Stahlbau III

Institut für Baustatik und Stahlbau
Stahlbau III
Stabilitätsprobleme im Stahlbau
Skriptum zur Vorlesung
Jürgen Priebe
WS 2009 / 2010
Februar 2010
I
Inhaltsverzeichnis
1
2
3
Überblick
1.1 Stabilitätsprobleme mit Gleichgewichtsverzweigung . . . . . .
1.1.1 Knicken (Stab, Rahmen, Bogen) . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Biegedrillknicken (Kippen) . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Beulen (Platten, Schalen) . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4 Gesamtstabilität (Stab, Balken, Rahmen, Bogen) . . . .
1.2 Stabilitätsprobleme ohne Gleichgewichtsverzweigung . . . . . .
1.2.1 Durchschlagprobleme (Stabwerke, Schalen . . . . . . .
1.2.2 Traglastproblem (alle Tragwerke) . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Kippproblem mit wirklichkeitsnaher Belastung . . . . .
1.3 Spannungsprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Planmäßig außermittiger Druck . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Biegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Unterschied zwischen Stabilitätsproblem und Spannungsproblem
1.5 Beurteilung von Stabilitätsproblemen . . . . . . . . . . . . . .
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1
1
1
2
3
3
4
4
4
4
5
5
5
6
6
Beulen
2.1 Das Ausbeulen von Steg und Gurt . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Herleitung der Beuldifferentialgleichung . . . . . . .
2.1.2 Lösung für einen Sonderfall . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Vergleich zwischen Knickstab und Platte . . . . . . .
2.1.4 Zusammengesetzte Beanspruchungen . . . . . . . . .
2.1.5 Beulfelder mit Aussteifungen . . . . . . . . . . . . .
2.1.6 Steifigkeit der Steifen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.7 Bezeichnung der Beulfelder . . . . . . . . . . . . . .
2.1.8 Tragsicherheit der beulgefährdeten Bleche . . . . . . .
2.1.9 Nachweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.10 Dreiseitig gelagerte Platten . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.11 Beulfelder mit knickstabähnlichem Verhalten . . . . .
2.1.12 Gedrungene Beulfelder ohne Beulsicherheitsnachweis
2.2 Vollwandige Stäbe mit planmäßig mittigem Druck . . . . . . .
2.2.1 Querschnittsformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Querschnitt mit gedrungenen Querschnittsteilen . . . .
2.2.3 Querschnitt mit schlanken Querschnittsteilen . . . . .
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9
9
9
12
14
17
17
19
19
20
22
23
24
25
27
27
27
27
Torsion
3.1 Übersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Querschnittsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Wölbkraftfreie Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Bedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Gesuchte Größen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Differentialgleichung der wölbkraftfreien Torsion und Verdrehung ϑ . . . . . .
3.2.4 Ergebnisse der wölbkraftfreien Torsion dickwandiger Querschnitte , N, •, usw.
3.2.5 Ergebnisse der wölbkraftfreien Torsion offener dünnwandiger Querschnitte . . .
3.2.6 Ergebnisse der wölbkraftfreien Torsion geschlossener dünnwandiger Querschnitte
3.3 Wölbkrafttorsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
31
31
32
33
33
33
34
35
40
45
46
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II
3.4
4
3.3.1 Bedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Gesuchte Grössen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Differentialgleichung der Wölbkrafttorsion, Verdrehung ϑ und Schnittkräfte
3.3.4 Spannungen aus Wölbkrafttorsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.5 Wölbwiderstand und Schubmittelpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nochmals Wölbnormalspannungen und Analogie zum Balkenbiegeproblem . . . . .
Stabilitätsprobleme der Stäbe
4.1 Elastisches Biegeknicken von Stäben und Stabwerken . . . . . . . . . .
4.1.1 Kragarm und Einfeldträger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Einfeldstab mit Vorausbiegung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3 Einfeldstab auf elastischer Bettung . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.4 Einfeldstab mit konstanter Querbelastung . . . . . . . . . . . .
4.1.5 Spannungs- und Stabilitätsprobleme bei Stabwerken . . . . . .
4.1.6 Spannungsproblem mit Gleicgewichtsverzweigung . . . . . . .
4.2 Elastisches Biegedrillknicken von Stäben . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Längskraftbelastete Stäbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Quer zur Stabachse belastete Stäbe und Stäbe mit Endmomenten
4.2.3 Längs- und querbelastete Stäbe . . . . . . . . . . . . . . . . .
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47
47
47
53
54
59
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60
60
60
67
68
71
74
74
75
75
83
88
1
1
Überblick
1.1
1.1.1
Stabilitätsprobleme mit Gleichgewichtsverzweigung
Knicken (Stab, Rahmen, Bogen)
a) Biegeknicken
P
P
P
Hook’scher
Werkstoff
v
Pki
z.B. beim Stab:
P=M
S
M
P=S
y
Baustahl
y
Verzweigungspunkt
vy, vz
z
z
⊥ z-z Achse
⊥ y-y Achse
Knickprobleme mit planmäßigen Biegemomenten
Zimmermann-Stab
P
P
v
P
Pki
Verzweigungspunkt
P
P
v
v
Das Kriterium von Klöppel / Lie1 gibt Aufschluss, ob ein Verzweigungsproblem oder ein Spannungsproblem vorliegt.
b) Biegedrillknicken
zentrisch gedrückter Stab
P
P
M
P=S
y
z
1 Stahlbau
1943, S. 17
2
exzentrisch gedrückter Stab
P
P
P
Pki
P
M
S
Verzweigungspunkt
y
J
z
J
c) Drillknicken
P
P
y
P=M=S
J
z
P - ϑ - Kurve ähnlich wie beim Biegedrillknicken, wird selten maßgebend.
1.1.2
Biegedrillknicken (Kippen)
q
M1
P
Q
P,M,Q,q
P
M2
P
Verzweigungspunkt
z.B. beim Balken:
y
j
z
j
3
1.1.3
Beulen (Platten, Schalen)
z.B. Platte:
b)
s1
s (t)
s1
v
a)
a)
c)
spi
(tpi)
Verzweigungspunkt
y×s1
y×s1
v
b) t
v
überkritische Tragfähigkeit möglich:
Laststeigerung bei geringen verformungen
t
Flansche:
dreiseitig gelagerte Platten
auf Druck beansprucht
c)
1.1.4
Gesamtstabilität (Stab, Balken, Rahmen, Bogen)
q
Q
M
P,M,Q,q
P
keine Querschnittstreue
wie beim Kippproblem
z.B.:
Verzweigungspunkt
J
J
Bei der Gesamtstabilität wird die Voraussetzung der Querschnittstreue aufgegeben.
4
1.2
1.2.1
Stabilitätsprobleme ohne Gleichgewichtsverzweigung
Durchschlagprobleme (Stabwerke, Schalen
P
P
h
h
Pmax
q
P=0
v
h
2h
1.2.2
Traglastproblem (alle Tragwerke)
Werkstoff- und / oder geometriebedingte Stabilitätsprobleme
z.B. exzentrisch gedrückter Stab aus Baustahl
P
P
v0
v
P
s
Pki
plastisch
fy
PTr
PF
P
elastisch
y
M=S
v0
z
1.2.3
v
e
Kippproblem mit wirklichkeitsnaher Belastung
q
Q
Q,q
y
j
z
j
5
1.3
Spannungsprobleme
Vorausgesetzt wird Hook’scher Werkstoff
1.3.1
Planmäßig außermittiger Druck
a) Last auf einer Hauptachse (Annahme: seitliches Ausweichen sei ausgeschlossen)
P
P
v0
P
v
Pki
(Biegeknicken)
P
M
S
Mögliche Lagen der
Biegedrillknicklast
y
v
v0
Theorie II. Ordnung
z
b) Last außerhalb der Hauptachse
P
P
M
S
Pki
y
(Biegedrillknicken
oder Biegeknicken)
z
J
1.3.2
J
Biegung
q
Q
Q,q
a)
b)
v
a) Hook’scher Werkstoff
b) Baustahl
v
Theorie I. Ordnung
6
1.4
Unterschied zwischen Stabilitätsproblem und Spannungsproblem
Für eine Last gibt es beim Stabilitätsproblem mehrere Gleichgewichtslagen, d.h das Problem ist
„mehrdeutig“. Beim Spannungsproblem ist dies nicht der Fall 1
P
I
P
II
v
I
v
Das Gleichgewicht kann sein:
stabil
labil
indifferent
Eine kleine Störung bewirkt eine Auslenkung und
Rückkehr in die Ausgangslage
Aufsuchen einer Gleichgewichtslage, die entfernt
oder nicht vorhanden ist
Verharren in der unmittelbar benachbarten Gleichgewichtslage
Am Verzweigungspunkt wird, vom stabilen Gleichgewicht her kommend, das Gleichgewicht zum ersten
Mal indifferent.
1.5
Beurteilung von Stabilitätsproblemen
Die Beurteilung von Stabilitätsproblemen ist nicht allein mit Hilfe der Verzweigungslast, oder allgemeiner, der kritischen Last möglich. Es muss vielmehr gefragt werden, wie sieht die ganze LastVerformungskurve aus, was kann durch Imperfektionen oder Störungen (z.B. Verbiegungen, Exzentrizitäten, Materialimperfektionen), ungleiche Lasteintragungen und ungenaue Erfassbarkeit der Randbedingungen geschehen.
Es ist jedoch nicht die theoretische kritische Last von Bedeutung, sondern die „Traglast“ und das LastVerformungsverhalten nach Erreichen der Traglast. Diese Traglast ist die maximal erreichbare Last unter
Berücksichtigung von baupraktischen Imperfektionen.
Je nach Stabilitätsproblem und Schlankheit der Bauglieder kann die Traglast unter oder auch über der
kritischen Last liegen, im letzten Fall spricht man von überkritischer Tragfähigkeit
1 Teilweise werden auch einige Stabilitätsprobleme ohne Gleichgewichtsverzweigung in der Praxis als Spannungsprobleme
bezeichnet. Hierbei wird nur ein Teil der Last-Verformungskurve ins Auge gefasst, also z.B. der abfallende Ast nicht mehr
berücksichtigt. Beispiel: Exzentisch gedrückter Stab aus Baustahl
7
• Beispiel Knicken und Biegedrillknicken
P
P
s
fy
P
v
sk
P
Knickkurve ski
sp
Traglastkurve su
Traglast < Knicklast
v
l
• Beispiel Plattenbeulen
s
s
s
fy
sk
Beulkurve spi
sp
Traglast ≷ Beullast
Traglastkurve su
überkritische
Tragfähigkeit
l
• Beispiel Schalenbeulen
s
s
fy
sk
sp
Traglast Beullast
Beulkurve ssi
Traglastkurve su
l
Aus den Beispielen ist zu ersehen, dass große Unterschiede zwischen der maßgebenden Traglast und der
Verzweigungslast vorhanden sein können. Bezöge man die Tragfähigkeit auf die Verzweigungslast, dann
müssten unterschiedliche „Sicherheitsfaktoren“ verwendet werden1 .
1 Dies
war beispielsweise in der alten DIN 4114 und der DASt-Ri. 012 so.
8
Die Ermittlung der kritischen Last ist demnach nur eine Teilhilfe bei der Beurteilung von Stabilitätsproblemen. Wichtig ist auch, dass die Übersetzung der Konstruktion in ein zu berechnendes System richtig
erfolgt. So können falsch angesetzte Randbedingungen einen großen Einfluss auf die rechnerische
Versagenslast haben:
P
P
P
P
P
=
2
p ×EI
Grenzfall 1: Pki= 2
l
2
Grenzfall 2: Pki=2,04
p ×EI
2
l
9
2
Beulen
2.1
Das Ausbeulen von Steg und Gurt
Ideal ebene Platten, die durch Druck oder Schub beansprucht werden, können vor Erreichen der Materialfestigkeit ausbeulen.
Abbildung 2.1: Platte mit allgemeiner Beanspruchung in Plattenebene
Wie beim Knickstab gilt auch hier der Grundsatz, je schlanker die Platte ist, desto früher beult sie aus.
Abbildung 2.2: Eulerkurve für Platten
2.1.1
Herleitung der Beuldifferentialgleichung
Für querbelastete Platten gilt die Kirchhoff’sche Plattengleichung
4
E · 1 · t3
∂ w
∂ 4w
∂ 4w
·
+
2
·
+
=p
12(1 − µ 2 )
∂ x4
∂ x2 ∂ y2 ∂ y4
Gleichgewichtsbedingung
Summe aller Vertikalkräfte am Plattenelement ist Null
Eine Querbelastung p ist im Grundzustand nicht vorhanden. Sie ergibt sich jedoch aus Abtriebskräften
im ausgebogenen Nachbarzustand.
10
Die Abtriebskräfte können am infinitesimalen Element aus den Scheibenkräften gewonnen werden.
Abbildung 2.3: Infinitesimales Element
mit
σx · t = Nx
σy · t = Ny
τxy · t = Nxy
Abbildung 2.4: Abtriebskräfte im Schnitt in x-Richtung
Unter der Voraussetzung kleiner Winkel ist
∂w
∂ Nx
∂ w ∂ 2w
dx
PNx dxdy = Nx dy
− Nx dy +
dxdy ·
+
∂x
∂x
∂ x ∂ x2
11
PNx dxdy ≈ −Nx dy
PNx
≈ −Nx
∂ Nx
∂ 2w
∂w
dx −
dxdy
2
∂x
∂x
∂x
∂ 2 w ∂ Nx ∂ w
−
∂ x2
∂x ∂x
analog
∂ 2 w ∂ Ny ∂ w
−
∂ y2
∂y ∂y
PNy
≈ −Ny
PNxy
≈ −Nxy
∂ 2 w ∂ Nxy ∂ w
−
∂ x∂ y
∂x ∂y
PNyx
≈ −Nyx
∂ 2 w ∂ Nyx ∂ w
−
∂ x∂ y
∂y ∂x
p = pNx + pNy + pNxy + pNyx
∂w
Aus ∑ x = 0 ergibt sich mit cos
∂x
≈1
∂ Nx ∂ Nyx
+
=0
∂x
∂y
Aus ∑ y = 0 ergibt sich entsprechend
∂ Ny ∂ Nxy
+
=0
∂y
∂x
Damit ergibt sich p zu
∂ 2w
∂ 2w
∂ 2w
p = − Nx 2 + 2 · Nxy
+ Ny 2
∂x
∂ x∂ y
∂y
∂ 2w
∂ 2w
∂ 2w
= −t · σx 2 + 2 · τxy
+ σy 2
∂x
∂ x∂ y
∂y
Die Beulgleichung, die angibt, dass der ausgebogene Nachbarzustand als Gleichgewichtszustand neben
dem Grundzustand bei ungeänderter Last existiert, lautet somit
4
E · 1 · t3
∂ w
∂ 2w
∂ 4w
∂ 4w
∂ 2w
∂ 2w
·
+ σy 2
+ 2 · 2 2 + 4 = −t · σx 2 + 2 · τxy
12(1 − µ 2 )
∂ x4
∂x ∂y
∂y
∂x
∂ x∂ y
∂y
wobei σx und σy Druckspannungen sind und
K=
E · 1 · t3
12(1 − µ 2 )
der Plattenfaktor ist.
12
Der Übergang zum Stab ergibt
∂ 2w
E · 1 · t 3 ∂ 4w
· 4 = −t · σx 2
12
∂x
∂x
oder
EIw0000 + Pw00 = 0
2.1.2
Lösung für einen Sonderfall
Betrachtet wird der Sonderfall, dass nur Spannungen σx = const. vorhanden sind.
Ansatz
mπx
nπy
w(x, y) = Amn · sin
· sin
a
b
mit
m =
b Anzahl der Wellen in x−Richtung
n =
b Anzahl der Wellen in y−Richtung
Der Ansatz erfüllt die Differentialgleichung und die Randbedingungen.
Randbedingungen sind
w=0
für x = 0, x = a, y = 0, y = b
0
w 6= 0
für x = 0, x = a, y = 0, y = b
00
w =0
für x = 0, x = a, y = 0, y = b
Die Differentialgleichung lautet dann
Amn
mπ 4
a
mπ 2 nπ 2 nπ 4 mπx
nπy
+2
·
+
· sin
· sin
a
b
b
a
b
mπ 2
t
mπx
nπy
= σx · · Amn
· sin
· sin
k
a
a
b
und daraus
Amn
"
mπ 2
a
+
nπ 2 2
b
#
t mπ 2
− σx · ·
=0
k
a
13
Triviale Lösung Amn = 0
Beulbedingung
[ ]
= 0
σ pi
=
nicht ausgebogene Lage 1
ausgebogene Lage 2
2
n 2
m 2
+
π2
K
a
b
m 2
t
a
oder mit
a
b
σ pi
σ pi
= α
2
m n2
π2 · E · t2
=
+ α ·
α m
12 · (1 − µ 2 )b2
=
k
·
σe
σe kann als Eulerknickspannung eines Stabes gedeutet werden, der 1 cm breit ist, die Länge b hat und
auf Druck belastet ist.
σe =
σe =
π 2 · E · I∗
b2 · 1 · t
π2 · E · 1 · t3
12 · (1 − µ 2 )b2 · 1 · t
Es geht also nicht die Länge a ein wie beim Stab, sondern erfreulicherweise die Breite b.
Der Wert k ist von den Variablen m und n abhängig. Sie sind also so zu wählen, daß k und somit σ pi ein
Minimum wird.
Es muss sein n = 1
∂k
∂m
α 1
α
1
α
=0 ⇒ 2
+
−
=0 ⇒
−
=0 ⇒ m=a
α m
α m2
α m2
m
somit
kmin =
m
α
+
α 2
=4
m
und
σ pi
= 4·
π2 · E · t2
= k · σe
12 · (1 − µ 2 )b2
14
Zusammenhang zwischen k-Wert und Seitenverhältnis α
Für α =
√
2 ist sowohl m = 1 als auch m = 2 möglich.
In DIN 18800, Teil 2 wird die Näherung k = 4 angegeben.
Treten auch Abmessungen der Bleche mit α < 1 auf, dann ist genauer:
α ≤1 k =
1
+α
α
2
α ≥ 1 k = 4 Näherung
2.1.3
Vergleich zwischen Knickstab und Platte
Knickstab: σ pi = 1 ·
π2 · E · I
a2 · 1 · t
Platte: σ pi = 4 ·
π 2 · E · I∗
b2 · 1 · t
Man erkennt bei der Platte zwei Vorzüge. Einmal ist k = 4 und zweitens steht nicht a sondern b im
Nenner. Dies bedeutet, daß beliebig lange Platten dieselbe Beulspannung besitzen wie kurze Platten mit
α ≥ 1.
Entsprechend der vorhergehenden Ableitung können auch Beulspannungen oder k-Werte für andere Belastungsfälle abgeleitet werden. Es werden daher auch zur Unterscheidung weitere Indizes eingeführt:
Ideale Einzelbeulspannungen für weitere Beanspruchungen (Druck positiv)
σxPi = kσ x · σe
15
τPi = kτ · σe
σyPi = kσ y · σe
Die k-Werte sind abhängig von der Belastung, den Abmessungen und den Randbedingungen.
σe ist jeweils
σe =
π2 · E · t2
12(1 − µ 2 )b2
k−Werte wurden für viele Fälle ermittelt und sind der Literatur zu entnehmen oder im Einzelfall neu zu
ermitteln, bspw. mit Programmen (Finite-Streifen-Methode, FEM).
Auszug aus DIN 18800 Teil 2 - Tabelle 26, Beulwerte kσ (für α ≥ 1!)
16
Auszug aus DIN 4114 Tafel 6
Auszug aus DIN 4114 Ri 17.21
und insbesondere in
[ ] Klöppel/Scheer; Beulwerte ausgesteifter Rechteckplatten, Verlag W. Ernst und Sohn
[ ] Klöppel/Möller; Beulwerte ausgesteifter Rechteckplatten II. Band, Verlag W. Ernst und Sohn.
17
2.1.4
Zusammengesetzte Beanspruchungen
Auch in diesen Fällen gibt es grundsätzlich für jede Belastungskombination ideale Versagenswerte
∗
∗
∗
; σyPi
; τPi
(zugehörige Werte für das gegebene Belastungsverhältnis σx : σy : τ)
σxPi
Der * zeigt an, daß dies der Wert bei einer zusammengesetzten Beanspruchung ist. Er ist meist geringer,
als wenn andere Beanspruchungen nicht wirken. Später wird jedoch auf diese Werte bei zusammengesetzter Beanspruchung im Nachweis nicht zurückgegriffen, vielmehr wird dieser mit den Werten aus den
Einzelbeanspruchungen geführt. Dadurch tritt eine wesentliche Erleichterung ein, denn die * - Werte
sind für jede Belastungskombination verschieden.
2.1.5
Beulfelder mit Aussteifungen
Um ein frühzeitiges Ausbeulen zu verhindern, kann das Blech dicker gewählt werden. Wirtschaftlicher
ist die Anordnung von Beulsteifen. Sie sind dort besonders wirkungsvoll, wo das Blech ohne Steife seine
größte Beulamplitude erhalten würde. Längssteifen sind meist effektiver als Quersteifen. Fällt eine Steife
mit einer natürlichen Knotenlinie zusammen, dann ist sie wirkungslos.
Auch ohne Steife wäre hier m = 2.
γ=
IStei f e
=
IPlatte
IStei f e
bG · t 3
12(1 − µ 2 )
δ=
AStei f e AStei f e
=
APlatte
bG · t
18
Dabei bezeichnet bG die maßgebende Beulfeldbreite für Gesamt- und Teilfelder. Erreicht γ den Wert
γ ∗ , dann erzwingt die Steife hier eine Knotenlinie. Eine Steigerung von γ über γ ∗ bringt keine höhere
Beulspannung mehr, da die Einzelfelder dann maßgebend sind.
Der k - Wert des Gesamtfeldes variiert demnach zwischen
kγ=0 ≤ k ≤ kγ=γ ∗
Aus den Beulwerttafeln von Klöppel/Scheer und Klöppel/Möller kann der k - Wert für γ < γ ∗ entnommen
werden.
An der oberen Begrenzung der Girlandenkurven kann die zu einem bestimmten α - Wert gehörende
Mindeststeifigkeit γ ∗ abgelesen werden. In der alten DIN 4114, Blatt 2, Tafel 9 sind für einige wenige
Fälle auch Formeln zur Ermittlung von γ ∗ angegeben. (Für γ ≥ γ ∗ könnte man den Beulnachweis durch
Nachweis des ungünstigsten Einzelfeldes führen.)
Meist genügt jedoch für den Nachweis ausreichender Beulsicherheit eine Steifigkeit γ < γ ∗ , d.h. die
Steifen können dann schwächer ausgeführt werden. Die k - Werte können wieder aus den Kurventafeln
von Klöppel/Scheer und Klöppel/Möller abgelesen werden oder für einige wenige Fälle aus Formeln, die
in der alten DIN 4114, Blatt 2, Tafel 10 angegeben sind, errechnet werden.
Während die Beulspannung σPi = k · σe durch γ > γ ∗ in Fällen, in denen die Steifen auf natürlichen
Knotenlinien liegen, nicht und in anderen Fällen nur wenig gesteigert werden kann, läßt sich mit γ > γ ∗
teilweise die Traglast der Bleche erhöhen, da die Steifen von den ausbeulenden Einzelfeldern abfließende
Kräfte übernehmen können. DIN 18800, Teil 3 läßt daher nach Abschnitt 6 für γ > γ ∗ größere k - Werte
als die in den Tafeln von Klöppel/Scheer bzw. Klöppel/Möller angegebenen Höchstwerte kσ (γ ∗ ) zu.
Die kritische Beulspannung erhält man wieder aus
σPi = kσ · σe
oder
τPi = kτ · σe
mit σe =
π2 · E · t2
12(1 − µ 2 )b2
mit b = Breite des ausgesteiften Beulfeldes und den k−Werten der ausgesteiften Felder.
19
2.1.6
Steifigkeit der Steifen
Um die Steifigkeit γ =
IStei f e
IStei f e
=
3
bG · t 3 · 0, 092
bG · t
12(1 − µ 2 )
berechnen zu können, muss das Trägheitsmoment der Steife bekannt sein. Es darf unter Berücksichtigung eines wirksamen Plattenquerschnitts ermittelt werden. Da die Felder zwischen den Steifen (bi,k und
bi,k+1 ) selbst ausbeulen können, ist teilweise b0i,k < bi,k . Für die einem Steifensteg zugeordnete wirksame
Gurtbreite b0 gilt nach DIN 18800, Teil 3:
b0 =
b0i,k
2
+
b0i,k+1
2
Die wirksame Breite b0i,k ergibt sich zu:
t · λa
bzw.
bi,0 = 0, 138 · t · λa
bei Randsteifen
= 0, 605 · t · λa · 1 − 0, 133 ·
bi,k
92, 9(S235)
mit λa =
75, 9(S355)
0
Weiter muss bik ≤ ai /3 und b0i,0 ≤ ai /6 sein (siehe DIN 18800, Teil 3, Abschnitt 3).
b0i,k
2.1.7
Bezeichnung der Beulfelder
Ausgesteifte Beulfelder werden durch Längssteifen, Quersteifen und die Beulfeldränder unterteilt. Die
DIN 18800, Teil 3 unterscheidet
Gesamtfeld
Teilfelder
Einzelfelder
=
b Feld
=
b Felder
=
b Felder
aG · bG
ai · bG
ai · bi,k
20
• Gesamtfelder sind versteifte oder unversteifte Platten, die in der Regel an den Längsrändern (z.B.
bei Stegen an den Gurten und bei plattenartigen Gurten an den Stegen) und an den Querrändern
(z.B. durch Querschotte) unverschieblich gelagert sind. Ränder des Gesamtfeldes können auch
elastisch gestützt, Längsränder können auch frei sein.
• Teilfelder sind längsversteifte oder unversteifte Platten, die zwischen benachbarten Quersteifen
oder einem Querrand und einer benachbarten Quersteife und den Längsrändern des Gesamtfeldes
liegen.
• Einzelfelder sind unversteifte Platten, die zwischen Steifen oder zwischen den Steifen und Rändern
längsversteifter Teilfelder liegen. Querschnittsteile von Steifen sind ebenfalls Einzelfelder. Als
Seitenverhältnis α eines Beulfeldes wird definiert
α=
Längsrandlänge
Querrandlänge
also z.B.
α=
aG
für Gesamtfelder.
bG
Die maßgebenden Beulfeldbreiten sind im folgenden Bild festgelegt:
Obige Unterscheidung der Beulfelder ist nicht nur bei der Ermittlung der k-Werte, sondern auch später
bei den Abminderungsfaktoren zu beachten.
2.1.8
Tragsicherheit der beulgefährdeten Bleche
Bislang wurde die ideale Beulspannung ermittelt. Sie ist, wie schon einmal dargelegt, um so kleiner, je
schlanker die Konstruktion ist. Für sehr gedrungene Konstruktionen geht die ideale Beulvergleichsspannung gegen ∞.
Weder im gedrungenen noch im schlanken Bereich gibt sie die Versagenslast an.
21
Im gedrungenen Bereich kann die Materialfließgrenze nicht überstiegen werden (Verfestigung vernachlässigt) und im sehr schlanken Bereich tritt häufig das Versagen mit dem Ausbeulen noch nicht ein, da
Kräfte umgelagert werden können. Die randnahen Zonen können z.B. bei Druckbeanspruchungen noch
Kräfte aufnehmen bis die Fließgrenze erreicht ist.
Die Traglast kann also sowohl kleiner als auch größer als die ideale Beullast sein. Die Absicherung der
Konstruktion sollte gegen diese Traglast erfolgen.
In DIN 18800, Teil 3 werden die Traglastkurven für verschiedene Fälle (Einzel-, Teil- oder Gesamtfeld,
Lagerungsart, Belastung) durch Abminderungsfaktoren κ angegeben.
Tabelle 1 (DIN 18800, T. 3)
22
Abminderungsfaktoren κ (= bezogene Tragbeulspannung) in Abhängigkeit vom bezogenen
Schlankheitsgrad λ P (Bild 9 aus DIN 18800 Teil 3)
2.1.9
Nachweis
Spannungen σ und τ werden vereinfachend für σd und τd geschrieben, die mit γF -fachen Lasten zu
ermitteln sind.
• bei alleiniger Wirkung von Randspannungen σx , σy oder τ:
σ
≤1
σP,R,d
τ
≤1
τP,R,d
bzw.
wobei sich die Grenzbeulspannungen folgendermaßen ergeben:
σP,R,d = κ · fy,d
bzw.
fy,d
τP,R,d = κ · √
3
• bei gleichzeitiger Wirkung von Randspannungen σx , σy und τ:
e3
|σy | e2
|σx · σy |
|σx | e1
τ
+
−V ·
+
≤1
σx,P,R,d
σy,P,R,d
σx,P,R,d · σy,P,R,d
τP,R,d
Hierin bedeuten:
e1 = 1 + κx4
e2 = 1 + κy4
e3 = 1 + κx · κy · κτ2
V ergibt sich zu:
V
V
= (κx · κy )6 falls σx und σy Druckspannungen sind!
σx · σy
falls σx oder σy Zugspannungen sind!
=
|σx · σy |
Die oben verwendeten Abminderungsfaktoren und Grenzbeulspannungen gelten für alleinige Wirkung
der entsprechenden Spannungen; sie sind nach DIN 18800, Teil 3, Tab. 1 zu ermitteln. Sofern einzelne
Spannungen nicht vorhanden sind, sind die zugehörigen Abminderungsfaktoren κ = 1 zu setzen.
23
2.1.10
Dreiseitig gelagerte Platten
Beispiele für dreiseitig gelagerte Platten zeigt das folgende Bild
Bezüglich der Belastung sind hier zu unterscheiden
a) Konstante Stauchung
Beispiele:
b) Exzentrische Normalkraft, die stets
in der gleichen Wirkungslinie wirkt
24
Die Tabelle 1 der DIN 18800, T. 3 gibt in den Zeilen 4 und 5 Abminderungsfaktoren für zwei Sonderfälle
an:
2.1.11
Beulfelder mit knickstabähnlichem Verhalten
Es gibt nun aber auch Fälle, bei denen die Traglast im ganzen Schlankheitsbereich unter der Beullast
liegt, wie dies entsprechend auch beim Knickstab der Fall war.
Beispiele
Bleche mit α 1, α =
a
b
Bleche mit starker Aussteifung
In beiden Fällen ist die Längsrandlagerung in ihrem Einfluss stark herabgesetzt. Der Extremfall wäre der
freie Längsrand. Liegt ein solcher Fall vor, dann muss der Abminderungsfaktor κPK ermittelt werden.
Dieser wird durch eine in der Norm festgelegte Interpolation zwischen dem Abminderungsfaktor für
Beulen und Knicken gewonnen. Auch das Kriterium, wann ein solcher Fall vorliegt, ist dort angegeben,
25
nämlich wenn der Wichtungsfaktor
ρ
=
mit Λ =
Λ − σPi /σKi
>0
Λ−1
2
λ P + 0, 5
ist,
p
, jedoch 2 ≤ Λ ≤ 4
λP =
fy,k
!
σPi
σKi ist die Knickspannung des Feldes unter Annahme von freien Längsrändern. Den Abminderungsfaktor
κPK erhält man aus
κPK = 1 − ρ 2 · κP +ρ 2 · κK
(Beulen) (Knicken)
2.1.12
Gedrungene Beulfelder ohne Beulsicherheitsnachweis
Bei folgenden Verhältnissen tritt ein Instabilwerden durch Beulen nach DIN 18800, Teil 1 nicht ein:
DIN 18800, Teil 1
Wie man erkennt, ist der Grenzwert (b/t) auch belastungsabhängig. Je geringer die Spannung ist, um so
größer darf das Verhältnis b/t sein, ohne daß Beulen auftritt.
26
Die 2. Spalte in Tab. 12 und Tab. 13 entspricht der Tab. 26 aus DIN 18800, Teil 2. Für den Tragsicherheitsnachweis nach dem Verfahren Plastisch-Plastisch gelten die grenz(b/t)-Werte nach Tab. 18 der DIN
18800, Teil 1.
27
2.2
2.2.1
Vollwandige Stäbe mit planmäßig mittigem Druck
Querschnittsformen
Im Gegensatz zu den behandelten Druckstäben aus Walzprofilen sollen hier aus Blechen zusammengesetzte Querschnitte betrachtet werden.
Kastenstützen (oder Querschnitt eines Druckbogens oder Druckriegels)
Schwere Hallenstütze
2.2.2
Querschnitt mit gedrungenen Querschnittsteilen
Sind die Gurte und Stege gedrungen, dann kann der Druckstab ohne Berücksichtigung des Einflusses des
örtlichen Ausbeulens, wie früher dargelegt, behandelt werden (siehe Stahlbau I). Für den Nachweis der
Schweißnähte, welche die Querschnittsteile zusammenhalten, ist die auftretende Querkraft maßgebend.
2.2.3
Querschnitt mit schlanken Querschnittsteilen
Schlanke Querschnittsteile können vor Erreichen der Knicklast des Stabes ausbeulen. Ist dies der Fall,
dann wird hierdurch die Knicklast reduziert. Es tritt das sogenannte Beulknicken auf. Unter Ausbeulen
ist hierbei ein wegen vorhandener Imperfektionen schon unterhalb der Beullast auftretendes Ausweichen
zu verstehen. Im Falle des sehr gedrungenen Knickstabes tritt das Versagen nur durch Ausbeulen ein.
Folgende Fälle sind zu unterscheiden:
28
DIN 18800, Teil 1 gibt in Tabelle 12 und 13 (siehe oben) Hinweise, was unter relativ gedrungen zu
verstehen ist. Wenn Grenzwerte grenz(b/t) einzelner Querschnittsteile überschritten sind, dann ist der
Einfluss des Beulens einzelner Querschnittsteile auf das Knicken zu berücksichtigen. Dieser Einfluss
besteht darin, daß die Steifigkeit des Stabes durch das Ausbeulen einzelner Teile herabgesetzt wird.
1. Unversteifte Querschnittsteile
Bei dem in der DIN 18800, Teil 2 verwendeten Modell wird die geometrische Breite b des
Querschnittsteiles ersetzt durch eine wirksame Breite b0 . Die Größe und Aufteilung der
wirksamen Breite kann für beidseitig gelagerte Querschnittsteile DIN 18800, Teil 2, Tab.
27 entnommen werden.
Für die einseitige Lagerung gilt nach DIN 18800, Teil 2, Abschnitt 7.3:
b0 =
0, 7
·b
mit
b0 ≤ b
und
λ Pσ
r
λ Pσ =
σ1
k · σe /γM
Die Aufteilung der wirksamen Breite ist DIN 18800, Teil 2, Tab. 27 zu entnehmen.
29
Die Querschnittswerte müssen am reduzierten Querschnitt (mit eventueller Schwerpunktverschiebung) ermittelt werden. Für diesen reduzierten Querschnitt mit A0 , I 0 usw. muß nun ein Knickbzw. Biegeknicknachweis nach DIN 18800, Teil 2, Abschnitt 3 bzw. 7 geführt werden.
• Mittiger Druck:
Nachweis:
N
≤1
κ 0 · A0 · fy,d
mit κ 0
(mit N: γF -fache Last)
1
=
k0 +
k0
α0
∆w0
q
02
k02 − λ K
jedoch κ 0 ≤ 1
0
∆w0 · rD
0
02
= 0, 5 · 1 + α 0 · (λ K − 0, 2) + λ 0 λ K +
i02
0
i·r
sK
0
= α· 0 D
und λ K = 0
i · rD
i · λa
= Schwerpunktsverschiebung durch Querschnittsreduktion
0
rD , rD
= Abstand des Biegedruckrandes von der Schwerachse des
vollen bzw. wirksamen Querschnitts
i, i0
= Trägheitsradius des vollen bzw. wirksamen Querschnittes
• Druck mit Biegung:
Nachweis:
N
βm · M
+ 0
+ ∆n ≤ 1
0
κ 0 · Npl,d
Mpl,d
0
mit Npl,d
= A0 · fy,d
I0
0 · f y,d
rD
Alle anderen Größen sind dem Abschnitt ”Mittiger Druck” zu entnehmen.
0
Mpl,d
=
30
2. Versteifte Querschnittsteile
Für Stäbe mit versteiften Querschnittsteilen kommt DIN 18800, Teil 3, Abschnitt 5 zur Anwendung.
Falls für das zentrisch gedrückte Bauteil, in dem das zu untersuchende Beulfeld liegt, der Nachweis des Biegeknickens erforderlich ist, sind die Grenzbeulspannungen nach DIN 18800, Teil 3,
Element 503 folgendermaßen zu ermitteln:
Nachweis:
σ
σP,R,d
≤1
mit σP,R,d = κK · κP · fy,d
κK
= Abminderungsfaktor für das Knicken nach DIN 18800,
Teil 2, Abschnitt 3, Element 304
31
3
Torsion
3.1
3.1.1
Übersicht
Definitionen
Schnittbezeichnungen
Koordinaten
Verschiebungen
Verdrehungen
f
v
y
J
u
x
y
w
z
Schnittkräfte
Schnittmomente
My
Qy
MT
N
Qz
Mz
äußere angreifende Kräfte
Py(py)
äußere angreifende Momente
MLy(my)
N(n)
Pz(pz)
MLT(mT)
MLz(mz)
Man spricht von Torsion, wenn der Querschnitt des betrachteten Stabes infolge der Belastung eine Verdrehung ϑ erfährt. Im Allgemeinen wird die Verdrehung durch ein Torsionsmoment hervorgerufen.
Torsionsarten
Die angreifenden Torsionsmomente rufen, abhängig von verschiedenen Bedingungen, innerlich hervor:
a) nur
primäre Schubspannungen τ p
b) oder aber
primäre Schubspannungen τ p
Wölbnormalspannungen σ
sekundäre Schubspannungen τs
Druck
Zug
Druck
tp
Man spricht dann von wölbkraftfreier Torsion
tp
s
Zug
ts
Man spricht dann von Wölbkrafttorsion
32
Das infolge der äußeren Kräfte im Inneren als Schnittgröße entstehende Torsionsmoment MT wird dann
abgetragen als
MT = MT P + MT S
(primäres + sekundäres Torsionsmoment)
(St. Venant’sche + Wölbkrafttorsion)
MT = MT P
(primäres Torsionsmoment)
(St. Venant’sche Torsion)
3.1.2
Querschnittsarten
wölbfreier Querschnitt
Querschnitt bleibt bei der Verdrehung eben,
auch wenn eine Verschiebung u der einzelnen
Querschnittpunkte auftritt.
nicht wölbfreier Querschnitt
Querschnitt verwölbt sich bei der Verdrehung.
Die Verschiebung u ist keine lineare Funktion
von den Querschnittkoordinaten.
wölbfreie Querschnitte
nicht wölbfreie Querschnitte
alle übrigen Querschnitte, z.B.
Kreis und Kreisring
Vollquerschnitte
M
M
M
schmale rechteckige Streifen, die sich in einem
Punkt M schneiden
offene Querschnitte
t1
t2
t2
t1
Hohlkästen mit t = const. in die sich ein Kreis
einbeschreiben lässt
t1
R
R
t2
t1
R
R
t2
Hohlkästen, deren Wanddickenresultierenden R
sich in einem Punkt treffen
geschlossene Querschnitte
33
Beispiele:
D
e
chs
a
h
re
Querschnitt bleibt eben und sogar ⊥ zur
Drehachse
se
ch
a
eh
Dr
Querschnitt nicht eben
(Draufsicht nach Verdrehung)
Querschnitt bleibt eben
3.2
Wölbkraftfreie Torsion
Kennzeichen:
nur
somit
3.2.1
τp
MT = MT P
Bedingungen
Damit die Torsionsbeanspruchung nur durch primäre Schubspannungen abgetragen wird sind folgende
Bedingungen einzuhalten:
1. Gegengleiche Endmomente
2. Endquerschnitte gegen Verschiebung u nicht behindert (z.B. an Einspannstellen)
3. Stabquerschnitt konstant
Jede beliebige Stabfaser kann Drehachse sein. Der Querschnitt kann wölbfrei oder nicht wölbfrei sein.
Sonderfall: Endquerschnitt gegen Verschiebung u behindert, wölbfreier Querschnitt, Drehachse nicht
erzwungen, somit entsteht keine Endverschiebung u und die Behinderung wird nicht angesprochen.
3.2.2
Gesuchte Größen
maximale Schubspannung und ihre Verteilung im Querschnitt
Verdrehung der Querschnitte
Verwölbungen (Einheitsverwölbung)]
(
IT Torsionswiderstand
und als Mittel zum Zweck
M Schubmittelpunkt
τp
ϑ
[ϕ
34
3.2.3
Differentialgleichung der wölbkraftfreien Torsion und Verdrehung ϑ
J
g=r . dJ
dx
dJ
dx
r
J+dJ
Es ist
dϑ
die Verwindung oder Verdrillung.
dx
Die Verwindung ist dem Torsionsmoment proportional
dϑ
∼ MT
dx
Die Verwindung ist dem querschnittsabhängigen Widerstand gegen die Verwindung umgekehrt proportional
dϑ
1
∼
dx
IT
IT =
b Torsionswiderstand
Die Verwindung ist außerdem der Nachgiebigkeit des Materials prportional. Da die Torsionsbeanspruchung Schubkräfte hervorruft wird der Schubmodul herangezogen
dϑ
1
∼
dx
G
Man schreibt zusammenfassend
ϑ0 =
dϑ
MT
=
dx
G · IT
daraus folgt:
dϑ
ϑ
MT
· dx
G · IT
Z
MT
=
· dx +C
G · IT
=
ist am Stabanfang ϑ (x = 0) = 0, so ist C = 0
Zx
ϑ=
x=0
MT
· dx
G · IT
Für MT = const. und IT = = const. wird
ϑ=
MT
·x
G · IT
35
3.2.4
Ergebnisse der wölbkraftfreien Torsion dickwandiger Querschnitte , N, •, usw.
Schubspannungen und Seifenhautgleichnis
Man geht aus von den bekannten Gleichgewichtsbeziehungen am Volumenelement des betrachteten Stabes
∂ σx
∂x
∂ τxy
∂x
∂ τxz
∂x
+
+
+
∂ τyx
∂y
∂ σy
∂y
∂ τyz
∂y
∂ τzx
∂z
∂ τzy
∂z
∂ σz
∂z
+
+
+
+ X
= 0
+ Y
= 0
+ Z
= 0
und setzt voraus, dass nur Schubspannungen τxy und τxz entstehen, sowie X, Y und Z fehlen.
(Der erste Index der Schubspannungen bezeichnet die Ebene senkrecht zur Koordinatenachse, der zweite
y
tzx
tyx
x
txy
txz
z
Index gibt die Richtung der Spannung an. Dabei gilt τxy = τyx , τxz = τzx , τyz = τzy .)
Dann erhält man
∂ τyx ∂ τzx
+
∂y
∂z
∂ τxy
∂x
∂ τxz
∂x
= 0
= 0
= 0
(τxy und τxz sind über x konstant)
Nun führt man eine Torsionsfunktion Φ(y, z) so ein, dass die oben angegebene erste Gleichung erfüllt ist.
⇒
∂Φ
∂z
∂Φ
∂y
∂ 2Φ
∂ 2Φ
−
∂ y∂ z ∂ y∂ z
=
τxy
= −τxz
=
0
Zusammen mit den hier nicht angeschriebenen Verformungsbeziehungen erhält man die Differentialgleichung für Φ zu
∂ 2Φ ∂ 2Φ
+ 2 = −2G · ϑ 0
∂ y2
∂z
Diese enthält den Zusammenhang zwischen Verdrillung ϑ 0 und der Schubspannungsverteilung über die
Querschnittsfläche. Ist Φ bekannt, dann sind auch τxy und τxz bekannt. Die Lösung entspricht jener einer
Membran unter konstanter vertikaler Belastung.
36
p(y,z)
H
∂ 2w ∂ 2w
p
+ 2 =−
2
∂y
∂z
H
H
w
Auf der Analogie der Differentialgleichungen beruht das Seifenhautgleichnis von Prandtl (1903) mit
dem man experimentell die Größe der Schubspannungen, des Torsionswiderstandes IT und der Einheitsverwölbung bestimmen kann.
Außerdem ist es ein ausgezeichnetes Hilfsmittel zur ingenieurmäßigen Beurteilung von Querschnitten,
die unter Torsionsbeanspruchung stehen. Man schneidet die Kontur des Querschnitts aus einer ebenen
Platte aus und lässt sich darüber eine Seifenhaut bilden, die unter einem konstanten Druck steht. Die
Durchbiegung w ist dann gleich der Wölbfunktion Φ, wobei die Randbedingung Φ = const. erfüllt ist
durch w = 0, wenn man w von der Platte aus misst.
Handelt es sich um einen mehrfach zusammenhängenden Querschnitt mit einem oder mehreren Löchern,
so bildet man die Kontur der Löcher durch kleine Plättchen nach, die an den Stellen der Löcher so in
die Seifenhaut einfügt, dass sie parallel zur Grundplatte liegen. Dadurch wird wieder die Bedingung am
Lochrand Φ = const. (≡ w = const.) erfüllt.
Aufgrund der Torsionsfunktion
∂Φ
∂z
∂Φ
∂y
=
τxy ≡
= −τxz ≡
∂w
∂z
∂w
∂y
erhält man die Größe der Schubspannungen in y−Richtung proportional zur Tangente an die Seifenhaut
in z−Richtung und umgekehrt.
Zeichnet man die Linien mit w =const., also die Höhenlinien im Grundriss ein und definiert nun ein neuz
A
Schnitt A-A
B
dw
dz
B
txy
y
s
w=const.
txz
n
A
w=const.
Schnitt B-B
dw
dy
es, nicht ortsfestes Koordinatensystem n, s, x so, dass s in Richtung der Höhenlinie läuft und n senkrecht
dazu, so ist ∂ w/∂ s = 0, während ∂ w/∂ n = 0 die größte Neigung am betrachteten Punkt in Richtung der
Fallinie angibt.
Daraus folgt, dass τxn = 0 ist, während τxs die maximale Schubspannung im betrachteten Punkt ist. Man
nennt die auf den Grundriss projizierten Höhenlinien daher auch Schubspannungslinien.
Der Inhalt des Seifenhauthügels ist dem Drillmoment und dem Drillwiderstand proportional (siehe später).
37
Beispiele für das Seifenhautgleichnis: (nach Chwalla: Einführung in die Baustatik )
Übergang vom Rechteck zum Hohlquerschnitt
Übergang vom Rechteck zum Doppel-TQuerschnitt
Übergang vom Rechteck zum 2-zelligen
Hohlquerschnitt
Abbildung 3.1: Seifenhautgleichnis - Beispiele
Die bisher festgestellten Analogien werden im Folgenden noch einmal zusammengestellt:
Seifenhaut
Torsion
w
Φ
∂w
∂z
∂w
∂y
Höhenlinie
τxy
−τxz
Schubspannungslinie
Tabelle 3.1: Vergleich Seifenhautgleichnis - Torsion
Da nur die Ableitungen der Funktion w ≡ Φ interessieren, kann man statt der Bedingung ΦRand ≡
wRand = const. für den äusseren Rand des Querschnitts auch schreiben
ΦRand ≡ wRand = 0
38
Beispiele
Schubspannungsverteilung
Schubfluss
Querschnittsverwölbung
b
tmax
+
_
+ _
a
tmax
+
_
+
a =1,5
b
_ +
+ _
b
tmax
_+ _+
+_ _
+
a
_
_ +
tmax
39
Torsionswiderstand IT
Das Torsionsmoment ist nach Definition
y
x
txy
txz
Z
MT
=
z
(τxz · y − τxy · z) dA
A
MT
= −
= −
Z A
ZZ
∂Φ
∂Φ
·y+
· z dA
∂y
∂z
∂Φ
· y dydz −
∂y
ZZ
∂Φ
· z dydz
∂z
Die Integration soll am ersten Summanden vorgeführt werden.
Integriert man zuerst nach y, wobei z Rkonstant gehalten wird und beachtet man dass ∂∂Φy dy = Φ
und die Ableitung von y nach y eins ist, so erhält
man durch partielle Integration:
Zyl
yr
h
iyl
∂Φ
· y · dy = Φ · y −
∂y
yr
Zyl
yl
yr
y
z
Φ · 1 · dy
yr
Da für die Ränder yr und yl gilt: Φ = 0, ist dort auch Φy = 0 und man kann für den ersten Summanden
schreiben:
ZZ
∂Φ
· y dydz = −
∂y
ZZ
Φ dydz
Entsprechend erhält man für den zweiten Summanden
ZZ
∂Φ
· z dydz = −
∂z
ZZ
Φ dydz
und damit für MT :
Z
MT = 2
ZZ
Φ dA = 2
Setzt man dies in ϑ 0 =
R
2 Φ dA
IT =
G·ϑ0
MT
GIT
Φ dydz
ein, so folgt für IT :
40
R
R
Da Φ dA identisch ist mit dem Volumen unter der Seifenhaut w dA, ist der Torsionswiderstand diesem
Volumen proportional.
2
2
Ist die Torsionsfunktion Φ berechnet worden, so kann man die Differentialgleichung ∂∂ yΦ2 + ∂∂ zΦ2 = −2Gϑ 0
im Nenner einsetzen und erhält so für IT :
2·2
IT =
Z
Φ dA
∂ 2Φ ∂ 2Φ
+ 2
∂ y2
∂z
Tabelle 3.2: IT und max τ einiger Querschnitte (max τ = γ · MT )
Querschnitt
Querschnitt
IT
γ
πa4
2
2
πa3
IT
γ
π 4
a − b4
2
2·a
π (a4 − b4 )
a4
46, 2
20
a3
αab3
β
ab2
a
a
b
a
2
πab2
a
πa3 b3
a2 + b2
a
a
a4
7, 11
b
4, 81
a3
a
a
Die maximale Schubspannung τb an der kurzen Seite eines Rechteckquerschnittes berechnet man aus
max τ zu:
τb = κ max τ
Tabelle 3.3: Beiwerte α, β und κ für Rechteckquerschnitte
a
b
1
1.5
2
2,5
3
4
5
6
8
10
∞
α
0,141
0,196
0,229
0,249
0,263
0,281
0,291
0,299
0,307
0,312
0,333
β
4,81
4,33
4,06
3,88
3,74
3,55
3,43
3,35
3,26
3,20
3,00
κ
1,000
0,858
0,796
0,768
0,753
0,745
0,744
0,743
0,743
0,743
0,743
Für den Torsionswiderstand kann man bei Rechteckquerschnitten mit a/b ≥ 2 setzen:
ab3
IT =
3
3.2.5
b
a
1 − 0, 630
für ≥ 2
a
b
Ergebnisse der wölbkraftfreien Torsion offener dünnwandiger Querschnitte
Schubspannungen und Torsionswiderstand
Über einem schmalen Rechteck entsteht folgender Seifenhauthügel:
41
x
y
x
b=
t
z
F
2
GJ’(t/2)
y
a
dabei ist Φ =
G·ϑ0
2
t
− y2
t/2
t/2
2
In den Mittelschnitten ergibt sich die Seillinie eines straff gespannten Seiles unter konstanter Querbelastung, also eine quadratische Parabel.
In diesem Bereich ist
∂Φ
∂z
∂Φ
∂y
mit Gϑ 0 =
jF
jy
⇒ τxy = 0
= 0
x
y
= −G · ϑ 0 · 2 · y ⇒ τxz = G · ϑ 0 · 2 · y
txz=G .J’.t
-t/2 +t/2
MT
erhält man:
IT
max τxz =
MT
3
· t = MT ·
IT
a · t2
Bei den dickwandigen Querschnitten war
R
2 ΦdA
IT =
G·ϑ0
dem Rauminhalt des Seifenhauthügels proportional.
Näherungsweise wird hier eine Zylinderfläche angesetzt:
a·
IT
+t/2
Z
−t/2
= 2·
G·ϑ0
= 2·a
a·
Φdy
= 2·
t 2 · y y3 +t/2
−
=
4
3 −t/2
+t/2
Z
G·ϑ
0
2
t
2
2
−y
dy
−t/2
G·ϑ0
a · t3
3
also
IT
=
a · t3
3
Dieser Wert stimmt mit jenem der genauen Lösung überein, wenn das Rechteck unendlich lang ist. (siehe
Tabelle 3.3).
Im Bauwesen kommen sehr oft aus schmalen Rechtecken zusammengesetzte Profile vor. Man begeht
keinen großen Fehler, wenn man diese Querschnitte in einzelne Rechtecke zerlegt, deren kurze Seiten
durch die Schnittpunkte der Profilmittellinien gehen (siehe Bild 3.2).
Für den Torsionswiderstand IT erhält man dann
IT =
1
· siti3
3 ∑
i
42
s1
t1
tx
s1
1
T1
T2-T1
T1
txs2
2
s2
T2
t2
T2
T3
T3
txs3
T3-T2
t3
3
s3
Abbildung 3.2: Schubspannungen bei zusammengesetzten dünnwandigen Profilen
Die größte Schubspannung entsteht an der Aussenseite des dicksten Querschnittsteiles.
max τxsi = ±
MT
· maxti
IT
Bei Walzprofilen bringen die Eckausrundungen eine Vergrößerung des Torsionswiderstandes. Diese kann
man rechnerisch erfassen (siehe z.B. Bornscheuer, Anheuser: Tafeln der Torsionskennwerte für Walzprofile, Der Stahlbau 1961, S. 81-83).
Für einige Walzprofile sind Korrekturfaktoren η bekannt
1
IT = η · · ∑ si · ti3
3 i
Tabelle 3.4: Korrekturfaktoren für Walzprofile
η
L
U,C
T
IPE
HE
I
0,99-1,03
1,06-1,12
1,12
1,33
1,16-1,29
1,22-1,31
1,17
Einheitsverwölbung dünnwandiger, nicht wölbfreier Querschnitte
Nicht wölbfreie Querschnitte erleiden bei der wölbkraftfreien Torsion auch eine Verwölbung, die jedoch
nicht behindert wird wie bei der Wölbkrafttorsion und somit zu keinem inneren Widerstand und zu
keinen daraus resultierenden Spannungen führt (siehe Beispiel I-Träger auf Seite 33).
43
Die einzelnen Punkte eines Querschnitts erleiden bei der Verdrehung eine Verschiebung u, welche nicht
in einer Ebene liegt. Diese Verschiebung lässt sich wie folgt darstellen:
u=ϕ·
dϑ
dx
(ϕ =Einheitsverwölbung
b
[A])
Sie ist also proportional der Verdrillung ϑ 0 . Die Einheitsverwölbung ist rein geometrischer Natur, also
von der Belastung unabhängig. Sie ist jedoch abhängig von der Wahl der Dillachse. Für dϑ
dx = 1 gibt sie
die Verschiebung u eines Querschnittspunktes an. Zu ihrer Ermittlung geht man von der Profilmittellinie
und der Koordinate s längs dieser Profilmittellinie aus
s
z
p
y
v ist die Verschiebung in Richtung der Tangente
v = p·ϑ
D=S=Schwerpunkt
s=0
Nun sind die Schubspannungen τxs in der Profilmittellinie = 0, somit gilt für ein Element der Profilmittelfläche γ = 0, d.h. es tritt keine Verzerrung auf.
x
Damit gilt:
γ =0⇔
dv du
+
=0
dx ds
nun ist aber:
s
dv = p · dϑ
dϑ
du = dϕs
dx
und
In γ = 0 eingesetzt:
p·
dϑ dϕs dϑ
+
dx
ds dx
= 0
= −p · ds
dϕs
oder
ϕs (s) = −
Zs
p(s)ds +C0
0
Die Integrationskonstante C0 wird aus der Forderung bestimmt, dass die Axialverschiebung u und damit
auch die Einheitsverwölbung im Mittel bei der Integration über den ganzen Stabquerschnitt verschwindet, da ja das Stabelement du bei der Verdrillung des Stabes weder länger noch kürzer wird, d.h. keine
Normalkräfte erhält.
Es gilt
Z
Z Z s
Z Z s
Z
ϕs (s)dA =
−
p(s)ds +C0 dA = −
p(s)ds dA + C0 dA = 0
⇔
A
Z Z s
A
0
1
⇔ C0 =
A
A
0
p(s)ds dA = C0 · A
Z Z s
A
0
p(s)ds dA
A
0
A
44
Hat der Querschnitt eine Symmetrieachse, so wird der 0−Punkt zweckmässigerweise in den Schnittpunkt
der Profilmittellinie mit dieser Symmetrieachse gelegt, da dann C0 = 0 wird. Es ist dann
ϕs = −
Zs
p(s) ds
0
+1200
+800
120
2
0
1
20
40
1,5
S
20
S
y
-1200
+s
z
1,0
40
3,0
4 3 5
-3200
+3200
5
5
-3000
+3000
+3400
-3400
Abbildung 3.3: Beispiel zur Einheitsverwölbung
Zahlenbeispiel zur Ermittlung
der Einheitsverwölbung ϕs :
Man beginnt bei Punkt 0 auf der Symmetrieachse und geht zunächst nach links vor bis Punkt 1 .p
ist ungleichsinnig drehend mit fortschreitendem i, also negativ. Auf der Strecke 3. . .4 ist p gleichsinnig,
also positiv.
ϕ0
ϕ1
ϕ2
ϕ3
ϕ4
ϕ5
=
0 −(
= 800 −(
= 800 −(
= 3200 −(
= 3200 −(
− 40 · 20 )
− 20 · 20 )
− 60 · 40 )
+ 5 · 40 )
− 5 · 40 )
=
=
=
=
=
=
0
800
1200
3200
3000
3400
45
3.2.6
Ergebnisse der wölbkraftfreien Torsion geschlossener dünnwandiger Querschnitte
Vergleich
MT
MT
ho
hg
t
t
t
IT (Seifenhauthügel)
IT (Seifenhauthügel)
ITo ITg
ho hg
to
tg
t
t
τo τg
(für MTo = MTg )
Schubfluss T und Schubspannungen τ im geschlossenen Querschnitt
t2
t1
t1
t1
t2
Für die Summe aller Kräfte in Achsrichtung gilt
∑ Fx = τ1 · t1 · dx − τ2 · t2 · dx = 0
woraus sofort folgt
τ1 · t1 = τ2 · t2 = T = const.
t2
dx
t2
t1
46
d.h. die Schubkraft T [kN/cm] ist längs der Mittellinie konstant.
Die grösste Schubspannung im Querschnitt tritt also an der dünnsten Stelle auf.
τmax =
T
tmin
Beim offenen Querschnitt trat τmax an der dicksten Stelle auf!
Nun ist bezogen auf einen beliebigen Querschnittspunkt P
I
MT
=
I
T · r · ds
I
= T
=
b Umlaufintegral
P
r
r · ds
A*
s
= T
· 2A∗
A∗
ist die von der Querschnittsmittellinie
eingeschlossene
Fläche
Somit
T
τ
MT
2A∗
MT
=
t · 2A∗
P
r
.
S r 2ds =A*
r.ds
2
=
ds
Bredt’sche Formel (1896)
Bredt leitete folgende Beziehung her 2
dϑ
1
=
dx
2GA∗
Setzt man T =
I
T
ds
t
MT
ein, erhält man
2A∗
dϑ
MT
1
· ∗
=
∗
dx
2GA 2A
I
ds
t
Ausserdem ist aber
dϑ
MT
=
dx
GIT
Somit wird IT für den Hohlquerschnitt
4A∗2
IT = I
ds
t
3.3
Wölbkrafttorsion
Kennzeichen sind das gleichzeitige Auftreten von primären Schubspannungen τ p , Wölbnormalspannungen σw und sekundären Schubspannungen τs . Außerdem wird das Torsionsmoment MT über ein primäres
(MT P ) und ein sekundäres (MT S ) Torsionsmoment abgetragen. Es gilt
MT = MT P + MT S
2 Bredt,
R.:Zeitschrift des VDI 1896, S.785 und 813
47
3.3.1
Bedingungen
Wölbkräfte treten auf, wenn die freie Verwölbung der Querschnitte nicht möglich ist. Dies ist der Fall,
bei nicht wölbfreien Querschnitten, wenn
1. bei gegengleichen Endmomenten eine Behinderung der Verschiebung u (Verwölbung) der Endquerschnitte gegeben ist,
2. das Torsionsmoment MLT innerhalb der
Stablängsachse angreift.
3.3.2
MLT
Gesuchte Grössen

τp 

Spannungen im Querschnitt und ihre Verteilung
σw


τs
Verdrehung der Querschnitte
ϑ
C
3.3.3
MLT
MLT
Wölbwiderstand
Differentialgleichung der Wölbkrafttorsion, Verdrehung ϑ und Schnittkräfte
Bei der St. Venant’schen Drillung war MT = ϑ 0 · G · IT . Nunmehr ist MT = ϑ 0 · G · IT + MT S , d.h. es wird
das innere Torsionsmoment MT nicht mehr nur durch den primären Drillwiderstand abgetragen, sondern
durch einen zusätzlichen Widerstand, den Wölbwiderstand C.
Wie sich das Moment MT aufteilt, hängt vom Querschnitt ab. Es gibt Profile mit grossem Torsionswiderstand IT und solche mit grossem Wölbwiderstand C.
Bei Vollprofilen oder Hohlprofilen ist IT groß und der Anteil MT S praktisch vernachlässigbar klein.
Bei offenen Profilen (I,H,C,U) jedoch kann der zusätzlich von der Verhinderung der Verwölbung herrührende Widerstand dagegen beträchtlich sein, sodass seine Berücksichtigung ein Gebot der Witschaftlichkeit und nicht nur des exakteren Spannungsnachweises darstellt.
Im Folgenden soll an einem Beispiel anschaulich dargestellt werden, wie es zu dieser in MT P und MT S
aufgeteilten Lastabtragung kommt.
Greift in der Mitte eines >
⊥-Trägers ein Torsionsmoment 2MLT an, das an den Trägerenden je zur Hälfte
abgenommen wird, so würde man bei dem in der Trägermitte aufgeschnittenen Träger in beiden Teilen
nur St. Venantsche Torsion erzeugen und damit folgende Verformung erhalten:
MLT
MLT
Gabellagerung
MLT
2MLT
MLT
MLT
MLT
48
Wie man erkennt, lassen sich die Teilstücke in der Trägermitte wegen der Verwölbung nicht ohne Zwang
aneinanderfügen.
Um die Schnittufer aneinanderfügen zu können, müssen Zwangskräfte angebracht werden. Lässt man
einmal den Steg unbeachtet, dann könnte man sich vorstellen durch das Anbringen von Momenten an
den Flanschen das Ziel zu erreichen:
Zug
sw, ts
sw, ts
Zug
Dadurch würden bei angenommener beidseitiger Lagerung der Trägerhälften folgende Schnittkräfte entstehen:
Moment
Moment
MFl MFl
VFl
VFl
VFl
VFl
Querkraft
Querkraft
VFl
MFl
VFl
2VFl
2VFl
MFl
VFl
VFl
Tatsächlich sind aber die Trägerhälften in der Stabmitte nicht gelagert, sodass die Lagerkräfte als äussere
Belastung anzusehen sind. Diese äussere Belastung entspricht einem Torsionsmoment 2 ·VFl · h mit h =
Trägerhöhe.
Somit wird das am Stab angebrachte Torsionsmoment 2MLT , das von den aufgeschnittenen Trägerhälften
nur über St. Venant’sche Torsion abgetragen wurde (Spannungen: τ p ) tatsächlich auf zweierlei Tragweisen abgetragen, nämlich
MT P = (MLT −VFl · h)
MT S =
VFl · h
durch Verdrehung mit der Beanspruchung τ p
durch Flanschbiegung mit den Beanspruchungen σw , τs
Dies kann auch noch durch das folgendes Bild veranschaulicht werden
49
Beispiel:
MTP groß
MTS klein
MTP klein
MTS groß
Diese anschaulichen Darstellungen können auch bei der Abschätzung der Aufteilungen von MT in MT P
und MT S helfen .
Es sei hier schon darauf hingewiesen, dass die Aufteilung von MT in MT P und MT S im Allgemeinen über
die Stablängsachse veränderlich ist.
Nun gilt für den >
⊥-Träger:
= MT P + MT S
GIT · ϑ 0 +VFl
⇒ MT
=
⇒ MT
= GIT · ϑ 0 +
⇒ MT
⇒ MT
⇒ MT
·h
mit
J
MT P = GIT · ϑ 0
MT S = VFl · h
dMFl
dMFl
·h
mit VFl =
dx
dx
00
d(−EIz,Fl · v )
= GIT · ϑ 0 +
· h mit MFl = −EIz,Fl · v00
dx
h2
h
h
= GIT · ϑ 0 − EIz,Fl · ϑ 000
mit v = · ϑ , v00 = · ϑ 00
2
2
2
2
2
I
I
·
h
z,Fl · h
z
= GIT · ϑ 0 − ECM · ϑ 000
mit CM =
≈
4
2
VFl
h
MT
VFl
v
Diese Gleichung geht für CM = 0 über in die bekannte Gleichung der St. Venant’schen Torsion. Die
Lösung der Differentialgleichung 3. Ordnung lautet
r
r
G · IT
G · IT
MT
ϑ = K1 · cosh
x + K2 · sinh
x + K3 +
·x
E ·CM
E ·CM
GIT
| {z
}
|
{z
}
homogene Lösung
+ partikuläre Lösung
r
G · IT
mit der Abkürzung λ =
ergibt sich
E ·CM
MT
ϑ = K1 · cosh λ x + K2 · sinh λ x + K3 +
·x
GIT
Die Koeffizienten K1 bis K3 müssen aus den vorgegebenen Randbedingungen bestimmt werden.
50
Beispiel: eingespannter Kragträger
h
MLT
l
x
x = l : ϑ 00 = 0 (keine Wölbbehinderung)
du
=0
ϑ 0 = 0 (keine Verwölbung)
dx
dϑ
u=ϕ·
=0
dx
x=0 : ϑ =0
(keine Verdrehung)
= 0 = K1 · cosh 0 + K2 · sinh 0 + K3 + 0
ϑ (0)
ϑ 0 (0) = 0 = K1 · λ · sinh 0 + K2 · λ · cosh 0 +
MT
GIT
ϑ 00 (l) = 0 = K1 · λ 2 · cosh λ l + K2 · λ 2 · sinh λ l
⇒ K1 = −K3
⇒ K2 =
⇒ K1 =
MT
λ · GIT
MT
sinh λ l
·
λ · GIT cosh λ l
Somit wird
MT
1
sinh λ l
ϑ=
(cosh λ x − 1) − · sinh λ x + x
GIT λ · cosh λ l
λ
Bei bekannten Größen GIT und ECM kann nun
)
MT P = ϑ 0 · GIT
= MT
MT S = −ϑ 000 · ECM
ermittelt werden.
=
ϑ 000 =
MT P(x=0) =
=
MT P(x=l)
=
=
MT S(x=0)
=
=
MT S(x=l)
=
=
=
MT
sinh λ l
· λ sinh λ x − cosh λ x + 1
GIT λ · cosh λ l
MT
sinh λ l
3
2
· λ sinh λ x − λ · cosh λ x
GIT λ · cosh λ l
sinh λ l
MT
· sinh 0 − cosh 0 + 1
cosh λ l
0 sinh λ l
· sinh λ l − cosh λ l + 1
MT
cosh λ l
für l h gilt: sinh x = cosh x
MT
−MT · ECM sinh λ l 2
2
· λ sinh 0 − λ cosh 0
GIT
cosh λ l
−MT · ECM 2 −λ = MT
GIT
−MT · ECM sinh λ l 2
2
· λ sinh λ l − λ cosh λ l
GIT
cosh λ l
−MT · ECM
[0]
GIT
0
MLT
h
ϑ0
l
x
MTS
MT=MLT
MTP
Aufteilung des Schnittmomentes in
MT = MT P + MT S
51
Wie man aus dem Bild auf der Seite 50 ersieht, wird das Schnittmoment MT am freien Ende des Stabes
ganz durch MT P , an der Einspannstelle ganz durch MT S abgetragen.
Bei Stäben mit veränderlicher Schnittkraft MT geht man vom infinitesimalen Stabelement aus
mD
MT+
MT
dMT .
dx
dx
dx
MT
⇒ md
⇒ md
dMT
= md · dx + MT +
· dx
dx
dMT
=
dx
= −GIT ϑ 00 + ECM · ϑ 0000
Die allgemeine Lösung lautet
ϑ
= K1 · cosh λ x + K2 · sinh λ x + K3 + K4 · x + ϑ p
K1 , K2 , K3 , K4 Koeffizienten, die aus den Randbedingungen zu bestimmen sind
ϑp
partikuläre Lösung
Für viele Lastfälle und Randbedingungen gibt es Lösungen3 .
Beispiele:
x
MLT
I
II
x’
b
a
l
Bereich I
λ 2 · ECM · ϑ
=
MLT
λ
MT P =
λ 2 · ECM · ϑ 0
= MLT
=
−ECM
· ϑ 00
MLT
λ
−ECM
· ϑ 000
MW
MT S
=
=
= MLT
b
sinh λ b
λx−
sinh λ x
l
sinh λ l
b sinh λ b
−
cosh λ x
l sinh λ l
Bereich II
MLT
λ
a 0 sinh λ a
λx −
sinh λ x0
l
sinh λ l
a sinh λ a
0
MLT − +
cosh λ x
l sinh λ l
MLT
λ
sinh λ a
0
MLT −
cosh λ x
sinh λ l
sinh λ b
sinh λ x
sinh λ l
sinh λ b
cosh λ x
sinh λ l
sinh λ a
sinh λ x0
sinh λ l
3 siehe z.B. Bornscheuer, F.W.: Systematische Darstellung des Biege- und Verdrehvorganges unter besonderer Berücksichtigung der Wölbkrafttorsion, Der Stahlbau 21 (1952) und 22 (1953)
52
MLT
x
x’
I
a=1/4
II
b=3/4
l=1
Verdrehung J
+
primäres Tosionsmoment
2
MTP=l ECMJ’
+
-
Wölbbimoment
MW=-ECMJ’’
sekundäres Torsionsmoment
MTS=-ECMJ’’’
+
+
+
-
Abbildung 3.4: Beispiel der Aufteilung von MT in MT P und MT S bei Belastung mit MLT
MT S = VZFl · h
VFl
⇒ MW
MFL
Es war:
VFl
MFL
MW wird Wölbmoment, Bimoment oder Wölbbimoment
genannt.
x
λ 2 ECM ϑ =
MT P
=
MW
=
=
MT S
x2
mD 2 l
λ
x
−
−
1
+
S
λ2
2
2
mD
l
λ
− x +C
λ
2
mD
(1 − S)
λ2
mD
(−C)
λ
C
mD
x’
l
J
+
MTP
+
+
MW
Darin gilt:
S
= h VFl dx = h · MFl
sinh λ x + sinh λ x0
sinh λ l
cosh λ x − cosh λ x0
=
cosh λ l
=
MTS
+
-
Abbildung 3.5: Beispiel der Aufteilung von MT in MT P und MT S bei Belastung mit mD
53
3.3.4
Spannungen aus Wölbkrafttorsion
Wenn die Lösungsfunktion ϑ der Differentialgleichung der Wölbkrafttorsion bekannt ist, können die
Spannungen ebenfalls ermittelt werden.
τ p : Es war für offene, dünnwandige Profile: τ p =
wird
MT P
·t. Mit der bekannten Beziehung MT P = GIT ·ϑ 0
IT
τp = G · ϑ 0 · t
σ : Es gilt für eine Stablängsfaser σ = E · ε = E ·
du
mit u = ϕ · ϑ 0 . Damit wird
dx
σ = E · ϑ 00 · ϕ
Eine andere Darstellung ist
σ=
MW
· ϕM
CM
(siehe später)
wobei ϕ = ϕM wird, wenn sich der Querschnitt um den natürlichen Drillruhepunkt M, auch Schubmittelpunkt genannt, verdreht.
τs : Aus der Gleichgewichtsbetrachtung am Querschnittswandelement in x−Richtung erhält man
t. t.dx
(s+ js dx) . t.ds
jx
x
s. t.ds
s
∂τ
∂σ
·t +
·t = 0
∂s
∂x
mit τ · t = T und somit für die Stelle i:
T =−
Zsi
0
∂σ
· t ds + T0
∂x
Beginnt man freien Rand (0), dann wird T0 = 0 und es wird
T =−
Zsi
0
∂σ
· t ds
∂x
und mit σ = E · ϑ 00 · ϕ schließlich
000
T = −E · ϑ ·
Zsi
0
ϕ · t ds
(t+ jt ds) . t.dx
js
54
1
τs = −E · ϑ ·
t1
000
Zsi
ϕ · t ds
0
wobei ϕ = ϕM ist, wenn sich der Querschnitt um den natürlichen Drillruhepunkt M verdreht.
Bei bekannten Funktionen ϑ können somit die Spannungen ermittelt werden.
3.3.5
Wölbwiderstand und Schubmittelpunkt
Es war die auf den Schwerpunkt bezogene Einheitsverwölbung
ϕs = ϕ0 −
Zs
p ds +C0
1
mit C0 =
A
Z
0
dA · D
Zs
p ds
0
A
Wird anstelle des Schwerpunktes S ein anderer Punkt P als Drillruhepunkt gewählt, dann erhält man
S
yp
y
zp
P
z
ϕ p = ϕs + y p · z − z p · y + K
da die Verwölbung eine von y und z linear abhängige Größe ist.
Der Wölbwiderstand CP auf den beliebigen Punkt P bezogen, wurde von Kappus 4 abgeleitet zu
2

Z
Z
1
CP = ϕ p2 dA −  ϕ p dA
A
A
A
Setzt man ϕ p ein, dann erhält man nach Zwischenrechnung, mit
Z
Z
y dA =
A
z dA = 0
(da sich y und z auf den Schwerpunkt beziehen)
A
und mit
Z
y2 dA = Iz , z2 dA = Iy , y · z dA = Iyz (also y, z keine Hauptachsen)
A
R
R
A
A
2

Z
CP = ϕs2 dA −
A
4 Kappus,
1
ϕs dA + z2p · Iz + y2p · Iy + 2y p · ϕs · z dA −2z p · ϕs · y dA −2y p · z p · Iyz
A
A
|A {z }
|A {z }
Rsy
Rsz
Z
Z
Z
R.(Luftfahrtforschung 1937, S.444 und Jahrbuch 1937 der deutschen Luftfahrtforschung
55
Derjenige Punkt P, für den CP ein Minimum wird, ist der natürliche Drillruhepunkt des Querschnitts.
Dies ist der Schubmittelpunkt M.
Somit erhält man für M eine Doppelbedeutung:
1. M ist der natürliche Drillruhepunkt mit dem bezogenen Wölbwiderstand CM = min (für wölbfreie
Querschnitte wird dann CM = 0).
2. M ist jener Punkt, durch den eine Querkraft gehen muss, wenn keine Torsion auftreten soll.
Aus der Forderung CP = min erhält man mit
∂CP
=0
∂ yp
und
∂CP
=0
∂ zp
die Koordinaten des Schubmittelpunktes zu
H
ac aup
hs te
yM
M
y
zM
S
z
yM =
zM
=
Ha
up
t
ac
hs
e
−Rsy · Iz + Rsz · Iyz
2
Iy · Iz − Iyz
Rsz · Iy − Rsy · Iyz
2
Iy · Iz − Iyz
Setzt man nun diese Werte für yM und zM in die Gleichung für CP ein, dann erhält man den Wölbwiderstand zu
CM = CS + Rsy · yM − Rsz · zM
mit den sogenannten Wölbmomenten
Z
Rsy = ϕs · z dA
A
Z
und
Rsz = ϕs · y dA
A
Sonderfälle:
Wenn y und z außerdem Hauptachsen sind, dann vereinfachen sich die Schubmittelpunktskoordianten zu
yM =
zM
=
−Rsy
Iy
Rsz
Iz
56
und es wird
CM = CS − Iy · y2M − Iz · z2M
Ist die Hauptachse z darüberhinaus eine Symmetrieachse, dann wird Rsy = 0 und damit yM = 0.
M
y
yM = 0
S
Symmetrieachse
z
Entsprechendes gilt für die y−Achse. Für doppeltsymmetrische Profile folgt sofort M = S.
y
yM = 0
S=M zM = 0
z
Wenn die Lage des Schubmittelpunktes schon bekannt ist, dann kann CM auch einfacher ermittelt werden
aus

2
Z
Z
1
2
CM = ϕM
dA −  ϕM dA
A
A
A
Wegen σ dA = 0 und σ = E · ϑ 00 · ϕM ist ϕM dA = 0 und somit
R
R
A
A
Z
2
CM = ϕM
dA
A
oder auch


Z
2
CM = ∑ ti · ϕM
ds
i
s
57
Einige Hilfen
M=S
M=S
M
M=S
M
S
M=S
M@S
M
S
M
S
M=S
M
r<b
S
S
M=S
t4
t1
t1
t4
M
t4
t1
t1
t2
t2
t2
t2
t3
t3
b
M=S
a t1
=
b t2
a
t3
Abbildung 3.6: Wölbfreie und quasiwölbfreie Querschnitte (CM ≈ 0)
M=S
M=S
M=S
M=S
M=S
M
S
M
M
M
S
S
S
M=S
M=S
M
S
M
S
M
S
S
Abbildung 3.7: Nicht wölbfreie Querschnitte
M
58
Lage des Schubmittelpunktes
zM
Profil
Wölbwiderstand CM bezogen
auf den Schubmittelpunkt M
z b
o
to
zM
y
M
S
h
−
th
tu
hb3utu
12Iz
1 2 3
h butu − Iz z2M
12
bu
zM to
z
bo
bo
M
y
S
h
th
tu
h
Iz
th
bu
hth
2 3
b u tu +
− b u tu
2
2
3
b
2
bu h2tu b
− bu + b2u +
2
3
1 2 3
+ b h th − Iz z2M
6
z
M
y
S
th
tu
b2
bu
b
zM to
h
th
bu
bu
h b2
hth
2 3
b u tu +
− b u tu
Iz 2
2
3
h2 b2
(3butu + hth ) +
3 2
+b2utu (3b + 2bu ) − Iz z2M
b
z
to
zM
y
M
S
h
th
tu
b
——–
0
Iz h2 bto + 2hth
8 2bto + hth
2r4t (sin α − α cos α)
Iz
2 5 3
r tα − Iz zM
3
z
tb
h
(
a1 − 1
h
− +h
2
2 (1 + a1 + 6a2 a3 )
)
12a22 a3
+1
(a1 + 1) a2 + 2a1 a3
to
th
h
a1 = ; a2 = ; a3 =
tu
tu
b
M=S
th
b
S
a
tb
b
z
zM
y
M
r
a
t
y
Tabelle 3.5: Schubmittelpunkt zM und Wölbwiderstand CM einiger Profile
59
3.4
Nochmals Wölbnormalspannungen und Analogie zum Balkenbiegeproblem
Es war das Bimoment
Mw = −ECM · ϑ 00
und die Wölbnormalspannnung
σ=
MW
· ϕM
CM
Damit lässt sich eine Analogie zur Balkenbiegung herstellen:
Biegung
Torsion
Biegemoment M
Abstand der Faser ey und ez
Trägheitsmoment I
I
Widerstandsmoment
e
M
σmax = · emax
I
[Ncm]
[cm]
[cm4 ]
[cm3 ]
[N/cm2 ]
[Ncm2 ]
[cm2 ]
[cm6 ]
Bimoment Mw
Einheitsverwölbung ϕM
Wölbwiderstand CM
Wölbwiderstandsmoment
σmax =
Mw
· ϕMmax
CM
CM
ϕM
[cm4 ]
[N/cm2 ]
Tabelle 3.6: Analogie Balkenbiegung - Torsion
Einheitsverwölbung ϕM und Wölbnormalspannungsverlauf σ
8
36
-1
Beispiel (siehe Seite 44)
12
-9
M
+s
22,8
120
0
1
2
20
M
40
1,5
20
S
12
+9
S
8
36
+1
1,0
40
4
07
+1
2
90
5
+1
4 3 5
488
+1
2
90
-1
3,0
-1
=
0 −(
40 · 22, 8 )
=
912 −(
60 · 22, 8 )
=
912 −( − 60 · 40, 0 )
= −1488 −( + 5 · 82, 8 )
= −1488 −( − 5 · 82, 8 )
4
07
5
ϕM0
ϕM1
ϕM2
ϕM3
ϕM4
ϕM5
88
-14
=
0
= −912
= −1368
=
1488
=
1074
=
1902
Die Verteilung der Wölbnormalspannungen entspricht dem ϕM -Verlauf wegen σ = E · ϑ 000 · ϕM .
60
4
Stabilitätsprobleme der Stäbe
4.1
Elastisches Biegeknicken von Stäben und Stabwerken
4.1.1
Kragarm und Einfeldträger
Wie schon in Stahlbau I dargelegt, erhält man die DGL des Knickstabes aus der Gleichgewichtsbedingung
Pki · v = M(x)
mit M = −EI · v00
zu Pki · v + EI · v00 = 0
Pki
Pki
v
M
(∑ M = 0)
Pki
und durch zweimaliges differenzieren:
zu Pki · v00 + EI · v0000 = 0 (∑ V = 0)
Pki
v
M
Zum gleichen Ergebnis gelangt man, wenn man das Gleichgewicht ∑ M = 0 am herausgeschnittenen
Stabelement formuliert
V · dx + Pki · dv − dM = 0
M
dv
Pki
nach zweimaligem differenzieren und M = −EI · v00
M+dM
Pki
V
=q(x)=0
dx V+dV
V
dv dM
+ Pki · 2 − 2
dx
dx
dx
= 0
Pki · v00 + EI · v0000
= 0
Die allgemeine Lösung lautet
v(x) = C1 · sin αx +C2 · cos αx +C3 · x +C4
Durch Einführung der Randbedingungen erhält man ein homogenes Gleichungssystem, dessen nichttriviale Lösung fordert, dass det = 0 wird. Daraus erhalten wir die Knickbedingung, aus der die kleinste
Knicklast ermittelt werden kann.
Im folgenden wird ein allgemeinerer Fall behandelt:
Cj
EI
-l-
Pki
Cj×j
Pki
Pki
Cv
C v ×f
v
j
x
Pki
M
Pki
C v ×f
f
61
Das Momentengleichgewicht liefert:
M +Cv · f · x − P · v +Cϕ · ϕ = 0
v00 · EI + P · v = Cv · f · x +Cϕ · ϕ
v00 + α 2 · v =
Cϕ · ϕ
Cv · f
·x+
EI
EI
mit α 2 =
P
EI
Lösung:
v
= vhomogen + vpartikulär
v
= C1 · sin αx +C2 · cos αx +C3 · x +C4
|
{z
} | {z }
vhomogen
vpartikulär
vpart. = C3 · x +C4
v0part. = C3
v00part. = 0
Setzt man die partikuläre Lösung ein, erhält man
0 + α 2 (C3 · x +C4 ) =
Cϕ · ϕ
Cv · f
·x+
EI
EI
somit muss sein:
C3 =
Cv · f
P
und
C4 =
Cϕ · ϕ
P
Zur Ermittlung der vier unbekannten Größen C1 , C2 , f , ϕ benötigt man vier Bedingungen
v(0)
v(l)
v0 (0)
Cϕ · ϕ
P
Cv · f Cϕ · ϕ
= f → C1 · sin αl +C2 · cos αl +
+
P
P
Cv · f
= ϕ → C1 · α + 0 +
+0
P
= 0
∑ M(0) = 0
→ C1 · 0 +C2 · 1 + 0 +
→ P · f −Cv · f · l −Cϕ · ϕ
= 0
=
f
= ϕ
= 0
v00 (l) = 0 wäre keine neue Aussage, da sie schon in das Momentengleichgewicht eingegangen ist.
Mit den Abkürzungen
Cϕ · ϕ
Cϕ∗ =
EI
Cv · f
Cv∗ =
EI
r
ϕ∗ = ϕ · l
ε = α ·l = l ·
P
EI
62
erhält man:

1
 0


 sin ε cos ε



 ε
0


0
0
0
1
·C∗ − 1
ε2 v
1
·C∗
ε2 v
1
·C∗
ε2 v
1
·C∗
ε2 ϕ
1
·C∗
ε2 ϕ
 



  C1   0 
 
  
 
  
  C2   0 
 
  
·
= 
 
  
−1   f   0 
 
  
 
  
1
∗
ϕ
0
·C
ϕ
ε2
In der Größe ε steckt die gesuchte kritische Last P.
Zum gleichen Ergebnis kommt man, wenn man die DGL 4. Ordnung zum Ausgangspunkt nimmt:
v0000 + α 2 · v00 = 0
Die Lösung ist dieselbe wie bereits oben aufgeschrieben.
Um hier die unbekannten Koeffizienten zu erhalten, sind Rand- und Übergangsbedingungen zu formulieren. Da in ihnen noch die Größen ϕ und f vorkommen, werden insgesamt 6 Gleichungen benötigt:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
v(0)
v(l)
v0 (0)
EI · v00 (0)
v00 (l)
∑ M(0)
=
=
=
=
=
=
0
f
ϕ
ϕ ·Cϕ
0
0
Diese Gleichungen führen wieder zu dem schon oben angegebenen homogenen Gleichungssystem.
Die nicht-triviale Lösung erhält man durch Nullsetzen der Nennerdeterminante
det = 0
Nach Zwischenrechnung ergibt sich die Knickbedingung:
ε
ε2
− ∗−
tan ε Cϕ
1
ε2
1− ∗
Cv
r
= 0 mit ε = l ·
P
EI
Gesucht ist die kleinste Last P, die das System zum Ausknicken bringt. Durch Probieren oder Aufzeichnen der Kurve findet man den Wert ε, für den die Gleichung erfüllt ist. Wichtig ist, dass man
den niedrigsten Wert (Eigenwert) ermittelt. Das Aufzeichnen der Kurve schützt oft vor der Gefahr, die
Nullstelle eines höheren Eigenwertes als den niedrigsten Wert anzusehen.
Durch Grenzübergänge lassen sich die Knickbedingungen von Spezialfällen angeben:
63
System
Cj
Grenzbetrachtung
l
EI
P
Cϕ∗ =
Cv
P
cϕ · l
EI
Cϕ∗ = ∞
Cv∗ =
Cv∗ =
Cv
Knickbedingung
Cv · l 3
EI
ε2
ε
= ∗+
tan ε Cϕ
Cv · l 3
EI
ε
=
tan ε
1
1−
ε2
Cv∗
1
1−
ε2
Cv∗
Cj
P
Cϕ∗ =
cϕ · l
EI
Cv∗ = ∞
ε
ε2
= 1+ ∗
tan ε
Cv
Cj
P
Cϕ∗ =
cϕ · l
EI
Cv∗ = 0
ε
ε2
= ∗
tan ε Cv
P
Cϕ∗ = ∞
Cv∗ = ∞
ε
=1
tan ε
Eulerfall III
P
Cϕ∗ = ∞
Cv∗ = 0
ε
=0
tan ε
Eulerfall I
P
Cϕ∗ = 0
Cv∗ = ∞
ε
= ∞ Eulerfall II
tan ε
P
Cϕ∗ = 0
Cv∗ >
π 2 EI
l3
ε
= ∞ Eulerfall II
tan ε
P
Cϕ∗ = 0
Cv∗ <
π 2 EI
l3
P = Cv · l
Cv
Cv
Die beiden letzten Fälle unterscheiden sich in der Ausbiegungsform. Während im letzten Fall die Feder beim Ausknicken ausweicht, wird im vorletzten Fall die Feder vom Stab praktisch als festes Lager
empfunden, da sie eine ausreichende Steifigkeit besitzt.
Für diese beiden Fälle kann man sich nun fragen, wie groß die Federsteifigkeit Cv sein muss, damit die
Knicklast des beidseitig gelenkig gelagerten Stabes erreicht wird, die Feder also die „Mindeststeifigkeit“
besitzt.
64
Für den Fall Cϕ∗ = 0 gilt das Gleichungssystem

 0


 sin ε



 ε


0
1
1
·C∗
ε2 ϕ
1
·C∗
ε2 ϕ
0
cos ε
0
0
 



  C1   0 
 
  
 
  
  C2   0 
 
  
·
= 
 
  
−1   f   0 
 
  
 
  
1
∗
ϕ
0
·C
ε2 ϕ
1
·C∗ − 1
ε2 v
1
·C∗
ε2 v
1
·C∗
ε2 v
(Grau unterlegte Spalten und Zeilen werden gestrichen.)
det = 0 liefert:
1
1
∗
∗
sin ε ·
·C −
·C − 1 · ε = 0
ε2 v
ε2 v
Cv∗ = −
Cv∗ = −
ε3
sin ε − ε
π3
:−0 π
sinπ
π 2 · EI
für den beidseitig gelenkig gelagerten
l2
r
r
Pki
π 2 · EI
= π.
Stab wird: ε = α · l = l
=l
EI
EI · l 2
mit Pki =
= π2
somit:
Cv =
π 2 · EI
l3
= „Mindeststeifigkeit“ der Feder, damit der Stab an der Federstüzung beim
Knicken keine Verschiebung erleidet.
Ersatzstabknicklänge
Rechnerisch kann die aus der Knickbedingung ermittelte Knicklast eines beliebig gelagerten Stabes mit
der Knicklast eines beidseitig gelenkig gelagerten Stabes (Eulerfall II) verglichen und daraus eine „Ersatzstablänge“ ermittelt werden.
Pki =
π 2 · EI
s2k
r
→ sk = π
EI
Pki
Die Ersatzstablänge wiederum kann mit dem Faktor β in der Stablänge ausgedrückt werden
sk = β · l mit β
=
f (Pki )
Beispiel:
l
EI
Pki
Cv
Pki
sk=b×l
Das Ergebnis der Auswertung der Knickbedingung kann somit auch in der Form des Knicklängenbeiwertes β angegeben werden (siehe Beispiele unten).
65
66
67
Berücksichtigung des Werkstoffverhaltens
Obige Berechnungen liefern die idealen kritischen Verzweigungslasten unter der Annahme Hook’schen
Werkstoffs und idealer Geometrie. Die tatsächliche Traglast kann mittels der in DIN 18800, Teil 2 angegebenen Knickkurven ermittelt werden.
Pki
sk → λ
bzw.
→ λ
→ κ
Damit können dann die entsprechenden Nachweise geführt werden.
4.1.2
Einfeldstab mit Vorausbiegung
Analoges Vorgehen wie oben liefert
P
P · v(x) − M(x) = 0
P · v(x) + EI(v00 (x) − v000 (x)) = 0
P
v0 v
P
EI
πx
mit v0 (x) = v0 · sin
l
α 2 · v(x) − v00 (x) = v000 (x)
π 2
πx
α 2 · v(x) − v00 (x) = v0
· sin
l
l
Lösung:
mit α 2 =
v = vhomogen + vpartikulär
πx
v = C1 · sin αx +C2 · cos αx + K · v0 · sin
|
{z
}
|
{z l }
vhomogen
vpartikulär
Ermittlung von K durch Einsetzen der partikulären Lösung:
π 2
π 2
πx
πx
πx
α 2 · K ·
v
v
· sin = −
v
· sin
0 · sin − K · 0·
0
l
l
l 2
l
l
π
1
l2
1
2
· 2 =
K = −
π 2 =
P
P
π
1−
1−
α2 −
EI
Pki
2
somit
v = C1 · sin αx +C2 · cos αx +
1
P
Pki
1−
· v0 · sin
πx
l
Bestimmung der Konstanten aus den Randbedingungen:
v(0) = 0 → C2
v(l)
= 0
= 0 → C1 · sin αl = 0
Für P = Pki ist αl = π und damit sin αl = 0, für 0 < P < Pki ist αl < π und damit sin αl > 0, somit muss
C1 = 0 sein. Daher ist:
v(x) =
1
P
1−
Pki
· v0 · sin
πx
l
=
1
1−
P
Pki
v0 (x)
68
Darin ist
1
P
1−
Pki
der sogenannte „Dischinger-Faktor“.
Dischinger-Methode: Ermittlung von v aus v0 .
P/Pki
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
1
2
5
v/v0
10
Nach DIN 18800, Teil 2 kann der Ersatzstabnachweis durch einen Tragsicherheitsnachweis nach der
Spannungstheorie II. Ordnung ersetzt werden.
Dabei sind ausreichend große Ersatzimperfektionen und die normalen Teilsicherheitsbeiwerte für die
Belastung anzusetzen, zusätzlich muss auf der Widerstandsseite der Teilsicherheitsbeiwert γM beim
Steifigkeitswert EI berücksichtigt werden. Damit ist dann nachzuweisen, dass in der ungünstigsten
Faser die Fließspannung fy,d nicht überschritten wird.
Im vorliegenden Fall also:
1
P · v0
σ II
fy,d
4.1.3
=
M II
P
±
Nel Mel
=
1−
P
±
A · fy,d
!
P
Pki
≤ 1, 0 mit Pki =
Wel · fy,d
π 2 · (EI)d
s2k
Einfeldstab auf elastischer Bettung
P
v
P
M(x)
R=c×v
P
kontinuierliche
2
elastische Bettung c [kN/cm ]
Wenn der elastisch gebette Druckstab ausknickt, dann treten Rückstellkräfte auf:
R(x) = c · v
Es gilt wieder die Gleichgewichtsbedingung
M(x) + MR − P · v
= 0
00
−EI · v + MR − P · v
= 0
0000
00
−EI · v + c · v − P · v = 0 da die Rückstellkraft R bekannt ist, wird zweimal differenziert
69
Überlegungen zur Ausbiegungsfigur bei diskreten Federn:
P
P
relativ weiche Federn
P
P
relativ starre Federn
(relativ bezieht sich auf das Verhältnis Federsteifigkeit zu Biegesteifigkeit des Balkens)
Entsprechendes gilt bei kontinuierlicher Bettung.
Somit lautet der Ansatz:
v(x) = C1 · sin
mπx
l
wobei die Wellenanzahl m noch nicht festliegt
In die DGL eingesetzt erhält man:
mπ 2
mπx
mπx
mπx
+ c ·C1 · sin
− P ·C1 ·
· sin
· sin
l l
l
l
l
mπ 4
mπ 2 mπx
C1 · sin
· EI ·
+c−P·
l
l
l
EI ·C1 ·
mπ 4
Pki =
mπ 2
l
l
· EI + c ·
mπ
= 0
= 0
2
Die Anzahl der Wellen m ist so zu bestimmen, dass Pki ein Minimum wird, also
dPki
dm
m4
m2
2 · m · π2
2 · c · l2
EI
−
2
m3 · π 3
l4
l
c
=
·
π
EI
2 r
c
l
=
·
π
EI
=
= 0
Eingesetzt in Pki :
√
Pki = 2 · c · EI
Man kann erkennen, dass nicht die Länge des Stabes, sondern die Steifigkeiten von Stab und Federn in
die Knicklast eingehen.
Möchte man bei einem gegebenen Stab mit der Länge l die Anzahl der Halbwellen m wissen, so kann
diese aus
s r
r
l 2
c
l 4 c
m =
·
=
·
π
EI
π
EI
ermittelt werden. Es muss aber m eine ganze Zahl sein, da der Stab an den Enden keine Verschiebung
erfahren kann. Somit gilt für m entweder der darunter oder der darüber liegende ganzzahlige Wert.
Wird rechnerisch m < 1, dann muss m = 1 gesetzt werden. In diesem Fall wird Pki wieder von l abhängig
Pki =
π2
l2
·
EI
+
c
·
l2
π2
70
Möchte man wissen, von welcher Länge an diese Abhängigkeit erfolgt, dann kann man sie aus
13,0
0
5
10
15
20
25
30
35
45
50
55
60
65
70
40
Pki [MN]
75
1,0
3,0
5,0
7,0
Länge [m]
9,0
11,0
EI = 21000 kNm²
c=Faktor x EI
0
0,06
0,20
0,40
0,80
0,01
0,10
0,25
0,50
1,00
0,03
0,15
0,30
0,60
1,50
15,0
√
l2
π2
·
EI
+
c
·
= 2 · c · EI
2
2
l
π
ermitteln.
Wie beim Plattenbeulen kann man auch hier die Verhältnisse durch die so genannten Girlandenkurven
verdeutlichen.
71
Die Lösung des elastisch gebetteten Druckstabes findet z.B. bei der Berechnung von Trogbrücken
Anwendung (siehe auch DIN 18800, Teil 2, Abschnitt 5.3.3).
Die elastische Bettung wird durch die Halbrahmen
im Abstand s erzeugt
h
s
s
C
s
c =
mit dem Rahmenwiderstand C [kN/m]
C ergibt sich mit den Abmessungen von Rahmenstiel und Riegel zu
C =
E
h2 · bq
+
3Iv
2Iq
h3v
Dabei wird in den Stielen im Bereich (h − hv ) das
Trägheitsmoment I = ∞ gesetzt.
Hiermit kann man bei gegebener Federsteifigkeit die Knicklast ermitteln
r
C
Pki = 2 ·
· EI
s
4.1.4
Einfeldstab mit konstanter Querbelastung
Gesucht ist das Moment an der Stelle x
q
P
v
dv
M
P
V+dV
V
Wie schon oben hergeleitet gibt das Gleichgewicht am Element:
−V · dx + P · dv − dM
= 0
und nach zweimaligem differenzieren
−q(x) + P · v00 −
d2M
dx2
= 0
da das Schnittmoment gesucht ist, schreibt man
P · M d2M
− 2
EI
dx
2M
d
q(x) + α 2 · M + 2
dx
−q(x) −
= 0
r
= 0
mit α =
Lösung für M:
M = C1 · sin αx +C2 · cos αx − q ·
1
α2
M+dM
P
q
P
P
EI
dx
72
Randbedingungen:
1
q
= 0 → C2 = 2
2
α
α
q
q
1
q
q
−
· cos αl
x = l → M = 0 → C1 · sin αl + 2 · cos αl − 2 = 0 → C1 =
sin αl α 2 α 2
α
α
r
P
Mit der Stabkennzahl ε = l ·
= α · l wird
EI
" #
2
2
2
εx εx l 2
l
1
l
l
M(x) =
q
−q
cos ε · sin
· cos
+q
−q
sin ε
ε
ε
l
ε
l
ε
ql 2 1 − cos ε
εx
εx
M(x) =
· sin + cos − 1
ε2
sin ε
l
l
h
i
ε
ql 2
εx
εx
tan · sin + cos − 1
oder M(x) =
ε2
2
l
l
ql 2 cos(ε (x/l − 1/2))
−1
oder M(x) =
ε2
cos(ε/2)
x=0 → M=0 →
C2 · 1 − q ·
Maximalwert an der Stelle x = l/2:
1
ql 2
M(l/2) =
−1
ε 2 cos(ε/2)
Die Querkraft ergibt sich zu:
dM(x)
dx
= V (x) =
ε sin(ε (x/l − 1/2))
ql 2
− ·
ε2
l
cos(ε/2)
Maximalwerte an den Stellen x = 0 und x = l
ql 2 ε
ε
· · tan
2
ε
l
2
ε
ql 2 ε
= − 2 · · tan
ε
l
2
V (0) =
V (l)
Man kann auch noch die Neigungwinkel v0 der Biegelinie ermitteln:
M(x) = −EI · v00
Z
−EI · v0
=
−EI · v0
=
M(x)dx + K
ql 2 l sin(ε (x/l − 1/2))
·
−
x
+K
ε2 ε
cos(ε/2)
für x = l/2 soll v0 = 0 sein
0 =
K =
ql 2 l
l
·
0
−
+K
ε2 ε
2
ql 2 l
·
ε2 2
somit ergibt sich:
−EI · v0
=
ql 2 l sin(ε (x/l − 1/2))
l
·
−x+
ε2 ε
cos(ε/2)
2
73
oder
−EI · v0 ·
ε2
l
=
−P · l · v0
=
ql 2
sin(ε (x/l − 1/2)) x 1
− +
cos(ε/2)
l 2
Maximalwerte an den Stellen x = 0 und x = l
1
ε 1
0
2
tan −
P · l · v (0) = ±ql
ε
2 2
Weiter soll die Durchbiegung v ermittelt werden
−P · l · v0
−P · l · v
sin(ε (x/l − 1/2)) x 1
=
− +
cos(ε/2)
l 2
l cos(ε (x/l − 1/2))
x2
x
2
= ql − 2 ·
−
+
+K
ε
cos(ε/2)
2·l 2
ql 2
für x = 0 wird v = 0
0 =
ql 2
K =
ql 3
ε2
l cos(−ε/2)
− 2·
+K
ε
cos(ε/2)
und damit
−P · v
P·v
1 cos(ε (x/l − 1/2))
x·l
1
x2
=
− 2·
+
+
−
ε
cos(ε/2)
2 · l2 2 · l2 ε 2
1 cos(ε (x/l − 1/2))
x(x − l)
2
= ql
−1 +
ε2
cos(ε/2)
2 · l2
ql 2
Der Maximalwert wird an der Stelle x = l/2 angenommen zu:
P·v =
ql 2
1
cos(1)
1
−1 −
ε 2 cos(ε/2)
8
Für diesen und viele weitere Fälle mit verschiedenen Randbedingungen werden in der Literatur1
entsprechende Angaben gemacht. Sie können z.B. auch für den Nachweis nach Theorie II. Ordnung
herangezogen werden.
Beispiel: IPE 180, S235
r
Pd
67, 5
= 0, 982
= l
= 600
(EI)d
(21000 · 1320)/1, 1
5, 4 · 6, 02
1
=
− 1 = 27, 01kNm
0, 9822 cos(0, 982/2)
67, 5 2701
=
+
= 21, 3kN/cm2 < fy,d
23, 9
146
r
ε
M II
σ
Pd
qd=5,4kN/m
Pd
IPE180
600cm
1 Stahlbau-Handbuch Teil 1,Kapitel 3.1, Stahlbau-Verlags-GmbH, Köln 1982; Petersen, C.: Statik und Stabilität der Baukonstruktionen, 2. Auflage, Vieweg Verlag 1982
74
4.1.5
Spannungs- und Stabilitätsprobleme bei Stabwerken
Durch Verallgemeinerung des im vorigen Kapitel gezeigten Prinzips lassen sich für beliebig gelagerte Fälle die Schnittgrößen und Verformungen bestimmen. Dies führt auf das Drehwinkelverfahren der
Theorie II. Ordnung mit dem Stabwerke berechnet werden können. Damit ist es möglich sowohl Stabilitätsprobleme als auch Spannungsprobleme mit Hilfe des Drehwinkelverfahrens Theorie II. Ordnung zu
behandeln. Dieses Verfahren wird hier jedoch nicht behandelt, sondern nur auf die Vorlesung „Ausgewählte Themen der Baustatik (Prof. Starossek) verwiesen.
4.1.6
Spannungsproblem mit Gleicgewichtsverzweigung
Es gibt Belastungsfälle von Stäben, die sofort bei der Laststeigerung Biegespannungen und Ausbiegungen hervorrufen, aber trotzdem ein Verzweigungsproblem beinhalten.
q
3
2
P
P
P
EI2
-h-
P
EI1
1
a)
b)
Zunächst angenommene Verformung
Zur kritischen Last gehörende Knickfigur
EI1
-l-
4
c)
Mit Hilfe eines energetischen Kriteriums von Klöppel/Lie1 lässt sich prüfen, ob ein solcher Fall vorliegt.
Beispiel: Fall c)
Mit dem Drehwinkelverfahren Theorie II. Ordnung erhält man folgendes Gleichungssystem

 
 

C1 + A2
B2
−C1
ϕ2
pl 2 /12

 
 

 B2
 ·  ϕ3  =  −pl 2 /12 
A2 +C1
−C1

 
 

−C1
−C1
2C1 − qlh
ψ
0
Dieses Gleichungssystem beinhaltet zwei Lösungsmöglichkeiten:
1. Spannungsproblem (gestrichelte Verformungsfigur): ϕ2 = −ϕ3 und ψ = 0. Hieraus ergibt sich eine
pl 2 /12
eindeutige Lösung für ϕ2 , nämlich ϕ2 =
C1 + A2 − B2
2. Stabilitätsproblem (strichpunktierte Verformungsfigur): ϕ2 = ϕ3 und ψ 6= 0
Das Gleichungssystem schreibt sich dann, nach Addition der Gleichungen (1) und (2):

 
  
C1 + A2 + B2
C1
ϕ
0

·
= 
−2C1
2C1 − qlh
ψ
0
d.h. aber, dass sich wieder ein homogenes Gleichungssystem ergibt, dessen Lösung die kritische
Last liefert:
(C1 + A2 + B2 )(2C1 − qlh) − 2C12 = 0
1 „Das
hinreichende Kriterium für den Verzweigungspunkt des elastischen Gleichgewichtes“, Der Stahlbau 1943, S. 17
75
Die oben dargestellten Ergebnisse lassen sich auch direkt aus den Lösungen für die Formänderungsgrößen, die hier nach entsprechender Zwischenrechnung ermittelt wurden zu:
ϕ2 =
ϕ3 =
=
ψ
pl 2 (C1 + A2 + B2 ) (2C1 − qlh) − 2C12
12
(C1 + A2 − B2 ) (C1 + A2 + B2 ) (2C1 − qlh) − 2C12
pl 2
−
[
...
]
12
(
...
)[
...
]
0
(
...
)[
...
]
Für [. . .] 6= 0
wird
ϕ2 = −ϕ3
=
pl/12
(C1 + A2 − B2 )
Für [. . .] = 0
wird
ϕ2 = ϕ3 = ψ
=
0
0
Anmerkung:
Die Hilfsgrößen A, B, C wurden hier analog dem Verfahren der DIN 4114, Blatt 2, Ri. 7.8 angenommen.
Dabei gilt:
A =
B =
C =
EI
ε (sin ε − ε · cos ε)
·
l 2 (1 − cos ε) − ε · sin ε
ε (ε − sin ε)
EI
·
l 2 (1 − cos ε) − ε · sin ε
EI
ε 2 · sin ε
·
l sin ε − ε · cos ε
=
=
=
EI 0
·A
l
EI 0
·B
l
EI 0
·C
l
Diese Hilfswerte werden in der Literatur zum Teil anders bezeichnet.
4.2
4.2.1
Elastisches Biegedrillknicken von Stäben
Längskraftbelastete Stäbe
Grundsätzliches Das Verzweigungsproblem Biegedrillknicken ist gekennzeichnet durch eine unter
der kritischen Last plötzlich eintretende seitliche Ausbiegung verbunden mit einer Verdrehung.
J
P
P
e
P
S=M
e
v
Neben dieser Versagensart sind andere Versagensarten möglich. Maßgebend ist jeweils die Versagensart,
unter der das Versagen zuerst eintritt.
76
An einigen praktischen Sonderfällen von Querschnittsformen soll dies dargestellt werden:
P=S=M
Zentrischer Druck
z
z
y
y
y
S=M=P
S=M=P
y
1. Biegeknicken rechtwinklig zur Hauptachse y − y
2. Biegeknicken rechtwinklig zur Hauptachse z − z
3. Drillknicken
z
z
P = S 6= M
M
1. Biegeknicken in Richtung der Hauptachse auf der M
liegt
M
S=M=P
S=P
2. Biegedrillknicken
P = M 6= S
Exzentrischer Druck
1. Drillungsfreier planmäßig außermittiger Druck in
Richtung dieser Hauptachse
P=M
P=M
S
2. Biegeknicken rechtwinklig zu dieser Hauptachse
S
3. Biegedrillknicken (wobei in diesem Fall die Drillruheachse mit M zusammenfällt)
M = S 6= P
1. Drillungsfreier planmäßig außermittiger Druck in
Richtung dieser Hauptachse
P
S=M
2. Biegedrillknicken
M 6= S 6= P (P auf der gleichen Hauptachse wie M)
P
M
S
M
P
S
1. Drillungsfreier planmäßig außermittiger Druck in
Richtung dieser Hauptachse
2. Biegedrillknicken
77
Für die einzelnen Versagensarten sind die Versagenslasten zu ermitteln, bzw. der entsprechende Nachweis unter Bemessungslasten zu führen. Die Versagensart, die die höchste Auslastung, bzw. die geringste
Versagenslast liefert wird maßgebend.
Herleitung der Biegedrillknicklast für einen einfach symmetrischen Querschnitt
Die kritische Last kann wie schon beim Biegeknicken durch die Bedingung gefunden werden, dass
beim Erreichen der Biegedrillknicklast das Gleichgewicht indifferent wird, d.h. neben der unverformten Gleichgewichtslage besteht eine infinitesimal benachbarte verformte Gleichgewichtslage bei gleicher
Belastung.
Für ein herausgeschnittenes Stabelement infinitesimaler Größe muss daher im verformten Zustand gelten:
= 0;
∑ Fy
∑ Fz
= 0;
∑ MT
P
P
a
wM
zD
= 0
P
a
dx
M
S
y
M
S
zM
z
M
S
z-zM
Es gilt:
w
dA
v
v
vM
= vM − (z − zM ) · ϑ
(1)
w = wM + y · ϑ
Da ϑ infinitesimal klein ist, konnte in
obigen Gleichungen
J
sin ϑ
= ϑ
cos ϑ
= 1
D
gesetzt werden.
a) Gleichgewichtsbedingungen:
Am Stabelement dx gelten folgende Gleichgewichtsbedingungen:
∑ Fz
∑ Fy
∑ MT
= 0 → EIy
· w0000
= 0 → EIz · v0000

= pz 
= py 
= 0 → ECM · ϑ 0000 − GIT · ϑ 00 = mD
b) Ermittlung von py , pz und mD
bekannt aus Balkenbiegung
(2)
siehe Manuskript „Torsion“
78
Es sind nun die Größen py , pz und mD zu bestimmen. Es gilt:
d 2 Mz
dz2
py
= −
pz
d 2 My
= − 2
dz
= −
d 2 (P · v)
dz2
= −v00 · P
= −
Z
σ dA · v00
A
d 2 (P · w)
= −
dz2
= −w00 · P
= −
Z
σ dA · w00
A
M
S
(3)
z-zm
y
dmD =
dPv’’
dP · v00 (z − z
M
) − dP · w00 · y
dmD = dP (v00 (z − zM ) − w00 · y)
dA
dPw’’
Z
mD =
Z
dmD
=
A
v00 (z − zM ) − w00 · y · σ dA
A
Setzt man in die Gleichungen (3) die Spannung unter Vernachlässigung der Theorie II. Ordnung
mit
!
P P·a
P
a
σ =
(4)
+
· (−z) =
1 + 2 · (−z)
A
Iy
A
iy
ein (streng genommen wäre der Hebelarm (a + w) einzusetzen), dann erhält man:
pz = −
Z
P
w00M + y · ϑ 00 ·
A
A
= −
Z
P 00
w dA −
A M
Z
!
a
1 + 2 · (−z) dA
iy
P 00 *+0
ϑ ydA
A
A
A
P
= − w00M
A
Z
A
Z
P 00 a
:0
*+0 P ϑ 00 · a · y ·
zdA
wM · 2 · zdA
A
iy
A
i2y
A
Z
dA
A
pz = −P · w00M
py = −
Z
(5)
v00M − (z − zM ) · ϑ 00
A
= −
Z
A
Z
+
A
=
py =
P 00
v dA +
A M
Z
P
·
A
!
a
1 + 2 · (−z) dA
iy
Z
P 00 *−0 P ϑ 00 z dA
ϑ ·
zdA
M
A
A
A
P 00 a
*−0
vM · 2 · zdA
A
iy
A
Z
IyZ
P 00 a 2 P 00 a
*
*0
ϑ · 2 ·
z dA +
ϑ · 2 · zM · zdA
A
iy
A
iy
A
00
00
−P · vM − P · zM · ϑ − P · a · ϑ 00
−P v00M + ϑ 00 (zM + a)
A
(6)
79
mD =
Z v00M − (z − zM )ϑ 00
· (z − zM ) − w00M · y + y2 · ϑ 00
P
·
A
A
Z
=
v00M ·
Z
IyZ
0 Z 00
P P
P *
*
*0
00 P 2 ·
zdA − vM · zM · dA − ϑ · · zdA
z dA + 2 · ϑ 00 · zM · · A
A
A
A
A
−
A
Z
+
Z
A
ϑ 00 ·
A
A
IyZ
P a 2 P a
*
*0
v00M · · 2 · z dA + v00M · · 2 · zM · zdA
A iy
A iy
P a 3
· · z dA −
A i2y
A
Z
2 · ϑ 00
A
IyZ
P a
P a
*
*0
· 2 · zM · z2 dA
+ ϑ 00 · · 2 · z2M · zdA
A iy
A iy
A
Z
IZ
P * z
:+0 ϑ 00 · P · a · y2 · zdA
00 P a
*−0 ϑ 00 · P · y2
dA
+
w
·
y
·
zdA
ydA
·
·
− w00M · · M
A
A A i2y
A i2y
A
A
A
A


 

Z


1
= −P (zM + a)v00M + (i2y + i2z + z2M ) + a −
z(y2 + z2 )dA + 2zM  ϑ 00


Iy
A
(7)
= −P (zM + a)v00M + i2M + a(2zM − ry ) ϑ 00
Z
Z
mD
A
P
ϑ 00 · z2M · dA −
A
A
Z
!
a
1 + 2 · (−z) dA
iy
Darin ist:
i2M = i2y + i2z + z2M = i2p + z2M
iM =
b polarer Trägheitsradius auf den Schubmittelpunkt bezogen
ry
=
1
Iy
Z
z(y2 + z2 )dA (wird bei punkt- und doppeltsymmetrischen Profilen = 0)
A
c) Differentialgleichungen
Setzt man die Größen py , pz und mD in die Gleichgewichtsbedingungen (2) ein, dann erhält man
die Differentialgleichungen des exzentrisch gedrückten, einfachsymmetrischen Stabes. Hierbei ist
noch zu berücksichtigen, daß das Moment mD in Bezug auf den Schubmittelpunkt angeschrieben
wurde, so dass in Gleichung (2) z = zM und y = yM zu setzen ist.
00
EIy z0000
M + PzM = 0
00
00
EIz v0000
M + PvM + P(zM + a)ϑ = 0
ECM ϑ 0000 + P[i2M + a(2zM − ry )] − GIT ϑ 00 + P(zM + a)v00M = 0
(8)
Die erste Gleichung beschreibt das Biegeknicken ⊥ zur y − y-Achse, die beiden anderen gekoppelten Gleichungen das Biegedrillknicken.
Wird a = zM , dann tritt eine Entkopplung der letzten beiden Gleichungen ein, d.h. der Stab kann
biegeknicken ⊥ zur z − z-Achse oder drehknicken um den Schubmittelpunkt M.
Die beiden DGL des Biegedrillknickproblems
P 00
P
·v +
· (zM + a) · ϑ 00 = 0
EIz M EIz
1 2
P
ϑ 0000 +
P[iM + a(2zM − ry )] − GIT ϑ 00 +
(zM + a)v00M = 0
ECM
ECM
v0000
M +
(9)
80
lassen sich mit
P
EIz
α2 =
und
γ2 =
1 2
P[iM + a(2zM − ry )] − GIT
ECM
wie folgt schreiben
2 00
2
00
v0000
M + α · vM + α (zM + a) · ϑ = 0
ϑ 0000 + γ 2 ϑ 00 +
P
(zM + a)v00M = 0
ECM
d) Allgemeine Lösung
vM = A1 · sin Kz + A2 · cos Kz + A3 · z + A4
ϑ
(10)
= B1 · sin Kz + B2 · cos Kz + B3 · z + B4
e) Darstellung der Randbedingungen
x
Gabellagerung
x
z
w=0
w’’=0
horizontale Endeinspannung,
keine Gabellagerung
x
b=0,5
b=1
Gabellagerung
y
y
b=1: v=0
v’’=0
z
Verwölbung
b=0,5: v=0
v’=0
Querschnittsverdrehung J
x
frei
(b0=1)
x
y
y
b0=1: J=0
J’’=0
J-Verlauf
x
verhindert
(b0=0,5)
x
y
y
b0=0,5: J’=0
J’’=0
/
J-Verlauf
81
Dass bei freier Verwölbung am Auflager ϑ = 0 ist, kann auch mit Hilfe der Wölbnormalspannungen erklärt werden. Da am freien Ende
= Eϑ 00 ϕ
σ
ist, muss am freien Ende auch ϑ 00 = 0 gelten (siehe Manuskript „Torsion“ (Kapitel ??).
f) Einsetzen der Randbedingungen
Für den Fall der Gabellagerung ohne Wölbbehinderung sind die Randbedingungen:
für x = 0 : (1)
(2)
(3)
(4)
vM
ϑ
v00M
ϑ 00
: (5) v00M
für x = l
ϑ 00
(6)
(7) vM
(8) ϑ
=
=
=
=
0
0
0
0
→
→
→
→
=
=
=
=
A2
B2
A2
A2
= 0 → −A1 · K 2 · sin Kl
−A4
−B4
0
→ A4 = 0
0
→ A4 = 0
= 0
2
= 0 → −B1 · K · sin Kl = 0
= 0 → A1 · sin Kl + A3 · l = 0
= 0 → B1 · sin Kl + B3 · l = 0
Setzt man (5) in (7) und (6) in (8) ein, ergibt sich
A3 = 0
und
B3 = 0
Die Größen K und K erhält man aus
(7) A1 · sin Kl = 0 → K =
(8) B1 · sin Kl = 0 → K =
π
l
π
l
Damit lautet die Lösung
πx
l
πx
= B1 · sin
l
vM = A1 · sin
ϑ
(11)
g) Knickbedingung
Setzt man 11 in 9 ein, dann erhält man ein homogenes Gleichungssystem
π 2
π 2
πx
πx
πx
− A1 · α 2 ·
· sin
− B1 · α 2 ·
· (zM + a) · sin
l
l
l
l
l
l
π 4
π 2
π 2
P
πx
πx
πx
− B1 · γ 2 ·
− A1 ·
·
B1 ·
· sin
· sin
· (zM + a) · sin
l
l
l
l
ECM
l
l
A1 ·
π 4
· sin
nach Umformung
 2
π EIz
 l2 · P − 1

− (zM + a)
− (zM + a)
GIT
π 2 ECM 2
−
i
+
a
(2z
−
r
)
+
M
y
M
l2 · P
P


= 0
= 0

 
A

 1 
 0 
 · 
 =  
B1
0
Aus der Knickbedingung det = 0 kann die kritische Biegedrillknicklast ermittelt werden.
82
Anstelle der kritischen Last Pki wurde in DIN 4114, Ri.10.1 eine zur kritischen Last zugehörige „Vergleichsschlankheit“ angegeben.
σki =
Pki
A
=
π 2E
λvi2
⇒
λvi2
=
π 2 EA
Pki
Mit den weiteren Schreibvereinfachungen
λz2 =
c2
l2 A · l2
=
i2z
Iz
0,039
G
CM + 2 IT · l 2
π E
=
Iz
(c
ist der sogenannte „Drehradius“)
erhält man







λvi2
−1
λz2
− (zM + a)
− (zM + a)
λvi2
λz2




 A1 
 0




 · 
 = 







2

2
B1
0
· c − iM + a (2zM − ry )






Nach Nullsetzen der Nennerdeterminante und Umformung erhält man
v
v

u

u
u 2 2

2 i2 − a(r + a)
u
4c
c
+
i
+
a(2z
−
r
)
y
u
M
y 
p
M
t1 − 
λvi = λz · t
1
±
2


2c2
c2 + i2M + a(2zM − ry )
Umgeformt kann man auch schreiben
π 2 EA
π 2 EIz
1
=
·
2
2
{. . .}
l
λvi
√
Dabei ist in . . . 1 ± . . . das Vorzeichen einzusetzen, das den größeren reellen Wert λvi und damit die
kleinere kritische LastpPki ergibt.
Der Wurzelausdruck {. . .} kann als Vergrößerungsfaktor interpretiert werden, der die zusätzliche Verdrehung des Querschnitts im Vergleich zum normalen Biegeknicken ⊥ z − z erfasst.
Pki =
λvi = λz · f
mit f ≥ 1
Mit der Kenntnis von Pki kann dann der Nachweis auf Biegedrillknicken nach DIN 18800 Teil2, El. 306
erfolgen.
Für die Randbedingungen nach Seite 80 kann man die obigen Gleichungen modifizieren:
v

v
u
h
2
i 
u
u

β

u
2
2
2
u

4c i p − a(ry + a) + 0, 093 β 2 − 1 (a + zM ) 
u
β · s u c2 + i2M + a(2zM − ry ) 
0
1 ± t1 −

u
λvi =
2


iz t
2c2
c2 + i2M + a(2zM − ry )




83
mit
c2
=
CM (β · s)2
+ 0, 039(β · s)2 · IT
(β0 · s0 )2
Iz
s
Netzlänge des Stabes
s0
für die Verdrehung maßgebender Abstand der gehaltenen Punkte, wobei
konstruktive Bedingungen zu berücksichtigen sind
β
Einspannung für Biegung ⊥ z − z-Achse
β0
Kennwert für die Verwölbung des Endquerschnitte (siehe Seite 80)
Im Folgenden sollen einige Sonderfälle behandelt werden:
Sonderfall: a = −zM (Kraftangriff im Schubmittelpunkt)
s
β · s i2M + zM (ry − 2zM )
oder
λvi =
iz
c2
{z
}
|
aus „-“ Vorzeichen
(Biegedrillknicken)
λvi =
β ·s
iz
|{z}
aus „+“ Vorzeichen
(Biegeknicken)
Sonderfall: a = 0 (Kraftangriff im Schwerpunkt)
v

v
u
h
2
i
u
u
u
2 i2 + 0, 093 β − 1 z2
u 2 2 
4c
2
u
p
M
β · s u c + iM 
β0
u
1 ± t1 −
λvi =
2

2
t
2
iz
2c
c2 + i
M




Sonderfall: a = 0 und punkt- oder doppeltsymmetrischer Querschnitt
λvi =
β · s ip
·
iz c
wenn i p > c
Sonderfall: gebundene Drehachse durch seitliche Halterungen (z.B. Längsverband)
λvi =
wird a =
4.2.2
β ·s
iz
s
M
S
i2p + f 2 + a(2 f − ry )
2
f
c2 + (zM − f )
Längsverband
i2p + f 2
, dann wird λvi = 0 und Biegedrillknicken ist nicht möglich.
ry − 2 f
Quer zur Stabachse belastete Stäbe und Stäbe mit Endmomenten
Früher wurde das Biegedrillknicken dieser Stäbe als „Kippen“ bezeichnet.
v
q
j
Q
M1
M2
y
w
z
84
Wie beim gedrückten Stab tritt auch hier unter einer bestimmten Lastintensität (Q, q, M) ein seitliches
Ausweichen des Trägers mit Verdrehung ein, indem sich der gedrückte Querschnittsanteil einer weiteren
Lastaufnahme entziehen möchte.
Auch hier kann mit Hilfe der Gleichgewichtsmethode oder der Energiemethode die kritische Belastung
berechnet werden. Es wird angenommen, dass die gegebenen Belastungen in einem bestimmten Verhältnis zueinander stehen, welches über die gesamte Belastungsgeschichte, d.h. von Null bis zur kritischen
Belastung, konstant bleibt. Unbekannt ist somit der Laststeigerungsfaktor γ.
Für den einfachsymmetrischen Querschnitt mit konstanter Querbelastung p lauten die Differentialgleichungen (ohne Herleitung):
EIz · v0000 − EIz · zM · ϑ 0000 + (My · ϑ )00
= 0
ECM ϑ 0000 − EIz · zM · ϑ 0000 − EIz · zM · v0000 − GIT ϑ 00 − ry (My · ϑ 0 )0 + My · v00 + p · zP · ϑ
= 0
(12)
Darin ist zP der Abstand des Lastangriffspunktes vom Schwerpunkt.
Die Randbedingungen für gabelgelagerte Träger sind:
für
für
x = 0 : v = 0, v00 = 0, ϑ = 0, ϑ 00 = 0
x = l : v = 0, v00 = 0, ϑ = 0, ϑ 00 = 0
Im allgemeinen Fall lassen sich diese gekoppelten DGL nicht geschlossen lösen, nur für Sonderfälle
gelingt eine geschlossene Lösung.
Sonderfall: M1 = M2 und p = 0
M1
doppeltsymmetrischer
Querschnitt
M2
Die Gleichungen 12 vereinfachen sich zu:
EIz · v0000 + My ϑ 00
= 0
ECM ϑ 0000 − GIT ϑ 00 + My · v00 = 0
Hierbei handelt es sich um simultane Differentialgleichungen, die durch den Ansatz
πx
l
v = A · sin
und ϑ
= B · sin
πx
l
die Randbedingungen befriedigen. Nach Einsetzen erhält man:
π 2
πx
πx
− My · A ·
sin
sin
l l
l π 4 lπx
π 2
π 2
πx
πx
ECM · B ·
sin
+ GIT · B ·
sin
− My · A ·
sin
l
l
l
l
l
l
EIz · A ·
und damit

π 4
π2
EI
·
 z l2

−My

 
A



 0 
·
=



 
π2
B
0
ECM · 2 + GIT
l
−My


Nullsetzen der Nennerdeterminante det = 0 liefert:
π2
π2
EIz · 2 · ECM · 2 + GIT − My2 = 0
l
l
= 0
= 0
85
woraus sofort folgt:
s
π2
EIz · ECM · 2 + GIT
l
s
q
π
ECM π 2
EIz · GIT · 1 +
·
l
GIT l 2
π
l
Mki =
Mki =
s
π 2 EIz
·c
l2
Mki =
c =
mit dem Drehradius
GIT · l 2 CM
+
EIz · π 2
Iz
Hieraus erkennt man schon die Abhängigkeit des Biegedrillknickmomentes von der Länge und den
Steifigkeiten Iz , IT und CM . Der Einfluss des Wölbwiderstandes CM geht mit wachsender Länge zurück.
Dies ist gut zu verstehen, da der Wölbwiderstand bei I-Profilen dem Biegewiderstand der Flansche
proportional ist (CM = Iz /4 · h2 für I).
p
p
Sonderfall:
e = Höhe der Last über S
S
einfachsymmetrischer
Querschnitt
Es gelten die Differentialgleichungen 12.
Da es nunmehr schwierig wäre, Lösungsansätze zu finden, die sowohl die DGL als auch die Randbedingungen erfüllen (Eigenfunktionen), kann man beispielsweise das Galerkinsche Verfahren anwenden.
Die gewählte Funktion muss sowohl die geometrischen (hier v = 0 und ϑ = 0 für z = 0 und z = l) als
auch die statischen (oder dynamischen) Randbedingungen (hier v00 = 0 und ϑ 00 = 0 für z = 0 und z = l)
erfüllen.
πx
πx
Der Ansatz v = A · sin , ϑ = B · sin
erfüllt diese Forderung. Somit lauten die Galerkinschen Gleil
l
chungen:
Zl h
i
πx
EIz v0000 − EIz zM ϑ 0000 + (My ϑ )00 sin dx
l
= 0
0
Zl h
i
πx
ECM ϑ 0000 − EIz zM ϑ 0000 − EIz zM v0000 − GIT ϑ 00 − ry (My ϑ 0 )0 + My v00 + p zP ϑ sin dx = 0
l
0
Setzt man den Ansatz auch in die DGL (1) und (2) ein, dann erhält man unter Berücksichtigung von
p·l
p · x2
·x−
2
2
My (x) =
, c2 =
GIT l 2 CM
+
EIz π 2
Iz
sowie
Zl
πx
sin
dx
l
2
=
Zl
l
2
,
0
Zl
0
πx
πx
cos dx
l
l
= 0
0
x · sin2
πx
dx
l
=
Zl
l2
,
4
0
Zl
sin
0
x2 · sin2
πx
dx =
l
l3
6
−
l3
4π 2
x · sin
πx
πx
l2
cos dx = −
l
l
4π
86
das homogene Gleichungssystem

π4
 
EIz


2l 3


 4 2
 pl (π + 3) + 12EIz zM π 4
24l 3



pl 4 (π 2 + 3) + 12EIz zM π 4
24l 3
 
  
  A   0 
 
  
·
= 


  
4
2
4
2
2
  
EIz π (c − zM ) pl (12e + ry π − 3ry )  
B
0
+
3
3
2l
24l
und daraus die gesuchte kritische Belastung
pki =
q
9, 2 EIz π 2
2
2
· 2
(zM − 0, 466e − 0, 267ry ) ± (zM − 0, 466e − 0, 267ry ) + c
l2
l
oder die kritische Spannung in Balkenmitte am Querschnittsrand
σki =
pki · l 2
· eRand
8 · Iy
In der Literatur1 findet man als Näherung die Formel
σki
EIz π 2
≈ ζ·
· eRand
(β l)2 · Iy
"r
e ry 2
e ry zM + β 2 −
+ c2 − zM + β 2 −
2 3
2 3
#
mit dem Beiwert β für den Einspanngrad (Gabellagerung:β = 1, 0; starre Einspannung:β = 0, 5), sowie
dem Beiwet ζ für die Form des Momentenverlaufes.
z=1,0
z=1,12
z=1,35
z=1,72 bis 1,84
Die Verwendung dieser Gleichung ist jedoch nur für den Fall der Gabellagerung auf der sicheren Seite,
d.h. für β = β0 = 1 und l = l0 . Für den eingespannten Fall liefert sie zu große Werte. Für diese Fälle sei
hier auf weiterführende Literatur verwiesen.5 Dort sind auch für viele weitere Fälle Lösungen angegeben, die z.T. aus numerischen Näherungsberechnungen resultieren, da eine geschlossene Lösung in den
allermeisten Fällen nicht möglich ist.
Von praktischer Bedeutung sind insbesondere folgende zusätzlichen Randbedingungen:
Drehbettung
Cj
=
1 Petersen:
5 Roik,
S
Durch die Drehfeder wird die kritische
Last pki angehoben.
Stahlbau, DIN 4114
Carl, Lindner: Biegetorsionsprobleme gerader dünnwandiger Stäbe; Lohse: Kippen (1990)
87
Seitliche Stützung
p
p
e
S
pki =
f
Noch wirkungsvoller ist eine seitliche Stützung: Je nach Höhenlage dieser Stützung ist bei Einfeldträgern ein
Kippen sogar ausgeschlossen. Angaben hierzu finden sich beispielsweise
in DIN 4114. Für den am oberen Trägerflansch durch die Gleichlast p belasteten Einfeldträger mit doppeltsymmetrischem Querschnitt gilt beispielsweise:
π4
π2
+
GI
ECM + EIz · f 2
T
3
4l
4l2
e·l
π
1
− f ·l ·
+
4
24 8
woraus sich f ≥ 0, 466 aus der Bedingung, dass der Nenner → 0 und damit pki → ∞ gehen muss,
ableiten lässt.
Für Durchlaufträger ist sich eine solche Angabe nicht möglich, da der Druckgurt in Feld- und
Stützbereich wechselt. Aber auch hier können Aussagen gemacht werden, wann ein Kippen praktisch ausgeschlossen ist.1
Auflast (wirklichkeitsnahe Belastung)
e
Sind die belasteten Platten sehr drehsteif (Cϕ ≈ ∞), dann setzt
sich die Last auf der Flanschkante ab und bewirkt ein rückdrehendes Moment. Ein Kippen wird hierdurch völlig unmöglich.
Allerdings kann eine zusätzliche Horizontallast oder eine angebrachte Verdrehung das Rückstellmoment neutralisieren und
dann doch ein Kippen einleiten.
pz
py
a
S
jM
Aus2
erhält man
ϕM =
4
12
1
4 py · pz
(−pz e + py a) + 2l
−
Iy · Iz π 5 π 3
π
Iy − Iz
"
!
#
2
4
2
4
p2y
pz
π
π
l
1
3
ECM 4 + GIT 2 −
+
+
− (pz a + py e)
l
l
8 EIz EIy
15 π 4
für py = 0 ergibt sich
ϕM =
1 Fischer,
4
− · pz · e
π
[. . .]
=
−Z0
N0
M.: Zum Kipp-Problem von kontinuierlich seitlich gestützten I-Trägern, Stahlbau Heft 4, 1976
2 Fischer, M.: Das Stabilitätsproblem des in Höhe des oberen Flansches wirklichkeitsnah belasteten I-Trägers, Stahlbau Heft
4, 1970
88
pz
py=0
Linie c
p
*
ki
pki
Setzt man N0 = 0, so erhält man die kritische Last pki für den
Fall, dass e = 0 ist. Für größere Lasten pz > pki erhält man
ϕM =
p_y
pz =klein
Ist py > 0, dann ergibt sich mit ϕM =
p_y
pz =groß
p*ki
−Z0
= + (Linie c)
−N0
−Z1
und Setzen von Z1 = 0
−N1
wieder eine kritische Last p∗ki .
Je nach Größe der Last py kann die kritische Last p∗ki auch unter
pki liegen.
jM
Anstelle von py kann auch eine Anfangsausbiegung oder Anfangsverdrehung wieder zu einer kritischen Belastung p∗ki führen.
4.2.3
Längs- und querbelastete Stäbe
P
P
e
q
Q
}
q
Q
M
M
P
P
M=P.e
Für diesen Fall sind die auf Seite 84 angegebenen Differentialgleichungen 12 um den Beitrag der Druckkraft zu ergänzen:
EIz v0000 − EIz zM · ϑ 0000 + (My ϑ )00 + Pv00
= 0
(13)
ECM ϑ 0000 − EIz zM ϑ 0000 − EIz zM v0000 − GIT ϑ 00 − ry (My ϑ 0 )0 + My v00 + pzP ϑ
+ Pi2p ϑ 00
= 0
Der Beitrag der Druckkraft kann auch aus den Gleichungen 8 auf Seite 79 abgelesen werden.
p
M
Sonderfall:
P
M
P
Diesen Fall kann man zusammensetzen aus dem Fall Querlast p und zusätzlich M und P. Es kann in den
Gleichungen 13
My (x) = M +
p·l
p · x2
·x−
2
2
gesetzt werden. Dann erhält man mit dem gleichen Vorgehen wie im vorigen Kapitel wieder ein homogenes Gleichungssystem, das die Unbekannten p, M und P enthält. Dieses kann unter Festhaltung
zweier Unbekannter nach der Dritten aufgelöst werden. Man bekommt also beispielsweise ein pki für
vorgegebenes M und P. Auch möglich ist, das Verhältnis der drei Lasten als konstant vorauszusetzen.
Dann können zwei der drei Unbekannten durch Verhältnisse zu der dritten Unbekannten ersetzt werden.
Die verbliebene Gleichung der Nennerdeterminante kann dann aufgelöst werden und man erhält eine
kritische Belastung, die sich aus der Lastkombination von p, M und P zusammensetzt.
89
Wenn man in obigem Szenario die Last p = 0 setzt, dann erhält man für den doppeltsymmetrischen
Querschnitt als Knickbedingung:
h
i
2
2
2
2
EIz (π/l) − P ECM (π/l) + GIT − Pi p − M = 0
| {z }
GITreduziert
aufgelöst nach M
M
2
= EIz ECM (π/l)4 + EIz GITred. (π/l)2 − PECM (π/l)2 − PGITred.
2
"
2
= EIz GITred. (π/l)
z ECM (π/l)4
EI
1+
2
z GITred.
EI
(π/l)
s
=
M
ECM (π/l)2
·
1+
GITred.
πp
EIz GITred. ·
l
#"
1−
s
1−
#
P
EIz (π/l)2
P
(a)
EIz (π/l)2
∗
Für jedes festgelegte Verhältnis von M vorh. : Pvorh. gibt es ein Versagenswertepaar M, P jetzt M ki ,
Pki∗ genannt, wobei der ∗ darauf hindeutet, dass M und P gleichzeitig wirken. Man kann daher ein
Interaktionsdiagramm aufzeichnen, hier ist dieses bereits auf 1 normiert.
P_*ki 1,0
Pki
Für M = 0 wird das maßgebende
Gl.(a)
Pki∗ = Pki =
Gl.(b)
π 2 EIz
l2
und für P = 0 wird
s
*
M
__ki
1,0 Mki
∗
M ki
= M ki =
πp
EIz GITred. ·
l
1+
ECM (π/l)2
GITred.
Die Gleichung (a) kann näherungsweise wiedergegeben werden durch
∗
Pki∗
+
Pki
M ki
M ki
!2
= 1
denn nach Auflösung erhält man
∗2
2
Pki∗ · M ki + Pki · M ki
2
Pki · M ki
∗
M ki = M ki ·
=1
Pki − Pki∗
Pki
s
∗
M ki
=
πp
EIz GIT ·
l
ECM (π/l)2
1+
·
GIT
s
1−
P
EIz (π/l)2
Diese Gleichung entspricht der Gl. (a) bis auf die Größe ITred. .
(b)
90
Die Parabeldarstellung anstelle der wirklichen Lösung erlaubt es, das kritische Wertepaar näherungsweise mit Hilfe der Teillösungen Pki und M ki zu berechnen, wenn das Verhältnis M vorh. : Pvorh. bekannt
ist.
Die DIN 18800 Teil 2 geht entsprechend vor. Es werden dort lediglich anstelle der Werte Pki , Mki die
Traglastgrößen Nu,z , Mu,y eingeführt. Der allgemeine Biegedrillknicknachweis lautet dort
My
N
+
Nu,z Mu,y
≤ 1
N, My sind darin die Bemessungsschnittgrößen, d.h. inklusive des Teilsicherheitsfaktors für die Lastseite.
Nu,z = κz · Npl,d ist die Traglast für das Knicken senkrecht zur z-Achse unter alleiniger Wirkung von N.
Mu,z = κM · Mpl,y,d ist das Tragbiegedrillknickmoment unter alleiniger Wirkung von Biegemomenten My .
Man kann also mit Hilfe der Traglastkurven κz und κM (Teillösungen) den zusammengesetzten Lastfall
N, My nachweisen, wenn das Verhältnis N : My festliegt.