n - Anat Etzion

Transcription

n - Anat Etzion
‫אלגברה מודרנית )‪ – (104134‬קיץ תש"ע‬
‫מבוא‬
‫שמות לקבוצות מוכרות‪:‬‬
‫‪ = ‬המספרים הטבעיים‪.‬‬
‫‪ = ‬המספרים השלמים‪.‬‬
‫‪ = ‬המספרים הרציונאליים‪.‬‬
‫‪ = ‬המספרים הממשיים‪.‬‬
‫‪ = ‬המספרים המרוכבים‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪ , A‬קבוצת מספרים ממשיים‪ ,‬אז‪ = A :‬המספרים האי‪-‬שליליים ב‪. A -‬‬
‫‪ = A‬המספרים האי‪-‬חיוביים ב‪. A -‬‬
‫הערה‪ , ,  :‬הם שדות‪.‬‬
‫אינדוקציה‪:‬‬
‫כדי להוכיח טענה עבור מספרים טבעיים יש‪:‬‬
‫‪‬‬
‫א‪ .‬להוכיחה עבור ‪. n  1‬‬
‫ב‪ .‬מתוך נכונות ל‪ , k -‬להוכיח ל‪. k  1 -‬‬
‫‪‬‬
‫א‪ .‬להוכיחה עבור ‪. n  1‬‬
‫ב‪ .‬מתוך נכונות לכל ‪ , n  k‬להוכיח נכונות ל‪. n -‬‬
‫אם א‪+‬ב מתקיימים‪ ,‬הטענה נכונה לכל ‪ n‬טבעי‪.‬‬
‫עיקרון הסדר הטוב‪ :‬בכל תת קבוצה לא ריקה של המספרים הטבעיים יש איבר קטן ביותר‪.‬‬
‫תכונות של מספרים שלמים‪:‬‬
‫משפט פירוק יחיד לשארית‪ :‬לכל שני מספרים ‪ b  a‬קיימים ‪ q, r‬יחידים כך ש‪a  bq  r :‬‬
‫) ‪.( 0  r  a‬‬
‫צירוף שלם‪ :‬יהיו ‪ . a, b  ‬המספר ‪  a   b‬נקרא צירוף שלם של ‪ a‬ו‪ b -‬כאשר המקדמים‬
‫שלמים‪.‬‬
‫‪c | a  q1 : a  cq1‬‬
‫משפט‪ :‬לכל ‪ b, a  N‬מתקיים‪:‬‬
‫‪c | b  q2 : b  cq2‬‬
‫‪ a   b   cq1   cq2  c( q1   q2 )  c |  a   b‬‬
‫תוצאות מיידיות‪:‬‬
‫‪‬‬
‫לכל ‪ a  ‬מתקיים‪.1| a :‬‬
‫‪‬‬
‫לכל ‪ a  0‬מתקיים‪. a | 0 :‬‬
‫‪‬‬
‫‪a  1  a |1‬‬
‫‪‬‬
‫‪a | b‬‬
‫‪b | c‬‬
‫‪‬‬
‫‪a | b‬‬
‫‪a  b  ‬‬
‫‪b | a‬‬
‫‪‬‬
‫אם ‪ a | b‬וגם ‪ a | c‬אז‪ a |  b   c :‬עבור כל‬
‫‪., ‬‬
‫‪) a | c  ‬טרנזיטיביות(‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫©ענת עציון‬
‫אלגברה מודרנית )‪ – (104134‬קיץ תש"ע‬
‫מספרים ראשוניים‪ :‬מספר ראשוני ‪ p‬הוא מספר גדול מ‪ ,1-‬המתחלק רק ב‪.  p, 1 -‬‬
‫משפט פירוק של מספרים טבעיים‪ :‬יהא ‪ n‬טבעי גדול מ‪ .1-‬אז‪ n  p11 p2 2  pk  k :‬כאשר‬
‫‪ p1 , p2 , , pk‬מספרים ראשוניים שונים‪ .‬אז הפירוק הוא חד‪-‬ערכי‪.‬‬
‫קבוצת השארית מודולו ‪ :n‬הקבוצה }‪. Z n  {0,1, 2, , n  1‬‬
‫טענה‪ :‬הקבוצה ‪ Z p‬הינה שדה אם"ם ‪ p‬ראשוני‪.‬‬
‫המחלק המשותף המקסימאלי )‪ :(gcd‬יהיו ‪ . a, b  ‬אז הממג"ב )מחלק משותף גדול ביותר(‬
‫שלהם יסומן‪  a, b   gcd  a, b   d :‬וגם מתקיים‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪.d  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪ d | a‬וגם ‪. d | b‬‬
‫‪‬‬
‫אם ‪ c  ‬וגם ‪ c | a, c | b‬אז‪. c | d :‬‬
‫דגש‪ d :‬הוא תמיד מספר חיובי‪.‬‬
‫ביטוי ע"י פירוק לראשוניים‪.  a, b   p1min{i1 , j1 } p2 min{i2 , j2 }  pk min{ik , jk } :‬‬
‫הערה‪ a, b   :‬אם ‪  a, b   1‬אז ‪ a, b‬הם מספרים זרים‪.‬‬
‫טענה‪ a, b :‬זרים אם"ם קיימים מספרים ‪ x, y‬כך שמתקיים‪. ax  by  1 :‬‬
‫האלגוריתם של אוקלידס‪:‬‬
‫יהיו ‪a, b  ‬‬
‫‪ r1  a ‬‬
‫‪ r2  r1 ‬‬
‫ונניח בה"כ ש‪ . 0  a  b :‬אז‪ r3  r2  :‬‬
‫‪b  aq1  r1‬‬
‫‪a  r1q2  r2‬‬
‫‪r1  r2 q3  r3‬‬
‫‪‬‬
‫‪rk  2  rk 1 qk  rk   0 ‬‬
‫האלגוריתם מסתיים כאשר מקבלים שארית אפס‪.‬‬
‫טענה‪ rk 1 :‬הוא המחלק המשותף המקסימאלי‪.‬‬
‫משפט‪ :‬אם ‪ d   a, b ‬אז קיימים ‪  ,   ‬כך ש‪. d   a   b :‬‬
‫הכפולה המשותפת הקטנה ביותר )‪ :(lcm‬יהיו ‪ . a, b  ‬אז הכמק"ב שלהם יסומן‪ [a, b]  c :‬וגם‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪.c  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪. a | c, b | c‬‬
‫‪‬‬
‫אם קיים ‪ e  ‬כך ש ‪ a | e, b | e‬אז‪. c | e :‬‬
‫ביטוי ע"י פירוק לראשוניים‪.  a, b   p1max{i1 , j1 } p2 max{i2 , j2 }  pk max{ik , jk } :‬‬
‫‪2‬‬
‫©ענת עציון‬
‫אלגברה מודרנית )‪ – (104134‬קיץ תש"ע‬
‫יחס שקילות‪:‬‬
‫יחס שקילות בקבוצה ‪ A‬הוא "קשר" בין חלק מאברי הקבוצה‪ ,‬סימון‪ . R,  :‬כך שמתקיים‪:‬‬
‫יחס רפלקסיבי‪ R :‬נקרא יחס רפלקסיבי אם"ם‪ a ) a  A : a R a :‬קשור לעצמו(‪.‬‬
‫יחס סימטרי‪ R :‬נקרא יחס סימטרי אם"ם‪. a R b  b R a :‬‬
‫יחס טרנזיטיבי‪ R :‬נקרא יחס טרנזיטיבי אם"ם‪. a R b  b R c  a R c :‬‬
‫דוגמא‪ :‬תהי ‪ . A  Z‬נגדיר יחס על ‪, a  b  kn  n | a  b  a  b  mod n  : Z‬‬
‫כלומר‪ :‬ההפרש בין ‪ a‬ל‪ b -‬מתחלק ל‪. n -‬‬
‫קונגרואנציה‪ n , a, b   :‬טבעי‪ .‬נסמן את השארית של חלוקת ‪ a‬ב‪ n -‬כך‪. a  mod n  , a  n  :‬‬
‫אומרים ש‪ a -‬קונגרואנטי ל‪ b -‬מודולו ‪ n‬ומסמנים‪. a  b  mod n   n | a  b :‬‬
‫משפט‪ :‬אם ‪ a  b  mod n ‬ו‪ c  d  mod n  -‬אז‪:‬‬
‫א‪. a  c  b  d  mod n  .‬‬
‫ב‪. a  c  b  d  mod n  .‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪. t   , at  b t  mod n ‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪.    ,  a   b  mod n ‬‬
‫מחלקת שקילות‪:‬‬
‫יהי ‪ R‬יחס שקילות על קבוצה ‪ A‬ויהי ‪ . a  A‬נסמן‪ - [a]  {x  A | aRx} :‬מחלקת השקילות של‬
‫‪) a‬וזוהי קבוצת כל האיברים שהם ביחס שקילות עם ‪.( a‬‬
‫טענה‪) a  [a ] :‬כי יחס שקילות הוא רפלקסיבי(‪.‬‬
‫משפט‪ :‬יהי ‪ R‬יחס שקילות על קבוצה ‪. A‬‬
‫‪ .1‬לכל ‪ a, b  A‬מתקיים‪ [a]  [b] :‬או ‪. [a]  [b]  ‬‬
‫‪} .2‬איחוד כל מחלקות השקילות הזרות{ = ‪. A‬‬
‫הופכי מודולו ‪ :n‬יהי ‪ . a  ‬ל‪ a -‬יש הופכי מודולו ‪ n‬אם קיים ‪ a‬כך ש‪. a  a  1 mod n  -‬‬
‫סימון‪. a  a 1 :‬‬
‫דוגמא‪ :‬ההופכי של ‪ 7‬מודולו‪ 12-‬הוא‪. 7  a 1  1 mod 12   a 1  7 :‬‬
‫משפט‪ :‬ל‪ a -‬יש הופכי מודולו ‪ n‬אם"ם‪)  a, n   1 :‬הם מספרים זרים(‪.‬‬
‫מציאת המספר ההופכי‪ :‬נמצא את הצירוף השלם של ‪ a‬ו‪ n -‬שנותן‪ .1-‬המקדם של ‪ a‬בצירוף הוא‬
‫‪. a 1‬‬
‫מספר נגדי‪ :‬מספר נגדי של ‪ a‬הוא מספר ‪ b‬המקיים‪. a  b  0 :‬‬
‫ב‪ Z n -‬הנגדי של ‪ a‬הוא‪ n  a :‬כי‪. a   n  a   n  0 :‬‬
‫‪3‬‬
‫©ענת עציון‬
‫אלגברה מודרנית )‪ – (104134‬קיץ תש"ע‬
‫טענה‪ :‬ב‪ Z n -‬יש בדיוק ‪ n‬מחלקות שקילות שונות‪.‬‬
‫‪a  c  a  c‬‬
‫נגדיר ב‪ Z n -‬שתי פעולות‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪a  c  a  c‬‬
‫‪‬‬
‫החיבור והכפל ב‪ Z n -‬נעשים מודולו ‪. n‬‬
‫‪‬‬
‫החיבור והכפל אינם תלויים בבחירת הנציגים‪.‬‬
‫תכונות ב‪:Zn-‬‬
‫‪‬‬
‫קומוטטיביות בכפל ובחיבור‪.‬‬
‫‪‬‬
‫אסוציאטיביות בכפל ובחיבור‪.‬‬
‫‪‬‬
‫איבר אדיש חיבורי ב‪. 0 - Z n -‬‬
‫‪‬‬
‫איבר אדיש כפלי ב‪. 1 - Z n -‬‬
‫‪‬‬
‫איבר נגדי‪ :‬הנגדי למחלקה ‪ i‬הוא ‪. n  i‬‬
‫‪‬‬
‫איבר הופכי בכפל לא תמיד קיים לכל איבר‪ .‬קיים רק כאשר ‪ Z p‬ו‪ p -‬ראשוני‪.‬‬
‫מסקנה‪ :‬ב‪ Z n -‬יש הופכי לאיבר ‪ i‬אם"ם ‪.  i, n   1‬‬
‫‪ x  a  mod n ‬‬
‫טענה‪ :‬אם‬
‫‪ x, n   1‬‬
‫‪ ‬אזי גם ‪.  a, n   1‬‬
‫‪4‬‬
‫©ענת עציון‬
‫אלגברה מודרנית )‪ – (104134‬קיץ תש"ע‬
‫חבורות‬
‫הגדרת חבורה‪ :‬תהי ‪ G  ‬ותהי * פעולה בינארית המוגדרת על אברי ‪ G . G‬נקראת חבורה‬
‫ביחס לפעולה * אם‪:‬‬
‫‪ .1‬ב‪ G -‬יש סגירות לפעולה * ‪ a, b  G :‬אז‪. a * b  G :‬‬
‫‪ .2‬הפעולה אסוציאטיבית‪ a, b, c  G :‬אז‪.  a * b  * c  a *  b * c  :‬‬
‫‪ .3‬קיים ב‪ G -‬איבר "אדיש" לפעולה )איבר יחידה( המסומן ע"י ‪ e‬המקיים‪:‬‬
‫‪. a  G : a * e  e * a  a‬‬
‫‪ .4‬לכל ‪ a  G‬יש הופכי ‪ a 1  G‬כך ש‪. a 1 * a  a * a 1  e :‬‬
‫הערה‪ :‬בד"כ ‪. a * b  b * a‬‬
‫חבורה אבלית‪ :‬אם ‪ a * b  b * a‬לכל ‪ . a, b  G‬נקראת גם חבורה קומוטטיבית‪.‬‬
‫דוגמאות חשובות לחבורות ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫לכל שדה ‪  F ,   , (, , ) F‬היא חבורה אבלית‪. x 1   x , e  0 .‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫}‪  F * ,  , F *  F \ {0‬היא חבורה אבלית‪, e  1 .‬‬
‫‪x‬‬
‫‪. x 1 ‬‬
‫הערה‪ :‬הסגירות לא נפגעה כי לא תיתכן מכפלת מספרים שונים מ‪ 0-‬שתהיה ‪.0‬‬
‫‪‬‬
‫לכל מרחב וקטורי ‪ V ,   , V‬היא חבורה אבלית‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪  ,  ‬היא חבורה אבלית‪. x 1   x , e  0 .‬‬
‫‪‬‬
‫‪  , ‬איננה חבורה )אבל כן אבלית(‪ .‬אין הופכי לאף איבר פרט ל ‪. 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪= nZ‬הכפולות של ‪ . {0,  n, 2n,...} = n‬חבורה אבלית לגבי ‪.+‬‬
‫‪‬‬
‫}‪  A,  , A  {x   || x | 1‬היא חבורת שורשי היחידה )מספרים מרוכבים על מעגל ברדיוס ‪1‬‬
‫מהראשית(‪.‬‬
‫‪‬‬
‫}‪ B  { f : F  F | f is a function‬ונגדיר‪:‬‬
‫‪ g  x   f  x   g  x ‬‬
‫‪f‬‬
‫‪ . f  x  , g  x   B :‬אז‪  B,   :‬זו חבורה‪, e  f  x   0 .‬‬
‫‪. f 1  x    f  x ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ Z n‬היא חבורה ביחס לחיבור מחלקות )מודולו ‪. x 1  n  x , e  0 .( n‬‬
‫‪‬‬
‫}‪ U n . U n  {a  Z n |  a, n   1‬היא חבורה אבלית ביחס לכפל מחלקות )מודולו ‪.( n‬‬
‫קיום הופכי נובע מהמשפט‪   a, n   1 :‬ל‪ a -‬יש הופכי מודולו ‪. n‬‬
‫‪‬‬
‫חבורת ה‪ 4-‬של קליין‪. a  b  b  a , a 2  b 2  e . {e, a, b, a  b} :‬‬
‫‪‬‬
‫‪ - F m ,n‬אוסף המטריצות מסדר ‪ m  n‬מעל ‪ F m ,n . F‬חבורה אבלית ביחס לחיבור מטריצות‪.‬‬
‫חבורות לא קומוטטיביות‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪ - GL  n, F ‬אוסף המטריצות הממשיות ההפיכות מסדר ‪ . n  n‬זו חבורה ביחס לכפל מטריצות‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪ - SL  n, F ‬כל המטריצות מסדר ‪ n  n‬עם דטרמיננטה שווה ל‪ .1-‬חבורה לגבי כפל מטריצות‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫©ענת עציון‬
‫אלגברה מודרנית )‪ – (104134‬קיץ תש"ע‬
‫תכונות בסיסיות בחבורה‪:‬‬
‫תהי ‪ G‬חבורה ביחס לפעולה * אז‪:‬‬
‫‪ .1‬האדיש הוא יחיד‪.‬‬
‫‪ .2‬לכל איבר יש הופכי יחיד‪.‬‬
‫‪ .3‬חוקי צמצום‪) b  c  a * b  a * c :‬צמצום משמאל(‪.‬‬
‫‪) a  b  a * c  b * c‬צמצום מימין(‪.‬‬
‫הערה‪ :‬אם ‪ a * b  b * c‬זה לא גורר ‪. a  c‬‬
‫‪x  a1 * b‬‬
‫‪ .4‬למשוואות‪:‬‬
‫‪y  b * a 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪a  ‬‬
‫‪a * x  b ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬יש פיתרון יחיד‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ a‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y * a  b ‬‬
‫חבורה סופית‪ G :‬חבורה סופית אם מספר האיברים ב‪ G -‬הוא סופי‪ .‬הסדר של חבורה סופית הוא‬
‫מספר האיברים בה‪.‬‬
‫דוגמאות‪ , | Z n | n, | S n | n ! :‬פונקציית אויילר‪. | U n |   n  -‬‬
‫חזקות‪a 2  a * a,  , a k  a k 1 * a :‬‬
‫‪. a 0  e, a1  a,‬‬
‫תכונות‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪. a m * a n  a m n‬‬
‫‪ a mn‬‬
‫‪a‬‬
‫‪m n‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪. a‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪a ‬‬
‫‪m 1‬‬
‫‪m‬‬
‫‪   a ‬‬
‫‪ b 1 * a 1‬‬
‫‪. a 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ a * b‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫) ‪.(  a * b   a * b‬‬
‫משפט‪ :‬בטבלת כפל של חבורה סופית‪ ,‬מופיעים כל איברי החבורה פעם אחת בדיוק‪.‬‬
‫משפט‪ :‬קבוצה ‪ G‬עם סגירות ואסוציאטיביות תהיה חבורה אם יתקיימו‪:‬‬
‫‪ .1‬קיים ‪ e  G‬כך ש‪ .2 . a  G , ae  a :‬לכל ‪ , a  G‬קיים ‪ b  G‬כך ש‪. ab  e :‬‬
‫תמורות‪:‬‬
‫‪ - S A‬החבורה הסימטרית על ‪ . A‬אברי החבורה הן הפונקציות החח"ע ועל מ‪ A -‬על ‪ A‬והפעולה היא‬
‫הרכבת פונקציות‪ .‬הערה‪ :‬אם }‪ A  {1, 2,3, , n‬אז מסמנים‪. S A  S n :‬‬
‫‪ S n‬היא חבורה לא אבלית ביחס להרכבת פרמוטציות‪.     i      i   .‬‬
‫טענות לגבי הרכבת פונקציות‪:‬‬
‫‪-‬‬
‫אם ‪ f , g‬הן חח"ע ועל אז גם ‪ f  g‬היא חח"ע ועל‪.‬‬
‫‪-‬‬
‫אסוציאטיביות‪. f   g  h    f  g   h :‬‬
‫‬‫‪-‬‬
‫‪- I‬פונקצית הזהות‪,‬‬
‫‪ x   I  f  x    f  x  ,  f  I  x   f  I  x    f  x ‬‬
‫‪.I  f‬‬
‫לכל ‪ f‬חח"ע ועל יש ‪ f 1‬ועל כך ש‪. f  f 1  f 1  f  I :‬‬
‫‪6‬‬
‫©ענת עציון‬
‫אלגברה מודרנית )‪ – (104134‬קיץ תש"ע‬
‫תת‪-‬חבורה‪:‬‬
‫תהי ‪ G‬חבורה ביחס לפעולה * ‪ .‬תהי ‪ H  ‬תת‪-‬קבוצה של ‪ H . G‬נקראת תת‪-‬חבורה של ‪G‬‬
‫אם ‪ H‬היא חבורה ביחס לפעולה * ‪ .‬סימון‪. H  G :‬‬
‫טענה‪ :1-‬תהי ‪ G‬חבורה ביחס לפעולה * ‪ H .‬היא תת‪-‬חבורה אם‪:‬‬
‫‪H   .1‬‬
‫‪ .2‬ב‪ H -‬יש סגירות לפעולה ‪. a * b  H  a, b  H‬‬
‫‪ .3‬ב‪ H -‬יש סגירות להופכי ‪. a 1  H  a  H‬‬
‫טענה‪ :2-‬תהי ‪ G‬חבורה ביחס לפעולה * ‪ H  G .‬היא תת‪-‬חבורה אם‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪) e  H‬נובע מכך ש‪.( H   -‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪ H‬סגורה ל" חילוק" ‪) a * b 1  H  a, b  H‬כולל בתוכו סגירות להופכי וקיום אדיש(‪.‬‬
‫תת‪-‬חבורה טריוויאלית‪ G :‬ו‪. {e} -‬‬
‫דוגמא‪ :‬ת"ח של ‪ . n  {nx : x  } :  ,  ‬ואלו הת"ח היחידות של ‪. ‬‬
‫טענות חשובות‪:‬‬
‫‪o‬‬
‫חיתוך של תת חבורות של ‪ G‬הוא גם תת‪-‬חבורה של ‪. G‬‬
‫‪o‬‬
‫אם ‪ H‬תת‪-‬חבורה של ‪ G‬ולוקחים איבר ‪ g  G‬אזי גם ‪ g 1 Hg‬תת חבורה של ‪. G‬‬
‫משפט‪ :‬תהי ‪ G‬חבורה סופית‪ .‬אז לכל ‪ a  G‬קיים ‪ k  ‬כך ש‪. a 1  a k -‬‬
‫הערה‪ :‬ולכן כדי שתת‪-‬קבוצה ‪ H  ‬תהיה ת"ח של ‪ , G‬מספיק לבדוק סגירות לפעולה ואין צורך‬
‫לבדוק סגירות להופכי‪.‬‬
‫חבורות ציקליות‪:‬‬
‫הגדרה‪ :‬תהי ‪ G‬חבורה יהי ‪ , a  G‬נגדיר‪ .  a  {a s : s  } :‬כאשר ‪ G‬סופית‪ ,‬ניתן להשמיט‬
‫חזקות שליליות‪} :‬‬
‫‪o a  1‬‬
‫‪.  a  {e, a, a 2 , , a‬‬
‫טענה‪  a  :‬היא ת"ח של ‪ , G‬והיא הת"ח המינימאלית המכילה את ‪ , a‬כלומר‪ :‬כל ת"ח המכילה‬
‫את ‪ a‬מכילה גם את ‪.  a ‬‬
‫‪  a ‬נקראת הת"ח הנוצרת ע"י ‪. a‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪)   1  1  :  ,  ‬כל מספר ב‪  -‬ניתן ליצור ע"י חיבור של ‪ 1‬או של ‪.(-1‬‬
‫‪ ‬היא חבורה ציקלית אינסופית הנוצרת מ‪ 1-‬או מ‪.-1‬‬
‫‪ n‬היא ת"ח ציקלית אינסופית הנוצרת ע"י ‪. n‬‬
‫‪‬‬
‫‪ - H  {z  C * : z n  1} :  , ‬קבוצת שורשי היחידה מסדר ‪. n‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪  i sin ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ n ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪ n‬‬
‫‪ - H    ,   cos ‬ת"ח ציקלית מסדר ‪.( { ,  2 ,  3 , ,  n } ) n‬‬
‫}‪ U10 . U10  {1,3,7, 9‬היא חבורה ציקלית הנוצרת ע"י ‪ 3‬וגם נוצרת ע"י ‪.7‬‬
‫‪ 7  71  7, 7 2  9, 7 3  3, 7 4  1‬‬
‫‪ 3  31  3, 32  9, 33  7, 34  1‬‬
‫‪7‬‬
‫©ענת עציון‬
‫אלגברה מודרנית )‪ – (104134‬קיץ תש"ע‬
‫משפט‪ :‬תהי ‪ G‬חבורה ציקלית‪ ,‬אז כל ת"ח של ‪ G‬היא גם ציקלית‪.‬‬
‫משפט‪ :‬תהי ‪ G‬חבורה ציקלית מסדר‪ . n -‬אז לכל‪ m | n :‬יש ת"ח ציקלית מסדר ‪) m‬והיא יחידה(‪.‬‬
‫יצירת ת"ח מסדר ‪    n, nn   nnm  m : m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ o a‬והיא נוצרת ע"י‪ :‬‬
‫‪m‬‬
‫‪n‬‬
‫‪. a‬‬
‫טענה‪ :‬חבורה ציקלית היא חבורה אבלית‪.‬‬
‫טענה‪ :‬אם ‪ G   g ‬חבורה ציקלית מסדר ‪ , n‬אזי ‪ g i‬יוצר את ‪ G‬אם"ם ‪.  i, n   1‬‬
‫סדר של איבר‪ :‬בחבורה סופית לכל איבר ‪ a‬קיים ‪ m‬טבעי כך שמתקיים‪ . a m  e :‬ה‪m -‬‬
‫המינימאלי עבורו מתקיים ‪ a m  e‬נקרא‪ :‬הסדר של ‪ a‬והסימון הוא‪. o  a  :‬‬
‫דוגמא‪. o 1  1, o  3  4, o  7   4, o  9   2 , U10  {1,3,7, 9} :‬‬
‫הערות‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪ o  a   1‬אם"ם‪. a  e :‬‬
‫‪‬‬
‫|‪) o  a   | a ‬הסדר של ‪ a‬הוא מספר החזקות השונות של ‪ a‬עד שמגיעים שוב ל‪.( e -‬‬
‫‪‬‬
‫אם | ‪ o  a   | G‬אז ‪ G‬ציקלית ו‪ a -‬יוצר אותה‪.‬‬
‫טענה‪ :‬אם ‪ a m  e‬אז‪. o  a  | m :‬‬
‫טענה‪ , | G | n :‬אם ‪ o  a   n‬אז‪   nn, k  :‬‬
‫מסקנה‪ o  a   o  a  :‬אם"ם‪.  n, k   1 :‬‬
‫‪. o ak ‬‬
‫‪k‬‬
‫פונקציית אויילר‪ ,   n  | U n | :‬כלומר ‪   n ‬סופרת את מספר האיברים ב‪ zn -‬הזרים ל‪. n -‬‬
‫תכונות‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪ P‬ראשוני ‪.   n   P  1 ‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪ P‬ראשוני ‪.  P   P  1 P 1  P  P 1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪.   ab     a     b    a, b   1 .3‬‬
‫טענה‪ :‬מספר היוצרים של חבורה ציקלית מסדר ‪ n‬הוא‪.   n  :‬‬
‫‪8‬‬
‫©ענת עציון‬
‫אלגברה מודרנית )‪ – (104134‬קיץ תש"ע‬
‫משפט לגרנז'‬
‫לגרנז‪:‬‬
‫משפט לגרנז'‪ :‬תהי ‪ G‬חבורה סופית ותהי ‪ . H  G‬אזי‪) | H | | G | :‬מספר האיברים ב‪ H -‬מחלק‬
‫את מספר האיברים ב‪.( G -‬‬
‫הערה‪ :‬למעשה‪. | G || H | [G : H ] -‬‬
‫טענה‪ :‬כל חבורה מסדר ראשוני היא ציקלית וכל איבר מהחבורה השונה מ‪ e -‬הוא יוצר שלה‪.‬‬
‫מסקנה‪ G :‬חבורה סופית‪ , a  G ,‬אזי‪. o  a  | G | :‬‬
‫קוסטים‪:‬‬
‫הגדרה‪ G :‬חבורה ו‪ H -‬תת‪-‬חבורה של ‪ . G‬לכל ‪ a  G‬נגדיר‪:‬‬
‫קוסט ימני )מחלקה ימנית( של ‪ H‬ב‪. Ha  {ha : h  H } : G -‬‬
‫קוסט שמאלי )מחלקה שמאלית( של ‪ H‬ב‪. aH  {ah : h  H } : G -‬‬
‫הערה‪ :‬אם החבורה אבלית‪ ,‬קוסטים ימניים וקוסטים שמאליים הם זהים‪.‬‬
‫דוגמא‪) H  2  5  2  {5m  2, m  } , a  2 , H  5 , G   ,   :‬זו לא ת"ח(‪.‬‬
‫הגדרה‪ :‬מספר הקוסטים הימניים של תת‪-‬חבורה ‪ H‬בחבורה ‪ G‬יסומן ב‪ [G : H ] :‬וייקרא‪:‬‬
‫האינדקס של ‪ H‬ב‪.G-‬‬
‫טענה‪. | H || Ha | :‬‬
‫משפט‪ :‬תהי ‪ G‬חבורה ו‪ H -‬תת‪-‬חבורה של ‪ . G‬נגדיר יחס בין אברי ‪ G‬בצורה הבאה‪:‬‬
‫‪ . a  b  ab 1  H‬יחס זה הוא יחס שקילות ומתקיים כי מחלקת השקילות של ‪ a‬היא ‪. Ha‬‬
‫מסקנות‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪ Ha  H‬אם"ם ‪. a  H‬‬
‫‪‬‬
‫‪ Ha  Hb‬אם"ם ‪. ab 1  H‬‬
‫‪‬‬
‫‪ Ha  Hb  ‬אם"ם ‪. Ha  Hb‬‬
‫‪‬‬
‫‪ G‬שווה לאיחוד הקוסטים הימניים הזרים‪.‬‬
‫משפט‪ G :‬חבורה סופית‪ a  G ,‬אז‪. a|G|  e :‬‬
‫מסקנה‪ G :‬חבורה סופית‪ a  G ,‬ונניח ש‪ n   -‬כך ש‪ a n  e :‬אז‪. o  a  | n :‬‬
‫המשפט הקטן של פרמה‪ :‬אם ‪ p‬ראשוני ו‪ a   -‬אזי‪. a p  a  mod p   p | a p  a :‬‬
‫משפט אויילר‪ :‬יהא ‪ n‬מספר טבעי‪ , a   ,‬כך ש ‪ ,  a, n   1‬אזי ‪a  n   1 mod n ‬‬
‫) ‪ -   n ‬פונקצית אויילר(‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫©ענת עציון‬
‫אלגברה מודרנית )‪ – (104134‬קיץ תש"ע‬
‫דוגמא‪ . U15  {1, 2, 4, 7,8,11,13,14} | U15 |  15   8 :‬נגדיר‪ H  {1, 4, 7,13} :‬אז‪:‬‬
‫‪| U15 | 8‬‬
‫‪ . o  7   4  H  7 ‬ולפי המשפט‪  2  [U15 : H ] :‬‬
‫‪|H | 4‬‬
‫כלומר‪ :‬יש רק ‪ 2‬קוסטים‬
‫}‪ H  H 1  H 4  H 7  H 13  {1, 4,7,13‬‬
‫שונים‪:‬‬
‫‪‬‬
‫}‪ {2,8,11,14‬‬
‫‪ H 2  H 8  H 11  H 14‬‬
‫הצמדת איברים‪ :‬תהי ‪ G‬חבורה‪ a, b . a, b  G ,‬נקראים צמודים אם קיים ‪ x  G‬בחבורה כך ש‪-‬‬
‫‪) x 1ax  b‬זוהי מעין הכללה של דמיון מטריצות(‪.‬‬
‫הערה‪ :‬יחס הצמידות הוא יחס שקילות ולמחלקות השקילות קוראים‪ :‬מחלקות צמידות‪.‬‬
‫משפט‪ G :‬חבורה סופית‪ , a  G ,‬אז מספר האיברים הצמודים ל‪ a -‬הוא מספר הקוסטים הימניים‬
‫הזרים של ‪ a‬ב‪ , G -‬כלומר‪. [G : CG  a ] :‬‬
‫תת‪-‬חבורה נורמאלית‪:‬‬
‫הגדרה‪ :‬תהי ‪ G‬חבורה ו‪ N -‬תת‪-‬חבורה‪ .‬אם לכל ‪ g  G‬ולכל ‪ n  N‬מתקיים‪g 1ng  N :‬‬
‫)סגירות להצמדה( אזי‪ N :‬נקראת תת‪-‬חבורה נורמאלית‪ .‬סימון‪. N  G :‬‬
‫הערה‪ :‬לכל חבורה יש שתי תתי‪-‬חבורות נורמאליות טריוויאליות‪ G :‬כולה ו‪. {e} -‬‬
‫משפט‪ :‬תהי ‪ G‬חבורה‪ ,‬אז ‪ 3‬הטענות הבאות הן שקולות‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.N G‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪. g  G , g 1 Ng  N‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪. g  G , Ng  gN‬‬
‫טענה‪ :‬אם ‪ H  G‬ו‪ [G : H ]  2 -‬אז‪) H  G :‬ת"ח נורמאלית(‪.‬‬
‫טענה‪ :‬אם ‪ G‬חבורה קומוטטיבית‪ ,‬אז כל תת חבורה שלה היא נורמאלית‪.‬‬
‫הערה‪ :‬אם ‪ G‬קומוטטיבית ו‪ H -‬תת‪-‬חבורה כלשהי‪ h  H , g  G ,‬אז‪ g 1hg  hg 1 g  h :‬וזה‬
‫שייך ל‪ H -‬כלומר‪ :‬כל צמוד של איברי ‪ H‬הוא ב‪ H -‬ולכן‪. H  G :‬‬
‫הרכז‪ :‬הרכז של ‪ a  G‬מוגדר כ‪) CG  a   {x  G : xa  ax} -‬כל האיברים שמתחלפים עם ‪.( a‬‬
‫זו תת‪-‬חבורה של ‪. G‬‬
‫המרכז‪ :‬מוגדר כ‪ , z  G   {x  G : xg  gx, g  G} -‬הוא תת חבורה נורמאלית של ‪. G‬‬
‫‪10‬‬
‫©ענת עציון‬
‫אלגברה מודרנית )‪ – (104134‬קיץ תש"ע‬
‫חבורת הפרמוטציות )התמורות(‬
‫הגדרות בסיסיות‪:‬‬
‫מעגל‪ :‬תמורה שמסומנת ‪    i1 , i2 , , ik   S n‬כאשר‪)   i    i 1 :‬באופן מעגלי( ואם‬
‫} ‪ j {i1 , i2 , , ik‬אז‪.   j   j :‬‬
‫‪1 2 3 4 5 6 7‬‬
‫דוגמא‪ 1, 4, 2, 6   S 7 :‬אז הפרמוטציה היא‪ 4 6 3 2 5 1 7  :‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫מעגלים זרים‪ :‬מעגלים שאין להם אף איבר משותף‪.‬‬
‫טענות חשובות‪:‬‬
‫‪‬‬
‫כל ‪   Sn‬אפשר לרשום כמכפלה של מעגלים זרים‪.‬‬
‫‪‬‬
‫מעגלים זרים הם מתחלפים )קומוטטיביים(‪  ,   S n ) .‬זרים אז ‪.(   ‬‬
‫משפט‪ :‬הסדר של מעגל באורך ‪ , k‬הוא ‪) k‬חזקה קטנה יותר לא תביא לתמורת הזהות(‪.‬‬
‫דוגמא‪ 3  1, 6, 2, 4   4  1 4  2  6   e :‬‬
‫‪  1, 4, 6, 2   2  1, 2  4, 6 ‬‬
‫משפט‪ :‬תהא ‪ ‬תמורה שהיא מכפלה של מעגלים זרים שאורכיהם ‪ , k1 , k2 , , k s‬אזי הסדר של ‪‬‬
‫הוא הכפולה המשותפת הקטנה ביותר של ‪) k1 , k2 , , k s‬ה‪.( lcm -‬‬
‫הופכי של מעגל‪.    i1 , i2 , , ik 1 , ik  ,  1   ik , ik 1 , , i2 , i1  :‬‬
‫הופכי של תמורה‪ :‬שהיא מכפלה של מעגלים זרים‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ j1 ,, jk ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪    i1 ,  , ik  j1 , , jk    i1 , , ik ‬כי מעגלים זרים הם מתחלפים‪.‬‬
‫תמורות זוגיות ואי‪-‬זוגיות‪:‬‬
‫טרנספוזיציה‪ :‬מעגל באורך ‪.2‬‬
‫‪2‬‬
‫טענה‪ :‬לכל טרנספוזיציה ‪)   e , ‬בגלל שהסדר הוא‪ 2-‬והעלאה בסדר מביאה ל‪.( e -‬‬
‫משפט‪ :‬כל תמורה ניתנת לכתיבה כמכפלה של טרנספוזיציות‪:‬‬
‫‪)  i1 , i2 ,  , ik    i1 , i2  i1 , i3    i1 , ik ‬מעגל באורך ‪ k‬ניתן לרשום כ‪ k-1 :‬טרנספוזיציות(‪.‬‬
‫משפט‪ :‬ניקח ‪   Sn‬תמורה‪ .‬אם נרשום את כל האופנים של הצגת ‪ ‬כמכפלת טרנספוזיציות‪ ,‬אז‬
‫מספר הטרנספוזיציות יהיה או זוגי בכולן או אי‪-‬זוגי בכולן‪.‬‬
‫תמורה זוגית‪ :‬תמורה שניתן לרשום אותה כמכפלה של מספר זוגי של טרנספוזיציות‪.‬‬
‫תמורה אי‪-‬זוגית‪ :‬תמורה שניתן לרשום אותה כמכפלה של מספר אי‪-‬זוגי של טרנספוזיציות‪.‬‬
‫הגדרה נוספת‪:‬תמורה ‪ ‬שמספר הזוגות ‪ i  j‬כך ש‪   i     j  :‬הוא מספר זוגי‪.‬‬
‫מסקנה‪ :‬מעגל הוא תמורה זוגית אם"ם אורכו אי‪-‬זוגי‪.‬‬
‫טענות‪:‬‬
‫‪-‬‬
‫תמורה זוגית כפול תמורה זוגית הינה תמורה זוגית‪.‬‬
‫‪-‬‬
‫תמורה אי‪-‬זוגית כפול תמורה אי‪-‬זוגית הינה תמורה זוגית‪.‬‬
‫‪-‬‬
‫תמורה זוגית כפול תמורה אי‪-‬זוגית הינה תמורה אי‪-‬זוגית‪.‬‬
‫‪11‬‬
‫©ענת עציון‬
‫אלגברה מודרנית )‪ – (104134‬קיץ תש"ע‬
‫‪ :An‬אוסף כל התמורות הזוגיות ב‪. S n -‬‬
‫!‪n‬‬
‫טענה‪ An  Sn :‬ו‪-‬‬
‫‪2‬‬
‫‪) | An |‬חצי מהתמורות הן זוגיות(‪.‬‬
‫הערה‪ :‬זו ת"ח נורמאלית בגלל ש ‪. [S n : An ]  2‬‬
‫הצמדה של מעגל‪ :‬הצמדת המעגל ‪  i1 , i2 ,  , ik ‬ע"י ‪   Sn‬תמורה כלשהי‪:‬‬
‫‪.   i1 , i2 , , ik   1    i1  ,   i2  , ,   ik  ‬‬
‫מכפלה של מעגלים‪:‬‬
‫‪   i1  ,   i2  ,  ,   ik     j1  ,  j2  , ,  jk  ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪  i1 , i2 , , ik  j1 , j2 , , jk  ‬‬
‫מסקנה‪ :1-‬הצמדה של תמורה שומרת על מבנה המעגלים שלה‪.‬‬
‫מסקנה‪ :2-‬תהי ‪ , N  Sn‬אם ‪ N‬מכילה טרנספוזיציה כלשהי אז ‪ N‬מכילה את כל הטרנספוזיציות‬
‫)בגלל הסגירות להצמדה בת"ח נורמאלית( ולכן ‪. S n  N‬‬
‫‪12‬‬
‫©ענת עציון‬
‫אלגברה מודרנית )‪ – (104134‬קיץ תש"ע‬
‫הומומורפיזם של חבורות‬
‫הגדרה‪ :‬יהיו ‪ G1 , G2‬חבורות‪ e1 .‬הוא האיבר הניטראלי של ‪ e2 , G1‬הוא האיבר הניטראלי של ‪. G2‬‬
‫פונקציה ‪  : G1  G2‬נקראת הומומורפיזם אם‪   ab     a    b  :‬לכל ‪. a, b  G1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪in G2‬‬
‫‪in G1‬‬
‫גרעין‪. Ker    G1 . Ker    {a  G1 :   a   e2 } :‬‬
‫תמונה‪. Im    {  a  : a  G1} :‬‬
‫‪. Im    G2‬‬
‫הומומורפיזם טריוויאליים ‪:‬‬
‫הומומורפיזם הזהות‪. I G  a   a , I G : G  G :‬‬
‫הומומורפיזם הטריוויאלי‪)   a   e2 ,  : G1  G2 :‬שולח את כל האיברים ל‪.( e2 -‬‬
‫איזומורפיזם‪ :‬הומומורפיזם שהוא חח"ע ועל‪.‬‬
‫‪ G1‬ו‪ G2 -‬נקראות איזומורפיות אם קיים איזומורפיזם ביניהן‪ .‬סימון‪. G1  G2 :‬‬
‫מונומורפיזם‪ :‬הומומורפיזם חח"ע‪.‬‬
‫אפימורפיזם‪ :‬הומומורפיזם על‪.‬‬
‫משפט‪ :‬תהי ‪  : G1  G2‬הומומורפיזם‪ e1 , e2 .‬איברים ניטראלים בהתאמה‪ .‬אז‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪.   e1   e2‬‬
‫‪‬‬
‫לכל ‪  a 1     a   , a  G1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ Ker  ‬היא תת‪-‬חבורה נורמאלית של ‪. G1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ Im  ‬היא תת‪-‬חבורה של ‪. G2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬חח"ע אם"ם‪) Ker    {e1} :‬הגרעין מכיל רק את האיבר הניטראלי(‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬על אם"ם ‪. Im    G2‬‬
‫‪‬‬
‫לכל ‪. x 1  ker    x  ker   , x  G1‬‬
‫‪‬‬
‫לכל ‪.  ker    x  { y  G |   y     x } , x  G1‬‬
‫‪1‬‬
‫טענה‪ :‬יהי ‪  : G1  G2‬הומומורפיזם על‪ ,‬אזי‪ :‬אם ‪ G1‬קומוטטיבית‪ ,‬אזי גם ‪ G2‬קומוטטיבית ואם‬
‫‪ G1‬ציקלית אזי גם ‪ G2‬ציקלית‪.‬‬
‫משפט‪ :‬כל חבורה ציקלית אינסופית היא איזומורפית ל‪  -‬לגבי חיבור‪.‬‬
‫משפט‪ :‬כל חבורה ציקלית מסדר ‪ n‬היא איזומורפית ל‪. Z n -‬‬
‫משפט קיילי‪ :‬תהא ‪ G‬חבורה סופית כך ש‪ , | G | n -‬אז ‪ G‬איזומורפית לתת‪-‬חבורה של ‪S n‬‬
‫)כלומר קיים איזומורפיזם שמתאים כל איבר ב‪ G -‬לפונקציה חח"ע ועל(‪.‬‬
‫‪13‬‬
‫©ענת עציון‬
‫אלגברה מודרנית )‪ – (104134‬קיץ תש"ע‬
‫חבורות מנה ומשפטי הומומורפיזם‬
‫‪G‬‬
‫חבורת מנה‪ :‬תהי ‪ G‬חבורה ו‪ . N  G -‬נגדיר‪ {Ng : g  G} :‬‬
‫‪N‬‬
‫‪ N‬ב‪ . G -‬נגדיר פעולה בין קוסטים‪.  Na  Nb   Nab, a, b  G :‬‬
‫כלומר‪ :‬אוסף הקוסטים של‬
‫‪G‬‬
‫‪N‬‬
‫היא חבורה ביחס לפעולה הנ"ל‪ .‬איבר היחידה‪ , Ne  N :‬וההופכי של קוסט ‪ Na‬הוא‪. Na 1 :‬‬
‫| ‪G |G‬‬
‫‪‬‬
‫טענה‪ :‬אם ‪ G‬חבורה סופית אז‬
‫|‪N |N‬‬
‫‪.‬‬
‫‪G‬‬
‫הערה‪ :‬אם ‪ G‬חבורה קומוטטיבית ו‪ H -‬תת‪-‬חבורה ) ‪ H  G‬כי ‪ G‬קומוטטיבית(‪ ,‬אז‬
‫‪H‬‬
‫מוגדרת‬
‫וגם היא קומוטטיבית‪.‬‬
‫‪G‬‬
‫משפט‪ G :‬חבורה ו‪ . H  G -‬נגדיר‪:‬‬
‫‪H‬‬
‫ב ‪ G‬לקוסט שלו(‪ .‬אז‪  :‬הומומורפיזם ו‪. H  ker   -‬‬
‫‪  : G ‬כך‪)   g   Hg :‬הפונקציה שולחת איבר‬
‫משפטי הומומורפיזמים‪:‬‬
‫משפט האיזומורפיזם הראשון‪ :‬תהא ‪ : G1  G2‬‬
‫הומומורפיזם‪ .‬אזי‪ Im   :‬‬
‫‪ker  ‬‬
‫‪G1‬‬
‫‪.‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪-‬‬
‫‪n  Z n‬‬
‫‪-‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪-‬‬
‫*‪ ‬‬
‫‪. ker    n, Im    Z n ,   a   a  mod n  ,  :   Z n : ‬‬
‫‪. ker    N , Im      ,   z  | z | ,  : *  * : ‬‬
‫*‬
‫}‪N  {z : | z | 1‬‬
‫‪SL  n,  ‬‬
‫‪GL  n,  ‬‬
‫‪,   A  | A | ,  : GL  n,    * :‬‬
‫*‪. ker    SL  n,   , Im    ‬‬
‫משפט האיזומורפיזם השני‪ G :‬חבורה‪ H , N  G ,‬תת‪-‬חבורה‪ .‬אז‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪ HN‬היא תת‪-‬חבורה‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪N  NH‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪N H H‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪HN‬‬
‫‪H‬‬
‫‪‬‬
‫‪N‬‬
‫‪H N‬‬
‫‪G‬‬
‫‪G K‬‬
‫משפט האיזומורפיזם השלישי‪ G :‬חבורה‪ K  G , N  G ,‬כך ש‪ . K  N -‬אז‪.    :‬‬
‫‪N N‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪K‬‬
‫‪14‬‬
‫©ענת עציון‬
‫אלגברה מודרנית )‪ – (104134‬קיץ תש"ע‬
‫שדות וחוגים‪-‬הגדרות‬
‫חוג‪ :‬קבוצה ‪ (Ring) R‬עם שתי פעולות‪) ,  :‬חיבור וכפל(‪ .‬כל שמתקיימות הדרישות הבאות‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪ R‬חבורה קומוטטיבית לגבי ‪) +‬אלה להן למעשה ‪ 5‬מאקסיומות השדה(‪.‬‬
‫איבר ניטראלי יסומן‪ ,0 :‬הופכי של ‪ a‬לגבי ‪ +‬יסומן‪.  a :‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪ R‬סגורה לגבי ‪ : ‬אם ‪ a, b  R‬אז גם ‪. ab  R‬‬
‫‪  .3‬היא פעולה אסוציאטיבית‪ a, b, c  R .‬אז‪.  ab  c  a  bc  :‬‬
‫‪ .4‬פילוג‪ a, b, c  R :‬אז‪:‬‬
‫‪. a  b  c   ab  ac,‬‬
‫‪ b  c  a  ba  ca‬‬
‫הערה‪ :‬יש כאן ‪ 8‬מתוך ‪ 11‬האקסיומות של שדה‪.‬‬
‫חוג עם יחידה‪ :‬חוג שיש בו איבר ניטראלי לגבי ‪ . ‬איבר זה יסומן‪ 1 :‬ו‪ 1  a  a 1  a :‬לכל ‪. a  R‬‬
‫חוג קומוטטיבי‪ :‬חוג שבו ‪ ‬היא פעולה קומוטטיבית‪ ab  ba :‬לכל ‪. a, b  R‬‬
‫מחלק אפס‪ :‬איבר ‪ 0  a  R‬בחוג ‪ R‬כך שקיים ‪ 0  b  R‬ומתקיים‪ ab  0 :‬או ‪. ba  0‬‬
‫תחום שלמות‪ :‬חוג קומוטטיבי‪ ,‬עם יחידה ובלי מחלקי אפס‪.‬‬
‫איבר הפיך‪ :‬בחוג עם יחידה ‪ R‬זה איבר ‪ a  R‬כך שקיים ‪ b  R‬המקיים‪. ab  ba  1 :‬‬
‫חוג עם חילוק‪ :‬חוג עם יחידה שבו כל איבר שונה מאפס הוא הפיך‪.‬‬
‫שדה‪ :‬חוג קומוטטיבי עם חילוק )עם יחידה ובלי מחלקי אפס(‪.‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪ : ‬חוג קומוטטיבי עם יחידה לגבי ‪ . , ‬זהו תחום שלמות‪ .‬איברים הפיכים‪. 1,  1 :‬‬
‫‪‬‬
‫‪ : 2‬חוג קומוטטיבי בלי יחידה לגבי ‪ . , ‬זה אינו תחום שלמות‪ .‬אין בו איברים הפיכים‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪ : , , ‬שדות‪ .‬תחומי שלמות לגבי ‪. , ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ :  n‬חוג קומוטטיבי עם יחידה ביחס לחיבור וכפל מודולו ‪ . n‬האיברים ההפיכים הם המספרים‬
‫הזרים ל‪ . n -‬אם ‪ n‬לא ראשוני‪ ,‬אז זה לא תחום שלמות‪ n ) .‬ראשוני ‪  n ‬שדה(‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪a‬‬
‫קבוצת כל המספרים הרציונאליים מהצורה‬
‫‪b‬‬
‫קומוטטיבי לגבי ‪ , ‬ויש בו יחידה‪.‬‬
‫כאשר ‪ a, b‬הם שלמים זרים ו‪ b -‬אי‪-‬זוגי‪ :‬חוג‬
‫כל הפונקציות הממשיות הרציפות על ]‪ [0,1‬עם הפעולות חיבור וכפל מטריצות‪ :‬חוג קומוטטיבי‬
‫עם יחידה‪ .‬לא כל איבר הוא הפיך‪ ,‬יש בו מחלקי אפס ולכן זה אינו תחום שלמות‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪ - M n  F ‬מטריצות ‪ n  n‬מעל השדה ‪ : F‬חוג עם יחידה= ‪ , I‬החוג אינו קומוטטיבי )כי כפל‬
‫מטריצות הוא לא(‪ ,‬האיברים ההפיכים‪ -‬מטריצות עם דטרמיננטה ‪ , 0 ‬זה אינו תחום שלמות כי‬
‫יש בו מחלקי אפס‪.‬‬
‫משפט‪ R :‬הוא חוג‪ .‬אז מתקיימים הדברים הבאים‪:‬‬
‫‪ 0 .1‬הוא יחיד‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪ a  R‬אז‪  a :‬הוא יחיד‪.‬‬
‫‪ 0a  a 0  0 .3‬לכל ‪. a  R‬‬
‫‪15‬‬
‫©ענת עציון‬
‫אלגברה מודרנית )‪ – (104134‬קיץ תש"ע‬
‫‪ a  b     a  b    ab  .4‬לכל ‪. a, b  R‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪.   a  b   ab‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪  1 a   a‬אם ‪ R‬הוא חוג עם יחידה‪.‬‬
‫משפטים‪ -‬תחום שלמות‪:‬‬
‫‪‬‬
‫אם ‪ D‬תחום שלמות ונתון ש‪ ab  ac :‬אז ניתן לצמצם ולקבל‪. b  c :‬‬
‫‪‬‬
‫בשדה אין מחלקי אפס‪ ,‬כלומר‪ ,‬כל שדה הוא תחום שלמות‪.‬‬
‫משפט‪ R :‬הוא חוג‪ .‬נתון‪ x  x 2 :‬לכל ‪ . x  R‬אז ‪ R‬הוא חוג קומוטטיבי‪.‬‬
‫משפטים‪ -‬מספר איברים בשדה ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫מספר האיברים בשדה סופי הוא חזקה של מספר ראשוני‪.‬‬
‫‪‬‬
‫אם ‪ p‬ראשוני ו‪ n -‬מספר טבעי‪ ,‬אז קיים שדה ובו ‪ p n‬איברים‪.‬‬
‫‪‬‬
‫אם ‪ F‬שדה סופי אז‪ | F | p n :‬כאשר ‪ p‬הוא ראשוני ו‪ n -‬הוא טבעי ) ‪.( char  F   p‬‬
‫מציין‪/‬אופיין של שדה‪:‬‬
‫‪ 1‬נקרא‪ :‬המציין של‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫מציין של שדה‪ F :‬הוא שדה‪ .‬המספר הקטן ביותר ‪ m‬כך ש‪1  0 -‬‬
‫‪m‬‬
‫השדה או הקרקטריסטיקה של השדה או האופיין של השדה‪ .‬סימון‪. char  F  :‬‬
‫משפט‪ :‬מציין של שדה הוא או אפס‪ ,‬או מספר ראשוני‪.‬‬
‫משפט‪ :‬לכל שדה סופי יש תת‪-‬שדה מסדר‪. char  F  :‬‬
‫משפט‪ :‬אם שדה סופי ‪ F‬מכיל תת‪-‬שדה ‪ K‬אז הסדר של ‪ F‬הוא חזקה של הסדר של ‪. K‬‬
‫הערה‪  p :‬הוא שדה עם מציין שווה ל‪. p -‬‬
‫תת‪-‬חוג‪:‬‬
‫הגדרה‪ :‬יהי ‪ R‬חוג ו‪ S -‬תת‪-‬קבוצה לא ריקה של ‪ . R‬אם ‪ S‬היא בעצמה חוג ביחס לפעולות ב‪R -‬‬
‫אז אומרים ש‪ S -‬היא תת‪-‬חוג‪.‬‬
‫טענה‪ :‬יהי ‪ R‬חוג ו‪ S -‬תת‪-‬קבוצה של ‪ R‬אז ‪ S‬היא תת‪-‬חוג אם"ם‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.S  ‬‬
‫‪ .2‬לכל ‪ a, b  S‬מתקיים‪. a  b  S :‬‬
‫‪ .3‬לכל ‪ a, b  S‬מתקיים‪. a  b  S :‬‬
‫הערה‪ :‬לכל חוג יש שני תתי‪-‬חוגים טריוויאלים‪ :‬החוג עצמו ו‪. {0} -‬‬
‫‪16‬‬
‫©ענת עציון‬
‫אלגברה מודרנית )‪ – (104134‬קיץ תש"ע‬
‫אידיאלים‪ ,‬הומומורפיזם של חוגים וחוגי מנה‬
‫אידיאלים‪:‬‬
‫אידיאל‪ R :‬חוג‪ I .‬זו קבוצה ב‪ R -‬שנקראת אידיאל ומקיימת‪:‬‬
‫‪. I   .1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪ a, b  I‬אז‪) a  b  I :‬סגירות ל ‪.(+‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪ a  I‬אז‪)  a  I :‬סגירות לגבי נגדי בחיבור(‪.‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪ x  R , a  I‬אז‪) ax, xa  I :‬בליעה(‪.‬‬
‫*ניתן לאחד את )‪ (2‬ו‪ (3)-‬לסגירות‬
‫לחיסור‪a, b  I  a  b  I :‬‬
‫אידיאל משמש לאותו תפקיד בו משמשת תת‪-‬חבורה נורמאלית בחבורות‪.‬‬
‫הערות‪:‬‬
‫‪-‬‬
‫כל אידיאל הוא תת‪-‬חוג )סגירות לחיסור וכפל(‪.‬‬
‫‪-‬‬
‫בכל חוג יש שני אידיאלים טריוויאלים‪ R :‬ו‪ {0} -‬והם נקראים‪ :‬אידיאלים לא אמיתיים‪.‬‬
‫טענה‪ :‬אם ‪ R‬הוא חוג עם יחידה ואם ‪ I‬הוא אידיאל ב‪ R -‬כך ש‪ 1  I -‬אז‪) I  R :‬נובע מבליעה‪:‬‬
‫כפל ב‪ 1-‬מכניס כל איבר ל‪.( I -‬‬
‫משפט‪ :‬אם ‪ F‬הוא שדה ו‪ I  {0} -‬הוא אידיאל ב‪ F -‬אז בהכרח‪) I  F :‬בשדה אין אידיאלים‬
‫אמיתיים‪ ,‬אך ייתכן חוג שאינו שדה וגם בו אין אידיאלים אמיתיים(‪.‬‬
‫משפט הפוך‪ :‬יהי ‪ R‬חוג קומוטטיבי עם יחידה שאין בו אידיאלים אמיתיים‪ .‬אז ‪ R‬הוא שדה‪.‬‬
‫אידיאל ראשי‪ R :‬חוג קומוטטיבי‪ . a  R ,‬נסמן‪ .  a   {ax | x  R} :‬אז ‪  a ‬הוא אידיאל והוא‬
‫נקרא‪ :‬האידיאל הראשי הנוצר ע"י ‪ .a‬דוגמא‪ :‬ב‪. 15   15 ,  -‬‬
‫הומומורפיזם‪:‬‬
‫הגדרה‪ :‬פונקציה ‪ R1 , R2 ,  : R1  R2‬חוגים כך ש‪:‬‬
‫‪  a  b    a    b ‬‬
‫‪  ab     a     b ‬‬
‫גרעין של הומומורפיזם‪ker    {x  R |   x   0} :‬‬
‫‪‬‬
‫‪.  0  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪.    a     a ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬חח"ע אם"ם }‪. ker    {0‬‬
‫משפטים‪ -‬תכונות‪  : R1  R2 :‬הומומורפיזם‪ ,‬אז‪:‬‬
‫‪ ker   .1‬הוא תת‪-‬חבורה של ‪ R1‬לגבי ‪ .+‬והוא גם אידיאל ב‪. R1 -‬‬
‫‪ x  R1 , a  ker   .2‬אז מתקיימת בליעה‪. xa, ax  ker   :‬‬
‫‪ Im   .3‬הוא תת‪-‬חוג של ‪. R2‬‬
‫‪17‬‬
‫©ענת עציון‬
‫אלגברה מודרנית )‪ – (104134‬קיץ תש"ע‬
‫חוג מנה‪:‬‬
‫חוג מנה‪ :‬יהא ‪ I‬אידיאל בחוג ‪ . R‬יהא ‪ , b  R‬נגדיר קוסט של ‪ . I  b  {x  b | x  I } : b‬זוהי‬
‫בדיוק הגדרת הקוסט בחבורות‪ ,‬מלבד זאת שהכפל נהפך ל‪.+‬‬
‫ומתקיים‪ I  b  b  I :‬כי ‪ +‬פעולה קומוטטיבית‪ ,‬ובפרט ‪ I‬תת‪-‬חבורה נורמאלית ב‪ R -‬לגבי ‪.+‬‬
‫‪R‬‬
‫נגדיר‪ { I  b | b  R} :‬‬
‫‪I‬‬
‫)אוסף כל הקוסטים של ‪ I‬ב‪.( R -‬‬
‫‪R‬‬
‫משפט‪ R :‬חוג‪ I ,‬אידיאל‪ .‬אז‬
‫‪I‬‬
‫הוא חוג ביחס לפעולות‪:‬‬
‫‪ I  a    I  b  I   a  b ‬‬
‫‪ I  a    I  b   I  ab‬‬
‫‪‬‬
‫‪R‬‬
‫אם יש ב‪ R -‬יחידה אז‪ I  1 :‬הוא היחידה של‬
‫‪I‬‬
‫‪‬‬
‫‪R‬‬
‫אם ‪ R‬קומוטטיבי אז גם‬
‫‪I‬‬
‫‪‬‬
‫‪R‬‬
‫אם ‪ R‬הוא חוג עם חילוק‪ ,‬אז גם‬
‫‪I‬‬
‫‪.‬‬
‫הוא קומוטטיבי‪.‬‬
‫הוא חוג עם חילוק‪.‬‬
‫הערות‪:‬‬
‫‪-‬‬
‫‪R‬‬
‫אם ‪ R‬תחום שלמות‪,‬‬
‫‪I‬‬
‫‪-‬‬
‫‪R‬‬
‫אם ‪ I‬אידיאל‪ ,‬אז ‪ I‬הוא גרעין של איזשהו הומומורפיזם‪,   a   I  a :‬‬
‫‪I‬‬
‫איננו בהכרח תחום שלמות ולהפך‪.‬‬
‫‪. : R ‬‬
‫משפטי איזומורפיזם של חוגים‪:‬‬
‫‪R1‬‬
‫משפט ראשון‪  : R1  R2 :‬הומומורפיזם‪ .‬אז‪ Im   :‬‬
‫‪ker  ‬‬
‫‪IJ‬‬
‫‪J‬‬
‫‪‬‬
‫משפט שני‪ I , J :‬הם אידיאלים בחוג ‪ R‬אז‪:‬‬
‫‪I‬‬
‫‪I J‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪R‬‬
‫משפט שלישי‪ R , J  I  R :‬חוג‪ I , J ,‬הם אידיאלים‪ .‬אז‪J  R :‬‬
‫‪I‬‬
‫‪I‬‬
‫‪J‬‬
‫)כביכול מצמצמים ב‪.( J -‬‬
‫‪‬‬
‫משפט‪ :‬כל אידיאל ב‪  -‬הוא מהצורה ‪ n‬כאשר ‪ . n  ‬וגם מתקיים‪  n :‬‬
‫‪n‬‬
‫הגדרה‪  a   a  mod n  :‬‬
‫‪‬‬
‫מסקנה‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪.‬‬
‫‪  :    n‬אז מתקיים כי ‪ ‬הוא הומומורפיזם בין חוגים‪.‬‬
‫הוא שדה אם"ם ‪ n‬הוא ראשוני‪.‬‬
‫משפט‪ R :‬הוא חוג קומוטטיבי עם יחידה‪ .‬אם }‪ {0‬ו‪ R -‬הם האידיאלים היחידים‪ ,‬אז ‪ R‬הוא שדה‪.‬‬
‫‪18‬‬
‫©ענת עציון‬
‫אלגברה מודרנית )‪ – (104134‬קיץ תש"ע‬
‫משפט‪ :‬יהיו שני חוגים ‪ R1 , R2‬איזומורפיים‪ . R1  R2 :‬אם ‪ R1‬הוא שדה אז גם ‪ R2‬הוא שדה‪.‬‬
‫‪  1‬זה היחידה של ‪. R2‬‬
‫אידיאל מקסימאלי‪ :‬יהי ‪ R‬חוג ו‪ I -‬אידיאל ב‪ I . R -‬נקרא אידיאל מקסימאלי אם ‪ I‬לא מוכל בשום‬
‫אידיאל אחר פרט ל‪ I -‬ו‪. R -‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪‬‬
‫ב‪ 6 :  -‬הוא אידיאל לא מקסימאלי כי למשל‪. 6  3   :‬‬
‫אבל ‪ 5‬הוא אידיאל מקסימאלי‪.‬‬
‫טענה‪ n :‬הוא אידיאל מקסימאלי ב‪  -‬אם"ם ‪ n‬ראשוני‪.‬‬
‫‪‬‬
‫] ‪ = R[ x‬חוג הפולינומים מעל ‪ . R‬נגדיר‪ . M   p  x   R[ x] | p 1  0 :‬אז ‪ M‬הוא אידיאל‬
‫מקסימאלי ב‪. R[ x ] -‬‬
‫‪R‬‬
‫משפט‪ :‬יהי ‪ R‬חוג קומוטטיבי עם יחידה‪ .‬יהי ‪ I‬אידיאל ב‪ , R -‬אז‪:‬‬
‫‪I‬‬
‫הוא שדה אם"ם ‪ I‬הוא‬
‫אידיאל מקסימאלי‪.‬‬
‫‪19‬‬
‫©ענת עציון‬
‫אלגברה מודרנית )‪ – (104134‬קיץ תש"ע‬
‫חוג הפולינומים‬
‫הגדרה‪= F :‬שדה‪ = F [ x] ,‬אוסף כל הפולינומים עם מקדמים ב‪. F -‬‬
‫פולינום= ‪= x , a0 , a1 , , an  F , f  x   a0  a1 x    an x n‬משתנה ב‪. F -‬‬
‫מעלת הפולינום‪ :‬אם ‪ an  0‬אז ‪ n‬נקרא המעלה של הפולינום ‪ . f  x ‬סימון‪. deg  f  x   :‬‬
‫פולינום האפס‪ :‬פולינום שכל מקדמיו שווים לאפס‪ .‬מעלת פולינום האפס לא תוגדר‪.‬‬
‫‪‬‬
‫טענה‪ :‬‬
‫‪deg  f  x   g  x    max deg  f  x   , deg  g  x  ‬‬
‫‪deg  f  x   g  x    deg  f  x    deg  g  x  ‬‬
‫משפט‪ F [ x] :‬זה חוג קומוטטיבי עם יחידה‪ ,‬בלי מחלקי אפס‪.‬‬
‫משפט‪ . f  x  , g  x   0  F [ x] :‬אז קיימים שני פולינומים ] ‪ q  x  , r  x   F [ x‬כך ש‪:‬‬
‫‪ f  x   g  x   q  x   r  x ‬וגם‪. 0  deg  r  x    deg  g  x   :‬‬
‫אידיאלים ב‪:F[x]-‬‬
‫משפט‪ :‬כל אידיאל בחוג ]‪ F [ x‬הוא אידיאל ראשי )כפולות של איזשהו פולינום(‪.‬‬
‫חוג ראשי‪ :‬חוג שכל אידיאל בו הוא ראשי )למשל‪ :‬חוג הפולינומים(‪.‬‬
‫]‪F [ x‬‬
‫משפט‪ :‬יהא ]‪ , deg  f  x    n , f  x   F [ x‬אז כל איבר ב‪-‬‬
‫‪ f  x ‬‬
‫ניתן להצגה באופן יחיד‬
‫בצורה‪ a0  a1 x    an 1 x n 1   f  x   :‬כאשר‪a0 , a1 , , an 1  F :‬‬
‫הערה‪ :‬המשמעות היא שניתן לכתוב את הקוסט של הפולינום )עם האידיאל ‪ (  f  x  ‬ע"י פולינום‬
‫ממעלה קטנה יותר באופן יחיד‪.‬‬
‫מסקנה‪ :‬נניח ש‪ F -‬שדה ובו ‪ q‬איברים‪ .‬יהא ]‪ f  x   F [ x‬ממעלה ‪ . n‬אז מספר האיברים ב‪-‬‬
‫]‪F [ x‬‬
‫‪ f  x ‬‬
‫הוא‪. q n :‬‬
‫אם ‪ F  Z p‬אז‪ p n :‬‬
‫]‪Z p [ x‬‬
‫‪I‬‬
‫‪.‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪‬‬
‫] ‪[ x‬‬
‫‪ x  x  2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ x 3  x  2  I  I ,‬כי ‪ x 3  x  2  I‬ולכן כאילו שווה לאפס‪.‬‬
‫לא תמיד נמצא בביטוי את האידיאל במלואו‪ ,‬ולכן ניתן לכ תוב‪) x 3  I   x  2  I :‬מעין‬
‫העברת אגפים(‪.‬‬
‫נחשב מכפלה של קוסטים‪:‬‬
‫‪ 2 x  2  I  x 2  3 x  I    x 2  2 x  2  x 2  3 x   I‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ x  5x  8x  6 x  I‬‬
‫נציב‪ x 3   x  2 :‬ונקבל‪.   x  2  x  5   x  2   8 x 2  6 x  I  7 x 2  x  10  I :‬‬
‫‪‬‬
‫] ‪[ x‬‬
‫‪ x  5x  6 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ,‬נחשב‪.  x  2  I  x  3  I    x  2  x  3  I  x 2  5 x  6  I  I :‬‬
‫‪20‬‬
‫©ענת עציון‬
‫אלגברה מודרנית )‪ – (104134‬קיץ תש"ע‬
‫פריקות של פולינומים‪:‬‬
‫פולינום אי‪-‬פריק‪ f  x   F [ x] :‬פולינום שמחלקיו היחידים הם‪ :‬אברי ‪) F‬סקלרים( וכפולותיהם‬
‫באיבר מ‪) F -‬פולינום מאותה מעלה כמו של ‪.( f  x ‬‬
‫הערה‪ :‬פולינום ממעלה ‪ 2‬או ‪ 3‬הוא פריק אם"ם יש לו שורש‪.‬‬
‫]‪F [ x‬‬
‫משפט‪:‬‬
‫‪ f  x ‬‬
‫הוא שדה אם"ם ‪ f  x ‬הוא פולינום אי‪-‬פריק‪.‬‬
‫הערה‪ I   f  x   :‬הוא אידיאל מקסימאלי אם"ם ‪ a  x ‬אי‪-‬פריק ב‪. F [ x] -‬‬
‫משפט‪ , a  F , f  x   F [ x] :‬אז‪:‬‬
‫‪. f  x    x  a  q  x   f  a  .1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.  x  a | f  x  f a  0‬‬
‫מסקנה‪ . deg  f  x    2 , f  x   F [ x] :‬אם יש ל‪ f  x  -‬שורש ב‪ F -‬אז ‪ f  x ‬הוא פריק )כי‬
‫אם ‪ a‬הוא שורש אז‪.( f  x    x  a  q  x  :‬‬
‫הערה‪ :‬המשפט ההפוך לא נכון‪ .‬לא לכל פולינום פריק יש שורש בשדה‪.‬‬
‫משפט‪ deg  f  x   , f  x   F [ x] :‬שווה ‪ 2‬או ‪ .3‬אם ‪ f  x ‬פריק‪ ,‬אז יש לו שורש ב‪. F -‬‬
‫מסקנה‪ f  x   F [ x] :‬ממעלה ‪ 2‬או ‪ ,3‬אז ‪ f  x ‬אי‪-‬פריק מעל ‪ F‬אם"ם אין ל‪ f  x  -‬שורש ב‪-‬‬
‫‪.F‬‬
‫משפטים על פריקות בשדות מסויימים‪:‬‬
‫‪‬‬
‫כל פולינום ממעלה גדולה מ‪ 1-‬הוא פריק מעל ‪) ‬לפי המשפט היסודי של האלגברה‪ ,‬לכל‬
‫פולינום עם מקדמים ב‪ ,  -‬יש שורש ב‪.(  -‬‬
‫‪‬‬
‫השורשים המרוכבים מופיעים בזוגות‪ -‬שורש והצמוד שלו‪.‬‬
‫‪‬‬
‫כל פולינום ממעלה לפחות ‪ 3‬ב‪ [ x] -‬הוא פריק מעל ‪. ‬‬
‫‪‬‬
‫כל פולינום ממעלה אי‪-‬זוגית‪ ,‬יש לו שורש ממשי ב‪  -‬ולכן הוא פריק‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪p‬‬
‫יהא ‪ f  x   a0  a1 x  a2 x 2    an x n‬פולינום עם מקדמים שלמים‪ .‬נניח ש‪-‬‬
‫‪q‬‬
‫הוא שבר‬
‫מצומצם שהוא שורש של ‪ . f  x ‬אז‪ p | a0 :‬וגם‪. q | an :‬‬
‫משפט אייזנשטיין‪ :‬נניח ש‪ f  x   a0  a1 x  a2 x 2    an x n -‬כאשר‪a0 , a1 , a2 , , an :‬‬
‫שלמים‪ .‬ונניח שקיים מספר ראשוני ‪ p‬כך ש‪ p | a0 , p | a1 , p | a2 ,  , p | an 1 :‬וגם‪:‬‬
‫‪ . p | an , p 2 | a0‬אם כל אלה מתקיימים אז ‪ f  x ‬הוא אי פריק מעל ]‪. [ x‬‬
‫‪21‬‬
‫©ענת עציון‬