Röntgen Computertomographie (CT) - Klinik für Epileptologie in Bonn

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Röntgen Computertomographie (CT)
Hounsfield, 1969
Zusätzliche Literatur:
W.A. Kalender: Computertomographie
Publicis MCD Verlag, 2000
Entwicklung der CT im historischen Überblick
1895
W.C. Röntgen entdeckt eine 'neue Art von Strahlen',
die später nach ihm als Röntgenstrahlen benannt werden
1917
J.H. Radon entwickelt die mathematischen Grundlagen zur
Errechnung von Querschnittsbildern aus Transmissionsmessungen
1960/1970 Verbesserung der Computertechnologie
1972
G.N. Hounsfield und J. Ambrose führen erste klinische
Untersuchungen mit Computertomographie durch
1975
erster Ganzkörpertomograph im klinischen Einsatz
1979
Verleihung des Nobelpreises an Hounsfield und Cormack
1989
erste klinische Untersuchungen mit Spiral-CT
1998
erste klinische Untersuchungen mit Mehrzeilen-Spiral-CT
2000
ca. 30 000 klinische Spiral-CT- Installationen weltweit
1974
1994
1974
Bildmatrix: 80 x 80
2000
Bildmatrix: 512 x 512
Spiral-CT
Hounsfield, 1969
moderner CT-Scanner
Probleme der Projektionsradiographie:
Röntgenbild:
- modulierte Verteilung der durch Gewebe transmittierten
Röntgenquanten
- 2D Projektion der Schwächungseigenschaften des Gewebes
- Überlagerungsbild: alle durchstrahlten Volumenelemente
tragen zur Schwächung bei
- Linienintegral der Abschwächung:
− µ( x,y,z)dl
JD = J 0e ∫
- Kontrast: Strukturen mit großem µ (Knochen) bzw.
Dickenunterschiede; Weichteilgewebe nicht darstellbar
- Projektionsradiographie ist nicht tomographisch
?
homogenes Objekt; mono-chromatische Strahlung
JD = J 0 ⋅ e− µd
J0
P = ln
= µ ⋅d
JD
J0
J0
1
µ = ⋅ ln
d
JD
JD
P = Projektionswert
inhomogenes Objekt; mono-chromatische Strahlung
JD = J 0 ⋅ e
− µ1d1 − µ 2 d 2 − µ 3 d 3 −...
d
= J0 ⋅ e
J0
JD
− ∑ µ i ⋅d i
i
= J0 ⋅ e
J0
P = ln
= ∑ µi ⋅ di
JD i
µ i = ??
− ∫ µds
0
inhomogenes Objekt; poly-chromatische Strahlung
d
Emax
JD = ∫ J 0 (E) ⋅ e
0
J0
JD
J0
P = ln
JD
µ ( x, y ) = ??
− ∫ µds
0
dE
Prinzipien
der
Röntgen-Computertomographie
Prinzip der Computertomographie:
- messe räumliche Verteilung einer physikalischen
Eigenschaft [µ(x,y)] des zu untersuchenden Objekts
- errechne aus Meßwerten überlagerungsfreie Bilder
(Radon-Transformation und Fourier-Scheiben-Theorem)
Idee: Aufnahme einzelner Schichten
betrachte menschlicher Körper als
ein aus endlich vielen diskreten
Volumenelementen zusammengesetztes Objekt
x
in grober Auflösung:
- einzelne transversale Schichten der Dicke s
- Schichten zusammengesetzt aus diskreten quaderförmigen
Volumenelementen
Volumenelement:
Bildelement:
Voxel (volume element)
Pixel (picture element)
Messung von Schichtbildern und inverses Problem
Inverses Problem: Gegeben eine Menge Np von Messungen
(Schichtbilder) außerhalb eines Objektes, bestimme die Verteilung
der physikalischen Kenngröße µ innerhalb des Objektes
J. Radon (1917): Die 2D-Verteilung einer Objekteigenschaft kann
exakt beschrieben werden, wenn eine unendliche Anzahl von
Linienintegralen vorliegt.
⇒ Durch eine endliche Anzahl Np von Messungen kann die
Verteilung µ(x,y) ausreichend approximiert werden
Vorwärtsproblem: gegeben µ(x,y) innerhalb des Objekts, bestimme
Ergebnis der Messung außerhalb des Objekts.
Einfachstes Meßprinzip der CT
Nadelstrahl
Moderne CT-Scanner:
800-1500 Projektionen
mit ca. 600-1200 Meßwerten
pro Projektion
Mit Radon Vorgabe:
erst Translation
(ergibt Projektion)
dann
Rotation (min. 180°)
Radon-Transformation (I)
J. Radon (1917): Die 2D-Verteilung einer Objekteigenschaft kann
exakt beschrieben werden, wenn eine unendliche Anzahl von
Linienintegralen vorliegt.
sei f(x,y) beliebige integrierbare Funktion
beschreibe f(x,y) durch alle geraden
Linienintegrale durch Definitionsgebiet
von f(x,y):
+∞
∫ f (x(l), y (l) )dl
−∞
Radon-Transformation (II)
naiver Ansatz: integriere nacheinander durch alle Punkte
über alle Richtungen
⇒ einige Linienintegrale sind identisch
⇒ wähle geeignetes Ordnungsschema, so dass alle Linienintegrale nur
einmal vorkommen (Hesse Normalform)
∫ f ( x, y )dl = p (Θ, s )
rr
e ⋅r = s
r
e = Einheitsvektor in Richtung Θ
Θ = Winkel zwischen Integrationslinie
und Normalen durch Null
Radon-Transformation (III)
mit Θ ∈[0°,180°] und mit allen s: (smin < s < smax )
⇒ alle möglichen Linienintegrale p(Θ,s) über Funktion f(x,y)
Radon-Transformation:
Übertragung der Werte der Linienintegrale in p(Θ,s)-Diagramm
Eine Linie in der Radontransformierten mit Θ =const nennt man
Projektion pΘ(s)
pΘ(s) = Zahlenfolge
aller Linienintegrale
über f(x,y) mit
Θ =const und variablem
Abstand s zum
Koordinatenursprung
Radon-Transformation (III-1)
Berechnung der Radontransformierten für Θ=0
Radon-Transformation (III-2)
Berechnung der Radontransformierten für Θ ≠ 0
Fourier-Scheiben-Theorem (I)
- Messung mit Nadelstrahl für gegebenen Winkel Θ und Abstand s
vom Koordinatenursprung (Projektionswerte pΘ(s)) entspricht der
Radontransformierten des Bildes.
- Mit Hilfe des Fourier-Scheiben-Theorems läßt sich aus der Radontransformierten die Funktion f(x,y) bestimmen (d.h. µ(x,y))
Zusammenhang zwischen Radon- und Fourier-Transformation
(Projektionssatz oder Fourier-Scheiben-Theorem):
r
r r
sei Rf(e , s ) = ∫ f (r )dr Radontransformierte des Objekts f
rr
e ⋅r
⇒
G (α ) = F (u , v) für (u , v) = α ⋅ (cos Θ, sin Θ)
mit
G (α ) = F1 {RΘ f ( s )}
F (u , v) = F2 { f ( x, y )}
→ µ(x,y) durch inverse 2D-FT
Fourier-Scheiben-Theorem (Beweis für Θ=0)
Projektion zum Winkel Θ=0
Fourier-Scheiben-Theorem (Beweis für Θ=0)
Def.:
1D-FT(pΘ=0(s)) ergibt Werte der 2D-FT von f(x,y) auf der u-Achse
Fourier-Scheiben-Theorem (Beweis für Θ ≠ 0)
Projektion für Θ ≠ 0
Fourier-Scheiben-Theorem (Beweis für Θ ≠ 0)
Projektion pΘ(s) kann als Projektion auf der x´-Achse eines
gedrehten Koordinatensystems aufgefaßt werden.
Es gilt die gleiche Herleitung wie für Θ=0:
1D-FT(pΘ(s)) ergibt Werte der 2D-FT von f(x,y) auf der u´-Achse
Allgemein gilt:
Die FT einer um den Winkel Θ gedrehten Funktion f(x,y) ist um den
genau den gleichen Winkel Θ gegenüber der FT F(u,v) verdreht
q.e.d.
Fourier-Scheiben-Theorem (II)
Θ=0
Θ≠0
Fourier-Scheiben-Theorem (III)
Sei eine Funktion f(x,y) gegeben und F(u,v) deren
2D-Fouriertransformierte
Sei weiter pΘ(s) eine Projektion von f(x,y) und PΘ(w) deren
1D-Fouriertransformierte
Dann beschreibt PΘ(w) die Werte von F(u,v) auf einem
Radialstrahl zum Winkel Θ.
Rekonstruktion von f(x,y) = µ(x,y) aus Radon-Transformation
Radon-Transformation und Computertomographie
Durchgang eines nadelförmigen
Rö.-Strahls durch Körper
Caveat:
- Daten liegen als Werte auf Radialstrahlen vor !
- Schnelle Fouriertransformation (FFT) benötigt Uminterpolation
auf quadratisches Gitter
(Polarkoordinaten → kartesische Koordinaten)
- Uminterpolation kann zu schwerwiegenden Artefakten führen !
(moderne Scanner ermöglichen Abtastung im kartesischen Raster)
Iterative CT-Rekonstruktion (I)
- gesuchte Verteilung µ(x,y) liegt nach Messung nur in Form der
Projektionswerte (Radon-Transformierte) vor.
- finde Rücktransformation um µ(x,y) zu erhalten
einfachster Ansatz:
gesucht:
N x N Bildpunkte der Matrix: N2 Werte
gegeben:
M = Np x Nd
= Anzahl Projektionen x Anzahl Werte/Projektion
wenn M ≥ N: über-bestimmtes Problem ⇒ lösbar !
Iterative CT-Rekonstruktion (II)
Allgemeiner Fall: sei f(x,y) = µ(x,y)
Für digitale Verarbeitung:
Hintereinandersetzen der
Zeilen der Bildmatrix ergibt
Zahlenfolge mit einzelnem
Index: fi
Messung mit Nadelstrahl j liefert
Integral über Werte fi, die auf dem
Strahl liegen:
- Funktionswerte fi werden mit Gewichtsfaktor wij multipliziert u. addiert
- wij gibt Flächenanteil vom Nadelstrahl j zum Pixel i an
(wg. Nadelstrahl sind die meisten wij=0)
Iterative CT-Rekonstruktion (III)
Meßwerte pi (Linienintegrale) lassen sich darstellen als:
p1 = w11 f1 + w12 f 2 + L + w1N f N
p2 = w21 f1 + w22 f 2 + L + w2 N f N
M
pM = wM 1 f1 + wM 2 f 2 + L + wMN f N
⇒ lineare Abbildung !!
Beispiel: Bildgröße: 512x512 ⇒ N = 262144
gegeben: 1000 Projektionen mit jeweils 800 Detektoren
⇒ M = 1000 x 800 = 800000 (über-bestimmtes Problem)
800000 Gleichungen mit 262144 Unbekannten !!
Iterative CT-Rekonstruktion (IV)
Lösen des linearen Gleichungssystems:
(1) direkte Methoden
z.B. Gauß-Elimination
(2) iterative Methoden:
unpraktikabel bei großen Matrizen
Iterative CT-Rekonstruktion (V)
- Verfahren konvergiert immer
- Verfahren wird bei der Röntgen-CT heute nicht mehr verwendet
- Verfahren findet jedoch bei PET/SPECT immer mehr Anwendung
CT-Rekonstruktion mit gefilterter Rückprojektion
Wiederholung:
Messung mit Nadelstrahl für gegebenen Winkel Θ und Abstand s vom
Koordinatenursprung (Projektionswerte pΘ(s)) entspricht der RadonTransformierten des Bildes µ(x,y).
Mit Fourier-Scheiben-Theorem gilt:
- durch 1D-FT der gemessenen Projektion erhält man die 2D-FT von
µ(x,y) auf einer Geraden in Richtung Θ.
- Rekonstruktion von µ(x,y) durch inverse 2D-FT möglich
Problem:
Daten liegen in Polarkoordinaten vor;
FFT benötigt kartesische Koordinaten
CT-Rekonstruktion mit gefilterter Rückprojektion (I)
Rückprojektion:
Messwerte (Projektionswerte pΘ(s)) sind Linienintegrale von µ(x,y).
Jedoch:
Integralwert = Summe aller Beiträge und ohne Ortsinformation
Ansatz:
Rückprojektion:
gleichmäßige Verteilung des Integralwerts entlang
des ursprünglichen Integrationsweges
Überlagerung aller Projektionsgeraden im
Punkt (x,y) ⇒ µ(x,y) näherungsweise
CT-Rekonstruktion mit gefilterter Rückprojektion (II)
Rückprojektion:
0. Rückprojektion
1. Rückprojektion
3. Rückprojektion
N. Rückprojektion
Schwächungsprofil:
µ(x)
Schwächungsprofil
nach N Rückprojektionen
x
CT-Rekonstruktion mit gefilterter Rückprojektion (III)
Rückprojektion:
1/r
Durch Rückprojektion entsteht eine
Punktbildfunktion (PBF) der Form 1/r
Jedem Bildpunkt kann eine derartige PBF
zugeordnet werden, gewichtet mit dem lokalen µ(x,y)
Rückprojektion = 1/r ∗ µ(x,y)
(Faltung)
Rückprojektion führt zu Verwischung, dadurch keine
Kontrastunterschiede und keine Feinstrukturen erkennbar
CT-Rekonstruktion mit gefilterter Rückprojektion (IV)
Gefilterte Rückprojektion:
Idee:
Modifiziere Punktbildfunktion derart, dass Verwischung minimiert
(ideal: verhindert) wird.
Ansatz:
Faltung des Schwächungsprofils mit geeignetem Filter (Faltungskern)
CT-Rekonstruktion mit gefilterter Rückprojektion (V)
Gefilterte Rückprojektion:
Originalprofil ∗ Faltungskern = gefiltertes Profil
CT-Rekonstruktion mit gefilterter Rückprojektion (VI)
Gefilterte
Rückprojektion:
0. Rückprojektion
1. Rückprojektion
3. Rückprojektion
N. Rückprojektion
Schwächungsprofil:
µ(x)
Schwächungsprofil
nach N Rückprojektionen
x
Einfluß des Faltungskerns
glättend
Standard
Kanten betonend
Einfluß des Faltungskerns
glättend
„soft“
Standard
Kanten betonend
„bone“
CT-Rekonstruktion mit gefilterter Rückprojektion (VII)
Gesucht: f(x,y) = µ(x,y) aus der inversen 2D-FT von F(u,v)
mit Zylinderkoordinaten im Fourierraum
u = w.cos Θ
v = w.sin Θ
dudv = w.dw.dΘ
folgt
CT-Rekonstruktion mit gefilterter Rückprojektion (VIII)
Reduktion der Integrationsfläche auf [0,π] (w.g. Hesse Normalform)
Absolutbetrag von w, da in dieser Form negative Radien vorkommen.
CT-Rekonstruktion mit gefilterter Rückprojektion (IX)
Ersetze
Wäre |w| nicht im Integral enthalten, bräuchte nur die inverse FT
angewendet werden, um die Originale Projektion pΘ(s) zu erhalten.
Durch Multiplikation im Fourierraum mit |w| wird die Projektion pΘ(s)
gefiltert
~
pΘ(s) ist gefilterte Projektion (Faltung im Ortsraum = Multiplikation
im Fourierraum). h(s) ist Impulsantwort des Filters (=Faltungskern)
CT-Rekonstruktion mit gefilterter Rückprojektion (X)
Welche Funktion h(s) gehört zur FT von |w| ?
Problem: h(s) nur im Grenzübergang definierbar
Ansatz: |w| ≈ |w| . exp(-ε |w|)
Inverse FT von |w| . exp(-ε |w|)
hierfür gilt:
Betrachte Übergang ε → 0:
rhs geht über in |w|
lhs geht über in -1/2πs2
peak bei s=0 wird umso schmaler und höher je kleiner ε
CT-Rekonstruktion mit gefilterter Rückprojektion (XI)
Was bedeutet das Integral über Θ ?
Rückprojektion:
Um den Wert von f(x,y)=µ(x,y) an einem gegebenen Punkt (x,y) zu
erhalten, nimm von allen gefilterten Projektionen ~
p (s) an der
Θ
Stelle xcosΘ+ysinΘ und summiere diese Werte auf.
CT-Rekonstruktion mit gefilterter Rückprojektion (XII)
CT-Rekonstruktion mit gefilterter Rückprojektion (XIII)
CT-Rekonstruktion mit gefilterter Rückprojektion (XIV)
Bei der Rückprojektion trifft
der Projektionsstrahl nicht
immer auf die Mitte der
quadratisch angeordneten
Pixel.
Rückwärts vorgehen: ziele
vom Zentrum des Pixels
unter Winkel Θ auf die
gefilterte Projektion
Dann: lineare Interpolation zwischen
benachbarten Werten, um Meßort
des Detektors zu approximieren.
CT-Rekonstruktion mit gefilterter Rückprojektion (XV)
Einhalten des Abtast-Theorems und Rauschen:
durch digitales Abtasten gibt es in den Projektionen pΘ(s) eine
maximale Frequenz wmax = 1/2∆S, wobei ∆S= Detektor-Abstand
Da Raumfrequenzen oberhalb wmax nicht bekannt sind, kann
Projektionsverfahren in der Praxis nur schlechter sein
(Überbewertung hoher Raumfrequenzen).
Bei Raumfrequenzen w< wmax wird das Spektrum PΘ(w) meist von
Rauschen dominiert.
Durch Multiplikation mit |w| wird Rauschen zusätzlich verstärkt
CT-Rekonstruktion mit gefilterter Rückprojektion (XV)
Einhalten des Abtast-Theorems und Rauschen:
CT-Rekonstruktion mit gefilterter Rückprojektion (XVI)
Alternative Filterfunktionen nach Shepp & Logan und Ramachandran
& Lakshminarayan
CT-Rekonstruktion mit gefilterter Rückprojektion (XVI)
Alternative Filterfunktionen nach Shepp & Logan und Ramachandran
& Lakshminarayan
CT-Rekonstruktion mit gefilterter Rückprojektion (XVII)
analoge und digitale Filterung:
CT-Rekonstruktion mit gefilterter Rückprojektion (XVII)
analoge und digitale Rückprojektion:
M=
Zahl der Projektionen
Was wird im CT-Bild dargestellt?
Hounsfield-Skala
Absorptions- oder Schwächungskoeffizient
in der Kernphysik:
[ µ ] = cm −1
µ abh. von Rö.-Energie !!
in der Medizin: relative Hounsfield-Skala (CT-Zahl)
µ rel =
µ − µWasser
⋅ 1000
µWasser
- Mensch besteht zu mehr als 60 % aus Wasser
- die meisten körper-eigenen Substanzen unterscheiden sich nur
wenig von µWasser, daher Darstellung der Abweichung in Promille
CT-Zahl
Hounsfield-Skala
Hounsfield-Skala
70
50
Hounsfield-Skala
Werte-Bereich: -1024 bis +3071 (entspricht 4096 Graustufen)
in erster Näherung proportional zu Dichte der Gewebe:
Luft/Gase
Fett
Wasser
Weichteile
Knochen
~-1000
~ -90
~
0
~ +20
> +250
Unterschiede Lunge bis Knochen groß
Unterschiede bei Weichteilen, Fettgewebe, Wasser nur gering
(typische Differenzierung durch Betrachtung: 60-80 Graustufen)
⇒ Fenstertechnik
Hounsfield-Skala + Fenstertechnik
+3000
Grauwertdarstellung
Verbesserte Beurteilbarkeit der Bilder
W
C
0
-1000
C Fenstermitte (center)
W Fensterbreite (width)
z.B. mit:
Knochenfenster:
C/W = 1000/2500
Mediastinalfenster: C/W = -50/ 400
Lungenfenster:
C/W = -625/1250
Hounsfield-Skala + Fenstertechnik
Hounsfield-Skala + Zwei-Spektren CT
CT-Zahlen meist eindeutig interpretierbar
(beachte: Addition aller Materialien und chemischen Elemente pro
Voxel !!)
Unklare Befunde (Beispiel):
Beobachtung: Areal mit erhöhter Schwächung im Weichteilgewebe
Frage: frischer Prozess (Blutung) oder alter Prozess (Kalkeinlagerung)
Ausnutzung der ordnungszahlbedingten Energieabhängigkeit von µ
µ = f(E,Z)
Zwei-Spektren CT:
- zwei Aufnahmen mit unterschiedlichen Rö.-Energien
- Subtraktion liefert materialselektive Bilder
Hounsfield-Skala + Zwei-Spektren CT
Homogenitätsbestimmung
Toleranz:
+ 4HU
vom Sollwert
(Wasser: 0 HU)
Projektionsradiographie und Computertomographie:
Beide Verfahren:
- Bildgebung mit Röntgenstrahlen
- vergleichbare Dosis
(neuere CT-Geräte geringere Dosis)
Projektionsradiographie:
- Kontrast = Summe der Signalbeiträge (µ) entlang der
Transmission
- Kontrast abhängig von Z und Dosis
Computertomographie
- Kontrast = Werte benachbarter Voxel (nicht durch Summenoder Linienintegrale); lokale Zusammensetzung des Gewebes
- kein Einfluß angrenzender oder überlappender Strukturen
CT-Bild
Röntgen-Bild
CT-Bild:
hoher lokaler Kontrast K
K = ∆CT=J1-J2
~ 50 %
Röntgen-Bild:
niedriger Weichgewebekontrast
K=(J1-J2)/((J1+J2)/2)
~ 0,23 %

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