bacheloropgave færdig PDF

Transcription

Ibrahim Diab Abdallah
Studie nr.: Bk10d465
Bacheloropgave i matematik
d. 22-04-2014
Indholdsfortegnelse
Indledning: ......................................................................................................................................................... 3
Problemformulering: ......................................................................................................................................... 4
Metode: ............................................................................................................................................................. 4
Empiri: ............................................................................................................................................................... 5
Interview:....................................................................................................................................................... 5
Observation: .................................................................................................................................................. 6
Elevopgaver: .................................................................................................................................................. 6
Forældreopgaver: .......................................................................................................................................... 7
Resultater af forældreprøverne: ................................................................................................................... 8
Begrebsafklaring: ............................................................................................................................................... 8
Flersprogede matematikklasser: ................................................................................................................... 8
Kontekst:........................................................................................................................................................ 9
Situationsafhængig eller situationsuafhængig: ............................................................................................. 9
Dekontekstualiserede sprogfærdigheder:..................................................................................................... 9
Teori:.................................................................................................................................................................. 9
Årsager til elever kommer i matematikvanskeligheder: ............................................................................... 9
Sociologiske årsager: ................................................................................................................................... 10
Didaktiske årsager: ...................................................................................................................................... 11
Sprog og matematik .................................................................................................................................... 11
Tilegnelse af og læring på andetsproget: ................................................................................................ 11
Når matematiklæring forgår på andetsproget: ....................................................................................... 12
Strategier til at udvikle to fremmedsprog på samme tid: ....................................................................... 13
Cummins´ matrix: ........................................................................................................................................ 14
Uformelle/formelle – matematik færdigheder: .......................................................................................... 16
Læringsmiljø der medtænker tosprogede elever: ....................................................................................... 16
Læreren ................................................................................................................................................... 16
Eleven ...................................................................................................................................................... 17
Kompensatorisk pædagogik, det depriverede barn og den depriverede familie: ...................................... 18
Analyse: ........................................................................................................................................................... 20
Kort om analyse ........................................................................................................................................... 20
Problematisering: ........................................................................................................................................ 21
UCC - Læreruddannelsen Blaagaard KDAS
Side 1 af 46
d. 22-04-2014
Sociologiske årsager .................................................................................................................................... 22
Analyse af PISA opgave ............................................................................................................................ 23
Analyse af lærerbogsopgave ................................................................................................................... 26
Didaktiske årsager: ...................................................................................................................................... 30
Lærernes pædagogiske diskurs ............................................................................................................... 32
Konklusion: ...................................................................................................................................................... 33
Handleperspektiv: ........................................................................................................................................... 34
Perspektivering ................................................................................................................................................ 35
Litteraturliste: .................................................................................................................................................. 36
Bilag 1 – interviewguide .................................................................................................................................. 37
Bilag 2 - elevopgaver ....................................................................................................................................... 39
Bilag 3 - forældreprøve .................................................................................................................................... 41
Bilag 4 – PISA opgave....................................................................................................................................... 42
Bilag 5 – Elevopgaver fra ”Faktor i syvende” ................................................................................................... 43
Bilag 6 - observation ........................................................................................................................................ 44
Bilag 7 – Interview ........................................................................................................................................... 45
Side 2 af 46
d. 22-04-2014
Indledning:
Den kulturelle diversitet i det danske samfund blev især iøjnefaldende, efter gæstearbejderne i
1960´erne kom til landet. Lige siden er antallet af migranter og flygtninge steget stødt i takt med
globaliseringen. Denne kulturelle diversitet i det danske samfund har på skole- og
daginstitutionsområdet betydet, at mange forskellige pædagogiske tiltag såsom tværkulturel
pædagogik, multikulturel pædagogik, anti-racistisk pædagogik og dansk som andet sprog er blevet
til (Buchardt & Fabrin, 2012). Disse tiltag er blevet etableret for bl.a. at styrke fagligheden hos
elever med anden etnisk baggrund end dansk.
I 1997 besluttede undervisningsministeriet at Danmark skulle deltage i OECD-programmet PISA –
”… et projekt der har til hensigt at måle, hvor godt unge mennesker er forberedt til at møde
udfordringerne i dagens informationssamfund.” (PISA Etnisk, 2009, s.4). I PISA 2000 og 2003 viste
det sig, at elever med anden etnisk baggrund end dansk klarede sig betydeligt dårligere end
etniske danske elever i faget matematik. For at opnå et mere sikkert resultat, af anden etniske
elevers kompetencer, blev der i 2005 fortaget en særlig PISA-undersøgelse af 5000 elever, fra
skoler med en stor andel af elever som var anden etniske. I 2009 og senere i 2012 blev endnu to
PISA-undersøgelser lavet med fokus på elever med anden etnisk baggrund. Disse PISAundersøgelse fik navnet ”PISA Etnisk 2009” og ”PISA Etnisk 2012”. Ifølge PISA har den danske
folkeskole en stor udfordring i at få mindsket gabet mellem de etnisk danske elever og elever med
anden etnisk baggrund.
Grundet mit kommende virke som matematiklærer i folkeskolen finder jeg det yderst interessant
at undersøge, hvorfor elever med et andet modersmål end dansk og en anden kulturel baggrund
klarer sig væsentligt dårligere end etnisk danske elever i faget matematik. Derefter vil jeg gå mere
i dybden med, hvad det indebærer at lære matematik på et andet sprog, og hvorledes
undervisningen i en flersprogede/flerkulturel matematikklasse kan organiseres, således at
flersprogede elever kan opnå deres fulde potentiale i matematikundervisningen. Dette leder mig
frem til min problemformulering:
Side 3 af 46
d. 22-04-2014
Problemformulering:
Hvorfor ender tosprogede elever i matematikvanskeligheder, og hvordan kan matematiklæreren
anvende denne viden til at tilrettelægge en undervisning i en flersproget matematikklasse?
Metode:
For at arbejde mig frem mod at få svar på min problemformulering, anvender jeg to af Engströms
årsagsforklaringer til at elever kommer i matematikvanskeligheder. Jeg anvender både de
sociologiske og de didaktiske årsager, da jeg mener, at disse to årsager kan rette sig specifikt mod
tosprogede elever. I undersøgelsen belyses, hvilke vanskeligheder tosprogede elever kommer i, i
matematiktimerne, ved en analyse af en PISA opgave fra 2003 (Bilag 4) og en opgave fra fagbogen
”Faktor i syvende” (Ejersbo & Mogensen 2007:80) (Bilag 5). Til at undersøge sprogets, kulturens
og kontekstens betydning for, hvorvidt tosprogede elever kommer i matematikvanskeligheder,
anvendes
bl.a.
teorierne/teoribegreberne:
”dekontekstualiserede
sprogfærdigheder”,
”matematiske symbolsprog”, ”sprog af første/anden orden”, ”dagligsprog”, Cummins matrix og
kontekstens eller elevens kulturelle baggrunds betydning for præstationen i matematik.
Ydermere anskueliggøres det, hvilke kulturelle/faglige forudsætninger tosprogede forældre har for
at hjælpe deres børn med det faglige arbejde, samt hvilken betydning forældrenes indflydelse har
på elevernes præstationer. Til dette anvender jeg min empiri i form af forældreopgaver og Cao,
Bishop & Forgasz´ undersøgelse af forældrenes forventninger til deres børns præstationer i
matematik. Didaktikken, som lærerne på den pågældende skole anvender, og som jeg valgte at
spørge ind til i interviewet, har jeg bl.a. undersøgt med teorien omhandlende: ”læringsmiljø der
medtænker tosprogede elever”. For at undersøge hvilken pædagogik lærerne anvender, har jeg
anvendt begreberne det depriverede barn, den depriverede familie og kompensatorisk
pædagogik. De første to begreber undersøger, hvilken diskurs matematiklærerene taler ud fra, og
dermed hvilken pædagogisk/didaktisk tænkning lærerne har om disse elever. I handleperspektivet
inddrager jeg en modsætning til kompensatorisk pædagogik i form af den interkulturelle
pædagogik, hvor eleven forstås som et barn med ressourcer frem for mangler.
Side 4 af 46
d. 22-04-2014
Empiri:
Interview:
Til indsamling af empiri har jeg benyttet mig af flere strategier. Jeg har observeret (systematisk og
ikke-deltagende) tre matematiklærere undervise i udskolingen. I hver af de tre klasser, jeg
observerede, var der mindst fem tosprogede elever. Mine observationer i klasserne gik i al sin
enkelthed ud på at gøre mig i stand til, at jeg senere i et gruppeinterview kunne stille de
pågældende lærere spørgsmål om deres didaktiske overvejelser omkring de tosprogede elever i
klassen. Fordelen ved at anvende interview er, at det giver muligheden for at få informantens
subjektive perspektiver frem for den ensidige ydre observation. En anden fordel ved at benytte
interviewet er, at det giver mulighed for at få øje på detaljer og nuancer, der ellers kunne blive
overset. ”Samtalen er måske den bedste måde at tage del i en anden persons tanker på – at
antage den andens perspektiv” (Bjørndal 2013:100). Når man benytter sig af interview, har dette
også nogle ulemper. Man kan f.eks. komme til at påvirke informanten således, at hele den
indsamlede information bliver ”farvet” af interviewerens egne perspektiver. Derfor er det vigtigt,
at jeg som interviewer, har været opmærksom på dette for at begrænse en sådan påvirkning. Når
man skal interviewe, er det vigtigt at gøre op med sig selv, hvilken form for interview man vil
benytte, samt hvilke svagheder/styrker interviewformen man vælger har. Det repertoire af
interviews man kan vælge imellem spænder fra at være yderst struktureret, hvor tid, struktur og
svarmuligheder osv. på forhånd er givet, til et ustruktureret interview, som består af et uformelt
samtale-interview, hvor både interviewer og informanten har stor frihed til at vinkle samtalen.
Jeg har valgt, at benytte mig af en interviewguide, som beskrives således: ”En interviewguide er en
mere eller mindre detaljeret oversigt over temaer og/ eller spørgsmål, der skal tages fat på i løbet
af et interview” (Bjørndal 2013:102). Ved denne interviewform struktureres interviewet mere end
ved det uformelle samtale-interview. Ved brug af en interviewguide havde jeg mulighed for at
ændre f.eks. på rækkefølgen af de allerede planlagte spørgsmål samt at stille opfølgende
spørgsmål, hvilket vil give mulighed for flere nuancer. Denne interviewform har givet mig
mulighed for at få information, som jeg muligvis ikke havde tænkt over inden interviewet, men på
samme tid har jeg også nogle temaer og spørgsmål, som jeg er sikker på at få svar på. Denne
Side 5 af 46
d. 22-04-2014
relativt ustrukturerede form for interview er fordelagtig at benytte sig af, når man skal interviewe
en gruppe, hvor det ofte er formålet at få en masse information om et tema/emne. (Bilag 1).
Observation:
Følgende observation har jeg lavet i en 7. klasse i matematik. Eleverne skal for første gang arbejde
med funktioner, og læreren starter med at tegne forskellige eksempler på funktioner ved tavlen.
Han forklarer eleverne, at en funktion er en graf, hvor om der gælder, at der for hver X-værdi max.
må være én Y-værdi. Eleverne i klassen sidder i forskellige øer og overfor hinanden sidder to
arabisk-talende drenge – Hassan og Mustafa. Efter læreren har tegnet flere eksempler på
funktioner og ikke-funktioner, skal eleverne selv sidde og vurdere, hvorvidt der er tale om
funktioner eller ej i en opgave fra opgavebogen. Hassan rækker hånden op, og følgende dialog
opstår mellem matematiklæreren og Hassan (Bilag 6).
Elevopgaver:
Jeg har selv udarbejdet en prøve til en gruppe elever i 2. klasse. Denne prøve blev gennemført i
det sene efterår, da eleverne havde gået i 2. klasse i nogle måneder. Prøven tager udgangspunkt i
opgaver, som eleverne har lavet tidligere i fagbogen Kontext 2 (bilag 2). Jeg har, som det ses i
diagrammerne nedenfor, opdelt eleverne i etniske danske elever og tosprogede elever. Diagram 1
illustrerer elevernes korrekte svar i procent for hver enkelt opgave i prøven, mens opgave 2
illustrerer elevernes korrekte svar igennem den samlede prøve. Diagrammerne illustrerer
udelukkende, hvorvidt eleverne har svaret rigtigt i opgaverne, og de giver derfor intet billede af
hvad eleverne har tænkt, eller hvordan eleverne er nået frem til deres resultater.
Side 6 af 46
d. 22-04-2014
Diagram 1
100
90
80
70
60
Antal korekte svar i
50
procent
40
Etnisk Danske elever
Tosprogede elever
30
20
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Opgave nr.
Diagram 2
100
90
80
70
60
Antal korrekte svar
af hele prøvesættet 50
i procent.
40
30
20
10
0
Etnisk danske Elever
Tosprogede elever
Elevgrupper
Forældreopgaver:
Foruden at teste nogle elever, har jeg også testet forældre i forskellige typer af opgaver. Dette har
jeg gjort for at finde ud af, hvilke forudsætninger forældrene har for at hjælpe deres børn med
Side 7 af 46
d. 22-04-2014
lektier. I alt er der testet seks forældre – tre tosprogede forældre og tre etnisk danske elevers
forældre. De tre tosprogede forældre - to fra Tyrkiet og én fra Libanon, har alle gået i deres
respektive landes folkeskoler. Ingen af dem har gået i den danske folkeskole. Alle testpersoner er
forældre til elever, som går i den samme 4. klasse. Opgaverne 1, 2 og 3 har jeg selv udarbejdet,
mens opgave 4 er taget fra fagbogen ”Sigma for syvende” (Schultz & Christensen 2004:39).
Forældrene fik 20 minutter til at løse opgaverne uden brug af hjælpemidler i opgave 1, såsom
lommeregner eller fagbøger. Der måtte ikke tales sammen under prøverne (bilag 3).
Resultater af forældreprøverne:
Opgave 1)
-
a) Alle seks forældre svarede korrekt på denne opgave.
-
b) Alle seks forældre svarede korrekt på denne opgave.
-
c) To etniske danske forældre svarede rigtigt. Alle tre tosprogede svarede korrekt.
-
d) Én etnisk dansk forældre svarede korrekt. Alle tre tosprogede svarede korrekt.
Opgave 2)
-
a) To etnisk danske forældre svarede korrekt. To tosprogede svarede korrekt.
-
B) To etnisk danske forældre svarede korrekt. Alle tre tosprogede svarede korrekt.
Opgave 3)
-
Alle tre etnisk danske forældre svarede korrekt. Én af de tosprogede forældre svarede
korrekt.
Opgave4)
-
a) Alle tre danske forældre svarede korrekt. Én af de tosprogede forældre svarede korrekt.
-
b) Alle tre danske forældre svarede korrekt. Én af de tosprogede forældre svarede korrekt.
Begrebsafklaring:
Flersprogede matematikklasser:
Når jeg i denne opgave anvender betegnelsen flersprogede matematikklasser, betyder det, at vi
har med en matematikklasse at gøre, hvori der går elever, som ville kunne gøre brug af ét eller
Side 8 af 46
d. 22-04-2014
flere sprog i matematiktimerne. Det kunne f.eks. være en matematikklasse, hvori der går en elev,
der er født i Irak, og derfor både taler arabisk og dansk.
Kontekst:
Jeg benytter ordet kontekst i en matematisk sammenhæng som ”...den ´virkelighed´,
opgavekontekst, som matematikopgaver handler om” (Rönnbjerg & Rönnberg 2013:341).
Konteksten siger ikke noget om, i hvilken sammenhæng opgaven stilles i.
Situationsafhængig eller situationsuafhængig:
Begreberne situationsafhængig eller situationsuafhængig referer til den sammenhæng
matematikopgaverne stilles i. Dette betyder, at vi ved brug af disse to begreber kan skelne
mellem opgaver, der stilles i en konkret sammenhæng, og opgaver der ikke stilles i en konkret
sammenhæng. (Rönnberg & Rönnberg 2013)
Dekontekstualiserede sprogfærdigheder:
Dette begreb anvendes til beskrivelse af en kommunikation, der er situationsuafhængig. Altså skal
de dekontekstualiserede sprogfærdigheder benyttes, når man f.eks. studerer matematik i en
matematikfagbog, eller når man kommunikere om matematikken i matematiktimerne. Der
kommunikeres her på et sprog, som ikke er det samme som dagligsproget (Rönnberg & Rönnberg
2013).
Teori:
Årsager til elever kommer i matematikvanskeligheder:
Når elever af den ene eller anden art har vanskeligheder i matematik, benytter jeg mig af begrebet
”elever i matematikvanskeligheder” og ikke ”elever med matematikvanskeligheder. Grunden til
dette er, at man på den måde ikke sætter skylden direkte på eleven, men at man på den måde ser
elevens vanskeligheder i matematikken i et større perspektiv, hvor man f.eks. medtænker ydre
forhold såsom kulturelle, sociale eller didaktiske faktorer. For at beskrive forskellige årsager til at
Side 9 af 46
d. 22-04-2014
elever kommer i matematikvanskeligheder, benytter jeg mig af Engströms fire synsvinkler (Jess,
Skott, & Hansen 2012):
-
Medicinsk/neurologiske/neuropsykologiske årsager
-
Psykologiske årsager
-
Sociologiske årsager
-
Didaktiske årsager
Da mit emne for bacheloropgaven ikke omhandler elever i matematikvanskeligheder – generelle
matematikvanskeligheder
-
men
udelukkende
omhandler
tosprogede
elever
i
matematikvanskeligheder – specifikt - har jeg valgt at have fokus på de to sidstnævnte årsager –
sociologiske årsager og didaktiske årsager. Jeg fravælger dermed den medicinske/neurologiske
årsag, grundet at denne årsag indebærer, at: ”... eleven har en hjerneskade eller anden fysisk eller
psykisk funktionsnedsættelse” (Min oversættelse) (Jess, et al 2012:19). Den psykologiske årsag
indebærer,
at
”…
forklaringen
søges
i
den
manglende
motivation
eller
koncentrationsvanskeligheder hos eleven, angsten eller andre forskellige kognitive årsager” (Min
oversættelse (Jess, et al 2012:19). De to ovenstående årsagsforklaringer på, hvorfor visse elever
befinder sig i matematikvanskeligheder, finder jeg som sagt ikke relevant for min opgave, da
årsagerne henviser til elever med hjerneskader eller andre kognitive årsager, og dermed ikke
specifikt målretter sig mod tosprogede elever. Herimod er de to årsagsforklaringer: de sociologiske
og de didaktiske årsager mere relevante i forhold til tosprogede elever i matematikvanskeligheder.
Sociologiske årsager:
Når vi kigger på de sociologiske årsager til at elever kommer i matematikvanskeligheder, er der
mange parametre, der spiller ind. Forældrenes økonomiske ressourcer har vist sig i en engelsk
undersøgelse at må tillægges en ret så stor betydning for, hvordan eleverne klarer sig i skolen.
Undersøgelsen konkluderer kort:
-
Når den fattigste femtedel og den rigeste femtedel af befolkningen sammenlignes, opnår
74,2% af de fattigste 11-årige de fastlagte officielle mål, mens hele 97% af de rigeste 11årige opnår målene.
Side 10 af 46
-
d. 22-04-2014
37% af de fattigste mødre til børn på 9 år, håber på at deres børn kommer på universitet,
mens hele 81% af de rigeste mødre håber på dette.
-
21,4% af den fattigste femtedel af 16 årige elever opnår gode karakter i skolen, mens
tallene for de rigeste 16 årige er på 74,3% (Jess, et al 2012).
Ud fra disse tal ses der en tydelig sammenhæng mellem forældrenes ambitioner og elevernes
resultater i skolen. Dermed er det ikke kun de økonomiske årsager, som spiller ind.
Forældreengagementet hos de ressourcesvage forældre har vist sig at være på lige fod med de
ressourceriges forældre i indskolingen, men når eleverne kommer op i de højere klasser, falder
forældreengagementet hos de ressourcesvage. Dette forklares ved, at de ressourcesvage forældre
ikke er i stand til at hjælpe deres børn, når det faglige niveau bliver for højt, hvilket også resulterer
i, at forældrenes ambitioner for deres børn falder (Jess, et al 2012).
Didaktiske årsager:
Når elever er i matematikvanskeligheder, kan det ikke altid forklares ud fra de sociologiske,
psykologiske eller medicinsk/neurologiske årsager. Det må også erkendes, at det i visse tilfælde
kan skyldes lærerens didaktiske overvejelser. Besidder læreren ikke nogen didaktiske
kompetencer, som kan hjælpe med at planlægge, udføre og evaluere på undervisningen, kan dette
være med til at bibeholde nogle elever i matematikvanskeligheder. Når man f.eks. har tosprogede
elever i klassen, er det vigtigt at læreren medtænker, hvilke kognitive processer eleverne må
igennem, samt hvilke forudsætninger eleven kommer med, for at få mest muligt udbytte af
matematiktimerne.
Sprog og matematik
Tilegnelse af og læring på andetsproget:
Når tosprogede elever i den danske folkeskole bliver undervist i matematik, bliver de udfordret på
flere områder i sproget. I modsætning til etnisk danske elever bliver de tosprogede udfordret både
i det matematiske sprog og andetsproget. Børn lærer ofte dagligsprog på ganske kort tid – ca. to
år. Med dagligsprog menes der et sprog, som benyttes til at kommunikere på i
Side 11 af 46
d. 22-04-2014
situationsafhængige kontekst. Det vil sige, at et barn der behersker dagligsproget, sagtens kan
kommunikere på dansk f.eks. i fritidshjemmet, og når barnet er sammen med vennerne. Kigger vi
derimod på de dekontekstualiserede sprogfærdigheder, tager det alt afhængigt af, om eleven er
blevet undervist i hjemlandet eller ej, mindst fem år at tilegne sig dette sprog. Har eleven ikke
modtaget undervisning i hjemlandet, kan det tage længere tid. Forskning har vist, at det har en
positiv afgørende betydning for tosprogede elevers andetsprog og det dekontekstualiserede
sprog, hvis eleven styrkes i modersmålet. Undersøgelser fortaget af Thomas og Collier konkluderer
at undervisningsmodeller, der giver tosprogede elever de bedste forudsætninger for at udvikle
andetsproget og det dekontekstualiserede sprog, er modeller hvor undervisningen skiftevis
foregår på forskellige sprog (Rönnberg & Rönnberg 2013).
Altså kan den sprogpolitik, som den enkelte lærer benytter, være afgørende for tosprogede
elevers udvikling af andetsproget og det dekontekstualiserede sprog. Hvis tosprogede elever f.eks.
i nogen grad får lov at bruge deres modersmål i matematiktimerne, kan det styrke disse elevers
andetsprog.
Når matematiklæring forgår på andetsproget:
Opgaver, hvori der indgår tekst, er i de senere år blevet mere og mere udbredt i folkeskolen og
allerede i de tidlige skoleår, forekommer disse tekstopgaver. Arbejdet med tekstopgaver i
matematik de første skoleår er yderst vigtige, da dette kan være med til at udvikle de
sprogfærdigheder, eleverne især vil blive udfordret på i de senere skoleår. Altså betyder det, at
eleverne allerede i de små klasser arbejder med at udvikle det dekontekstualiserede sprog. Der er
tre vigtige trin, hvor sproget spiller en central rolle, når elever skal kunne løse en
matematikopgave indlejret i en masse tekst. For det første skal eleverne kunne forstå ordene i
opgaven. Dernæst skal eleverne kunne tolke de matematiske relationer i opgaven, således at de
kan forstå, hvad opgaven går ud på. Sidst men ikke mindst skal eleverne kunne anvende de
matematiske relationer for at løse opgaven korrekt.
Marit Johnsen Høines skelner mellem sprog af første orden og sprog af anden orden. ”Sprog af
første orden er sprog, som vi anvender spontant og forstår umiddelbart som for eksempel
modersmålet. Sprog af anden orden er sprog, der på samme måde som fremmedsprog kræver
oversættelse til sprog af første orden” (Rönnberg & Rönnberg 2013:346).
Side 12 af 46
d. 22-04-2014
Ifølge Høines hører det matematiske register og det matematiske symbolsprog udelukkende til
sprog af anden orden. Dette gælder for alle elever uanset etnicitet. Tosprogede elever i Danmark,
skal derfor kunne navigere imellem flere sprog på et og samme tid - det matematiske register, det
matematiske symbolsprog og andetsproget. For at kunne kommunikere ved brug af det
matematiske register og det matematiske symbolsprog, kræver det, at eleverne har udviklet de
dekontekstualiserede sprogfærdigheder.
Strategier til at udvikle to fremmedsprog på samme tid:
Når tosprogede elever skal lære matematik i den danske folkeskole, bliver de som tidligere nævnt
udfordret i flere ”fremmedsprog” på samme tid – dels dansk og til dels det matematiske sprog.
Derfor er det vigtigt, at matematiklæreren besidder nogle strategier, som kan hjælpe eleverne
med at beherske to fremmedsprog på samme tid. Ifølge Høgmo opstår der problemer for
tosprogede elever, når de skal indgå i klassediskussioner eller gruppearbejde, hvor det er yderst
vigtigt, at eleverne kan tolke på det andre i klassen siger. Ydermere har tosprogede elever som
tidligere nævnt også betydelig større vanskeligheder, når der skal løses problemløsningsopgaver
frem for færdighedsregning. Nedenfor gives der forslag til, hvordan arbejdet med problemløsning
kan organiseres både før, under og efter opgaveløsningen. Alle aktiviteter skal forgå enten i
plenum, grupper eller pararbejde.
Før opgaveløsning:
-
”Læs teksten grundigt. Diskuter ord og formuleringer efter behov. Dette kan være med til at
tydeliggøre vigtigheden af at læse og forstå problemstillingen, og eleverne vil blive mere
bevidste om andetsproget og matematiksproget.
-
Stil åbne spørgsmål som relaterer til forståelsen af problemet. Fokuser på, hvad der spørges
om, og hvilke data der behøves for at løse problemet.
-
Eleverne foreslår (skriftligt eller mundtligt) mulige løsningsstrategier. Censurer ikke, og
vurder ikke ideerne på dette tidspunkt.
Under opgaveløsning:
Side 13 af 46
-
d. 22-04-2014
Vær opmærksom på eleverne, mens de arbejder. Stil åbne spørgsmål til deres arbejde.
Læreren er aktiv, men passer på ikke at lægge eleverne ord i munden.
-
Giv ledetråde til elever, der er kørt fast. Stil spørgsmål (lærer eller elev) til eleverne, der
hjælper eleverne til at forstå problemet, hvis det behøves. Vær sikker på, at der er hjælp at
hente til problemløsningen: Materialer, illustrationer, opslagsbøger etc.
-
Eleverne skal sammenholde deres svar med de givne forudsætninger
-
Give et nyt problem til elever, der er tidligt færdige – eventuelt af samme slags
-
Eller lade eleverne formulere tilsvarende opgaver, som de giver til hinanden.
Efter opgaveløsning:
-
Diskuter elevernes løsninger på problemet. Vis om muligt forskellige måder at løse
problemet på.
-
Sammenlign de forskellige strategier, der er fra forskellige makkerpar, grupper, elever.
-
Benyt lejligheden til at lade eleverne argumentere for deres valg af strategi i plenum,
grupper, makkerpar.
-
Sammenlign det løste problem med tidligere løste problemer.
-
Diskuter specielle indslag i problemet som for eksempel misledende eller overflødig
information” (Andersen 2008:45).
Cummins´ matrix:
Andetsprogsforskeren, Jim Cummins, har udviklet en matrix til at støtte skolelærere i deres
arbejde med organisering af undervisningen ”… der udvikler elevernes evne til at håndtere og tolke
kognitive krævende og kontekstreducerede tekster” (Rönnberg & Rönnberg 2013:347).
På figuren nedenfor illustreres Cummins´ matrix med indarbejdet matematiske aktiviteter, som
kan benyttes af matematiklærere med henblik på at tydeliggøre sammenspillet mellem de
kognitive og sproglige krav, der stilles i de forskellige undervisningsaktiviteter. Denne matrix kan
med andre ord hjælpe læreren med at organisere en undervisning, som tilstræber, at elevernes
evne indenfor tekstopgaver bliver kvalificeret.
Side 14 af 46
d. 22-04-2014
Figuren illustrerer Cummins matrix med matematisk aktivitet (Rönnberg & Rönnberg 2013:348).
Ser vi nærmere på figuren ovenfor, skal elever, som endnu ikke har fået udviklet de
dekontekstualiserede sprogfærdigheder (kaldet skolesprog i figuren), samt evnen til at løse
tekstopgaver arbejde efter pilens retning i tre trin. Dette betyder, at disse elever først skal arbejde
med kognitive enkle opgaver, der er situationsafhængige. Det kunne f.eks. være at en klasse blev
bedt om at løse nogle simple matematiske problemstillinger med henblik på en klassefest.
Aktiviteten er her situationsafhængig, og alle elever kan deltage, da der kun benyttes
dagligsproget. I det næste trin, går opgaven fra at være kognitiv enkel til at være kognitiv
krævende. For at køre videre med eksemplet med klassefesten, kan eleverne nu få nogle sværere
opgaver, men opgaverne er stadig situationsafhængige. På trin tre skal eleverne nu udfordres i
situationsuafhængige opgaver med høje kognitive krav. Her kan konteksten enten være kendt
eller ukendt. Er konteksten kendt, betyder det, at eleverne skal løse opgaver, som andre har lavet,
men at eleverne godt kan relatere til problemstillingen. Er konteksten ukendt, kan eleverne
derimod ikke relatere til problemstillingen, og opgaven bliver derfor mere vanskelig at løse. På trin
tre gøres der brug af det dekontekstualiserede sprog, hvilket gør opgaven sværere, end hvis der
blev talt med dagligsproget.
Side 15 af 46
d. 22-04-2014
Uformelle/formelle – matematik færdigheder:
Allerede inden skolestart har børn nogle matematiske færdigheder med sig i bagagen. F.eks.
udvikler børn matematiske strategier for division, når de eksempelvis får noget slik, de skal dele
imellem sig. Disse matematiske færdigheder som børn udvikler inden skolestart, kaldes for
uformelle færdigheder, mens de færdigheder børnene tilegner sig i skolen kaldes for formelle
færdigheder. Alt afhængigt af forældrenes og institutionernes fokus på disse uformelle
matematiske færdigheder, udvikles elevernes færdigheder. På samme tid som eleverne udvikler
deres uformelle matematiske færdigheder, udvikles også nogle begreber, som er forankret i den
omgivende kultur. F.eks. udvikler børn matematiske begreber indenfor geometriske former som
cirkler, trekanter og firkanter. Disse uformelle matematiske begreber/færdigheder som børn
udvikler inden skolestart, er udviklet på barnets modersmål, da sprog og begreber udvikles i det
sociale rum. ”Mange børn har svært ved at forbinde de uformelle færdigheder, de har udviklet før
skolestart, med den formelle matematik, de møder i skolens undervisning” (Rönnberg & Rönnberg
2013:344).
Derfor er det vigtigt, at man som matematiklærer danner sig et overblik over elevernes
forudsætninger, og arbejder videre med disse. For at medtænke tosprogede elevers
forudsætninger, må matematiklæreren altså tillade eleven at bruge sit modersmål, så eleven får
mulighed for at koble den uformelle matematik sammen med den formelle.
Læringsmiljø der medtænker tosprogede elever:
For at skabe et læringsmiljø der medtænker tosprogede elever, kan man som lærer sætte fokus på
flere elementer:
Læreren
Når man som lærer skal skabe et overblik over, hvilke vanskeligheder en tosproget elev står
overfor, om end der er tale om matematiske, kulturelle eller sproglige vanskeligheder, så kan det
ikke gøres ud fra en test. ”Læreren må gennem samtalen/dialogen med sin elev afdække
karakteren af elevens problem” (Andersen 2008:50). Dvs. at samtalen i klassen er helt central, når
Side 16 af 46
d. 22-04-2014
disse elevers vanskeligheder skal afdækkes. For at give tosprogede elever bedst mulighed for at
lære, må læreren have nogle strategier ved hånden. Det kunne f.eks. være:
-
Ved introduktion af nyt emne, bør læreren have en liste med nye ord som måske ikke alle
kender. Disse nye ord, skal forklares af eleverne efterhånden som de dukker op i forløbet.
hvis ingen af eleverne kan ordne, forklares de af læreren.
-
Bed eleverne give synonymer til det nye ord, eller forklaringer til ordet.
-
Alle nye ord bør relateres til allerede kendte sammenhænge
-
Læreren bør skabe rammer, så alle elever føler sig trygge ved at indgå i en matematisk
diskussion.
-
Spørg ikke en elev ”har du forstået” da mange elever kan føle sig presset til at sige ja uden
egentlig at have forstået. I stedet kan samtalen mellem læreren og eleven, give læreren et
peg om hvorvidt eleven har forstået eller ej.
-
Det er vigtige at lade eleverne bruge sproget i matematik, da man lære sprog ved at bruge
det (Andersen 2008).
Eleven
Som tidligere nævnt i opgaven spiller sproget en central rolle for tosprogede elevers udbytte af
matematiktimerne. Når sproget bliver utilstrækkeligt for disse elever, anvender de ofte flere
forskellige af nedstående strategier, som kan gå hen og blive en hindring der fastholder dem i
vanskelighederne.
-
”Eleverne anvender ,,overfladeregning”. De ser på tallene i en opgave uden at reflektere
over indholdet. Overvejelser af følgende type inddrages ,,Hvis det største tal står først, skal
jeg nok trække fra. Hvis det mindste tal står først, lægger jeg til”.
-
Eleverne kopierer andre elevers arbejde.
-
Eleverne svarer ,,ja” til forståelsesspørgsmål fra læreren, fordi det er frustrerende altid at
skulle sige ,,det forstår jeg ikke”.
-
Eleverne ,,gemmer sig” i undervisningen
-
Eleverne udvikler procedurestrategier i matematik, hvor de ikke opbygger forståelse for det
faglige indhold.
Side 17 af 46
-
d. 22-04-2014
Når eleverne arbejder med tekststykker i matematik, hvor afkodning af teksten skaber
problemer, søger de efter de tal, der findes i opgaven og gør ,,et eller andet” uden reelt at
have forstået problemstillingen i opgaven” (Andersen 2008:51).
For at eleverne skal mindske brugen af ovenstående strategier, kan læreren være opmærksom på
flere af følgende forhold.
-
”Give eleverne god tid til at observere og lytte
-
Lad eleverne anvende dansk, når de synes, de er parat til det. Der er mange måder at vise
viden og indsigt på.
-
Det er vigtigt at eleverne arbejder med mange forskellige repræsentationsformer for at
knytte an til kendte begreber eller læring af nye.
-
Hvis det er muligt, så arbejd i makkerpar, hvor eleverne har samme første sprog.
-
Hvis det er mulig, så tag kontakt til en modersmålslærer, der kan give dig indsigt i de
respektive landes læseplaner og mulige aktiviteter, der kan støtte elevernes læring.
-
Benyt ressourcepersoner og sprogcenter.” (Andersen 2008:51)
Kompensatorisk pædagogik, det depriverede barn og den depriverede familie:
I 1960érne i USA var der en udbredt bekymring omkring de fattige områder i de indre byer, hvor
arbejdsløsheden og kriminaliteten var højest. Mange middelklassefamilier begynder at flytte fra
indre by og ud i forstæderne for at beskytte deres børn fra disse miljøer, som blev dannet i de
indre byer. I USA var der dengang en tradition for, at psykologer testede de fattige sorte børns
intelligens. Disse test blev fundamentet for nogle udviklingsprogrammer, som var kompensatorisk
pædagogisk forankrede og havde til hensigt at rette op på disse børns intellektuelle mangler.
”Kompensatorisk pædagogik bygger på nogle særlige antagelser om miljøet i de indre byer og dets
skadelige effekter på det fattige barn. Først og fremmest indeholder det en antagelse om, at det
fattige barns opvækstmiljø er utilstrækkeligt til at sikre det en normal intellektuel udvikling” (GitzJohansen 2006:223). Set med kompensatoriske briller er barnets fysiske og sociale miljø - her
særligt familien, skadeligt for barnets intellektuelle udvikling. Forældrene til disse børn ses som
værende mangelfulde i deres opdragelse af barnet både moralsk og intelligensmæssigt. Desuden
er forældrenes formåen til at viderebringe sproglige kompetencer, som giver barnet en
tilstrækkelig begrebsverden, mangelfuld. Begrebet det depriverede barn betyder det
Side 18 af 46
d. 22-04-2014
ressourcesvage barn og er et yderst vigtigt begreb indenfor den kompensatoriske pædagogik. Det
depriverede barns mangler på intellektuelle færdigheder samt kreative, fysiske og musiske
udfoldelser ligger til grund for at arbejde med det depriverede barn. Et andet og vigtigt begreb
inden for den kompensatoriske pædagogik, er Kulturel deprivation. Kulturel deprivation
”…betegner de omstændigheder, som det depriverede barn er vokset op under (familie og
lokalmiljø), og som gives skylden for barnets mangler” (Gitz-Johansen 2006:226). Dette betyder, at
barnets familie samt lokalmiljøet barnet færdes i, ikke har de fornødne stimuli at give videre til
barnet, for at barnet kan klare sig i uddannelsessystemet. Det depriverede barn bliver altså et
resultat af at vokse op i en depriveret familie. Den depriverede familie er mangelfuld, når det
gælder om at stimulere barnets sproglige og adfærdsmæssige kompetencer. Med hensyn til det
sproglige aspekt, ses barnets sprog og dets ordkendskab som værende for mangelfuldt til at danne
baggrund for arbejdet og læringen i skolen. I forhold til barnets sociale kompetencer er forældrene
mangelfulde og kan ikke lærer barnet ”… de adfærdsmæssige kompetencer, som skolen kræver, fx
at kunne sidde stille, modtage undervisning og koncentrere sig om skolearbejdet, og disse familier
lærer ikke barnet den rette indstilling til det at gå i skole og skulle lære noget” (Gitz-Johansen
2006:227). For at kunne rette op på disse børns ”mangler”, er en tidlig forbyggende indsats vigtig.
Det kunne f.eks. være at få de tosprogede børn tidligt ind på daginstitutionerne, så den dårlige
stimulering fra barnets hjem og lokalområdet vil blive mindre.
Denne kompensatoriske pædagogik står i skærende kontrast til den interkulturelle pædagogik,
som tager udgangspunkt i det barnet kan, frem for at tage udgangspunkt i barnets mangler.
”En grundlæggende antagelse i interkulturel pædagogik er, at al pædagogisk virksomhed bør
bygge på en forventning om, at alle børn kommer med vigtige ressourcer, kundskaber og en
evne til at lære, som det er uddannelsessystemets opgave at bygge videre på og kvalificere”
(Gitz-Johansen 2006:232).
Gitz Johansen stiller spørgsmål til, om uddannelsessystemet er gearet til at kunne rumme de
tosprogede elever og give dem optimale mulighed for læring. Den kompensatoriske pædagogik
prøver at gøre op med den negative sociale arv, ”… men den er uenig i, at det kan gøres ved at
Side 19 af 46
d. 22-04-2014
stemple en stor gruppe elever og deres familier som kulturelt og sprogligt depriverede eller som en
særlig risikogruppe” (Gitz-Johansen 2006:232).
Analyse:
Kort om analyse
Det er et faktum, at tosprogede elever i den danske folkeskole klarer sig væsentligt dårligere end
etnisk danske elever. I forhold til denne problematik kunne man undersøge mange forskellige
aspekter af matematikvanskeligheder, herunder som tidligere nævnt de medicinske/neurologisk
årsager, de psykologiske årsager, de sociologiske årsager og de didaktiske årsager. De sociologiske
årsager
omhandler
miljøfaktorer,
kulturelle
faktorer,
sproglige
vanskeligheder,
forældreengagement i elevens skolegang, hjemmet osv. De didaktiske årsager omhandler bl.a.
lærerens evne til at differentiere, planlægge og tilrettelægge. Jeg mener, at disse to årsager er
væsentlige, idet de kan gøres specifikke i forhold til at undersøge tosprogede elever i
matematikvanskeligheder. Under de didaktiske årsager vil jeg undersøge hvorledes tre
matematiklærere medtænker tosprogede elever i undervisningen, og hvilken herskende
pædagogisk diskurs lærerne anvender. Dette vil jeg gøre med inddragelse af et fokusinterview, jeg
har haft med de tre lærere samt observationer af lærernes undervisning.
Min analyse er inddelt i tre dele, hvoraf den første del omhandler problematiseringen i forhold til
tosprogede elever i matematikvanskeligheder. Hvor kan man se, at tosprogede elever er i
vanskeligheder? Til dette anvender jeg PISA og mine egne elevopgaver. Den næste del af analysen
undersøger de sociologiske årsager og hvorvidt/hvorledes disse årsager, såsom kulturen og
sproget, har betydning for om tosprogede elever kommer i matematikvanskeligheder. Til denne
del af analysen anvender jeg empiri i form af PISA-opgaver og opgaver i elevbogen ”faktor i
syvende” (Ejersbo & Mogensen 2007:80). Teorierne, jeg anvender til at analysere empirien, er at
finde under overskriften ”sprog og matematik” i teoriafsnittet. I den sidste del af analysen
undersøges de didaktiske årsager til, hvorvidt/hvorledes didaktikken er årsag til tosprogede elever
havner i matematikvanskeligheder. Foruden didaktikken vil jeg som nævnt tidligere inddrage
Side 20 af 46
d. 22-04-2014
pædagogiske årsager til, at de pågældende elever kommer i matematikvanskeligheder. Jeg vil se
på matematiklærerens herskende pædagogik og didaktik – altså hvilken pædagogisk diskurs gør
sig gældende i matematiktimerne, og hvilke didaktiske overvejelser gør lærerene sig, når de skal
undervise i en flersproget matematikklasse. Dette undersøges ved at inddrage empirien: fokusinterview med tre lærere og observation af matematikundervisning i en. 7.klasse. Hertil anvendes
teori om den kompensatoriske pædagogik og de teoretiske begreber det depriverede barn og den
depriverede familie.
Problematisering:
Tabellen nedenfor viser fordelingen af gennemsnitlige danske resultater i matematik af PISA etnisk
2012 og PISA 2003. (PISA Etnisk 2012:2)
Som det fremgår af tabellen, klarer etnisk danske elever sig betydeligt bedre end tosprogede
elever. I 2012 præsterer alle uanset etnicitet sig dårligere end i PISA 2003. I PISA 2003 ses det, at
2. generationsindvandrer klarer sig bedre end 1. generationsindvandrer. Det var netop dette
fænomen, der fik Rockwool Fonden til at igangsætte en særlig PISA Etnisk, som første gang blev
testet i 2005. Det viste sig at resultatet i 2003 ikke var validt, da andelen af tosprogede elever var
begrænset i PISA 2003. Gabet mellem etnisk danske elever og tosprogede elever er fra 2003 til
2012 stort set uændret. I PISA etnisk 2009 sammenlignede man PISA-resultaterne fra PISA 2000,
Side 21 af 46
d. 22-04-2014
og det samme billede var gældende der – gabet mellem etnisk danske elever og tosprogede var
også uændret. Til dette lyder en af konklusionerne på PISA etnisk 2009 således:
”Alt i alt er resultaterne derfor ikke opløftende, når det betænkes, at der i den forløbende 9-års
periode er sket en betydelig indsats netop med henblik på at løfte niveauet for elever med
indvandrerbaggrund, dels i forbindelse med dansk som andetsprog, dels i forbindelse med en øget
evalueringskultur” (PISA Etnisk 2009:8).
Det interessante at se på er, at tosprogede elever der taler dansk i hjemmet, klarer sig betydeligt
dårligere end etnisk danske elever, altså er det ikke udelukkende sproget, der spiller en rolle for,
hvor godt eleverne præsterer. Mine egne elevopgaver understøtter resultaterne i PISA. Det
fremgår tydeligt på diagram 2, at etnisk danske elever klarer testen bedre end tosprogede elever. I
diagram 1 fremgår det, at der i alle opgaver uanset opgavetype, er en markant forskel på
tosprogede og etnisk danske elevers præstationer. Det skal dog nævnes, at tallene i disse
elevopgaver muligvis vil se anderledes ud, hvis jeg havde en større andel af tosprogede elever.
Sociologiske årsager
I denne del af analysen vil jeg undersøge, hvorledes sociologiske årsager kan forårsage, at
tosprogede elever ender i matematikvanskeligheder. Jeg anvender to empiriske materialer,
henholdsvis en PISA-opgave (bilag 4) og en opgave fra et matematiklærerbogssystem fra
grundskolen; Faktor i syvende (bilag 5). Jeg vælger at undersøge den internationale test, PISA, der
tester elever på tilfældigt udvalgte skoler hvert 3. år. PISA-opgaven jeg anvender, er fra PISA 2003,
som er året, hvor matematik var hoveddomænet i testen. Herudover vælger jeg at undersøge et
lærerbogssystem, der oftest er matematiklærerens udgangspunkt for den daglige undervisning.
Teorierne, der vil blive benyttet til at undersøge, hvilke sociologiske faktorer der gør sig gældende i
ovenstående empiri, eller mangel på samme, er eksempelvis teorier omhandlende sproget i
matematikken.
Side 22 af 46
d. 22-04-2014
Analyse af PISA opgave
For at finde frem til sværhedsgraden af de to opgaver (bilag 4 og 5), vil jeg benytte mig af den
matrix, Cummins har udarbejdet. Ud over Cummins matrix vil jeg analysere på, hvilke af de otte
kompetencer områder eleverne bliver udfordret på ved løsningen af opgaven.
Ifølge faghæfte 12, står der under ”Formål for faget matematik”:
”Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden
og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssig i matematikrelaterede
situationer vedrørende dagligliv, samfundsliv og naturforhold.” (Undervisningsministeriet 2009:3).
Dvs. formålet med undervisningen er, at eleverne bl.a. skal kunne udvikle nogle matematiske
kompetencer, som gør dem i stand til at begå sig i dagliglivet, samfundslivet og andre
naturforhold. Disse kompetencer eleverne skal udvikle er:
-
”Tankegangskompetence
-
Problemløsningskompetence
-
Modelleringskompetence
-
Ræsonnementskompetence
-
Repræsentationskompetence
-
Symbolbehandlingskompetence
-
Kommunikationskompetence
-
Hjælpemiddelkompetence”
(Undervisningsministeriet 2009:4).
I opgave 4.1 (Bilag 4) skal eleverne forstå og anvende forskellige repræsentationer af terningerne.
Først ses terningerne i form af et tredimensionelt billede, eleverne skal derefter kunne anvende en
anden præsentationsform i form af det todimensionelle billede til at skrive resultaterne i. Altså
anvendes repræsentationskompetencen. En anden repræsentationsform som anvendes i denne
opgave er symbolbehandlingskompetencen. Eleverne skal i opgaven kunne oversætte mellem
dagligsproget og det matematiske symbolsprog. F.eks. skal eleverne kunne oversætte
dagligsproget ”det samlede antal øjne på to modstående sider er altid syv” til det matematiske
symbolsprog ”x + y = 7”, hvor X er givet. Det matematiske symbolsprog er et meget komprimeret
Side 23 af 46
sprog, eksempelvis skrives der
d. 22-04-2014
i stedet for ”arealet af en trekant er lige med en halv
højde gange grundlinjen”. Udfordring i disse situationer er for eleverne at oversætte fra
dagligsprog til det matematiske symbolsprog. Det kan klares ved, at eleverne skaber meningen ved
brug af deres ”sprog af første orden” – det vil sige, at eleverne bruger modersmålet til at få styr på
det matematiske sprog (Jess et al 2012).
Ved første øjekast på opgave 4.1, er opgaven ikke umiddelbart så vanskelig, men alligevel har en
stor del af eleverne ikke blot i Danmark men også i de andre OECD-lande relativt store
vanskeligheder ved at løse opgaven. Som det fremgår af figur 4 nedenfor, ligger OECD
gennemsnittet for alle elever på 66%, som har løst opgaven korrekt. Danmark ligger over dette
gennemsnit med 71%, dvs. at der er knap 30% af de danske elever, som ikke har kunne løse denne
ellers så simple opgave. Et interessant fokus her kunne være at sammenligne det danske
gennemsnit med det tyrkiske gennemsnit. Det mener jeg er interessant, da en stor del af de
tosprogede elever i den danske folkeskole netop har rødder i Tyrkiet. Tyrkiske børns gennemsnit
ligger på 55% korrekte svar. Dvs. at hele 45% af de tyrkiske elever har løst opgaven forkert. For at
finde en mulig forklaring på dette, må vi kigge på det tyrkiske skolesystem. Til dette gør jeg brug af
en artikel i Information, omhandlende netop det tyrkiske skolesystem. I artiklen fremgår det, at
det tyrkiske skolesystem er bygget op omkring test. Eleverne testes fra 1. til 9. klasse over 200
gange. Disse test er alle i form af multiple choise-opgaver, dvs. at eleverne ikke bliver udfordret i
selv at skulle tilegne sig viden, hvor kompetencer som at kunne analysere og tolke, skal anvendes.
Om den testbaserede skole siger den tyrkiske professor, på det pædagogiske fakultet i Eskiehir
Osmangazi University, Selahattin Turan: ”I Tyrkiet er de fleste skoler blevet til institutioner, hvor
det primære formål er at løse tests… Verden har ændret sig. I dag er der brug for helt andre
kompetencer” (Information 2010). Altså konkluderer professoren, at skolerne har brug for nogle
helt andre kompetencer. I PISA opgaven som jeg hidtil har kigget på, skal eleverne som sagt
anvende repræsentationskompetencen og symbolbehandlingskompetencen. Denne måde at
medtænke kompetencer på i den tyrkiske skole er mangelfuld, i forhold til hvis eleverne skal
kunne begå sig i en globaliseret verden. I den tyrkiske skole er den vigtigste kompetence
udenadslære. Dette leder os frem mod kulturforskellene som er imellem de to lande, og som er en
af faktorerne til at f.eks. tyrkiske elever i Danmark bibeholdes i matematikvanskeligheder. Dette vil
jeg komme tilbage til senere.
Side 24 af 46
d. 22-04-2014
Figur 4. Tabellen viser svarprocenten af korrekte svar for både piger og drenge samt
gennemsnittet (DPU 2014:19).
Eleverne skal i opgaven fortage en simpel udregning nemlig at finde ud af, hvad der står på den
modstående side af seks terninger. Eleverne får en regel opgivet, som gælder for alle den slags
terninger, som illustreres på en tegning. Reglen lyder: ”det samlede antal øjne på to modstående
sider er altid syv” (bilag 4) og derefter er det tænkt, at eleverne skal udfylde de tomme felter i
kassen nederst i opgaven.
For at tosprogede elever skal kunne løse opgaven korrekt, skal de gennemgå tre vigtige trin, som
jeg nævnte i afsnittet ”Når matematiklæring forgår på andetsproget”. Det første trin var, at
eleverne skal kunne forstå ordene i opgaven. Ser vi nærmere på ordene i opgaven, fremgår det, at
der er et yderst centralt begreb, som er en nødvendig forudsætning at have, hvis opgaven skal
løses korrekt. Det centrale begreb i denne opgave er ”to modstående sider”. Hvis eleven ikke ved
hvad ”to modstående sider” betyder, bliver reglen overflødig, og elevens forudsætninger for at
løse opgaven bliver lig nul. Begrebet ”de to modstående sider” hører til det matematiske
sprog/register, da det ikke er et begreb, der ellers bliver brugt i dagligsproget, men mere et begreb
der er forankret i det matematiske sprog. Da tosprogede elever mindst tager fem år om at udvikle
det dekontekstualiserede sprog, vil en elev, som er kommet til Danmark efter 4. klasse, have
betydeligt dårligere forudsætninger for at løse opgaven end en etnisk dansk elev. Det næste trin
Side 25 af 46
d. 22-04-2014
eleverne skal igennem er, at de skal kunne tolke de matematiske relationer, der er i opgaven.
Selve opgavestillingen lyder således ”skrive i hver kasse det antal øjne, der er på den modstående
side af den tilsvarende terning på billedet” (bilag 4). Ud fra denne sætning er det yderst vanskeligt,
at se nogen form for matematisk relation i opgaven, hvis man ikke har styr på betydningen af
sætningen ”Modstående side af den tilsvarende terning på billedet”. Endnu engang bruges det
dekontekstualiserede sprog, hvilket gør opgaven vanskelig at løse for en tosproget elev, som ikke
har fået tiden eller måske ikke har fået den korrekte hjælp til at udvikle dette sprog. Det tredje og
sidste trin handler om, at eleverne nu skal kunne anvende de matematiske relationer i opgaven,
for at løse den korrekt. Men da eleven allerede har vanskeligheder i det første trin, forhindrer det
eleven i at løse opgaven.
Kigges der på opgaven ud fra Cummin´s matrix, stiller opgaven forholdsvise enkle kognitive
matematiske krav. Eleverne skal løse enkle ligninger som f.eks. 6 + X = 7, dog er de kognitive
sproglige krav ret høje, da eleverne skal gøre brug af de dekontekstualiserede sprogfærdigheder.
Opgaven stilles i en PISA-test, og den har derfor ikke noget at gøre med erfaringer eller aktiviteter,
som eleverne har deltaget i, dvs. opgaven er situationsuafhængig, hvilket gør den vanskeligere at
løse. Konteksten er kendt i opgaven for langt de fleste elever, da terninger er noget, der ofte
bruges i matematiktimerne i den danske folkeskole. På baggrund af denne analyse vil jeg placere
opgaven i den øverste kasse til højre i Cummins´matrix.
Analyse af lærerbogsopgave
I dette afsnit vil jeg analysere på de samme forhold som jeg gjorde i PISA-opgaven, men i dette
tilfælde vil jeg se nærmere på matematiklærerens daglige redskab i matematiklektionerne –
matematikbogen. Ydermere vil jeg se nærmere på de kulturelle faktorer, der kan være en af
årsagerne til, at tosprogede elever kommer i matematikvanskeligheder. Jeg har i bilag 5 valgt en
opgave fra bogen ”Faktor i syvende”. Én af de otte kompetencer eleverne skal anvende i løsningen
af denne opgave er bl.a. problembehandlingskompetencen. Eleverne skal bl.a. forestille sig, at de
skal lægge et gulvtæppe på deres eget værelse, og skal derfor selv udvælge en metode, de vil gøre
dette på. Derefter skal eleverne bl.a. svare på, hvor stort tæppets areal kan være. Altså skal
eleverne afgrænse og løse matematiske problemer og dernæst vurdere deres svar –
Problemløsningskompetencen. Sproget er i denne opgave ikke så kompliceret, da langt det meste
Side 26 af 46
d. 22-04-2014
af sproget er dagligsprog. Ifølge Høines skulle tosprogede elever i matematik arbejde med to
fremmedsprog på samme tid – det matematiske sprog og andetsproget. Men da det matematiske
sprog i denne opgave er meget begrænset, vil eleverne udelukkende skulle koncentrere sig om
andetsproget. I opgaven er der nogle før-faglige ord, som er vigtige at kende til for at kunne løse
opgaven. ”Her forstår vi ved før-faglige ord sådanne ord, der ikke kan siges at tilhøre de
højfrekvente ordforråd (dagligsproget), og som heller ikke kan siges at være specifikt faglige ord…”
(Jess et al 2012:115). De før-faglige ord der er i denne opgave er ord som ”anledning” ”fortage”
”facon”. Jess, Skott & Hansen fremsætter følgende hypotese om før-faglige ords betydning for
elevernes præstationer i folkeskolens afgangsprøve: ”Resultaterne i folkeskolens skriftlige
afgangsprøve afhænger ikke kun af de tosprogedes elevers kompetencer i problemregning, men
måske i lige så stort omfang af deres kendskab til dansk og til såkaldte før-faglige ord” (Jess et al
2012:115).
For at tydeliggøre opgavens sværhedsgrad benytter jeg mig igen af Cummins´ matrix. De kognitive
krav, der stilles i opgave 27, er ikke særlige høje, da eleverne bl.a. skal vurdere, hvilke målinger de
vil fortage for at opsætte et gardin i klassen. Der stilles ikke spørgsmålet ”hvorfor?”, de netop
vælger, som de gør. Dette kunne hæve opgaven at få eleverne til at vurdere og argumentere for
valg af strategier. Dette vil blot medvirke til at styrke elevernes kommunikationskompetence. I
opgaven stilles spørgsmålet ”Hvor meget stof skal indkøbes til jeres klasse, hvis stoffet er 1,40 m i
bredden?” (Bilag 5) Opgaven lægger op til at klassen skal lave målinger i klasseværelset, for
derefter at finde ud af, hvor meget stof, der skal købes ind - altså er opgaven situationsafhængig.
Ser vi på figuren som illustrerer Cummins´ matrix, vil jeg placere opgave 27 i nederste felt til
venstre – altså ved kognitive enkle og situationsafhængige opgaver, hvor konteksten er kendt. Ser
vi derimod på opgave 28, kan konteksten være ukendt hos tosprogede elever, fra ikke vestlige
lande, selv om opgaven egentlig lægger op til en kendt kontekst med formuleringen ”Forstil dig…”
(bilag 5). Det er bl.a. i opgaver som disse, at de kulturelle forskelle kommer til udtryk. Jeg vil nu
analysere på, hvorfor tosprogede elever fra ikke vestlige lande kan have svært ved at genkende
konteksten i opgave 28. Til dette anvendes Diane Baumrinds fire opdragelsestyper og Ole Schultz
Larsens kollektivistiske og individualistiske kultursyn. Baumrind opstiller et skema, der beskriver
forskellige opdragelsestyper. En af disse opdragelsestyper, og den jeg vil have fokus på, er
opdragelsestypen: ”Autoritær stil”. Denne type indebærer en kombination af forældre, der er
Side 27 af 46
d. 22-04-2014
”kravstillende” og samtidig ”afvisende/voksencentreret”. Den autoritære opdragelsesstil ”(…) er
karakteriseret ved at stille mange krav til barnet uden samtidig at være støttende og lydhør i
forhold til barnets ønsker og behov (…) Barnets selvstændighedstrang kommer let til at blive
opfattet som ulydighed og mangel på respekt” (Larsen 2008:147). Grunden til, at jeg vælger at
bringe den autoritære stil på banen, er, at denne opdragelses type har mange af de samme
elementer som det kollektivistiske kultursyn, som beskrives i bogen ”Psykologiens veje” af Ole
Schultz Larsen. Dette kultursyn er udbredt hos mange af de ”(…) minoritetsgrupper, der kommer til
Danmark fra lande som Tyrkiet, Pakistan og lande i Mellemøsten” (Larsen 2008:390) og dermed
også de elever, jeg har fokus på i denne opgave. Indenfor det kollektivistiske kultursyn er
mennesket fra det bliver født en del af en større gruppe eksempelvis familien, og denne gruppe er
vigtigere end individet modsat den individualistiske kultur. I den kollektivistiske kultur prioriteres
er realisering af familien, mens det indenfor den individualistiske kultur er selvrealisering der
prioriteres. Det er dog vigtigt at pointere, at disse forskellige opdragelsesstile/kulturer er meget
generaliserende, og de tager f.eks. ikke forbehold for at, kulturer kan udvikles. Opgave 28 er
prægede af det individualistiske livssyn, idet at man går ud fra, at barnet hjemme har realiseret sig
selv i form af eget værelse, hvor barnet har medbestemmelse over, hvordan eget værelse
indrettes. Indenfor det kollektivistiske kultursyn som visse tosprogede elever har, er værelset man
bor i, ikke af særlig værdi for en selv, da selvrealisering ikke prioriteres. Værelset danner ikke
ramme for det enkelte individ, da det er familien, og dermed hjemmet der er af betydning. Om det
er stuen eller værelset der er tale om, så tilhører det hele familien, og ikke ét individ. Det er
forældrene der bestemmer i hverdagen og hvis barnet føler behov for at være selvstændigt,
forstås dette af forældrene som værende ”mangel på respekt”. Derfor kan det være svært for
disse elever at gå imod denne kultur, og forestille sig at de selv skal lægge gulvtæppe på eget
værelse. Opgave 28 bliver derved en opgave, hvor kulturen spiller en central rolle for, om
konteksten giver mening for visse elever.
Som tidligere nævnt så er forældrenes interesse og forventninger til elevernes præstationer i
skolen af stor betydning for, hvordan eleverne klarer sig igennem skolen. I en undersøgelse lavet
af Cao, Bishop & Forgrasz undersøges forældrenes forventninger til deres børns præstationer i
Side 28 af 46
d. 22-04-2014
faget matematik, både i Kina og Australien. Der er tale om forældre til børn i 5., 7. og 9. klasse.
Man har sammenlignet forældreindflydelsen for fire forskellige grupper:
1) ”Elever der bor i Kina og har kinesisk som modersmål”
2) ”For kinesisktalende elever i Australien”
3) ”For elever i Australien, der har et andet sprog end engelsk og kinesisk som første sprog”
4) ”Engelsktalende elever i Australien” (Jess et al 2012:27).
Det viser sig, at gruppen af tosprogede elever i Australien uanset etnicitet og kinesiske elever i
Kina ligger på samme niveau, når der snakkes om forventninger til deres børn. Ambitionerne for
de første tre grupper viser sig altså at være højere end de engelsktalende. Jo højere eleverne
kommer op i klassetrin, des mere falder ambitionerne for tosprogede forældre, som ikke er
kinesiske. Dette forklares ved, at forældrenes ambitioner falder i takt med, at opgaverne bliver
sværere, hvilket betyder at forældrene får flere vanskeligheder ved at hjælpe deres børn. De
kinesiske forældres fortsatte høje ambitioner forklares ud fra et kulturelt perspektiv, hvor skolen
er yderst vigtig (Jess et al 2012).
Som nævnt i min empiri, har jeg lavet nogle forældreopgaver, som jeg mener, kan give et lille praj
om, hvilke forudsætninger forældrene har for at hjælpe deres børn i skolen. Set ud fra opgave 1 og
2, (Bilag 3) er de forældre, som klarer sig bedst, de tosprogede forældre. I disse opgaver er der tale
om meget tekstreducerede opgaver, hvor forældrene blot skal gøre brug af simple regneregler. De
tosprogede forældre har alle gennemgået folkeskolen i Tyrkiet og Libanon, hvor skolesystemet er
præget af tests, og hvor udenadslære er omdrejningspunktet. De to sidste opgaver er
problemløsningsopgaver. Her er det tydeligt at de danske forældre klarer sig betydeligt bedre end
de tosprogede. I opgave 3, (bilag 3) har to af de tosprogede forældre svaret ét enkelt tal, og ikke
svaret på hvor gamle brødrene er hver især. Den ene af forældrene har svaret 36. Dette finder jeg
interessant, da en af strategierne, når sproget bliver utilstrækkeligt, er, at der bliver anvendt
”overfladeregning”. Denne forælder har tilsyneladende anvendt strategien ”Hvis det største tal
står først, skal jeg nok trække fra…” (Andersen 2008:51) Da opgaverne i udskolingen ofte bliver
mere og mere problemløsningsorienteret, falder disse forældres forudsætninger for at kunne
hjælpe deres børn i matematik, hvilket også betyder at ambitionerne daler.
Side 29 af 46
d. 22-04-2014
Didaktiske årsager:
For at finde ud af hvilke didaktiske overvejelser lærerne gør sig, når de skal undervise i
flersprogede matematikklasser, har jeg stillet lærerene spørgsmålene som ses i bilag 1. Under 2.
forskningsspørgsmål stiller jeg det første spørgsmål ”Hvilke overvejelser gør I jer, som
matematiklærere i matematikundervisningen, hvor visse elever er af anden etnisk baggrund end
dansk?” (bilag 1) Til dette svarer en af lærerne:
”…når jeg laver grupper, så gør jeg det for at de kan snakke sammen og så prøver jeg at sætte… en
tosproget sammen med en ikke tosproget….jeg tænker.. når man har elever der ikke har så stærkt
et dansk, så kan det blive på et meget banalt niveau man kommunikere… hvis begge to har et ringe
sprog. Så det er for at højne deres fagsprog” (Bilag 7)
Måden, læreren vælger at dele gruppen op på, kan ubevidst være med til at bibeholde den
tosprogede elev i matematikvanskeligheder. Hvis en elev har svært ved at kommunikere og bliver
sat sammen med tre andre etnisk danske elever, som er stærke i kommunikationen, kan det få
den konsekvens, at eleven forholder sig passivt i kommunikationen. Under teoriafsnittet
”læringsmiljø der medtænker tosprogede elever” er netop ét af disse tiltag, at hvis det er muligt,
så kan elever, der har samme ”første sprog ” arbejde sammen. Læreren hentyder desuden til, at
elevernes dekontekstualiserede sprog vil blive styrket ved denne gruppeopdeling. Ifølge Thomas
og Collier er undervisningsmodeller, hvor eleverne får mulighed for at bruge både
undervisningssproget og ”sprog af første orden” med til at styrke det dekontekstualiserede sprog.
Ved den opdeling læreren tager udgangspunkt i, vil den tosprogede elev netop ikke have mulighed
for at benytte sig at ”sprog af første orden”. Ud over denne måde at tænke gruppeopdelinger på,
siger en af lærerne: ”…når jeg laver gennemgang så prøver jeg at få flere forskellige forklaringer
eller… formidle noget mundligt... på måske flere måder… eller sige ”det er ligesom” …fordi, dels
tænker jeg at det er der nogle af de helt pæredanske elever der kan have godt af og også de
tosprogede” (Bilag 7). Læreren udviser, at hun har stor fokus på, hvordan hun selv kommunikere i
matematiktimerne. Denne måde, hun gør det på, kan være med til at øge elevernes ordforråd, og
på den måde kan elevernes andetsprog blive styrket. Ud over disse to didaktiske overvejelser,
formår lærerne ikke at nævne flere muligheder for at styrke tosprogede elever i matematik. Da jeg
Side 30 af 46
d. 22-04-2014
spørger ind til om der er andre didaktiske overvejelser, de kan gøre sig, får jeg en ofte brugt
forklaring - der er ikke tid til flere didaktiske overvejelser.
I min observation (Bilag 6) af undervisningen omhandlende funktioner, er der flere aspekter som
er spændende at analysere nærmere på. Da Hassan ikke har forstået den opgave, han skal i gang
med, tilkalder han hjælp hos læreren. Læreren starter med at spørge ind til, hvad Hassan ikke har
forstået, og dette er i sig selv vanskeligt at svare på. Da læreren derefter prøver at forklare, hvad
der kendetegner en funktion, benytte læreren sig af præcis samme forklaring, som han gjorde i
plenum foran hele klassen. ”En funktion er bare sådan en graf, hvor om der gælder at der for hver
X-værdi max. må være en Y-værdi…”. I lærerens forklaring benytter han sig af det matematiske
sprog.
Læreren
benytter
vendingen
”Hvor
om
der
gælder”,
dette
hører
til
det
dekontekstualiserede sprog, hvilket kan være en af årsagerne til, at Hassan ikke forstår, hvad en
funktion er. Læreren havde prøvet i plenum at forklare, hvad en funktion er ved præcis at benytte
sig af samme vending, men denne gang svarer eleven ”ja okay” efter læreren har spurgt ”er du
med?”. Alt tyder på, at Hassan har svaret ”ja” til, at han har forstået opgaven, fordi han har følt sig
presset til det. Efter noget tid henvender Hassan sig til Mustafa i klassen, hvor han netop
bekræfter, at han ikke har forstået, hvad en funktion er. ”Joww Mustafa, jeg fatter ikke hvad det
der funktioner er, forstår du det?”. Hassan har altså endnu ikke opgivet at finde ud, af hvordan han
kan løse den stillede opgave. Mustafa giver Hassan svaret ”ja det er ikke så svært, altså grafen må
ikke bøje for meget, så der kommer to Y-værdier til den samme X-værdi”. I Mustafas forklaring
bliver det matematiske sprog ikke så tydeligt som i lærerens. Mustafa bruger her et dagligdags ord
som grafen må ikke ”bøje”. Men da Hassan stadig ikke forstår, sætter Mustafa sig hen til ham og
begynder at forklare på Hassans ”sprog af første orden”, som er arabisk. Der er dog nogle
fagbegreber, som Mustafa nævner på dansk. Hassan får på den måde hjælp til at forstå, hvad der
menes med, at der max. må være én Y-værdi for hver X-værdi. Hassan stiller derpå et vigtigt
spørgsmål, ved at han tegner en vandret linje i et diagram og spørger ”Ahh.. hvad så hvis den ser
sådan her ud”. Hassan vil hermed finde ud af, om der også er tale om en funktion, hvis der er flere
X-værdier til én Y-værdi. De to elever er i gang med en vigtig dialog, som både styrker Hassan, men
på samme tid også styrker Mustafa, da han bliver udfordret på at skulle oversætte fra det
matematiske sprog, til dagligsproget, og derfra videre til ”sproget af første orden”. Da læreren
bryder ind i dialogen og siger ”Mustafa sæt dig ned på din plads, og jeg har sagt til jer to flere
Side 31 af 46
d. 22-04-2014
gange, at I skal tale dansk når I er her på skolen, jeg gider ikke høre på det der arabisk i mine
timer”, er læreren med til at bibeholde Hassan i matematikvanskeligheder. Efter læreren har
afbrudt dialogen mellem de to drenge, får det den konsekvens, at Hassan sidder resten af
lektionen uden egentligt at få lavet noget. Læreren giver udtryk for, at han ikke vil høre eleverne
tale arabisk i timerne og henvender sig også til mig, hvor han pointerer, at eleverne ikke lærer
dansk, hvis de taler arabisk i skolen. Dette er som tidligere nævnt stik imod den forskning Thomas
og Collier har udført.
Lærernes pædagogiske diskurs
Nu vil jeg med udgangspunkt i mit interview undersøge, hvilken pædagogisk diskurs lærerne taler
ud fra, når det gælder tosprogede elever. Til dette anvendes de teoretiske begreber
kompensatorisk pædagogik, det depriverede barn og den depriverede familie. Til spørgsmålet
”Hvordan ser I på elever med anden etnisk baggrund end dansk i klassen? Måske som en ressource
eller en udfordring? Eller noget helt tredje?” svarer en af lærerne:
”…Da du var inde at se den klasse du så ved mig, der sad to drenge ved siden af hinanden... Den
ene er sprogligt svag, og den anden er bedre… den ene, det er hans sprog, dels er han heller ikke
ret tit i skole fordi han har en lidt anden holdning til at man kommer, eller familien har i hvert
fald… De kommer sådan lidt, ligesom det passer dem…. han er dygtig… matematisk eller regnemæssigt, hvis han havde fulgt med. Men han står af fordi han er dårligere til sprog, og så kommer
han ikke. Det betyder at hans faglige…standpunkt bliver stille og roligt ringere” (Bilag 7)
I ovenstående citat ser læreren den ”svage” elev, som værende sprogligt fattig. Det faktum, at
eleven ikke kommer i skole, får den konsekvens, at eleven bliver understimuleret, fordi familien
ikke kan give ham det nødvendige sprog. Han kommer ikke tit i skole, og dette skyldes, at han eller
familien har en lidt anden holdning til, hvordan man kommer i skole. Læreren ser på eleven som
værende det depriverede barn, som er mangelfuldt, grundet sin familie – den depriverede familie,
der ikke magter at give eleven de nødvendige retningslinjer for, hvordan skolen skal passes. Efter
det ovenstående citat spørger jeg ind til, hvad forskellen er på en ressourcesvag tosproget elev og
en ressourcesvag etnisk dansk elev. Til dette svarer en af lærerne:
Side 32 af 46
d. 22-04-2014
”Forskellen på den svage dansker og den svage tosprogede, det er jo at mange gange så kan
forældrene meget… lidt dansk. Nogen gange kan moren slet intet dansk. Og det er jo rigtig
svært at få opbakning fagligt hjemmefra. Menneskeligt kan de få opbakning” (Bilag 7).
Igen ser læreren familien som værende den depriverede familie, der ikke kan tale dansk, og derfor
ikke kan hjælpe det depriverede barn fagligt. I dette citat er det vigtigt at bemærke, at læreren
pointerer, at der er en forskel på en svag etnisk dansk elev og en tosproget. Læreren fremhæver
den tosprogede elev som værende mangelfuld, men nævner intet om den svage ”dansker”. Dette
kan forstås som, at læreren indirekte fremhæver at de danske forældre besidder nogle ressourcer,
som tosprogede forældre ikke magter. Igen i dette citat fremgår det tydeligt, at lærerne taler om
tosprogede elever som værende mangelfulde på grund af den depriverede familie. Lærerne
anvender hermed den kompensatoriske pædagogik, når de omtaler de tosprogede elever. Dette
mener jeg kan være endnu en årsag til, at tosprogede elever ender i matematikvanskeligheder.
Grunden til at jeg ikke finder den kompensatoriske pædagogik anvendelig er, at den har vist sig
kun at have en kortsigtet virkning på elevernes faglige skolefærdigheder og adfærdsmæssige
skolefærdigheder. Men der kan ”… ikke påvises positive effekter på længere sigt i form af et
længerevarende og udbytterigt uddannelsesforløb” (Gitz- Johansen 2006:230).
Konklusion:
Jeg har gennem opgaven arbejdet med sociologiske og didaktiske årsager til at tosprogede elever
kommer i, og bibeholdes i matematikvanskeligheder. Gennem min analyse fandt jeg ud af, at der
ikke bare var ét svar på, hvorfor tosprogede elever kommer i matematikvanskeligheder, men at
der er mange faktorer, der spiller ind. De mest centrale faktorer er sproget, kulturen, forældres
forudsætninger, lærernes didaktiske overvejelser, samt den gennemgående pædagogiske diskurs,
der gør sig gældende i den danske folkeskole. Ofte taler vi om hvilke forudsætninger eleverne i
folkeskolen kommer med, og hvordan vi som lærere skal tage udgangspunkt i den enkelte elevs
forudsætninger. I min observation fremgik det tydeligt, at læreren ikke ønsker, at der bliver talt
arabisk i matematiktimerne. Så kan man spørge sig selv, om Hassans uformelle matematiske
færdigheder får lov at blive anvendt i denne situation. Jeg har endvidere belyst, hvilke
Side 33 af 46
d. 22-04-2014
forudsætninger tosprogede forældre besidder for at hjælpe deres børn i den danske folkeskole.
Det har jeg bl.a. gjort ud fra forældreopgaver og inddragelse af det tyrkiske skolesystem. Det viser
sig at tosprogede forældre ofte har mulighed for at hjælpe børnene i de små klasser, hvor
opgaverne ofte ikke er indlejret i en masse tekst. Men så snart eleverne kommer op i de højere
klasser, og opgaverne bliver mere tekstbaseret, kan forældrene ikke følge med på det faglige
niveau, og deres forudsætninger for at hjælpe børnene er ikke til stede.
Ud fra det didaktiske perspektiv har lærerne flere muligheder for at styrke tosprogede elever i
deres arbejde med problemløsningsopgaver både før under og efter opgaveløsningen. De kan
f.eks. inden opgaveløsningen stille åbne spørgsmål ”…som relaterer til forståelsen af problemet.
Fokus på hvad der spørges om, og hvilke data der behøves for at løse problemet” (Andersen
2008:45).
Ud fra interviewet og mine observationer i en 7. klasse kan jeg konstatere, at lærerne anvender
den kompensatoriske pædagogik, hvor fokus er på elevernes mangler frem for ressourcer. Den
kompensatoriske pædagogik kan på den måde være med til at bibeholde de tosprogede elever i
matematikvanskeligheder.
Handleperspektiv:
I mit kommende virke som matematiklærer vil jeg efter at have skrevet denne opgave være mere
bevidst om, hvilke didaktiske og sociologiske årsager der er til, at tosprogede elever kommer i
matematikvanskeligheder. Hvis jeg som matematiklærer ikke havde den nødvendige viden om,
hvorfor disse elever havner i matematikvanskeligheder, vil det være svært at sætte ind på de
betydningsfulde områder. Ved anvendelse af Cummins´s matrix har jeg fundet et redskab, som kan
hjælpe mig med at vurdere problemløsningsopgavers sværhedsgrad. Denne matrix, vil jeg som
lærer, anvende som didaktisk middel til at kunne differentiere undervisningen efter elevernes
forudsætninger. Eksempelvis vil jeg på den måde være bevidst om ikke at give en svag tosprogede
elev en opgave, som er situationsuafhængig, kognitiv krævende og med en ukendt kontekst. I
stedet for vil jeg arbejde ud fra elevens forudsætninger, men stadigvæk sørge for eleven skal ”stå
på tær” for at løse den stillede opgave. Under afsnittet ”strategier til at udvikle to fremmedsprog
på samme tid” nævnes nogle forslag til, hvordan læreren kan arbejde med tosprogede elevers
Side 34 af 46
d. 22-04-2014
problemløsningskompetencer, både før under og efter opgaveløsningen. Disse forslag vil jeg
anvende i min undervisning fremover.
Ved analyse af min observation gik det op for mig´, hvor betydningsfuldt det er, at lade tosprogede
elever anvende deres modermål, når de føler behov for dette. Dette understøtter undersøgelser,
som Thomas og Collier har fortaget. Denne sprogpolitik vil jeg i mit kommende virke som lærer
anvende. På den måde sikre jeg mig, at de tosprogede elever får mulighed for at anvende den
uformelle matematik, som er forankret i kulturen. Cao, Bishop & Forgrasz undersøgelse, af
forældrenes forventninger til deres børns præstationer i matematik, har inspireret mig til at gøre
tosprogede forældre mere bevidste om, hvilken betydning det har, at forældrene bibeholder høje
ambitioner for deres børn på trods af, at matematikken bliver vanskelig i de højere klasser.
Mit interview med de tre lærere har overbevist mig om, at lærerene ofte taler om de tosprogede
elever som værende mangelfulde grundet den depriverede familie. Jeg vil i mit kommende virke
som matematiklærer tilstræbe at anvende en mere interkulturel pædagogik, der tilsigter at gøre
brug af elevernes uformelle matematiske kompetencer, og som tager afsæt i en kontekst, som den
enkelte elev kan genkende fra sit ”virkelighedsbillede”. Jeg ved, at det ikke er en nem opgave at
medtænke alle sproglige, kulturelle og pædagogiske/didaktiske tiltag, hver gang der skal
undervises i flersprogede matematikklasser, men jeg vil som lærer være bevidst om, hvilke
muligheder/strategier jeg kan anvende i de enkelte situationer.
Perspektivering
I arbejdet og efter arbejdet med denne bachelor har jeg fået flere perspektiver på, hvordan denne
opgave kunne kvalificeres. Det ville, i stedet for empirien i form elevopgaver i 2. klasse, have været
mere relevant at anvende nogle problemløsningsopgaver kontra færdighedsregningsopgaver for
at tydeliggøre, hvor tosprogede elever kommer i matematikvanskeligheder. Ydermere vil det være
interessant at teste forældrene i de samme opgaver som deres børn. Dette kunne man gøre, for at
undersøge hvorledes forældrenes faglige forudsætninger har indflydelse på elevens præstationer.
Disse to faktorer vil have bidraget til en kvalificering af min opgave.
Side 35 af 46
d. 22-04-2014
Litteraturliste:
Andersen, M. W. (2008). Matematiske billeder, sprog og læsning. Frederikshavn: Dafolo.
Buchardt, M., & Fabrin, L. (2012). Interkulturel didaktik; Introduktion til teorier og tilgange.
København: Gyldendal.
Bjørndal, C.R.P. (2013). Det vurderende øje; Observation, vurdering og udvikling i undervisning og
vejledning (2. udgave). Århus: Klim.
DPU 2014. Lokaliseret 9.april 2014 på:
http://pure.au.dk//portal/files/34219407/15_MatematikopgaverPISA.pdf
Ejersbo, L. R. & Mogensen, A. (2007). Faktor i syvende; fællesbog (2.udgave). Danmark. Malling
Beck
Gitz-Johansen, T. (2006). Kompensatorisk eller interkulturel pædagogik; skal vi reparere børnenes
,,fejl” eller kvalificere deres forskelle?. I: Horst, C. (red.) Interkulturel pædagogik; flere sprogproblemer eller ressource? (2.udagve). Vejle: Kroghs Forlag
Information (2010). Lokaliseret 12.april 2014 på: http://www.information.dk/224525
Jess, K., Skott, J. & Hansen H. C. (2012). Matematik for lærerstuderende; My - Elever med særlige
behov (2. udgave). Frederiksberg: Samfundslitteratur.
Larsen, O. S. (2008). Psykologiens veje. Aarhus. Systime
PISA Etnisk (2009). Lokaliseret 15.april 2014 på UVM:
http://uvm.dk/Uddannelser/Folkeskolen/Tosprogede/~/media/UVM/Filer/Udd/Folke/PDF11/1104
01_pisaetnisk_2009_rapport.ashx
PISA Etnisk (2012). Lokaliseret 15.april 2014 på UVM:
http://www.uvm.dk/~/media/UVM/Filer/Udd/Folke/PDF14/140401%20PISA%20Etnisk%202012%
20Hovedresultater.ashx
Rönnberg, I. & Rönnberg, L. (2013). Læring og undervisning i flersprogede matematikklasser. I:
Andersen, M. W. & Weng, P. (red.) Håndbog om matematik i grundskolen; Læring, undervisning og
vejledning (s.340-358). Viborg: Dansk pædagogisk forlag.
Schultz, H. & Christensen, I.(2004). Sigma for syvende. Viborg: Malling Beck.
Undervisningsministeriet (2009). Fælles Mål 2009 – Matematik, faghæfte 12. København:
Undervisningsministeriet
Side 36 af 46
d. 22-04-2014
Bilag 1 – interviewguide
Interviewguide til Bachelor-opgaven
- Interview af 3 matematiklærere
1. Forskningsspørgsmål:
Hvordan forstår/ser matematiklærerne på de tosprogede elever (i matematikundervisningen)?
Interviewspørgssmål:
- Er der nogen helt generelle forskelligheder mellem elever med anden etnisk baggrund end
dansk og etnisk danske elevers forståelse af matematikken?
o Hvilke?
o Hvad er dette et tegn på? (Er det kultur, religion, sprog, ikke nok stimuleret,
motivation?)
-
Kan I pege på nogen områder hvor matematikvanskelighederne især er synlige hos elever
med anden etnisk baggrund?
o Hvorfor tror I at disse gør sig gældende hos netop gruppe?
-
Hvordan ser I på elever med anden etnisk baggrund end dansk i klassen? Måske som en
ressource eller en udfordring? Eller noget helt tredje?
o Hvorfor?
o Beskriv når en elev er en ressource og når en elev er en udfordring?
2. Forskningsspørgsmål:
Hvilke didaktiske overvejelser gør de tre matematiklærere sig i en undervisning med eleverne
med anden etnisk baggrund end dansk?
Interviewspørgsmål:
- Hvilke overvejelser gør I jer, som matematiklærere i matematikundervisningen, hvor visse
elever er af anden etnisk baggrund end dansk?
o Er der nogen anderledes overvejelser i forhold til, når det gælder de etnisk danske
elever?
o Hvorfor vælger I netop disse overvejelser frem for andre?
-
Hvordan er jeres forventninger til elever med anden etnisk baggrund i forhold til
forventninger til de etnisk danske elever i matematikundervisningen?
o Hvorfor gør dette sig gældende?
-
Mener I, at der skal være en kvote for, hvor mange elever med anden etnisk baggrund, der
må være i en klasse? Eller er ”bedst” for en klasse?
Side 37 af 46
d. 22-04-2014
o Hvis ja - hvorfor? Hvor skal grænsen gå? Hvorfor netop denne grænse?
o Hvis nej- hvorfor?
-
Savner I som matematiklærere undervisningsmidler, så I bedre kan favne elever med
anden etnisk baggrund?
o Hvis ja – hvilke? Prøv at beskrive..
-
Hvordan ser I på begrebet undervisningsdifferentiering i forhold til eleverne med anden
etnisk baggrund?
o Hvor skal der helt konkret undervisningsdifferentieres?
Side 38 af 46
d. 22-04-2014
Bilag 2 - elevopgaver
Side 39 af 46
d. 22-04-2014
Side 40 af 46
d. 22-04-2014
Bilag 3 - forældreprøve
Forældre-prøve (20 min.)
Opgave 1)
a) 2613 + 4891
b) 8632 - 6991
c) 573 • 3126
d) 37316 : 12
Opgave 2)
Reducer udtrykket: (a+2b)2 - (a+2b)·(a+b) =
b) 49X2 + 70X + 25 =
Opgave 3)
To brødre Magnus og Jan er tilsammen 45 år gamle. Magnus er 9 år ældre end Jan. Hvor gamle er de to
brødre hver især?
Opgave 4)
I 1995 blev der solgt 1532412 fly-charter-rejser. Heraf var 53% til lande i Europa. Hvor mange rejser blev
der solgt til europæiske mål?
Af rejserne i Europa gik ca. 34% til Spanien. Hvor mange fly-charterrejser til Spanien blev der solgt?
Side 41 af 46
d. 22-04-2014
Bilag 4 – PISA opgave
(DPU 2014:18)
Side 42 af 46
d. 22-04-2014
Bilag 5 – Elevopgaver fra ”Faktor i syvende”
(Ejersbo & Mogensen, 2007:80)
Side 43 af 46
d. 22-04-2014
Bilag 6 - observation
Hassan: ”Jeg forstår ikke helt det der med funktioner”
Læreren: ” Hvad er det af alt det jeg stod og sagde som du ikke forstod?”
Hassan: ”Hmm.. det ved jeg ikke helt, jeg forstår ikke hvad en funktion er”
Læreren: ”En funktion er bare sådan en graf, hvor om der gælder at der for hver X-værdi max. må
være én Y-værdi, så det er egentlig ikke så kompliceret som du selv gør det til. I opgaven der skal
du bare bestemme om der er tale om en funktion eller ej. Er du med nu?”
Hassan: ”Ja okay”
Læreren går nu videre over og hjælper nogle andre elever, imens sidder Hassan og kigger lidt ud i
luften. Mustafa som sidder overfor Hassan er for længst gået i gang med at løse opgaven, da
Hassan henvender sig til ham.
Hassan: ”joww Mustafa, jeg fatter ikke hvad det der funktioner er, forstår du det?”
Mustafa: ”ja det er ikke så svært, altså grafen må ikke bøje for meget, så der kommer to Y-værdier
til den samme X-værdi”
Hassan: ”Hvordan mener du?”
Da eleverne sidder overfor hinanden rejser Mustafa sig op og går hen til Hassan, han sætter sig på
hug og begynder at forklare på arabisk, men indimellem sniger der sig danske begreber ind.
Følgende dialog der udspiller sig har jeg selv oversat til dansk. Mustafa tegner på samme tid, som
han forklarer.
Mustafa: ”Se her, når jeg tegner sådan en graf (”graf” på dansk), så bøjer den så meget at hvis jeg
tegner en lige streg op igennem x-aksen (”x-aksen” på dansk), så rammer jeg grafen to gange, og
det må man ikke. Så den jeg har tegnet nu er ikke en funktion (”funktion” på dansk).
Hassan: (fortsætter på arabisk) ”ahh.. hvad så hvis den ser sådan her ud”
Hassan tegner nu en vandret linje.
Mustafa: (forsætter på arabisk) ”den der ved jeg faktisk ikke, den har jo mange y-værdier (”yværdier på dansk)…
Side 44 af 46
d. 22-04-2014
Læreren bryder ind inden Mustafa når at færdiggøre sætningen.
Læreren: ”Mustafa sæt dig ned på din plads, og jeg har sagt til jer to flere gange, at I skal tale
dansk når I er her på skolen, jeg gider ikke høre på det der arabisk i mine timer”
Mustafa sætter sig ned på sin plads og brokker sig lidt mumlende
Mustafa: ”jeg vil bare hjælpe”
Læreren: ”Det må Jacob gøre, det er ham som sidder ved siden af Hassan”
Læreren kommer hen til mig og siger.
Læreren: ”ja de lærer jo aldrig det danske sprog, hvis de hele tiden går og taler arabisk”
Bilag 7 – Interview
Ibrahim: ”Hvordan ser I på elever med anden etnisk baggrund end dansk i klassen? Måske som en
ressource eller en udfordring? Eller noget helt tredje?”
Lærer 1: ”Da du var inde at se den klasse du så ved mig, der sad to drenge ved siden af hinanden
ikke? Den ene er sprogligt svag, og den anden er bedre. de sad lige overfor hinanden. Den ene, det
er hans sprog, dels er han heller ikke ret tit i skole fordi han har en lidt anden holdning til at man
kommer, eller familien har i hvert fald ikke? De kommer sådan lidt, ligesom det passer dem ikke?”
Ibrahim: ”Ja”
Lærer 2: ”jamen han bliver da reelt. For han er dygtig, tror jeg matematisk eller regnemæssigt, hvis
han havde fulgt med. Men han står af fordi han er dårligere til sprog, og så kommer han ikke. Det
betyder at hans faglige gropunkt eller standpunkt bliver stille og roligt ringere”
Ibrahim: ”Hvilke overvejelser gør I jer, som matematiklærere i matematikundervisningen, hvor
visse elever er af anden etnisk baggrund end dansk?”
Lærer 2: Jeg laver for eksempel når jeg laver gennemgang så prøver jeg at få flere forskellige
forklaringer eller sådan formidle noget mundtligt men på måske flere måder eller sige ”det er
ligesom” og så fordi dels tænker jeg det er der nogen af de helt pære danske elever der kan have
godt af og også de tosprogede. Og så når jeg laver grupper, så gør jeg det for at de kan snakke
sammen og så prøver jeg tit at sætte ikke tosprogede sammen eller hvad det nu hedder, en
tosproget sammen med en ikke tosproget.
Ibrahim: Er der nogen grund til at du sætter en ikke tosprogede sammen med en tosprogede? eller
at du laver den konstellation?
Side 45 af 46
d. 22-04-2014
Lærer 2: Ja jeg tænker at netop når man har elever der ikke har så stærkt et dansk så kan det blive
på et meget banalt niveau man kommunikere på, hvis begge to har et ringe sprog. Så det er for at
højne deres fagsprog.
Ibrahim: Hvis I nu skal prøve at beskrive en ressourcesvag etnisk dansk elev, hvordan ser I så på
ham?
Lærer 2: ”Forskellen på den svage dansker og den svage tosprogede, det er jo at mange gange så
kan forældrene meget meget lidt dansk. Nogen gange kan moren slet intet dansk. Og det er jo
rigtig svært at få opbakning fagligt hjemmefra. Menneskeligt kan de få opbakning. I Danmark er
der jo håb om, at selv om vi har en fagligt svag elev, så er der nogle af eleverne som har nogle
forældre som godt kan hjælpe til fordi de forstår sproget.”
Side 46 af 46

bacheloropgave færdig PDF

Transcription

Similar documents

Lærerstuderendes møde med elever og lærere om skriftsprog i

ACAB Bedømmelse 2014 - arts & crafts association bornholm

Gå til Silkeborg Krisecenters tilsynsrapport for 2012

Bachelor - UC Viden

færdig Bachelor

Etniske elever i klasserne gør ikke danske børn dårligere

“Hvert menneskes liv er et eventyr skrevet med Guds

hele tidsskriftet: Viden om Literacy nr. 18

Asger Gyldenkærne sagde i sin tid farvel til jobbet som

SikkerMail letter administrationen hos Røde Kors Asylafdeling

Trade offs Brugskontekst Materialer Produktion Transport Brug

Gode Oplægsholdere

På bagkant af reformerne - På forkant med konsekvenserne

Skive Trav 2014 profilavis.pdf

styrkelse af den lærendes medansvar i udviklingen

BRENNER.STOKER.MANUAL.10.09:Layout 1

Evaluering af model for henvisning af

JUni 2010 - Videncenter for uddannelses

opgaven her.

hanstholm center news - Hanstholm Asylcenter

Dansk Folkeblad nr. 5 2002