fasit

FYS-MEK 1110 / Vår 2016 / Ukesoppgaver #3 (8.-12.2.)
1. Diskusjonsspørsmål: Er det mulig at et legeme beveger seg med akselerasjon som er
ikke null og konstant fart (𝑣 = |𝑣⃗| = konst.)?
Ja, for eksempel etlegeme som beveger seg med konstant fart på en sirkelbane.
2. En tynn aluminiumtråd strekker seg 1 mm når du henger på en vekt som veier 10 kg.
Anta at tråden kan beskrives som en fjær. Hva er fjærkonstanten?
Tråden holder loddet opp med en fjærkraft 𝐹 = 𝑘∆𝐿. Loddet trekker ned med
gravitasjonskraften 𝐺 = 𝑚𝑔. I likevekt er loddet i ro og kreftene kompenserer
hverandre:
𝑘∆𝐿 − 𝑚𝑔 = 0
𝑚𝑔 10 kg ∙ 9.81 m/s2
𝑘=
=
= 98.1 kN/m
∆𝐿
0.001 m
3. Du prøver å styre et fly mot nord. Lufthastigheten av flyet er 300 km/t. Det er en
sterk vind fra vest med en vindhastighet på 60 km/t.
a. I hvilken retning bør du styre flyet slik at det beveger seg mot nord? Tegn et
diagram.
b. Hva er hastigheten av flyet i forhold til bakken?
Hastighet til flyet relativ til bakken: 𝑣⃗ = 𝑣𝑗̂ med ukjent
fart 𝑣.
Hastighet til vinden relativ til bakken: 𝑤
⃗⃗⃗ = 𝑤𝑖̂ med
𝑤 = 60 km/t
Hastighet til flyet relativ til vinden i system 𝑆′ som
beveger seg med vinden:
𝑣⃗ ′ = 𝑣⃗ − 𝑤
⃗⃗⃗ = 𝑣𝑗̂ − 𝑤𝑖̂ = −𝑣′ sin 𝜃 𝑖̂ + 𝑣′ cos 𝜃 𝑗̂
Vi vet at farten relativ til vinden er 𝑣 ′ = 300 km/t.
𝑤
I 𝑥 retning: = 𝑣′ sin 𝜃  𝜃 = sin−1 (𝑣′) = 11.5°
I 𝑦 retning: = 𝑣′ cos 𝜃 = 293.9 km/t
4. En homogen kule med masse m = 45 kg og radius R = 32 cm er
festet i en vegg med en masseløs strikk som vist i figuren.
a. Tegn et fri-legeme diagram for kulen.
b. Finn snordraget.
Vi finner først vinkelen mellom snoren og veggen. Det kan vi gjøre ved hjelp
av radius til kulen 𝑟 = 32 cm og lengden 𝑙 = 𝑟 + 30 cm = 62 cm.
𝑟
32
sin 𝜃 =
⟹ 𝜃 = sin−1 ( ) = 31.1°
𝑙
62
Under antagelsen at kulen holdes i ro er snordragets 𝑦 komponent: 𝑆𝑦 = −𝐺.
−𝑚𝑔
𝑆𝑦 = 𝑆 cos 𝜃 ⟹
𝑆=
= 515 N
cos 𝜃
c. Hva er normalkraften fra veggen til ballen?
Under antagelsen at kulen holdes i ro er normalkraften fra veggen til kulen:
𝑁 = −𝑆𝑥 = −𝑆 sin 𝜃 = −266 N
5. To klosser på to forskjellige skråplaner er knyttet sammen med en tynn, masseløs
snor som går over en trinse som vist i figuren. Vi antar at det er ingen friksjon mellom
klossene og overflaten, og at trinsen også
er uten friksjon.
a. Hvilken vei vil systemet beveger seg etter vi slipper klossene?
𝐺1𝑥 = 𝑚1 𝑔 sin 𝛼1 = 490.5 N
𝐺2𝑦 = 𝑚2 𝑔 sin 𝛼2 = 391.7 N
Siden snordraget er det samme for begge klossene vil systemet bevege seg
mot venstre langs planene.
b. Finn akselerasjon på klossene.
Begge klosser har samme akselerasjon. Vi bruker Newtons andre lov:
𝐺1𝑥 − 𝑆 = 𝑚1 𝑎
𝑆 − 𝐺1𝑦 = 𝑚2 𝑎
𝐺1𝑥 − 𝐺1𝑦 = (𝑚1 + 𝑚2 )𝑎
𝑎 = 0.66 N
c. Hva er snordraget?
𝑆 = 𝐺1𝑥 − 𝑚1 𝑎 = 424.7 N
6. Du kaster en basketball som forlater hånden med en hastighet på 9.4 m/s og en
vinkel av 60° med horisonten. Du scorer fra 7 m avstand og kurven henger i 3.5 m
høyde. Du kan ignorere luftmotstand.
a. Tegn et frilegeme diagram av ballen.
Uten luftmotstand er gravitasjon den eneste kraften som virker på ballen.
b. Finn posisjon og hastighet av ballen som en funksjon av tid.
Ingen kraft i horisontal retning, 𝑎𝑥 = 0.
Gravitasjon i vertikal retning: 𝑎𝑦 = −𝑔.
Initialbetingelser: 𝑟⃗0 = 𝑥0 𝑖̂ + 𝑦0 𝑗̂ = 𝑦0 𝑗̂
1
√3
𝑣⃗0 = 𝑣0 cos 𝜃 𝑖̂ + 𝑣0 sin 𝜃 𝑗̂ = 𝑣0 𝑖̂ +
𝑣 𝑗̂
2
2 0
1
Bevegelsen i horisontal retning: 𝑣𝑥 (𝑡) = 𝑣𝑥 (0) = 2 𝑣0
𝑡
𝑥(𝑡) = 𝑥0 + ∫ 𝑣𝑥 (𝑡) 𝑑𝑡 =
Vertikal: 𝑣𝑦 (𝑡) = 𝑣𝑦 (0) +
𝑡
∫0 𝑎𝑦
𝑡
𝑑𝑡
0
√3
= 2 𝑣0
− 𝑔𝑡
𝑦(𝑡) = 𝑦0 + ∫ 𝑣𝑦 (𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑦0 +
0
1
𝑣 𝑡
2 0
1
√3
𝑣0 𝑡 − 𝑔𝑡 2
2
2
c. Fra hvilken høyde kastet du ballen?
Vi kjenner posisjonen til ballen når den treffer kurven og leter etter posisjon i
utgangspunkt. Først finner vi tiden 𝑡1 når ballen treffer kurven:
1
𝑥(𝑡1 ) = 𝑣0 𝑡1 = 7 m
2
2𝑣0
𝑡1 =
= 1.49 s
𝑥(𝑡1 )
Vi vet at kurven er i posisjon 𝑦(𝑡1 ) = 𝑦1 = 3.5 m over bakken:
1
√3
𝑣0 𝑡1 − 𝑔𝑡12
2
2
1
√3
𝑦0 = 𝑦(𝑡1 ) −
𝑣0 𝑡1 + 𝑔𝑡12 = 2.26 m
2
2
𝑦(𝑡1 ) = 𝑦0 +
d. Hva er hastigheten når ballen treffer kurven?
Vi setter inn:
1
𝑣𝑥 (𝑡1 ) = 𝑣0 = 4.7 m/s
2
√3
𝑣𝑦 (𝑡1 ) =
𝑣 − 𝑔𝑡1 = −6.5 m/s
2 0
𝑣⃗(𝑡1 ) = (4.7𝑖̂ − 6.5𝑗̂) m/s