Elektronen in Metallen

Elektronen in Metallen
Seminar: Nanostrukturphysik 1
Fakultät: 7
Dozent: Dr. M. Kobliscka
Referent: Daniel Gillo
Datum: 21.01.14
Gliederung
1. Einleitung
1.1 Elektronen
1.2 Metalle
2. Drude-Modell
2.1 Ohm'sches Gesetz
2.2 Grenzen des Modells
3. Lorentzoszillator
4. Sommerfeldmodell
4.1 Fermi-Kugel
4.2 Wärmekapazität
5. Wiedemann-Franz-Gesetz
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1.1 Elektronen
- 1874 schlägt Stoney Existenz einer Elementarladung vor
- Stoney/Helmholtz: „eléctron“ (altgr. für Bernstein)
- 1897: experimenteller Nachweis des Elektrons durch Thomson → „Rosinenkuchen-Modell“
- 1909: Bestimmung der Elementarladung durch Millikan
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1.2 Metalle
→ ca. 80 % aller Elemente
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1.2 Metalle
- hohe elektrische Leitfähigkeit σ
- hohe Wärmeleitfähigkeit λ
- hohe Duktilität
- metallischer Glanz
Natrium
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2. Drude-Modell (1900)
- Valenzelektronen verhalten sich wie ideales Gas im Kristall
→ „Elektronengas“
- positiv geladene Atomrümpfe sind klein und unbeweglich
- Elektronen führen Stöße mit Atomrümpfen aus
→ mittlere freie Weglänge Λ, mittlere Stoßzeit τ
- Zwischen den Stößen ist Bewegung der Elektronen völlig frei
Paul Drude
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Drude-Modell
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2.1 Ohm'sches Gesetz
Bewegungsgleichung :
m
m v̇ + τ v D + e E = 0
Stationärer Zustand :
v̇ = 0
→ vD = −
Stromdichte :
j=
eτ
E
m
1 dQ
dx
A
= −n e v D
A dV
dt
2
→
n τe
j=
E
m
nτe
; mit σ =
m
2
j =σE
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2.2 Grenzen des Modells
- Berechneter Widerstand sechs Mal so groß wie der Gemessene
- Mittlere freie Weglänge Λ hängt von Qualität und Temperatur des Kristalls ab
- Elektrische Leitfähigkeit σ und Wärmeleitfähigkeit λ sind temperaturabhängig
- keine Erklärung für metallischen Glanz
- gilt stark eingeschränkt nur für Metalle
- unter welchen Bedingungen ist ein Festkörper ein Metall, Halbmetall, Halbleiter, Isolator?
- etc.
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3. Lorentzoszillator
- 1905, Erweiterung des Drude-Modells
- massiver, positiv geladener Kern
- leichte kugelförmige Elektronenhülle
- EMW verschiebt Elektronenhülle gegenüber Kern
→ Harmonischer Oszillator
Bewegungsgleichung :
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m ẍ + b ẋ + D x = −e E 0 ei ω t
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3. Lorentzoszillator
m e ẍ + b ẋ + D x = −e E 0 ei ωt
Bewegungsgleichung :
mit
2
ω0 =
D
;
me
2γ =
b
me
x (t ) = x 0 e i ω t
Ansatz :
→
x0 = −
e E0
m e (ω20 + ω2 + 2 i γ ω)
_________________________________________________________________________________
N e x0
n2 = 1 −
ϵ0 E
N e2
n (ω) = ϵ( ω) = 1 +
m e ϵ 0 (ω20 − ω 2 + 2 i γ ω)
2
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3. Lorentzoszillator
- Elektronen folgen anregenden Feld ohne Rückstellkraft: ω0 ≈ 0
13 −1
- ω ph ≈ 10 s
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16 −1
≪ ω ≈ 10 −10 s
→ γ≈0
ωp
2
Dispersion für Metalle: n = 1 − ω
2
( )
Plasmafrequenz :
→ Hohe Reflexion für:
ω < ωp
→ Metall transparent für:
ω > ωp
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√
2
Ne
ωp =
ϵ0 m e
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3. Lorentzoszillator
- Metalle reflektieren oberhalb von λ ≈ 100−300 nm
- erklärt Farbe bei einigen Metallen
- Ausnahmen z.B. Kupfer und Gold
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4. Sommerfeld-Modell
- 1933
- Elektron wird als quantenmechanisches Teilchen betrachtet
→ Elektron als Fermion genügt der Fermi-Dirac-Verteilung
→ Pauli-Prinzip gültig
- immer noch keine Wechselwirkung der Elektronen untereinander
Arnold Sommerfeld
- Elektron befindet sich im Potentialtopf: ebene stehende Wellen sind
Lösungen der Schrödinger-Gleichung
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4.1 Fermi-Kugel
Schrödinger−Gleichung :
̂ Ψ = EΨ
H
Ebene Welle:
Ψ ⃗k (⃗r ) = e
i ⃗k ⃗
r
2
2
ℏ k
→ E=
2m
Periodische Randbedingung :
Ψ ( x , y , z ) = Ψ ( x + L , y , z ) = Ψ ( x , y+ L , z) = Ψ( x , y , z + L)
Diskrete , quantisierte k −Werte :
nx
2
π
⃗k =
L ny
nz
→ Einheitszellen besitzen Kantenlänge
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()
2π
L
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4.1 Fermi-Kugel
- Einheitszellen bilden eine Kugel mit Radius kF
- Für die Anzahl an Elektronen erhält man:
√
Fermi−Wellenvektor :
3 π2 N
kF =
V
Fermi−Geschwindigkeit :
ℏ 3 3π N
vF =
m
V
3
( )
2π
L
=
V k 3F
3π
2
3
√
(
2
2
Fermi−Energie :
2
ℏ 3π N
EF =
2m
V
Fermi−Temperatur :
TF =
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N =2
4π 3
k
3 F
2
3
)
EF
kB
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4.2 Wärmekapazität
3 Ne
2 EF
Zustandsdichte :
D( E) =
Fermi−Dirac−Verteilung :
f (E ,T ) =
√
E
EF
1
E−E F
exp
+1
k BT
(
)
∞
Innere Energie :
U = ∫ E D( E) f ( E , T ) dE
0
2
T
π
C el =
kB Ne
2
TF
Beitrag der Elektronen
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4.2 Wärmekapazität
Zusammen mit phononischen Anteil aus Debye-Modell
Kalium
4
3
T
12
π
T
C ges = π k B N e
+
N kB 3
2
TF
5
ΘD
2
- ΘD: 100 – 1000 K,
TF: 10000 – 100000 K
- phononischer gleich elektronischer Anteil bei niedrigen
C ges
= γ + BT 2
T
Temperaturen, z.B. Silber bei T=1,8 K
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5. Wiedemann-Franz-Gesetz
λ = LT
σ
- 1853, Wiedemann/Franz : Verhältnis von elektr. zu therm. Leitfähigkeit konstant bei jedem Metall,
bei gleicher Temperatur
- 1872, Lorenz:
λ ∝T
σ
→ Lorenz-Zahl L
- 1900, Drude: erste theoretische Erklärung
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5. Wiedemann-Franz-Gesetz
Aus kinetischer Gastheorie:
λ=
1
1
1 2
ρcvΛ = C
v τ
3
3
V
Drude
Sommerfeld
C=
2
v =
(2)
3kBT
m
(3)
2
T
C el = π k B N
2
TF
v 2F =
2
( )
σT
2
( )
3 kB
→ L=
2 e
3
k N
2 B
3 kB
λ=
2 e
aus (2) und (3):
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(1)
≈ 1,114⋅10
−8
2
λ= π
3
aus (2) und (3):
WΩ
K2
2
→ L= π
3
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2kBT F
m
(3)
2
( )
kB
e
σT
2
( )
kB
e
(2)
−8
≈ 2,443⋅10
WΩ
2
K
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Zusammenfassung
1. Einleitung
1.1 Elektronen
1.2 Metalle
2. Drude-Modell
2.1 Ohm'sches Gesetz
2.2 Grenzen des Modells
3. Lorentzoszillator
4. Sommerfeldmodell
4.1 Fermi-Kugel
4.2 Wärmekapazität
5. Wiedemann-Franz-Gesetz
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Quellen
●
●
Becher Christoph, Skript zu Experimentalphysik 3a
Hartmann Uwe, Nanostrukturforschung und Nanotechnologie: Band
1: Grundlagen
●
Kopitzki Konrad, Einführung in die Festkörperphysik
●
Möller Michael, Skript zu Elektronik 1
●
Pelster Rolf, Skript zu Experimentalphysik 4a
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Abbildungen
- 3:
http://www.wissen.de/lexikon/elektron-physik
http://www.pm-magazin.de/a/elektron-im-attosekunden-blitz
- 4 : http://groups.uni-paderborn.de/cc/lehrveranstaltungen/_aac/vorles/skript/kap_5
- 5:
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Na_(Sodium).jpg
http://de.wikipedia.org/wiki/Elektrische_Leitf%C3%A4higkeit
- 6:
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Paul_Drude.jpg
- 7:
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Electrona_in_crystallo_fluentia.svg
- 10: http://www.livenano.org/wp-content/uploads/2011/03/plasmon.jpeg
- 13: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Native_gold_nuggets.jpg
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Copper.jpg
- 14: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Sommerfeld1897.gif
Hartmann Uwe, Nanostrukturforschung und Nanotechnologie: Band 1: Grundlagen
- 16: http://inspirehep.net/record/1181776/plots
- 18: Kopitzki Konrad, Einführung in die Festkörperphysik
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Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!
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