מעגלים אלקטרונים לינארים מכון טכנולוגי לישראל טכניון פקולטה להנדסת ח

‫מעגלים אלקטרונים לינארים‬
‫טכניון – מכון טכנולוגי לישראל‬
‫פקולטה להנדסת חשמל‬
‫תרגיל מס' ‪ - 1‬פתרון מעגלים חשמליים‬
‫שאלה‪:1‬‬
‫נתון‪:‬‬
‫‪io‬‬
‫‪1K:‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪2 K:‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪3K :‬‬
‫‪R3‬‬
‫‪4 K:‬‬
‫‪R4‬‬
‫‪R4‬‬
‫‪R3‬‬
‫‪v2‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪v1‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪Gv1‬‬
‫‪II‬‬
‫‪vs‬‬
‫‪I‬‬
‫‪G 1mmho‬‬
‫‪ .1‬יש לרשום את משוואות הצמתים )‪ ( KCL‬עבור צמתים ‪ v1‬ו‪-‬‬
‫‪ . v 2‬יש להביא את הרישום לצורת מטריצה ובטא את ‪v 2‬‬
‫כפונקציה של רכיבי המעגל‪.‬‬
‫‪ .2‬יש לרשום את משוואות החוגים )‪ (KVL‬בחוגים ‪ I‬ו‪ . II -‬יש‬
‫להביא את הרישום לצורת מטריצה ובטא את ‪ io‬כפונקציה‬
‫של רכיבי המעגל‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫זרמים יוצאים מצומת מוגדרים חיוביים‪.‬‬
‫כמו כן נגדיר "מוליכות" כ‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪Ri‬‬
‫‪Gi‬‬
‫‪1. KCL‬‬
‫‪v1 : (v1 v s )G1 v1G2 (v1 v 2 )G3 0‬‬
‫‪v 2 : (v1 v 2 )G3 v 2 G4 v1G 0‬‬
‫‪1‬‬
2. KVL
I : v s i1 R1 i1 R2 i2 R2
II : 0 i2 R2 i2 R3 i1 R2 io R4
io i 2 Gv1
v1 (i1 i 2 ) R2
io i2 GR2 (i1 i2 ) i 2 (1 GR2 ) i1 R2 G
:2‫שאלה‬
:‫נתון‬
io
C
is
RS
L
i
,i
re
R2 v
o
R1
. A( s) RS
5 K:
R1
1K:
R2
2 K:
re
25:
L 1Hy
C 12F
, 0.99
vo ( s)
:‫ מצא את פונקצית התמסורת של המעגל‬.1
is (s)
‫ חשב את ערך‬,‫ בהנחה שאות הכניסה הוא אות סינוס בתדר בודד‬.2
. Z 0, B, 103
rad
:‫ עבור‬A( jZ ) ‫פונקציית התמסורת‬
sec
:‫פתרון‬
RS
SCRS
is
1
1 SC ( RS re )
RS re
SC
R ( R SL)
vo ,i ( R2 || ( R1 SL)) ,i 2 1
R1 R2 SL
i is
A( s ) vo ( s )
SCR S
R2 ( R1 SL)
,
1 SC ( RS re ) R1 R2 SL
is (s)
2
‫‪R1 R2‬‬
‫)‬
‫‪L‬‬
‫‪R1‬‬
‫)‬
‫‪L‬‬
‫ ‪S (S‬‬
‫ ‪)( S‬‬
‫‪1‬‬
‫) ‪C ( RS re‬‬
‫ ‪(S‬‬
‫‪,R 2 R S‬‬
‫ ) ‪A( s‬‬
‫‪RS re‬‬
‫אחרי הצבת ערכים נקבל‪:‬‬
‫‪S‬‬
‫)‬
‫)‪S ( S 1000‬‬
‫‪1000‬‬
‫‪A( s ) 1970‬‬
‫‪ 3.3‬‬
‫‪S‬‬
‫‪S‬‬
‫)‪( S 199)( S 3000‬‬
‫ ‪(1‬‬
‫ ‪)(1‬‬
‫)‬
‫‪199‬‬
‫‪3000‬‬
‫ ‪S (1‬‬
‫נציב ‪ S jZ‬ונקבל‪:‬‬
‫‪jZ‬‬
‫)‬
‫‪1000‬‬
‫‪A( jZ ) 3.3‬‬
‫‪jZ‬‬
‫‪jZ‬‬
‫ ‪(1‬‬
‫ ‪)(1‬‬
‫)‬
‫‪199‬‬
‫‪3000‬‬
‫ ‪S (1‬‬
‫כעת עבור התדירויות הזוויתיות השונות נקבל‪:‬‬
‫‪A(0) 0 0‬‬
‫‪A( j1000) 864 37.80‬‬
‫‪A(B) 1970 00‬‬
‫‪0‬‬
‫‪3‬‬
‫מעגלים אלקטרונים לינארים‬
‫טכניון – מכון טכנולוגי לישראל‬
‫פקולטה להנדסת חשמל‬
‫דף עזר לתרגיל כיתה מס' ‪ - 1‬פונקצית תמסורת‬
‫ננסה להבין מה משמעות של אמפליטודה וזווית של פונקצית תמסורת כל שהיא‪.‬‬
‫פונקצית תמסורת היא התמרת פורייה של התגובה להלם של מערכת ליניארית‬
‫וקבועה בזמן‪ ,‬כאשר התמרת פורייה של הפונקציה הזמנית ) ‪ x(t‬מוגדרת כך‪:‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪
jZ t‬‬
‫‪B‬‬
‫‪³ x(t )e‬‬
‫ ) ‪X (Z‬‬
‫‪
B‬‬
‫כאשר הפרמטר ‪ Z‬הנו תדירות זוויתית ביחידות של ‪.rad/sec‬‬
‫כמו כן התמרת פורייה ההפוכה מוגדרת באופו הבא‪:‬‬
‫‪dZ‬‬
‫‪jZ t‬‬
‫‪B‬‬
‫‪³ X (Z )e‬‬
‫‪
B‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2S‬‬
‫ ) ‪x(t‬‬
‫נתונה מערכת ליניארית קבועה בזמן עם פונקצית תמסורת ) ‪. H (Z‬‬
‫) ‪y (t‬‬
‫) ‪h(t‬‬
‫) ‪x(t‬‬
‫) ‪Y (Z‬‬
‫) ‪H (Z‬‬
‫) ‪X (Z‬‬
‫נבדוק מהו אות המוצא במערכת כאשר בכניסתה מוכנס אות סינוסואידלי ‪.‬‬
‫אות הכניסה הנו באמפליטודה ‪ , A‬בתדירות ‪ Z o‬ועם פאזה התחלתית ‪: 1 o‬‬
‫) ‪x(t ) A cos(Z o t Io‬‬
‫התמרת פורייה של אות הכניסה היא‪:‬‬
‫‪Io‬‬
‫‪Zo‬‬
‫‪jZ‬‬
‫‪X (Z ) S [G (Z Z o ) G (Z Z o )]e‬‬
‫התמרת פורייה של האות במוצא ניתן לכתיבה באופן הבא‪:‬‬
‫) ‪Y (Z ) X (Z ) H (Z‬‬
‫‪4‬‬
‫נתאר את פונקצית התמסורת של המערכת ע"י גודל האמפליטודה והזווית שלה‪:‬‬
‫) ‪H (Z‬‬
‫‪H (Z ) H (Z ) e‬‬
‫כעת נוכל לרשום‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫) ‪H (Z o‬‬
‫‪H (Z o ) e‬‬
‫) ‪H (Z o‬‬
‫‪Io‬‬
‫‪Zo‬‬
‫‪jZ o‬‬
‫) ‪H (Z‬‬
‫‪H (Z ) e‬‬
‫‪Io‬‬
‫‪Zo‬‬
‫‪jZ‬‬
‫‪ ASG (Z Z o )e‬‬
‫‪Y (Z ) AS [G (Z Z o ) G (Z Z o )]e‬‬
‫) ‪H ( Z o‬‬
‫ ‪ A H (Z o ) SG (Z Z o )e jIo‬‬
‫‪H (Z o ) e‬‬
‫) ‪H ( Z o‬‬
‫‪Io‬‬
‫‪Zo‬‬
‫‪ jZ o‬‬
‫‪ASG (Z Z o )e‬‬
‫ ‪A H (Z o ) SG (Z Z o )e jIo‬‬
‫בהנחה כי תגובת ההלם של המערכת היא ממשית אזי מתקיימים הקשרים הבאים‪:‬‬
‫) ‪H (Z ) H (
Z‬‬
‫) ‪H (
Z ) H (Z‬‬
‫לכן‪:‬‬
‫) ‪H (Z o‬‬
‫ ‪ A H (Z o ) SG (Z Z o )e jIo‬‬
‫) ‪H (Z o‬‬
‫ ‪Y (Z ) A H (Z o ) SG (Z Z o )e jIo‬‬
‫נבצע התמרת פורייה הפוכה לאות הנ"ל‪:‬‬
‫ ‪e jZ ot‬‬
‫) ‪H (Z o‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫ ‪A H (Z o ) e jIo H (Zo ) e jZ ot A H (Z o ) e jIo‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫]) ‪A H (Z o ) cos[Z o t I o H (Z o‬‬
‫ ) ‪y (t‬‬
‫]) ‪y (t ) A H (Z o ) cos[Z o t I o H (Z o‬‬
‫סיכום‪:‬‬
‫רואים כי אות המוצא הוא אות סינוסואידלי בעל תדירות זוויתית ‪Z o‬‬
‫‪.1‬‬
‫אשר זהה לזו של אות הכניסה‪.‬‬
‫זאת תכונה בסיסית מאד חשובה של מערכת ליניארית‪ .‬מערכת שבה אות המוצא‬
‫הוא בעל תדירות שונה מאות הכניסה‪ ,‬איננה מערכת ליניארית!‬
‫‪.2‬‬
‫אמפליטודת אות המוצא גדולה פי ) ‪ H (Z o‬מזו של הכניסה‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫לכן ערך האמפליטודה של פונקצית התמסורת בתדירות ‪ Z o‬נותנת אינדיקציה‬
‫לפי כמה גדולה אמפליטודת אות המוצא יחסית לכניסה‪ ,‬כאשר אות הכניסה הוא‬
‫בתדירות של ‪. Z o‬‬
‫‪.3‬‬
‫פאזת אות המוצא גדולה ב‪ H (Z o ) -‬מזו של הכניסה‪.‬‬
‫לכן ערך הפאזה של פונקצית התמסורת בתדירות ‪ Z o‬נותנת אינדיקציה לכמה‬
‫גדולה פאזת אות המוצא יחסית לכניסה‪ ,‬כאשר אות הכניסה הוא בתדירות של‬
‫‪.Zo‬‬
‫דיברנו על כך שאות הוא סינוסואידלי בתדירות מסוימת‪ .‬חשבו כיצד ניתן‬
‫‪.4‬‬
‫לנתח את המערכת עבור אות כללי כל שהוא‪.‬‬
‫דייויד גדעוני‬
‫‪6‬‬