miten määritän asymptootit?

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT?
1
Asymptootti
Asymptootti on suora tai muu käyrä, jota funktion kuvaaja y = f(x) rajatta lähestyy,
kun muuttujan x arvot lähestyvät tiettyä lukua tai ääretöntä.
Rajoitutaan aluksi niihin tapauksiin, joissa asymptootti on suora. Se voi tällöin olla vaakasuora eli x-akselin suuntainen, pystysuora eli y-akselin suuntainen tai vino suora.
Esimerkkejä asymptoottiaan lähestyvistä käyristä. Asymptootti on piirretty katkoviivalla.
Esimerkki 1.
Esimerkki 2.
y
Esimerkki 3.
y
y
y=b
y=
x
y = f (x)
kx
+b
x
y = f (x)
x
x=a
y = f (x)
Esimerkki 1.
Asymptoottina on vaakasuora suora y = b.
Kuvan esittämässä tilanteessa lim f ( x) = b eli lim (b − f ( x)) = 0 .
Esimerkki 2.
Asymptoottina on pystysuora suora x = a.
Kuvan esittämässä tilanteessa lim f ( x) = ∞ .
x →∞
x →∞
x →a −
Esimerkki 3.
Asymptoottina on vino suora y = kx + b.
Kuvan esittämässä tilanteessa lim (kx + b − f ( x)) = 0 .
x→∞
1 Murtofunktion kuvaajan asymptootit
Murtofunktioksi sanotaan rationaalifunktiota, joka voidaan esittää kahden polynomin
p ( x)
osamääränä eli muodossa f ( x) =
. Oletetaan, että lauseke on supistettu yksinkerq ( x)
taisimpaan muotoonsa ja siinä nimittäjän asteluku on vähintään yksi. Murtofunktiot ovat
siis rationaalifunktioita, joiden lausekkeet eivät ole polynomeja. Ero on tässä asiayhteydessä tarpeen tehdä siksi, että polynomifunktioiden kuvaajilla ei ole asymptootteja.
Jokaisen murtofunktion kuvaajalla on ainakin yksi asymptootti. Asymptootit kannattaa
usein määrittää siksi, että itse käyrä voidaan piirtää helposti niiden tuella. Asymptootit
muodostavat tietynlaiset kehykset varsinaiselle käyrälle. Seuraavissa esimerkeissä esiintyvät erilaiset suoraviivaiset asymptoottityypit. Koordinaattiakselista eroava asymptootti
on piirretty katkoviivalla.
2
Esimerkki 4
a) f ( x) =
1
x
b) f ( x) =
c) f ( x) =
x
1− x2
y
y
y
1
1
1
1
d) f ( x) =
3x
+1
x2
1
x
x2 −1
x
e) f ( x) =
2x 2
x2 + 4
f) f ( x) =
y
y
1
x
x2 +1
2x
y
1
1
x
1
x
1
1
x
1
x
Esimerkkien perusteella voidaan tehdä alustavia johtopäätöksiä asymptooteista. Ne
määräytyvät
● nimittäjän nollakohtien sekä
● osoittajan ja nimittäjän astelukujen perusteella
seuraavasti:
Asymptoottina on
1. pystysuora suora nimittäjän nollakohdissa (a, c, d ja f)
2. x-akseli, jos osoittajan asteluku on pienempi kuin nimittäjän (a, b ja c)
3. x-akselin suuntainen suora, jos osoittajan asteluku on sama kuin nimittäjän (e)
4. vino suora, jos osoittajan asteluku on yhtä yksikköä suurempi kuin nimittäjän (d ja f).
Perustellaan esimerkissä 4 esiintyvät asymptootit.
a)
1
1
= −∞ ja lim = ∞
x →0 − x
x →0 + x
1
lim = 0
x →±∞ x
lim
Pystysuora asymptootti on y-akseli eli
suora x = 0.
Vaakasuora asymptootti on x-akseli eli
suora y = 0.
3
b)
c)
x2 +1 ≠ 0
3x
3/ x
0
lim
= lim
= =0
x → ±∞ x 2 + 1
x → ±∞ 1 + 1 / x 2
1
e)
f)
Vaakasuora asymptootti on x-akseli eli
suora y = 0.
Toispuoliset raja-arvot kohdissa x = –1 Pystysuorat asymptootit ovat x = ±1 .
ja x = 1 antavat + tai – äärettömän.
1/ x
0
x
= lim
=
=0
2
x → ±∞ 1 − x
x → ±∞ 1 / x − 1
−1
Vaakasuora asymptootti on x-akseli eli
suora y = 0.
x2 −1
1⎞
⎛
= lim ⎜ x − ⎟ = m ∞
x →0 ±
x →0 ± ⎝
x
x⎠
1
x2 −1⎞
⎛
lim ⎜ x −
⎟ = lim = 0
x → ±∞⎝
x ⎠ x →±∞ x
Pystysuora asymptootti on y-akseli eli
suora x = 0.
x2 + 4 ≠ 0
2x 2
2
lim
= lim
=2
x → ±∞ x 2 + 4
x → ±∞ 1 + 4 / x 2
Pystysuoria asymptootteja ei ole.
x2 +1
⎛x 1 ⎞
= lim ⎜ +
⎟ = ±∞
x →0 ± 2 x
x →0 ± ⎝ 2
2x ⎠
⎛ 1 ⎞
⎛ x x2 + 1⎞
lim ⎜ −
⎟ = lim ⎜ − ⎟ = 0
x → ±∞ ⎝ 2
2 x ⎠ x →±∞⎝ 2 x ⎠
Pystysuora asymptootti on y-akseli eli
suora x = 0.
lim
d)
Pystysuoria asymptootteja ei ole.
lim
lim
Vino asymptootti on y = x.
Vaakasuora asymptootti on y = 2.
Vino asymptootti on y =
x 1
= x.
2 2
Murtofunktion kuvaajan asymptooteista vinot asymptootit määritetään käytännössä niin,
p ( x)
s ( x)
että murtolauseke saatetaan muotoon
= r ( x) +
, jossa s (x ) :n asteluku on pieq( x)
q( x)
x2 −1
1
x2 +1 x 1
nempi kuin q (x) :n asteluku. Esimerkiksi
. Usein
= x − tai
= +
2x
2 2x
x
x
tähän tarvitaan kuitenkin jakokulmassa jakamista. Siihen liittyy seuraava esimerkki.
Esimerkki 5
Määritä käyrän y =
x 2 − 3x + 4
vino asymptootti.
x −1
Ratkaisu:
x−2
x − 1 x 2 − 3x + 4
m x2 ± x
− 2x + 4
± 2x m 2
+2
Vastaus: y = x − 2
Vaillinaiseksi osamääräksi saatiin x – 2 ja jakojäännökx 2 − 3x + 4
2
seksi +2, joten
. Tästä näh= x−2+
x −1
x −1
dään, että kun x → ±∞ , lausekkeen arvot lähestyvät
2
suoran y = x − 2 vastaavia arvoja, sillä
→ 0 . Vino
x −1
asymptootti on siis y = x − 2 .
4
2 Eräiden tunnettujen käyrien asymptootit
Eksponenttifunktion kuvaaja
Eksponenttifunktion f ( x) = a x kuvaajan asymptoottina on x-akseli, sillä
y
y
lim a x = 0 , kun a > 1,
x →−∞
1
ja
lim a x = 0 , kun 0 < a < 1.
1
x
x →∞
x
y = ax, a >1
y = ax, 0 < a <1
y
y
Logaritmifunktion kuvaaja
Logaritmifunktion f ( x) = log a x kuvaajan asymptoottina on y-akseli, sillä
lim log a x = −∞ , kun a > 1,
x →0 +
ja
lim log a x = ∞ , kun 0 < a < 1.
x →0 +
1
1
x
y = log a x, a > 1
x
y = log a x, 0 < a < 1
Potenssifunktion kuvaaja
Potenssifunktio määritellään yhtälöllä f ( x) = x a , jossa
x > 0 ja a ∈ R . Kun a < 0, käyrällä y = x a on asymptoottina sekä x-akseli että y-akseli.
Potenssifunktion määrittelyjoukkoa voidaan laajentaa.
Jos n ∈ Z + (esim. f ( x) = x 2 , x ∈ R ), asymptootteja ei ole.
Jos taas n ∈ Z − (esim. f ( x) = x −3 =
1
, x ≠ 0 ), asymptootx3
y
y = xa
a<0
1
1
x
teina ovat koordinaattiakselit.
Hyperbeli
Kun hyperbelin keskipisteenä on origo ja huiput ovat xx2 y2
akselilla, yhtälö on
−
= 1.
a2 b2
b
Asymptootteina ovat suorat y = ± x . Nämä ovat myös
a
x2 y2
liittohyperbelin
−
= −1 asymptootit.
a2 b2
y
b
a
x
5
3 Käyräviivaiset asymptootit
p( x)
osoittajan p (x ) asteluku on vähintään kahta suuq( x)
p ( x)
rempi kuin nimittäjän q (x) , funktion kuvaajalla y =
on käyräviivainen asympq( x)
tootti. Näiden tarkastelu ei kuulu keskeiseen oppiainekseen, joten havainnollistetaan tätä
aihetta vain esimerkillä.
Jos murtofunktion lausekkeessa
Esimerkki 6
Määritä funktion f ( x) =
x3 + 1
kuvaajan käyräviivainen asymptootti ja piirrä käyrä
x
asymptootteineen.
Ratkaisu:
Asymptootti saadaan selville, kun lauseke kirjoitetaan jakolaskulla
1
1
saatuun muotoon x 2 + . Kun nyt x → ±∞ , niin → 0 , joten kux
x
1
vaaja lähestyy rajatta paraabelia y = x2 . Termin merkistä voix
daan piirtämisen tueksi päätellä, millä puolella asymptoottiaan
1
käyrä on. Kun esimerkiksi x = –2, on < 0, joten käyrän piste on
x
paraabelin pisteen alapuolella. Ohessa on funktion kuvaaja.
1
1
Vastaus: y = x2
Tehtäviä
Määritä tehtävissä 1 ja 2 käyrien asymptootit ja piirrä niiden tuella käyrät.
1.
2.
1
x2
−x
a) y =
x +1
a) y =
2x
x +1
x2 −1
b) y =
x
b) y =
c) y =
c) y =
3
+1
x2
x2
1− x2
Määritä asymptootit tehtävissä 3–7. Piirrä tarkistuksen vuoksi graafisella laskimella
kuvaajat asymptootteineen.
3.
a) y =
4.
a) y =
5.
a) y =
1− 2x2
1− x2
b) y =
x2 −1
x2 +1
c) y =
1 − 2x 2
x2
4
+x−4
x+6
b) y =
2x3 + 1
x2
c) y =
x3 + 5x 2 − 4
2x2
x2
2x + 2
b) y =
x2
1− x
c) y =
x2 + 2x − 2
2x − 2
6
( x − 1) 2
x 2 + 2x
x2 −1
x−2
x2 − 6
x−3
6.
a) y =
7.
a) y = π x
8.
Määritä annetun käyrän asymptootit ja piirrä graafisen laskimen avulla käyrä
x4 + 1
x4 − 1
x4 +1
asymptootteineen.
a) y =
b) y =
c) y =
x
x
2x2
9.
Määritä annetun hyperbelin asymptootit.
x2
a) x 2 − y 2 = 1
b)
c) 2 x 2 − 4 y 2 = 8
− 4y2 = 1
2
Osoita y-koordinaattien erotusta tarkastelemalla, että käyrä y = ln(1 + e x ) lähenee
rajattomasti suoraa y = x, kun x → ∞ . (yo-teht. S91/8)
10.
b) y =
b) y = 2 − x
c) y =
c) y = x −2
11.
Käyrällä y = x 3 ( x 2 − 1) −1 on kolme suoraviivaista asymptoottia. Määritä ne ja
piirrä käyrä asymptootteineen. (yo-teht. S96/7)
12.
Käyrän y =
x2 +1
mielivaltaiseen pisteeseen P(a, b) asetettu tangentti ja käyrän
x
asymptootit rajoittavat kolmion. Osoita, että kolmion ala ei riipu sivuamispisteestä
P. Piirrä kuvio. (yo-teht. K98/9)
Vastauksia
1.
a) x = 0, y = 0
b) x = –1, y = 2
c) y = 0
2.
a) x = –1, y = –1
b) x = 0, y = x
c) x = ±1 , y = –1
3.
a) x = ±1 , y = 2
b) y = 1
c) x = 0, y = –2
4.
a) x = –6, y = x – 4
b) x = 0, y = 2x
c) x = 0, y =
1
1
x+2
2
2
5.
a) x = –1, y =
c) x = 1, y =
1
1
x +1
2
2
6.
a) x = 0, x = –2, y = 1 b) x = 2, y = x + 2
c) x = 3, y = x + 3
7.
a) y = 0
b) y = 0
c) x = 0, y = 0
8.
a) x = 0, y =
b) x = 0, y = x 3
c) x = 0, y = x 3
9.
a) y = ± x
10.
Vihje: Merkitse aluksi x = ln e x .
11.
x = ±1 , y = x Määritä piirtämisen tueksi ääriarvot y (± 3 ) = ±3 3 / 2 .
12.
Asymptootit ovat x = 0 ja y = x. Kolmion ala on 2.
1
1
b) x = 1, y = –x – 1
x−
2
2
1 2
x
2
b) y = ±
2
x
4
c) y = ±
2
x
2