Jos signaali s : R → C on - MyCourses - Aalto
Transcription
Jos signaali s : R → C on - MyCourses - Aalto
MS-C1420 Fourier-analyysi (Aalto-yliopisto) Turunen / Mustonen Harjoituskierros 7/12 (28.-30.9.2015) Jos signaali s : R → C on 1-jaksollinen eli s(t+1) = s(t) kaikilla t ∈ R, merkitään silloin s : R/Z → C. Tällaisen 1-jaksollisen signaalin Fourier-muunnos on funktio sb : Z → C, missä Fourier-kertoimet lasketaan kaavalla Z Z 1 sb(ν) := e−i2πt·ν s(t) dt = e−i2πt·ν s(t) dt. (1) 0 R/Z Seuraavia tehtäviä nro 1–4 lasketaan paikalla harjoituksessa (1p aktiivisesta osallistumisesta: keskity erityisesti itsellesi uusiin asioihin). 1. Laske signaalin s : R/Z → C Fourier-kerroinmuunnos sb : Z → C, kun s(t) = cos(2πt)2 . [Vihje: Eulerin kaava cos(α) = (eiα + e−iα )/2.] 2. Laske Fourier-kertoimet, kun s : R/Z → C, s(t) = t (missä |t| < 1/2). 3. Olkoon 0 < r < 1. Poisson-näyteydin ϕr : R/Z → R määritellään kaavalla X ϕr (t) := r|ν| ei2πt·ν . ν∈Z 1 Z Näytä laskemalla, että ϕr (t) dt = 1 ja että ϕr (t) = 0 1 − r2 . 1 + r2 − 2r cos(2πt) Laske myös Poisson-ytimen suurin ja pienin arvo. 4. Olkoon s : R/Z → C sileä. Perustele välivaiheet seuraavassa laskussa: Z s(t) = r→1− s(u) ϕr (t − u) du 0 Z = = = 1 lim 1 lim s(u) r→1− 0 lim X r→1− X X r|ν| ei2π(t−u)·ν du ν∈Z sb(ν) r|ν| ei2πt·ν ν∈Z sb(ν) ei2πt·ν . ν∈Z 1 ————————————————————————————————— Kotitehtävä 7. (2p) Tarkastetaan harjoituksessa nro 9/12: Laske Fourier-kertoimet, kun s : R/Z → C, s(t) = |t| (missä |t| ≤ 1/2). STACK-tehtävät 4. (2p) Tee verkossa (su 4.10.2015 klo 23:00 mennessä). 2