Solvencia II: Capital Económico en Aseguradoras

Solvencia II:
Capital Económico en Aseguradoras
Emiliano Pozuelo de Gracia1
Actuario y Doctor en Economía Financiera, Actuarial y Matemática
Director del Área Técnica de Seguros CajaSur
Resumen: Este trabajo expone las implicaciones más importantes del proyecto Solvencia II
para el Sector Seguros europeo en general y para el español en particular. A su vez la primera
parte del artículo describe los elementos más exclusivos y específicos para la determinación del
capital económico en la industria aseguradora según los principios incluidos en el actual proyecto
de directiva sobre Solvencia II. También propone un modelo para la valoración de las opciones y
garantías intrínsecas en una Póliza de Seguro, así como el capital económico derivado del riesgo
de suscripción, que toma en consideración simultáneamente el riesgo de mortalidad sistemático y
el riesgo de interés, y satisface dos importantes requerimientos para su aplicación práctica: tratamiento analítico y compatibilidad con los modelos de valoración de opciones financieras.
Palabras clave: Solvencia II, valoración consistente con el mercado, capital de solvencia
requerido.
JEL: C15, C32, C63, G22, J11.
Abstract: This article exposes the most important implications of the Solvency II – Proyect
for the European insurance industry in general and for the Spanish especially. According to this,
the firs part of the article describes the most exclusive and specific elements for the determination
of the economic capital of the insurance industry according to the principles included in the current project of directive on Solvency II. Also proposes a model for the valuation of the options
and embedded guarantees in an insurance policy, as well as the economic capital derived from the
risk of subscription, which takes in consideration simultaneously the systematic risk of mortality
and term structure risk of interest rates, and satisfies two important requirements for application
in practice: analytical tractability and compatibility with financial option pricing models.
Title: Solvency II project: economic capital in insurance
Keywords: Solvency II, market consistent valuation, solvency capital requirement.
JEL: C15, C32, C63, G22, J11.
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1
Mi más sincero agradecimiento al profesor Vicente Meneu, Catedrático de Economía Financiera de la Universitat
de València y al profesor Francisco Muñoz, profesor de Economía Financiera de la Universitat de València, por sus
correcciones y aportaciones de indudable valor científico. También he de agradecer sus contribuciones a los componentes
del grupo de investigación Ciencia Actuarial de la Universidad Complutense de Madrid.
Colaboración
1.- INTRODUCCIÓN
Actualmente la Unión Europea se encuentra en un proceso de renovación de los conceptos
contables y de control de las entidades aseguradoras. La Comisión Europea decretó que desde
el año 2005, las compañías de la Unión Europea cotizadas en bolsa deben reportar sus estados
financieros consolidados según un único conjunto de normas, desarrolladas por la IASB2. Debido
a la complejidad del negocio asegurador, resulta complicado establecer un marco especial para los
aspectos contables específicos del seguro. De ahí que en mayo de 2002 el IASB decidió proceder
en su Proyecto de Seguros en dos fases. La primera fase abarca la actual NIIF3 4, y en un sentido
más amplio, la NIC4 32 y la NIC 39. En la segunda fase se están tratando los aspectos mas controvertidos, cómo la valoración de las provisiones técnicas.
Con respecto a los nuevos conceptos de control y supervisión de las entidades aseguradoras,
en el proyecto Solvencia II materializado ya en un borrador de directiva, se ha seguido el método
Lamfalussy5, con vistas a garantizar el oportuno grado de convergencia, la adecuación a la futura
evolución tecnológica y del mercado, así como a la evolución de la reglamentación contable y de
seguros y reaseguros a nivel internacional.
Aunque con ciertos matices, en los últimos planteamientos para el próximo régimen de contabilidad y en la supervisión de entidades aseguradoras, se ha puesto de manifiesto la necesidad de
obtener estimaciones consistentes con el mercado para el pasivo y el activo de las aseguradoras.
Esto supone un enorme cambio en la cuantificación de una de sus partidas de pasivo más importantes: las provisiones técnicas de Seguros de Vida. Tradicionalmente la estimación de estos
compromisos asumidos con los Tomadores, se ha llevado a cabo bajo el auspicio del principio de
prudencia, incorporando ciertos márgenes técnicos y financieros, cuya finalidad no es otra que
cubrir por un lado las posibles desviaciones adversas en la siniestralidad y por otro las opcionalidades y garantías implícitas en la Póliza. El estrechamiento en los márgenes de intermediación
experimentado en los últimos tiempos, ha puesto de manifiesto la necesidad de incorporar en
la valoración, estas opcionalidades y garantías de forma explícita. Además de incorporar en la
valoración estas opcionalidades y garantías, la cuantificación se ha de hacer bajo el prisma de la
situación actualizada de los mercados financieros, así como de las hipótesis técnicas (mortalidad,
morbilidad, longevidad, etc) previsibles a la fecha de valoración.
2
Internacional Accounting Standards Board.
3
Norma Internacional de Información Financiera.
4
5
Norma Internacional de Contabilidad.
Consistente en establecer una serie de principios que, posteriormente, se adaptan mediante la adopción de disposiciones
de aplicación.
Solvencia II: Capital Económico...
Según se establece en la exposición de motivos del mencionado borrador de directiva, un
sistema basado en sólidos principios de valoración económica desvelará la verdadera situación
económica de los aseguradores, redundando en una mayor transparencia y una mayor confianza
en el conjunto del sector. El establecimiento de requisitos legales basados en el riesgo garantizará
un equilibrio justo entre, de un lado, un importante nivel de protección del tomador y, de otro,
costes razonables para los aseguradores.
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Por otra parte los últimos planteamientos contables y de control, requieren que cualquier margen cuya finalidad sea cubrir desviaciones adversas técnicas o financieras figure en las partidas
de recursos propios.
Solvencia II considera como capital disponible por la aseguradora, la diferencia entre el valor
de mercado de los activos y el de los pasivos. En caso de que no exista éste, se considerará la
valoración consistente con el mercado, lo cual suele ocurrir en el caso de las provisiones técnicas.
Para las provisiones técnicas, como se expone más adelante, se obtendrá la mejor estimación del
pasivo, al que se añadirá un margen de riesgo de mercado para los riesgos no replicables en el
mercado.
Respecto a los recursos propios exigibles, Solvencia II establece dos niveles de mínimos. El
primero conocido como Minimum Capital Requirement (MCR), consiste en la cantidad de recursos
propios por debajo del cual no se puede operar. Su estimación debe ser fácil y objetiva. Por encima
del MCR existe lo que se denomina Solvency Capital Requirement (SCR), que se puede interpretar
como capital económico, estimado de modo que tenga en consideración el riesgo global asumido
por la aseguradora. De su comparación con el capital disponible determinado en base al balance
económico, se obtiene el exceso de capital disponible.
Cuadro 1.
Balance económico y recursos propios exigibles
80
Colaboración
En la definición del borrador de directiva de Solvencia II ha jugado un papel fundamental el
CEIOPS6, tanto por sus propuestas como por la realización de los estudios de impacto (QIS). El
QIS 3, ha considerado para la determinación del SCR la desagregación de riesgos que se expone
agrupada por grandes riesgos en el Diagrama 1.
En su medición cobra una gran importancia no solo la situación de los mercados sino también
la experiencia propia de la aseguradora, lo que requiere mejorar los sistemas de información. Adicionalmente será necesario el manejo de técnicas de valoración que incluyan el uso combinado de
metodología actuarial y cuantitativa como puede comprobarse al analizar la cuantificación de las
provisiones técnicas en el próximo apartado.
2. VALORACIÓN CONSISTENTE CON EL MERCADO DE LAS
PROVISIONES TÉCNICAS
La directiva considera como valoración consistente con el mercado la suma de dos partidas, lo
que conocemos como el Best Estimate y el Margin Value Market. La primera supone la valoración
consistente con el mercado de las provisiones técnicas en los términos mencionados en el apartado
anterior. El Margin Value Market se puede considerar como un margen explícito cuyo objetivo
es cubrir los riesgos que no se pueden replicar mediante instrumentos financieros cotizados en
mercado, como el riesgo de mortalidad, morbilidad o longevidad.
Respecto a la cuantificación del Best Estimate, frente al actual sistema de cálculo de las provisiones técnicas, se ha de considerar como hipótesis financieras la situación actualizada de los
mercados. A este respecto existen dos posturas enfrentadas, por un lado, la postura del CEIOPS,
manifestada en el actual borrador de directiva, y por otro, la postura de la IASB exhibida en la
fase 2 sobre la NIIF de seguros. El primero no considera en la determinación del Best Estimate
el spread de crédito de la propia aseguradora, mientras que el segundo considera en su unidad de
medida, conocida como Current Exit Value, este spread de crédito. Se puede argumentar a favor
6
Autoridades de supervisión en seguros y fondos de pensiones de la Unión Europea
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Diagrama 1.
Riesgos considerados en el cálculo del SCR
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de la primera postura que de considerar el spread de crédito de la aseguradora en la valoración de
sus propios compromisos, en caso de empeorar su calidad crediticia se produciría un incremento
en su resultado. En cambio se puede argumentar a favor de la segunda postura que este pasivo es el
activo de “alguien”, y si la aseguradora cancelara su pasivo, el precio que debería de pagar debería
ser el mismo que considera su poseedor. En el presente trabajo se considera la postura adoptada
actualmente por la Unión Europea en su borrador de directiva sobre Solvencia II.
Con respecto a la Estructura Temporal de Tipos de Interés (ETTI), esta no se obtiene de forma
inmediata de los mercados de capitales. Para ello se ha de recurrir a los conocidos como modelos
estáticos de la ETTI, como son los modelos de esplines cuadráticos, cúbicos o exponenciales, o
las técnicas de bootstrapping.
En cuanto a las hipótesis no financieras, y más concretamente las probabilidades de supervivencia y fallecimiento, las tablas de mortalidad consideradas por el sector seguros español
actualmente, GRM/F-95, PERM/F – 2000 P/C y GKM/F – 95, están cuestionadas. El primer
motivo es que consideran implícitamente un margen de seguridad7 para hacer frente a las posibles
desviaciones adversas en la siniestralidad, y como se ha explicado en la introducción, el borrador
de directiva persigue que este margen figure como recursos propios. El segundo motivo es que
la esperanza de vida mejora con el tiempo cronológico y tanto las primeras como las últimas no
tienen en cuenta esta mejora. Y por último ambas, GRM/F-95 y GKM/F – 95, se han determinado
para la población suiza, pudiendo ser diferente la esperanza de vida de la cartera asegurada por
la compañía aseguradora.
Este trabajo presenta el ajuste de la mortalidad a la población andaluza, Pozuelo (2007),
mediante el modelo de Lee – Carter y de Heligman y Pollard, cuyos resultados se exponen en el
Gráfico 1.
Gráfico 1
Tablas de mortalidad ajustadas a la población andaluza, mujeres y hombres.
82
7
Las dos primeras destinadas a seguros que garantizan un cobro a la supervivencia, presuponen una probabilidad
de supervivencia mayor que la esperanza matemática, y las últimas destinadas a seguros que garantizan un cobro al
fallecimiento, consideran una probabilidad de fallecimiento mayor que la esperanza matemática
Colaboración
Con respecto a las opcionalidades y garantías mencionadas previamente, entre las más
comunes en Pólizas de Seguros de Vida, existe el derecho de rescate anticipado, primas
periódicas según una misma base técnica, derecho a dejar de pagar las primas periódicas
comprometidas, participación en los beneficios que genere la inversión de las provisiones
técnicas, capital pagadero a la supervivencia del asegurado convertible en renta vitalicia, etc.
Estas opciones suelen estar fuera de dinero, por lo que para su valoración se ha de recurrir
al cálculo estocástico.
Para modelizar la evolución futura de los tipos de interés hemos de calibrar además de la ETTI,
cuales son las expectativas de los intervinientes en el mercado en cuanto a su evolución futura, es
lo que conocemos como Estructura Temporal de Volatilidad (ETV). Para calibrar esta ETV hemos
de recurrir a instrumentos financieros cotizados en mercado cuyo precio se halla referenciado a
esta evolución. Podríamos calibrar por ejemplo a partir del mercado de Caps o de Swaptions. Al
igual que sucede con la ETTI, la ETVs no se obtiene inmediatamente, sino que tendríamos que
recurrir por ejemplo a técnicas de Stripping de Caplet a partir del mercado de Cap. Por otra parte
para recoger en la valoración la futura evolución de los tipos de interés, podemos escoger de entre
múltiples modelos: modelos afines (Hull-White, CIR, ...), Market Models (BGM, Jamshidiam,
…), Markov Functional Model, …
Aquí se considera el modelo de Hull – White, debido a que presenta expresiones analíticas de
las magnitudes usadas en la valoración y a que su estructura markoviana de baja dimensión permite
su implementación en forma de árbol recombinante. Para ilustrar la aplicación de este modelo, si
se supone unos parámetros de volatilidad, a = 0,0986 y σ =
0,01103, así como la curva cupón
cero de la Tabla 1, se obtiene el árbol trinomial recombinante del Gráfico 2, en el que cada nivel
de tipo de interés futuro tiene asociada una probabilidad de ocurrencia.
€
Tabla 1
Curva cupón cero
t
1
2
3
4
5
P(0, t)
0,977469
0,947188
0,912773
0,875619
0,837634
Solvencia II: Capital Económico...
En primer lugar se analiza la opción de participación en beneficios. Esta opción representa una
asimetría en la medida en que el Tomador participará en el exceso sobre el tipo de interés mínimo
garantizado de la rentabilidad de las inversiones afectas, en cambio no sufrirá un menoscabo en
sus garantías, si la rentabilidad de las inversiones resultase inferior al tipo de interés mínimo. Para
valorar esta opción lo correcto sería modelizar la rentabilidad futura de las inversiones afectas. No
obstante, y dado que para la valoración de las provisiones técnicas se usa la rentabilidad del activo
libre de riesgo, aplicaremos también esta rentabilidad para estimar los flujos de pago adicionales
por este concepto.
83
Gráfico 2
Árbol trinomial recombinante de tipos de interés.
El factor de descuento actuarial8, que representamos por 1 E x +t , tendría un factor de riesgo
que identificamos con el tipo de interés y se determinaría como sigue:
1
€
E x +t = exp(−R(t,t + 1)) ⋅ px +t siendo R (i, i + 1) el tipo de interés vigente en el intervalo (t, t+1) y p x + t , la probabilidad de
supervivencia del asegurado entre t y t+1. El precio de la opción de participación en beneficios se
determinaría, iterativamente desde el vencimiento de la Póliza, descontando y agregando a partir
del resultado para el Tomador de cada escenario considerado, multiplicado por su probabilidad
de ocurrencia.
En lo referente a la opción de rescate, existen dos posturas para su valoración. La primera
considera un flujo de caja más que matiza el resto, estimado según la experiencia propia. La segunda considera el valor de rescate como un suelo a las posibles valoraciones futuras. A favor de
la primera postura podemos argumentar que el comportamiento de los Tomadores no es coherente
con la lógica financiera. Existen modelos de comportamiento de la caída de cartera por rescates
cuyas variables explicativas son diferentes a la evolución de los tipos de interés. A favor de la
segunda podemos argumentar que, independientemente de que el Tomador no rescate cuando correspondería hacerlo, la Aseguradora no podría contabilizar una cifra inferior al valor de rescate,
aunque los tipos de interés así lo determinaran. En el primer caso la valoración se llevaría a cabo
considerando el nuevo flujo de caja determinado en función de su probabilidad de ocurrencia. En
el segundo caso trataríamos el rescate como una opción americana. El borrador de directiva sobre
Solvencia II ha considerado finalmente la primera postura.
84
La última opción planteada es la de capital pagadero a la supervivencia del asegurado,
convertible en renta vitalicia. La última reforma fiscal española ha incorporado la figura de los
denominados Planes Individuales de Ahorro Sistemático (PIAS), cuyo cobro se hace efectivo a
través de una renta vitalicia. La ley del IRPF exime de tributación por el rendimiento obtenido
8
Valor actual actuarial de un euro pagadero a la supervivencia del asegurado, al término del plazo considerado.
Colaboración
durante el plazo de constitución de la renta. En algunos casos el producto se configurará cómo un
capital diferido convertible en renta vitalicia. Si la proporción en la conversión está garantizada,
cobra gran importancia el riesgo inherente a la evolución futura de los tipos de interés, pero también
a la evolución de la mortalidad futura.
Para incorporar en la valoración la evolución de la mortalidad futura, así como las expectativas
de los intervinientes en el mercado, este trabajo propone un modelo estocástico de evolución para la
medida de mortalidad, expuesto en el Anexo 1. Los resultados del ejemplo propuesto en el Anexo
1 se recogen en el Gráfico 3. Considerando independencia entre los tipos de interés y el tanto de
mortalidad y combinando ambos árboles obtenemos la estructura del Gráfico 4.
Gráfico 4
Nodo de árbol trinomial recombinante del tipo de interés y tanto de mortalidad
Solvencia II: Capital Económico...
Gráfico 3
Árbol trinomial del tanto de mortalidad.
85
Una vez construido el modelo anterior, el paso siguiente es la cuantificación del Best Estimate
de las provisiones técnicas teniendo en cuenta todas las opcionalidades.
El Best Estimate de las provisiones técnicas de Seguros de Vida se determina como sigue
donde, E Q [ Gt ] es la esperanza matemática con la información hasta tiempo t, es decir, la esperanza matemática que sigue tras la filtración Gt , bajo la probabilidad Q, riesgo neutro; K (t , T )
es el proceso de las prestaciones y gastos; y Π(t,T) , es el proceso de las primas.
€ El algoritmo de cálculo planteado por este modelo en tiempo discreto, será recurrente desde
el vencimiento del contrato hasta la fecha de cálculo. De forma simplificada, el valor en un nodo
concreto (i, j), será:
€
3 3


V (i, j,k) = exp(−(Ri, j + µ i,k ) ⋅ Δt ) ⋅ Si+1 + ∑ ∑ pr,s ⋅ V (i + 1, j r ,ks )


r=1 s=1
1
+Fi ⋅ (1− exp(−µ1i,k ⋅ Δt))
€
donde Si son prestaciones, gastos o primas (estas con signo negativo) que tienen lugar a la
supervivencia del asegurado y Fi son prestaciones o gastos que tienen lugar al fallecimiento del
asegurado. Las probabilidades, pr,s, determinan la probabilidad de transición hasta el nodo, (i+1, r,
s). Este algoritmo permite la determinación de muchas de las asimetrías en la valoración derivadas
de las opcionalidades y garantías implícitas en la póliza.
Los resultados del ejemplo incluido en Pozuelo (2007), para un Seguro de Vida – Ahorro a 5
años, que garantiza el cobro de un capital a la supervivencia, el cual se incrementa con la participación en los beneficios que generen las inversiones afectas, se resumen en el Gráfico 5. El grosor
del círculo concéntrico determina el Best Estimate sin considerar la opción de participación en
beneficios y la distancia entre los círculos adyacentes el valor de la opción de participación en
beneficios (considerando los incrementos en las prestaciones por participación en beneficios desde
el nodo en cuestión hasta el vencimiento). En el nodo origen el valor de las provisiones técnicas
es de 0,806539 (compuesto de 0,025165 por la opción de participación en beneficios y 0,781374
del resto de opciones y garantías).
86
Colaboración
Gráfico 5
Valoración en el árbol del tanto de mortalidad y del tipo de interés a un año, del Best Estimate de las provisiones técnicas.
El método de los percentiles (método adoptado por el regulador australiano), consiste en considerar como margen de riesgo de mercado la diferencia entre la mejor estimación y un determinado
percentil. Finalmente este enfoque ha sido desestimado como método de cálculo del margen de
riesgo de mercado en el ámbito de Solvencia II, entre otras razones porque no hay motivos para
pensar que un determinado intervalo de confianza es consistente con el mercado.
El método del coste del capital (CoC) será el que se aplicará finalmente, si bien en determinados
Seguros No Vida de cola larga o cuando las circunstancias lo aconsejen se aplicaría el método de
los percentiles. Este método es también el adoptado por el regulador Suizo y supone que la aseguradora que se encuentre en dificultades financieras al final de su horizonte de capitalización (un
año), necesita transferir su activo y pasivo a otra aseguradora. Para los riesgos que no encuentran
cobertura a mercado, la nueva aseguradora deberá mantener un capital mínimo (SCR) para protegerse frente a resultados adversos. Lógicamente esta aseguradora exigirá un rendimiento a este
capital, el cual pasará a formar parte de la valoración del pasivo que se transfiere. El margen de
riesgo de mercado calculado de esta forma será el valor descontado de estos costes futuros.
Dado que aún no se ha incorporado el cálculo de la aportación de cada riesgo a los requerimientos de recursos propios, obviaremos por el momento esta partida.
Solvencia II: Capital Económico...
Una vez obtenido el Best Estimate de las provisiones, hemos de incorporar un margen de riesgo
de mercado para los riesgos no replicables a mercado, es decir, sin cobertura. A este respecto se
plantearon inicialmente dos alternativas, la primera conocida como método de los percentiles y la
segunda como el método del coste del capital.
87
3. CUANTIFICACIÓN DEL SOLVENCY CAPITAL REQUIREMENT
Lo podemos definir como la cantidad de fondos propios necesarios para anular prácticamente la
probabilidad de ruina de la Aseguradora, en el plazo de un año. La medida del riesgo y el intervalo
de confianza han dado que hablar y no está del todo cerrada.
Los planteamientos son el Expected Shortfall (o Tail VaR) al 99% o el VaR al 99,5% de los
resultados proyectados dentro de un año, atendiendo a los riesgos a los que la aseguradora esté
expuesta, y considerando los activos y pasivos a valor de mercado. En el Gráfico 6 se ilustran
ambas medidas del riesgo.
Gráfico 6
Medidas del riesgo para la determinación del SCR.
Aquí el VaR al 99,5% se puede definir como la diferencia entre el resultado adverso cuya probabilidad de ocurrencia es del 0,5% y el resultado esperado, mientras que el Tail VaR al 99% es la
pérdida esperada si se supera el umbral de pérdida especificado (99%). La ventaja más importante
del Tail VaR es que se trata de una medida del riesgo coherente y como tal tiene la propiedad de
subdatividad, monotonía, … En cambio el Tail VaR exige conocer toda la distribución de la cola,
con todas las complicaciones que ello acarrea (concentrarse en las consecuencia de un posible
incumplimiento, conocer las correlaciones en todo el intervalo, ... ).
Para su determinación práctica se establecen dos alternativas, fórmula estándar y modelos
internos.
La fórmula estándar aún no está cerrada, existiendo además varios planteamientos: fórmula
basada en factores, simulación de escenarios, etc. Como ventajas más importantes de la fórmula
estándar tenemos la sencillez de uso y la economía de medios.
88
Respecto a los modelos internos, previamente a su aplicación han de estar aprobados por el
Supervisor. Entre las ventajas de un modelo interno podemos destacar que:
•
Mide los riesgos según la experiencia propia.
Colaboración
•
Proporciona la base para una gestión efectiva de los riesgos.
•
Posibilita evaluar la eficiencia de los mitigadores de riesgo.
•
Exigen menos requisitos de capital.
Si nos centramos en la aplicación de los modelos internos, podemos adoptar dos enfoques,
“bottom up” y “top down”.
El enfoque “bottom up”, consiste en llevar a cabo stress test respecto a cada riesgo de forma
individual, para posteriormente agregar la carga de capital individual con la finalidad de determinar el SCR.
El enfoque “top down”, consiste en construir un modelo de riesgo estocástico que combine los
riesgos de forma simultánea, de manera que la obtención de la distribución del capital requerido
es inmediata.
4.- SUB-RIESGOS DE SUSCRIPCIÓN VIDA
Este artículo se centra en el sub-riesgo de suscripción Vida, por ser este específico del Sector
Seguros. El sub-riesgo de Suscripción Vida a su vez se divide en:
•
Aumento de la mortalidad por un año.
•
Aumento gradual de la mortalidad
•
Incertidumbre de la mortalidad.
•
Longevidad.
•
Volatilidad.
•
Caídas.
•
Gastos
Solvencia II: Capital Económico...
El Consultation Paper 20 (CP-20) del CEIOPS considera un Capital de Solvencia Básico
Requerido (BSCR) obtenido a partir de los sub-riesgos de mercado, contrapartida y suscripción
(Vida y No Vida), que se incrementaría con el sub-riesgo operativo y minoraría con los beneficios
esperados en No Vida. El BSCR a su vez se corregiría con el efecto mitigador de la opción de
participación en beneficios discrecional del ramo de Vida (repercute a los asegurados parte del
resultado adverso cuando es posible).
89
El riesgo de aumento de la mortalidad por un año, no considera cambios en las expectativas
de mortalidad de los años venideros. Podría estar causado por un brote de enfermedad infecciosa y letal. Ej. Epidemia de gripe española de 1918. Para medir este riesgo hay que analizar la
probabilidad de ocurrencia de una pandemia, así cómo las consecuencias que esta tendría en la
mortalidad. Algunas opiniones expertas hablan de un incremento aproximado en todas las edades
de entre un 1 y el 2 por mil.
El riesgo de aumento gradual de la mortalidad, considera el incremento en las probabilidades
de fallecimiento a largo plazo. Se podría deber por ejemplo a un cambio en las costumbres de la
población, ej.: obesidad debida a la comida rápida, etc.
El riesgo de incertidumbre de la mortalidad es el riesgo de desconocimiento de la mortalidad
futura debido a su ajuste a partir de fuentes poco fiables o abundantes.
El riesgo de longevidad es el riesgo de incremento en las probabilidades de supervivencia a
largo plazo.
Estos cuatro sub-riesgos proporcionan a la aseguradora un riesgo técnico sistemático, o de
desconocimiento de la prestación esperada. El aumento de la mortalidad ocasiona más prestaciones en Seguros de Vida – Riesgo y menos prestaciones en Seguros de Vida - Ahorro (capitales
diferidos y rentas).
Este riesgo se puede diversificar con carteras compensadas de Vida – Riesgo y Vida – Ahorro.
Para analizarlo, volvemos a nuestro ajuste de tablas de mortalidad para la población andaluza y
más concretamente uno de los modelos aplicados para su ajuste, el modelo de Lee-Carter.
El modelo de Lee – Carter (1992), ajusta a la medida de mortalidad la función
ln(qxt ) = ax + bx kt + ε'xt €
Los parámetros a x y bx son los parámetros que dependen de la edad, siendo bx el factor
que captura la dinamicidad del proceso. Este modelo relaciona las tasas de mortalidad por edad
con un único factor no observable kt que engloba las características generales de la mortalidad en
el año t, conocido como “índice de mortalidad”. Para este término ha ajustado bien un modelo
ARIMA(0,1,0), con constante negativa cuya expresión es
kt = c + k t−1 + εt donde c es la constante y
€
90
εt , es ruido blanco, es decir, εt ~ N(0,σε ) .
A partir de la normal anterior y para una mujer andaluza de 70 años de edad en el futuro, obtenemos la distribución de probabilidad para la medida de mortalidad, recogida en el Gráfico 7,
lo que permite simular la medida de fallecimiento futura.
€
€
€
Colaboración
Gráfico 7
Distribución de la medida de mortalidad futura de una mujer andaluza de 70 años.
Otro de los riesgos considerados es el de volatilidad el cual se concreta en el horizonte temporal
de un año. Una vez conocida la mortalidad esperada, la mortalidad real fluctuará alrededor de la
primera. Esto provoca a la aseguradora el riesgo técnico no sistemático, el cual es diversificable
al incrementar el tamaño de la aseguradora.
Si bien podríamos considerar a partir de la mortalidad esperada una simulación por Montecarlo, la International Actuarial Association propone la aproximación Normal Power, a partir de
los tres primeros momentos de la distribución de Poisson Compuesta, con mucha menos carga
computacional.
El riesgo de caída se refiere a la alteración de los compromisos de la aseguradora debido a
otros derechos adquiridos por los Tomadores de las Pólizas. El Tomador puede rescatar, reducir,
rehabilitar una Póliza reducida, solicitar anticipo, etc. Se podría estudiar el comportamiento del
Tomador en base a información histórica, con la finalidad de establecer un modelo estadístico. El
riesgo vendría determinado a partir de la volatilidad observada.
El riesgo de gastos es el riesgo de que los gastos previstos en la determinación del Best Estimate resulten insuficientes para los realmente incurridos. Para analizar el riesgo de inflación de
gastos, algunos expertos proponen el Análisis de Componentes Principales. Esta técnica consiste
en transformar un número de variables potencialmente correladas en un número menor de variables
no correladas llamadas componentes principales. La curva de inflación vendría explicada en su
mayor parte por los primeros componentes principales.
Solvencia II: Capital Económico...
A partir de la simulación de escenarios se obtiene la distribución de probabilidad del Best
Estimate para dentro de un año así cómo de las prestaciones abonadas.
91
5.- AGREGACIÓN DE SUB-RIESGOS
Otros sub-riesgos considerados por el CP-20 son el de mercado y contrapartida.
Dentro del subriesgo de mercado a su vez considera la siguiente desagregación:
•
Tipo de interés.
•
Renta variable.
•
Inmuebles.
•
Divisas.
•
Diferencial.
•
Concentración.
El riesgo de contrapartida hace referencia aquí al riesgo derivado del posible default de un
tercero, con el que mantenemos un contrato destinado a la inmunización de algún riesgo técnico
o financiero (reaseguradores o emisores de derivados financieros).
En cuanto a la agregación de riesgos un enfoque de arriba abajo no requeriría de una agregación. No obstante su aplicación práctica cuenta con enormes complicaciones. Lo habitual es un
enfoque de abajo arriba, con lo cual una vez determinada la carga de capital para cada sub-riesgo,
es necesaria su agregación. Tendríamos, entre otras, dos posibilidades: matriz de correlaciones y
aplicación de la teoría de cópulas.
La agregación de riesgos mediante una matriz de correlaciones,
plemente como sigue
ρ i, j , se llevaría a cabo sim-
 SR1 
  €
SR
BSCR = [ SR1,SR2 ,...SRn ] × M nxn ×  2   ... 
 
SRn 
€
92
donde SRi es el capital requerido para el sub-riesgo “i”, y Mnxn es la matriz de correlación entre
los sub-riesgos.
En cuanto a la teoría de cópulas, tenemos que una n-dimensional cópula, C, es una n-dimensional
función de distribución con distribución marginal uniforme. La estructura de dependencia entre
los riesgos, SR1,SR2 ,...SRn , se halla descrita por C, si la función de distribución F de estos
sub-riesgos viene dada por:
Colaboración
F ( SR1,SR2 ,...SRn ) = C ( F1 (SR1 ),F2 (SR2 ),...Fn (SRn )) donde
La elección de la cópula, C, óptima se complica enormemente debido a la falta de experiencia
en los extremos de las distribuciones. La carga computacional también es considerable. Por otra
€ aplicación en seguros son las arquimedianas (se incluye
parte, las cópulas más idóneas para su
una ilustración de la Cópula de Frank y la Cópula de Gumbel para dos sub-riesgos en los Gráficos
8 y 9).
Si bien la aplicación de la teoría de cópulas se complica enormemente respecto al uso de la
matriz de correlaciones, tenemos que: la última considera distribución normal de cada sub-riesgo.
Sin embargo:
•
La distribución de pérdidas es usualmente asimétrica y de cola gruesa.
•
La dependencia entre subriesgos incrementa normalmente en las colas.
Gráfico 8
Cópula de Frank para dos sub-riesgos
Solvencia II: Capital Económico...
€
F1 denota la distribución marginal de SRi .
93
Gráfico 9
Cópula de Gumbel para dos sub-riesgos
6.- CONCLUSIONES
El nuevo panorama plantea todo un reto para las Aseguradoras y sus profesionales. La inversión
en formación, minorará con toda probabilidad los requerimientos de capital en el futuro.
Los modelos internos requerirán además del dominio de técnicas cuantitativas y actuariales,
un exhaustivo conocimiento del negocio propio. Para validar un modelo interno el supervisor
comprobará no sólo su calidad estadística y adecuada calibración, sino también que la Aseguradora
aplica los resultados del modelo interno en su gestión y administración.
Buena parte de las aseguradoras españolas ya usan técnicas cuantitativas para su gestión. En
estos casos alinear sus modelos según los requerimientos que establezca Solvencia II, será siempre
más sencillo. Las demás deberían llevar a cabo una reorganización interna para hacer realidad un
sistema de control interno efectivo y una gestión de riesgos integral y real.
Como se expuso ampliamente en la jornada internacional sobre Solvencia II del 30 de noviembre
2006, UNESPA (2006), los que esperen al BOE no llegarán nunca.
94
7. ANEXO: MODELIZACIÓN ESTOCÁSTICA DE LA ESTRUCTURA
TEMPORAL DEL TANTO DE MORTALIDAD
7.1. Resultados analíticos
Partiendo de la tabla de mortalidad dinámica, que establece para cada generación una cohorte
de 10n individuos, cuyo descenso gradual hasta la edad máxima, ω ,
determina la esperanza matemática de las probabilidades de supervivencia y fallecimiento, se define
T −t
px +t =
lx +T
l€
x +t
como la probabilidad de supervivencia en el intervalo
El tanto instantáneo o fuerza de mortalidad, cómo
[t, T ], según la probabilidad real, P .
€
que sigue un proceso estocástico que se rige por la siguiente Ecuación Diferencial Estocástica
dµx (t) = (θ (t) − aµx (t))dt + σdW (t) Se introduce la probabilidad de supervivencia del Asegurado en t ,
€
 t

p
=
exp
−
µ
(s)ds


∫
t x
x
 0

para considerar que existe una medida de probabilidad, Q , riesgo neutro, para la cual las probabilidades de supervivencia del Asegurado en t, T , condicionadas a la supervivencia en t ,
[ ]
€
t/τ px = t px ⋅T −t px +t ,
son martingala. Esto permite determinar la probabilidad de supervivencia en el intervalo
se considera que tiene un solo factor de riesgo, identificado con el
[T − t ] ,
T −t px +t , la cual
€
tanto instantáneo de mortalidad,
µx (t)
, y representado por, τ px +t (µx (t)) , siendo τ = T − t . Aplicando Itô – Taylor se obtiene
€
 ∂p

∂p
1 ∂2 p
2
dt +
dµ +
(d
µ
)
(t,T) τ px +t (µx (t)) = 
∂µ € 2 ∂ µ 2
 ∂t
 €
€
 ∂p
∂p 1 2 ∂2 p 
∂p
(t,T)dt + σ
=  dt + m
+ σ
(t,T)dW (t)
2
∂ µ 2 ∂µ 
∂µ
 ∂t
€
Solvencia II: Capital Económico...
€
Colaboración
95
donde se ha incluido el coeficiente de deriva,
m(t) = (θ (t) − aµx (t))
.
Si se identifica
 ∂p
∂p 1 2 ∂2 p 
€
p
(
µ
(t))
⋅
m
(t,T)
=
dt
+
m
+ σ

(t,T) τ x +t
x
p
∂µ 2 ∂ µ 2 
 ∂t
τ
€
px +t (µx (t)) ⋅ σ p (t,T) = σ (t, µ)
∂p
(t,T) ∂µ
se puede escribir
d τ px +t (µx (t))=τ px +t (µx (t)) ⋅ ( m p (t,T) + σ p (t,T)dW (t)) €
En cuanto al cambio a la medida de probabilidad,
€
€
π (t) = −
Q , riesgo neutro, se considera
m p (t,T) − µ(t)
σ p (t,T)
como una prima asociada al factor de riesgo, e independiente del plazo
nueva medida de probabilidad, τ px +t (µx (t)) , cumple
[t, T ]. Así bajo esta
d τ px +t (µx (t))=τ px +t (µx (t)) ⋅ ((µx (t) − σ p (t,T)π (t))dt + σ p (t,T)dW (t)) Aplicando el teorema
€ de Girsanov se puede escribir lo anterior como
€
d τ px +t (µx (t))=τ px +t (µx (t)) ⋅ (µx (t)dt + σ p (t,T)dW˜ (t)) (8.1)
donde
dW˜ = dW − π (t)dt €
€
Asimismo bajo esta medida, la difusión de la probabilidad de supervivencia futura tendría lugar
bajo un nuevo coeficiente de deriva, así
 ∂p
∂p 1 2 ∂2 p 
˜
p
(
µ
(t))
⋅
m
(t,T)
=
dt
+
(m
+
σπ
(t))
+ σ

(t,T) τ x +t
x
p
∂ µ 2 ∂µ 2 
 ∂t
por lo que se tiene que
96
€
(8.2)
Colaboración
Combinando (8.1) y (8.2) se llega a:
así como la condición final
0
p x +T = 1 para todo
en t = T .
Se puede comprobar que este modelo presenta características de los modelos afines de tipos
de interés, al encontrar el anterior problema de valor final una solución de la forma
Diferenciando en el problema de valor final ésta expresión respecto a
€
y
Dividiendo por
anterior expresión se llega a
.
y teniendo en cuenta que para todo µx se ha de cumplir la
€
equivale a decir que A(0) = 1 y. B (0) = 0 . Se obtiene,
La condición
La primera ecuación se resuelve a partir de lo anterior e integrando en
€
s ∈ [ t,T ],
Solvencia II: Capital Económico...
siendo
t y a µx se tiene:
97
7.2. Implementación numérica
Se implementá numéricamente el anterior proceso estocástico a través de un árbol trinomial
recombinante. Para ello se supondrá que la difusión tiene lugar cada período de tiempo Δt , para
lo cual se define el tanto de mortalidad a un plazo [ t,t + Δt ] t +Δt
µ
Δt
x +t
=
∫ µ (s)ds
€
x
€
t
€
€
de modo que la probabilidad de supervivencia del asegurado de edad
.
[t,t + Δt ] será
x + t durante el plazo
En adelante, para simplificar la exposición se obviará la referencia al tiempo cronológico y al
tiempo biométrico. Por otra parte y dado que la tabla de mortalidad se suele ajustar para tramos
de un año de duración, se fijará para el tanto de mortalidad un plazo x + t . De esta manera a
partir de la tabla de mortalidad ajustada se obtiene:
€
Se supondrá que el tanto de mortalidad a un año, µt , es un proceso estocástico que sigue la
dinámica expuesta para el tanto instantáneo de mortalidad, µ (t)
, de modo que:
x
€
€
A continuación se considera el proceso µt separado en dos componentes: una determinística
y otra estocástica con nivel de reversión a 0, como sigue
µt = S t + Ω t donde
€
µ = St + Ωt es una función determinística que únicamente depende de t . Su finalidad es que el proceso
€t
replique la tabla de mortalidad ajustada
S t es un proceso estocástico similar a µt pero con nivel de reversión a 0.
El primer paso consiste en el ajuste del proceso estocástico auxiliar
98
dSt = −aSt dt + σdW t 
 €
S0 = 0

S t , cuya evolución será
Colaboración
y para cuyos saltos en tiempo discreto se consideran esperanzas y varianzas condicionales:
E [ Si − Si−1 Si−1 ] = M ⋅ Si−1 


V [ Si − Si−1 Si−1 ] = V 
2
−2a
M = (e−a −1) y V = σ (1− e ) .
2a
2
Para parámetros a y σ constantes, se fijan valores de S t , cuyo valor será múltiplo de un
espacio, ΔS
. Se identifican los valores del proceso S i , por S(i, j) ≡ S(iΔt, jΔS) .
€
Dado que se pretende
ajustar tres condiciones: media, varianza y probabilidades de transición,
€
€ árboles con ramificación trinomial. La configuraciones posibles serán las conse han de construir
€ sideradas en el Gráfico 3, que se incluye en el apartado
€ 2.
donde
Gráfico 3
Árbol trinomial del tanto de mortalidad.
Las probabilidades de transición entre nodos dependen de la configuración de que se trate,
siendo para la configuración normal las siguientes:
Solvencia II: Capital Económico...
€
99
donde
p1 ( j ) : probabilidad de transición del nodo
a (i, j + 1) ;
p 2 ( j ) : probabilidad de transición del nodo (i −1, j)
a (i, j ) ;
p3 ( j ) : probabilidad de transición del nodo (i −1, j)
a (i, j −1)
.
Para la configuración ascendente, €
las probabilidades de transición son:
€
€
donde
p1 ( j ) : probabilidad de transición del nodo (i −1, j)
a (i, j + 2) ;
p 2 ( j ) : probabilidad de transición del nodo (i −1, j)
a (i, j + 1) ;
p3 ( j ) : probabilidad de transición del nodo (i −1, j)
a (i, j ) .
€
€
100
€
€
Colaboración
Por último en la configuración descendente las probabilidades de transición son:
donde,
p1 ( j ) : probabilidad de transición del nodo
a (i, j ) ;
p 2 ( j ) : probabilidad de transición del nodo (i −1, j)
a (i, j −1)
;
p3 ( j ) : probabilidad de transición del nodo (i −1, j)
a
.
0,1835  ,
L =

 M 
€
de manera que,
€
-L ≤ j ≤ L → central
j > L → descendente
j < L → ascendente
Para ilustrar lo anterior se expone un ejemplo. Partiendo de unos parámetros a =0,203954 y
a
= 0,45231%. Siguiendo el proceso ya descrito se obtienen los valores para las probabilidades
de transición incluidos en la Tabla 2 y los valores del proceso auxiliar S t que aparecen en la
Tabla 3.
Solvencia II: Capital Económico...
La regla para decidir la ramificación
€ adecuada€para cada nodo, será una vez definida
101
Tabla 2
Probabilidades de transición en el árbol del tanto de mortalidad (estacionarias).
J
p1(j)
p2(j)
p3(j)
1
0,906937
0,001627
0,091437
0
0,166667
0,666667
0,166667
-1
0,091437
0,001627
0,906937
Tabla 3
Valores temporales en el árbol de la variable St.
J
S i, j
1
0,70992%
0
0,00000%
-1
-0,70992%
A partir de tener identificado el árbol para el proceso, S t , el segundo paso en la implementación del modelo consiste en convertir este árbol en el correspondiente al tanto de mortalidad,
µt , de manera que quede replicada la tabla de mortalidad del asegurado correspondiente. Para
determinar los valores, µi, j ≡ µx,y (iΔt, jΔS)
, lo único que resta es determinar en cada período
las cantidades, Ω ≡ Ω(iΔt) . Para ello nos apoyaremos en los razonamientos que sugieren los
i
precios Arrow – Debreu. El sentido económico que le atribuiremos a éstos seudo – precios Arrow
– Debreu, Qi , j , será el valor probable de un euro prometido en el escenario correspondiente a:
€
€
•
€
supervivencia del asegurado en i , y
•
que el tanto de mortalidad
µi, j se halle en el nodo, j , para el intervalo i .
El proceso sería el que sigue:
 
Q0, 0 = 1. Así cómo Ω0 = µ0 = −log lx +1   lx 
2. Los seudo - precios Arrow – Debreu, Q1,1 , Q1, 0 y Q1,−1 , se determinan cómo:
1.
Inicializamos el€algoritmo con
102
€
€
Colaboración
Q1,1 = Q0,0 ⋅ p3 (1) ⋅ px 


Q1,0 = Q0,0 ⋅ p2 (0) ⋅ px  

Q1,−1 = Q0,0 ⋅ p1 (−1) ⋅ px 
siendo
3.
px =
l x +1
, la probabilidad de supervivencia a un año.
lx
€
A partir de todos los seudo - precios
Qi , j , para tiempo, i, se puede calcular Ωi .
Transcurrido el primer año, la probabilidad,
p x +1 , dependerá de cada nodo:
€
Aplicando Bayes se determina inmediatamente que:
2
px = Q1,1 exp(−(Ω1 + ΔS)) + Q1,0 exp(−Ω1 ) + Q1,−1 exp(−(Ω1 − ΔS))
Por lo que se obtiene la expresión
€
Y ya es inmediato obtener los valores
Solvencia II: Capital Económico...
103
El enfoque anterior proporciona un algoritmo recursivo, ya que en general
Los seudo – precios Arrow – Debreu para el ejemplo incluido se incluyen en la Tabla 4
y los valores correspondientes a µi, j en la Tabla 5.
Tabla 4
Valores temporales de los precios Arrow-Debreu para el tanto de mortalidad.
€
J
0
1
2
3
4
1
0,164584
0,269280
0,334385
0,373259
0
0,658335
0,433295
0,285227
0,187917
-1
0,164584
0,271159
0,338974
0,380767
1,000000
Tabla 5
Valores temporales en el árbol del tanto de mortalidad.
J
0
1
2
3
4
1
2,11482%
2,28046%
2,46667%
2,68457%
0
1,40490%
1,57054%
1,75675%
1,97465%
-1
0,69497%
0,86062%
1,04683%
1,26473%
1,25767%
A.1.3. Calibración del modelo para el tanto de mortalidad
104
La construcción del árbol trinomial para el tanto de mortalidad se sirve de la tabla de mortalidad
ajustada, de modo que las probabilidades de supervivencia obtenidas con la tabla de mortalidad son
Colaboración
equivalentes a las proporcionadas por el árbol trinomial. La calibración que persigue este apartado
es la determinación de los parámetros de volatilidad a y σ .
El objetivo es pasar de la probabilidad real, P , a una probabilidad martingala riesgo – neutro, Q , que considere las expectativas de los intervinientes en el mercado, en cuanto a la futura
€
evolución de la medida de mortalidad.
Lamentablemente no existe un mercado de instrumentos financieros líquido, cuyo subyacente
sea el tanto de mortalidad. Son muy pocos los antecedentes de instrumentos financieros cotizados
que consideran la medida de mortalidad, como el EIB/BNP Long – term longevity bond, de noviembre 2004, y el Swis – Re Short – term.
Aquí se expone cómo calibrar el modelo expuesto a partir de un derivado, que tomará cómo
subyacente una renta vitalicia, constante a prima única, que se devenga en un tiempo posterior,
T , a la fecha de valoración t . Es lo que Schrager (2006) denomina GAOs (Guaranteed Annuity
Options).
Se denotará por R x (t , T ) , la cuantía determinada en t , de una pensión vitalicia constante
y pagadera a partir de T (diferida por tiempo T − t ), por períodos vencidos de longitud, Δt , a cambio de una prima única de un euro, sin gastos que se devengará asimismo en T . El valor
razonable en t, de R x (t , T ) resulta sin considerar riesgo de crédito
€
€
τ = T − t.
E x +t =τ px +t ⋅ P(t,T)Q ⇒ valor actual actuarial en t , de un euro prometido en T , para
un persona de edad x + t , en t , bajo la probabilidad martingala riesgo neutro, Q .
Q
Q
τ
€
ω −T −1
€
τ /ax +t Q =
∑
i− t
i= T +1
Q
px +t ⋅ P(t,i)Q ⇒ constante y postpagable pagadera a partir de
probabilidad martingala riesgo neutro, Q .
€
€
€
valor actual actuarial en t , de una renta vitalicia,
T , para un persona de edad x + t , en t , bajo la
ω : edad máxima que puede alcanzar la persona.
P(t,T)Q ⇒ precio del bono cupón cero en t , con vencimiento en T , bajo la probabilidad
martingala riesgo neutro, Q .
La valoración de la pensión determinada en
Solvencia II: Capital Económico...
siendo
T , sería en cambio
105
Se considera a continuación que existe una medida de probabilidad
la cual
Q x , equivalente según
es martingala, siendo V (t ) el proceso correspondiente a un instrumento financiero que cotiza en el mercado. Bajo esta medida de probabilidad, Q x , tenemos que R x (t , T ) es martingala,
viniendo reglada su evolución según la siguiente EDE
siendo
dZ(t) : movimiento Browniano para la evolución de la medida de mortalidad, según la nueva
medida de probabilidad Q x .
σ x (t,T) : proceso de la volatilidad de R x (t , T ) , respecto de los cambios en la medida de
€
mortalidad.
€
dW (t) :
movimiento Browniano para la evolución de los tipos de interés sin riesgo, según la
nueva medida de probabilidad Q x .
€
interés.
σ P (t,T)
: proceso de la volatilidad de R (t , T ) , respecto de los cambios en los tipos de
x
€
€
Si se parte de que σ x (t,T) y σ P (t,T)
son determinísticos, entonces R x ( s, T ) para
t < s ≤ T es log-normal bajo Q x , siendo


E Qx [ Rx (s,T) Gt ] = Rx (t,T)
€
€


s

2
2
VarQx [ Rx (s,T) Gt ] = ∫ σ x (u,T) + σ P (u,T) du

t
(
donde
€
106
)
Gt representa toda la información disponible en t .
Se considera a continuación un contrato que tiene una garantía referenciada a esta pensión
vitalicia anual a partir de T . En el mercado abierto, cada euro en tiempo T , garantiza una pensión
vitalicia anual de R x (T , T ) (suponiendo ausencia de gastos y a valor razonable). El mencionado
contrato garantiza que la pensión por cada euro de prima en T , será cómo mínimo de K , por
lo que se obtendrá
max{K , R x (T , T )}
lo cual en términos de
R x (T , T ) , será
Colaboración
max{K,Rx (T,T)}
= 1+ Op(T)
Rx (T,T)
donde
€
se puede escribir cómo
.
€
Definimos
,
lo cual será de utilidad más adelante en la expresión 8.3, debido a que el valor de
independiente de la tabla de mortalidad en uso en tiempo T .
Por otra parte, el valor total del contrato en
al número de supervivientes será
l x +T ×max{K , R x (T , T )}×a x +T
l x +T es
T , teniendo en cuenta este nominal referenciado
Q
y el de la opción implícita
Op(t)
en t , de manera que τ /a Q ,
Suponemos que la opción implícita se cotiza con precio
x +t
es martingala bajo la medida de probabilidad Q x . La propiedad martingala de Q x , implica que
 Op(T) 
Op(t)
Q = E Qx 
Q Gt  τ /ax +t

 τ /ax +t
€


(K − Rx (T,T)) +
G
= E Qx€lx +T ⋅
t 
Q
Rx (T,T) ⋅ τ /ax +t


€
Solvencia II: Capital Económico...
€
(K − Rx (T,T)) +
: representa el valor en T de la opción implícita.
Rx (T,T)
Consideramos además que de un número inicial de asegurados, l x , de referencia cómo nominal, cobrarán los que sigan vivos en T , y que denotamos por l x +T . Asimismo con la información
hasta T , GT , tenemos que el número de asegurados, l x +T , sigue una distribución binomial de
parámetros l x + t y
,
determinándose su valor esperado cómo l ⋅ p Q , lo que también
x +t τ x +t
Op(T) =
107
€
 
 
(K − Rx (T,T)) +

= E Qx  E Qx lx +T ⋅
G
T  Gt Q
Rx (T,T) ⋅ τ /ax +t
 
 


(K − Rx (T,T)) +
G
= E Qx  E Qx [ lx +T GT ]
t 
Q
Rx (T,T) ⋅ τ /ax +t


€
+


Q (K − Rx (T,T))
(8.3)
G
= E Qx n(t)T px
 t
Q
R
(T,T)
⋅
τ
/a


x
x +t
€
[
]
= E Qx n(t)(K − Rx (T,T)) + Gt €
Llegando de éste modo a que:
Q
€
= n(t) ⋅ τ /ax +t ⋅ (KΦ(−d2 ) − Rx (t,T)Φ(−d1 )) Op(t)
donde,
€
2
log Rx (t,T) /K ± 12 σ Rx
d1,2 =
σ Rx
€
Φ(⋅) : distribución acumulada de la normal estándar.
T
€
σ Rx 2 =
∫ (σ
2
x
2
)
(u,T) + σ P (u,T) du t
€
€
Los parámetros, a y
nimizaran esta distancia
.
σ , para los que el modelo quedaría calibrado, serían aquellos que mi-
 n Op − M (a,σ ) 
i
€ argmin ∑ i



Op
i
i=1


siendo,
108
€
Opi : el precio de mercado del instrumento financiero descrito, y
€
M i (a,σ ) : el valor proporcionado por el modelo para este instrumento, considerando difusión
en los tipos de interés y el tanto de mortalidad.
Colaboración
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110
Notas
NOTAS
111