5 - Otava
Transcription
5 - Otava
Lukion Calculus 5 MAA9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Trigonometriset funktiot ja lukujonot (MAA9) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut 1 Pikatesti (MAA9) 1. Muunna a) radiaaneiksi –1777°, b) asteiksi 1777 radiaania. Ratkaisu: a) − 1 777° = −1 777 ⋅ 2. π 180 ≈ −31,0 rad 180° π ≈ 101814,6° 7π ja sitä vastaavan kaaren pituus 5,5 cm. 4 Laske a) ympyrän säteen pituus, b) sektorin pinta-ala. Ympyrän sektorin keskuskulma on Ratkaisu: 5,5 cm a) r = ≈ 1,0 cm 7π 4 3. b) 1 777 = 1 777 ⋅ b) A = Määritä funktion f suurin ja pienin arvo. a) f ( x) = sin 5 x b) f ( x ) = 2 sin 5 x 1 ⋅ 5,5 cm ⋅ 1,0 cm ≈ 2,8 cm 2 2 c) f ( x ) = 1 + 2 sin 5 x Ratkaisu: Käytetään hyväksi tietoa, että sinifunktion suurin arvo on 1 ja pienin –1. a) sin5x:n suurin arvo 1 ja pienin arvo –1. (Esim. 5 x = π / 2 ja 5 x = −π / 2 ) b) 2sin5x:n suurin arvo on 2 ja pienin arvo –2. (Vrt. a-kohta) c) (1 + 2sin5x):n suurin arvo 3 ja pienin arvo –1. (Vrt. a-kohta) 4. Ratkaise yhtälö. Ilmoita tulos asteina. 2 a) sin 3 x = b) sin x = sin 35o 3 c) cos x − sin x = 0 Ratkaisu: 2 ⇔ 3 x = 41,8° + n ⋅ 360° tai 3 x = 138,2° + n ⋅ 360° 3 ⇔ x = 13,9° + n ⋅ 120° tai x = 46,1° + n ⋅ 120 ° b) sin x = sin 35° ⇔ x = 35° + n ⋅ 360° tai x = 145° + n ⋅ 360° c) cos x − sin x = 0 ⇔ cos x = sin x ⇔ tan x = 1 ⇔ x = 45° + n ⋅ 180° a) sin 3 x = 5. Derivoi. x π a) sin( − ) 2 4 b) cos x x2 c) tan x 4 Ratkaisu: x π 1 x π a) D sin( − ) = cos( − ) 2 4 2 2 4 2 cos x x (− sin x) − 2 x cos x x sin x + 2 cos x b) D 2 = = − x x4 x3 c) D tan x 1 x = (1 + tan 2 ) 4 4 4 © Lukion Calculus 5 2 6. Trigonometriset funktiot ja lukujonot (MAA9) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Jatka lukujonoa kolmella luvulla. Etsi löytämääsi sääntöä noudattava yleisen jäsenen an lauseke. 1 2 3 a) 5, 8, 11, … b) , , , ... c) 3, 12, 27, … 3 4 5 Ratkaisu: a) 14, 17, 20, a n = 2 + 3n 7. b) n 4 5 6 , , , an = n +1 6 7 8 c) 48, 75,108, a n = 3n 2 Määritä lukujonon (a n ) kymmenes jäsen, kun a1 = 1, a 2 = 3 ja a n +1 = a n + a n −1 , kun n ≥ 2. Ratkaisu: Jäsenet kolmannesta lähtien saadaan kahden edellisen summana. Jonon kymmenen ensimmäistä jäsentä ovat: 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123. Näin ollen a10 = 123. 8. Tutki lukujonon suppenevuutta ja määritä raja-arvo, mikäli lukujono suppenee. n +1 3n − 1 a) a n = b) a n = 2 c) a n = 5 n − 5 n +1 n +1 Ratkaisu: 1 n = 3 . Lukujono suppenee, ja raja-arvo on 3. 1 1+ n 1 1+ n +1 n = 0 . Lukujono suppenee, ja raja-arvo on 0. = lim b) lim 2 n →∞ n + 1 n →∞ 1 n+ n c) Lukujono hajaantuu, sillä lim (5 n − 5) = ∞. 3n − 1 = lim a) lim n →∞ n + 1 n →∞ 3− n →∞ 9. Laske summa. a) 7 + 14 + 21 + … + 539 b) 7 + 49 + 343 + … + 823 543 Ratkaisu: a) Summa on aritmeettinen, a1 = 7 ja d = 7. Yhteenlaskettavien lukumäärä n = 77 7 + 539 lasketaan yhtälöstä 539 = 7 + (n − 1) ⋅ 7 . Tällöin S = 77 ⋅ = 21 021. 2 b) Summa on geometrinen, a1 = 7 ja q = 7. Yhteenlaskettavien lukumäärä n = 7 lasketaan yhtälöstä 823 543 = 7 ⋅ 7 n −1 . Tällöin S = 10. 7 ⋅ (1 − 7 7 ) = 960 799. 1− 7 Sadantuhannen euron laina maksetaan takaisin kymmenessä vuodessa suorittamalla kunkin vuoden lopussa lyhennyksestä ja korosta muodostuva vakioerä. Minkä suuruinen tämä vakioerä on, kun vuotuinen korko on neljä prosenttia? © Lukion Calculus 5 Trigonometriset funktiot ja lukujonot (MAA9) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut 3 Ratkaisu: Soveltamalla annuiteetin kaavaa a = a= α n (1 − α ) ⋅ k saadaan 1−α n 1,0410 (1 − 1,04) ⋅ 100 000 ≈ 12 329,09 (euroa) 1 − 1,0410 Kertauskoe 1 (MAA9) 1. Johda käyrälle y = sin x origoon asetetun tangentin yhtälö. Laske sitten x:n arvoa 0,25 vastaava y:n arvo sekä käyrältä että tangentilta ja ilmoita arvot kahdella desimaalilla. Ratkaisu: Origoon asetetun tangentin yhtälö on muotoa y = f ′(0) ⋅ x . Koska f ( x ) = sin x , on f ′(0) = cos 0 = 1. Näin ollen tangentin yhtälö on y = x. Arvo käyrältä on y = sin 0,25 ≈ 0,25 , ja arvo tangentilta y = x = 0,25. 2. Ratkaise yhtälö. Ilmoita vastaus radiaaneina. π a) cos( + x) = −0,222 b) sin 2 x = sin 3x 4 c) sin 3 x = 3 2 Ratkaisu: π π π a) cos( + x) = −0,222 ⇔ + x = ±1,795 + n ⋅ 2π ⇔ x = ±1,795 − + n ⋅ 2π 4 4 4 ⇔ x = 1,01 + n ⋅ 2π tai x = −2,58 + n ⋅ 2π b) sin 2 x = sin 3 x ⇔ 2 x = 3 x + n ⋅ 2π tai 2 x = π − 3 x + n ⋅ 2π 2π π ⇔ x = n ⋅ 2π tai x = + n 5 5 3 π π c) sin 3 x = ⇔ 3 x = + n ⋅ 2π tai 3 x = π − + n ⋅ 2π 2 3 3 2π 2π 2π π tai x = ⇔ x= +n +n 9 3 9 3 3. Laske lausekkeen sin x + sin y suurin arvo, kun x ja y ovat suorakulmaisen kolmion terävät kulmat. Ratkaisu: Oletuksen mukaan 0 < x , y < π 2 ja x + y = π 2 , joten π sin x + sin y = sin x + sin( − x ) = sin x + cos x . Funktion 2 f ( x ) = sin x + cos x derivaatan f ′ ( x ) = cos x − sin x nollakohdat saadaan yhtälöstä tan x = 1. Ainoa kysymykseen tuleva kulma on f '(x) + π 4 . Se on maksimikohta, ja funktio saa siinä suurimman arvonsa 2 . © Lukion Calculus 5 4 4. Trigonometriset funktiot ja lukujonot (MAA9) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Määritä ne kaksi lukua, joiden summa, erotus, tulo ja osamäärä ovat tässä järjestyksessä aritmeettisen jonon peräkkäisiä jäseniä. Ratkaisu: Olkoot luvut a ja b. Tällöin jonon peräkkäiset jäsenet ovat a + b, a – b, ab ja a . Ehb dosta, että kyseessä on aritmeettinen lukujono saadaan yhtälöpari a(b − 1) = −3b ⎧a − b − (a + b) = ab − (a − b) ⎧ ⎪ ⎪ ja edelleen ⎨ 1 a ⎨ − ab = ab − (a − b) ⎪⎩ ⎪⎩a( b − 2b + 1) = b. b 9 3 Ratkaisuna saadaan a = − ja b = − . 8 5 5. Metsäpalstalla on kaikkiaan 7 000 eri-ikäistä puuta, taimet mukaan lukien. Joka vuosi metsää harvennetaan 12 % puista ja samalla istutetaan 600 puuntainta. Kuinka monta puuta metsässä on kahdeksan vuoden kuluttua viimeisen istutuksen jälkeen? Ratkaisu: Puumäärä kahdeksantena vuotena viimeisen istutuksen jälkeen on 600 ⋅ (1 − 0,888 ) 0,888 ⋅ 7 000 + 600 ⋅ (0,88 7 + 0,88 6 + ... + 1) = 0,888 ⋅ 7 000 + ≈ 5700 . 1 − 0,88 Kahdeksan vuoden kuluttua metsässä on noin 5 700 puuta. 6. n2 suurin jäsen. Ilmoita suurimman jäsenen tarkka n 3 + 210 arvo sekä likiarvo viiden desimaalin tarkkuudella. Määritä lukujonon a n = Ratkaisu: x2 , x ≥ 1 , joka on jatkuva välillä x ≥ 1 ja derivoiTutkitaan funktiota f ( x) = 3 x + 210 420 x − x 4 ainoa nollakohta tuva välillä x > 1. Derivaatan f ′( x) = 3 ( x + 210) 2 x = 3 420 ≈ 7,49 on funktion suurimman arvon kohta. Arvoilla 1 ≤ x ≤ 3 420 funk- tio on aidosti kasvava ja arvoilla x ≥ 3 420 aidosti vähenevä. Siksi jompikumpi lu7 vuista f (7) tai f (8) on lukujonon suurin jäsen. Koska f (7) = ≈ 0,08861 ja 9 32 32 f (8) = ≈ 0,08864 , lukujonon kahdeksas jäsen a8 = ≈ 0,08864 on suurin. 361 361 7. Lausu lukua n käyttäen summa 1 + 2 + 4 + 5 + 7 + 8 + ... + (3n – 2) + (3n – 1). Ratkaisu: Summa voidaan jakaa kahdeksi osasummaksi seuraavasti: 1 + 2 + 4 + 5 + 7 + 8 + ...+ (3n – 2) + (3n – 1 ) = (1 + 4 + 7 +...+(3n – 2)) + (2 + 5 + 8 +...+ (3n – 1)) © Lukion Calculus 5 Trigonometriset funktiot ja lukujonot (MAA9) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut 5 Edellinen on aritmeettinen summa, jossa a1 = 1, d = 3 , termien lukumäärä n ja sum1 + (3n − 2) 3n 2 − n = . 2 2 Jälkimmäisessä summassa a1 = 2, d = 3 , termien lukumäärä n ja summan arvo man arvo S = n ⋅ S = n⋅ 2 + (3n − 1) 3n 2 + n 3n 2 − n 3n 2 + n = . Yhteensä osasummat ovat + = 3n 2 . 2 2 2 2 y 8. y = 3sinx Millä muuttujan x arvolla oheiseen kuvaan piirretyn suorakulmion piiri on pisin mahdollinen? Ilmoita vastaus kolmen desimaalin tarkkuudella. π x x Ratkaisu: Käyrä y = 3 sin x kulkee origon kautta ja sen ensimmäinen positiivinen nollakohta on x = π . Suorakulmion kannan pituus on kuvan merkintöjen mukaisesti π − 2x. π Piirin pituuden ilmaisee funktio p ( x) = 2(π − 2 x ) + 6 sin x, 0 ≤ x ≤ . Derivaatan 2 2 p ′( x ) = −4 + 6 cos x ainoa nollakohta x ≈ 0,841 ratkeaa yhtälöstä cos x = . Siinä 3 kohdassa piiri saavuttaa pisimmän arvonsa p (0,841) ≈ 7,39 , sillä määrittelyvälin π päätepistearvot p (0) = 2π ja p ( ) = 6 ovat sitä pienempiä. 2 Kertauskoe 2 (MAA9) 1. Kulma α on kolmannessa neljänneksessä ja sin α = − cos α ja tan α tarkat arvot. 5 . Määritä funktioiden 13 Ratkaisu: Koska kulma α on kolmannessa neljänneksessä, sen kosini on negatiivinen. 5 25 12 − 5 / 13 5 cos α = − 1 − (− ) 2 = − 1 − = − , tan α = = 13 13 169 − 12 / 13 12 2. Ratkaise yhtälö. π a) sin 2 x = sin( − 2 x) 4 Ratkaisu: a) sin 2 x = sin( π 4 b) 2 cos( x + − 2 x) ⇔ 2 x = ⇔ 4x = π 4 π 4 π 3 c) tan 3x = ) = −1 − 2 x + n ⋅ 2π tai 2 x = π − ( + n ⋅ 2π ⇔ x = π 16 +n π π 4 1 3 − 2 x ) + n ⋅ 2π 2 © Lukion Calculus 5 6 Trigonometriset funktiot ja lukujonot (MAA9) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut b) 2 cos( x + π 3 ) = −1 ⇔ cos( x + ⇔x=− c) tan 3x = 3. 1 3 ⇔ 3x = π 6 π 3 π 3 ± )=− 1 2π π ⇔ x+ =± + n ⋅ 2π 2 3 3 2π π + n ⋅ 2π ⇔ x = + n ⋅ 2π tai x = −π + n ⋅ 2π 3 3 + nπ ⇔ x = π 18 +n π 3 Määritä funktion f suurin arvo. a) f ( x ) = 4 − cos 4 x b) f ( x) = sin x x + cos 2 2 Ratkaisu: a) cos 4 x :n suurin arvo on 1 ja pienin –1. (Esim. 4x = 0 ja 4 x = π ). Silloin funktion f ( x ) = 4 − cos 4 x suurin arvo on 5 ja pienin 3. Toisin: Tehtävä voidaan ratkaista myös tavalliseen tapaan ääriarvotehtävänä funktion derivaattaa käyttäen. π x x b) Muunnoskaavan sin x + cos x = 2 sin( x + ) avulla funktion f ( x) = sin + cos 4 2 2 ⎛x π ⎞ lauseke saadaan muotoon f ( x) = 2 sin ⎜ + ⎟ . Koska x saa kaikki reaalilukuarvot, ⎝2 4⎠ ⎛x π⎞ sin ⎜ + ⎟ :n suurin arvo on 1, joten funktion suurin arvo on 2 . ⎝2 4⎠ x x ⎛x ⎞ ⎛x ⎞ Toisin: Jaksollisuuden takia f ( x) = sin + cos = sin ⎜ + n 2π ⎟ + cos⎜ + n 2π ⎟ = 2 2 ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ 1 2 1 2 sin ( x + n 4π ) + cos ( x + n4π ) . Nähdään, että funktion arvot toistuvat 4π :n välein, joten rajataan tutkimus välille [0, 4π ]. Ratkaistaan derivaatan nollakohdat: x x 1 x 1 x x π + cos ⇒ f ′( x) = cos − sin = 0 ⇔ tan = 1 ⇔ x = + n 2π 2 2 2 2 2 2 2 2 5π π π ja . Koska f (0) = 1 , f ( ) = 2 , Kysymykseen tulevat kohdat 2 2 2 5π f ( ) = − 2 ja f ( 4π ) = 1 , funktion suurin arvo on 2. 2 f ( x) = sin 4. Helsingin Nikolain kirkon portaat ovat lampuilla valaistavat: ylimmälle portaalle asetetaan yksi lamppu, toiselle kaksi, kolmannelle kolme jne., niin että kullekin portaalle pannaan yksi lamppu enemmän kuin lähinnä olevalle ylimmälle portaalle. Tähän tarvitaan 1 081 lamppua. Montako porrasta on? (yo-teht. 1880) Ratkaisu: Portaille asetetut lamput muodostavat aritmeettisen jonon, jossa a1 = 1 ja d = 1. Alimmalle portaalle tarvittavien lamppujen määrä n on sama kuin portaiden luku1 + (1 + ( n − 1) ⋅ 1) , joka sievenee toisen määrä, ja se ratkaistaan yhtälöstä 1 081 = n ⋅ 2 asteen yhtälöksi n 2 + n − 2 162 = 0 . Positiivisena juurena n = 46 , joka merkitsee portaitten lukumäärää. © Lukion Calculus 5 Trigonometriset funktiot ja lukujonot (MAA9) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut 5. 7 Selvitä, mikä seuraavista maksutavoista on omakotitalon myyjälle edullisin. Vaihtoehdossa A 60 000 euron kauppasummasta maksettaisiin kaupantekohetkellä 20 000 euroa, 20 000 euroa kahden vuoden kuluttua ja loput neljän vuoden kuluttua. Vaihtoehdossa B 55 000 euron kauppasummasta maksettaisiin heti 40 000 euroa ja loput kolmen vuoden kuluttua. Vaihtoehdossa C maksettaisiin kaupantekohetkellä 52 000 euroa. Laskennassa käytetään korkokantaa 4,7 %. Ratkaisu: Vaihtoehto A: 20 000 + 20 000 ⋅ 1,047 −2 + 20 000 ⋅ 1,047 −4 ≈ 54 888 (euroa) Vaihtoehto B: 40 000 + 15 000 ⋅ 1,047 −3 ≈ 53 069 (euroa) Vaihtoehto C: 52 000 (euroa) Vaihtoehto A on edullisin. 6. Geometrisen jonon kolmen ensimmäisen jäsenen summa on 3 ja kuuden mäisen jäsenen summa 12. Laske yhdeksän ensimmäisen jäsenen summa. ensim- Ratkaisu: Olkoon jono a, aq, aq 2 ,... Tällöin on a + aq + aq 2 = 3 ja 12 = a + aq + aq 2 + ... + aq 5 = a + aq + aq 2 + q 3 ( a + aq + aq 2 ) = 3 + 3q 3 . Siis q 3 + 1 = 4 eli q = 3 3. Edelleen S = 12 + aq 6 + aq 7 + aq 8 + aq 9 = 12 + q 6 ( a + aq + aq 2 ) = 12 + 3(3 3 ) 6 = 39. 7. Millä x:n arvoilla ln 2, ln(2 x − 1) ja ln( 2 x + 1) ovat aritmeettisen lukujonon kolme ensimmäistä jäsentä? Ilmoita tarkka arvo ja likiarvo kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella. Ratkaisu: Ehto toteutuu, kun ln( 2 x + 1) − ln( 2 x − 1) = ln(2 x − 1) − ln 2. Sievennyksen tuloksena saadaan toisen asteen yhtälö ( 2 x ) 2 − 4 ⋅ 2 x − 1 = 0 , jonka ratkaisuna 2 x = 2 ± 5 . Koska miinusmerkki ei tule kysymykseen, on x = 8. ln(2 + 5 ) ≈ 2,08. ln 2 Määritä ne xy-tason pisteet, joilla sin x sin y + cos x cos y = 1 .Piirrä kuvio. (yo-teht. K90/8) Ratkaisu: Kosinin vähennyslaskukaavan perusteella yhtälö sin x sin y + cos x cos y = 1 voidaan kirjoittaa muotoon cos( x − y ) = 1. Tämä toteutuu, kun x − y = n ⋅ 2π . Yhtälö esittää parvea yhdensuuntaisia suoria y = x + n ⋅ 2π , n ∈ Z . Esimerkiksi, jos n = 0, suora on y = x. © Lukion Calculus 5