הסגור ) χcl (sבעל הדרגה המינימלית ,שעלינו לבחור בטכניקת מיקום־קטבים על
2
= ) ,χcl (sמכיוון
4
2
2
0
0
−2
−2
3
2
Imaginary Axis
Imaginary Axis
0
−6
−6
Imaginary Axis
1
−4
−4
−1
−8
−8
−10
−10
−12
−12
−2
−3
1
−1
0
−4
−3
Real Axis
−2
−6
−5
−7
−8
−4
12
14
10
)א( )P1 (s
8
6
Real Axis
4
2
0
−2
4
−4
2
−2
0
)ב( )P2 (s
−6
−4
Real Axis
−8
−10
−12
−14
)ג( )P3 (s
איור :2עקומים פולריים
25
0.5 dB
1 dB
−1 dB
0.5 dB
20
1 dB
−1 dB
20
25
1 dB
−1 dB
15
20
15
15
3 dB
3 dB
10
10
)Open−Loop Gain (dB
−12 dB
−5
−10
−15
−20 dB
−12 dB
)Open−Loop Gain (dB
−6 dB
0
−5
−6 dB
0
10
−3 dB
6 dB
5
−6 dB
0
−5
−12 dB
−10
−15
−10
−20 dB
−20
)Open−Loop Gain (dB
−3 dB
6 dB
5
−3 dB
6 dB
5
3 dB
−20
−15
−25
90
45
0
−135
−90
−45
)Open−Loop Phase (deg
−180
−225
−30
−270
−25
−20 dB
0
)א( )Pα (s
−45
−90
−225
−180
−135
)Open−Loop Phase (deg
−270
−315
−20
−360
0
−45
−90
)ב( )Pβ (s
−225
−180
−135
)Open−Loop Phase (deg
−270
−315
−30
−360
)ג( )Pγ (s
איור :3דיאגרמות ניקולס
שאלה מס׳ 11
בציור 2נתונים תיאורים פולריים של שלושה תהליכים יציבים .בציור 3מופיעות שלוש דיאגרמות ניקולס.
א .שייכו בין הדיאגרמות לתיאורים הפולריים.
ב .עבור כל אחד משלושת התהליכים ,האם קיים משוב יציאה מהצורה u = −kyעם ,|k| > 1עבורו החוג הסגור יציב ? במידה
והתשובה חיובית ,תנו דוגמא למשוב מסוג זה.
,Pα = Pמכיוון
|k| > 1המיצב כן /לא קיים ,מכיוון
,Pβ = Pמכיוון
|k| > 1המיצב כן /לא קיים ,מכיוון
,Pγ = Pמכיוון
|k| > 1המיצב כן /לא קיים ,מכיוון
שאלה מס׳ 12
הציעו מערכת מסדר ראשון שבהוספתה לחוג הפתוח יתווסף פיגור פאזה של ◦ 170בתדר מסויים.
3
kawu
d
e
r
1
s−1
-
u
)P(s
ym
y
n
איור :4מערכת בקרה עם מנגנון anti-windup
= ) ,G(sמכיוון
שאלה מס׳ 13
s−1
נתונה המערכת
s2 + 3s + 2
4
√
= ) ? T (sאם כן ,מהו אותו בקר ?
כך
2
)(s + 30)(s + 2 · 2s + 4
= ) .P(sהאם ניתן למצוא בקר מייצב הממקם קטבים שיביא לכך שפונקציית הרגישות המשלימה תיראה
כן /לא ,מכיוון
שאלה מס׳ 14
∞Z
b1 s + 1
L(s) = 2עבור b1 > 0כלשהו .הציעו b1אפשרי עבורו . ln|S(jω)|dω = 0
תהי
s
+s+1
0
= ,b1מכיוון
שאלה מס׳ 15
האם המערכת
(s−10)3
(s+1)5
= ) P(sניתנת לייצוב חזק )? (strongly stabilizable
כן /לא ,מכיוון
שאלה מס׳ 16
איור 4מציג מערכת בקרה עם בקר
האנטי־מתיחה.kawu ,
1
s−1
= ) C(sומנגנון אנטי־מתיחה ) .(anti-windupהציעו ערך אפשרי עבור הגבר מנגנון
∈ ,kawuמכיוון
שאלה מס׳ 17
−s5 + s4 + s3 + s2 − s + 1
האם פונקציית התמסורת
s5 + s4 − s3 + s2 + s + 1
= ) R(sיכולה להיות קירוב פדה של ? e−sh
כן /לא ,מכיוון
שאלה מס׳ 18
−s3 + 6s2 − 6s + 1
האם פונקציית התמסורת
s3 + 3s2 + 3s + 1
= ) R(sיכולה להיות קירוב פדה של ? e−sh
כן /לא ,מכיוון
4
d
e
r
-
̃e
u
)C̃(s
-
y
Pr (s)e
−sh
) Pr (s)(1 − e−sh
איור :5מערכת עם זמן מת
שאלה מס׳ 19
מהי פונקצית הרגישות המשלימה )מ־ rל־ (yעבור המערכת באיור ,5כאשר
s+8
)s(s+4
= ),Pr (s
= )T (s
שאלה מס׳ 20
2
האם המערכת באיור 5יציבה פנימית ,כאשר
(s+3) +4
)(s−1)(s+3
= ) ,C̃(s) = 10 ,Pr (sו־? h = 0.2
כן /לא ,מכיוון
5
s+4
s+8
= ) ,C̃(sו־? h = 0.1
חלק II
מרחב המצב
שאלה מס׳ 21
האם המערכת ẋ1 = x2 , ẋ2 = uיציבה?
כן /לא ,מכיוון
שאלה מס׳ 22
נתונה המערכת מסדר שני ) .ẋ(t) = Ax(t) + Bu(tידוע כי קיים חוק בקרה המוביל ל־ x(5) = 11עבור כל ) .x(0האם מערכת זו
בהכרח בקירה )? (controllable
כן /לא ,מכיוון
שאלה מס׳ 23
נתונה המערכת מסדר שני ) .ẋ(t) = Ax(t) + Bu(tידוע כי עבור x(0) = 0קיים חוק בקרה המוביל ל־
זו בהכרח בקירה )? (controllable
כן /לא ,מכיוון
שאלה מס׳ 24
האם המערכת הנתונה על ידי )x(t) + [ o1 ] u(t
כן /לא ,מכיוון
2 3
0 1
= ) ẋ(tבקירה )? (controlable
שאלה מס׳ 25
מהו המוד הבלתי בקיר ) (uncontrollable modeשל הזוג ? 10 12 , 11
= ,λמכיוון
שאלה מס׳ 26
איך ניתן לחשב את המודים הבלתי צפיים ) (unobservable modesשל הזוג )? (C, A
שאלה מס׳ 27
האם המימוש עם
כן /לא ,מכיוון
0 0
0 1
= ,A
0
1
= Bו־
11
= Cמינימלי ?
שאלה מס׳ 28
נתון המימוש הלא מינימלי הבא .הציעו מימוש מינימלי חלופי השומר על אותו קשר כניסה־יציאה.
ẋ = 30 08 x + 01 u
y= 01 x
6
1
1
= ) .x(5האם מערכת
שאלה מס׳ 29
האם המערכת הבאה ברת־יציבות )? (stabilizable
0
x + 0 u
1
0
9
−1
4
0
1
0
−0.5
0
4.5
2
0
0
−1
0
ẋ =
0
0
כן /לא ,מכיוון
שאלה מס׳ 30
משערך Luenbergerסטנדרטי של המערכת
x(0) = x0 ,
ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t),
)y(t) = Cx(t
נתון ע״י
˙
)x̂(t
= Ax̂(t) + Bu(t) + L(y(t) − Cx̂(t)), x̂(0) = 0.
.
ידוע כי במקרה זה ,שגיאת השיערוך ) ǫ(t) = x(t) − x̂(tאינה תלויה באות הבקרה ) ,u(tוניתן להשפיע על אופי התכנסות השיערוך
ע״י בחירת ההגבר ,Lכל עוד הצמד ) (C, Aאובזרוובילי .הציעו משערך למערכת מהצורה
ẋ(t) = Ax(t),
x(0) = x0 ,
)y(t) = Cx(t) + Du(t
שיהיה בעל תכונות זהות )שגיאת השיערוך לא תלויה ב־) ,u(tוניתן להשפיע על אופי התכנסות השיערוך ע״י בחירת פרמטר תכן( .הוכיחו
בקצרה דרך כתיבת משוואה דיפרנציאלית עבור שגיאת השיערוך ).ǫ(t
שאלה מס׳ 31
האם המטריצה
1
0
0 −1
= Pהיא הפתרון המייצב של משוואת הריקטי הבאה:
1
0 1
0 0
1 −1 = 0
? 1 0 P + P 0 0 − P 10 01 P + −1
כן /לא ,מכיוון
שאלה מס׳ 32
האם המטריצה
1 0
01
= Pהיא הפתרון המייצב של משוואת הריקטי הבאה:
1 −1
? 01 00 P + P 00 10 − 21 P 11 11 P + 21 −1
=0
1
כן /לא ,מכיוון
שאלה מס׳ 33
האם קיימת טרנספורמציית דמיון הקושרת את
1 1
0
x1 (t) +
)u(t
0 1
1
)1 1 x1 (t
מימושי מרחב המצב הבאים:
) ẋ2 (t) = 1 1 x2 (t) + 0 u(t
= ) ẋ1 (t
0 2
1
ו־
) y(t) = 1 0 x (t
= ) y(t
2
הסבירו בקצרה .אם קיימת העתקה כזו ,מצאו את מטריצת ההעתקה.T ,
כן /לא ,מכיוון
7
שאלה מס׳ 34
האם קיימת טרנספורמציית דמיון הקושרת
0
0
x1 (t) +
)u(t
1
1
)1 x1 (t
את מימושי מרחב
ẋ1 (t) = 1
1
y(t) = 1
אם קיימת העתקה כזו ,מצאו את מטריצת ההעתקה.T ,
המצב הבאים:
) ẋ2 (t) = 1 1 x2 (t) + 0 u(t
0 1
1
?
ו־
) y(t) = 1 0 x (t
2
כן /לא ,מכיוון
שאלה מס׳ 35
פונקציית התמסורת של החוג הפתוח עבור מערכת עם משוב מצב אופטימלי ,u = −Fx ,שנמצא בשיטת LQRנתונה על ידי = )L(s
1
−1
) L(s) = (s+1זו אפשרות קבילה ?
B
) .F(sI − Aהאם 2
כן /לא ,מכיוון
שאלה מס׳ 36
1
האם מימוש במרחב המצב מסדר שלישי לפונקציית החוג הפתוח ) ,L(s) = P(s)C(sכאשר התהליך נתון על ידי
+ 2s + 1
2s + 2
= )) C(sבקר קידום( ,הוא מינימלי ?
והבקר נתון על ידי
s+4
= )P(s
s2
כן /לא ,מכיוון
שאלה מס׳ 37
האם המג״ש באיור )6א( יכול להוות את המג״ש עבור 1 + ρ1 Pz (−s)Pz (s) = 0ו־? ρ > 0
כן /לא ,מכיוון
שאלה מס׳ 38
האם המג״ש באיור )6ב( יכול להוות את המג״ש עבור 1 + ρ1 Pz (−s)Pz (s) = 0ו־? ρ > 0
כן /לא ,מכיוון
Imaginary Axis
0
0
Real Axis
Real Axis
)ב(
)א(
איור :6מג״שים
8
Imaginary Axis
0
0
שאלה מס׳ 39
נתונה המערכת
1
s2Z−a2
∞
הבקרהu2 (t)dt ,
= ) P(sכאשר .a < 0כתבו מימוש למערכת ,ותכננו משוב מצב מייצב ) ,u(t) = −Fx(tעבורו אנרגיית אות
,הינה מינימלית.
0
שאלה מס׳ 40
כתבו פונקציית מחיר ריבועית שהבאתה למינימום מבטיחה כי הקטבים של החוג הסגור ישוייכו לקבוצה }.{s : Re s < −2
שאלה מס׳ 41
שוויון החזר ההפרשים ) (return-difference equalityשל בעיית משוב LQRנתון על ידי
1 + ρ1 Pz (−s)Pz (s) = 1 + L(−s) 1 + L(s) .
כאשר Pz (s) = Cz (sI − A)−1 Bו־ L(s) = F(sI − A)−1 Bהיא פונקציית התמסורת של החוג הפתוח .הוכיחו כי למערכת עם בקר
ה־ LQRעודף פאזה של לפחות ◦.60
9
חלק III
מערכות דגומות
שאלה מס׳ 42
תחת אילו תנאים המערכת + π8 uk
4
x
3+4a2 k
= xk+1תהיה יציבה ?
∈ | ,|aמכיוון
שאלה מס׳ 43
נתונה פונקצית תמסורת של מערכת בדידה
בקרה מסוג .dead-beat
3
2
4
z +z +2z +2z+1
z5 +z+1
= ) .P(zכתבו למערכת זו מימוש מלווה ותכננו משוב מצב לקבלת חוק
שאלה מס׳ 44
תכננו משוב מצב uk = −Fxkלקבלת חוק בקרה מסוג dead-beat
0 0
1
2
0 0
1 0
xk + 3 uk
4
0 1
0 0
5
עבור המערכת
0 0 0
0 0 0
=
0 0 0
0 0 0
0 0 0
.xk+1
= ,Fמכיוון
שאלה מס׳ 45
הספקטרום של אות אנלוגי ) f(tמוצג באיור מטה .ציירו את הספקטרום של האות הדגום ) f̄k = f(khעבור זמן הדגימה
)הניחו כי הצירים עבור ) F(ωו־ ) F̄(θמנורמלים כראוי(.
π
4
=h
)F(ω
)F̄(θ
דגימה
←−−−−−
ω
6
4
2
−2
0
−4
−6
π θ
π/2
−π −π/2 0
שאלה מס׳ 46
הספקטרומים של אות אנלוגי ) f(tושל הגירסה הדגומה שלו ) f̄k = f(khמוצגים באיור מטה .מהו זמן הדגימה ?
)F(ω
)F̄(θ
דגימה
←−−−−−
ω
3
2
1
0
−1
−2
−3
π θ
π/2
−π −π/2 0
שאלה מס׳ 47
טווח השמיעה התקין במבוגר הוא .20 ÷ 20, 000 Hzבחרו תדירות מעבר למסנן Anti-Aliasingאידאלי הממוקם במיקרופון לפני
קידוד הההקלטה במחשב .הסבירו את בחירתכם.
= ,ωbמכיוון
10
)F(ω
)F̄(θ
דגימה
←−−−−−
ω
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
−4
θ
π
2π
3
π
3
0
− π3
− 2π
3
−π
איור :7ספקטרום של )f(t
שאלה מס׳ 48
ציור 7מציג את הספקטרום של אות ממשי רציף ) .f(tמהו זמן הדגימה המירבי hעבורו ניתן לשחזר במדויק את האות הרציף )f(t
מתוך הדגימות ) ? f̄k = f(khציירו את הספקטרום של f̄kעבור ערך hשבחרתם.
= ,hmaxמכיוון
שאלה מס׳ 49
האם קיים זמן דגימה ,h ,עבורו המערכת הבדידה המופיעה מטה היא המערכת הבדידה השקולה למערכת הרציפה ?
1 2
1
0.5 0.3
1.72
= ).ẋ(t
x(t) +
)u(t
→−
= x̄k+1
x̄k +
ūk
0 4
0
0 0.25
0
כן /לא ,מכיוון
שאלה מס׳ 50
האם
z2 +z+1
z2 +4z+4
= ) C̄(zיכול להיות קירוב טוסטין של
s+1
s2 +3s+1
= ) C(sעבור זמן דגימה כלשהו ?
כן /לא ,מכיוון
11
נוסחאות שימושיות
• התמרות פורייה )f(t)e−jωt dt
1
∞Z
=:(F(ω) :
∞−
)e−at 1(t
1
a+jω
)sinc(at
rect( ω
)a
π
a
)sin(at
))+ a) − δ(ω − a
j
2 (δ(ω
)f(t
)F(ω
כעשר ).rect(x) = 1(x + 1) − 1(x − 1
• חוק הבקרה האופטימלי ) (LQRבזמן רציף הוא ,u = − ρ1 B ′ Pxכאשר P = P ′ > 0הוא פתרון מייצב של משוואת ריקאטי
A ′ P + PA + Cz′ Cz − ρ1 PBB ′ P = 0.
• חוק הבקרה האופטימלי ) (LQRבזמן בדיד הוא ,u = −(ρ + B ′ PB)−1 B ′ PAxכאשר P = P ′ > 0הוא פתרון מייצב של
משוואת ריקאטי
A ′ PA − P + Cz′ Cz − A ′ PB(ρ + B ′ PB)−1 B ′ PA = 0.
. . . 0 1 M−1
• נוסחת אקרמןc χcl (A) :
0
= .F
1לא לפבלב בשימושן )התניה פבלובית היא תהליך למידה שבו גירוי נייטרלי נלמד מעורר אצל אדם או בעל חיים תגובה רפלקסיבית(
12
