Enseignement et apprentissage des mathématiques

Enseignement et apprentissage des
mathématiques
Que disent les recherches
psychopédagogiques?
Sous la direction de M. Crahay, L. Verschaffel, E. De Corte & J. Grégoire
Apprendre et enseigner les maths… - Chap. I
(De Corte & Verschaffel)


Maths ≠ collection de concepts abstraits et habiletés procédurales à
maîtriser
Maths  série d’activités de création « de cohérence » et de résolution de
problèmes basées sur une modélisation mathématique de la réalité

But ultime de l’enseignement des maths  développement d’une
disposition à mathématiser le réel

Apprentissage des maths  construction active, opérée par une
communauté d’étudiants, de significations et de compréhensions basées
sur la modélisation de la réalité
La « disposition mathématique »

Pour devenir compétents…  maîtrise coordonnée de cinq
catégories d’outils cognitifs





Une base de connaissances spécifiques
Des heuristiques  stratégies de recherche en résolution
de problèmes
Des connaissances métacognitive
Des stratégies d’auto-régulation
Les croyances associées aux mathématiques
La résolution de problèmes
A. Résoudre et symboliser des problèmes
additifs et soustractifs
I. Introduction

Problèmes  liens entre le symbolisme mathématique et les
actions sur les objets (monde réel)
Objet de l’étude

Investiguer les difficultés rencontrées par les élèves pour créer des
connexions entre leurs démarches informelles de résolution
(comptage) et le symbolisme mathématique (les calculs)

Etudier les limites d’une approche top-down
Approche top-down

Les symboles conventionnels
 sont proposés d’emblée aux élèves à qui on explique ce qu’ils
représentent et comment les utiliser
 sont considérés comme référant de manière fixe et non ambigüe à des
objets mathématiques

L’enseignement ne s’appuie pas sur les stratégies informelles des enfants

Situation couramment rencontrée en CF
Techniques de calculs => pré-requis à RP
Problèmes => illustrer applicabilité des opérations
Symbolisme => entraîner techniques de calculs
-
D’après une enquête réalisée en 2004-2005 auprès d’une centaine d’enseignants
du cycle 5-8 (Fagnant & Hindryckx, 2006)…
 l’objectif principal de la résolution de problèmes est d’appliquer, dans des
situations « réelles », les opérations formelles apprises en classe (l’objectif de
donner du sens aux opérations n’est pas assez présent).

seul un tiers des enseignants déclare appuyer, dès le début de la première
année primaire, l’apprentissage des opérations sur la résolution de problèmes.
Pour les autres  RP post-posée après Janvier (pour environ 20%), en fin
d’année (pour 20 autres %) voire à l’année ou au cycle suivant (pour encore
environ 20%).
Le présupposé selon lequel les problèmes sont trop complexes pour les
jeunes élèves (autrement dit, l’idée selon laquelle une maîtrise préalable des
calculs et certaines compétences en lecture sont nécessaires) semble encore
bien présent…
Apports des théories du traitement de l’information
Typologie

Type changement

Type
combinaison

Type
comparaison
+
ou -
II. Méthodologie









25 élèves de 1P (6 classes – 4 écoles)
Interviews individuelles
14 problèmes de la classification de Riley et al. (changement,
combinaison, comparaison)
I. lit l’énoncé à voix haute
E. répète l’énoncé
E. résout le P (matériel manipulable)
E. propose un calcul (lié à histoire ou stratégie)
I. repose la question
E. entoure la réponse au sein du calcul (+ flexibilité)

Pour la phase de résolution
RC si elle permettait d’aboutir à la réponse attendue.
Si erreur de comptage  recompter (éviter
« techniques »).
les
erreurs
Pour l’écriture du calcul, plusieurs critères :

-
-
structure correcte (ex. pas 3-5=2)
construit au départ des trois nombres attendus (les deux données du
problème et la réponse attendue)
réponse identifiée correctement au sein du calcul

CC même si aucun lien au problème ou à la stratégie de résolution (ex.
« 5+(7)=12 » face à changement 2 et stratégie soustractive)

CI si R mal identifiée (ex. (4)+(9)=13 face à combinaison 1)
III. Quelques résultats
1. En fin de première primaire, les enfants sont-ils capables de résoudre et de
symboliser certains problèmes ?
Combinaison 1 - Pierre a 4 pommes. Anne a 9 pommes. Combien de
pommes Pierre et Anne ont-ils ensemble ?
R
C
(sur 25) (sur 25)
22
16
D
(R-C)
6
Changement 1 - Pierre avait 4 pommes. Anne a donné 9 pommes à
Pierre. Combien de pommes Pierre a-t-il maintenant ?
23
17
6
Changement 2 - Pierre avait 12 cerises. Pierre a donné 7 cerises à
Anne. Combien de cerises Pierre a-t-il maintenant ?
22
13
9
Changement 3 - Pierre avait 5 bonbons. Anne a donné quelques
bonbons à Pierre. Maintenant, Pierre a 11 bonbons. Combien de
bonbons Anne a-t-elle donnés à Pierre ?
19
13
6
Changement 5 - Pierre avait quelques livres. Anne a donné 6 livres à
Pierre. Maintenant Pierre a 11 livres. Combien de livres Pierre avait-il
au départ ?
18
11
7
Comparaison 1 - Pierre a 5 bonbons. Anne a 11 bonbons. Combien de
bonbons Anne a-t-elle de plus que Pierre ?
12
7
5
Comparaison 3 - Pierre a 4 pommes. Anne a 9 pommes de plus que
Pierre. Combien de pommes Anne a-t-elle ?
11
7
4

Pour tous les problèmes  nombre de CC toujours inférieur au
nombre de RC (colonne «D»).

Pas seulement une tendance globale  aucun élève n’est parvenu à
produire un calcul correct s’il n’avait pas, au préalable, résolu le
problème correctement.

Colonne
«
D
»

difficultés
de
symbolisation
 nombre d’élèves qui n’ont pas pu produire un calcul correct face à
un problème qu’ils avaient pourtant résolu correctement (et ceci,
généralement par comptage).
2. Quels types de calculs les élèves produisent-ils ?

Les élèves privilégient les calculs relationnels qui correspondent à leurs
stratégies informelles de résolution et à la structure des problèmes (ex.
5+(6)=11 face à changement 3)

Les calculs numériques (ou canoniques) qui entrent en conflit ne sont
quasi jamais proposés (ex. 11-5=(6))
 abstraction extrême des approches d’enseignement qui imposent les
calculs avec la réponse derrière le signe d’égalité
3. Chaque élève est-il capable d’utiliser correctement les signes « + » et « » en situation de résolution de problèmes ?
Profil I – 3 élèves
Le néant
Aucun calcul correct  aucune connexion
problèmes / symboles
Profil II – 4 élèves
Des additions pour des
situations additives
Uniquement calculs « + » dans des situations
additives (Chang. 1) ou mixtes (ex. chang. 3).
Profil III – 9 élèves
Des additions pour des
situat. de ttes sortes
Uniquement calculs « + »  idem que profil II
+ reconstructions additives dans situations
soustractives (ex. 7+(5)=12 face à chang. 2)
Profil IV – 5 élèves
Add et soustr dans ttes
sortes de situations
Calculs « + » et « - », mais
(1) pas tjrs adaptés (reconstructions additives)
(2) pas tjrs CC (certains P sont RC mais pas CC)
Profil V – 4 élèves
Add et soustr bien
adaptées aux situat.
Tous les calculs bien adaptés aux situations et
tous les problèmes RC sont symbolisés
correctement
4. Peut-on considérer l’utilisation d’un symbolisme mathématique
insuffisamment intégré comme un élément déclencheur de démarches
superficielles ?

Analyser les erreurs produites au moment de la résolution et au moment
de la production du calcul
 voir si on peut les attribuer à des mécanismes différents…
Résultats (non développés ici)
- Erreurs de nature conceptuelle (résolution)
- Développement de démarches superficielles (production du calcul)
IV. En guise de conclusion…

La maîtrise des techniques de calcul n’est pas un pré-requis à la résolution
de problèmes ET ce n’est pas non plus une aide…
 Développer plus tôt la RP et s’appuyer d’avantage sur les stratégies
informelles des élèves

Utilisation très prépondérante des calculs relationnels qui « collent » à la
structure du P et aux stratégies informelles
 Ne pas imposer l’utilisation de calculs canoniques (R derrière le signe
d’égalité)  ces calculs demandent une trop grande abstraction
(partie/tout) + ils creusent l’écart avec stratégies informelles  manque
de sens et stratégies superficielles…

L’analyse par profils d’élèves révèle de manière criante les difficultés
éprouvées par bon nombre d’élèves pour utiliser les symboles
mathématiques en situation de résolution de problèmes
 Développer la RP pour viser une co-construction des concepts
d’addition et de soustraction et des symbolisations utilisées pour les
représenter (plutôt qu’entraîner les techniques de calcul hors contexte et
utiliser la RP pour appliquer les opérations en situation « réelle »)

L’analyse des erreurs commises par les élèves permet d’apporter des
arguments en faveur de l’hypothèse selon laquelle l’utilisation d’un
symbolisme mathématique qu’ils n’ont pas suffisamment intégré pourrait
être un facteur déclencheur de stratégies superficielles
 Mise en garde en matière d’enseignement : enseignement « tardif » de
RP centré sur l’objectif d’illustrer l’applicabilité des opérations  risque
de favoriser le développement de stratégies superficielles (alors que ces
stratégies sont peu présentes chez les jeunes élèves)
Références

Fagnant, A. (2005). Résoudre et symboliser des problèmes additifs et soustractifs en début
d’enseignement primaire. In M. Crahay, L. Verschaffel, E. De Corte & J. Grégoire (Eds.), Enseignement
et apprentissage des mathématiques. Que disent les recherches psychopédagogiques ?(131-150).
Bruxelles : De Boeck.

Fagnant, A. & Hindricks, G. (2006). La résolution de problèmes : enquête auprès des enseignants du
cycle 5-8. Actes du quatrième congrès des chercheurs en éducation, 111-113. Namur, du 21 au 22 mars
2006 : http://www.agers/cfwb/be.
Pour en savoir plus…

Fagnant, A. (2002). Mathematical symbolism : A feature responsible for superficial approaches ? In A.D.
Cockburn and E. Nordi (Eds), Proceedings of the 26th Annual Conference of the International Group for
the Psychology of Mathematics Education, vol. 2, 345-352. Norwich, UK : University of East Anglia.

Fagnant, A., Vlassis, J. & Crahay, M. (2005). Using mathematical symbols at the beginning of
arithmetical and algebraic learning. In Verschaffel, L. De Corte, E. Kanselaar, G. & Valcke, M. (Eds.).
Powerful environments for promoting deep conceptual and strategic learning (81-95). (Studia
Paedagogica, n°41). Leuven: Leuven University Press.

Fagnant, A. (2005). The use of mathematical symbolism in problem solving. An empirical study carried
out in grade one in the French Community of Belgium. European Journal of Psychology of Education, XX
(4), pp. 355-367.
La résolution de problèmes
B. La modélisation et la résolution de
problèmes d’application
Point de départ – Le phénomène sous étude

Steve a acheté 4 planches de 2,5 m chacune. Combien de planches de 1 m peut-il
faire à partir de ces planches ?

Quelle sera la température de l’eau d’un container si vous versez dedans un litre
d’eau à 80 degrés et un litre d’eau à 40 degrés.

John court le 100 m en 15 secondes. Combien de temps lui faudra-t-il pour
parcourir un km ?

Bruce et Alice vont à la même école. Bruce habite à 17 km de l’école et Alice à 8
km de l’école. Quelle est la distance entre la maison de Bruce et la maison
d’Alice?
Démarches superficielles et suspension
de construction de sens

Age du capitaine et bus de l’armée
 confrontés à des problèmes un peu particuliers (dans un contexte de
classe classique)  réagissent de manière stéréotypée et artificielle

Problème:
Un bus de l’armée contient 36 soldats. Si 1128 soldats ont besoin de
se rendre à leur camp d’entraînement en bus, combien de bus sont
nécessaires ?

Réponses les plus fréquentes:
1.128  36 = 31.33 bus
1.128 ÷ 36 ≈ 31 bus
Problèmes standards et problèmes problématiques

Item standard (item S): peut être résolu d’une manière
indiscutable en appliquant des opérations arithmétiques
évidentes avec les nombres fournis

Item problématique (item P): le modèle mathématique
approprié est moins évident et plus discutable, du moins si on
prend sérieusement en compte la réalité du contexte évoqué
dans le problème
Exemple d’un item S et P

Problème S: un homme coupe une corde à linge de 12 mètres
en morceaux de 1,5 mètres chacun. Combien de morceaux
obtiendra-t-il ?

Problème P: un homme veut une corde assez longue pour
l’étendre entre deux mats séparés de 12 mètres, mais il ne
dispose que de morceaux de corde de 1,5 mètre de long.
Combien de ces morceaux doit-il attacher les uns aux autres
pour disposer d’une corde qu’il puisse étendre entre les deux
mats ?
Réactions réalistes et non-réalistes

Réaction réaliste (RR): Dès qu’un élève donnait une réponse
au problème en prenant en compte le contexte ou quand il
produisait une réponse « non réaliste » accompagnée d’un
commentaire réaliste

Réaction non-réaliste (NR): Les réactions sans indice
manifeste d’activation ou d’utilisation de connaissances du
monde réel

Plusieurs études sur les problèmes problématiques
ex. 4 planches de 2,5 m // courir le 100 m en 15 secondes // 2 amis
habitent à 8 et 17 km de l’école
 très peu de réponses réalistes : les élèves résolvent les problèmes sans
faire appel à leurs connaissances de la vie réelle
 appliquer envers et contre tout des opérations mathématiques en vue
de fournir des réponses numériques précises à tous les problèmes qui leur
sont proposés
Les présupposés et leurs origines

Présupposés
 supposer que tous les problèmes proposés sont corrects, complets et
qu’ils ont du sens (puisque déterminés comme tels par l’autorité)
 supposer qu’il n’y a qu’une seule réponse correcte et qu’elle doit se
présenter sous une forme numérique et précise (et qu’il n’y a qu’une seule
façon d’y arriver)

Origine ?
 Nature stéréotypée des énoncés
 Culture de classe
L’enseignement des mathématiques

Induit une série de représentations chez les élèves qui les
conduisent
 à court-circuiter leur réflexion et leur bon sens
 à agir comme s’il suffisait d’exécuter des opérations
arithmétiques pour résoudre les problèmes qui leur sont
soumis

N’incite pas les élèves à développer des capacités à la
modélisation
Le modèle du mathematical modeling
Phénomène
sous étude
Compré- Modèle de
situation
hension
Modéli- Modèle
mathématique
sation
Analyse
Evaluation
mathématique
Résultat
Commu- Résultat
communiqué
interprété
nication
Interpré- Résultat
découlant du
tation modèle math.
Stratégies superficielles
Version atrophiée du processus de modélisation
Les recherches de type intervention

Faire acquérir aux élèves une stratégie générale permettant de résoudre
des problèmes
 développer des heuristiques (R / R)

Proposer des problèmes réalistes (ouverts et complexes)

Développer les échanges entre élèves (travaux de groupes et débats en
groupe-classe)

Faire acquérir aux élèves un ensemble de croyances et d’attitudes
positives
 culture de classe
Une stratégie heuristique et métacognitive générale
Références

Verschaffel, L. & De Corte, E. (2005). La modélisation et la résolution
des problèmes d’application : de l’analyse à l’utilisation efficace. In M.
Crahay, L. Verschaffel, E. De Corte & J. Grégoire (Eds.), Enseignement
et apprentissage des mathématiques. Que disent les recherches
psychopédagogiques ? (153-176). Bruxelles : De Boeck.

Verschaffel, L., Greer, B. & De Corte, E. (2000). Making sense of word
problems. Lisse, The Netherlands : Swets & Zeitlinger.
La résolution de problèmes
C. La difficulté d’articuler diverses procédures
dans des problèmes complexes.
Introduction

Maîtrise des procédures = condition nécessaire mais non suffisante




Importance de la représentation  mobilisation
Organisation
Surcharge cognitive
Face à des problèmes complexes….

H1  oubli de mobiliser certaines procédures (alors qu’ils en
disposent)

H2  difficultés de mise en œuvre de ces procédures (par
ailleurs maîtrisées)
Données méthodologiques

Deux problèmes complexes (désignés par le code SC) et N
questions « fermées » (procédures testées isolément)

1436 élèves de 6e primaire
 issus de 61 écoles différentes
 et répartis dans 81 classes différentes
Une promenade dans les bois
Des élèves de 6e primaire d'une école liégeoise ont décidé de faire une promenade à pied
dans les bois d'Esneux. Voici le plan de cette promenade. L'itinéraire est surligné en noir.
Les élèves veulent partir à 9 h de l'école. Il faut 20 minutes au bus scolaire
pour les déposer au début de la promenade. Ils marcheront à 3,5 km à l'heure
et comptent s'arrêter 1/2 h. en chemin pour se reposer. À quelle heure les
élèves arriveront-ils à la fin de la promenade dans les bois si tout se passe
comme prévu ?
Pour résoudre ce problème, il faut :
Procédure 1 Mesurer, sur le plan, les sept tronçons du trajet et, par addition, obtenir
la longueur correcte.
Procédure 2 Calculer la longueur réelle en tenant compte de l'échelle 1/20 000.
Procédure 3 Calculer la durée de la marche en tenant compte du résultat de
l'opération précédente et de l'énoncé qui indique que les élèves ont
marché à 3,5 km/heure.
Procédure 4 Ajouter, au résultat précédent, 1/2 heures d'arrêt.
Procédure 5 Tenir compte de l'heure de départ (9h00) et des 20 minutes de
déplacement en bus pour fixer le départ réel de la promenade à 9h20.
Procédure 6 Calculer l'heure d'arrivée en ajoutant la durée du trajet (opérations 3 et
4) à l'heure du départ réel (opération 5).
Taux de réussite, d'échec et d'omission relatifs à chacune des
procédures à mobiliser pour résoudre le problème complexe
N° de
procédure
P 1 /SC1
Nature de la procédure
Réussite
Échec
13,4 %
P 2 /SC1
a mesuré correctement les longueurs sur le 43,1 %
plan
a calculé la longueur réelle
36,2 %
Omissio
n
42,5 %
22,1 %
41,7 %
P 3 /SC1
a calculé la durée correctement
33 %
23,1 %
43,9 %
P 4 /SC1
a tenu compte de la 1/2 h. d'arrêt
49,7 %
7%
43,3 %
P 5 /SC1
a tenu compte des 20 minutes de
déplacement en car
a indiqué l'heure d'arrivée exacte
54,6 %
4,6 %
40,9 %
24,3 %
49,7 %
31 %
P6 /SC1
Procédures 1 et 2 testées isolément
SF 1.1.
Voici la distance, sur un plan à l'échelle entre la ville A et la ville B. Calcule la distance
réelle qui les sépare.
---------------------------------------------------------------------------------A
B
SF1.2 Distances réelles
……….
Distances sur le plan
1 cm
Échelle
1
100
Taux de réussite, d'échec et d'omission des procédures 1
et 2 testées dans deux situations fermées
Situation
SF 1.1
SF 1.2
Procédure
Nature de la
procédure
Réussite
Échec
Omission
P1
a mesuré
correctement la
longueur sur le plan
80,7 %
3,3 %
16,0 %
P2
a calculé la longueur
réelle
54,6 %
30,1 %
15,3 %
P2
a calculé la longueur
réelle
72,0 %
14,4 %
13,7 %
Taux de réussite, d'échec et d'omission pour la procédure
1 "Mesurer correctement sur le plan" testée en situation
complexe ou fermée.
Situation complexe
Réussite
Situation fermée
Échec
Omission
Réussite
35,4 %
1,2 %
6,5 %
43,1 %
Échec
13,4 %
0,0 %
0,0 %
13,4 %
Omission
31,9 %
2,1 %
9,5 %
43,5 %
Total
80,7 %
3,3 %
16,0 %
100,0 %
Total
Taux de réussite, d'échec et d'omission pour la procédure 2, "Calculer
une longueur réelle connaissant une longueur sur le plan", testée en
situation complexe et en situation fermée.
Situation Réussite
complexe Échec
Omission
Total
Situation SF 1.1
Réussite Échec Omission Total
25,6 % 7,9 % 1,7 % 36,2 %
11,7 % 8 % 3,0 % 22,1 %
17,3 % 14,7 % 9,7 % 41,7 %
54,6 % 30,6 % 14,4 % 100,0 %
Discussion

Il ne suffit pas de maîtriser les procédures pour résoudre des
problèmes complexes qui les impliquent…

Difficultés pour se représenter le problème correctement
Erreurs de procédures d’autant plus fréquentes que la situation est
complexe
Difficultés pour planifier la séquence de procédures

Importance de la maîtrise des procédures mais…



Quid des compétences stratégiques et de la régulation métacognitive?
EST-IL POSSIBLE D’APPRENDRE A RESOUDRE DES
PROBLEMES ? Affaire à suivre….
Référence

Crahay, M. (2005). La difficulté d’articuler diverses procédures dans des
problèmes complexes. In M. Crahay, L. Verschaffel, E. De Corte & J.
Grégoire (Eds.), Enseignement et apprentissage des mathématiques. Que
disent les recherches psychopédagogiques ? (177-199). Bruxelles : De
Boeck.