geometrisk tegning

GEOMETRISK TEGNING · SIDE 114-133
OM KAPITLET
I dette kapitel om geometrisk tegning skal eleverne
arbejde med forskellige tegneteknikker og hjælpemidler.
De skal gengive og undersøge muligheder og begræns­
ninger ved både plane og rumlige figurer.
104
ELEVMÅL FOR KAPITLET
HUSKELISTE
Målet er, at eleverne:
PRINTARK
• kan anvende nogle grundlæggende tegnemetoder til
• A6 Figurkort
gengivelse af to- og tredimensionale figurer
• kan beskrive og undersøge linjers indbyrdes forhold
• A7 Store konstruktioner
• E7 Begreber og fagord – Geometrisk tegning
og beliggenhed knyttet til polygoner og cirkler
• kan anvende forskellige metoder til at fremstille og
MATERIALER
undersøge to- og tredimensionale figurer - både på
•Centicubes
papir og ved hjælp af digitale værktøjer
•Vinkelmåler
• kender til muligheder og begrænsninger i de forskel­
lige tegneformer til gengivelse af rumlighed.
•Passer
•Teodolit
• Målebånd eller målehjul
•Snor
FAGLIGE BEGREBER
• Flag, atletikspyd eller lign. til markering
• Videooptager – fx en mobiltelefon
•Karton
I kapitlet arbejdes med følgende centrale fagord og
•Saks
begreber:
• Lim og/eller tape
• midtpunkt og midtnormal
•skitse
•vinkelhalveringslinje
•topvinkler
DIGITALT VÆRKTØJ
• Dynamisk geometriprogram
•Skærmoptager
• ensliggende vinkler
•ligedannethed
• isometrisk tegning
•projektionstegning.
FÆLLES MÅL
På MULTIs hjemmeside er der en oversigt over, hvilke
Fælles Mål der er sat op for arbejdet med kapitlet.
105
GEOMETRISK TEGNING · SIDE 114-115
GEOMETRISK TEGNING
Geometrisk tegning
OPGAVE 2
Herunder er beskrevet og skitseret seks forskellige
figurer.
LYT OG TEGN
Tegn fire af de seks figurer
I dette kapitel skal du arbejde med geometrisk
Geometrisk tegning handler blandt andet om, at
tegning.
kunne undersøge og gengive to­ og tredimen­
A ved hjælp af passer, lineal og vinkelmåler.
sionale objekter fra omverdenen. Du skal i dette
B med et digitalt værktøj.
Aktivitet for to personer.
Materialer: Figurkort (A6), centicubes,
isometrisk papir eller et digitalt værktøj med
kapitel arbejde med forskellige tegneteknikker og
isometrisk tegneflade.
hjælpemidler.
I en trekant måler siderne
7, 5 og 10 cm.
I den første del af kapitlet skal du undersøge og
gengive forskellige plane figurer. Du skal lære, hvilke
I denne aktivitet skal I bygge figurer af centicubes
og tegne figurer, der er bygget af centicubes.
I skal tegne isometriske tegninger og arbejds­
informationer du kan læse ud af de forskellige typer
tegninger.
Den sidste del af kapitlet har fokus på muligheder
og begrænsninger i forbindelse med gengivelse af
rumlige figurer.
tegninger (også kaldet projektionstegning).
Et parallelogram har omkredsen
10 cm, en side med længden
4 cm og en vinkel på 45°.
MÅL, FAGORD OG BEGREBER
Du skal arbejde med:
•
•
•
kan anvende nogle grundlæggende tegne­
metoder til gengivelse af to­ og tredimensionale
•
midtnormal
•
vinkelhalveringslinje
kan beskrive og undersøge linjers indbyrdes
•
skitse
forhold og beliggenhed knyttet til polygoner og
•
ligedannethed
cirkler
•
topvinkel
kan anvende forskellige metoder til at fremstille
•
ensliggende vinkler
og undersøge to­ og tredimensionale figurer ­
•
isometrisk tegning
både på papir og ved hjælp af digitale værktøjer
•
projektionstegning.
3 cm
•
3 cm
108°
tegnes en arbejdstegning. Hvis det er en
108°
arbejdstegning, der er vist, skal der tegnes
en isometrisk tegning.
3 cm
4,5 cm
5 cm
tegningen og den isometriske tegning inden
Tal om:
3,8 cm
161°
3 cm
C et digitalt værktøj.
D Hvilken tegneteknik synes du gav den mest
nøjagtige tegning?
E Hvilken tegneteknik kan du bedst lide at bruge?
Hvorfor?
OPGAVE 3
Tegn to polygoner,
A der er kongruente.
B der er ligedannede i længdeforholdet 1:3.
C der er ligedannede i længdeforholdet 4:1.
60°
FACIT
Intet fast facit.
OPGAVE 3
Intet fast facit.
næste opgavekort trækkes.
DEL 2
110,5°
5,2 cm
A passer, lineal og vinkelmåler.
B passer og lineal.
OPGAVE 2
Når I har bygget figuren og tegnet den, så skal
I sammenligne den byggede figur, arbejds­
Tegn de tre figurer ved hjælp af
Intet fast facit.
“Tegneren” skal tegne figuren ud fra
tegning, der er vist på opgavekortet, skal der
3 cm
108°
FORHÅNDSVIDEN
OPGAVE 1
“Beskriveren” beskriver herefter figuren for
beskrivelsen. Hvis det er en isometrisk
3 cm
5 cm
60°
•
108°
skellige tegneformer til gengivelse af rumlighed.
OPGAVE 1
“Beskriveren” trækker et opgavekort og
“Tegneren”.
SKITSE
108°
kender til muligheder og begrænsninger i de for­
106
Klip figurkortene ud og læg dem på bordet med
bagsiden opad.
bygger den viste figur.
midtpunkt
figurer
60°
og ”Tegner”. ”Tegneren” må ikke kunne se
•
Målet er, at du:
•
DEL 1
Regler: I skal på skift have rollerne “Beskriver”
figuren eller opgavekortet.
Et kvadrat har omkredsen 16 cm.
•
AKTIVITET
A Var der altid overensstemmelse mellem
arbejdstegning, figur og isometrisk tegning?
Hvorfor/hvorfor ikke?
B Hvorfor kunne det være svært at beskrive
figuren?
C Hvorfor kunne det være svært at tegne
figuren ud fra en beskrivelse?
115
GEOMETRISK TEGNING · SIDE 116-117
116
GEOMETRISK TEGNING
GEOMETRISK TEGNING
TEORI
Alle opgaver på denne side tegnes ved hjælp af
OPGAVE 7
passer, lineal og blyant.
A Tegn tre trekanter:
KLASSISK GEOMETRI
•
en retvinklet
•
en spidsvinklet
•
en stumpvinklet
TEGN VINKELHALVERINGSLINJEN
Tegn en vilkårlig vinkel og kald vinkelspidsen A.
B Tegn alle højder i hver af de tre trekanter.
du skal fremstille tegninger på denne måde, så vil du
Tegn en cirkel med centrum i A. Afsæt med
C Beskriv, hvad du finder ud af om højdernes
oftest få to punkter som udgangspunkt.
passeren to punkter (B og C) på vinklens to ben
og med samme afstand til A. Sæt passeren i
•
tegne en linje gennem to givne eller konstruerede
punkter.
•
placering og skæringspunkt.
punktet B og tegn en cirkel som vist på tegnin­
OPGAVE 8
gen. Tegn en ny cirkel med samme radius, men
A Tegn en trekant med tre vinkelhalveringslinjer
nu med centrum i punktet C.
konstruere nye punkter
–
som skæringspunkt mellem to tegnede linjer
–
som skæringspunkter mellem to tegnede
–
som skæringspunkter mellem en tegnet linje
og tre midtnormaler.
Tegn vinkelhalveringslinjen v, der går gennem A
B Tegn trekantens indskrevne cirkel.
og skæringspunktet D.
C Tegn trekantens omskrevne cirkel.
D Hvad bruges henholdsvis vinkelhalveringslinjerne
OPGAVE 4
cirkler
D
B
kunne anvende nogle grundlæggende tegnemetoder.
dem. Tegn midtpunktet og midtnormalen til
OPGAVE 9
linjestykket.
B Tegn et linjestykke, der skæres af fire normaler.
Afstanden mellem normalerne skal være ens.
Herunder kan du se, hvordan forskellige linjer kan
Intet fast facit.
C De iagttagelser, der forventes beskrevet, er:
SKITSE
I en retvinklet trekant falder to af højderne sammen
Forklar, hvordan du gjorde.
tegnes.
A
C
med de to kateter.
OPGAVE 5
TEGN MIDTPUNKT OG MIDTNORMAL
Tegn figurerne herunder i længdeforholdet 1:2.
Tegn et linjestykke AB. Tegn en cirkel med centrum
C
i punktet A. Vælg en radius, der er større end den
A
halve afstand mellem A og B. Tegn en cirkelbue,
A
som vist herunder. Tegn en cirkelbue med centrum
TEGN EN HØJDE I EN TREKANT
i punktet B og samme radius. Tegn midtpunkt og
Tegn en trekant ABC. Vi vil tegne højden fra C.
midtnormal som vis på tegningen. En normal n til en
Tegn en cirkel med centrum i C og en radius,
B
B
der er så lang, at cirklen skærer linjestykket AB
linje l er en linje, der står vinkelret på l.
og midtnormalerne til i denne forbindelse?
A Afsæt to punkter og tegn linjestykket mellem
Vinkel­
halveringslinje v
og en tegnet cirkel.
Når du skal tegne figurer, er det vigtigt at kende og
OPGAVE 7
A-B
I den klassiske græske geometri er det kun tilladt at
bruge en passer og en lineal uden længdemål. Når
Ud fra disse punkter må du:
117
I en spidsvinklet trekant falder alle højderne inde i
(eller dens forlængelse) i to punkter D og E.
trekanten.
Tegn midtnormalen til linjestykket DE. Denne
Midtnormal
midtnormal vil være højden fra C.
C
C
C
A Beskriv, hvordan mønsteret er tegnet.
B Tegn mønsteret. Det er en god idé ikke at tegne
A
Midtpunkt
småt, da du skal arbejde videre med mønsteret.
B
Højde
A
D
D
C Hvordan bliver den røde cirkel opdelt af de sorte
OPGAVE 6
E
B
cirkler?
Tegn
I en stumpvinklet trekant falder to af højderne uden
D Forbind punkterne A, B og C, og beskriv
A en ligesidet trekant.
B et kvadrat, som har én side tilfælles med den
ligesidede trekant fra opgave A.
C kvadratets midtpunkt og kald punktet C.
D en cirkel med centrum i punktet C, og som netop
trekanten.
for trekanten.
E Hvilke andre figurer kan du danne ud fra
punkterne på den røde cirkel og punktet A?
F Beskriv, hvordan man kan være sikker på, at alle
rører hver af kvadratets sider ét sted.
cirkler i mønstret har samme diameter.
I alle trekanter skærer højderne hinanden i samme
punkt.
FACIT
Eventuelt også: I en retvinklet trekant er dette skæ­
ringspunkt den rette vinkels vinkelspids, i en spids­
vinklet trekant ligger skæringspunktet i trekantens
OPGAVE 4
indre, og i en stumpvinklet trekant ligger skærings­
A-B
punktet uden for trekanten.
Intet fast facit. Bemærk, at i spørgsmål B er der
ingen specifikke krav til normalernes placering ud
OPGAVE 8
over, at de tre afstande mellem dem skal være lige
A-C
store. Denne løsning vil fx være gyldig:
Intet fast facit.
D Vinkelhalveringslinjernes skæringspunkt er centrum
for den indskrevne cirkel.
Midtnormalernes skæringspunkt er centrum for den
A
B
omskrevne cirkel.
OPGAVE 9
Intet fast facit, men følgende kommentarer til opgave:
C Den røde cirkelperiferi bliver inddelt i 6 lige store
stykker. Selve cirkelfladen bliver inddelt i 6 kongru­
ente “blomsterblade” og 6 kongruente “øksehove­
OPGAVE 5
der”.
Figurer ligedannede med de viste men med dobbelt så
store sidemål tegnes.
A Sidelængden i kvadratet skal være 5 cm.
B Sidelængderne i rektanglet skal være 4 cm og 8 cm.
C Sidelængden i kvadratet (= diameteren i cirklen) skal
være 4 cm.
OPGAVE 6
Figuren kommer til
at se således ud:
C
108
D Trekanten bliver ligesidet.
GEOMETRISK TEGNING · SIDE 118-119
118
GEOMETRISK TEGNING
GEOMETRISK TEGNING
TEORI
Opgaver på denne side kan enten løses ved hjælp
NAVNGIVNING OG SKITSE
værktøj.
119
B Denne firkant tilhører ikke nogen navngiven kategori.
OPGAVE 12
af passer, lineal og vinkelmåler eller med et digitalt
1
Siden overfor en vinkel navngives med det
NAVNGIVNING
Linjer navngives med små bogstaver, fx a og b.
tilsvarende lille bogstav. Siden overfor vinkel A
7 cm
133°
Siden a kan også betragtes som linjestykket BC.
3 cm
Linjestykkets længde kan skrives på denne på
b
68°
Med små streger kan man markere, at vinkler
OPGAVE 10
eller linjestykker er lige store eller lige lange:
62°
3
A Tegn trekant ABC ud fra skitsen.
og der bruges store bogstaver, fx DE og FG.
4,5 cm
B Hvad måler vinkel A?
50°
B
D
120°
B
E
4 cm
F
3
G
A
måde: a || b.
Linjestykket DE er parallelt med FG. Det kan skrives
på denne måde: DE || FG.
4
115°
3
A
SKITSE
4 cm
3 cm
C
5
OPGAVE 11
En skitse er en tegning, der gengiver væsentlige
8 cm
Tegn figurerne A­D. Lav først en skitse.
træk ved en figur, men den er ikke målfast.
A For firkant DEFG gælder det, at
Vinkler og sidelængder kan være angivet på
4 cm
3 cm
DE I EF og DE I DG
figuren, hvis man kender dem.
l
82°
C
Linjerne a og b er parallelle. Det kan skrives på denne
m
4 cm
2
måde: |BC|.
Linjestykker navngives efter endepunkterne,
K
SKITSE
75°
60°
kaldes a, osv.
Vinkel A kan skrives på denne måde: ∠A.
a
6
|EF| = 5
Eksempel:
|DG| = 7
I trekant ABC er
|ED| = 3
5 cm
∠A = 75°
Linjen l står vinkelret på linjen m. Det kan skrives på
denne måde: l I m.
B For firkant HIJK gælder det, at
b = 5 cm
7
8
|HJ| = 7
a
b
6
3 cm
∠ I = 140°
|HI| = |HK| = 6
SKITSE
A
4 cm
∠ H = 60°
c = 3 cm
C
60°
C For firkant LMNO gælder det, at
∠L=∠M=∠N=∠O
B
B
c
|LM| = 7
A Tegn hver figur ud fra oplysningerne på skitserne
|MN| = 2
– enten på papir eller med et digitalt værktøj.
Tegning
flere løsninger. Forklar, hvorfor/hvorfor ikke.
PQ || RS
navne. Det vil sige, at en trekant med vinkel­
C Der er én af figurerne, der ikke kan tegnes.
PQ I QR
spidserne A, B og C kaldes trekant ABC.
Det kan også skrives som
B Vurder efter hver tegning om der findes én eller
D For firkant PQRS gælder det, at
En trekant navngives efter vinkelspidsernes
A
ABC.
Forklar, hvorfor figuren ikke kan tegnes.
|PQ| = 3
C
|QR| = 2,5
|RS| = 10
J
7
FACIT
H
OPGAVE 10
140°
I
60°
6
C Firkanten er et rektangel med siderne 2 og 7.
A Tegning (målfast):
O
B
N
2
L
A
B Da trekanten er ligebenet, er ∠A = ∠C.
De har derfor begge gradmålet (180° − 82°) : 2 = 49°.
OPGAVE 11
S
A Firkanten er et trapez med højden 3
M
7
C
D Firkanten herunder er et trapez med højden 2,5
og de parallelle sider 3 og 10.
10
R
og de parallelle sider 5 og 7.
2,5
G
P
F
7
5
D
110
3
E
3
Q
Figur 1
Figur 2
Figur 3
Figur 4
Netop én løsning, da
to trekanter, der har to
vinkler og den mellem­
liggende side parvis lige
Øverste vinkel er 47°
(180° − 133°).
Netop én løsning, da
to trekanter, der har to
vinkler og den mellem­
liggende side parvis lige
store, er kongruente.
Der er løsninger, idet
summen af de tre vinkler
er 180°.
Der er uendeligt mange
løsninger, nemlig alle de
trekanter som er ens­
vinklede med den givne.
Netop én løsning.
Figur 5
Figur 6
Figur 7
Figur 8
Ingen løsning.
I en trekant skal summen
af længderne af de to
korteste sider være stør­
re end den sidste side.
Det er ikke tilfældet her.
Netop én løsning – en
retvinklet trekant med
kateterne 3 og 4 og
hypotenusen 5.
Uendeligt mange
løsninger, nemlig enhver
ligebenet trekant med
grundlinjen 4 cm.
Uendeligt mange
løsninger.
store, er kongruente.
111
GEOMETRISK TEGNING · SIDE 120-121
120
GEOMETRISK TEGNING
GEOMETRISK TEGNING
Du kan evt. bruge et digitalt værktøj til opgaverne på
AKTIVITET
denne side.
121
B Flere muligheder. For eksempel deler midtpunkt­
OPGAVE 15
stransversalerne trekanten i fire kongruente trekan­
Du skal i denne opgave undersøge forhold omkring
vinkelhalveringslinjer.
TEGN STORT
Aktivitet for fire til seks personer.
OPGAVE 13
A Prøv alle i gruppen at afsætte forskellige
Materialer: Store konstruktioner (A7), teodolit,
vinkler ved at
målebånd eller målehjul, snor, flag eller fx spyd
1. placere teodolitten lige over vinkel A.
fra atletik og telefon eller lignende med
2. Sigt først mod punktet B og aflæs retnin­
Aktiviteten skal foregå udendørs på et stort
gen, og derefter mod punktet C og aflæs
græsareal.
retningen.
3. I finder størrelsen af vinkel A ved at finde
I har tidligere lavet geometriske tegninger af forskel­
lige figurer på papir eller med et digitalt værktøj.
Når der fx skal anlægges nye boligområder, opføres
forskellen mellem de to aflæste retninger.
B Afsæt tre punkter, så de danner en trekant.
vigtigt, at der er lavet nogle nøjagtige opmålinger
af områderne. Målingerne bygger på nogle af de
samme geometriske konstruktioner, som I har arbej­
det med. Det er ofte en kort­ og landmålingstekniker,
der foretager de relevante målinger. I denne aktivitet
skal I arbejde med store geometriske opmålinger
og konstruktioner.
B Tegn vinkelhalveringslinjen for vinklen A.
C Afsæt et punkt på vinkelhalveringslinjen og mål
A Lav en skitse, hvor du viser, hvordan de tre
jægere kan dele skoven, så de får et lige stort
areal hver.
B En fjerde jæger vil gerne være med i jagten. Vis
med en skitse, hvordan de fire jægere kan dele
området i fire lige store arealer.
to ben.
vinklens to ben ved at afsætte tre andre punkter
på vinkelhalveringslinjen.
også være udgangspunkt for en deling af trekanten
E Formuler en regel ud fra det du har fundet ud af i
opgave C og D.
vinkelhalveringslinjer.
DEL 2
i fire trekanter med samme areal (samme grundlinje
OPGAVE 16
I denne del skal I først markere store figurer ud
Anders og Brian dykker efter ringe i Brians pool.
fra de oplysninger, som I får fra de viste skitser
De har hver et punkt, de dykker fra – punkt A og B.
herunder og på på arket Store konstruktioner
Anders har bestemt, at de skal dykke efter ringe i det
(A7). Derefter skal I måle de manglende vinkler
område, der er nærmest dem selv.
og sidestykker.
Tegningen herunder viser, hvor i poolen Anders (A)
og højde):
og Brian (B) er placeret.
Inden I begynder at afsætte punkterne, skal I
DEL 1
beskrive, hvordan I vil løse opgaven. Optag jeres
Til at konstruere figurerne skal I bruge en teodolit.
beskrivelse på en telefon eller tablet. Optag
En teodolit er et instrument, man kan bruge til at
mindst en af jeres konstruktioner på video, så I
måle og afsætte vinkler både horisontalt og vertikalt.
kan forklare for de andre grupper, hvordan I løste
På billedet herunder kan I se, hvordan I bruger en
opgaven.
teodolit til at bestemme størrelsen af vinklen mellem
ter. Men en trekantside delt i fire lige store dele kan
den korteste afstand mellem punktet og vinklens
D Undersøg afstanden fra vinkelhalveringslinjen til
F Undersøg, om reglen gælder for alle vinklers
Mål vinklerne i trekanten.
et nyt byggeri eller anlægges nye veje, så er det
A Tegn en vinkel på 80°. Navngiv vinkelspidsen A.
Tre jægere skal deles om jagten i en trekantet
skov. De skal hver have en af trekantens sider som
grænse.
Det er vigtigt, at pladen er vandret.
videooptager.
A
C
B
de to sigtelinjer fra A til B og fra A til C.
OPGAVE 14
Asger har bier og vil gerne sælge sin honning ved
C
SKITSE
B
vejen. Skiltet med priser på honningen vil han lave
A
85°
A
som en regulær sekskant, inspireret af biernes celler
65°
10 m
B
6m
8m
B
A
på vokstavlerne i stadet. Asger vil save skiltet ud
af en træplade. Han laver to modeller, en lille og en
stor.
55°
A Giv et bud på, hvordan Asger i praksis skal
C
A
C
B
7m
gøre for at kunne tegne regulære sekskanter på
træpladen, inden han skærer den ud.
B Giv et bud på mål til de to ligedannede sekskanter.
11 m
C Tegn begge sekskanter i et passende længde­
C
forhold.
D Asger har maling nok til, at han kan male det
130°
A
11 m
B
lille skilt to gange. Men han overvejer, om han i
stedet for skal male det store skilt én gang.
Er der maling nok til det? Begrund dig svar.
A Lav en skitse, der viser, i hvilket område Anders
og Brian må lede efter ringe.
B Carl vil også gerne være med til at dykke efter
ringe. Drengene har 21 ringe, som de kaster ud
i poolen. Efterprøv forskellige muligheder for at
placere punkterne A (Anders), B (Brian) og C
(Carl). Vis med skitser for hver placering, hvordan
du vil dele poolen op, så hver af drengene får et
område at dykke på.
C Gør rede for, hvorfor du har valgt netop disse
inddelinger af poolen.
FACIT
OPGAVE 13
A Linjestykker fra medianernes skæringspunkt til
vinkelspidserne vil dele trekanten i tre lige store
deltrekanter, der alle har én af den oprindelige
trekants sider som den ene side.
OPGAVE 14
A-D
Intet fast facit.
OPGAVE 15
A-F
Undersøgelse af vinkelhalveringslinjer. Den ønskede
konklusion er:
En vinkels halveringslinje består af de punkter, der
har samme vinkelrette afstand til vinklens ben.
OPGAVE 16
A Poolen skal deles af midtnormalen for linjestykket AB.
B Intet fast facit.
C Intet fast facit.
112
GEOMETRISK TEGNING · SIDE 122-123
122
GEOMETRISK TEGNING
GEOMETRISK TEGNING
A Forklar, hvorfor
OPGAVE 19
TEORI
LIGEDANNEDE TREKANTER
B Gentag opgave A med to andre parallelle linjer,
TOPVINKLER
To trekanter, der er ensvinklede, er også ligedannede.
og mål igen de ensliggende vinkler.
OPGAVE 22
Hvad opdager du?
Erik og Johan vil bygge en svævebane over en å.
C Tegn to linjer, der ikke er parallelle og en tredje,
I ensvinklede trekanter er der altid samme forhold
D Gentag opgave C med to andre linjer, der ikke
er parallelle, og mål igen de ensliggende vinkler.
B
Hvad opdager du?
På tegningen kan du se to linjer, der skærer
Skriv en regel for, hvad der ser ud til at gælde om
E ensliggende vinkler ved parallelle linjer, der
skæres af en tredje.
Topvinkler er lige store.
F ensliggende vinkler ved ikke­parallelle linjer, der
F
A
Træstamme 1
Eriks skitse
ensliggende vinkler lige store.
x
parallelle.
m
A
A Hvilke to trekanter
9m
B
er ligedannede?
De to linjer l og m skæres af en tredje linje n.
∠ A = ∠ D og ∠ B = ∠ E og ∠ C = ∠ F, og
De par af vinkler, der fx har l og m som højre ben
|AB|
|BC|
|AC|
=
=
|DE|
|EF|
|DF|
og n som venstre ben kaldes ensliggende.
C
Træstamme 2
Forklar hvorfor.
F Når ikke-parallelle linjer skæres af en tredje linje, er
3m D
2m
E
B Beregn længden af
de ensliggende vinkler ikke lige store.
linjestykket AB.
På figuren er de røde vinkler ensliggende.
A
Træstamme 1
Johans skitse
OPGAVE 18
OPGAVE 17
De to figurer er ligedannede. Skriv de manglende
Linjerne l og m er parallelle.
vinkelstørrelser og sidelængder på hver figur.
A Hvilke par af vinkler er ensliggende?
16 cm
B
6
33,7°
SKITSE
7,2
3 cm
E
B Hvilke af vinklerne er lige store?
A
SKITSE
n
e f
g h
6m
m
E
C
16 cm
Bemærk, at disse to sætninger tilsammen indeholder
den modsatte sætning til E:
10 m
D
E
A Forklar, hvordan du kan bruge din viden om
ligedannede trekanter til at finde afstanden
4,88
7
C
Træstamme 2
ADE.
SKITSE
23 cm
SKITSE
3
ABC og
Siderne DE og BC er parallelle.
A
5m
B
På skitsen er vist to trekanter:
l
6
104°
x
OPGAVE 21
a b
c d
B
C
12 cm
D
Beskriv, hvorfor.
3
4
Intet fast facit.
E Når parallelle linjer skæres af en tredje linje, er de
skæres af en tredje.
På skitsen herunder er linjestykkerne AB og CD
l
DEF, det vil sige, at
nogle målinger, som de skriver på skitserne.
OPGAVE 20
n
D
A-D
ENSLIGGENDE VINKLER
E
ABC er ensvinklet med
De kan ikke komme til at måle afstanden mellem de
OPGAVE 19
to træer på grund af åen.
Erik og Johan laver hver deres skitse, og de foretager
hinanden, så der dannes fire vinkler, hvis ben
ligger i forlængelse af hinanden. De to vinkler, der
ligger overfor hinanden, kaldes topvinkler.
C
Svævebanen skal spændes ud mellem to træer.
Men hvad er afstanden?
der skærer dem. Mål de ensliggende vinkler.
mellem de ensliggende sider.
A
123
ADE er ensvinklede.
C Beregn længden af linjestykket AC.
skærer dem. Mål de ensliggende vinkler.
For ensvinklede trekanter gælder:
SKITSE
ABC og
B Hvad er længdeforholdet mellem de to trekanter?
A Tegn to parallelle linjer, og en tredje linje der
LIGEDANNEDE TREKANTER, TOPVINKLER OG ENSLIGGENDE VINKLER
D
96°
22,5 cm
mellem de to træer fra målene på skitserne.
B Beregn afstanden mellem de to træer ud fra både
Eriks og Johans skitse.
B
5
Når linjer skæres af en tredje linje således, at de
ensliggende vinkler er lige store, så er de to linjer
parallelle.
FACIT
Denne påstand (som er en sætning i faglig forstand)
kan evt. diskuteres med klassen.
OPGAVE 17
De manglende mål er skrevet på figurerne herunder.
OPGAVE 20
ATrekant ABE og trekant DCE er ligedannede.
33,7°
Forklaring: B og C er begge rette. E i de to
trekanter er topvinkler og dermed lige store. Så er
SKITSE
også A = D (vinkelsum). Altså er de to trekanter
3,6
56,3°
ensvinklede og dermed ligedannede.
56,3°
B|AB| = 64 cm.
OPGAVE 21
A A er fælles i de to trekanter, E og C er (ligesom
D og B) ensliggende vinkler ved parallelle linjer.
70°
70°
96°
104°
3,5
16
22,5
C |AC| =
ABC og
ADE er
≈ 0,712. Længdeforholdet mellem
45
32
ABC er
45
32
≈ 1,4.
∙ 23 ≈ 32,34 cm.
A-B
c og g
b og f
d og h
Bemærk, at sætningen om, at ensliggende vinkler
ved parallelle linjer er lige store, først afsløres for
ment her.
Følgende vinkler er lige store:
a, d, e og h
b, c, f og g.
ABC er ensvinklede (og dermed
Johans skitse.
ABC og
ADE er ensvinklede og dermed ligedan­
nede. Johan kan derfor opstille ligningen
eleverne i opgave 19. Argumentationen kan i denne
men man må også acceptere måling som et argu­
EDC og
Afstanden x (= |AB|) er da lig med 3 · 2 = 6 m.
store.
opgave basere sig på, at topvinkler er lige store,
Eriks skitse.
ligedannede) i længdeforholdet 9:3 = 3.
B Elevernes argumentation for hvilke vinkler der er lige
114
32
45
OPGAVE 22
A Disse vinkelpar er ensliggende:
=
ADE og
OPGAVE 18
a og e
B Længdeforholdet mellem
2,44
2,5
Altså er trekanterne ensvinklede.
|AD|
|DE|
|AB|
|BC|
Af denne ligning kan x bestemmes til x = 6. Den
=
⇔
x
5
=
x+6
10
søgte afstand er derfor 6 m.
GEOMETRISK TEGNING · SIDE 124-125
124
GEOMETRISK TEGNING
GEOMETRISK TEGNING
TEORI
DEN LIGESIDEDE TREKANT
PROJEKTIONSTEGNING
OG ISOMETRISK TEGNING
Undersøgelse for to personer.
D Undersøg, om sammenhængene gør sig
Materialer: Et digitalt værktøj.
Isometri betyder “samme mål”. En isometrisk
gøre trekanten større og mindre.
sammenhænge ved punkter og linjer i den ligesidede
tegning et en tegning, hvor nogle længdemål
på tegningen svarer til længdemål i virkelig­
DEL 3
trekant. I en ligesidet trekant er alle vinkler inde
heden.
Undersøg længderne af de tre vinkelrette linje­
i trekanten lige store nemlig 60°, og alle sider har
stykker fra et tilfældigt punkt i den ligesidede
samme længde.
PROJEKTIONSTEGNING
trekant og ud til trekantens sider.
60°
En projektionstegning kaldes også en
A Tegn en ligesidet trekant ABC.
arbejdstegning. Det er en tegning, som typisk
B Afsæt et punkt P tilfældigt inde i trekanten.
er beregnet til fx at bygge en genstand efter.
C Tegn fra punktet P normaler på alle trekantens
sider.
60°
|EP|, |FP| og |GP|.
A Tegn en ligesidet trekant ABC.
højde. Hvad opdager du?
•
vinkelhalveringslinjer.
medianer.
•
midtnormaler.
forholdet 1:1.
isometriske tegning.
E Hvilke afstande er ens, og hvilke er forskellige?
H Sammenlign summen af linjestykkerne |EP|,
|FP| og |GP| med længden af trekantens
forholdet 1:1.
C Lav en isometrisk tegning af figuren i længde­
svarende mål på projektionstegningen og den
længden af den.
højder.
B Lav en projektionstegning af figuren i længde­
på figuren, og sammenlign dem med de til­
G Tegn en af højderne i trekanten, og find
B Find skæringspunkterne mellem trekantens
A Byg den viste figur i centicubes.
D Mål højden, bredden, længden og diagonalerne
du?
trekant.
•
forholdet af siderne på den tegnede genstand
er den samme som i virkeligheden.
F Flyt punktet P rundt i trekanten, hvad opdager
Undersøg skæringspunkter i den ligesidede
•
forfra og fra siden. Længderne eller længde­
E Find summen af længden af de tre linjestykker
DEL 1
En projektionstegning vil ofte være en tegning,
der viser en genstand set fra tre sider: oppefra,
D Kald skæringspunkterne for E, F og G.
60°
C Isometrisk tegning i længdeforholdet 1:1.
ISOMETRISK TEGNING
gældende for alle ligesidede trekanter ved at
I skal med et digitalt værktøj undersøge forskellige
125
OPGAVE 23
UNDERSØGELSE
OPGAVE 24
Tal med din makker om, hvilken type tegning eller
tegninger, I ville bruge, hvis I skulle lave
C
C Hvad opdager du?
A en salgsannonce for et hus.
D Undersøg, ved at gøre trekanten større eller
B en samle­vejledning for en kommode.
mindre, om dette ser ud til at gælde for alle
C en reklame for et sofabord.
ligesidede trekanter.
D en tegning med specifikationer på en cylinder­
h
E Tegn en trekant DEF, der ikke er ligesidet.
E
F Gentag punkt B.
Forfra
formet silo.
Fra siden
F
G Hvad opdager du?
P
DEL 2
Undersøg sammenhænge mellem den indskrevne
og omskrevne cirkel i den ligesidet trekant.
A Tegn en ligesidet trekant ABC.
A
B Tegn den indskrevne og omskrevne cirkel
G
B
Oppefra
i trekanten.
C Hvilke sammenhænge er der mellem den
omskrevne og indskrevne cirkel i trekanten?
Se fx på centrum for de to cirkler og forholdet
mellem arealet af de to cirkler.
D
E Elevaktivitet.
F Kun afstande målt langs de tre isometriske tegneret­
FACIT
ninger er ens på tegningen og i virkeligheden.
OPGAVE 24
OPGAVE 23
A-C
A Elevbygget figur.
B Bemærk: Når man skal tegne en genstand Forfra,
Oppefra og Fra siden vil der være en vis valgfrihed fx
med hensyn til, hvad man kalder “Forfra”, og
Oppefra
Forfra
Fra siden
Projektionstegning i længdeforholdet 1:1.
Forfra
Oppefra
Fra siden
116
Intet fast facit.
GEOMETRISK TEGNING · SIDE 126-127
126
GEOMETRISK TEGNING
GEOMETRISK TEGNING
OPGAVE 26
A Hvilke oplysninger kan Silja få fra grundplanen?
A Lav en projektionstegning og en isometrisk
B Hvis et byggefirma skulle bygge huset, hvilke
informationer ville de mangle for at kunne bygge
tegning af dit bord, din stol eller en anden
det hus, Siljas familie har bestilt?
genstand. Vælg selv et passende længdeforhold.
C Hvilke tegninger har byggefirmaet brug for ud
B Forestil dig, at din makker skal bygge din
over en grundplan?
tegnede genstand i de rigtige længdemål ud fra
hver af dine to tegninger. Er der oplysninger om
D Hvilken type tegning skal Silja se af huset, for
Aktivitet for to personer.
DEL 2
Materialer: Et digitalt værktøj, hvor I kan
A I skal vælge én af jeres figurer, og lave en
tegne i 3D og en skærmoptager.
den tegnede genstand, der mangler på de to
at hun kan vurdere, om hun synes, at huset er
I skal undersøge, hvilke muligheder I har for at
pænt?
tegne 3D med et digitalt værktøj.
Beskriv i givet fald, hvilke oplysninger din makker
DEL 1
A Tegn:
•
A
B
C
videovejledning, der viser, hvordan I har
tegnet figuren, samt hvordan programmet kan
vise rumfang og overfladearealer.
B Find et andet makkerpar og tal i gruppen om
de to videovejledninger, I har lavet. I kan fx
OPGAVE 29
Er der informationer, der kan forsvinde?
OPGAVE 27
100 cm
3D-TEGNINGER
tegninger?
mangler.
127
AKTIVITET
en kugle
•
en kube
•
en pyramide
•
en sammensat figur.
B Undersøg, hvordan I kan finde overfladeareal
tale om:
•
Har I løst opgaverne på samme måde?
•
Findes der i geometriprogrammet en
lettere måde at løse opgaven på?
•
Var det let at anvende geometriprogram­
met?
og rumfang af de figurer, I har tegnet.
OPGAVE 30
Løs opgaverne på denne side sammen med din
makker.
I skal bruge et digitalt værktøj, hvor I kan tegne i 3D.
Du og din makker skal:
A Tegn en 3D­tegning af samme genstand,
A Undersøge for hver figur, hvor mange forskellige
A Tegn en isometrisk tegning og en projektions­
figurer I kan bygge, som passer til tegningen.
tegning af legehuset i et længdeforhold, du selv
B Lav en isometrisk tegning af en centicubefigur,
bestemmer.
der kun er én figur til.
som I tegnede i opgave 26. Tegn genstanden
i samme længdemål.
B Tegn en 3D­tegning af legehuset fra opgave 27.
I skal bruge samme længdemål.
C Lav en isometrisk tegning af en centicubefigur,
OPGAVE 28
Siljas familie har besluttet, at de vil bygge et nyt hus.
der kan være mange figurer, der passer til.
Arkitekten har tegnet denne grundplan over familiens
OPGAVE 31
Løs denne opgave sammen med din makker.
kommende hus:
A Vælg et lokale, I har adgang til på skolen og
Forfra
mål længde, bredde, vinkler og højde i lokalet
og noter, hvor eventuelle vinduer og døre er
placeret.
Værelse
13,5 m2
Bad
3,5 m2
B Tegn en skitse af lokalet, og skriv målene på.
Køkken/alrum
25,5 m2
Opholdsstue
30 m2
Gang
3 m2
C Tegn en grundplan af lokalet i et passende
længdeforhold.
D Tegn et lodret tværsnit af lokalet, og skriv mål på.
OPGAVE 32
E Tegn en isometrisk tegning af lokalet.
A Find sammen med din makker en genstand,
F Tegn en 3D­model af dit klasselokale i et
geometriprogram.
Værelse
14,5 m2
Bryggers
10 m2
Bad
6,5 m2
Soveværelse
12,5 m2
G Hvilken type tegning mener I, giver den bedste
beskrivelse at lokalet?
som I i fællesskab vil tegne en 3D­model af.
B Tag de nødvendige mål på genstanden.
C Tegn genstanden i et 3D­program.
D Lav en skærmoptagelse, hvor I roterer den
tegnede genstand, og forklar, hvordan I har
tegnet den.
FACIT
OPGAVE 26
Intet fast facit.
OPGAVE 27
Oppefra
A Isometrisk tegning.
Fra siden
20 cm
B Projektionstegning. Eleven vælger selv længde
forhold. Tegningen her er i længdeforholdet 1:50.
OPGAVE 28
Intet fast facit.
OPGAVE 29
Intet fast facit.
OPGAVE 30
3D-tegninger af genstande fra opgave 26 og 27.
OPGAVE 31
Intet fast facit.
OPGAVE 32
Intet fast facit.
118
GEOMETRISK TEGNING · SIDE 128-129
128
GEOMETRISK TEGNING
GEOMETRISK TEGNING
129
TEMA
DESIGN, BESKRIV OG BYG
D ES IG
EVALUERING
N
På denne side skal I enten bruge arket Begreber
OPGAVE 3
og fagord – Geometrisk tegning (E7) eller jeres egen
A Tegn en vilkårlig trekant ABC.
begrebsbog. I kan bruge relevante digitale værk­
B Vis og beskriv, hvordan trekantens indskrevne
tøjer.
og omskrevne cirkel kan tegnes.
OPGAVE 1
OPGAVE 4
I denne evalueringsopgave skal I arbejde to til fire
I figuren herunder er ABCD et kvadrat, og CDE
elever sammen.
er en ligesidet trekant.
A Lav ni kort. Skriv ét af følgende fagord eller
begreber på hvert kort: midtpunkt, midtnormal,
Tema for to til tre personer.
DEL 2
Materialer: karton, saks, lim og/eller tape
A Byg en model af jeres genstand i et selvvalgt
og et digitalt værktøj.
I dette tema skal I designe en selvvalgt genstand.
længdeforhold.
B Byt jeres tegninger fra DEL 1 opgave B­E
med en anden gruppe, og prøv at bygge
Der er mange muligheder, men det kan fx være en
stol, et hundehus, en bladholder eller et legehus.
Det er vigtigt, at I undervejs i arbejdet med
deres genstand ud fra de nævnte tegninger.
C Sammenlig jeres modeller. Er de ens?
Hvorfor/hvorfor ikke?
opgaverne noterer eller optager jeres overvejelser
og besvarelser.
DEL 1
I skal I jeres gruppe blive enige om, hvad det er, I
gerne vil designe. Når I har fundet ud af, hvilken
genstand I vil designe, så skal I
A lave en kort beskrivelse af, hvordan den skal se
ud.
B tegne en skitse, hvor længdemål, vinkelstørrelser
med videre er angivet.
C Vælg på skift et kort, som I kan forklare. Forklar
begrebet for de andre i gruppen. Når alle i grup­
pen har forstået begrebet, så lægges kortet til
side. I skiftes til at trække et kort og fortsætter
design for resten af klassen. I kan fx lave en kort
film, en skærmvideo, en planche, en model eller
lign., der viser, hvordan I har tænkt og løst de
forskellige delopgaver. Aftal i klassen inden,
hvad jeres præsentationer skal indeholde. Det
kunne for eksempel være overvejelser over
A om jeres projektionstegning viser alle
E
10 cm
A
D
Forklar og vis for hinanden,
A hvordan I vil tegne figuren i længdeforholdet
1:2 ved hjælp af en passer og en lineal og
med et digitalt værktøj.
B hvilke af vinklerne der er lige store.
C hvordan I, uden at måle på jeres tegning, kan
finde størrelsen af vinklerne i
trekant CDE, trekant BCE og trekant CEH.
OPGAVE 5
være en god ide, at skrive stikord til de enkelte
forklaringer undervejs.
D Hvis der er begreber, som I ikke kan forklare eller
forstå, så hænger I kortene med disse begreber
op på tavlen.
E Når alle grupper har forklaret de begreber, de
kan, så skal begreberne på tavlen forklares for
hele klassen. Det kan være en elev eller læreren,
der hjælper med at forklare begrebet.
informationer om genstandens udseende.
længdeforhold genstanden er tegnet i.
E tegne en 3D tegning.
B Læg kortene på bordet, så I kan se dem.
til alle begreber er forklaret og forstået. Det kan
DEL 3
I skal som afslutning på temaet præsentere jeres
C tegne en projektionstegning. Angiv, hvilket
D tegne en isometrisk tegning.
VINKE SK IT SE
LHALVE
RINGSL
ISO ME TR
ISK TE GN
INJE
NKT IN G NETHED
TPU
AN
ID
M
LIGED
SKITSE
G H
F I
topvinkel, ensliggende vinkler, isometrisk tegning
og projektionstegning.
C
B
vinkelhalveringslinje, skitse, ligedannethed,
•
Er det nok at gengive den fra tre sider?
OPGAVE 2
•
Hvilke informationer er evt. forsvundet?
For hvert af de ni ord og begreber, du lige har arbej­
B om jeres isometriske tegning har sider, der
det med, skal du
ikke er målbare.
A vise et eksempel eller en tegning.
Beskriv evt. hvilke.
B skrive din egen forståelse af begrebet.
A Tegn en projektionstegning og en isometrisk
tegning af hundehuset i et passende længde­
forhold.
B Hvilke længder på de to tegninger, kan bru­
ges til at bestemme længder i virkeligheden?
FACIT
EVALUERING
OPGAVE 1 OG OPGAVE 2
Elevaktivitet. Eleverne forklarer betydningen af de be­
greber, de har lært om.
OPGAVE 3
AElevtegning.
B Elevbeskrivelse. Det væsentlige er:
En trekants indskrevne cirkel har centrum i vinkelhal­
veringslinjernes skæringspunkt C og den vinkelrette
afstand fra C til en trekantside som radius.
En trekants omskrevne cirkel har centrum i sidemidt­
normalernes skæringspunkt C og afstanden fra C til
en vinkelspids som radius.
OPGAVE 4
A Eleverne forklarer for hinanden.
B Alle vinkler i kvadratet er lige store.
Alle vinkler i trekanten er lige store.
ADE = BCE.
CBE = CEB.
C CDE: Alle vinkler er 60°.
BCE: C = 150°, B = E = 15°.
CEH: C = 60°, E = 15°, H = 105°.
OPGAVE 5
A Eleverne tegner en projektionstegning og en isome­
trisk tegning af hundehuset.
B Alle længder på projektionstegningen kan bruges.
De længder, der på den isometriske tegning er
tegnet langs de tre isometriske tegneretninger, kan
bruges.
120
GEOMETRISK TEGNING · SIDE 130-131
130
GEOMETRISK TEGNING
GEOMETRISK TEGNING
TRÆN 1 · FÆRDIGHEDER
131
TRÆN 2 · FÆRDIGHEDER
OPGAVE 4
OPGAVE 1
Trekant AED og trekant BCE er ligebenede.
A Tegn trekant GHI.
A Tegn trekant ABC med passer og lineal.
Linjestykkerne AD og BC er parallelle.
g = 6 cm
a = 6 cm
b = 8 cm
h = 8 cm
G
c = 10 cm
∠
∠ H = 110°
B Tegn trekantens indskrevne cirkel.
H
B Tegn trekant DEF.
24
B
C Tegn trekantens omskrevne cirkel.
d = e = 4 cm
OPGAVE 2
A Tegninger i længdeforholdet 1:1.
OPGAVE 4
OPGAVE 1
C
A
B C
f = 6 cm
A
OPGAVE 2
OPGAVE 2
D
F E
A Tegn trekanterne herunder.
Trekant ABC:
a = 3 cm
b = 4 cm
c = 5 cm
Trekant DEF:
d = e = f = 4 cm
E
D
SKITSE
I
5
SKITSE
J
A
Trekant ABC og trekant AEF er ligebenede.
B Beregn længden af linjestykket AC.
OPGAVE 5
A Tegn figuren.
A
SKITSE
B
3
5,6
D
C Beregn omkredsen af trekant BCE.
100°
OPGAVE 5
8
A Find længden af linjestykket AE.
4
A Hvilke vinkler på tegningen er lige store?
Trekant GHI:
g = 5 cm
h = 7 cm
∠ H = 95°
A
C
105°
B Tegn en figur, der et ligedannet med figuren
ovenfor.
Tegn en af trekanternes
C Angiv længdeforholdet mellem de to figurer.
9 cm
B indskrevne cirkel.
C omskrevne cirkel.
E
OPGAVE 3
B
De to trekanter er ligedannede.
4 cm
4 cm
6 cm
OPGAVE 3
F
Linjestykkerne CD og AB er parallelle.
C
SKITSE
C
A Hvilke vinkler er ens i de to trekanter?
SKITSE
C
6 cm
D
1,5 cm
B Beregn længden AF og længden CF.
E
4 cm
7
3
A
F
5
OPGAVE 6
B
8 cm
A
B
5 cm
21
D
15
A Tegn en skitse af figuren.
E
B Marker på din skitse, hvilke vinkler der har
samme størrelse.
C Forklar, hvorfor trekant ABE og trekant CDE
er ligedannede.
A Hvad er længdeforholdet mellem de to trekanter?
A Tegn en projektionstegning af hver af de
D Find længdeforholdet mellem de to trekanter.
A Tegn en projektionstegning af figuren.
B Hvad måler siden DF?
to figurer.
C
FACIT
3 cm
B
D
TRÆN 1
FÆRDIGHEDER
4 cm
OPGAVE 1
4 cm
A Længdeforholdet er her 1:2. Konstruktionsmetoden
er antydet.
A
F
4 cm
E
G
8 cm
10 cm
7 cm
C
6 cm
B
F
4 cm
D
95°
H
4 cm
6 cm
5 cm
I
E
B Eleven tegner den indskrevne cirkel i en af trekanter­
ne.
C Eleven tegner den omskrevne cirkel til en af trekan­
terne.
OPGAVE 3
A Længdeforholdet er 1:3.
B |DF| = 9.
122
OPGAVE 4
TRÆN 2
A Umiddelbart kan man kun sige, at følgende vinkler er
FÆRDIGHEDER
lige store (fordi de er topvinkler):
A = D, B = E, C = F, (A + B) = (D + E),
(B+C) = (E + F) og
A
G
(C + D) = (A + F).
Eleverne kan måle på tegningen, og konstatere at
de to lodrette linjer er parallelle, og de kan ligeledes
8 cm
ved at måle på tegningen konstatere, at trekanten
mellem de to linjer er ligebenet. Med den viden, kan
110°
eleverne nå frem til, at:
• følgende vinkler være lige store (fordi de er
H
ensliggende vinkler ved parallelle linjer):
H = F, G = (A + B), I = B og J =
(A + F).
I
6 cm
B Eleven tegner trekantes indskrevne cirkel.
C Eleven tegner trekantens omskrevne cirkel.
• H = I (grundvinkler i en ligebenet trekant) og
G = VJ (nabovinkler til de to grundvinkler).
Eleverne kan måle på tegningen, og konstatere at
OPGAVE 2
D
A
linjerne er parallelle.
Opgaven kan danne udgangspunkt for en samtale
5
med klassen om forskellen på matematik i hverda­
gen og matematik som fag. På tegningen ser det ud
C
som om, de to linjer er parallelle, og at trekanten er
105°
ligebenet. Det vil være tilstrækkeligt til at benytte vor
viden om parallelle linjer og ligebenede trekanter i en
hverdagssammenhæng.
4
OPGAVE 5
A A er samme vinkel i begge trekanter.
100°
Desuden gælder B = E = F = C.
B |AF| = 6 cm, |CF| = 3 cm
A
B
3
A Eleven tegner en figur ligedannet med den fra
OPGAVE 6
spørgsmål A.
A Projektionstegning:
B Eleven angiver længdeforholdet mellem de to figurer.
OPGAVE 3
Forfra
Oppefra
C
ASkitse:
D
B Vinkler med samme
størrelse er markeret
på skitsen.
C Trekanterne er ens­
vinklede og derfor
også ligedannede.
Fra siden
D Længdeforholdet er
1
3:16 (eller 1:5 3 ).
A
B
123
GEOMETRISK TEGNING · SIDE 130-131 (FORTSAT)
OOPGAVE 4
A |AE| = 5,6.
B |AC| = 22,4.
C Omkredsen af  BCE er 57,6.
OPGAVE 5
AProjektionstegninger:
Forfra
124
Oppefra
Fra siden
GEOMETRISK TEGNING · SIDE 132-133
132
GEOMETRISK TEGNING
GEOMETRISK TEGNING
TRÆN 1 · PROBLEMLØSNING
Jens Erik skal købe et flag til den flagstang, der står
På skitsen
er vist en cirkel,
han kan købe flag. Men han ved ikke hvilket flag, han
med to linjer, der
C
Stanghøjde
Flagstørrelse
8 meter
170 x 225 cm
9 meter
189 x 250 cm
10 meter
208 x 275 cm
11 meter
227 x 300 cm
12 meter
245 x 325 cm
13 meter
265 x 350 cm
14 meter
283 x 375 cm
15 meter
300 x 400 cm
Hun stiller sig 18 meter fra Himmelskibet.
Derfra måler han vinklen op til flagstangens top.
Den er 51°. Han måler vinklen 1,5 meter over jorden.
trekantens sider over?
F Tegn en ny trekant med vinkelspidserne i de
tre røde punkter. Den nye trekant er ligedannet
med den røde trekant.
G Hvor stor en del af cirkelbuen spænder siden i
den nye trekant over?
den er 77°.
Hun måler vinklen 1,45 meter over jorden.
A Tegn en skitse, der viser situationen.
B Undersøg ud fra Annas mål, om det passer,
at Himmelskibet er 80 meter højt.
A Tegn en cirkel med to linjer, som skærer cirklen.
B Find cirklens centrum ved hjælp af de to linjer.
OPGAVE 4
C Forklar, hvordan du fandt centrum.
Victor og Lucas er taget på stranden. Ude i vandet
kan de se en gummibåd, der er fastgjort til strand­
OPGAVE 2
Arrangørerne af en musikfestival vil finde et punkt,
bredden med et langt reb (x). De diskuterer, hvor
hvor det er muligt for deltagerne at mødes.
langt rebet er. De to drenge laver nedenstående
Mødestedet markeres med en høj flagstang,
opmåling.
så det tydeligt kan ses fra festivallens tre teltlejre.
Arrangørerne er enige om, at mødestedet skal
SKITSE
ligge lige langt fra de tre teltlejre.
A
A Tegn en skitse, der viser situationen.
SKITSE
B Hvor høj er flagstangen?
C Hvilket flag skal han skal vælge?
Lejr 1
360 m
x
OPGAVE 4
Her er en tegning af en figur,
600 m
der er bygget i centicubes.
Lejr 2
M
5m
På tegningen kan man se
OPGAVE 2
I Anes og Lineas have er der et bed, der har facon
som en regulær sekskant. Længden af hver side i
16 centicubes.
fire lige store stykker, så de hver kan få et stykke til
B Vis på tegningen, hvordan de kan dele bedet op.
C
D
A Hvor langt er rebet?
Du kan fx tegne eller bygge med centicubes
A Tegn festivalpladsen i et passende længde­
i din undersøgelse.
den.
makkers undersøgelse. Fandt I frem til samme
antal skjulte centicubes?
E Hvis figuren var bygget af 5 x 5 centicubes,
E Beregn arealet af det område, de hver har til at
stedet (M) ved at bestemme skæringspunktet
tegning af en genstand, da der kan være infor­
mellem trekantens
mationer om genstanden, der ikke er til at se på
•
tre højder.
tegningen.
•
tre vinkelhalveringslinjer.
A Tegn en isometrisk tegning af en centicubefigur,
•
tre midtnormaler.
hvor der kan være fem centicubes skjult.
C Hvor ville du placere mødestedet?
hvor mange centicubes kunne der da gemme sig
B Tegn en projektionstegning, der viser din løsning
Begrund dit svar.
bag den?
så jordbær på.
Det er ikke altid tilstrækkeligt, at lave en isometrisk
B Undersøg tre forskellige placeringer af møde­
alle de centicubes, der kan ”gemme” sig bag
D Sammenlign din undersøgelse med din
D Vis på tegningen, hvordan skal de dele bedet op,
OPGAVE 5
forhold.
C Tegn en projektionstegning, der viser figuren med
med jordbær også.
hvis de hver skal have tre lige store stykker.
1m
E
8m
Lejr 3
sig bag denne figur.
C Hvor stort bliver arealet af hvert af de fire bede?
Pigerne beslutter, at de gerne vil have et bed hver
540 m
centicubes der kan gemme
B Undersøg, om dit gæt var rigtigt.
blomster og et til grøntsager.
A Tegn bedet i et passende længdeforhold.
B
A Gæt, hvor mange
bedet er 2 m. De har fået lov til at dyrke blomster
og grøntsager i bedet. Ane og Linea vil dele bedet i
denne:
Derfra måler hun vinklen op til Himmelskibets top,
F
tegningen.
Jens Erik stiller sig 8,5 meter væk fra flagstangen.
C Forklar, hvorfor alle tre cirkler er lige store.
om Himmelskibet virkelig er 80 meter højt.
D
er ikke vist på
A Beskriv, hvordan mønsteret er tegnet.
D Hvilken type trekant er den røde trekant?
i seks lige store stykker. Den mest oplagte er vel
Anna er i Tivoli Hun vil gerne undersøge,
E
skærer cirklen.
Cirklens centrum
E Hvor stor en del af cirkelbuen spænder en af
D Der er mange muligheder for deling af sekskanten
OPGAVE 3
i hans have. Han har fundet et sted på nettet, hvor
skal købe, da han ikke kender flagstanges højde.
B Tegn mønsteret.
133
TRÆN 2 · PROBLEMLØSNING
OPGAVE 1
OPGAVE 3
OPGAVE 1
eller løsninger med de skjulte centiubes.
FACIT
E Jordbærarealet er
3 ≈ 1,7 m2.
TRÆN 1
PROBLEMLØSNING
OPGAVE 3
AElevskitse.
OPGAVE 1
A-C
B Flagstangen er 12 m høj.
Elevbeskrivelser, -tegning og -forklaringer.
X Jens Erik skal vælge flaget med dimensionerne
D Trekanten er ligesidet.
E Trekanten spænder over
245 × 325 cm.
1
6
af cirkelperiferien (60°).
FElevtegning.
OPGAVE 4
G Siden i den nye trekant spænder over halvdelen af
AElevgæt.
cirkelperiferien (180°).
B Undersøgelse af gættet.
Man kan tegne sig til resultatet på isometrisk papir.
OPGAVE 2
På tegningerne herunder angiver den røde ramme
A Elevtegning i selvvalgt længdeforhold.
bagsiden af figuren med de 16 centicubes. Inden for
B Der er mange muligheder for opdeling. Her er en af
denne ramme skal de ekstra centicubes tegnes, hvis
dem:
de skal være skjult af de 16 forreste.
De skjulte centicubes er tegnet “lagvis”, således at
første tegning er nederste niveau, derefter kommer
mellemste og øverste niveau.
Nederste niveau
C Arealet af hvert af de fire bede er
3 3
2
≈ 2,6 m2.
Her er 6 centicubes
126
Mellemste niveau
CProjektionstegning:
Forfra
Oppefra
Her er 5 centicubes
Øverste niveau
Fra siden
Her er 3 centicubes
Som det ses, kan der i alt skjules 14 centicubes bag
de 16 på forsiden. De kan ikke ses forfra, men fra den
anden side ser figurtilføjelsen (de skjulte centicubes)
D Intet fast facit.
således ud:
E Hvis figuren var bygget af 5×5 centicubes, kunne der
skjules 30 centicubes.
Som man måske kan se, ved at betragte figur­
tilføjelsen til 4×4-pladen herover, gælder, generelt,
at hvis forsiden består af n2 centicubes, vil der kunne
skjules 12 + 22 + 32 + … + (n − 1)2 centicubes.
Summen af de første n kvadrattal kan udregnes ved
udtrykket
n · (2n + 1) · (n + 1)
6
.
.
127
GEOMETRISK TEGNING · SIDE 132-133 (FORTSAT)
TRÆN 2
PROBLEMLØSNING
OPGAVE 1
AElevtegning.
B Eleven finder cirklens centrum.
CElevforklaring.
Cirklens centrum er karakteriseret ved at ligge lige
langt fra alle punkterne på cirkelperiferien – dvs. det
ligger fx lige langt fra C og D. Men de punkter, der
ligger lige langt fra C og D, er punkterne på midt­
normalen for linjestykket CD, så centrum ligger på
denne midtnormal. Tilsvarende kan man se, at cen­
trum må ligge på midtnormalen for linjestykket EF.
Cirklens centrum ligger med andre ord på skærings­
punktet mellem de to midtnormaler.
OPGAVE 2
AElevtegning.
BElevundersøgelse.
C Elevbegrundelse for valg af mødested.
Hvis mødestedet, som det forlanges i teksten,
skal ligge lige langt fra de tre teltlejre, skal det ligge i
centrum for trekantens omskrevne cirkel – dvs.
i sidemidt­normalernes skæringspunkt.
OPGAVE 3
A Elevtegnet skitse.
B Med den usikkerhed, der må ligge i målingerne,
må man sige, at det passer, at Himmelskibet er
80 m højt.
OPGAVE 4
A Rebet (linjestykket AB) er 40 m langt.
OPGAVE 5
AElevtegning.
B Elevens projektionstegning.
Bemærk: En 3×3-plade med 9 centicubes kan
bruges (se opgave 4 i Træn 1-Problemløsning).
Den vil netop skjule 12 + 22 = 5 centicubes.
128