docמבוא לתורת החבורות מערכי תרגול קורס 88-211 - Math-Wiki
download 
Report Transcription
מבוא לתורת החבורות מערכי תרגול קורס 88-211 - Math-Wiki
מבוא לתורת החבורות
מערכי תרגול קורס 88-211
דצמבר ,2016גרסה 0.6
אוניברסיטת בר־אילן
סמסטר א’ תשע”ז
תוכן העניינים
1
מבנים אלגבריים בסיסיים
3
2
חבורה אבלית
7
3
תת־חבורות
7
4
מבוא לתורת המספרים
9
5
חבורת אוילר ומציאת הופכי
13
6
חבורות ציקליות
13
7
תת־חבורה הנוצרת על ידי איברים
18
8
החבורה הסימטרית )על קצה המזלג(
20
9
מחלקות שמאליות וימניות
23
10משפט לגראנז’ ושימושים
25
11חבורות מוצגות סופית
28
12תת־חבורות נורמליות
29
13הומומורפיזמים
31
14חבורות מנה
34
15משפטי האיזומורפיזם של נתר
35
2
מבוא
נתחיל עם כמה דגשים:
• דף הקורס נמצא באתר .www.math-wiki.com
• שאלות בנוגע לחומר הלימודי מומלץ לשאול בדף השיחה באתר של הקורס.
• תרגילי בית כל שבוע עם חובת הגשה.
• יהיה בוחן .מתוכנן לתאריך .27.12.2016
1מבנים אלגבריים בסיסיים
הגדרה .1.1חבורה למחצה ) (semigroupהיא קבוצה לא ריקה Sומפעולה בינארית על
Sהמקיימת קיבוציות )אסוציטיביות .(associativity ,כלומר לכל a, b, c ∈ Sמתקיים
).(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c
דוגמה ,Z .1.2מילים ושירשור מילים ,קבוצה Xעם הפעולה .a ∗ b = b
דוגמה .1.3המערכת ) (Z, −אינה חבורה למחצה ,מפני שפעולת החיסור אינה קיבוצית.
למשל ).(5 − 2) − 1 ̸= 5 − (2 − 1
הגדרה .1.4תהי )∗ (S,חבורה למחצה .איבר e ∈ Sנקרא איבר יחידה אם לכל a ∈ S
מתקיים .a ∗ e = e ∗ a = aחבורה למחצה שבה קיים איבר יחידה נקראת מונואיד
) ,monoidאו יחידון(.
דוגמה ,Z .1.5מטריצות ריבועיות מעל שדה ,פונקציות על קבוצה .X
הערה .1.6יהי Mמונואיד .קל לראות כי איבר היחידה ב M -הוא יחיד.
דוגמה .1.7תהי Xקבוצה כלשהי ,ותהי ) P (Xקבוצת החזקה שלה )זהו אוסף כל תתי
הקבוצות של .(Xאזי )∩ (P (X),היא מונואיד שבו איבר היחידה הוא .Xמה קורה
עבור )∪ ) ?(P (X),להמשך ,נשים לב כי במונואיד זה לכל איבר aמתקיים .(a2 = a
הגדרה .1.8יהי ) (M, ∗, eמונואיד.
איבר יקרא הפיך אם קיים איבר b ∈ Mכך ש .ba = ab = e-במקרה זה = b
יקרא הופכי של .a
תרגיל ) 1.9אם יש זמן( .אם aba ∈ Mהפיך במונואיד ,הראו כי גם a, bהפיכים.
3
−1
a
פתרון .יהי cההופכי של .abaכלומר
abac = caba = e
לכן cabהוא הופכי שמאלי של ,aו bac-הופכי ימני של .aבפרט aהפיך ומתקיים
.cab = bacלכן מתקיים גם
)(aca)b = a(cab) = a(bac) = e = (cab)a = (bac)a = b(aca
וניתן להסיק כי acaהופכי שמאלי וימני של .b
תרגיל .1.10האם קיים מונואיד שיש בו איבר הפיך מימין שאינו הפיך משמאל?
פתרון .כן .נבנה מונואיד כזה .תהא Xקבוצה .נסתכל על קבוצת ההעתקות מX-
לעצמה המסומנת } .X X = {f : X → Xביחס לפעולת ההרכבה זהו מונואיד ,ואיבר
היחידה בו הוא העתקת הזהות.
ההפיכים משמאל הם הפונקציות החח”ע .ההפיכים מימין הם הפונקציות על )מהקורס
מתמטיקה בדידה( .מה יקרה אם נבחר את Xלהיות סופית?
אם ניקח למשל X = Nקל למצוא פונקציה על שאינה חח”ע .הפונקציה שנבחר
היא ) .d(n) = max(1, n − 1לפונקציה זו יש הופכי מימין ,למשל ,u(n) = n + 1אבל
אין לה הפיך משמאל.
תרגיל ) 1.11ממבחן( .הוכיחו כי לכל מונואיד )· (X,הקבוצה ) P∗ (Xשל כל תתי
הקבוצות הלא ריקות של Xמגדירה מונואיד ביחס לפעולת הכפל הטבעית:
}A • B = {a · b | a ∈ A, b ∈ B
ומצאו מי הם האיברים ההפיכים ב.(P∗ (X), •)-
פתרון .הקבוצה ) P∗ (Xאינה ריקה ,לדוגמה היא מכילה את }) {eכאשר eהוא איבר
היחידה של .(Xהפעולה • מוגדרת היטב וסגורה .קל לבדוק כי הפעולה קיבוצית
בהתבסס על הקיבוציות של הפעולה ב .X-איבר היחידה ב (P∗ (X), •)-הוא }.{e
האיברים ההפיכים במונואיד הן הקבוצות מהצורה } {aעבור aהפיך ב) X-ההופכי
הוא } .({a−1אכן ,נניח כי ) A ∈ P∗ (Xהפיך .לכן קיימת ) B ∈ P∗ (Xכך שלכל
a ∈ A, b ∈ Bמתקיים .ab = eנראה כי .|B| = 1אחרת קיימים לפחות שני איברים
b1 , b2 ∈ Bומתקיים ,b1 a = ab1 = ab2 = b2 a = eולכן מיחידות ההופכי של aנקבל
.b1 = b2באופן סימטרי .|A| = 1
הגדרה .1.12חבורה ) (G, ∗, e) (groupהיא מונואיד שבו כל איבר הוא הפיך.
מתקיים :חבורה ⇐ מונואיד ⇐ חבורה למחצה.
לפי ההגדרה לעיל על מנת להוכיח שמערכת אלגברית היא חבורה צריך להראות:
4
.1סגירות הפעולה.
.2קיבוציות הפעולה.
.3קיום איבר יחידה.
.4כל איבר הוא הפיך.
דוגמה ) .1.13עבור קבוצה סופית אחת הדרכים להגדיר פעולה בינארית היא בעזרת
לוח כפל (.למשל ,אם } S = {a, bונגדיר
∗ a b
a a b
b b a
אז קל לראות שמתקיימת סגירות ,אסוציאטיביות a ,הוא יחידה ו bהוא ההופכי של
עצמו.
למעשה ,זוהי החבורה היחידה מגודל ) 2למה?(.
דוגמה N, Z, Q, R, C .1.14חבורות ביחס לחיבור .מה קורה עם כפל? )כל שדה הוא
חבורה חיבורית ומונואיד כפלי(.
דוגמה .1.15יהי nמספר טבעי .נסמן את הכפולות שלו ב.nZ = {0, ±n, ±2n, . . . }-
למשל } .4Z = {. . . , −12, −8, −4, 0, 4, 8, 12, . . .לכל nהמערכת ) (nZ, +היא
חבורה.
הגדרה .1.16יהי nמספר טבעי .נאמר כי a, b ∈ Zהם שקולים מודולו nאם .n|a − b
כלומר קיים k ∈ Zכך ש .a = b + kn-נסמן זאת ) a ≡ b (mod nונקרא זאת ”a
שקול ל b-מודולו .”n
טענה .1.17שקילות מודולו nהיא יחס שקילות שמחלקות השקילות שלו מתאימות
לשארית החלוקה של מספר ב .n-כפל וחיבור מודולו nמוגדרים היטב .כלומר אם
) ,a ≡ b, c ≡ d (mod nאז ) ac ≡ bd (mod nוגם ).a + c ≡ b + d (mod n
דוגמה .1.18נסתכל על אוסף מחלקות השקילות מודולו ,nשמקובל לסמן = Zn
} .Z/nZ = {[a] | a ∈ Zלמשל }] .Z4 = {[0] , [1] , [2] , [3לפעמים מסמנים את מחלקת
השקילות ] [aבסימון ,aולעיתים כאשר ברור ההקשר פשוט .aכזכור ][a]+[b] = [a + b
כאשר באגף שמאל הסימן +הוא פעולה בינארית הפועלת על אוסף מחלקות השקילות
) aהוא נציג של מחלקת שקילות אחת ו b-הוא נציג של מחלקת שקילות אחרת( ובאגף
ימין זו פעולת החיבור הרגילה של מספרים )שלאחריה מסתכלים על מחלקת השקילות
שבה a + bנמצא(.
5
אפשר לראות כי ) (Zn , +היא חבורה אבלית .נבחר נציגים למחלקות השקילות
}] .Zn = {[0] , [1] , . . . , [n − 1איבר היחידה הוא ]) [0הרי ][0] + [a] = [0 + a] = [a
לכל ] .([aקיבוציות הפעולה והאבליות נובעות מהקיבוציות והאבליות של פעולת החיבור
הרגילה .האיבר ההופכי של ] [aהוא ].[n − a
מה ניתן לומר לגבי )· ?(Zn ,ישנה סגירות ,ישנה קיבוציות וישנו איבר יחידה ].[1
אך זו לא חבורה כי ל [0]-אין הופכי .נסמן }] .Z◦n = Zn \ {[0האם )· (Z◦n ,חבורה?
∈ ],[0
לא בהכרח .למשל עבור Z◦6נקבל כי ] .[2] [3] = [6] = [0לפי ההגדרה / Z◦6
ולכן הפעולה ב (Z◦n , ·)-אינה בהכרח סגורה )כלומר אפילו לא חבורה למחצה( .בהמשך
נראה איך אפשר ”להציל” את הכפל.
הגדרה ) 1.19חבורת האיברים ההפיכים( .יהי Mמונואיד ויהיו a, b ∈ Mזוג איברים.
אם a, bהם הפיכים ,אזי גם a · bהוא הפיך במונואיד .אכן ,האיבר ההופכי הוא
.(a · b)−1 = b−1 · a−1לכן אוסף כל האיברים ההפיכים במונואיד מהווה קבוצה סגורה
ביחס לפעולה .כמו כן האוסף הנ”ל מכיל את איבר היחידה ,וכל איבר בו הוא הפיך.
מסקנה מיידית היא שאוסף האיברים ההפיכים במונואיד מהווה חבורה ביחס לפעולה
המצומצמת .נסמן חבורה זו ב) U (M )-קיצור של .(Units
הגדרה .1.20המערכת )· (Mn (R),של מטריצות ממשיות בגודל n×nעם כפל מטריצות
היא מונואיד .לחבורת ההפיכים שלו
}U (Mn (R)) = GLn (R) = {A ∈ Mn (R) | det A ̸= 0
קוראים החבורה הלינארית הכללית )ממעלה (nמעל .(General Linear group) R
דוגמה .1.21נגדיר את חבורת אוילר ) (Eulerלהיות ) Un = U (Znלגבי פעולת הכפל.
נבנה את לוח הכפל של ) Z6בהתעלם מ [0]-שתמיד יתן במכפלה ]:([0
5
5
4
3
2
1
4
4
2
0
4
2
2
2
4
0
2
4
3
3
0
3
0
3
1
1
2
3
4
5
·
1
2
3
4
5
האיברים ההפיכים הם אלו שמופיע עבורם ) 1הפעולה חילופית ולכן מספיק לבדוק רק
עמודות או רק שורות( .כלומר }] .U6 = {[1] , [5במקרה זה ] [5הוא ההופכי של עצמו.
הערה .1.22אם pהוא מספר ראשוני ,אז .Up = Z∗p
טענה .1.23בדומה להערה האחרונה ,נאפיין את האיברים ב Un -לכל .n
יהי .m ∈ Zאז [m] ∈ Unאם ורק אם .(n, m) = 1כלומר ,ההפיכים במונואיד
)· (Zn ,הם כל האיברים הזרים ל.n-
6
דוגמה .U12 = {1, 5, 7, 11} .1.24
דוגמה .1.25לא קיים ל 5-הופכי כפלי ב ,Z10 -שכן אחרת 5היה זר ל 10-וזו סתירה.
2חבורה אבלית
הגדרה .2.1נאמר כי פעולה דו־מקומית ∗ : G × G → Gהיא אבלית )או חילופית,
(commutativeאם לכל שני איברים a, b ∈ Gמתקיים .a ∗ b = b ∗ aאם )∗ (G,
חבורה והפעולה היא אבלית ,נאמר כי Gהיא חבורה אבלית )או חילופית( .המושג נקרא
על שמו של נילס הנריק ָא ֶבּל ).(Niels Henrik Abel
דוגמה .2.2יהי Fשדה .החבורה )· (GLn (F ),אינה אבלית עבור .n > 1
תרגיל .2.3תהי Gחבורה .הוכיחו שאם לכל x ∈ Gמתקיים ,x2 = 1אזי Gהיא
חבורה אבלית.
הוכחה .מן הנתון מתקיים לכל a, b ∈ Gכי .(ab)2 = a2 = b2 = 1לכן
abab = (ab)2 = 1 = 1 · 1 = a2 · b2 = aabb
נכפיל את השיוויון לעיל מצד שמאל בהופכי של aומצד ימין בהופכי של ,bונקבל
.ba = abזה מתקיים לכל זוג איברים ,ולכן Gחבורה אבלית.
3
תת־חבורות
הגדרה .3.1תהי Gחבורה .תת־קבוצה H ⊆ Gנקראת תת־חבורה של Gאם היא
חבורה ביחס לאותה פעולה )באופן יותר מדויק ,ביחס לפעולה המושרית מ .(G-מסמנים
.H ≤ G
תכלס מה שצריך לבדוק:
• תת־הקבוצה לא ריקה -או.e ∈ H -
• סגירות לכפל :לכל a, b ∈ Hמתקיים .ab ∈ H
• סגירות להופכי :לכל a ∈ Hמתקיים .a−1 ∈ H
דוגמה .3.2נוכיח שקבוצת המטריצות
1 a b
0
1
c
=H
a, b, c ∈ R
0 0 1
היא תת־חבורה של ):GL3 (R
7
• יחידה :ברור ש.I3 ∈ H -
1 a b
1 a ′ b′
1 a + a′ b + b′ + ac′
• ∈ H
1
c + c′
0 1 c 0 1 c′ = 0ולכן
0 0 1
0 0 1
0
0
1
יש סגירות לכפל.
• אפשר לראות שיש הפיך לפי הדטרמיננטה ,אבל זה לא מספיק! צריך גם להראות
שהמטריצה ההופכית נמצאת ב H-בעצמה .אמנם,
−1
1 a b
1 −a ac − b
0 1 c = 0 1
−c ∈ H
0 0 1
0 0
1
לחבורה זאת ודומותיה )!( קוראים חבורת הייזנברג.
דוגמה .SLn (F ) ≤ GLn (F ) .3.3
עבור { a ∈ Gתמיד אפשר לבנות תת־חבורה הנוצרת ע”י איבר = ⟩⟨a
דוגמה} .3.4
k
. a k ∈ Z ≤ Gלמשל:
• :4 ∈ Z
• )∈ GL3 (R
⟨4⟩ = {4k | k ∈ Z} = 4Z
)
1 0 1
0 1 0
0 0 1
(
= :a
1 0 n
= 0 1 0 ,...
0 0 1
0 −2
1 0 , . . . , a−n , . . .
0 1
1 0 2
⟨a⟩ = a0 = I, a, a2 = 0 1 0 , . . . , an
0 0 1
1 0 −1
1
. . . , a−1 = 0 1 0 , a−2 = 0
0 0 1
0
1 0 k
= 0 1 0 k ∈ Z
0 0 1
8
4מבוא לתורת המספרים
הגדרה .4.1יהיו a, bמספרים שלמים .נאמר כי aמחלק את bאם קיים k ∈ Zכך
ש ,ka = b-ונסמן .a|bלמשל .−5|10
משפט ) 4.2משפט החילוק ,או חלוקה אוקלידית( .לכל d ̸= 0, n ∈ Zקיימים q, rיחידים
כך ש n = qd + r-וגם |.0 ≤ r < |d
המשפט לעיל מתאר ”מה קורה” כאשר מחלקים את nב .d-הבחירה בשמות
הפרמטרים במשפט מגיעה מלע”ז ) quotientמנה( ו) remainder-שארית(.
הגדרה .4.3בהנתן שני מספרים שלמים n, mהמחלק המשותף המירבי )ממ”מgreatest ,
(common divisorשלהם מוגדר להיות המספר
}gcd(n, m) = max {d ∈ N | d|n ∧ d|m
לעיתים נסמן רק ) .(n, mלמשל .(6, 10) = 2נאמר כי n, mזרים אם .(n, m) = 1
למשל .(2, 5) = 1
הערה .4.4אם d|aוגם ,d|bאזי dמחלק כל צירוף לינארי של aו.b-
טענה .4.5אם ,n = qm + rאז ).(n, m) = (m, r
הוכחה .נסמן ) ,d = (n, mוצ”ל כי ) .d = (m, rאנו יודעים כי d|nוגם .d|mאנו יכולים
להציג את rכצירוף לינארי של ,n, mולכן .d|r = n − qmמכך קיבלנו ).d ≤ (m, r
כעת ,לפי הגדרה (m, r)|rוגם ,(m, r)|mולכן (m, r)|nכי nהוא צירוף לינארי של
.m, rאם ידוע כי (m, r)|mוגם ,(m, r)|nאזי .(m, r) ≤ dסך הכל קיבלנו כי
).d = (m, r
משפט ) 4.6אלגוריתם אוקלידס(” .המתכון” למציאת ממ”מ בעזרת שימוש חוזר בטענה
4.5הוא אלגוריתם אוקלידס .ניתן להניח .0 ≤ m < nאם ,m = 0אזי .(n, m) = n
אחרת נכתוב n = qm + rכאשר 0 ≤ r < mונמשיך עם )) .(n, m) = (m, rהבינו
למה האלגוריתם חייב להעצר(.
דוגמה .4.7נחשב את הממ”מ של 53ו 47-בעזרת אלגוריתם אוקלידס
](53, 47) = [53 = 1 · 47 + 6
](47, 6) = [47 = 7 · 6 + 5
(6, 5) = 1
9
דוגמה נוספת עבור מספרים שאינם זרים:
](224, 63) = [224 = 3 · 63 + 35
](63, 35) = [63 = 1 · 35 + 28
](35, 28) = [35 = 1 · 28 + 7
](28, 7) = [28 = 4 · 7 + 0
(7, 0) = 7
משפט ) 4.8אפיון הממ”מ כצירוף לינארי מזערי( .מתקיים לכל מספרים שלמים a, bכי
}(a, b) = min {au + bv ∈ N | u, v ∈ Z
בפרט קיימים s, t ∈ Zכך ש.(a, b) = sa + tb-
הערה .4.9מן המשפט קיבלנו כי .(a, b) ∈ aZ + bZ
דוגמה .4.10כדי למצוא את המקדמים s, tכשמביעים את הממ”מ כצירוף לינארי כנ”ל
נשתמש באלגוריתם אוקלידס המורחב:
](234, 61) = [234=3·61+51 ⇒ 51 = 234 − 3 · 61
](61, 51) = [61=1·51+10 ⇒ 10 = 61 − 1 · 51 = 61 − 1 · (234 − 3 · 61) = −1 · 234 + 4 · 61
](51, 10) = [51=5·10+1 ⇒ 1 = 51 − 5 · 10 = 51 − 5 · (−1 · 234 + 4 · 61) = 6 · 234 − 23 · 61
(10, 1) = 1
ולכן .(234, 61) = 1 = 6 · 234 − 23 · 61
תרגיל .4.11יהיו a, b, cמספרים שלמים כך ש (a, b) = 1-וגם .a|bcהראו כי .a|c
פתרון .לפי אפיון הממ”מ כצירוף לינארי ,קיימים s, tכך ש .1 = sa + tb-נכפיל בc-
ונקבל .c = sac + tbcברור כי a|sacולפי הנתון גם .a|tbcלכן ) ,a| (sac + tbcכלומר
.a|c
טענה .4.12תכונות של ממ”מ:
.1יהי ) d = (n, mויהי eכך ש e|m-וגם ,e|nאזי .e|d
(an, am) = |a| (n, m) .2
.3אם pראשוני וגם ,p|abאזי p|aאו .p|b
.1קיימים s, tכך ש .d = sn+tm-כיוון ש ,e|n, m-אז הוא מחלק
הוכחת התכונות.
גם את צירוף לינארי שלהם ,sn + tmז”א את .d
10
) .2חלק מתרגיל הבית(
.3אם ,p ∤ aאז .(p, a) = 1לכן קיימים s, tכך ש .sa + tp = 1-נכפיל את השיוויון
האחרון ב b-ונקבל .sab + tpb = bברור כי pמחלק את אגף שמאל )הרי ,(p|ab
ולכן pמחלק את אגף ימין ,כלומר .p|b
הגדרה ) 4.13לבית( .בהנתן שני מספרים שלמים n, mהכפולה המשותפת המזערית
)כמ”מ (least common multiple ,שלהם מוגדרת להיות
}lcm(n, m) = min {d ∈ N | n|d ∧ m|d
בדרך כלל נסמן רק ] .[n, mלמשל [6, 10] = 30ו.[2, 5] = 10-
טענה .4.14תכונות של כמ”מ:
.1אם m|aוגם ,n|aאז .[n, m] |a
.[n, m] (n, m) = |nm| .2למשל .[6, 4] (6, 4) = 12 · 2 = 24 = 6 · 4
שאלה ) 4.15לבית( .אפשר להגדיר ממ”מ ליותר מזוג מספרים .יהי dהממ”מ של
המספרים .n1 , . . . , nkהראו שקיימים מספרים שלמים s1 , . . . , skהמקיימים s1 n1 +
.· · · + sk nk = dרמז :אינדוקציה על .k
תרגיל .4.16מצאו את הספרה האחרונה של .333333
פתרון .בשיטה העשרונית ,הספרה האחרונה של מספר Nהיא ) .N (mod 10נשים לב
כי .333333 = 3333 · 111333לכן
)111 ≡ 1 (mod 10) ⇒ 111333 ≡ 1333 ≡ 1 (mod 10
( )83
)3333 = 34·83+1 = 34 · 3 = 8183 · 3 ≡ 183 · 3 (mod 10
)333333 = 3333 · 111333 ≡ 3 (mod 10
ומכאן שהספרה האחרונה היא .3
משפט ) 4.17משפט השאריות הסיני( .אם n, mזרים ,אזי לכל a, b ∈ Zקיים xיחיד עד
כדי שקילות מודולו nmכך ש) x ≡ b (mod m) ,x ≡ a (mod n)-יחד!(.
11
הוכחה .מפני ש ,(n, m) = 1-אזי קיימים s, t ∈ Zכך ש .sn + tm = 1-כדי להוכיח
קיום של xכמו במשפט נתבונן ב .bsn + atm-מתקיים
)bsn + atm ≡ atm ≡ a · 1 ≡ a (mod n
)bsn + atm ≡ bsn ≡ b · 1 ≡ b (mod m
ולכן x = bsn + atmהוא פתרון אפשרי .ברור כי גם x′ = x + kmnלכל k ∈ Zהוא
פתרון תקף.
כדי להראות יחידות של xמודולו nmנשתמש בטיעון קומבינטורי .לכל זוג ) (a, bיש
) xלפחות אחד( המתאים לו מודולו .nmישנם בסה”כ nmזוגות שונים )) (a, bמודולו
,(nmוכן רק nmערכים אפשריים ל) x-מודולו .(nmההתאמה הזו היא פונקציה חח”ע
בין קבוצות סופיות שוות עוצמה ,ולכן ההתאמה היא גם על .דרך אחרת :אם קיים
מספר yהמקיים את הטענה ,אז n|x − yוגם .m|x − yמהנתון (n, m) = 1נקבל כי
∼ (.Zn × Zm
nm|x − yולכן )) .x ≡ y (mod nmבהמשך נראה גם = Znm
דוגמה .4.18נמצא x ∈ Zכך ש x ≡ 1 (mod 3)-וגם ) .x ≡ 2 (mod 5ידוע כי
,(5, 3) = 1ולכן .−1 · 5 + 2 · 3 = 1במקרה זה n = 5, m = 3וכן ,s = −1, t = 2
ולפי משפט השאריות הסיני אפשר לבחור את .x = 1 · (−5) + 2 · 6 = 7אכן מתקיים
) 7 ≡ 1 (mod 3וגם ).7 ≡ 2 (mod 5
משפט השאריות הסיני הוא יותר כללי .הנה גרסה שלו למערכת משוואות של
שקילות מודולו:
משפט ) 4.19אם יש זמן( .תהא } {m1 , . . . , mkקבוצת מספרים טבעיים הזרים זה לזה
)כלומר כל זוג מספרים בקבוצה הוא זר( .נסמן את מכפלתם ב .m-בהנתן קבוצה כלשהי
של שאריות } ,{ai (modmi ) : 1 ≤ i ≤ kקיימת שארית יחידה xמודולו mהמהווה
פתרון למערכת המשוואות
) x ≡ a1 (mod m1
..
.
) x ≡ a (mod m
k
k
דוגמה .4.20נמצא y ∈ Zכך ש-ש y ≡ 2 (mod 5) ,y ≡ 1 (mod 3)-וגם y ≡ 3
) .(mod 7נשים לב שהפתרון y = 7מן הדוגמה הקודמת הוא נכון כדי כדי הוספה
של ) 3 · 5 = 15כי ) 15 ≡ 0 (mod 3וגם ) .(15 ≡ 0 (mod 5לכן את שתי המשוואות
) y ≡ 2 (mod 5) ,y ≡ 1 (mod 3ניתן להחליף במשוואה אחת ).y ≡ 7 (mod 15
נשים לב כי (15, 7) = 1ולכן אפשר להשתמש במשפט השאריות הסיני בגרסה לזוג
משוואות .בדקו כי y = 52מהווה פתרון.
12
5חבורת אוילר ומציאת הופכי
טענה .5.1יהי ,a ∈ Znאזי ) a ∈ Unכלומר שהוא הפיך כפלית( אם ורק אם .(a, n) = 1
לכן }.Un = {1 ≤ a < n | (a, n) = 1
יותר מזה ,יש לנו דרך למצוא את ההופכי:
ראינו שקיימים s, tכך ש .sa + tn = 1-אם נחשב מודולו nנקבל sa ≡ 1כלומר
ש a−1 = s-ב .Zn -כלומר ההופכי הוא המקדם המתאים בצירוף של הממ”מ.
תרגיל .5.2מצאו 0 ≤ x ∈ Zכך ש.61x ≡ 1 (mod 234)-
פתרון .לפי הנתון ,קיים k ∈ Zכך ש .61x + 234k ≡ 1-ז”א 1הוא צירוף לינארי
)מינימלי במקרה זה( של 61ו .234-לפי איפיון ממ”מ קיבלנו כי .(234, 61) = 1כלומר
k, xהם המקדמים מן המשפט של איפיון הממ”מ כצירוף לינארי מזערי .לפי תרגיל
קודם .1 = 6 · 234 − 23 · 61לכן ) ,x ≡ −23 (mod 234וכדי להבטיח כי xאינו שלילי
נבחר .x = 211
הגדרה .5.3סדר של חבורה הוא מספר האיברים בחבורה ומסומן.|G| :
לדוגמא.|Zn | = n ,|Z| = ∞ :
דוגמה .5.4פונקציית אוילר מוגדרת לפי | .φ(n) = |Un
עבור pראשוני ,אנחנו כבר יודעים ש.φ(p) = p − 1-
ניתן להראות )בהרצאה( כי לכל ראשוני pולכל kטבעי ,φ(pk ) = pk − pk−1 ,כמו
כן ,אם (a, b) = 1אזי ).φ(ab) = φ(a)φ(b
(
)
(
)
1
1
.φ(n) = n 1 −
··· 1 −
מכאן מתקבלת ההכללה :יהי n = pα1 1 · · · pαnnאזי
p1
pn
למשל:
()
()
)
(
1
1
1
φ(60) = 60 1 −
1−
1−
= 16
2
3
5
6חבורות ציקליות
הגדרה .6.1תהי Gחבורה ויהי .a ∈ Gאם כל איבר ב G-הוא חזקה )חיובית או
שלילית( של aאז נאמר ש G-נוצרת על ידי .aבמקרה זה נאמר כי Gחבורה ציקלית.
סימון.G = ⟨a⟩ = {ak : k ∈ Z} :
דוגמה .6.2
• Zנוצרת ע”י .1שימו לב שהיוצר לא חייב להיות יחיד .למשל במקרה שלנו גם
−1הוא יוצר.
13
• ⟩.nZ = ⟨n
• ⟩.Z6 = ⟨1⟩ = ⟨5
• ⟩.U10 = {3, 32 = 9, 33 = 7, 34 = 1} = ⟨3
אם מצאנו ב”רחוב” חבורה ציקלית ,אז הסדר שלה נותן לנו את כל המידע שצריך
עליה:
משפט .6.3כל חבורה ציקלית איזומורפית או ל Zn -או ל.Z-
∼ .nZ
דוגמה = Z .6.4
∼ .U10
דוגמה = Z4 .6.5
אבל איך נזהה שחבורה היא ציקלית?
6.1
סדר של איבר
הגדרה .6.6יהי ,a ∈ Gהסדר של aהוא .o(a) = min{n ∈ N : an = 1} :אם לא
קיים כזה ,נאמר שהסדר הוא אינסוף.
דוגמה .6.7
• ב.o(5) = 2 ,U6 -
0 1
.b = ( −1נראה ש o(b) = 3-כי
• ב ,(GL2 (R), ·)-נבחר את ) −1
)
)
(
)
(
(
1 0
−1 −1
0
1
3
2
1
= I2
= ̸= I2 , b
= ̸= I2 , b
= b
0 1
1
0
−1 −1
טענה .6.8תהי Gחבורה ,ויהי .a ∈ Gמתקיים an = eאם ורק אם .o (a) |n
שאלה .6.9תהי חבורה ,G × Hהוכח כי הסדר של איבר ) (g, hהוא ]).[o(g), o(h
פתרון .נסמן o(g) = nו .o(h) = m-נראה שהסדר של איבר ) (g, hהוא מחלק משותף
של :n, m
(
)
) (g, h)o(g,h) = g o(g,h) , ho(g,h) = (eG , eH
ולכן בפרט ,לפי הטענה האחרונה:
n|o(g, h) ⇐ g o(g,h) = e
m|o(g, h) ⇐ ho(g,h) = e
מה שאומר ש o(g, h)-הוא מכפלה משותפת של mו ,n-ולכן ).[n, m]|o(g, h
מצד שני נשים לב כי
′
(g, h)[n,m] = (g [n,m] , h[n,m] ) = (g nk , hmk ) = (eG , eH ) = eG×H
ולכן ].o ((g, h)) |[n, m
14
משפט .6.10הסדר של איבר xשווה לסדר תת־החבורה שהוא יוצר ,כלומר ל.|⟨x⟩|-
בפרט ,אם Gחבורה מסדר .nאז Gהיא ציקלית אמ”ם קיים איבר מסדר .n
דוגמה .6.11ב U8 -קל לבדוק ש o(3) = o(5) = o(7) = 2-ולכן החבורה אינה ציקלית.
תרגיל .6.12האם Zn × Znהיא ציקלית?
פתרון .הסדר של החבורה הוא .n2ע”מ שהיא תהיה ציקלית יש למצוא איבר שהסדר
שלו הוא .n2אולם לכל (a, b) ∈ Zn × Znמתקיים n(a, b) = (na, nb) = (0, 0) :ולכן
הסדר של כל איבר קטן או שווה ל.n-
תרגיל .6.13תהי Gחבורה אבלית .הוכיחו שאוסף האיברים מסדר סופי הוא תת־חבורה.
פתרון .נסמן את האוסף הנ”ל ב .A-נוכיח את התנאים הדרושים:
• ∅ ≠ Aכי .e ∈ A
• סגירות לפעולה :יהיו .a, b ∈ Aאז יש n, mטבעיים כך ש.an = bm = e-
אזי) .(ab)nm = anm bnm = (an )m (bm )n = em en = e :שימו לב לשימוש
בחילופיות!(
• סגירות להופכי :יהי .a ∈ Aיש nכך ש ,an = e-אז a · an−1 = eלכן
a−1 = an−1וכבר ראינו שיש סגירות לפעולה.
תרגיל .6.14תהי Gחבורה ויהיו a, b ∈ Gמסדר סופי .האם גם abבהכרח מסדר
סופי?
פתרון .אם Gאבלית ,אז ראינו שזה נכון בתרגיל .6.13באופן כללי ,לא.
נמצא דוגמא נגדית :נבחר את )· ,(GL2 (R),ונתבונן באיברים
)
)
(
(
0 −1
0
1
,
=b
=a
−1 −1
1 0
(
)
1 1
= abאינו מסדר סופי כי
ניתן לבדוק שמתקיים .a4 = b3 = I :אולם
0 1
(
)
1 n
n
= ).(ab
0 1
טענה .6.15מספר תכונות של הסדר:
.1אם Gחבורה ציקלית סופית מסדר nאז לכל g ∈ Gמתקיים .g n = e
.2בחבורה סופית הסדר של כל איבר הוא סופי.
15
.o(ai ) ≤ o(a) .3למעשה )) o(ai )|o(aבהמשך(.
. o(a) = o(a−1 ) .4
פתרון .נוכיח את הסעיף האחרון:
מקרה ראשון ,נניח ,o(a) = nמספיק להראות ש) o(a ) ≤ o(a)-כי .((a ) = a
אז .(a−1 )n = (an )−1 = e−1 = e .an = 1לכן .o(a−1 ) ≤ n
מקרה שני ,נניח שהסדר של aאינסופי .אז גם הסדר של a−1אינסופי ,כי אם הוא
היה איזשהו ,nאז מהמקרה הראשון ,היינו מקבלים ש ,o(a) = n-בסתירה.
−1
−1 −1
הערה .6.16יהי .a ∈ Gאזי |⟩ .o (a) = |⟨aבמילים ,הסדר של איבר הוא סדר
תת־החבורה שהוא יוצר.
תרגיל ) 6.17מההרצאה( .תהי Gחבורה ,ויהי .a ∈ Gנניח ∞ < .o (a) = nהוכיחו
שלכל d ≤ nטבעי,
)( d
n
)o (a
= o a
=
)(d, n
))(d, o (a
הוכחה )לדלג( .היתכנות :נשים לב כי
n
)( d ) (d,n
d
a
= (an ) (d,n) = e
d
)הפעולות שעשינו חוקיות ,כי ∈ Z
)(d, n
( d )t
dt
גם
מינימליות :נניח = e
, aכלומר .a = eלפי טענה .n|dt ),6.8לכן( ,
n
d
n dt
.
,
)שניהם מספרים שלמים – מדוע?( .מצד שני= 1 ,
)(d, n) (d, n
)(d, n) (d, n
n
,כמו שרצינו.
לפי תרגיל ,4.11נקבל t
)(d, n
(.
תרגיל .6.18תהי Gחבורה ציקלית מסדר .nכמה איברים ב G-יוצרים )לבדם( את
?G
פתרון .נניח כי ⟩ .G = ⟨aאזי
n
= n ⇐⇒ (k, n) = 1
)(k, n
⟩ ⟨
) (
⇒⇐ G = ak ⇐⇒ o ak = n
לכן ,מספר האיברים היוצרים את Gהוא | .|Unכלומר בדיוק ).φ(n
16
6.2חבורת שורשי היחידה
דוגמה .6.19קבוצת שורשי היחידה מסדר nמעל Cהיא
{
}
2πk
n
Ωn = {z ∈ C | z = 1} = cis
k = 0, 1, . . . , n − 1
n
2π
,ωn = cisנקבל ⟩ .Ωn = ⟨ωnכלומר Ωnהיא
זו תת־חבורה של ∗ .Cאם נסמן
n
תת־חבורה ציקלית ונוצרת על ידי .ωnמפני ש Ωn -מסדר nוציקלית ,אז בהכרח
∼ .Ωn
= Zn
∞
∪
= ∞ .Ωהוכיחו:
תרגיל .6.20נגדיר את קבוצת שורשי היחידה Ωn
n=1
Ω∞ .1היא חבורה לגבי כפל) .איחוד חבורות הוא לא בהכרח חבורה!(
.2לכל ∞) o (x) < ∞ ,x ∈ Ωכלומר :כל איבר ב Ω∞ -הוא מסדר סופי(.
Ω∞ .3אינה ציקלית.
לחבורה כזו ,שבה כל איבר הוא מסדר סופי ,קוראים חבורה מפותלת.
פתרון.
.1נוכיח שהיא חבורה על ידי זה שנוכיח שהיא תת־חבורה של ∗ .Cראינו בתרגיל
6.13שתת־חבורת הפיתול של חבורה אבלית היא תת־חבורה .לפי הגדרת ∞,Ω
רואים שהיא מכילה בדיוק את כל האיברים מסדר סופי של החבורה האבלית
∗ ,Cולכן חבורה.
באופן מפורש ולפי הגדרה :ברור כי ∞ ,1 ∈ Ωולכן היא לא ריקה .יהיו ∈ g1 , g2
∞ .Ωלכן קיימים m, nשעבורם .g2 ∈ Ωn ,g1 ∈ Ωmנכתוב עבור l, k ∈ Z
מתאימים:
2πk
2πl
g1 = cis
,
g2 = cis
m
n
לכן
(
)
2πk 2πl
2πk
2πl
g1 g2 = cis
· cis
= cis
+
m
n
m
n
(
)
)2π (kn + lm
= cis
∞∈ Ωmn ⊆ Ω
mn
סגירות להופכי היא ברורה ,שהרי אם ,g ∈ Ωnאז גם ∞.g −1 ∈ Ωn ⊆ Ω
)אם יש זמן :לדבר שאיחוד של שרשרת חבורות ,ובאופן כללי יותר ,איחוד רשת
של חבורות ,היא חבורה(.
17
.2לכל ∞ x ∈ Ωקיים nשעבורו .x ∈ Ωnלכן.o (x) ≤ n ,
.3לפי הסעיף הקודם ,כל תת־החבורות הציקליות של ∞ Ωהן סופיות .אך ∞Ω
אינסופית ,ולכן לא ייתכן שהיא שווה לאחת מהן.
7תת־חבורה הנוצרת על ידי איברים
הגדרה .7.1תהי Gחבורה ותהי S ⊆ Gתת־קבוצה לא ריקה איברים ב) G-שימו לב
ש S-אינה בהכרח תת־חבורה של .(G
תת־החבורה הנוצרת על ידי Sהינה תת־החבורה המינימלית המכילה את Sונסמנה
⟩ .⟨Sאם ⟩ G = ⟨Sאז נאמר ש G-נוצרת על ידי .Sעבור קבוצה סופית של איברים,
נכתוב בקיצור ⟩ .⟨x1 , . . . , xk
הגדרה זו מהווה הכללה להגדרה של חבורה ציקלית .חבורה היא ציקלית אם היא
נוצרת על ידי איבר אחד.
דוגמה .7.2ניקח {2, 3} ⊆ Zואת ⟩ .H = ⟨2, 3נוכיח בעזרת הכלה דו־כיוונית ש-
.H = Z
Hתת־חבורה של ,Zובפרט .H ⊆ Zכיוון ש 2 ∈ H-אזי גם (−2) ∈ Hומכאן
ש .(−2) + 3 = 1 ∈ H-כלומר איבר היחידה ,שהוא יוצר של ,Zמוכל ב .H-לכן
,Z = ⟨1⟩ ⊆ Hכלומר .Z ⊆ Hקיבלנו ש.H = Z-
דוגמה .7.3אם ניקח ,{4, 6} ⊆ Zאז נקבל.⟨4, 6⟩ = {4n + 6m : m, n ∈ Z} :
נטען ש) ⟨4, 6⟩ = gcd (4, 6) · Z = 2Z-כלומר תת־חבורה של השלמים המכילה רק
את המספרים הזוגיים( .נוכיח על ידי הכלה דו כיוונית,
)⊆( :ברור ש 2|4m + 6n-ולכן .⟨4, 6⟩ ⊆ 2Z
)⊇( :יהי .2k ∈ 2Zאזי ⟩ .2k = 4 (−k) + 6k ∈ ⟨4, 6לכן מתקיים גם2Z ⊆ :
⟩.⟨4, 6
דוגמה .7.4בדומה לדוגמה האחרונה ,במקרה שהחבורה אבלית ,קל יותר לתאר את
תת־החבורה הנוצרת על ידי קבוצת איברים .למשל אם ניקח שני יוצרים a, b ∈ G
נקבל.⟨a, b⟩ = {ai bj : i, j ∈ Z} :
בזכות החילופיות ,ניתן לסדר את כל ה-a-ים יחד וכל ה-b-ים יחד .למשל
abaaab−1 bbba−1 a = a4 b3
באופן כללי ,בחבורה אבלית מתקיים:
{
}
⟨a1 , . . . , an ⟩ = ak11 . . . aknn ∀1 ≤ i ≤ n, ki ∈ Z
18
דוגמה .7.5נוח לעיתים לחשוב על איברי ⟩ ⟨Aבתור קבוצת ”המילים” שניתן לכתוב
באמצעות האותיות בקבוצה .Aמגדירים את האלפבית שלנו להיות A ∪ A−1כאשר
} .A−1 = {a−1 : a ∈ Aמילה היא סדרה סופית של אותיות מן האלפבית ,והמילה
הריקה מייצגת את איבר היחידה ב.G-
הגדרה .7.6חבורה Gתקרא נוצרת סופית ,אם קיימת לה קבוצת יוצרים סופית .כלומר
קיימים מספר סופי של איברים a1 , . . . , an ∈ Gכך ש.⟨a1 , . . . , an ⟩ = G-
מסקנה .7.7כל חבורה סופית נוצרת סופית.
דוגמה .7.8כל חבורה ציקלית נוצרת סופית )מהגדרה( .לכן יש חבורות אינסופיות כמו
Zשנוצרות סופית .האם יש עוד חבורות כאלו? כן ,למשל ⟩).Z × Z = ⟨(1, 0), (0, 1
תרגיל .7.9הוכיחו שהחבורות הבאות לא נוצרות סופית
.1חבורת שורשי היחידה ∞.Ω
(M3 (R), +) .2
(Q∗ , ·) .3
פתרון.
.1בעוד ש Ω∞ -היא אינסופית ,נראה שכל תת־החבורה הנוצרת על ידי מספר סופי
של איברים מ Ω∞ -היא סופית .יהיו a1 , . . . , akשורשי יחידה מסדרים n1 , . . . , nk
בהתאמה .אז
{ i1
}
⟨a1 , . . . , ak ⟩ = a1 . . . aikk : 0 ≤ ij ≤ nj , 1 ≤ j ≤ k
מפני ש Ω∞ -היא אבלית .לכן יש מספר סופי )החסום מלמעלה במכפלה (n1 · · · nk
של איברים ב .⟨a1 , . . . , ak ⟩-לכן ∞ Ωאינה נוצרת סופית.
.2אפשר להוכיח זאת בעזרת שיקולי עוצמה .כל חבורה נוצרת סופית היא סופית או
בת מנייה )אוסף המילים הסופיות על אלפבית סופי הוא בן מנייה( ,ואילו )M3 (R
אינה בת מניה.
.3נניח בשלילה כי
}
)k
( )kn
a1 1
an
...
∀1 ≤ i ≤ n, ki ∈ Z
b1
bn
({
⟩
=
an
a1
,...,
b1
bn
⟨
∗
= Q
אז קל לראות שהגורמים הראשוניים במכנה של כל איבר מוגבלים לקבוצת
הגורמים הראשוניים שמופיעים בפירוק של המכפלה .b1 · · · bnאך זו קבוצה
סופית ,ולכן לא ניתן לקבל את כל השברים ב ,Q∗ -כלומר סתירה.
19
8החבורה הסימטרית )על קצה המזלג(
הגדרה .8.1החבורה הסימטרית מדרגה nהיא
}Sn = {σ : {1, 2, . . . , n} → {1, 2, . . . , n} | σ is bijective
זהו אוסף כל ההעתקות החח”ע ועל מהקבוצה } {1, 2, . . . , nלעצמה ,ובמילים אחרות –
אוסף כל שינויי הסדר של המספרים } Sn .{1, 2, . . . , nהיא חבורה ,כאשר הפעולה
היא הרכבת פונקציות .איבר היחידה הוא פונקציית הזהות .כל איבר של Snנקרא
תמורה.
הערה ) 8.2אם יש זמן( .החבורה Snהיא בדיוק חבורת ההפיכים במונואיד X Xעם
פעולת ההרכבה ,כאשר }.X = {1, 2, . . . , n
דוגמה .8.3ניקח לדוגמה את .S3איבר σ ∈ S3הוא מהצורה σ (2) = j ,σ (1) = i
ו ,σ (3) = k-כאשר } i, j, k ∈ {1, 2, 3שונים זה מזה .נסמן בקיצור
(
)
1 2 3
=σ
i j k
נכתוב במפורש את האיברים ב:S3 -
)
(
1 2 3
= .id
.1
1 2 3
(
)
1 2 3
= .τ
.2
2 1 3
(
)
1 2 3
= .σ
.3
2 3 1
)
(
1 2 3
2
= .σ = σ ◦ σ
.4
3 1 2
(
)
1 2 3
= .στ = σ ◦ τ
.5
3 2 1
(
)
1 2 3
= .τ σ = τ ◦ σ
.6
1 3 2
מסקנה .8.4נשים לב ש S3 -אינה אבלית ,כי .στ ̸= τ σמכאן גם קל לראות ש Sn -אינה
ציקלית לכל ,n ≥ 3כי היא לא אבלית.
20
הערה .8.5הסדר הוא ! .|Sn | = nאכן ,מספר האפשרויות לבחור את ) σ (1הוא ;n
אחר כך ,מספר האפשרויות לבחור את ) σ (2הוא ;n − 1כך ממשיכים ,עד שמספר
האפשרויות לבחור את ) σ (nהוא ,1האיבר האחרון שלא בחרנו .בסך הכל|Sn | = ,
!.n · (n − 1) · · · 1 = n
הגדרה .8.6מחזור )או עגיל( ב Sn -הוא תמורה המציינת מעגל אחד של החלפות של
מספרים שונים) a1 7→ a2 7→ a3 7→ · · · 7→ ak 7→ a1 :ושאר המספרים נשלחים לעצמם(.
כותבים את התמורה הזו בקיצור ) .(a1 a2 . . . akהאורך של המחזור ) (a1 a2 . . . ak
הוא .k
(
)
1 2 3 4 5
.
דוגמה .8.7ב ,S5 -המחזור ) (4 5 2מציין את התמורה
1 4 3 5 2
משפט .8.8כל תמורה ניתנת לכתיבה באופן יחיד כהרכבת מחזורים זרים ,כאשר הכוונה
ב”מחזורים זרים” היא מחזורים שאין לאף זוג מהם איבר משותף.
הערה .8.9שימו לב שמחזורים זרים מתחלפים זה עם זה )מדוע?( ,ולכן חישובים עם
מחזורים יהיו לעיתים קלים יותר מאשר חישובים עם התמורה עצמה.
(
)
1 2 3 4 5 6 7
= .σכדי
דוגמה .8.10נסתכל על התמורה הבאה ב:S7 -
4 7 3 1 5 2 6
לכתוב אותה כמכפלת מחזורים זרים ,לוקחים מספר ,ומתחילים לעבור על המחזור
המתחיל בו .למשל:
1 7→ 4 7→ 1
אז בכתיבה על ידי מחזורים יהיה לנו את המחזור ) .(1 4כעת ממשיכים כך ,ומתחילים
ממספר אחר:
2 7→ 7 7→ 6 7→ 2
אז נקבל את המחזור ) (2 7 6בכתיבה .נשים לב ששאר המספרים הולכים לעצמם,
כלומר ,5 7→ 5 ,3 7→ 3ולכן
)σ = (1 4) (2 7 6
נחשב את .σ 2אפשר ללכת לפי ההגדרה ,לעבור על כל מספר ולבדוק לאן σ 2תשלח
אותו; אבל ,כיוון שמחזורים זרים מתחלפים ,נקבל
)σ 2 = ((1 4) (2 7 6))2 = (1 4)2 (2 7 6)2 = (2 6 7
תרגיל .8.11יהי σ ∈ Snמחזור מאורך .kמהו )?o (σ
פתרון .נסמן ) .σ = (a0 a1 . . . ak−1נוכיח כי .o (σ) = k
21
מתקיים ש) σ k (a0 ) = ai mod k -שימו לב ,האינדקס מודולו kמאפשר לנו לעבוד
בטווח } .({0, 1, . . . , k − 1ראשית ,ברור כי :σ k = idלכל aiמתקיים
σ k (ai ) = σ k−1 (ai+1 ) = · · · = σ (ai−1 ) = ai
ולכל ) σ k (m) = m ,m ̸= aiכי .(σ (m) = mנותר להוכיח מינימליות .אבל אם
,l < kאז ,σ l (a0 ) = al ̸= a0כלומר .σ l ̸= id
8.1סימן של תמורה
הגדרה .8.12יהי σמחזור מאורך ,kאזי הסימן שלו מוגדר להיות:
sign (σ) = (−1)k−1
עבור תמורות τ, σ ∈ Snנגדיר
) sign (στ ) = sign (σ) sign (τ
תכונה זו מאפשרת לחשב את הסימן של כל תמורה ב .Sn -יש דרכים שקולות אחרות
להגדיר סימן של תמורה.
נקרא לתמורה שסימנה 1בשם תמורה זוגית ולתמורה שסימנה −1בשם תמורה אי
זוגית.
דוגמה ) .8.13נקודה חשובה ומאוד מבלבלת(
.1החילוף ) (35הוא תמורה אי זוגית.
.2התמורה הריקה היא תמורה זוגית.
.3מחזור מאורך אי זוגי הוא תמורה זוגית.
הגדרה .8.14חבורת החילופין )חבורת התמורות הזוגיות( Anהיא תת־החבורה הבאה
של :Sn
}An = {σ ∈ Sn | sign (σ) = 1
הערה .8.15הסדר של Anהינו
!n
2
= | .|An
דוגמה .A3 = {id, (123) , (132)} .8.16
נשים לב כי ⟩) A3 = ⟨(123כלומר A3ציקלית.
22
9מחלקות שמאליות וימניות
הגדרה .9.1תהי Gחבורה ,ותהי .H ≤ Gלכל a ∈ Gנגדיר מחלקות ):(cosets
.1המחלקה השמאלית של aביחס ל H-היא הקבוצה }.aH = {ah | h ∈ H
.2המחלקה הימנית של aביחס ל H-היא הקבוצה }.Ha = {ha | h ∈ H
את אוסף המחלקות השמאליות ביחס ל H-נסמן ב.G/H-
)למה זה בכלל מעניין להגדיר אוסף זה? בתרגול הבא נראה שכאשר Hתת־חבורה
”מספיק טובה” )נקראת נורמלית( ,אז אוסף המחלקות יחד עם פעולה שמושרית מG-
יוצרים חבורה(.
הערה .9.2עבור איבר היחידה eתמיד מתקיים .eH = H = He
אם החבורה Gהיא אבלית ,אז המחלקה השמאלית של aביחס ל H-שווה למחלקה
הימנית:
aH = {ah | h ∈ H} = {ha | h ∈ H} = Ha
דוגמה .9.3ניקח את ) ,G = (Z, +ונסתכל על המחלקות השמאליות של :H = 5Z
} H = {. . . , −10, −5, 0, 5, 10, . . .
} {. . . , −9, −4, 1, 6, 11, . . .
} {. . . , −8, −3, 2, 7, 12, . . .
} {. . . , −7, −2, 3, 8, 13, . . .
} {. . . , −6, −1, 4, 9, 14, . . .
{. . . , −5, 0, 5, 10, 15, . . . } = H
1+H
2+H
=
=
=
=
=
=
=
=
0+H
1+H
2+H
3+H
4+H
5+H
6+H
7+H
וכן הלאה .בסך הכל ,יש חמש מחלקות שמאליות של 5Zב ,Z-וכן
}Z/5Z = {H, 1 + H, 2 + H, 3 + H, 4 + H
תרגיל .9.4תנו דוגמה לחבורה ,Gתת־חבורה Hואיבר a ∈ Gכך ש.aH ̸= Ha-
פתרון .חייבים לבחור חבורה Gשאינה אבלית .נבחר ,G = S3את = ⟩)H = ⟨(1 2
}) {id, (1 2ואת ) .a = (1 3מתקיים
})(1 3) H = {(1 3) , (1 2 3
})H (1 3) = {(1 3) , (1 3 2
23
נמשיך ונחשב את :G/Hהמחלקות השמאליות הן
id H = {id, (1 2)} = (1 2) H
(1 3) H = {(1 3) , (1 2 3)} = (1 2 3) H
(2 3) H = {(2 3) , (1 3 2)} = (1 3 2) H
כלומר } .G/H = {H, (1 3) H, (2 3) Hנשים לב שאיחוד כל המחלקות הוא ,Gוזהו
איחוד זר.
1
n
דוגמה אחרת )אם יש זמן( :נבחר ) ,G = GL2 (Qותהי }H = {( 0 1 ) : n ∈ Z
תת־חבורה של .Gנבחר ) ,g = ( 50 01ונחשב
({
()
)
({ }
)
}
5 0
1 n
5 5n
= gH
= :n∈Z
:n∈Z
0 1
0 1
0 1
({
()
)
({ }
)
}
1 n
5 0
5 n
= Hg
= :n∈Z
:n∈Z
0 1
0 1
0 1
וקל לראות כי לא רק ש ,gH ̸= Hg-אלא גם .gH ⊊ Hg
הערה .9.5המחלקות הם חלוקה של ,Gדהיינו G = ∪aHושתי מחלקות aH, bHהן
או שוות aH = bHאו זרות ∅ = .aH ∩ bH
ולכן עומד מאחוריהן יח”ש ו G/Hהוא בעצם קבוצת המנה.
מהו יחס השקילות?\מתי שתי מחלקות הן שוות?
aH = bH ⇐⇒ ab−1 ∈ H
⇐⇒ ∃h ∈ H , a = bh
הגדרה .9.6מספר המחלקות )השמאליות( של Hב G-נקרא האינדקס )השמאלי( של
Hב G-ומסומן ] .[G : Hלמעשה ].|G/H| = [G : H
ככל שהאינדקס קטן יותר ,כך תת־החבורה Hגדולה יותר .בפרט[G : H] = 1 ,
אם ורק אם .H = G
הערה .9.7ישנה התאמה חח”ע ועל בין מחלקות שמאליות של H ≤ Gובין מחלקות
ימניות לפי .gH 7→ Hg −1ניתן להבין התאמה זאת מכך שכל חבורה סגורה להופכי:
.H −1 = Hנחשב
{
{ }
{ }
}
gH 7→ (gH)−1 = (gh)−1 : h ∈ H = h−1 g −1 : h ∈ H = kg −1 : k ∈ H = Hg −1
בפרט קיבלנו שמספר המחלקות השמאליות שווה למספר המחלקות הימניות .לכן אין
הבדל בין האינדקס השמאלי לבין האינדקס הימני של תת־חבורה ,ופשוט נקרא לו
האינדקס .בתרגיל הבית תדרשו להתאמה .gH 7→ Hg
24
תרגיל .9.8מצאו חבורה Gותת־חבורה Hכך ש.[G : H] = ∞-
פתרון .נביא שתי דוגמאות:
.1נבחר G = Z × Zואת } .H = Z × {0יהיו a, b ∈ Zשונים .אז
(0, a) + H = {(n, a) : n ∈ Z} ̸= {(n, b) : n ∈ Z} = (0, b) + H
ולכן .[G : H] = ℵ0
.2נבחר G = R × Rואת } ,H = R × {0ואז מתקיים .[G : H] = ℵכנ”ל עם
.K = Q × {0} ≤ H
10משפט לגראנז’ ושימושים
משפט ) 10.1משפט לגראנז’( .תהי Gחבורה ו .H ≤ G-אז |.|G| = [G : H] |H
הערה .10.2המשפט נכון עבור חשבון עוצמות .במקרה שהחבורה Gהיא סופית נקבל
||G
| ,[G : H] = |Hכלומר הסדר של תת־החבורה Hמחלק את סדר החבורה .G
בפרט ,מכיוון ואנו יודעים כי |⟩ o(a) = |⟨aלכל ,a ∈ Gנקבל שהסדר של כל איבר
מחלק את סדר החבורה.
תרגיל .10.3תהא Gחבורה מסדר .8הוכיחו:
.1אם Gהיא ציקלית ,אז קיימת תת־חבורה של Gמסדר ) 4למה ברור כי
תת־החבורה ציקלית?(.
.2אם Gלא אבלית ,אז קיימת תת־חבורה ציקלית של Gמסדר ) 4כאן הציקליות
של תת־החבורה לא ברורה מיידית(.
.3מצאו דוגמה נגדית לסעיף הקודם אם Gאבלית.
פתרון .אם יש זמן בכיתה ,נוכל לספר שיש בדיוק חמש חבורות מסדר 8עד כדי
איזומורפיזם )ואפילו מכל סדר p3עבור pראשוני( .בפתרון לא נשתמש במיון זה.
.1נניח ⟩ G = ⟨gציקלית מסדר 8עם יוצר .gאזי קיימת תת־החבורה הציקלית
שנוצרת על ידי } .⟨g 2 ⟩ = {e, g 2 , g 4 , g 6
25
.2תהא Gחבורה לא אבלית .לפי משפט לגראנז’ ,הסדר של כל איבר בחבורה סופית
מחלק את סדר החבורה .לכן הסדרים האפשריים היחידים בחבורה מסדר 8הם
4 ,2 ,1או ) 8לא בהכרח כל הסדרים משתתפים(.
יש רק איבר אחד מסדר 1והוא איבר היחידה .לא ייתכן כי כל שאר האיברים
הם מסדר ,2שכן לפי תרגיל שראינו נקבל כי Gאבלית .אין בחבורה איבר
מסדר ,8שכן אז היא תהיה ציקלית ,וכל חבורה ציקלית היא אבלית .מכאן קיים
איבר ,נאמר ,a ∈ Gשהוא מסדר .4הסדר של איבר הוא הסדר של תת־החבורה
הציקלית } {e, a, a2 , a3שהוא יוצר.
.3במקרה זה Gלא יכולה להיות ציקלית .נבחר את .Z2 × Z2 × Z2אפשר
לבדוק שהסדר של כל איבר בחבורה זו הוא ,2פרט לאיבר היחידה .לכן אין לה
תת־חבורה ציקלית מסדר .4
תרגיל ) 10.4אם יש זמן( .הכלילו את התרגיל האחרון :תהא Gחבורה לא אבלית מסדר
2tעבור .t > 2אזי קיימת ב G-תת־חבורה ציקלית מסדר .4
פתרון .באופן דומה לשאלה האחרונה ,הסדרים האפשריים היחידים בחבורה מסדר 2t
)כאשר (t > 2הם רק מן הצורה 2kעבור } .k ∈ {0, 1, 2, . . . , tישנו רק איבר אחד
מסדר .1הסדר של כל שאר האיברים לא יכול להיות ,2כי אז Gאבלית .אין איבר
מסדר ,2tשכן אז החבורה ציקלית ולכן אבלית .לכן קיים איבר ,נאמר ,a ∈ Gכך
ש.o(a) = 2k > 2-
נתבונן בתת־החבורה ⟩ ⟨aונבחר את האיבר .ak−2מתקיים
2k
=4
) (2k , 2k−2
=)
k−2
o(a2
וקיבלנו שזהו האיבר שיוצר את תת־החבורה הציקלית הדרושה מסדר .4
תרגיל .10.5הוכיחו שחבורה סופית היא מסדר זוגי אם ורק אם קיים בה איבר מסדר
.2
פתרון .הכיוון )⇒( הוא לפי לגראנז’ ,שכן הסדר של האיבר מסדר 2מחלק את סדר
החבורה.
את הכיוון )⇐( עשיתם בתרגיל בית.
כמסקנה מהתרגיל האחרון קיבלנו שבחבורה מסדר זוגי יש מספר אי זוגי של איברים
מסדר .2
מסקנה .10.6נזכר בטענה ש o(a)|m-אם ורק אם .am = eכעת אפשר להסיק שלכל
איבר aבחבורה סופית Gמתקיים .a|G| = e
משפט ) 10.7משפט אוילר .(2לכל a ∈ Unמתקיים ).aφ(n) ≡ 1 (mod n
26
דוגמה .10.8יהי pמספר ראשוני ,ויהי .a ∈ Upמתקיים φ(p) = p − 1ולכן ap−1 ≡ 1
) .(mod pזהו למעשה משפט פרמה הקטן.
)העשרה אם יש זמן :פונקציית קרמייקל ) λ(n) (Carmichaelמוגדרת להיות
המספר הטבעי mהקטן ביותר כך ש am ≡ 1 (mod n)-לכל aשזר ל .n-ממשפט
לגראנז’ נקבל ) .λ(n)|φ(nנסו למצוא דרך לחשב את ) ,λ(nומתי )(.λ(n) ̸= φ(n
תרגיל .10.9מצאו את שתי הספרות האחרונות של .882114039 + 2015
פתרון .אנו נדרשים למצוא את הביטוי מודולו ,100כלומר מספיק לחשב את
)(mod 100
882114039 + 2015 ≡ 114039 + 15
אנו יודעים כי ,φ(100) = 40ולפי משפט אוילר נקבל
)(mod 100
114039 ≡ 11100·40 1139 ≡ 11−1
ואנו יודעים כי יש הופכי כפלי ל 11-מודולו 100מפני שהם זרים .אנו מחפשים פתרון
למשוואה ) 11x ≡ 1 (mod 100שקיים אם ורק אם קיים k ∈ Zכך ש.100k+11x = 1-
אפשר למצוא פתרון למשוואה בעזרת אלגוריתם אוקלידס המורחב .נביע את )(100, 11
כצירוף לינארי שלהם:
(11, 1) = 1
100=9·11+1
=
)(100, 11
כלומר ,1 = 1 · 100 − 9 · 11ולכן ) .k = −9 ≡ 91 (mod 100קיבלנו
)882114039 + 2015 ≡ 11−1 + 15 ≡ 6 (mod 100
ולכן שתי הספרות האחרונות הן .06
שאלה .10.10ראינו מסקנה ממשפט לגרנז :עבור חבורה סופית Gואיבר g ∈ G
מתקיים | .o(g)| |Gהאם הכיוון ההפוך נכון?
כלומר ,אם |G| = nו k|n-אז האם יש איבר a ∈ Gמסדר ?kלא!
דוגמא נגדית היא ,G = Z4 × Z4אמנם |G| = 16ו 8|16-אבל אין איבר מסדר !8
הערה .10.11נעיר שבחבורה ציקלית סופית ⟩ G = ⟨aזה כן מתקיים בעזרת נוסחת
n
הקסם שראינו
= ) ) o(atכאשר nזה סדר החבורה(.
)(n, t
27
11
חבורות מוצגות סופית
בהרצאה ראיתם דרך לכתיבה של חבורות שנקראת ”יצוג על ידי יוצרים ויחסים” .בהנתן
יצוג
⟩G = ⟨X | R
נאמר ש G-נוצרת על ידי הקבוצה Xשל היוצרים עם קבוצת היחסים .Rכלומר כל
איבר בחבורה Gניתן לכתיבה )לאו דווקא יחידה( כמילה סופית ביוצרים והופכיהם,
ושכל אחד מן היחסים הוא מילה ששווה לאיבר היחידה.
דוגמה .11.1יצוג של חבורה ציקלית מסדר nהוא
∼ Zn
⟩ = ⟨x | xn
כל איבר הוא חזקה של היוצר ,xושכאשר רואים את תת־המילה xnאפשר להחליף
אותה ביחידה .לנוחות ,בדרך כלל קבוצת היחסים תכתב עם שיוויונות ,למשל .xn = e
באופן דומה ,החבורה הציקלית האינסופית ניתנת ליצוג
∼Z
⟩∅ | = ⟨x
ובדרך כלל משמיטים את קבוצת היחסים אם היא ריקה.
ודאו שאתם מבינים את ההבדל בין החבורות הלא איזומורפיות
∼Z×Z
∼ F2
= ⟨x, y | xy = yx⟩ ,
⟩∅ | = ⟨x, y
הגדרה .11.2ראינו שחבורה שיש לה קבוצת יוצרים סופית נקראת חבורה נוצרת סופית.
אם לחבורה יש יצוג שבו גם קבוצת היוצרים סופית וגם קבוצת היחסים סופית ,נאמר
שהחבורה מוצגת סופית ).(finitely presented
דוגמה .11.3כל חבורה ציקלית היא מוצגת סופית ,וראינו מה הם היצוגים המתאימים.
כל חבורה סופית היא מוצגת סופית )זה לא טריוויאלי( .נסו למצוא חבורה נוצרת סופית
שאינה מוצגת סופית )זה לא כל כך קל(.
11.1החבורה הדיהדרלית
הגדרה .11.4עבור מספר טבעי ,nהקבוצה Dnשל סיבובים ושיקופים המעתיקים מצולע
משוכלל בין nצלעות על עצמו ,היא החבורה הדיהדרלית מדרגה ,nיחד עם הפעולת של
הרכבת פונקציות.
מיוונית ,פירוש השם ”די-הדרה” הוא שתי פאות ,ומשה ירדן הציע במילונו את השם
חבורת הפאתיים ל.Dn -
2π
אם σהוא סיבוב ב n -ו τ -הוא שיקוף סביב ציר סימטריה כלשהו ,אז יצוג סופי
מקובל של Dnהוא
n
⟩
⟨
Dn = σ, τ σ = τ 2 = id, στ = τ σ −1
28
הערה ) 11.5אם יש זמן( .פונקציה α : R2 → R2שהיא חח”ע ועל ושומרת מרחק
)כלומר )) (d(x, y) = d(α(x), α(yנקראת איזומטריה .אוסף האיזומטריות עם הפעולה
של הרכבת פונקציות הוא חבורה .תהי L ⊆ R2קבוצה כך שעבור איזומטריה α
מתקיים .α(L) = Lבמקרה זה αנקראת סימטריה של .Lאוסף הסימטריות של
Lהוא תת־חבורה של האיזומטריות .החבורה Dnהיא בדיוק אוסף הסימטריות של
מצולע משוכלל בן nצלעות.
דוגמה .11.6החבורה D3נוצרת על ידי סיבוב σשל ◦ 120ועל ידי שיקוף ,τכך
שמתקיימים היחסים הבאים בין היוצרים .τ στ = σ −1 ,σ 3 = τ 2 = id :כלומר
} ) D3 = {id, σ, σ 2 , τ, τ σ, τ σ 2להדגים עם משולש מה עושה כל איבר ,וכנ”ל עבור .(D5
מה לגבי האיבר ?στ ∈ D3הוא מופיע ברשימת האיברים תחת שם אחר ,שכן
τ στ = σ −1
στ = τ −1 σ −1 = τ σ 2
לכן .στ = τ σ 2כך גם הראנו כי D3אינה אבלית.
סיכום .11.7איברי Dnהם
{
}
id, σ, σ 2 , . . . , σ n−1 , τ, τ σ, τ σ 2 , . . . , τ σ n−1
בפרט נקבל כי |Dn | = 2nושעבור n > 2החבורה אינה אבלית כי ) .τ σ ̸= στלמי
∼ ,D3אבל עבור n > 3החבורות
שכבר מכיר איזומורפיזמים ודאו שאתם מבינים כי = S3
Dnו Sn -אינן איזומורפיות(.
12
תת־חבורות נורמליות
הגדרה .12.1תת־חבורה H ≤ Gנקראת תת־חבורה נורמלית אם לכל g ∈ Gמתקיים
.gH = Hgבמקרה זה נסמן .H ◁ G
משפט .12.2תהי תת־חבורה .H ≤ Gהתנאים הבאים שקולים:
.H ◁ G .1
.2לכל g ∈ Gמתקיים .g −1 Hg = H
.3לכל g ∈ Gמתקיים .g −1 Hg ⊆ H
H .4היא גרעין של הומומורפיזם )שהתחום שלו הוא .(G
29
הוכחה חלקית .קל לראות כי סעיף 1שקול לסעיף .2ברור כי סעיף 2גורר את סעיף ,3
ובכיוון השני נשים לב כי אם g −1 Hg ⊆ Hוגם gHg −1 ⊆ Hנקבל כי
H = gg −1 Hgg −1 ⊆ g −1 Hg ⊆ H
קל להוכיח שסעיף 4גורר את האחרים ,ובכיוון השני יש צורך בהגדרת חבורות מנה.
דוגמה .12.3אם Gחבורה אבלית ,אז כל תת־החבורות שלה הן נורמליות .הרי אם
,h ∈ H ≤ Gאז .g −1 hg = h ∈ Hההפך לא נכון .ברמת האיברים נורמליות לא
שקולה לכך ש !gh = hg-זה אומר ש) gh = h′ g -חילופיות עם ”מס מעבר”(.
דוגמה .12.4מתקיים ) .SLn (F ) ◁ GLn (Fאפשר לראות זאת לפי הצמדה .יהי
) ,A ∈ SLn (Fאז לכל ) g ∈ GLn (Fמתקיים
det(g −1 Ag) = det(g −1 ) det(A) det(g) = det(g)−1 · 1 · det(g) = 1
ולכן ) .g −1 Ag ∈ SLn (Fדרך אחרת להוכחה היא לשים לב כי ) SLn (Fהיא הגרעין
של ההומומורפיזם ∗ .det : GLn (F ) → F
דוגמה H = ⟨(1 2)⟩ ≤ S3 .12.5אינה תת־חבורה נורמלית ,כי כבר ראינו ≠ (1 3) H
).H (1 3
דוגמה .12.6עבור ,n ≥ 3תת־החבורה ⟨τ ⟩ ≤ Dnאינה נורמלית כי .σ ⟨τ ⟩ ̸= ⟨τ ⟩ σ
טענה .12.7תהי H ≤ Gתת־חבורה מאינדקס .2אזי .H ◁ G
הוכחה .אנו יודעים כי יש רק שתי מחלקות שמאליות של Hבתוך ,Gורק שתי מחלקות
∈ ,aאז המחלקה השמאלית האחרת
ימניות .אחת מן המחלקות היא .Hאם איבר / H
היא ,aHוהמחלקה הימנית האחרת היא .Haמכיוון ש G-היא איחוד של המחלקות
נקבל
H ∪ aH = G = H ∪ Ha
ומפני שהאיחוד בכל אגף הוא זר נקבל .aH = Ha
מסקנה .12.8מתקיים ⟨σ⟩ ◁ Dnכי לפי משפט לגראנז’ = 2
דומה An ◁ Sn ,כי
!n
= ] [Sn : An
=2
n!/2
2n
n
= ]⟩ .[Dn : ⟨σבאופן
הערה .12.9אם K ≤ H ≤ Gוגם ,K ◁ Gאז בוודאי .K ◁ Hההפך לא נכון .אם
K ◁ Hוגם ,H ◁ Gאז לא בהכרח !K ◁ Gלמשל ⟨τ ⟩ ◁ ⟨τ, σ 2 ⟩ ◁ D4לפי הטענה
הקודמת ,אבל ראינו כי ⟩ ⟨τלא נורמלית ב.D4 -
תרגיל ) 12.10לבית( .לכל חבורה מסדר 8יש תת־חבורה נורמלית לא טריוויאלית )מצאו
תת־חבורה מאינדקס .(2
30
13הומומורפיזמים
הגדרה .13.1תהינה )∗ (H, •) ,(G,חבורות .העתקה f : G → Hתקרא הומומורפיזם
של חבורות אם מתקיים
)f (x ∗ y) = f (x) • f (y
∀x, y ∈ G,
נכין מילון קצר לסוגים שונים של הומומורפיזמים:
.1הומומורפיזם שהוא חח”ע נקרא מונומורפיזם או שיכון .נאמר כי Gמשוכנת בH-
אם קיים שיכון .f : G ,→ H
.2הומומורפיזם שהוא על נקרא אפימורפיזם .נאמר כי Hהיא תמונה אפימורפית
של Gאם קיים אפימורפיזם .f : G ↠ H
.3הומומורפיזם שהוא חח”ע ועל נקרא איזומורפיזם .נאמר כי Gו H-איזומורפיות
∼ .G
אם קיים איזומורפיזם .f : G → Hנסמן זאת = H
.4איזומורפיזם f : G → Gנקרא אוטומורפיזם של .G
.5בכיתה נקצר את השמות של הומומורפיזם ,מונומורפיזם ,אפימורפיזם ,איזומורפיזם
ואוטומורפיזם להומ’ ,מונו’ ,אפי’ ,איזו’ ואוטו’ ,בהתאמה.
הערה .13.2העתקה f : G → Hהיא איזומורפיזם אם ורק אם קיימת העתקה g :
H → Gכך ש f ◦ g = idH -וגם .g ◦ f = idG
אפשר להוכיח )נסו!( שההעתקה gהזו היא הומומורפיזם בעצמה .כלומר כדי
להוכיח שהומומורפיזם fהוא איזומורפיזם מספיק למצוא העתקה הפוכה .g = f −1
אפשר גם לראות שאיזומורפיזם הוא יחס שקילות.
תרגיל .13.3הנה רשימה של כמה העתקות בין חבורות .קבעו האם הן הומומורפיזמים,
ואם כן מהו סוגן:
φ : R → R∗ .1המוגדרת לפי x 7→ exהיא מונומורפיזם .מה היה קורה אם היינו
מחליפים למרוכבים?
.2יהי Fשדה .אז ∗ det : GLn (F ) → Fהיא אפימורפיזם .הרי
)det(AB) = det(A) det(B
וכדי להוכיח שההעתקה על אפשר להסתכל על מטריצה אלכסונית עם ערכים
) (x, 1, . . . , 1באלכסון.
31
φ : R → R∗ .3המוגדרת לפי x 7→ xאינה הומומורפיזם כלל.
φ : Z2 → Ω2 .4המוגדרת לפי 1 7→ −1 ,0 7→ 1היא איזומורפיזם .הראתם
בתרגיל בית שכל החבורות מסדר 2הן למעשה איזומורפיות.
העובדה שהעתקה f : G → Hהיא הומומורפיזם גוררת אחריה כמה תכונות מאוד
נוחות:
.f (eG ) = eH .1
f (g n ) = f (g)n .2לכל .n ∈ Z
,f (g −1 ) = f (g)−1 .3כמקרה פרטי של הסעיף הקודם.
.4הגרעין של ,fכלומר } ,ker f = {g ∈ G : f (g) = eHהוא תת־חבורה נורמלית
של .G
.5התמונה של ,fכלומר } ,im f = {f (g) : g ∈ Gהיא תת־חבורה של .H
∼ ,Gאז |.|G| = |H
.6אם = H
תרגיל .13.4יהי f : G → Hהומומורפיזם .הוכיחו כי לכל g ∈ Gמסדר סופי מתקיים
).o(f (g))|o(g
הוכחה .נסמן ) .n = o(gלפי הגדרה .g n = eGנפעיל את fעל המשוואה ונקבל
) f (g n ) = f (g)n = eH = f (eG
ולכן .o(f (g))|n
תרגיל .13.5האם כל שתי חבורות מסדר 4הן איזומורפיות?
פתרון .לא! נבחר G = Z2 × Z2ואת .H = Z4נשים לב כי ב H-יש איבר מסדר
.4אילו היה איזומורפיזם ,f : G → Hאז הסדר של האיבר מסדר 4היה מחלק את
הסדר של המקור שלו .בחבורה Gכל האיברים מסדר 1או ,2לכן הדבר לא יתכן,
ולכן החבורות לא איזומורפיות.
באופן כללי ,איזומורפיזם שומר על סדר האיברים ,ולכן בחבורות איזומורפיות
הרשימות של סדרי האיברים בחבורות ,הן שוות.
טענה ) 13.6לבית( .יהי f : G → Hהומומורפיזם .הוכיחו שאם Gאבלית ,אז im f
∼ ,Gאז Gאבלית אם ורק אם Hאבלית.
אבלית .הסיקו שאם = H
תרגיל .13.7יהי f : G → Hהומומורפיזם .הוכיחו שאם Gציקלית ,אז im fציקלית.
32
הוכחה .נניח ⟩ .G = ⟨aנטען כי ⟩) .im f = ⟨f (aיהי x ∈ im fאיבר כלשהו .לכן יש
איבר g ∈ Gכך ש) f (g) = x-כי im fהיא תמונה אפימורפית של .(Gמפני שG-
ציקלית קיים k ∈ Zכך ש .g = ak -לכן
x = f (g) = f (ak ) = f (a)k
וקיבלנו כי ⟩) ,x ∈ ⟨f (aכלומר כל איבר בתמונה הוא חזקה של ) .f (aהסיקו שכל
החבורות הציקליות מסדר מסוים הן איזומורפיות.
תרגיל .13.8האם קיים איזומורפיזם ?f : S3 → Z6
פתרון .לא ,כי S3לא אבלית ואילו Z6כן.
תרגיל .13.9האם קיים איזומורפיזם )?f : (Q+ , ·) → (Q, +
פתרון .לא .נניח בשלילה כי fהוא אכן איזומורפיזם .לכן ) .f (a2 ) = f (a) + f (aנסמן
) ,c = f (3ונשים לב כי .c = 2c + 2cמפני ש f -היא על ,אז יש מקור ל 2c -ונסמן אותו
.f (x) = 2c
קיבלנו אפוא את המשוואה
)f (x2 ) = f (x) + f (x) = c = f (3
√
∈. 3
ומפני ש f -היא חח”ע ,קיבלנו .x2 = 3אך זו סתירה כי / Q
תרגיל .13.10האם קיים אפימורפיזם f : H → Z3 × Z3כאשר ∗?H = ⟨5⟩ ≤ R
פתרון .לא .נניח בשלילה שקיים fכזה .מפני ש H-היא ציקלית ,אז גם im fהיא
ציקלית .אבל fהיא על ,ולכן נקבל כי .im f = Z3 × Z3אך זו סתירה כי החבורה
Z3 × Z3אינה ציקלית.
תרגיל .13.11האם קיים מונומורפיזם ?f : GL2 (Q) → Q10
פתרון .לא .נניח בשלילה שקיים fכזה .נתבונן בצמצום ,f : GL2 (Q) → im fשהוא
איזומורפיזם )להדגיש כי זהו אפימורפיזם ומפני ש f -חח”ע ,אז fהיא איזומורפיזם(.
ידוע לנו כי ,im f ≤ Q10ולכן im fאבלית .כלומר גם ) GL2 (Qאבלית ,שזו סתירה.
מסקנה .יתכנו ארבע הפרכות ברצף.
תרגיל .13.12מתי ההעתקה i : G → Gהמוגדרת לפי i(g) = g −1היא אוטומורפיזם?
פתרון .ברור שההעתקה הזו מחבורה לעצמה היא חח”ע ועל .כעת נשאר לבדוק שהיא
שומרת על הפעולה )כלומר הומומורפיזם( .יהיו g, h ∈ Gונשים לב כי
)i(gh) = (gh)−1 = h−1 g −1 = i(h)i(g) = i(hg
וזה יתקיים אם ורק אם .gh = hgכלומר iהיא אוטומורפיזם אם ורק אם Gאבלית.
כהערת אגב ,השם של ההעתקה נבחר כדי לסמן .inversion
33
14
חבורות מנה
הגדרה .14.1נוכל להגדיר על G/Hמבנה של חבורה ע”י (Ha) (Hb) = Habאם ורק
אם Hהיא תת־חבורה נורמלית .במקרה זה ,זוהי חבורת המנה.
איבר היחידה הוא המחלקה Hכי .(Ha)H = H(Ha) = Ha
∼ }Z/nZ = {nZ, 1 + nZ, . . . , n − 1 + nZ
דוגמה .14.2
.1כבר )כמעט( השתכנענו ש=-
.Zn
∼ .G/G
∼ }= {e} , G/{e
= G .2
∼
⟨σ⟩ ◁ Dn .3ראינו שזה מאינדקס 2ולכן = Z2
⟩.⟨σ⟩ τ ⟨σ⟩ τ = ⟨σ⟩ τ τ = ⟨σ
⟩Dn/⟨σ
= } .{⟨σ⟩ , ⟨σ⟩ τאמנם:
H = R × {0} ◁ R2 .4נתאר את המנה
{
}
∼ }}= (a, b) + H (a, b) ∈ R2 = {(0, b) + H | b ∈ R} = {R × {b
=R
R2/H
אלו אוסף ישרים המקבילים לציר ה.X-
H = ⟨(1, 1)⟩ ◁ Z4 × Z4 .5נתאר את המנה
{
}
∼ }Z4 ×Z4/H = (a, b) + H (a, b) ∈ Z2 = {(a′ , 0) + H | a′ = 0, 1, 2, 3
= Z4
4
תרגיל .14.3אם Gאבלית ו H ≤ Gאזי G/Hחבורה אבלית .מה לגבי הכיוון ההפוך?
פתרון .קודם כל נעיר שמכיוון ש Gאבלית Hבהכרח נורמלית ולכן המנה היא באמת
חבורה.
צריך להוכיח ,HaHb = HbHaובאמת HaHb = Hab = Hba = HbHaכי G
אבלית.
הכיוון ההפוך לא נכון .עבור ⟨σ⟩ ◁ Dnראינו שהמנה Z2היא אבלית ,וגם
תת־החבורה הנורמלית ⟩ ⟨σאבלית ,אבל Dnלא אבלית.
תרגיל .14.4אם Gציקלית ו H ≤ G-אז G/Hציקלית .מה לגבי הכיוון ההפוך?
תרגיל .14.5תהי Gחבורה )לאו דווקא סופית( ,ותהי H ◁ Gכך ש.[G : H] = n < ∞-
הוכיחו כי לכל a ∈ Gמתקיים כי .an ∈ H
פתרון .נזכיר כי אחת מן המסקנות מלגראנז’ היא שבחבורה סופית Gמתקיים לכל
g ∈ Gכי .g |G| = e
יהי ,a ∈ Gאזי .aH ∈ G/Hידוע לנו כי .|G/H| = nולכן
an H = (aH)n = eG/H = H
כלומר קיבלנו .an ∈ H
34
תרגיל .14.6תהי Gחבורה סופית ו N ◁ G-המקיימת .gcd (|N | , [G : N ]) = 1
הוכיחו כי Nמכילה כל איבר של Gמסדר המחלק את | .|Nכלומר =⇐ x ∈ N
.x|N | = e
פתרון .יהי x ∈ Gכך ש.x|N | = e-
מכיוון ו gcd (|N | , [G : N ]) = 1-ניתן לרשום ] 1 = s|N | + r [G : Nואז
x = x1 = xs|N |+r[G : N ] = xr[G : N ] ∈ N
לפי התרגיל הקודם.
תרגיל .14.7תהי Gחבורה ,ויהי Tאוסף האיברים מסדר סופי ב .G-בתרגיל בית
הראתם שאם Gאבלית ,אז .T ≤ Gהוכיחו:
.1אם ) T ≤ Gלמשל אם Gאבלית( ,אז .T ◁ G
.2בנוסף ,בחבורת המנה G/Tאיבר היחידה הוא היחיד מסדר סופי.
פתרון .נתחיל עם הסעיף הראשון .יהי ,a ∈ Tונניח .o(a) = nלכל g ∈ Gמתקיים כי
( −1 )n
g ag = g −1 agg −1 ag . . . g −1 ag = g −1 an g = e
ולכן .g −1 T g ⊆ Tכלומר .T ◁ G
עבור הסעיף השני ,נניח בשלילה כי קיים איבר eG/T ̸= xT ∈ G/Tמסדר סופי
∈ .xמתקיים ,(xT )n = Tונקבל
.o(xT ) = nאיבר היחידה הוא ,eG/T = Tולכן / T
nm
n m
כי .xn ∈ Tאם xnמסדר סופי ,אז קיים mכך ש .(x ) = e-לכן ,x = eוקיבלנו
כי x ∈ Tשזו סתירה.
חבורה סופית ,אז ,T = Gוכבר ראינו ,G ◁ Gואז
דוגמאות ל :T ≤ G-אם G
∪
∼ .G/Tאם ∗ ,G = Cאז .T = Ω∞ = n Ωnכלומר כל מספר מרוכב לא אפסי
}= {e
עם ערך מוחלט השונה מ 1-הוא מסדר אינסופי.
15משפטי האיזומורפיזם של נתר
משפט ) 15.1משפט האיזומורפיזם הראשון( .יהי הומומורפיזם .f : G → Hאז
∼
= im f
)(Kerf )g 7→ f (g
G/ker f
∼ .G/ker φ
בפרט ,יהי אפימורפיזם .φ : G → Hאז = H
35
דוגמה .15.2ראינו ש det : GLn (R) → R∗ -הוא אפימורפיזם.
∼ ).GLn (R)/SLn (R
הגרעין הוא בדיוק ) SLn (Rולכן ∗= R
תרגיל .15.3תהי ,G = R × Rותהי } .H = {(x, y) ∈ R × R | y = 3xהוכיחו כי
∼ .G/H
=R
הוכחה .ראשית ,נשים לב למשמעות הגיאומטרית H :היא ישר עם שיפוע 3במישור.
נגדיר f : R × R → Rלפי ) .f (x, y) = 3x( − yודאו שזהו הומומורפיזם.
fאפימורפיזם ,כי .f x3 , 0 = xכמו כן,
ker f = {(x, y) ∈ R × R | f (x, y) = 0} = {(x, y) ∈ R × R | 3x − y = 0} = H
לפי משפט האיזומורפיזם הראשון ,נקבל את הדרוש.
∼ .R/Z
תרגיל .15.4נסמן } .T = {z ∈ C | |z| = 1זו חבורה כפלית .הוכיחו כי = T
הוכחה .נגדיר f : R → Tלפי .f (x) = e2πixזהו הומומורפיזם ,כי
)f (x + y) = e2πi(x+y) = e2πix+2πiy = e2πix · e2πiy = f (x) f (y
fהיא גם אפימורפיזם ,כי כל z ∈ Tניתן לכתוב כ e2πix -עבור x ∈ Rכלשהו .נחשב
את הגרעין:
{
}
ker f = x ∈ R e2πix = 1 = Z
לפי משפט האיזומורפיזם הראשון ,נקבל
∼
=T
R/Z
תרגיל .15.5יהי הומומורפיזם .f : Z14 → D10מה יכול להיות ?ker f
פתרון .נסמן .K = ker fמכיוון ש ,K ◁ Z14 -אז .|K| | |Z14 | = 14לכן ∈ ||K
} .{1, 2, 7, 14נבדוק עבור כל מקרה.
∼
Z
14
אם ,|K| = 1אז fהוא חח”ע וממשפט האיזומורפיזם הראשון נקבל . /K = im f
∼ .Z14ידוע לנו כי im f ≤ D10ולכן .|im f | | |D10 | = 20אבל 14אינו
לכן = im f
מחלק את ,20ולכן .|K| ̸= 1
אם ,|K| = 2אז בדומה לחישוב הקודם נקבל
| |Z14
=7
||K
= | |im f | = |Z14/K
ושוב מפני ש 7-אינו מחלק את 20נסיק כי .|K| ̸= 2
36
אם ,|K| = 7נראה כי קיים הומומורפיזם כזה .ניקח תת־חבורה } H = {id, τ
)כל תת־חבורה מסדר 2תתאים( של ,D10ונבנה אפימורפיזם .Z14 → H ≤ D10
המספרים האי זוגיים ישלחו ל ,τ -והזוגיים לאיבר היחידה .כמו כן ,כיוון שהגרעין הוא
∼ .K
מסדר ראשוני ,אז = Z7
אם ,|K| = 14אז נקבל .K = Z14תוצאה זאת מתקבלת עבור ההומומורפיזם
הטריוויאלי.
תרגיל .15.6תהיינה G1ו G2 -חבורות סופיות כך ש .(|G1 | , |G2 |) = 1-מצאו את כל
ההומומורפיזמים .f : G1 → G2
פתרון .נניח כי f : G1 → G2הומומורפיזם .לפי משפט האיזומורפיזם הראשון,
| |G1
∼
| = |G1/ker f | = |im f | ⇒ |im f | | |G1
⇒ = im f
| |ker f
G1/ker f
כמו כן ,im f ≤ G2 ,ולכן ,לפי משפט לגראנז’ .|im f | | |G2 | ,אבל ,(|G1 | , |G2 |) = 1
ולכן - |im f | = 1כלומר fהיא ההומומורפיזם הטריוויאלי.
תרגיל .15.7מצאו את כל התמונות האפימורפיות של ) D4עד כדי איזומורפיזם(.
פתרון .לפי משפט האיזומורפיזם הראשון ,כל תמונה אפימורפית של D4איזומורפית
למנה ,D4/Hעבור איזשהו .H ◁ D4לכן מספיק לדעת מיהן כל תת־החבורות הנורמליות
של .D4
קודם כל ,יש לנו את תת־החבורות הטריוויאליות ;{id} , D4 ◁ D4לכן ,קיבלנו את
∼ .D4/D4
∼ } D4/{idו= {id}-
התמונות האפימורפיות = D4
כעת ,אנו יודעים כי .Z (D4 ) = ⟨σ 2 ⟩ ◁ D4ננסה להבין מיהי ⟩ .D4/⟨σ2רעיון
לניחוש :אנחנו יודעים ,לפי לגראנז’ ,כי זו חבורה מסדר .4כמו כן ,אפשר לבדוק שכל
איבר ⟩ x ∈ D4/⟨σ2מקיים .x2 = eלכן ננחש שזו ) Z2 × Z2ובהמשך נדע להגיד זאת
בלי למצוא איזומורפיזם ממש( .נגדיר f : D4 → Z2 × Z2לפי ) .f (τ i σ j ) = (i, jקל
לבדוק שזהו אפימורפיזם עם גרעין ⟩ ,⟨σ 2ולכן ,לפי משפט האיזומורפיזם הראשון,
∼
= Z2 × Z2
⟩ D4/⟨σ 2
נשים לב כי ,⟨σ⟩ ◁ D4כי זו תת־חבורה מאינדקס .2אנחנו גם יודעים שכל
החבורות מסדר 2איזומורפיות זו לזו ,ולכן
∼
= Z2
⟩D4/⟨σ
גם ⟨σ 2 , τ ⟩ , ⟨σ 2 , τ σ⟩ ◁ D4מאותו נימוק ,וכן
∼
∼ ⟩= D4/⟨σ2 ,τ σ
= Z2
37
⟩ D4/⟨σ 2 ,τ
צריך לבדוק האם יש עוד תת־חבורות נורמליות .נזכור שבתרגיל הבית מצאתם
את כל תת־החבורות של .D4לפי הרשימה שהכנתם ,קל לראות שכתבנו את כל
תת־החבורות מסדר ,4ואת ⟩ .⟨σ 2תת־החבורות היחידות שעוד לא הזכרנו הן מהצורה
} .⟨τ σ i ⟩ = {id, τ σ iכדי שהיא תהיה נורמלית ,צריך להתקיים
) (
H ∋ τ τ σ i τ −1 = σ i τ = τ σ 4−i
לכן בהכרח .i = 2אבל אז
(
)
∈ σ τ σ 2 σ −1 = (στ ) σ = τ σ −1 σ = τ
/H
ולכן .H ̸◁ D4מכאן שכתבנו את כל תת־החבורות הנורמליות של ,D4ולכן כל
התמונות האפימורפיות של D4הן .{id} , Z2 , Z2 × Z2 , D4
המטרה של שאר משפטי האיזומורפיזם הם לתאר את תת־החבורות של המנה ,G/N
אחרי זה נשאל על תת־החבורות הנורמליות ואז על המנות .נראה שכל הזמן יש קשר
לתת־חבורות ,תת־חבורות נורמליות ומנות של .G
משפט ) 15.8משפט האיזומורפיזם השני( .תהי Gחבורה H ≤ G ,ו ,N ◁ G-אזי
∼
= H/N ∩H
N H/N
ובמובלע.N ◁ N H,N ∩ H ◁ H :
דוגמה .15.9ניקח H = 15Z ≤ Zו .N = 6Z-אזי
”N H” = N + H = (6, 15)Z = 3Z
N ∩ H = [6, 15]Z = 30Z
ולכן
∼
= 15Z/30Z
3Z/6Z
משפט .15.10תהי Gחבורה ו K ◁ G-תת־חבורה נורמלית.
.1כל תת־החבורות )הנורמליות( של G/Kהן מהצורה H/Kעבור תת־חבורה
)נורמלית( H ≤ Gהמכילה את .K
) .2משפט האיזומורפיזם השלישי( תהי K ≤ Hתת־חבורה נורמלית של Gאזי
∼ .G/K/H/K
= G/H
בפרט ]) [G : K] = [G : N ][N : Kכפליות האינדקס(.
38
דוגמה 4Z ≤ 2Z .15.11אז
∼
= Z/2Z
Z/4Z/2Z/4Z
תרגיל .15.12תהי N ◁ Gמאינדקס ראשוני ,pותהי .K ≤ Gהוכיחו כי או K ⊆ N
או ש G = N K-ו.[K : K ∩ N ] = p -
פתרון .נתבונן ב .N ≤ N K ≤ G-מכפליות האינדקס נקבל [N K : N ] | [G : N ] = p
ולכן .[N K : N ] = 1, p
אם [N K : N ] = pאז אין ברירה ו [G : KN ] = 1-מה שאומר .G = N Kבנוסף
ממשפט האיזו’ השני .[K : K ∩ N ] = [N K : N ] = p
אם [N K : N ] = 1אז לפי משפט האיזו’ השני [K : K ∩ N ] = 1מה שאומר
ש.K ⊆ N -
39
