docפיזיקה 2
download 
Report Transcription
פיזיקה 2
פיסיקה - 2מאגר שאלות ופתרונות מלאים קיבול: מצאו את הקיבול של מערכת המכילה שתי קליפות כדוריות מוליכות בעלות מרכז משותף ורדיוסים aו . bנתון) . a < b :קבל כדורי( פתרון: השיטה למציאת קיבול היא להניח מטען חיובי , + Q ,על אחת הקליפות ,ומטען שלילי , − Q ,על הקליפה Q = , Cכדי לקבל את השנייה .לחשב את הפרש הפוטנציאלים בין הקליפות ואז לחלק עפ"י הנוסחה: ∆V הקיבול .שימו לב ,שהקיבול אמור להיות חיובי ותלוי במימדי הקבל בלבד )רדיוסים( ולא במטען. נניח מטען חיובי על הקליפה החיצונית: b - kQ kQ kQ kQ kQ kQ b−a ∆V = -∫ 2 dr = − = − − = − = kQ r a a b r a b ab a b והקיבול הוא: Q ab = ) b − a k (b - a kQ ab Q = ∆V =C קיבול שני כדורים מוליכים טעונים מרוחקים מאוד זה מזה .הכדורים בעלי רדיוסים R1ו R2 -ובמצב ההתחלתי אינם טעונים כלל .מחברים את הכדורים בחוט מוליך דק לסוללה כמוראה באיור ,ונותנים למערכת להתייצב )להגיע לשיווי משקל אלקטרוסטטי( .מתח הסוללה הוא . V0נתונים. V0 , R1 , R2 : א .מהו המטען על כל כדור? ב .מהו הקיבול של מערכת R1 R2 הכדורים המוליכים? פתרון: א .הנעלמים הם המטען על כל אחד מהכדורים ,לצורך העניין נקרא להם q1ו . q 2 נחשב את הפוטנציאל על כל כדור .הסוללה יוצרת הפרש פוטנציאלים V0בין הקליפות: kq 2 R2 = ϕ2 kq 2 kq1 − = V0 R2 R1 kq1 R1 , ⇒ = ϕ1 ϕ 2 − ϕ 1 = V0 סכום המטען של שתי הקליפות מתאפס )החלנו במצב שהוא שווה לאפס: q1 + q 2 = 0 בסה"כ שתי משוואות עם שני משתנים .נפתור: R + R1 V0 = ⇒ q 2 2 R1 R2 k V RR q1 = − 0 1 2 ) k (R2 + R1 kq 2 kq 2 + = V0 R2 R1 , ⇒ q1 = − q 2 V0 R1 R2 ) k (R2 + R1 = q2 ב .כדי לחשב קיבול נניח תיאורטית מטען על כל אחד מהכדורים )המטען שווה בגודל והפוך בסימן( ונחשב את הפרש הפוטנציאלים שנוצר בין הכדורים: kq R2 = ϕ2 , kq R1 q 2 = q , q1 = − q ⇒ ϕ1 = − ) kq kq kq (R2 + R1 + = R2 R1 R2 R1 = ∆ϕ = ϕ 2 − ϕ1 כעת נמצא את הקיבול עפ"י הגדרת הקיבול: R2 R1 q q = = ) ∆ϕ kq (R2 + R1 ) k (R2 + R1 R2 R1 =C קיבולשאלה ) 4שאלה 4.16מחוברת הקורס( b קבל גלילי בנוי ממוליך גלילי פנימי ארוך בעל רדיוס aהנתון בתוך חללו a של מוליך גלילי חיצוני שרדיוסו ) bראו שרטוט( .התווך בין הגלילים הינו ריק .אם נתון כי פוטנציאל המוליך הפנימי הוא Vופוטנציאל L המוליך הפנימי הוא אפס ,חשבו את: א .צפיפות המטען האורכית )מטען ליחידת אורך( על כל אחד ממוליכי הקבל. ב .השדה החשמלי במרחק rמציר האורך של המוליך הגלילי הפנימי. ג .את קיבול הקבל ליחידת אורך. הדרכה :חשבו קודם את הקיבול וממנו את צפיפות המטען באמצעות הגדרת הקיבול .את השדה החשמלי חשבו באמצעות חוק גאוס. פתרון: ג .נניח שהמטען הפנימי הוא החיובי ,השדה בתווך שבין הגלילים הוא )חוק גאוס(: q ε 0 L ⋅ 2πr =⇒ E 'σ ⋅ 2 π aL' qL = ε0 ε 0L = '⇒ E ⋅ 2 π rL q 2 π aL =σ נחשב את הפרש הפוטנציאלים: a r r ∫ ∆V = − ∫ E ⋅ d r = − qdr -q [ln(r )]ab = q ⋅ ln b = ε L ⋅ 2 π r ε 0 L ⋅ 2π ε 0 L ⋅ 2π a b 0 הקיבול ליחידת אורך: C 2 πε 0 = L b ln a ⇒ 2 π Lε 0 b ln a = q q b ⋅ ln ε 0 L ⋅ 2π a q = ∆V =C א .נחשב את צפיפות המטען: 2 π Lε 0 2πε 0 q = = ⋅V ⇒ λ ⋅V L b b ln ln a a = q = C ⋅ ∆V ב .השדה החשמלי )נציב את המטען בביטוי שקיבלנו בהתחלה(: 2 π Lε 0 q 1 V =− ⋅⋅V = ε 0 L ⋅ 2πr ε 0 L ⋅ 2πr b b ln ln ⋅ r a a =E שאלה ) 2שאלה 4.5מחוברת הקורס( שני כדורים מוליכים בעלי רדיוסים aו b -טעונים במטענים שווים ומנוגדים , ± qבהתאמה .מרכזי הכדורים מונחים על ציר ה x -כאשר המרחק בין מרכזיהם הוא , dכמתואר באיור. נתונים . k , q , a , bהניחו כי המרחק בין הכדורים גדול כך שכדור אחד לא משפיע על משנהו. א .מהו השדה החשמלי בנקודה ) p( x,0הנמצאת על קו המחבר בין מרכזי הכדורים ? ב .מהו הפרש הפוטנציאלים בין משטחי הכדורים ? 4π ε 0 הראו כי הקיבול של המערכת נתון בביטוי 1 1 2 + − a b d ג. )p( x,0 b x ≈ , Cובתנאי ש . d >> a, b a d פתרון: א .שדה חשמלי של כדור מוליך טעון מחוץ לכדור הוא כמו של מטען נקודתי: q −q = ˆ⋅ i ˆ⋅ i 2 2 ) 4π ε 0 (d − x ) 4π ε 0 (d − x 1 ˆ 1 ⋅i 2+ 2 x ( d − x ) r E2 = − ˆ⋅ i , q 2 4π ε 0 x r = E1 r r r q q q E p = E1 + E 2 = + = ˆ⋅ i 2 2 4π ε 0 4π ε 0 (d − x ) 4π ε 0 x ב .את הפרש הפוטנציאלים נמצא ע"י אינטגרל על השדה: d −b 1 1 q = dx 2+ 2 4π ε 0 x 4π ε 0 (d − x ) d −b r r ∫ ∆ϕ = − ∫ E ⋅ dr = − 1 1 x − (d − x ) a q 1 1 1 1 d − b + (d − a ) − b − a 1 1 1 1 q − − + = 4π ε 0 d − b (d − d + b ) a (d − a ) 4π ε 0 = a q ג .את הקיבול נמצא עפ"י הגדרת הקיבול: 4π ε 0 1 1 1 1 + − − ) b a (d − b ) (d − a = −q 1 1 1 1 + − − 4π ε 0 (d − b ) (d − a ) b a q −q = ∆ϕ =C עבור המקרה בו מתקיים : d >> a, b 4π ε 0 4π ε 0 = 1 1 1 1 1 1 2 + − − − − b a d d b a d ≈C קיבול: פתרון: השיטה לחישוב קיבול היא ,להניח מטענים הפוכים על הלוחות )במקרה זה צפיפויות מטען הפוכות כי הגלילים אינסופיים( ,לחשב הפרש פוטנציאל בין שני הלוחות ,ולחלק .השרטוט המתאים מצורף: +σ −σ d d x D-x x תחילה נחשב את השדה שיוצר גליל אינסופי ע"י חוק גאוס: r r q in E ∫ ⋅ dS = ε 0 σ ⋅d ε0r =⇒ E σ ⋅ 2πd ⋅ L ε0 = E ⋅ 2πr ⋅ L השדה בין הגלילים מתקבל מסופרפוזיציה של השדות: r σ ⋅d ˆ σ ⋅d E = − − ⋅i ε 0 x ε 0 (D - x ) שימו לב זה השדה על ציר xבלבד ,וכיוונו מהגליל החיובי לגליל השלילי. נחשב את הפרש הפוטנציאלים בין הלוחות: D − d D −d r r σ ⋅d 1 σ ⋅d σ ⋅d 1 ∆V = − ∫ E ⋅ d r = − ∫ − − + = dx = dx ∫ ε 0 x ε 0 (D - x ) ε 0 d x (D - x ) d σ ⋅d = ]) [ln(x ) − ln(D − x )]dD−d = σ ⋅d [ln(D − d ) − ln(d ) − ln(d ) + ln(D − d ε0 ε0 2σ ⋅d D − d ⋅ ln ε0 d ובחשב את הקיבול ליחידת אורך: σ ⋅ 2 πd ⋅ L q C σ ⋅ 2πd =C = ⇒ = ∆V ∆V L ∆V ε0 ε0 π σ ⋅ 2 πd C = ⋅ = σ ⋅ 2 πd = L 2σ ⋅d D − d D−d D−d ⋅ ln 2σ ⋅d ⋅ ln ln ε0 d d d קיבול – חומר דיאלקטרי נתון קבל לוחות ,בין לוחות הקבל נמצאים חומרים דיאלקטרים כמשורטט: 2d k2 k1 k3 d מצאו את הקיבול של קבל זה. המרחק בין לוחות הקבל הוא .3d :שטח לוחות הקבל הוא. A : פתרון: קיבול של קבל לוחות עם חומר דיאלקטרי: εA d =C וניתן להתייחס לקבל הזה בצורה הבאה: C3 C1 C4 C2 כאשר: ε1 A = C1 4d ε3A 2d = C2 = C4 ε2A 4d = C3 ולפיכך הקיבול של קבל כזה יהיה: ε3A ε1 ε2 + 2d 2ε 3 + ε 1 2ε 3 + ε 2 = 1 1 1 + C3 C 4 + 1 1 1 + C1 C 2 =C קיבול – חומר דיאלקטרי לקבל לוחות קיבול ,C 0מוסיפים חומר דיאלקטרי בין לוחות הקבל בעל קבוע דיאלקטרי שתלוי ב : x k (x ) = x + 1 וציר ה Xמופיע בשרטוט: X ) k (x d מצאו את הקיבול של הקבל. פתרון: ניתן להתייחס לבעיה כאל אלמנטים קטנים של קבלי לוחות הנמצאים בטור ואז לסכום ע"י אינטגרציה: d d 1 dx 1 dx 1 ∫= = = ]) [ln(1 + x )]0d = 1 [ln(1 + d ∫ ε0A C 0 k ( x )ε 0 A ε 0 A 0 (1 + x ) ε 0 A ⇓ ε0A ) ln (1 + d =C קיבול – חומר דיאלקטרי )שאלה (4.15 פתרון: א .נתון חומר דיאלקטרי: ε 2 − ε1 ⋅y d ε (y ) = ε 1 + נחלק לאלמנטים דקים עפ"י השרטוט: y y=d dy y=0 L כל האלמנטים מחוברים בטור )חשוב לזהות את סוג החיבור כדי לדעת לבנות את האינטגרל נכון( ,והגודל הדיפרנציאלי בכל קבל דיפרנציאלי הוא המרחק בין הלוחות. dy , קיבול של קבל לוחות דיפרנציאלי: ε − ε1 ⋅ y ⋅ ε0A ε1 + 2 ε 0 εA d = dC = dy dy ההופכי של השקול בחיבור טורי שווה לסכום ההופכיים של האלמנטים: d d ε − ε 1 1 1 dy 1 d =∫ =∫ = ⋅ ln ε 1 + 2 ⋅ y = ε 2 − ε1 C dC 0 ε 0 A ε 2 − ε1 d 0 ⋅ y ⋅ ε0A ε1 + d ε − ε1 d d ln ε 1 + 2 ⋅ d − ln (ε 1 ) = [ln(ε 2 ) − ln(ε 1 )] = ε 0 A (ε 2 − ε 1 ) d ε 0 A (ε 2 − ε 1 ) = ε d ln 2 ε 0 A(ε 2 − ε 1 ) ε 1 C= :התשובה הסופית ε 0 A (ε 2 − ε 1 ) ε d ⋅ ln 2 ε1 q = C⋅V = ε 0 A(ε 2 − ε 1 ) ε d ⋅ ln 2 ε1 : מטען על לוחות הקבל.ב ⋅ V0 יוצרים מעטפת גאוס קובייתית שפאה אחת נמצאת בתוך הקבל: חישוב השדה החשמלי ע"י חוק גאוס.ג .( השדה מחוץ לקבל שווה לאפס,ופאה שנייה נמצאת מחוץ לקבל )להזכירכם q E⋅A = ⇒ ε 0ε E= (ε 2 − ε 1 )V0 ε A(ε 2 − ε 1 ) q 1 = 0 ⋅ V0 ⋅ = ε − ε1 ε 0εA ε ε ε − ε1 ε 0 A ⋅ ε 1 + 2 ⋅ y d ⋅ ln 2 ⋅ ε 1 + 2 d ⋅ ln 2 ⋅ y d d ε1 ε1 : אותו תרגיל עם חומר דיאלקטרי אחר.ד ε − ε1 ε (x ) = ε 1 + 2 ⋅x L : כך שהם מחוברים במקביל,מחלקים לאלמנטים מאונכים x=0 x=L dx L x נניח ששטח הלוחותA = b ⋅ L : השטח הוא שהופך להיות דיפרנציאלי עבור כל אלמנט: ε − ε1 ⋅ x ⋅ ε 0 ⋅ b ⋅ dx ε1 + 2 ε 0 ε ⋅ dA L = dC = d d ומכיוון שכל האלמנטים מחוברים במקביל ,נמצא את השקול ע"י סכימה רגילה של האלמנטים: ε 2 − ε1 ⋅ x ⋅ ε 0 ⋅ b ⋅ dx L ε1 + ε ⋅b L ε − ε1 L = 0 ∫ ε1 + 2 = ⋅ x ⋅ dx ∫ = C = ∫ dC d d 0 L 0 L ε ⋅b ε ⋅b ε − ε1 2 ε − ε1 2 ε 0 ⋅ b ε − ε1 = 0 ε 1 x + 2 ⋅ x = 0 ε 1 L + 2 = ⋅L ε1L + 2 = ⋅ L d 2L d 2L d 2 0 ε ⋅A ) (ε 2 + ε 1 = 0 2d קיבול )חומר דיאלקטרי( – שאלה 4.19מחוברת הקורס פתרון: א .נתון חומר דיאלקטרי: 2d z+d = ) ε (z נחלק לאלמנטים דקים עפ"י השרטוט: z z=d dz z=0 כל האלמנטים מחוברים בטור )חשוב לזהות את סוג החיבור כדי לדעת לבנות את האינטגרל נכון( ,והגודל הדיפרנציאלי בכל קבל דיפרנציאלי הוא המרחק בין הלוחות. dy , קיבול של קבל לוחות דיפרנציאלי: ε εA ε 0 A 2d = ⋅ dC = 0 dz dz z + d ההופכי של השקול בחיבור טורי שווה לסכום ההופכיים של האלמנטים: d z2 d2 ( 1 1 z + d )dz 1 1 3d =∫ =∫ = ⋅ + d ⋅ z = ⋅ + d2 = C dC 0 2ε 0 Ad 2ε 0 Ad 2 0 2ε 0 Ad 2 4ε 0 A d C= 2ε 0 A 3d : צפיפות מטען.ב q = C ⋅ V0 = σ= 4ε 0 A ⋅ V0 3d q 4ε 0 = ⋅ V0 A 3d .ג : האנרגיה האגורה בקבל.ד 1 1 4ε A U C = q ⋅ V0 = ⋅ 0 ⋅ V02 2 2 3d קיבול )חומר דיאלקטרי( – 4.17מחוברת הקורס פתרון: א .תחילה נחשב קיבול של קבל כדורי רגיל )ללא חומר דאלקטרי(: השיטה למציאת קיבול היא להניח מטען חיובי , + Q ,על אחת הקליפות ,ומטען שלילי , − Q ,על הקליפה Q = , Cכדי לקבל את השנייה .לחשב את הפרש הפוטנציאלים בין הקליפות ואז לחלק עפ"י הנוסחה: ∆V הקיבול .שימו לב ,שהקיבול אמור להיות חיובי ותלוי במימדי הקבל בלבד )רדיוסים( ולא במטען. נניח מטען חיובי על הקליפה החיצונית: b - kQ kQ kQ kQ kQ kQ b−a ∆V = -∫ 2 dr = − = − − = − = kQ r a a b r a b ab a b והקיבול הוא: 4 π ε 0 ab Q ab = = ) b − a k (b - a ) (b - a kQ ab Q = ∆V =C נתון מקדם דיאלקטרי: ε(r ) = B ⋅ r נחלק את הקבל לאלמנטים של קבלים כדוריים דקים )העובי דיפרנציאלי( .הקיבול של אלמנט: b - a = dr ab = r 2 4 πε 0 ε (r )r 2 4 π ε 0 Br 3 = dr dr האלמנטים מחוברים בטור ,ולפיכך נסכום על ההופכיים כדי לקבל את ההופכי של השקול: = dC b 1 dr 1 1 1 1 1 1 a 2 − b2 ∫ = = ∫ dC = − = − − = − ⋅ = 3 C 4 π ε 0 B 2r 2 a 8 πε 0 B b 2 a 2 8π ε 0 B a 2 b 2 a 4 π ε 0 Br b b2 − a 2 = 8π ε 0 Ba 2 b 2 8πε 0 Ba 2 b 2 b2 − a 2 ב .כדי למצוא את צפיפות המטען על כל אחד מהלוחות ,נמצא את המטען על כל אחד מהלוחות ונחלק בשטח: 2 2 8π ε 0 Ba b = Q = C ⋅ ∆V ⋅ V0 b2 − a 2 2ε 0 Ba 2 Q = ⋅ V0 = σb 4πb 2 b 2 − a 2 =C 2ε 0 Bb 2 Q = − ⋅ V0 4πa 2 b2 − a 2 הנחתי שהמטען החיובי על הלוח החיצוני ,והמטען השלילי על הלוח הפנימי. σa = − חומר דיאלקטרי )שאלה 4.20מחוברת פיסיקה (2 בקבל כדורי שרדיוס מוליכו הפנימי הוא aורדיוסו החיצוני הוא , bכמתואר באיור,נפח הקבל ממולא בחומר דיאלקטרי שקבועו היחסי משתנה עם המרחק ממרכז המערכת לפי הקשר ε2 r2 , ε r (r ) = ε 1 + כאשר ε 1ו ε 2הם קבועים חיובים .ידוע כי לקליפה הפנימית נטען מטען Qואילו לקלפיה החיצונית נטען מטען . − Qנתונים. k , Q , ε 1 , ε 2 : א .חשבו את עצמת השדה החשמלי במרחק rממרכז המערכת . b ב .חשבו את הפרש הפוטנציאלים בין מוליכי הקבל. a ג .חשבו את קיבול הקבל הכדורי. ) ( dx arctan α ⋅ x = הדרכה: 2 +1 α ∫αx εr פתרון :אפשר לפתור את הסעיפים לפי הסדר ,אני מעדיף לחשב קיבול לפני הפרש מתחים. א .השדה החשמלי: ˆr Q ε 4π ε 0 ε 1 + 22 r = ˆr Q 4π ε 0 ε r r =E ג .חשוב הקיבול יתבצע ע"י פירוק לקליפות כדוריות בעלות עובי דיפרנציאלי ,האלמנטים מחוברים בטור: ε ε 2 4π ε 0 ε 2 1 r 2 + 1 ε 1 + 22 ε 0 4π r 2 4π ε 0 ε 1 r + ε 2 ε ε A r ε2 dC = r 0 = = = dr dr dr dr b b 1 1 dr 1 dr ∫= ∫= = ∫⋅ = C dC a ε1 2 4π ε 0 ε 2 a ε 1 2 r + 1 4π ε 0 ε 2 r + 1 ε2 ε2 ) ( b ε ε ε ε 1 ⋅ arctan 1 ⋅ b − arctan 1 ⋅ a = = ⋅ 2 ⋅ arctan 1 ⋅ r ε ε ε 4π ε 0 ε 2 ε 1 2 a 4π ε 0 ε 1ε 2 2 2 1 4π ε 0 ε 1ε 2 ε ε arctan 1 ⋅ b − arctan 1 ⋅ a ε ε 2 2 ב .את הפרש המתחים נמצא עפ"י הגדרת הקיבול: ε ε Q Q = ⋅ arctan 1 ⋅ b − arctan 1 ⋅ a ε ε C 4π ε 0 ε 1ε 2 2 2 = ∆V =C קיבול )חומר דיאלקטרי( -שאלה 4.18מחוברת הקורס פתרון: קיבול ליחידת אורך של קבל גלילי: C 2πε 0 = L b ln a נחלק את הקבל הנתון לשני אלמנטים גליליים הראשון עם חומר דיאלקטרי ,והשני בלי חומר דיאלקטרי. האלמנטים מחוברים בטור: 2πε 0 2πε 0 C1 = = L ) 10R ln (2 ln 5R 2 πε 0 ε r 2πε 0 ε r C2 = = L )ln (5 5R ln R )ε ⋅ ln (2 ) + ln (5 L L L ) ln (2 )ln (5 = + = + = r C C1 C 2 2 π ε 0 2 π ε 0 ε r 2πε 0 ε r 2πε 0 )ln (5 ln (2 ) + εr 2πε 0 ε r C = = )L ε r ⋅ ln (2 ) + ln (5 חומר דיאלקטרי עבור הקבל מתרגיל 4.18מחוברת הקורס ,פתרו את הסעיפים הבאים: מחברים את הקבל לסוללה המספקת מתח קבוע . V0 א .מהי צפיפות המטען החופשי על כל מוליך ? ב .מהי צפיפות המטען הקשור בתוך החומר הדיאלקטרי ומהי צפיפות המטען הקשור בכל דופן של החומר הדיאלקטרי ? ג .מהו שדה ההעתקה ? ד .מהו וקטור הקיטוב ? פתרון: 2π ε 0 )ln (5 ln (2 ) + εr C = L א .צפיפות המטען החופשי: 2π ε 0 ⋅ V0 C = = ⋅ ∆ϕ )ln (5 L L ln (2 ) + εr r ג .תחילה נחשב את השדה החשמלי ) ( E 0שיוצר המטען החופשי במידה ואין חומר דיאלקטרי Q free )להזכירכם :שדה חשמלי של גליל אינסופי מחוץ לגליל מתנהג כמו שדה חשמלי של תיל אינסופי( .ע"י r שדה זה ניתן למצוא את שדה ההעתקה ) :( D r λ free Q free E0 = rˆ = rˆ = 2π ε 0 r 2π ε 0 Lr r r D = ε 0 E0 = ε 0V0 2πε0 ⋅ V0 V0 1 ⋅ rˆ = rˆ ln ( 5 ) 2π ε 0 Lr ln ( 5 ) ln ( 2 ) + ln ( 2 ) + ⋅ Lr εr εr ln ( 5 ) ln ( 2 ) + ⋅ Lr εr rˆ ( ניתן למצוא ע"י ביצוע דיברגנס עלρ induced ) את צפיפות המטען המושרה בתוך בחומר הדיאלקטרי.ב :השדה החשמלי r r D E ( R < r < 5R ) = = ε 0ε r ρinduced V0 rˆ ln ( 5 ) ln ( 2 ) + ⋅ ε r ⋅ Lr ε r r r r ε0 ∂ V0 V0 =0 rˆ = = ε 0∇ ⋅ E = ε 0 ∇ ⋅ ⋅ r⋅ r ∂r ln ( 5 ) ln ( 5 ) ln ( 2 ) + ln ( 2 ) + ⋅ ε r ⋅ Lr ⋅ ε r ⋅ Lr εr εr ε r - זה בגלל ש,שימו לב שיצא אפס, יש לבצע את הדיברגנס המתאים לקורדינטות גליליות:)הערה : ( מוצאים באופן הבאσ induced ) את צפיפות המטען בדופן של החומר הדיאלקטרי E + ( r = 5R ) = σ induced = V0 ln ( 5 ) ln ( 2 ) + ⋅ 5 LR εr , E − ( r = 5R ) = .(קבוע V0 ln ( 5 ) ln ( 2 ) + ⋅ ε r ⋅ 5 LR εr V0 V0 + − = = ε 0 ∆E = ε 0 ( E − E ) = ε 0 − ln ( 5 ) ln ( 5 ) ln ( 2 ) + ⋅ 5 LR ln ( 2 ) + ⋅ ε r ⋅ 5 LR εr εr ε 0V0 ε 0V0 1 ε r −1 1 − = ln ( 5 ) ε r ln 2 + ln ( 5 ) ⋅ 5 LR ε r ln ( 2 ) + ⋅ 5 LR ( ) εr εr בה נעזרים, בסעיף הבא נראה שיטה קלה יותר.r=R בצורה דומה ניתן למצוא את צפיפות המטען בדופן .בווקטור הקיטוב : וקטור הקיטוב.ד r r P = ε 0 (ε r − 1)E = ε 0 (ε r − 1) ⋅ V0 ln (5) ln (2 ) + ⋅ ε r ⋅ Lr ε r rˆ את צפיפות המטען הקשור ניתן למצוא גם מתוך ווקטור הקיטוב :לוקחים את הערך של וקטור הקיטוב הניצב לשטח )הוא ,במקרה שלנו ,גודל וקטור הקיטוב ממש( ,ומציבים ,r=R --כדי לקבל את הערך המוחלט של הצפיפות ב ,r=R-ומציבים r=5Rכדי לקבל את הצפיפות ב:r=5R- ε 0 ( ε r − 1) ⋅V0 ln ( 5 ) ln ( 2 ) + ⋅ ε r ⋅ LR εr = )) σ R = P⊥ (r = Rהצפיפות מקום זה היא שלילית ,אם הסוללה מחוברת עם הדק חיובי ללוח הפנימי ,ואז המטען על הלוח הפנימי הוא חיובי ,ועל הדופן הדיאלקטרית המטען הקשור המושרה הוא שלילי( ε 0 ( ε r − 1) ⋅V0 ln ( 5 ) ln ( 2 ) + ⋅ ε r ⋅ L ⋅ 5R εr = ) σ 5 R = P⊥ (r = 5 Rהשוו עם תוצאת הסעיף הקודם! התנגדות סגולית :פתרון : dx חישוב ההתנגדות מתבצע ע"י אינטגרל על אלמנטים קטנים של דיסקות בעובי.א dL S dL = dx dR = ρ S = π ⋅ r2 dR = r= b−a x+a L (b - a ) x + a ⇒ S = π⋅ L 2 ρdx b-a π⋅ x + a L 2 L L 1 ρdx ρ L = R = ∫ dR = ∫ = − ⋅ 2 ( ) b a π b a (b - a ) 0 x + a π⋅ x + a L 0 L 1 1 ρ L 1 1 ρ L b − a ρL ρ L − − = = − = π b - a (b − a )L a π b - a a b π b - a ab πab + a L : a = b נבדוק את הגבול המתבקש.ב ρL ρL ρL R= = = πab πa 2 S התנגדות סגולית )שאלה 5.8מחוברת הקורס(. מוליך שהתנגדותו הסגולית ρעוצב לצורה של חרוט קטום שהמרחק בין בסיסיו b , Lכמתואר באיור שמשמאל .רדיוס בסיסי החרוט הם aו . b -תוכלו להניח כי a הזרם דרך כל שטח חתך מעגלי של החוט הקטום הוא זהה .חשבו: א .את התנגדות הנגד בין בסיסיו. ב .השדה החשמלי כפונקציה של המרחק מהבסיס הגדול של החרוט ,כאשר הפרש הפוטנציאלים בין בסיסי החרוט הוא . ∆V l ג .הראו כי עבור a = bתצטמצם תשובתכם לנוסחה S L .R = ρ פתרון: א .חישוב ההתנגדות מתבצע ע"י אינטגרל על אלמנטים קטנים של דיסקות בעובי : dx 2 b−a ) (b-a =, r x + a ⇒ S = π ⋅ x + a L L 2 dL = dx , S = π ⋅ r ρdx 2 b-a π ⋅ x + a L dL = S dR = ρ L L ρdx ρ L 1 = ∫ = R = ∫ dR = − ⋅ 2 ) π b-a (b-a ) (b-a 0 x + a π ⋅ x + a L 0 L ρ L 1 1 ρ L 1 1 ρ L b − a ρL − − = = − = π b-a (b − a )L a π b-a a b π b-a ab πab + a L ב .נמצא הזרם דרך הנגד )ע"י חוק אוהם(: ∆V πab ⋅ ∆V = R ρL =I נחשב את ההתנגדות עד לנקודה מסוימת בנגד בתלות ב) x -זו ההתנגדות יחסית לנקודה בה נכנס הזרם(: x x 1 ρdx ρ L 1 ρL 1 ∫ = ) R(x = − ⋅ = ⋅ − 2 ) π b-a (b-a π (b − a ) a (b − a )x ) (b-a 0 + a x + a π ⋅ x + a L L 0 L :וע"י חוק אוהם נוכל לחשב את הפוטנציאל בנקודה זו 1 πab ⋅ ∆V ρL 1 = V ( x ) = ∆V − I ⋅ R( x ) = ∆V − ⋅ ⋅ − ρL π (b − a ) a (b − a )x + a L ab ⋅ ∆V 1 1 = ∆V − ⋅ − (b − a ) a (b − a )x + a L :את השדה החשמלי נמצא ע"י מינוס גרדיאנט על הפוטנציאל r r ∂ ab ⋅ ∆V E = −∇ ⋅ V = − ∆V − ∂x (b − a ) 1 1 ⋅ iˆ = ⋅ − a (b − a )x + a L ab ⋅ ∆V 1 1 (b − a ) ⋅ iˆ = ab ⋅ ∆V ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ iˆ 2 2 (b − a ) (b − a )x L L (b − a )x + a + a L L : a = b נבדוק את הגבול המתבקש.ג R= ρL ρL ρL = 2 = πab πa S התנגדות סגולית נגד שצורתו קונוס קטום בנוי מחומר בעל התנגדות סגולית ρנתונה תלות הרדיוס ב : x r ( x ) = ax + b x=0 x=L א .חשבו את ההתנגדות. ב .הראו כי כאשר a = 0מקבלים ביטוי לנגד גלילי. ג .מה ההתנגדות אם . ρ = π ⋅10 3 Ωm , b = 0.1m , a = 0.1 , L = 1m ד .הסבר את ההתנהגות בגבול b → 0ובגבול ∞ → . a פתרון: א .חישוב ההתנגדות מתבצע ע"י אינטגרל על אלמנטים קטנים של דיסקות בעובי : dx dL S dR = ρ dL = dx 2 L ρ 1 ρ 1 ρL 1 =− =− π ⋅ a ax + b 0 ) π ⋅ a aL + b b π ⋅ b(aL + b =− ) S = π ⋅ r 2 ( x ) = π (ax + b dx dR = ρ π (ax + b )2 dx 2 ) π (ax + b ב .כאשר : a = 0 L R = ∫ dR = ∫ ρ 0 r (x ) = b כלומר ,הרדיוס קבוע ובמילים אחרות זהו גליל .נציב בביטוי עבור הנגד ונקבל: ρL π ⋅b2 =R ג .נציב את הערכים בביטוי עבור הנגד )סעיף א'(: R = 50kΩ ד .נבדוק את הגבולות: ∞→b→0 ⇒ R צורת הנגד תהיה קונוס עם שפיץ כך שקיימת נקודה בנגד שעבורה ההתנגדות היא אינסופית )השפיץ(. במקרה השני: a→∞ ⇒ R→0 כלומר שטח החתך של הנגד הוא אינסופי ולפיכך ההתנגדות תתאפס. התנגדות סגולית ,חוק אוהם דיפרנציאלי תיל שאורכו Lושטח החתך שלו ,Aמונח לאורך ציר .Xהתיל בנוי מחומר שהתנגדותו הסגולית משתנה לאורך לפי הקשר , ρ = ρ 0 e x Lכאשר הקצה השמאלי נמצא ב . x = 0 א .מהי התנגדותו של התיל? ב .מחברים הפרש פוטנציאלים Vבין קצוות התיל .חשבו איך משתנה הפוטנציאל לאורך התיל )כפונקציה של .( x ג .איך משתנה השדה החשמלי לאורך התיל? פתרון: א .התנגדות התיל: ρ = ρ0e x L ρ0 L ][e − 1 A ב .הפרש פוטנציאלים כפונקציה של : x = ] L 0 ρdL ρ 0 e x L dx = dR = S A L ρ e x L dx ρ0 L x L ρ R = ∫ dR = ∫ 0 = e dx = 0 Le x L ∫ A A 0 A 0 [ V V VA = = R ρ0 L ][e − 1] ρ0 L[e − 1 A ρ x x VA V V ex L −1 = ) V = I ⋅ R (x = ⋅ 0 ∫ e x L dx = ex L 0 ][e − 1 ][e − 1 ρ 0 L[e − 1] A 0 ג .נמצא שדה חשמלי לפי חוק אוהם דיפרנציאלי: j I 1 I ⋅ = =E = ρ A ρ 0 e x L Aρ 0 e x L =I ] [ ] [ התנגדות סגולית )שאלה 5.7מחוברת הקורס(. ניתן לשנות את ההתנגדות הסגולית , ρ ,של חצי מוליך על ידי הוספה של זיהומים .מוט העשוי חומר חצי מוליך מונח לאורך ציר ה x -בין x = 0ל . x = L -כתוצאה מההוספה של הזיהומים מציית המוט לחוק אוהם והתנגדותו הסגולית משתנה לפי הקשר . ρ ( x ) = ρ 0 e − x Lקצה המוט הנמצא בנקודה x = 0 נמצא בפוטנציאל הגבוה ב V0מהקצה הנמצא ב . x = Lנתון כי שטח החתך של המוט הוא . A א .חשבו את התנגדותו של המוט. ב .מצאו את השדה החשמלי במוט כפונקציה של המרחק xהנמדד מקצהו השמאלי של המוט. ג .חשבו את הפוטנציאל במוט ) V ( xכפונקציה של . x ד .ציירו גרפים המתארים את ההשתנות של ) ρ ( x ) , E ( x ) , V ( xכפונקציה של . x פתרון: א .נחלק את המוט לפרוסות בעלות שטח חתך Aואורך דיפרנציאלי . dxהתנגדות התיל: ρ = ρ0 e − x L ρdL ρ0 e − x L dx = S A L −x L ρ0 e dx ρ0 L x L ρ ∫ = R = ∫ dR = e dx = 0 − Le − x L ∫ A A 0 A 0 = dR ] [ ρ0 L 1 − e −1 A ] L = 0 [ ג .נחשב את הזרם דרך הנגד .נחשב את התנגדות הנגד כפונקציה של xיחסית לנקודה בה נכנס הזרם. את הפרש הפוטנציאלים כפונקציה של xנמצא ע"י חוק אוהם: V0 V0 A V = = R ρ0 L ρ0 L 1 − e −1 1 − e −1 A ρ x ρ R( x ) = 0 ∫ e − x L dx = 0 − L ⋅ e − x L A 0 A ] ) () ) ( ) ( ρ0 L 1 − e −x L A = ] x 0 [ ( [ [ V0 A ρ L V0 ⋅ 0 1 − e − x L = V0 − ⋅ 1 − e−x L −1 −1 A ρ0 L 1 − e 1− e ] ] =I [ V ( x ) = V0 − I ⋅ R( x ) = V0 − ב .שדה חשמלי נמצא ע"י ביצוע גרדיאנט על הפוטנציאל: ˆ = ⋅ i −x L ) ⋅ iˆ = (1 −Ve ) L1 ⋅ e 0 −1 r r V0 ∂ E = −∇ ⋅ V = − V0 − ⋅ 1 − e−x L −1 ∂x 1− e −x L V ⋅e = 0 ˆ⋅ i L 1 − e −1 () ( ) ( חוק אוהם דיפרנציאלי,התנגדות סגולית :פתרון : נחלק לאלמנטים של דיסקות ונסכום טורית ע"י אינטגרל כדי לקבל התנגדות כוללת.א σ0 σ= 1+ x L 2 a x x r = x + a = a + 1 ⇒ S = π r 2 = πa 2 + 1 L L L 1 dx 1 x dx dx = = dR = ⋅ + 1 2 σ S σ0 L x 2 x σ 0 π a 2 + 1 π a + 1 L L L dx 1 = R=∫ σ 0 πa 2 2 x 0 σ 0 π a + 1 L L L ⋅ ln (2 ) x L ⋅ ln L + 1 = σ π a 2 [ln (2 ) − ln (1)] = σ π a 2 0 0 0 L : נמצא זרם ע"י חוק אוהם.ב 2 I= ∆Vσ 0 π a ∆V ∆V = = L ⋅ ln (2 ) R L ⋅ ln (2 ) 2 σ 0 πa : x נמצא צפיפות זרם ע"י חלוקת הזרם בשטח כפונקציה של.ג 2 I j= = S(x ) E =σ ⋅ j= ∆Vσ 0 π a L ⋅ ln(2) x πa + 1 L 2 2 = ∆Vσ 0 π a 2 2 = ∆Vσ 0 2 x x L ⋅ ln(2)πa + 1 L ⋅ ln (2) + 1 L L : שדה חשמלי ניתן למצוא עפ"י חוק אוהם הדיפרנציאלי.ד ∆Vσ 0 σ0 ⋅ 2 x x 1 + L ⋅ ln(2) + 1 L L 2 התנגדות סגולית )שאלה 5.9מחוברת הקורס( .חסר שרטוט!!! מדיסקה חלולה שעובייה wורדיוסיה הפנימי והחיצוני הם aו , b -מייצרים נגד על ידי חיתוך הדיסקה החלולה לאורך קוטר באופן שמתקבלת צורה המזכירה פרסה )ראו איור משמאל( .מוליכותה הסגולית של הדיסקה . σמחברים את הנגד בין שני המשטחים הקדמיים למקור המח המספק הפרש פוטנציאליים . V0 תוכלו להניח כי הזרם זורם לאורך חצאי מעגלים .חשבו: א .את התנגדות הנגד. r ב .את וקטור צפיפות הזרם . j ג .את הפוטנציאל החשמלי כפונקציה של הזווית הקוטבית φבהנחה כי הפוטנציאל החשמלי בנקודה בה הזרם יוצא הוא אפס .קחו את φלהיות אפס בנקודה בה הזרם נכנס. פתרון: א .מחלקים לאלמנטים חצי מעגליים )רדיוס , rעובי ( drבעלי שטח חתך דיפרנציאלי ואורך של חצי מעגל .האלמנטים מחוברים במקביל: L =π r , dS = w ⋅ dr πr L = σ dS σ w ⋅ dr ⋅ π 1 = dR σ w ⋅ dr σ w b 1 1 ∫= ∫= = ⇒ ⋅ ln R dR a π r π a b =R b a σ w ⋅ ln ב .מכיוון שהאלמנטים מחוברים במקביל ניתן לחשב את הזרם דרך כל אלמנט ע"י חוק אוהם .את הזרם על כל אלמנט נחלק בשטח החתך של האלמנט כדי לקבל את צפיפות הזרם: r ˆ dI ˆ V0σ = ) j (r = ⋅φ ⋅φ πr dS ˆ V0 ˆ V0σ w ⋅ dr = ⋅φ ⇒ ⋅φ dR πr = ⇒ dI πr σ w ⋅ dr = dR ג .נחשב את הזרם דרך הנגד: b V0 ⋅ σ w ⋅ ln V a = I= 0 R π נחשב את הפוטנציאל בזווית מסוימת: φ b a σ w ⋅ ln V0 ⋅ φ π = V0 − φ b a σ w ⋅ ln = ⋅φ R π = ) R(φ b V0 ⋅ σ w ⋅ ln ⋅a V (φ ) = V0 − I ⋅ R(φ ) = V0 − π חוק לורנץ – תנועה מעגלית פתרון: א .נמצא את מהירות האלקטרון משיקולי אנרגיה: mv 2 2qV =⇒ v = qV 2 m ב .המרחק המבוקש שווה לפעמיים רדיוס התנועה המעגלית .את רדיוס התנועה ניתן למצוא משיקולי כוחות )של תנועה מעגלית (: mv 2 = qvB R mv =R qB 2mv = D = 2R qB ג .האלקטרון יאבד את האנרגיה הקינטית שלו לטובת פוטנציאלית ,ומכיוון שזה אותו שדה חשמלי ,אז הוא יאבד את כל האנרגיה הקינטית שלו ,כלומר v = 0 :בנקודה . O 2 ד .תנועת האלקטרון בשדה המגנטי נמשכת חצי זמן מחזור של תנועה מעגלית: T π = = tB 2 ω v =ω R πR = tB v לזה צריך להוסיף את זמן התנועה בשדה החשמלי .הזמן הלוך שווה לזמן חזור בשדה החשמלי .את הזמן הזה ניתן למצוא באמצעות קינמטיקה: qE m v = at a= v mv = a qEa 2mv t E = 2t = qEa t= :וזמן התנועה הכולל הוא π R 2mv tB + tE = + v qEa חוק לורנץ – תנועה מעגלית אלומת פרוטונים ,כל אחד בעל אנרגיה קינטית של , 1.6 ⋅ 10 −19 Jמוכנסת לאזור בו שדה מגנטי הניצב לתנועתם. אורך האזור בו מופעל השדה המגנטי הוא 10ס"מ .ביציאה מהאזור עם השדה המגנטי ,האלומה מוסטת בזוית של 30 o ביחס לכיוונה המקורי .מה כיוונו ועוצמתו של השדה המגנטי? v 30 o v פתרון: 10cm v 30 o x v R 30 o 10cm במהלך המעבר בשדה המגנטי התנועה היא מעגלית במהירות קבועה .לפיכך מתקיימת משוואת כוחות של תנועה מעגלית: 2 2 mv mv mv ∑ Fr = R ⇒ qvB = R ⇒ B = qR את הרדיוס ניתן למצוא ע"י גיאומטריה של המעגל והזווית הנתונה )ראו שרטוט(: x x 0.1 = = sin30 ⇒ R = = 0.2 m R sin30 0.5 את מהירות נמצא עפ"י האנרגיה הקינטית הנתונה: 2 ⋅ 1.6 ⋅ 10 -19 = 5.929 ⋅ 10 5 m s -31 9.1 ⋅ 10 2E k = m =v ⇒ mv 2 = Ek 2 והשדה המגנטי הוא: −31 mv 9.1 ⋅ 10 ⋅ 5.929 ⋅ 10 = = 1.686 ⋅ 10 −5 Tesla −19 qR 1.6 ⋅ 10 ⋅ 0.2 5 =B חוק לורנץ – תנועה ספירלית r פרוטון )מסה mמטען ( qנע בשדה מגנטי אחיד ˆ , B = B 0 kכאשר הכוח המגנטי הוא הכוח היחיד r הפועל עליו .מהירותו ההתחלתית של הפרוטון היא ˆ. v = v ˆi + v k 0z א. ב. ג. ד. ה. 0x 0 מצאו את הכוח הפועל על הפרוטון ברגע ההתחלתי. מצאו את תאוצת הפרוטון .היווכחו שהתנועה היא קומבינציה של תנועה מעגלית )כאשר מסתכלים מ"למעלה" כלפי מישור ,(xyותנועה במהירות קבועה בכיוון .z מצאו את רדיוס הסיבוב של הפרוטון. מצאו את המהירות הזוויתית של הפרוטון. מהו המרחק שעובר הפרוטון לאורך ציר Zבמהלך זמן מחזור? פתרון: א .הכוח הפועל בהתחלה: ) () ( r r r F = qv 0 × B = q v 0x ˆi + v 0z kˆ × B 0 kˆ = qv 0x B 0 ˆj ב .תאוצת הפרוטון היא תאוצה רדיאלית בלבד ,היות ובכיוון ציר Zלא פועל כוח: qv B F = 0x 0 =a m m ג .רדיוס הסיבוב: 2 2 mv mv mv ∑ Fr = R ⇒ qv 0x B 0 = R0x ⇒ R = qB0x 0 ד .מהירות זוויתית: v 0x v 0x qB 0 qB 0 =ω = ⋅ = v 0x = mv 0x R mv 0x m qB 0 ה .מרחק במהלך זמן מחזור: 2π 2π m =T = ω qv 0x 2π mv 0z qv 0x = z = v 0z ⋅ T כוח על תיל נושא זרם בשדה מגנטי במעגל חשמלי המורכב משני חצאי מעגל בעלי רדיוסים aו) b-ראה/י תרשים( זורם זרם .Iהמעגל החשמלי נמצא בשדה מגנטי אחיד Bהניצב למישור המעגל. א .מהו הכוח השקול הפועל על חלק בתיל )הכוונה לכל אחת מהקשתות וכל אחד משני המקטעים הישרים(? ב .מהו הכוח השקול הפועל על התיל? I b a r ⊗B פתרון: א. * הכוח הפועל על הקשת עם רדיוס הגדול )כיוון הזרם ניצב לשדה המגנטי(: F1 = ILB = I ⋅ 2b ⋅ B וכיוונו כלפי מעלה. * הכוח הפועל על הקשת עם הרדיוס הקטן: F2 = ILB = I ⋅ 2a ⋅ B וכיוונו כלפי מטה. * הכוח הפועל על התיל האופקי הימני: F3 = ILB = I ⋅ (b - a ) ⋅ B וכיוונו כלפי מטה. *הכוח הפועל התיל האופקי השמאלי: F4 = ILB = I ⋅ (b - a ) ⋅ B וכיוונו כלפי מטה. ב .הכוח השקול הוא: F = F1 - F2 - F3 - F4 = 2IbB − 2IaB - I(b - a )B − I(b − a )B = 0 כוח על תיל נושא זרם בשדה מגנטי פתרון: נחלק את התיל למספר קטעים ונרשום את הכוח לכל חלק. r r r π עבור החלקים האופקיים נקבל ˆ F = IL × B = ILB sin = I 6 RB = −0.075 Ryאת הכיוון נקבל 2 מכלל יד ימין. עבור רבע המעגל נתבונן בכל רכיב של הכוח בנפרד: r r r r r r π F = IL × B ⇒ dF = IdL × B = IBdL sin 2 IB cos θ Rdθ = − IBR IB sin θ Rdθ = − IBR 3π 2 ∫ π 2 = Fx = ∫ IBdL cos θ 3π ∫ π = Fy = ∫ IBdL sin θ r r r π עבור הקטע האנכי נקבל ˆF = IL × B = ILB sin = I 2 RB = 2 IBRx 2 R עבור החלק המשופע נמצא תחילה את זווית השיפוע ⇒ θ = 35.36o 3R = sin θ נמצא את רכיבי הכוח: 2 ˆ= − IBRx 3 Fx = IBL sin θ = IB 3R 1 ˆ= − 2 IBRy 3 Fy = IBL cos θ = IB 3R בכיוון xנקבל שסכום הכוחות הוא ) 0זה הגיוני מפני שיש סימטריה בציר התנועה האנכי של הזרם(, ובכיוון yנקבל שסכום הכוח הוא ( −7 − 2 ) IBR = −1.05R כוח על תיל נושא זרם בשדה מגנטי נתונים שלשוה תיילים מקבילים היוצרים משולש שווה שוקיים ,כך שבסיסו השווה ל 2ס"מ מקביל לרצפה והקודקוד השלישי נמצא מרחק hמתחת לבסיס .הזרמים על התיילים היוצרים את הבסיס הם 250אמפר ,ואילו הזרם על התיל התחתון הוא 100אמפר .ידוע כי צפיפות המסה של התיל התחתון היא 0.04ק"ג למטר וכי הכוח השקול הפועל עליו הוא אפס .חשבו את . h 250 A a 250 A a h 100 A פתרון: כדי לפתור תרגיל זה יש לצייר את דיאגרמת הכוחות הפועלים על התיל .יש בסה"כ שלושה כוחות :כוח כבידה ,וכוחות משיכה אל שני התיילים האחרים )הממוקמים גבוה יותר(. דורשים ששקול הכוחות יהיה אפס וממשוואת ציר ה Yניתן לבודד את .h מצב זה הוא מצב יציב. 250 A 250 A a a h F F θ θ 100 A mg הנתונים הם: ? = I 2 = 100 A µ = 0.04 kg m h I1 = 250 A a = 0.01 m נרשום משוואת כוחות שמתאפסת: − µg = 0 h a + h2 2 ⋅ 2µ 0 I 1 I 2 2 2π a + h 2 ⇒ = 0 ⇒ 2Fcosθ − µg πµgh 2 - µ 0 I1 I 2 h + πµga 2 = 0 קיבלנו משוואה ריבועית עם הנעלם . h ∑F y µ 0 I1 I 2 h ⇒ = µg π a2 + h2 ) ( שאלה ) 1שאלה 7.25מחוברת הקורס(. תיל ישר באורך lהנושא זרם Iבמגמה המתוארת באיור ,מונח לאורך ציר ה . y -עובי התיל זניח. א .חשבו את השדה המגנטי בנקודה Pהנמצאת על ציר ה z -ובגובה zמעליו .מרחקי האנך מן הנקודה Pלתיל ,אל קצות התיל הם . l 2 , l 1 ב .חשבו את השדה המגנטי במצב בו הנקודה Pמעל אמצע החוט. z ג .חשבו את השדה המגנטי במצב בו הנקודה Pמעל אחד מקצות המוט. P ד .למה תצטמצם תוצאתכם לסעיף ב' עבור ? l >> z z I y I l2 l1 פתרון: נחלק את המוט לאלמנטים בעלי אורך דיפרנציאלי ונחשב את השדה המגנטי שיוצר כל אלמנט בנקודה z :P P r r z I y I dy l2 z ˆ⋅ k 2 2 y +z y ⋅ ˆj + 2 = ˆ, r 2 y +z = ˆ ⋅ k 2 y + z 2 y − l1 2 y + z2 r r = d l = dy ⋅ ˆj , r = y ⋅ ˆj + z ⋅ kˆ , r y ⋅ dy ⋅ ˆj × ⋅ ˆj + 2 2 y +z z ) 2 r ˆr µ 0 I ⋅ d l × r µ0 I = dB = 2 2 4π r 4π y + z 2 ( ˆ⋅ i µ 0 I ⋅ z ⋅ dy ) 32 2 2 ( 4π y + z = כדי למצוא את השדה נבצע את אינטגרל על כל התיל: l2 = ˆ ⋅ i −l1 ˆ ⋅ i כיוון ציר xהוא כלפי חוץ. µ 0 I ⋅ z y ˆ = ⋅i 4π z 2 y 2 + z 2 ) 32 l1 ⋅ iˆ = µ 0 I l 2 + 4π z l 22 + z 2 l 12 + z 2 r r µ0 I ⋅ z l2 dy = B = ∫ dB ∫ 2 4π −l1 y + z 2 ( − l1 µ 0 I l 2 − 4π z l 22 + z 2 l 12 + z 2 = l ב .ניקח את קצות המוט להיות במרחק שווה מראשית הצירים ,כלומר: 2 = . l 1 = l 2נציב בביטוי שקיבלנו בסעיף א': µ0 I ⋅ l ˆ ˆ⋅ i = ⋅i 2 l 4π z + z2 4 r µ0 I l l =B + 2 2 4π z 2 l + z2 2 l + z2 4 4 ג .נזיז את ראשית הצירים לקצה השמאלי של המוט ,כלומר . l 2 = l , l 1 = 0 :נציב בביטוי שקיבלנו בסעיף א': µ0 I ⋅ l = ˆ ⋅ i ˆ⋅ i 2 2 4 π z l + z r µ I l B = 0 4π z l 2 + z 2 ד .עבור : l >> z ˆ µ0 I ⋅ l ˆ µ0 I =i i l 2π z ⋅ 4π z 2 שדה מגנטי של תיל אינסופי! = ˆ⋅ i µ0 I ⋅ l 2 l 4 4π z ≈ ˆ⋅ i µ0 I ⋅ l 2 l + z2 4 4π z r =B חוק ביו-סבאר) :שאלה 7.26מחוברת הקורס(. הראו כי גודל השדה המגנטי במרכזה של לולאה מלבנית )נק' ( Pשאורכה l 2µ 0 I ⋅ l 2 + w 2 ורוחבה wהנושאת זרם Iשווה ל: π lw I w P = . Bלמה תצטמצם תוצאתכם בגבול ? l >> w l פתרון: תחילה יש למצוא את השדה המגנטי שיוצר תיל סופי בנקודה הנמצאת בניצב למרכזו )באותו אופן כמו בתרגיל 7.25סעיף ב'( .נציב בביטוי של השדה המגנטי את הנתונים המתאימים לשאלה זו .הצלע העליונה ותחתונה יצורות את אותו שדה מגנטי והצלע הימנית והשמאלית יוצרות את אותו שדה מגנטי .כל ארבעת השדות באותו כיוון )כלפי חוץ( .שדה מגנטי של צלע תחתונה )ששווה לזה של העליונה(: ˆ⋅ i µ0 I ⋅ l 2 πw l +w 2 = ˆ⋅ i µ0 I ⋅ l 2 µ0 I ⋅ l = ˆ⋅ i 2 w l w + 2 4 4 2 l + z2 4 4π r =B w ⇒ 2 4π z =z שדה מגנטי של צלע ימנית )ששווה לזה של השמאלית(: ˆ⋅ i µ0 I ⋅ w 2 πl w +l 2 = ˆ⋅ i µ0 I ⋅ w 2 = ˆ⋅ i 2 l w l + 2 4 4 µ0 I ⋅ l 2 l + z2 4 4π r =⇒ B 4π z l 2 l=w , =z השדה המגנטי הכולל במרכז המלבן: r r r r r = B = BUp + BDown + BRight + BLeft = ˆ⋅ i µ0 I ⋅ w 2 ⋅ iˆ + µ0 I ⋅ w ⋅ iˆ + µ0 I ⋅ l ⋅ iˆ + µ0 I ⋅ l πw l +w πl w +l πl w +l 2µ 0 I ⋅ w 2µ 0 I ˆ l w = ⋅ iˆ + = ˆ⋅ i = + ⋅i 2 2 2 2 2 2 πw l +w πl w +l π w +l w l 2 2 2 2 2 2 πw l +w 2µ 0 I ⋅ l = 2 2µ 0 I ˆ l 2 + w 2 ˆ 2µ 0 I w 2 + l 2 = ⋅ i ⋅i π wl π w 2 + l 2 wl = בגבול : l >> w r 2µ 0 I w 2 + l 2 ˆ 2µ 0 I l 2 ˆ 2µ 0 I ˆ =B ≈ ⋅i = ⋅i ⋅i π wl π wl πw w זהו שדה מגנטי בנקודה הנמצאת בדיוק במרכז בין שני תילים אינסופיים )כאשר המרחק מכל תיל 2 (. חוק ביו-סבאר) :שאלה 7.28מחוברת הקורס(. תיל דק מקופל לצורת מצולע משוכלל בעל nצלעות החסום ע"י מעגל שרדיוסו . Rידוע כי התיל נושא זרם . I µ 0 In א .הראו כי גודל השדה המגנטי במרכז המצולע נתון ע"י ) tan (π n 2π R = .B ב .הראו כי בגבול ∞ → nגודלו של השדה המגנטי במרכז המצולע הוא כגודלו של השדה המגנטי במרכזה של לולאה מעגלית. פתרון) :כללי ,לאו דווקא למשושה( א .נוסחה לחישוב הזווית , θ ,שהגדרתי בשרטוט המצולע: π n =⇒ θ 2θ 2θ n = 2π 2θ 2θ 2θ 2θ θ R z כאשר ,במקרה של המצולע: z = R ⋅ cosθ , I l = 2 R ⋅ sinθ l 2 שדה מגנטי שיוצר תיל אחד באורך lבנקודה הנמצאת בניצב למרכז התיל ,במרחק zממרכז התיל: µ0 I ⋅ l l2 + z2 4 =B 4π z נציב בביטוי של השדה המגנטי ,ונכפול ב n -צלעות ,כדי לקבל את השדה במרכז המצולע )שימו0לב שכל הצלעות יוצרות שדה מגנטי באותו כיוון ,לתוך הדף ,ולכן נתין לחבר באופן פשוט(: = µ 0 In ⋅ tanθ 4π ⋅ R ⋅ sin 2 θ + R 2 ⋅ cos 2 θ 2 = n ⋅ µ 0 I ⋅ R ⋅ sinθ =B 4 R ⋅ sin θ ⋅ 4π R ⋅ cosθ + R 2 ⋅ cos 2 θ 4 µ In ⋅ tanθ µ 0 In = 0 = ) tan (π n 4π R 2π R 2 2 ב .נשתמש בזהותθ << 1 ⇒ tanθ ≈ θ : במקרה שלנו: π π π ≈ → 0 ⇒ tan n n n µ In µ In π µ In B = 0 tan (π n ) ≈ 0 ⋅ = 0 2π R 2π R n 2R הביטוי שאליו שואף השדה המגנטי הוא של שדה מגנטי של כריכה מעגלית. ⇒ ∞→n חוק ביו-סבאר) :שאלה 7.41מחוברת הקורס(. טבעת שרדיוסה Rהעשויה מחומר מבודד טעונה במטען כללי Qהמפולג לאורכה בצורה אחידה. הטבעת סובבת במהירות זוויתית קבועה ωמסביב לציר הניצב למישורה ועובר במרכזה. א .חשבו את השדה המגנטי שיוצרת הטבעת הסובבת בנקודה Pהנמצאת על הציר בגובה zמעל מישורה. z ב .מה יקרה אם הטבעת תסתובב בכיוון הפוך? ω R פתרון: הזרם שיוצרת המטען בטבעת שנמצא בתנועה הוא )נסתכל על מחזור שלם של סיבוב(: ∆Q Q Qω = = ∆t T 2π =⇒ I כעת נתייחס למצב שטבעת מעגלית שזורם בה הזרם שחישבנו .מבט צד של המערכת: r dB dL = R ⋅ d ϕ , r = z 2 + R 2 R r z r = sinθ y r µ I ⋅ dL µ I ⋅ R ⋅ dϕ R dB z = 0 2 ⋅ cosθ ⋅ kˆ = 0 2 ⋅ = ˆ⋅ k 2 2 2 4π r 4π z + R z +R 2 ˆ µ I ⋅ R ⋅ dϕ = 0 ⋅k 32 4π z 2 + R 2 r I ) = , cosθ ) ω z θ P r r ( ( 2π =T z θ r I R שימו לב: • ישנן שתי זוויות , θ :שהיא זווית קבועה .ו ϕ -שהיא זווית שמשתנה לפי מיקום האלמנט בטבעת. • לא רשמתנו את הרכיבים האופקיים של השדה המגנטי מכיוון שלאחר האינטגרל הם יתאפסו )משיקולי סימטריה(. נבצע את האינטגרל לפי הזווית על כל הטבעת: ˆ⋅ k µ0 I ⋅ R 2 ) 2 32 2π ( 2 z +R 2 = ⋅ kˆ ⋅ ∫ d ϕ 0 ) µ0 I ⋅ R 2 2 32 ( 4π z + R 2 r r = B = ∫ dB z נציב את הביטוי לזרם שקיבלנו בהתחלה ונקבל את התשובה הסופית: µ 0 R 2 Qω ˆ Qω = ⋅k ˆ⋅ k 32 2 2 2π 4π z + R ) ( ⋅ ) 32 µ0 R 2 ( 2 z2 + R2 = ˆ⋅ k µ0 I ⋅ R 2 ) 32 ( 2 z2 + R2 r =B חוק ביו-סבאר: נתון מוליך נושא זרם Iעל פי התרשים a .הוא הרדיוס הפנימי ו bהרדיוס החיצוני .מהו השדה המגנטי בנקודה ?P פתרון: שדה מגנטי של קשת רדיוס Rעם זוית αכלשהי במרכז המעגל: µ 0I α µ 0 Iα R ⋅ d α = 4π R 4 π R 2 ∫0 =B עפ"י ביטוי זה הקשת הגדולה יוצרת במרכז: µ0I π µ0I = ⋅ 4 π b 3 12 b = Bb וכיוון השדה לתוך הדף. הקשת הקטנה יוצרת במרכז: µ0I π µ0I = ⋅ 4 π a 3 12 a = Ba וכיוון השדה מחוץ הדף. שני התיילים הישרים לא יוצרים שדה מגנטי בנקודה ,Pמכיוון שהיא נמצאת על המשכם )כך הזווית בין r r dLל rהיא אפס או 180מעלות והמכפלה הוקטורית של חוק ביו-סבאר מתאפסת(. השדה השקול: r r r µ I µ I µ I1 1 B P = B a + B b = 0 − 0 = 0 − 12 a 12 b 12 a b מחוץ לדף. חוק ביו-סבאר )דומה לשאלות ,7.25ו 7.26מחוברת הקורס( פתרון: א .נבנה את האינטגרל: µ 0 Idl × rˆ µ 0 Idlsinθ = 4πr 2 4π r 2 D r ) 32 r = x 2 + D2 = sin θ = dB dl = dx µ 0 Idx µ 0 IDdx D ⋅ = 2 2 4π x + D x 2 + D 2 4π x 2 + D 2 ) ( µ 0 IL L2 + D2 4 = 4 πD ) = dB ( µ 0 IDdx 2 32 +D 2 L 2 ∫ 4π(x L 2 =B − ב .השדה המגנטי שיוצר קטע אנכי ,מתקבל באותו אופן ,כך שנותר רק לבצע את ההחלפה הבאה בביטוי שקיבלנו בסעיף א': L 2 µ 0 I ⋅ 2D →D µ 0I ⋅ D L2 4 = πL D 2 + 2 L + 2 (2D )2 4 L → 2D =B L 4π 2 כל ארבעת הקטעים יוצרים שדה מגנטי באותו כיוון כך שהשדה במרכז הוא סכום של כולם: = 2µ 0 ID L2 πL + D2 4 + µ 0 IL L2 2 πD + D2 4 = µ0I ⋅ D L2 πL + D2 4 ⋅+ 2 µ 0 IL ⋅B = 2 L2 4 πD + D2 4 2µ 0 I L 2D 2D + L L2 2 π +D 4 חוק ביו-סבאר) :דומה לשאלה 7.33ו 7.41מחבורת הקורס( פתרון: א .משיקולי סימטריה כיוון השדה המגנטי יהיה בכיוון החיובי של ציר zעבור zחיובי ,ובכיוון השלילי של ציר , zעבור zשלילי. נחתוך את הטבעת לאלמנטים דיפרנציאליים ונסכום: µ 0 Idl = dB z sinϕ 4π r 2 µ 0 Ia 2 dθ ) 32 ( 4π z 2 + a 2 = ⇒ dB z ) 32 a = sinϕ r µ 0 Ia 2 ( 2 z2 + a 2 dl = adθ = 2 ) 32 + a2 2 2π µ 0 Ia 2 dθ 2 r =z +a 2 = B = ∫ dB z ∫ 4π(z 0 ב .גודל השדה המגנטי במרכז הטבעת: µ0I 2a 2 = ) 2 32 µ 0 Ia 2(0 2 + a = )B(z = 0 נדרוש שהשדה יהיה חצי ונמצא את : z 2 µ 0I 4a = ) 2 32 = 2a 3 = 3 4a 2 µ 0 Ia ) 32 + a2 ) ( 23 ( 2 z2 + a 2 (z z 2 + a 2 = 2a 3 ) 4 −1 a 2 ) 4 −1 a 2 ( 3 ( 3 = z2 z=± ג .נחשב את הרוטור של השדה המגנטי על ציר הסימטריה: ˆj = 0 ) 32 2 ˆi − ∂ µ 0 Ia ∂x 2 z 2 + a 2 ( ) 32 ˆk ∂B z ˆ ∂B z ˆ ∂ µ 0 Ia 2 ∂ = i− =j ∂z ∂y ∂x ∂y 2 z 2 + a 2 Bz ( אחת ממשוואות מקסוול היא: המשמעות היא שבנקודות על ציר zלא זורם זרם )הזרם הוא בנקודות אחרות(. ˆj ∂ ∂y 0 ˆi r r ∂ = ∇×B ∂x 0 r r 1 ∂E r r ∇ × B = µ0 j + 2 c ∂t חוק ביו-סבאר במעגל חשמלי המורכב משני חצאי מעגל בעלי רדיוסים aו) b-ראה/י I תרשים( זורם זרם .Iהמעגל החשמלי נמצא בשדה מגנטי אחיד Bהניצב למישור המעגל. b r B ג .מהו הכוח השקול הפועל על חלק בתיל )הכוונה לכל אחת מהקשתות וכל אחד משני המקטעים הישרים(? a ד .מהו הכוח השקול הפועל על התיל? ה .מהו השדה המגנטי )גודל+כיוון( הנוצר של ידי המעגל החשמלי במרכז המערכת? פתרון: הגדרתי מערכת הצירים כך :ציר xהחוצה מהדף ,ציר yימינה וציר zמעלה. את הקשת העליונה סימנתי " ,"1את הקטע הישר הימני " ,"2את הקשת התחתונה " ,"3ואת הקטע הישר השמאלי "."4 א .ניתן לחשב עפ"י המרחק בין קצוות כל חלק בתיל: ] [ [ [ [ r r r r ˆF1 = IL1 × B = I ⋅ 2b ⋅ j × B ⋅ iˆ = −2bIB ⋅ k r r r r ˆF2 = IL2 × B = I ⋅ − (b − a ) ⋅ j × B ⋅ iˆ = (b − a )IB ⋅ k r r r r ˆF3 = IL3 × B = I ⋅ − 2a ⋅ j × B ⋅ iˆ = 2aIB ⋅ k r r r r ˆF4 = IL4 × B = I ⋅ − (b − a ) ⋅ j × B ⋅ iˆ = (b − a )IB ⋅ k ] ] ] ב .הכוח השקול יתקבל ע"י חיבור וקטורי של כל הכוחות שחישבנו בסעיף א': r r r r r FTotal = F1 + F2 + F3 + F4 = −2bIB ⋅ kˆ + (b − a )IB ⋅ kˆ + 2aIB ⋅ kˆ + (b − a )IB ⋅ kˆ = 0 r µ I ג .נחשב את השדה המגנטי של כל חלק .שדה מגנטי לכריכה מעגלית שלמה . B = 0 :כל קשת יוצרת 2R חצי מהשדה של כריכה מעגלית שלמה: r µ I ˆB3 = 0 ⋅ i a , r µ I ˆB1 = 0 ⋅ i b התיילים הישרים מצריכים בניית אינטגרל )השדה שכל אחד מהן ייצור יהיה שווה לזה של התיל שני(. להלן פתרון כללי של שדה בנקודה ליד מוט ישר נושא זרם: נחלק את המוט לאלמנטים בעלי אורך דיפרנציאלי ונחשב את השדה המגנטי שיוצר כל אלמנט בנקודה z :P P r r z y I I l2 dy y l1 r r d l = dy ⋅ ˆj , r = y ⋅ ˆj + z ⋅ kˆ , r = r r µ 0 I ⋅ d l × rˆ µ0 I dB = = 2 2 4π r 4π y + z 2 ( = µ 0 I ⋅ z ⋅ dy ( 2 4π y + z 2 ) 32 ) 2 2 y + z2 y , rˆ = ⋅ ˆj + 2 y +z y ˆ ⋅ dy ⋅ j × ⋅ ˆj + 2 2 y +z 2 z 2 y +z ⋅ kˆ 2 ˆ ⋅ k = 2 y + z 2 z ⋅ iˆ :כדי למצוא את השדה נבצע את אינטגרל על כל התיל r r µ0 I ⋅ z l 2 dy B = ∫ dB = ∫ 2 4π −l1 y + z 2 ( = µ 0 I l 2 l1 − 4π z l 22 + z 2 l 12 + z 2 ) 32 µ I ⋅ z y ⋅ iˆ = 0 4π z 2 y 2 + z 2 l2 ⋅ iˆ = l1 l2 l1 ⋅ iˆ = µ 0 I − 4π z l 22 + z 2 l 12 + z 2 ⋅ iˆ . הוא כלפי חוץx כיוון ציר במקרה של אחד התיילים הישרים בשאלה המקורית נציב את מיקום קצוות התיל המתאימים הצבתי את :מקיום הקצוות של התיל השמאלי l 1 = − a , l 2 = −b , z=a r r µ I l2 l1 B4 = B2 = 0 − 4π z l 22 + z 2 l 12 + z 2 = ⋅ iˆ = µ 0 I − b − − a 4π a b 2 + a 2 a2 + a2 ⋅ iˆ = µ0 I − b 1 ˆ ⋅i + 4π a b 2 + a 2 2 :שדה מגנטי שקול במרכז r r r r r r r r µI µ I −b µI 1 BTotal = B1 + B2 + B3 + B4 = B1 + 2 B2 + B3 = 0 ⋅ iˆ + 0 + ⋅ iˆ + 0 ⋅ iˆ = a b 4π a b 2 + a 2 2 = µ 0 I 4π a b 1 − + + 4π ⋅ iˆ 4π a b b2 + a2 2 כוח על תיל נושא זרם בשדה מגנטי פתרון: הנתונים הם: I1 = 2 A I 2 = 1 A L = 0.5 m d = 0.2 m א .בסעיף השדה המגנטי אחיד לכל אורך התיל )השדה המגנטי נוצר ע"י התיל האינסופי ותלוי במרחק מהתיל האינסופי(: µ 0 I1I 2 L 2πd = F = I 2 LB ב .בסעיף זה השדה משתנה לאורך התיל ,כך שיש לחלק את התיל לאלמנטים לחשב את הכוח הדיפרנציאלי על כל אלמנט ולבצע אינטגרל: µ 0 I1 2π r ⋅ dF = I 2 ⋅ dL ⋅ B = I 2 ⋅ dr dr µ 0 I1 I 2 d + L = ln r 2π d d+L ∫ d µ II F = ∫ dF = 0 1 2 2π ג .הכוח על הצלעות באורך aמתבטל )הכוח עליהן זהה בגודל והפוך בכיוון( ,כך שצריך לחשב את הכוחות על שתי הצלעות האחרות המקבילות לתיל האינסופי ,ולסכום וקטורית: µ 0 I1 I 2 L 2πd µ 0 I1 I 2 L ) 2 π (d + a µ 0 I1 I 2 L µ 0 I1 I 2 L µ I I L1 1 µ 0 I1 I 2 La = − = 0 1 2 − 2πd ) 2 π(d + a ) 2 π d (d + a ) 2 π d (d + a = Fd = Fd + a = FT = Fd − Fd + a כוח על תיל נושא זרם בשדה מגנטי פתרון: א .הכוח על התיל הישר הימני הוא כלפי מטה וגודלו: Fright = 2(b - a )IB הכוח על התיל הישר השמאלי הוא כלפי מטה ,וגודלו: Fleft = 2(b - a )IB ב .הכוח על תיל ברדיוס aהוא כלפי מטה וגודלו: Fa = 2aIB הכוח על התיל ברדיוס bהוא כלפי מעלה וגודלו: Fb = 2bIB ג .הכוח השקול הוא סכום וקטורי של כל הכוחות: FT = Fb − Fa − Fright − Fleft = 0 ד .הכוח השקול גם במקרה זה היה מתאפס. כוח על מישור נושא זרם בשדה מגנטי פתרון: הנתונים הם: B0 = 4 T ρ = 1.7 ⋅ 10 −8 Ω ⋅ m ε = 5 ⋅ 10 -5 V a = 0.5 m d = 0.002 m B0 x a =B א .נחשב את התנגדות המסגרת: ρL S ρ d =R = L = a S = a ⋅d ⇒ R נחשב את הזרם ע"י חוק אוהם: ε εd = R ρ =I וצפיפות הזרם: I ε = ad ρd ב .נחשב את הכוח ע"י אינטגרל: =j dF = dI ⋅ L ⋅ B B0 x = jd ⋅ B 0 xdx a B0 x a ⋅ ⇒ dF = jd ⋅ dx ⋅ a a =B L=a dI = jdS = jd ⋅ dx x2 jd ⋅ B 0 a 2 = F = ∫ dF = ∫ jd ⋅ B 0 xdx = jd ⋅ B 0 2 2 0 0 כיוון הכוח יהיה ימינה )בכיוון החיובי של ציר ( X ג .גודל הכוח יישאר זהה ,כיוון הכוח יהיה בכיוון ציר . Y a כוח על תיל נושא זרם טבעת בעלת רדיוס Rטעונה במטען כולל Qהמפוזר אחיד לאורך הטבעת .הטבעת מסתובבת סביב מרכזה במהירות זוויתית קבועה .ωהטבעת נמצאת על "קו התפר" בו משתנָה עוצמת השדה המגנטי מערך קבוע ) B1בתחום הימני( לערך קבוע אחר ) B2בצד שמאל(. מישור הטבעת ניצב לשדות ,חצייה באזור בו שורר B1וחצייה השני באזור בו שורר .B2 א( מהו הזרם החשמלי Iהנוצר על ידי תנועתה הסיבובית של הטבעת? B2 B1 ב( חשב/י את הכוח הכולל הפועל על טבעת הזרם .הראה/י תוך שימוש באיור סכמאטי את ω כיווני הכוחות הפועלים. ג( מה הכוח הכולל הפועל על הטבעת במקרה ש- ?B1=B2 קו התפר בין השדות פתרון: א .את הזרם החשמלי נמצא ע"י הגדרת הזרם החשמלי ,כלומר מטען ליחידת זמן .נסתכל על נקודה כלשהי ,כמות המטען העוברת בסיבוב שלם היא , Qהזמן של סיבוב שלם הוא זמן מחזור: ∆q Q ωQ = = ∆t T 2π =I ⇒ 2π ω =T ב .הכוח השקול על חצי המעגל הימני פועל שמאלה .והכוח השקול על חצי התיל השמאלי פועל ימינה. גודל הכוחות נקבע עפ"י המרחק בין קצות הקשת החצי מעגלית: ω QB1 R ωQ = ⋅ B1 ⋅ 2 R 2π π ω QB2 R ωQ = F2 = I ⋅ B2 ⋅ 2 R = ⋅ B2 ⋅ 2 R 2π π = F1 = I ⋅ B1 ⋅ 2 R ג .הכוח הכולל במקרה ש : B1 = B2 ω QB1 R ω QB2 R − =0 π π = FT = F2 − F1 כוח על תיל נושא זרם קובייה בעלת צלע ,aהעשויה מחומר מוליך מושלם ,נעה באזור עם שדה מגנטי Bהיוצא מהדף ,במהירות vהמאונכת לשדה המגנטי .בגלל הכוח B המגנטי הפועל על המטענים החופשיים במוליך הם נעים לכיוון אחת הפיאות ויוצרים שדה חשמלי .התהליך מפסיק )מצב שיווי משקל( כאשר הכוח הכולל a הפועל על כל אחד מהמטענים החופשיים במערכת מתאפס .הכוח הוא כוח לורנץ )מגנטי בגלל השדה המגנטי הנתון ,וחשמלי בגלל היווצרות השדה החשמלי הנ"ל(. v א .מהו השדה החשמלי הנוצר במוליך כתוצאה מתנועה זו? ב .מצא/י את צפיפות המטענים בפאות הקוביה המוליכה .הזניחו אפקטי שפה ,כלומר חשבו את הצפיפות בקירוב של שטח פאה אינסופי. ג .מהו הפוטנציאל בין הפיאות? ד .מהי כמות האלקטרונים העודפים בפיאה הטעונה שלילית? פתרון :מערכת הצירים היא :כיוון xימינה ,כיוון yלתוך הדף ,וכיוון zכלפי מעלה. א .נחשב את הכוח המגנטי הפועל על חלקיק בתוך הקובייה )חוק לורנץ(: r ˆFB = −qvB ⋅ k נחשב את הכוח שמפעיל השדה החשמלי על החלקיק: r r FE = qE נדרוש שסכום הכוחות יתאפס כדי למצוא את גודל וכיוון השדה החשמלי: r ˆE = vB ⋅ k r ⇒ qE − qvB ⋅ kˆ = 0 ב .השדה הוא אחיד כלומר בשכבה התחתונה יש צפיפות מטען חיובית ובשכבה העליונה יש צפיפות מטען שלילית .צפיפויות המטען שוות בגודל והפוכות בסימן )המטען החיובי שיצא מלמעלה הצטבר למטה(. נתייחס לכל אחת מהשכבות כלוח אינסופי: ˆ σ ⋅ k = vB ⋅ kˆ ⇒ σ = ε 0 vB ε0 r σ =E ⇒ ˆ⋅ k ε0 ג .פוטנציאל של שדה קבוע )לוח עליון פחות לוח תחתון(: r r ∆ϕ = − ∫ E ⋅ dr = − E ⋅ ∆z = −vBa ד .כמות האלקטרונים בפאה השלילית: − ε 0 vBa ε 0 vBa q = = −e −e e = q = −σ a = −ε 0 vBa ⇒ ne צפיפות זרם נתונה צפיפות זרם העובר לאורכו של מוליך גלילי )רדיוס :( a ˆ b (r − a ) δ ⋅k ⋅e j (r ) = r 0 ) (0 ≤ r ≤ a ) (r > a כאשר b , aו δ -הם קבועים מספריים. הביעו את הזרם הכולל דרך המוליך ) ,( Iבאמצעות b , aו. δ - פתרון: = ] a 0 a r r a b (r −a ) δ I = ∫ j ⋅ dS = ∫ ⋅ e ⋅ 2π rdr = 2π b ⋅ ∫ e ( r −a ) δ dr = −2π b ⋅ δ ⋅ e (r −a ) δ r 0 0 [ ) ( ] [ = −2π b ⋅ δ ⋅ e 0 − e −a δ = 2π b ⋅ δ ⋅ e − a δ − 1 חוק אמפר :פתרון :( חיובי למעלהy השדה המגנטי הוא סופר פוזיציה של השדות של התיל והגליל )ציר.א r µ I µ 0I ˆ B(x < d - b ) = − 0 − ⋅ j 2 π x 2 π (d − x ) r µ I B(d − a < x < d + a ) = − 0 ⋅ ˆj 2π x r µ I µ 0I ˆ B(d + b < x ) = − 0 + ⋅ j 2 π x 2 π(d − x ) : השדה המגנטי שיצור הגליל בתוכו.ב r r B ∫ ⋅ d l = µ 0 I in r r B ∫ ⋅ d l = B ⋅ 2πr B ⋅ 2πr = µ 0 ⋅ ) ( I ⋅ π r2 − a2 2 π b − a2 ( ) ( µ I(r − a ) B= (b − a ) µ 0 I in = µ 0 ⋅ jS = µ 0 ⋅ ( ( 2 ) ⇒ r µ I (x - d ) − a B(d + a < x < d + b ) = 0 b2 − a 2 ( I ⋅ π r2 − a2 2 π b −a 2 2 ) 2 ) 2 0 2 ) − − µ I ⋅ ˆj 0 2 π x 2 : השדה המגנטי השקול בתוך הגליל.ג חוק אמפר צינור ארוך וחלול אשר רדיוסו החיצוני הינו Rנושא זרם ) Iמגמת הזרם לתוך הדף( .במרחק 3R ממרכז הצינור ובמקביל לו נמצא מוליך ארוך נושא זרם .iמה צריך להיות גדלו וכיוונו של הזרם i כדי שהשדה המגנטי בנקודה ) Pבמרחק 2Rממרכז הצינור( יהיה שווה בגדלו אך הפוך בכיוונו מהשדה המגנטי במרכז הצינור )נקודה .(C גP . i C R בR . אR . פתרון: µ0I = , Bמתאים גם לשדה מגנטי של יתל אינסופי וגם לשדה המגנטי של גוף בעל סימטריה הביטוי: 2πr גלילית באזור המצא מחוץ לגליל. השדה המגנטי שיצור הצינור: µ0I µ I =B = 0 2 π⋅ 2R 4 π R וכיוונו כלפי מעלה )נתון ש Iזורם לתוך הדף(. השדה שיוצר התיל האינסופי צריך להיות כלפי מטה ,כך שניתן לקבוע שכיוון הזרם בתיל צריך להיות לתוך הדף .נכתוב דרושה לגודלו של השדה ומתוכה נמצא את גודל הזרם: µ i µ I I B= 0 = 0 =⇒ i 2 π⋅ R 4 π R 2 חוק אמפר )שאלה 7.18מחוברת הקורס(. צינור ארוך דק דפנות אשר רדיוסו החיצוני הינו Rנושא זרם i0המפולג בצורה אחידה .כיוון הזרם בצינור הוא אל תוך הדף .במרחק 3 Rממרכז הצינור מוצב תיל הנושא זרם חשמלי iבמקביל לציר הצינור ובאותו כיוון )ראה איור(. א .חשב את השדה המגנטי במרכז הצינור. ב .חשבו את השדה המגנטי בנקודה Pהנמצאת במרחק 2 Rממרכז הצינור. ג .מה צריך להיות היחס בין הזרמים iו i0 -על מנת שעצמת השדה המגנטי השקול בנקודה Pתהיה שווה לזו שבמרכז הצינור אך הפוכה לו במגמה? i P A R R R פתרון :בחרתי את כיוון ציר zמעלה. א .השדה המגנטי במרכז הצינור מושפע רק מהתיל החיצוני ולא מהצינור עצמו ,ניתן להסביר זאת ע"י חוק אמפר: B1 (r < R ) = 0 ⇒ B1 ⋅ 2π r = 0 ⇒ r I 0 in r ∫ B ⋅ dl = µ ⇒ µ 0 I in = 0 ⇒ ) (r < R כך שבנקודה במרכז הצינור קיים שדה מגנטי של תיל אינסופי במרחק 3Rמהתיל: µ 0i µi ˆ⋅ kˆ = − 0 ⋅ k ) 2π (3 R 6π R r BA = − ב .כל אחד מהגופים יוצר שדה של תיל אינסופי ,נחשב ונחבר וקטורית כדי למצוא את השקול: r ˆ µ 0 i0 ˆ µ 0 i0 µi = ⋅k ⋅k , ˆB2 (r = R ) = − 0 ⋅ k ) 2π (2 R 4π R 2π R r r r µi µi ˆ ) µ (i − 2i B P = B1 + B2 = 0 0 ⋅ kˆ − 0 ⋅ kˆ = 0 0 ⋅k 4π R 2π R 4π R r = ) B1 (r = 2 R r r µi ג .נדרוש , B P = − B A = 0 ⋅ kˆ :נשווה לביטוי שקיבלנו בסעיף ב' ונבודד את הזרם: i , 6π R 3i0 = 8i ⇒ ⇒ 3i0 − 6i = 2i i0 − 2i i = 2 3 ˆ µ 0 (i0 − 2i ) ˆ µ 0 i = ⋅k ⇒ ⋅k 4π R 6π R i 3 = i0 8 חוק אמפר גלילים מוליכים אינסופיים מקבילים זה לזה והמרחק ביניהם .dרדיוס הגליל השמאלי aורדיוס הימני ,b r r ודרכם זורמת צפיפות זרם אחידה ושווה ˆ . J1 = J 2 = J 0 kנתונים .x ,J0 ,b ,a ,D :כמו כן ידוע כי .b>a D=d א .מהו גודל השדה המגנטי הנוצר במרחב בין התיילים ,במרחק xמהתיל השמאלי ) ?( a < x < d − b xנמדד ממרכז התיל השמאלי. J1 J2 ב .מטען חיובי qנע במהירות vבמקביל לתילים, q v בכיוון השלילי של ציר ) zראה/י איור( בנקודה .x=d/2מהו כיוון הכוח המגנטי שפועל על המטען? r ג .מהו השדה המגנטי Bבנקודה הנמצאת במרחק 2a 3 ממרכז התיל השמאלי? a b d פתרון :ציר xמוגדר ימינה ,ציר yמוגדר לתוך הדף ,ציר zמוגדר ימינה. א .תחילה נחשב את הזרם הכולל בכל גליל: r r , I 2 = j 2 ⋅ S = j0 ⋅ π b 2 r r I1 = j1 ⋅ S = j0 ⋅ π a 2 ציר xמוגדר ,כך שראשיתו נמצאת במרכז הגליל השמאלי ,וכיוונו החיובי ימינה .נחשב את השדה החשמלי שיוצר הגליל השמאלי מבחוץ ,בנקודה הנמצאת מצידו הימני )כמו תיל אינסופי(: r µI ˆ µ j ⋅ π a 2 ˆ µ 0 j0 ⋅a 2 B1 (x ) = 0 1 ˆj = 0 0 =j j 2π r 2π x 2x נחשב את השדה החשמלי שיוצר הגליל הימני מבחוץ ,בנקודה הנמצאת מצידו השמאלי )כמו תיל אינסופי(: r µI ˆ µ j ⋅ π b2 ˆ µ j ⋅b 2 B2 ( x ) = − 0 2 ˆj = − 0 0 j=− 0 0 j 2π r ) 2π (d − x ) 2 (d − x כדי לקבל את השדה השקול בנקודה הנמצאת בין הגלילים ,נחבר את שני השדות שחישבנו באופן וקטורי: r r r µ 0 j0 ⋅a 2 ˆ µ 0 j0 ⋅b 2 ˆ µ 0 j0 a 2 ˆ b2 ⋅ j = ) B( x ) = B1 ( x ) + B2 ( x j− =j − 2x ) 2 (d − x 2 x (d − x ) : באמצעות חוק לורנץ.ב r r µ j d B x = = − 0 0 b 2 − a 2 ⋅ ˆj , v = −v ⋅ kˆ 2 d r r µ j r r µ j qv F = qv × B = q − 0 0 b 2 − a 2 ⋅ ˆj × − v ⋅ kˆ = − 0 0 b 2 − a 2 ⋅ i d d ( ) ( ) ( ) ( ) :' נציב תא הערך הנתון בביטוי של השדה המגנטי שמצאנו בסעיף א.ג 2 2 r b 2 a µ 0 j0 a ⋅ ˆj = 3µ 0 j0 B x = − = a 2 2a 3 2 2 d − 3 3 a b2 ˆ − ⋅ j ( ) 2 d − 2 a חוק אמפר פתרון: א .את השדה המגנטי מוצאים ע"י חוק אמפר: r r ∫ B ⋅ drl = µ I r ∫ B ⋅ d l = B ⋅ 2π r 0 in µ 0 Ir 2 a2 = ⇒ B ⋅ 2πr µ 0 Ir 2 I 2 π r ⋅ = πa 2 a2 ⋅ µ 0 I in = µ 0 ⋅ jS = µ 0 ⇒ ) (0 < r < a µ 0 Ir 2πa 2 (a < r < b ) ⇒ µ 0 I in = µ 0 I ⇒ B ⋅ 2 π r = µ 0 I = ) B(0 < r < a µ 0I 2πr (a < r < b ) ⇒ µ 0 I in = 0 ⇒ B ⋅ 2 π r = 0 = ) B(a < r < b B(a < r < b ) = 0 ב .כיוון השדה המגנטי הוא בכיוון משיק לכיוון הרדיאלי ,עפ"י חוק יד ימין. חוק אמפר +ביו-סבאר: פתרון: א .עבור לולאה מלבנית שצלע אחת שלה )באורך ( Lבתוך הסליל וצלע שנייה שלה מחוץ לסליל )במרחק אינסופי מהסליל כך שניתן להניח שהשדה שם הוא אפס( ,נרשום את חוק אמפר .שימו לב שעבור שתי הצלעות הצדדיות אינטגרל המסלול מתאפס מכיוון שהשדה ניצב למסלול: r r Amper' s Law : ∫ B ⋅ d l = µ 0 I in r r B ∫ ⋅ d l = BL µ 0 I in = µ 0 InL ⇒ BL = µ 0 InL ⇒ B = µ 0 In ב.חישוב השדה המגנטי שיוצר סליל דק: µ 0 NIdl sinϕ 4πr 2 µ 0 NIR 2 dθ ) 32 ( 4π x 2 + R 2 a r = ⇒ dB z = sinϕ µ 0 NIR 2 ) 32 ( 2 x2 + R 2 dl = adθ r2 = z2 + a 2 2π µ 0 NIR 2 dθ = ) 32 + R2 2 = dB z ∫ 4π(x = B = ∫ dB z 0 ג .צריך לבצע אינטגרל על שדה של סלילים דקים: 2 µ 0 nIdx ⋅ R ) 32 L 2 = 12 − L ) 2 µ nIR 1 1 = 0 2⋅ 2 2 x + R2 R 2 ( µ 0 NI 4L2 + R 2 ) 32 L 2 dx + R2 ( 2 x2 + R 2 2 ∫ (x L 2 − 2 µ 0 nIR 2 2 = ) 2 32 2 = µ 0 dI ⋅ R ( 2 x +R 2 µ 0 nIdx ⋅ R ) 2 32 = dB +R 2 L 2 ∫ 2(x L 2 =B − µ 0 nI µ 0 nIL L L + = = 1 2 1 2 2 2 2 2 L L L 2 + R 2 + R2 2 + R 2 2 4 4 4 חוק אמפר )שאלה 7.17מחוברת הקורס(. פתרון :בחרתי את כיוון ציר xלתוך הדף! נניח שבמוליך הפנימי הזרם פנימה ובחיצוני החוצה. r r בסימטריה המתקיימת במוליך גלילי אינסופי ,ניתן להשתמש בחוק אמפר . ∫ B ⋅ d l = µ 0 I in :לסימטריה כזאת יוצרים לולאת אמפר מעגלית ברדיוס , rשמרכזה נמצא על ציר הסימטריה המרכזי .הצד הימני של חוק אמפר מתאים לכל רדיוס שנבחר )אינו תלוי באזורים השונים של השדה המגנטי אלא רק בסימטריה(: r r B ∫ ⋅ d l = B ⋅ 2π r כדי למצוא את השדה באזורים השונים נשנה את רדיוס הלולאה כך שבכל פעם הא תהיה באזור אחר, ונחשב בכל אזור את כמות הזרם העוברת דרך הלולאה: ) (r > R3 ⇒ µ 0 I in = I − I = 0 r r ⇒ ∫ B ⋅ d l = µ 0 I in ⇒ B ⋅ 2π r = 0 B (r > R3 ) = 0 R32 − r 2 = µ 0 I − µ 0 j 2π r − R = µ 0 I 2 2 R − R 2 3 2 2 µ I R −r ⇒ B (R2 < r < R3 ) = 0 ⋅ 23 2π r R3 − R22 ) 2 2 ( 2 µ0 I 2π r R32 − r 2 ⇒ B ⋅ 2π r = µ 0 I 2 2 R3 − R 2 ⇒ µ 0 I in = µ 0 I r r B ∫ ⋅ d l = µ 0 I in = ) B (R1 < r < R2 µ0 I r 2 R12 µ0 I r 2π R12 ⇒ ) ( R 2 < r < R3 µ 0 I in I = j2 2 π R3 − R22 , ⇒ ) ( B ⋅ 2π r = µ 0 I = µ 0 I in = µ 0 j1 ⋅ π r 2 = ) B (R1 < r < R2 ⇒ µ0 I r 2 2 1 R , ⇒ I = j2 π R12 = B ⋅ 2π r ⇒ ) (R1 < r < R2 r I 0 in r ∫ B ⋅ dl = µ ⇒ ) (r < R1 r r B ∫ ⋅ d l = µ 0 I in חוק אמפר) :שאלה 7.23מחוברת הקורס(. y במוליך גלילי ארוך שרדיוסו aנקדחו שני חללים לאורך ציר Q הסימטריה כולו ,שקוטרם , aכמתואר באיור משמאל. המוליך נושא זרם Iבניצב למישור האיור ובמגמה החוצה. r a 2 א .חשבו את השדה המגנטי בנקודה Pהנמצאת על ציר P x ה x -במרחק rממרכז הגליל. a 2 ב .חשבו את השדה המגנטי בנקודה Qהנמצאת על ציר ה y -ובמרחק rממרכז הגליל. r הדרכה :התייחסו לחללים הגלילים כאל מוליכים הנושאים זרם באותה צפיפות אולם במגמה הפוכה. פתרון :ציר zלתוך הדף! נמספר את ה"גופים": .1גליל מלא רדיוס aשהזרם בו החוצה מהדף. .2הגליל החלול העליון ,בעל רדיוס , a 2אליו נתייחס כמלא שהזרם בו לתוך הדף. .3הגליל החלול התחתון ,בעל רדיוס , a 2אליו נתייחס כמלא שהזרם בו לתוך הדף. כדי לחשב את השדות בנקודות השונות מחשב את השדה שיוצר כל "גוף" ונחבר וקטורית. א .נחשב את צפיפות הזרם במוליך ,ובאמצעותה נחשב את ה"זרם" בכל אחד מה"גופים": ˆ 2I ⋅k π a2 ) (in =− I 2 a 2 π a 2 − (out ) , a 2 2 π a 2 − 2 2 2I I a = ⋅π 2 πa 2 2 = I2 = I3 = − j ⋅ S2 = ˆ⋅ k I r j =− 2I ⋅ π a 2 = 2I 2 πa = I 1 = j ⋅ S1 נחשב השדה המגנטי שיוצר כל אחד מה"גופים" )כמו תילים אינסופיים( בנקודה Pונחבר וקטורית )הוספתי שני שרטוטים שמסבירים את הזוויות והכיוונים ,של השדות שיוצרים כל אחד מהחללים(: y y Q Q r θ x r a 2 x θ P P θ θ r B3 r B2 r r a 2 r µ I µ I B1 = 0 1 ⋅ ˆj = 0 ⋅ ˆj πr 2π r r µ0 I 2 µ I a r 0 B2 = ⋅ − cos θ ⋅ iˆ − sinθ ⋅ ˆj = ⋅− ⋅ iˆ − ⋅ ˆj = 2 2 2 2 a a a a 2 2π r 2 + 4π r 2 + r2 + 2 r + 4 4 4 4 µ0 I µ0 I a a = ⋅ − ⋅ iˆ − r ⋅ ˆj = ⋅ − ⋅ iˆ − r ⋅ ˆj 2 2 2 a 2 π 4r + a 2 4π r 2 + 4 ( ) ( ) r µ0 I 3 µ I a r 0 B3 = ⋅ cos θ ⋅ iˆ − sinθ ⋅ ˆj = ⋅ ⋅ iˆ − ⋅ ˆj = 2 2 2 2 a a a a 2 2π r 2 + 4π r 2 + r2 + 2 r + 4 4 4 4 µ0 I µ0 I a a ⋅ ⋅ iˆ − r ⋅ ˆj = ⋅ ⋅ iˆ − r ⋅ ˆj = 2 2 2 a 2 π 4r + a 2 4π r 2 + 4 r r r r µ I µ0 I µ0 I a a ⋅ − ⋅ iˆ − r ⋅ ˆj + ⋅ ⋅ iˆ − r ⋅ ˆj = BP = B1 + B2 + B3 = 0 ⋅ ˆj + 2 2 2 2 πr π 4r + a 2 π 4r + a 2 ( ) ( ( ) ) ( ) = µ0 I 2r 2 ˆ µ 0 I 2 r 2 ˆ µ 0 I 4r 2 + a 2 − 2r 2 ˆ 1 − 2 ⋅ j = ⋅ j = ⋅ j = 1 − π r 4r + a 2 π r 4r 2 + a 2 π r 4r 2 + a 2 = µ 0 I 2r 2 + a 2 ˆ ⋅ j π r 4r 2 + a 2 :( מכיוון שאין זוויות, )היא יותר פשוטהQ באותו אופן לנקודה.ב r µ I µ I B1 = − 0 1 ⋅ iˆ = − 0 ⋅ iˆ 2π r πr r B3 = µ0 I 3 a 2π r + 2 ⋅ iˆ = r B2 = , µ0 I a 4π r + 2 r r r r µ I B P = B1 + B2 + B3 = − 0 ⋅ iˆ + πr µ0 I 2 a 2π r − 2 ⋅ iˆ = µ0 I a 4π r − 2 ⋅ iˆ ⋅ iˆ µ0 I µ0 I µ I r r ⋅ iˆ = ⋅ iˆ + ⋅ iˆ = 0 − 1 + + a a πr a a 4 r − 4 r + 4π r − 4π r + 2 2 2 2 ar ar − 4r 2 − a 2 + r 2 + + r2 − 2 2 µ I 2 2 ⋅ iˆ = µ 0 I − 2r − a = 0 πr π r 4r 2 − a 2 4r 2 − a 2 ˆ ⋅ i שדה מגנטי )סופרפוזיציה ע"י אינטגרל( ברצועה דקה וארוכה )אינסופית( ברוחב , aזורם זרם אחיד ) Iלתוך הדף( .חשבו את השדה המגנטי בנקודה , Pהנמצאת במישור הרצועה ,במרחק hמקצה הרצועה. P a h פתרון: נחלק את הרצועה לאלמנטים דקים ,ונתייחס לכל אלמנט כתיל איסופי ,ונסכום על כל השדות שיוצרים כל האלמנטים: µ 0 ⋅ dI = dB 2πr µ ⋅ I ⋅ dr I dr ⇒ dB = 0 a 2 π ar µ 0 ⋅ I ⋅ dr µ 0 ⋅ I a + h dr µ 0 ⋅ I a + h ln = = 2 πar 2 πa ∫h r 2πa h a+h ∫ h = dI = jdr = B = ∫ dB חוק פאראדיי -לנץ פתרון: א .ההתנגדות הכוללת: L ρ ⋅ 3a = S πd 2 R=ρ ב .השטף המקסימלי הוא כאשר השדה המגנטי ניצב למישור המשולש: r r 3a 2 ⋅ ΦB = B ⋅ S = B 4 ג.נתון זמן המחזור , Tניתן למצוא את המהירות הזוויתית: 2π T r r 3a 2 ⋅ ΦB = B ⋅ S = B ) sin (ωt 4 ∂Φ B 3a 2 =ε ⋅ = ωB ) cos(ωt ∂t 4 3a 2 ⋅ I max = ωB 4 =ω חוק פאראדיי -לנץ ) 8.43מחוברת הקורס( פתרון: א .השטף המגנטי: r r d αt 2 d 2 = Φ B = ∫ B ⋅ dS = ∫ αt 2 d ⋅ ydy 2 0 ב .הכא"מ המושרה: = αd 2 t ∂Φ B ∂ αt 2 d 2 = ∂t ∂t 2 =ε ג .הספק החום: ε 2 α 2d 4 t 2 = R R =P ד .כמות האנרגיה שנפלטה בזמן הנתון: T α 2d 4 t 2 α 2d 4T3 = dt R 3R 0 ∫ = U = ∫ Pdt חוק פאראדיי -לנץ פתרון: א .נחשב עבור המקרה בו המסגרת נכנסת לתוך השדה המגנטי: d r r d B0 x B d2 ∫ = Φ B = ∫ B ⋅ dS Ldx = B 0 ∫ xdx = 0 L 2 0 0 ב .נחשב עבור המקרה בו המסגרת נעה כולה בתוך השדה המגנטי: d B0 x B0 2 d B0 2 ) B 0 (2Ld − L2 2 ( ) Ldx = B xdx = x = d − d − L = d−L ∫ 0 ∫ L 2 2 2 d -L d -L ג .השטף גדל כך שכיוון הזרם יהיה כזה שנסה להקטין את השטף כלומר נגד כיוון השעון. [ ] ] [ d r r = Φ B = ∫ B ⋅ dS גודל הזרם: ε B 0 Lv = R R =I ) ( ∂Φ B ∂ B 0 2Lvt − L2 = = B 0 Lv ∂t ∂t 2 =ε d = vt ד .הספק חשמלי והספק מכני: ) ε 2 (B 0 Lv = R R B 0 Lv (B 0 L)2 v B 0 d B 0 (d − L ) − F = IBL = IL = = IB 0 [d − (d − L )] = IB 0 L = R ⋅ B 0 L L R L 2 =P (B 0 Lv )2 R = P = Fv חוק פאראדיי –לנץ מסגרת מוליכה העשויה מתיל בצורת חצי מעגל והקוטר שלו מסתובבת סביב מרכז המעגל Mנגד כיוון השעון במהירות זוויתית . ω = 5 rad secמתחת למישור העובר דרך קו CDומאונך למסגרת שורר שדה מגנטי אחיד , B = 0.4 Tהנכנס לתוך דף השרטוט .בזמן , t = 0הקוטר של חצי המעגל מתלכד עם .CDנתונים :רדיוס המעגל , a = 2 mהתנגדות המסגרת . R = 10 Ω א .חשבו את השטף של השדה המגנטי דרך המסגרת כפונקציה של הזמן במשל חצי הסיבוב הראשון של המסגרת .מהו קטע הזמן שאליו מתאימה הפונקציה? ב .חשבו את הזרם המושרה במסגרת במשך חצי הסיבוב הראשון )גודל וכיוון(. ג .חשבו כיצד ישתנה השטף ,וכיוונו וגודלו של הזרם המושרה בחצי הסיבוב השני. פתרון: א .השטף כפונקציה של הזמן: r r Φ B = B ⋅ S = B ⋅ θa = B ⋅ aω t T החישוב נכון לקטע הזמן: 2 < .0 < t ב .נמצא את הכא"מ המושרה ואז מחוק אוהם את הזרם: ∂Φ B ∂ = (B ⋅ aω t ) = Baω ∂t ∂t ε Baω = =I R R =ε כיוון הזרם יהיה כזה שירצה להקטין את השטף )היות והשטף גדל( כלומר ליצור שדה מגנטי בכיוון החוצה מהדף ,כלומר נגד כיוון השעון. ג .בחצי השני: T Φ B = B ⋅ πa - aω t - 2 הזרם יהיה הפוך לכיוון הקודם. ∂ T B ⋅ π a - Baω t - = − Baω ∂t 2 =ε − Baω R =I השראות: חשבו את השראותו של טורואיד בעל שטח חתך מלבני רדיוס פנימי , aרדיוס חיצוני , bגובה hומספר כריכותיו . nכלומר :מימדי השטח החתך המלבני הם. (b − a ) × h : פתרון: בצד שמאל מופיע שרטוט מערכת הזרמים כפי שהיא נראית במבט מלמעלה על הטורואיד .ניתן להסביר ע"י סימטריה בכיוון השדה החשמלי במרחב הוא בניצב לרדיאלי ,כלומר בכיוון משיק .לולאת האמפר המתאימה היא לולאה מעגלית בעלת רדיוס ) rהקו הכחול בשרטוט( ,כך שהשדה המגנטי מקביל למסלול הלולאה. נחשב את צד ימין של חוק אמפר המתאים לבעיה זו: r r B ∫ ⋅ d l = B ⋅ 2π r נחשב את צד שמאל של חוק אמפר ,כלומר את הזרם העובר דרך הלולאה: µ 0 I in = µ 0 nI נשווה בין הצדדים ונבודד את השדה המגנטי: µ 0 nI 2π r = ) B(a < r < b ⇒ B ⋅ 2π r = µ 0 nI ⇒ r r B ∫ ⋅ d l = µ0 I in בצד שמאל מופיע שרטוט של חתך של הטורואיד במבט מהצד )הקו h המקווקו הוא ציר הסימטריה במרכז הטורואיד(. השדה המגנטי דרך הכריכה הימנית בשרטוט הוא לתוך הדף .נחשב את השטף דרך כריכה אחת ואז נכפול במספר הכריכות כדי לקבל את השטף b−a a a b−a הכולל דרך כל כריכות הטורואיד: b r r µ 0 nI µ 0 n 2 Ih b dr µ 0 n 2 Ih b ∫ ⋅ Φ B = n ⋅ ∫ B ⋅ dS = n = ⋅ h ⋅ dr ∫⋅ = ⋅ ln 2π r 2π r 2π a a a ניתן לחשב את ההשראות עפ"י ההגדרה: Φ B µ0 n 2 h b = ⋅ ln I 2π a =L
