Estimación de avenidas de diseño

Estimación de Avenidas de
Diseño Mediante el Uso de
la Teoría Multivariada de
Extremos
Dr. Álvaro Alberto Aldama Rodríguez1 y Dr. Aldo Iván Ramírez Orozco2
1Consultor Independiente, 2Profesor Investigador del Centro del Agua del
ITESM
Hidrografía del sistema GrijalvaUsumacinta
N
MÉXICO
n
Pa
o
bl
Río Usumacinta
Río C
hilapa
o
Río Chilapa
TAPIJULAPA
BOCA DEL CERRO
TEAPA
PUYACATENGO
Río
Ríos de la Sierra
ESCALA GRAFICA
0
C. H. CHICOASÉN
10
20
3
0
40
50
KILÓMETROS
C. H. LA ANGOSTURA
TUXTLA GUTIÉRREZ
Río Alto Grijalva
Río Yayahuita
Río Alto Grijalva
ESTACIÓN HIDROMÉTRICA
Pedro
SALTO DEL AGUA
an
a
Río S
an
cu
sp
suma
cinta
Ma
lija
a
Rí
o
u
Río T
ar
an
at
Pl
Grij
alv
SAN PEDRO
MACUSPANA
Río U
Pic
h
Rí
o
Rí
o
Te
ap
a
uc
alc
pa
zca
la
Me
Río
Sa
ma
cint
a
Río Usumacinta
ierra
La S
tengo
Río
uyaca
Río P
PLATANAR
PICHUCALCO
PRESA MALPASO
Us u
VILLAHERMOSA
Río Carrizal
GONZÁLEZ
ío
R
C. H. PEÑITAS
y
Río Samaría
Río
lv a
o
Rí
GAVIOTAS
CÁRDENAS
o
SAMARIA
rija
dr
Pe
a
G
n
Sa
Río Grijalva
Ríos Samaria
y Carrizal
Río
Mezcalapa
o
Rí
DE
lv
Grija
Río
GOLFO
Introducción
 La seguridad de una estructura cualquiera está
determinada por su respuesta ante un evento que puede
presentarse o ser excedido con una probabilidad
determinada.
En el caso de una presa o una obra para control de
inundaciones, dicho evento puede ser la tormenta de
diseño o la avenida de diseño.
Dado que el evento que incide directamente sobre un vaso o
cualquier obra para control de inundaciones es la avenida
de diseño, se considera más apropiado caracterizar la
seguridad de una presa en términos de su respuesta ante la
ocurrencia de dicha creciente.
Estimación de avenidas de
diseño
 La estimación de avenidas de diseño es el proceso de
obtener las características del hidrograma que se utilizará
para determinar las dimensiones de una obra.
 El fin de los métodos de estimación de avenidas de
diseño es determinar de la mejor manera posible la
magnitud del evento correspondiente a un nivel de
riesgo aceptable.
 La estimación de avenidas se realiza con base en un
nivel de riesgo determinado, que se traduce en un
periodo de retorno de diseño, que corresponde al
número de años en el que, estadísticamente, el evento de
diseño puede presentarse o ser excedido.
Enfoques de estimación de
avenidas de diseño
 Hidrometeorológico. Basado en registros
de precipitación y la modelación del
proceso lluvia-escurrimiento.
Hidrométrico. Basado en registros de
escurrimiento y el uso de funciones de
distribución de probabilidad.
Ventajas del enfoque
hidrometeorológico
Registros de precipitación más
abundantes que los de escurrimiento
Obtención del hidrograma completo de
la avenida
Medición de la precipitación en
México
 5575 estaciones climatológicas con datos históricos (la mayoría con
pluviómetro solamente)
 77 observatorios meteorológicos
 4594 estaciones con coordenadas conocidas
 Densidad aproximada = 1 estación pluviométrica / 400 km2
Recomendación mínima de la OMM:
 Terreno plano
1 estación por cada 600 a 900 km2
 Terreno montañoso 1 estación por cada 100 a 250 km2
México no cumple con la recomendación mínima
Ventajas del enfoque
hidrométrico
 Registros de caudales suficientemente prolongados
para realizar análisis de frecuencias de gastos
máximos anuales.
Obtención de estimaciones con significado
probabilista.
Existencia de una gran diversidad de
distribuciones de probabilidad, incluidas las de
poblaciones mezcladas, a fin de tomar en cuenta el
comportamiento y origen de las avenidas.
Desventajas del enfoque
hidrométrico
 Los registros de escurrimiento no son homogéneos
(dependen de los cambios de la cuenca).
Puede existir incertidumbre en la estimación de los
parámetros de la distribución de probabilidad.
En los métodos convencionales sólo se obtiene una
característica de la avenida, esto es, el gasto pico, y la
forma de la avenida de diseño se obtiene “mayorando la
avenida máxima histórica”, lo cual en estricto sentido haría
imposible asociar un periodo de retorno a la misma.
Tormenta elemental en una
cuenca
 Considérese una tormenta elemental que ocurre en una
cuenca, sobre un área A, con una intensidad I y una duración
d, a una distancia efectiva L de la salida de aquélla. El efecto
de la tormenta será un hidrograma de salida, caracterizado
por el gasto pico Qp, el tiempo pico tp, y el volumen escurrido
V.
i(t)
I
Q(t)
d
t
A
Qp
L
V
tp
t
Modelo advectivo-difusivo
del proceso lluviaescurrimiento
 Para fines de argumentación conceptual, el proceso lluvia-
escurrimiento puede ser modelado representando a la cuenca
como un “metacanal”, como lo han propuesto Snell y Sivalpan
(1995). Entonces, puede considerarse que el gasto Q a lo largo
del cauce principal de la cuenca está gobernado por la siguiente
ecuación de advección-difusión:
∂Q
∂Q
∂ 2Q
+U
=D 2
∂t
∂x
∂x
donde t representa el tiempo; x, la coordenada
espacial a lo largo del cauce principal; U, una velocidad
advectiva efectiva, y D, un coeficiente de difusión
efectivo.
Gasto pico producido por una tormenta
elemental
 El gasto pico producido por una tormenta elemental puede obtenerse a partir de la
solución analítica del problema gobernado por el modelo advectivo-difusivo, que
resulta en la siguiente expresión:
Q p = fIAg ( Pe , Cr )
donde f representa un factor de escurrimiento directo y
 1 P 1 + Cr t p / d  
1 Pe / 2  Pe / 2   1 Pe 1 + Cr (t p / d − 1) 
e

g ( Pe , Cr ) = e e erf
− erf 
 2 Cr
2
(t p / d − 1) 
t p / d 
  2 Cr



  1 P 1 − C (t / d − 1) 
 1 P 1 − Cr t p / d  
r
p
− Pe / 2
e
e
− erf 
 
erf 
+e
 2 Cr
(t p / d − 1) 
t p / d  
  2 Cr


siendo Pe=UL/D un número de Pécléct, y Cr=Ud/L un
número de Courant, ambos característicos del binomio
tormenta elemental-cuenca. Se puede demostrar que la
relación tp/d es una función de Pe y Cr y, por tanto, de L.
Caracterización probabilista de una
tormenta elemental
 La descripción más simple que se puede proponer de una
tormenta elemental que ocurre en un área fija y tiene una
duración fija, es aquélla en la que intervienen dos variables
aleatorias: I y L. Sea entonces la densidad de probabilidad
conjunta de dichas variables ζ(I,L), a partir de la cual se puede
calcular la distribución de probabilidad conjunta, así como las
distribuciones marginales de I y L, dadas respectivamente por:
I L
Z ( I , L) ≡ P(i ≤ I , l ≤ L) = ∫ ∫ ς (i, l )dldi ,
0 0
I ∞
L∞
0 0
0 0
Z i ( I ) ≡ P (i ≤ I ) = ∫ ∫ ς (i, l )dldi , Z l ( L) ≡ P(l ≤ L) = ∫ ∫ ς (i, L)didl
Periodo de retorno
 Se puede demostrar
que el periodo de retorno
conjunto
conjunto de I y L, o dicho de otro modo, el periodo
de retorno de la tormenta elemental está dado
por:
TI , L
1
1
≡
=
P (i > I , l > L) 1 − Z i ( I ) − Z l ( L) + Z ( I , L)
Periodos de retorno de tormentas y
avenidas (1)
 Cuando se realiza un análisis de frecuencias de tormetas
máximas anuales, se puede estimar una intensidad de
diseño, ID, asociada con un periodo de retorno
seleccionado para tal fin, TID. Ahora bien, empleando la
teoría de distribuciones derivadas se puede calcular la
distribución de probabilidad del gasto pico producido por
una tormenta elemental, a partir de ζ(I,L). Se puede
demostrar que los periodos de retorno de diseño de la
intensidad y del gasto pico se pueden expresar
−1
respectivamentecomo:
Q pD ∞

 
 
1
q
dq


TID ≡
=
1
−
ς
,
l
dl




P (i > I D )  ∫0  ∫0  g [ Pe (l ), Cr (l )]   g [ Pe ( L), Cr ( L)] 


 Q p ∞ 
 

1
q
dl
≡
= 1 −  ς
,l
 dq 
P (q > Q pD )  ∫0  ∫0  g [ Pe (l ), Cr (l )]  g [ Pe (l ), Cr (l )]  


D
TQDp
−1
Periodos de retorno de
tormentas y avenidas (2)
 Evidentemente, TQpD≠TID, lo cual demuestra
que el periodo de retorno de la avenida no es el
mismo que el de la tormenta. Pero además,
TI,LD≠TID, lo cual muestra que es inadecuado
caracterizar a una tormenta sólo a través
del comportamiento aleatorio de su
intensidad.
Comentarios sobre el
enfoque hidrometeorológico
 La descripción probabilista de tormentas de diseño
a través de la intensidad exclusivamente, es incompleta.
Para diseñar hidrológicamente una presa es necesario
conocer el periodo de retorno de la avenida de
diseño, lo cual no es posible cuando se emplea una
tormenta de diseño, dado que su periodo de retorno no
coincide con el de la avenida que produce.
Los modelos lluvia-escurrimiento no funcionan bien
para eventos extremos.
Lo anterior resalta las limitaciones del enfoque
hidrometeorológico.
Diseño o revisión
hidrológica de presas
I(t)
Parámetros de diseño: Zmáx, Omáx
t
O(t)
Zmáx
Omáx
t
 Para determinar Zmáx y Omáx es necesario transitar el hidrograma
completo de la avenida de diseño por el vaso.
Análisis de frecuencias
tradicional
(
)
T=
Periodo de retorno
1
P q > QP
Registro histórico
Año
Gasto máximo anual
1940
1941
1942
1943
.
.
.
.
.
1999
2000
2001
2002
1580
2509
1052
4005
.
.
.
.
.
8502
3510
1920
4355
Q
(m3/s)
20000
Q para T=1000 años
10000
••
••
• •• •
•• •
• ••
• •• •
•• ••
10
Muestra aleatoria de una
sola variable: Gasto pico
•• ••
100
1000
T
Observaciones sobre el
análisis de frecuencias
tradicional
 Se requiere del hidrograma completo para diseñar
o revisar la presa.
En la práctica, la forma del hidrograma se define en
forma arbitraria, “mayorando” la avenida máxima
histórica.
La respuesta de los vasos es sensible al gasto
pico y también a otros parámetros de la avenida.
Se requiere caracterizar probabilistamente toda
la avenida.
Parametrización de
Q
hidrogramas
Q
Qp
V
Q=Q(t;Qp, tp, V)
t
tp
Hidrograma real
Q
QP
Hidrograma parametrizado
Q
Q
QP
QP
V
t
p
Triangular
V
V
t
t
t
p
Pearson
t
t
p
Cúbica
t
Hidrogramas triparamétricos
hermitianos
   2  3
 Q p  3 t  − 2 t   ;t ∈ [ 0, t p ]
t  
   t p 
 p 


2
3
   t − t p 
 t − tp  
 + 2

Q3 ( t; Q p , t p , tb ) =  Q p 1 − 3

 t − t   ;t ∈ t p , t b
t
−
t

 b p 
   b p
 0;t ∈ ( − ∞ ,0) ∪ ( t , ∞ )
b



 t
 Q p t ;t ∈ [ 0, t p ]
 p
  t − t p 
Q1 ( t; Q p , t p , tb ) =  Q p  1 −
 ;t ∈ t p , t b
t
−
t
b
p

 
 0;t ∈ ( − ∞ ,0) ∪ ( tb , ∞ )


[ ]
[ ]
Orden 3
350
Orden 1
300
3/s
)
[ ]
Orden 5
400
250
200
(m
to
s
a
G
4
5
   3
t
t
t
 Q p 10  − 15  + 6   ;t ∈ [ 0, t p ]
t 
t  
   t p 
 p
 p 


3
4
5
 
 t − tp 
 t − tp 
 t − tp  
 + 15



Q5 ( t; Q p , t p , tb ) =  Q p 1 − 10

 t − t  − 6 t − t   ;t ∈ t p , t b
t
−
t

 b p
 b p
 b p 
 
 0;t ∈ ( − ∞ ,0) ∪ ( t , ∞ )
b



150
100
50
0
0
50
100
150
tiempo (h)
200
250
300
Solución analítica
aproximada de ecuación de
tránsito en vasos
dS
+ S 1+ε = I ( t )
dt
dS
I −O =
dt
I(t)
S (t ; ε ) = S 0 (t ) + ε S1 (t ) + O (ε 2 )
t
S
O(t)
Zmáx
Omáx
ε << 1
t
[
t
]
S0 ( t ) = S0 + ∫ eτ I (τ )dτ e −t
0
τ
τ
τ'




S1 (t ) = −e ∫ S 0 + ∫ e I (τ ')dτ ' − τ + ln S0 + ∫ eτ ' I (τ ' )dτ ' 
dτ
 

 
o
o
0


−t
t
Tránsito de la avenida de diseño de
la presa “El Molinito”, Son.
(ε=0.23756)
Almacenamiento (Mm 3)
280
260
240
Solución
Verdadera
Orden Cero
Orden Uno
Orden Dos
220
200
180
160
140
0
50
100
150
Tiempo (h)
Para fines prácticos, la solución de orden uno es suficiente.
Análisis de sensibilidad de vasos ante
avenidas
0.90
Q
Q
p
V
t
tp
Almacenamiento Máximo
(adimensional )
Gasto pico
0.80
Volumen
0.70
Tiempo pico
0.60
0.50
0
⇒
0.20
0.40
tp, Qp, V
(adimensional)
Descripción biparamétrica (Qp,
V)
0.60
Sensibilidad de la respuesta
del vaso al volumen de las
avenidas
 La gráfica anterior hace evidente que la asignación
arbitraria del volumen de escurrimiento de la
avenida, que es lo que se haría con el análisis de
frecuencias tradicional del gastos pico, tiene una
gran influencia en el volumen del
superalmacenamiento y por consiguiente en el nivel
máximo que alcanza el agua dentro del vaso.
Análisis de frecuencias
Periodo de retorno conjunto del hidrograma
conjunto (1)
TQ p ,V
TQ p ,V
1
=
P ( q > Q p ,v > V )
1
=
1 − Fq (Q p ) − Fv (V ) + Fqv (Q p ,V )
donde:
Fqv ( Q p ,V ) = P( q ≤ Q p ,v ≤ V )
Fq ( Q p ) = ∫ Fqv ( Q p ,V ) dV = P ( q ≤ Q p )
(función de distribución de probabilidad
conjunta)
∞
−∞
Fv (V ) = ∫ Fqv ( Q p ,V ) dQ p = P( v ≤ V )
∞
−∞
(funciones de distribución de probabilidad
marginales)
Análisis de frecuencias
conjunto (2)
Los periodos de retorno individuales están dados por:
Gasto pico:
1
TQ p =
1 − Fq (Q p )
Volumen:
1
TV =
1 − Fv (V )
Problema de
Sea Zm= Zm(Qp,V) la máxima elevación que alcanza el
agua en el vaso de una presa cuando
se transita un
optimización
no
lineal
hidrograma caracterizado por el par (Qp,V). Entonces, la

avenida de diseño para un periodo de retorno TD dado,
corresponderá a la solución del siguiente problema:
máx Z m = Z m (Q ∗p ,V ∗ ) sujetaa :
( Q p ,V )
TQ p ,V
1
=
= TD
∗
∗
∗
∗
1 − Fq (Q p ) − Fv (V ) + Fqv (Q p ,V )
y a la curva elevaciones-capacidades del
embalse, así como a su política de operación.
Procedimiento de
Se pretende determinar el par de valores (QP,V)
solución
que produzca los
efectos más desfavorables
(máximo nivel Zm) en la presa por diseñar o
revisar.
 Definir un periodo de retorno de diseño o revisión.
 Determinar Qp y V para satisfacer TQp,V =TD.
 Construir el hidrograma completo con la mejor
parametrización de acuerdo con la cuenca en estudio.
 Transitar el hidrograma por el vaso y determinar Zm (se
ven implicadas la topografía, las características del
vertedor, las políticas de operación, etc.)
 Elegir otro par (Qp,V) y repetir el proceso hasta obtener el
máximo de Zm.
 Calcular los periodos de retorno individuales.
Revisión del diseño hidrológico
de la presa “El Infiernillo”,
Mich. y Gro.
Diseño original
Qp = 38,777 m3/s (Creager)
Una revisión del diseño, en
1982, motivó la modificación
de niveles y la sobrelevación
de la cortina.
Datos actuales
Presa “El Infiernillo”, Mich. y Gro.
NAMO = 165.00 msnm
NAME = 180.40 msnm
Ecorona = 184.00 msnm
Análisis de frecuencias de gastos máximos
anuales (convencional)
Para un periodo de retorno de 10,000 años se
tiene:
Qp = 60,060 m3/s
El hidrograma de diseño se definió mayorando la avenida máxima
histórica (en gasto pico), ocurrida en 1967, con lo cual el volumen de
escurrimiento es:
V = 12,400 millones de m3
Al transitar esta avenida, se alcanza una elevación de la superficie
libre del agua de 183.00 msnm. El NAME se sobrepasa por 2.60 m y
queda aún 1.00 m a la corona.
Análisis de frecuencias conjunto
utilizando marginales Gumbel doble
Para un periodo de retorno conjunto de 10,000 años se tiene:
Qp = 54,000 m3/s
V = 13,960 millones de m3
60000
Gasto
m3/s
Discharge (m3/s)
50000
Zmáx = 186.73 msnm
40000
30000
TQ=
p 3,800 años
TV = 4,507 años
20000
10000
La corona se sobrepasa en 2.73 m.
0
0
50
100
150
Tiempo (h)
time (h)
200
250
La presa no es segura para un
evento con periodo de retorno de
10,000 años
Revisión del diseño hidrológico de
la presa “Huites”, Sin.
Diseño original
Qp = 30,000 m3/s
V = 5,240 millones de m3
Datos actuales
NAMO = 270.00 msnm
NAME = 290.00 msnm
Ecorona = 290.75 msnm
Presa “Luis Donaldo Colosio” Huites, Sinaloa
Análisis de frecuencias de gastos máximos
anuales (convencional)
Para un periodo de retorno de 10,000 años se
tiene:
Qp = 30,000 m3/s
El hidrograma de diseño se definió mayorando la avenida máxima
anual de 1990, mientras la máxima histórica (en gasto pico) ocurrió en
1960. El volumen de escurrimiento es:
V = 5,240 millones de m3
Al transitar esta avenida, se alcanza una elevación de la superficie
libre del agua de 289.37 msnm, dejando un bordo libre, a la corona,
de 1.38 m.
La presa parece segura
Análisis de frecuencias conjunto
utilizando marginales Gumbel doble
Para un periodo de retorno conjunto de 10,000 años se tiene:
Qp = 29,000 m3/s
V = 5,979 millones de m3
35000
30000
25000
Gasto (m
3
/s)
Zmáx = 290.58 msnm
20000
TQ=
p 6,034 años
TV = 3,135 años
15000
10000
La presa es menos segura de lo que
se cree
5000
0
0
50
100
150
tiempo (h)
200
250
Revisión del diseño hidrológico
del proyecto “La Parota”,
Guerrero
Diseño convencional
Qp = 22,993 m3/s
V = 8,912 millones de m3
Datos relevantes
Sitio para la ubicación de la cortina de la
presa “La Parota”, Guerrero
NAMO (avenidas) = 170.00 msnm
NAMO (estiaje) = 175.00 msnm
NAME = 180.00 msnm
Ecorona = 183.00 msnm
Análisis de frecuencias
Para un periodo conjunto
de retorno conjunto de 10,000
años se tiene:
Qp = 23,531 m3/s
V = 5,726 millones de m3
Zmáx = 179.50 msnm
La presa es hidrológicamente segura
Conclusiones
 Tanto el enfoque hidrometeorológico como el análisis de
frecuencias de gastos máximos tradicionales, para la
estimación de avenidas de diseño de presas, son
incompletos e inadecuados.
 Para el caso de vasos, el método propuesto evita la
arbitrariedad en la asignación del volumen de la
avenida. Se obtiene la solución con los efectos más
desfavorables sobre el vaso en particular, cuyas
características se involucran en el proceso de estimación
de la avenida de diseño
Comentarios
 La teoría multivariada de valores extremos ha sido aplicada y
extendida por los autores para resolver problemas de estimación de
avenidas de diseño en redes de ríos, en las que comúnmente se
requiere el uso de distribuciones de tres o más variables aleatorias.
 En particular, se ha demostrado que la distribución de probabilidad de
poblaciones mezcladas comúnmente conocida como “Gumbel doble”,
satisface las denominadas “fronteras de Fréchet” y las “condiciones de
Galambos”.
 Asimismo, se ha desarrollado una metodología para la estimación del
parámetro de asociación del modelo logístico de Gumbel, para la
construcción de funciones de probabilidad de extremos multivariadas,
basada en el concepto de “contenidos de probabilidad”.
 Actualmente se trabaja en el problema de presas en cascada y en una
estrategia de solución que permita acotar la complejidad
computacional de problemas que involucren un número apreciable de
variables aleatorias.