Mathe 4 Sachrechnen

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Schulbuchaufgaben öffnen
1 „Schulbuchaufgaben öffnen durch Hinzufügen“
(von Informationen oder Kontexten)
a) Wie groß ist die Fläche zwischen den Kreisen (r=5cm)?
b) Wie groß ist die Fläche zwischen den Zehnerln?
c) Wie stellt man Dosen platzsparend auf?
Sachrechnen 06
2 „Schulbuchaufgaben öffnen durch Weglassen“
Mit „Daumensprung“ bezeichnet
man das Anpeilen eines Objektes
über den Daumen mit abwechselnd
geschlossenen Augen. Bestimme aus
dem Bild rechts die ungefähre
Entfernung vom Gebäude.
Was kann man / darf man / sollte man weglassen?
Wie kann man die Aufgabe einführen?
Wie sehr muss man steuern?
Wie kann man differenzieren?
Sachrechnen 06
3 „Fermiaufgaben“
Wie viele Zahnärzte gibt es in Deutschland?
1000? 10.000? oder eher 100.000?
Wie können Hilfsfragen wie die folgenden verabreicht werden?
Wieviel Zahnärzte werden wohl benötigt?
Wieviel Menschen gehen in Deutschland zum Zahnarzt?
Wie oft geht jeder?
Wieviel Stunden arbeitet ein Zahnarzt?
Wieviel Arbeitswochen hat er?
Kannst Du die Frage näherungsweise beantworten?
Hilft die Information bei der Lösung der Zahnarztfrage?
Sachrechnen 06
4 „Realistätsorientierter Mathematikunterricht“
Gebietsneuordnung
Die Niederlande sind komplett eingeteilt. Das wird zwar oft gesagt, aber so richtig wahr ist das nicht. Ziemlich
oft wird ein Landschaftsgebiet im Laufe der Zeit verändert. Mit anderen Worten, ein Gebiet wird neu geordnet.
Solche Gebietsneuordnung kann das Ergebnis veränderter Sichtweisen sein. So waren die Menschen in früherer
Zeit der Ansicht, dass es vernünftig sei, große rechteckige Felder zu haben, während man heutzutage gewöhnlich
die Natur nach ihren eigenen Regeln sich entwickeln lässt. Kleine Bäche, die einst begradigt wurden, werden
heute in ihren natürlichen Verlauf mit Kurven zurückgeführt. Manchmal erhält eine Landschaft eine neue
Funktion: zum Beispiel wird ein landwirtschaftlich genutztes Gebiet in ein Naturschutzgebiet verwandelt oder es
wird zum Freizeitgebiet. Solche Veränderungen kosten Geld. In dieser Aufgabe der Mathematik Olympiade
sollst du an Problemen der Gebietsneuordnung und der damit verbundenen Kosten arbeiten.
Auf der Karte 1 (unten) ist die bestehende Anordnung eines 30 ha großen Gebietes zu sehen.
Durch unterschiedliche Schattierungen für jeden einzelnen Teil wird angezeigt, welche Funktionen die
verschiedenen Teile haben oder wie sie genutzt werden. Die Karte 2 zeigt, wie das Gebiet nach der Neuordnung
aussehen sollte.
Karte 1
aktuelle Einteilung (500 m x 600 m )
Karte 2
neue Einteilung (500 m x 600 m )
300 m
200 m
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300 m
400 m
300 m
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200 m
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100 m
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Naturschutz
Erholungsgebiet
Landwirtschaft
Industrie
100 m
500 m
Naturschutz
Erholungsgebiet
Landwirtschaft
Industrie
In der folgenden Tabelle seht ihr die durchschnittlichen Kosten der Neuordnung
(in Euro pro Quadratmeter):
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Erholung
Landwirtschaft
Industrie
Aus dieser Tabelle kann man ablesen, dass es 20 Euro pro Quadratmeter kostet, die Funktion eines Gebietes von
natürlicher zu landwirtschaftlicher Nutzung zu ändern. Unter Verwendung der Karten 1 und 2 und der
Kostentabelle ist es möglich, eine sogenannte Kostenkarte zu erstellen. In einer Kostenkarte wird das ganze
Gebiet in Teile unterteilt, und zwar so dass für jeden Teil ersichtlich wird, welche Kosten pro Quadratmeter
entstehen bei Änderung der derzeitigen in die neue gewünschte Nutzung. Diese Kosten pro Quadratmeter
werden in jedem eingezeichneten Teilbereich der Kostenkarte angegeben.
Aufgabe 1:Entwerft eine Kostenkarte für die dargestellte Situation und benutzt sie,
um den Gesamtbetrag für die Neuordnungs-Kosten des angegebenen Gebietes
festzulegen.
Sachrechnen 06
In Aufgabe 1 waren die bestehende Situation und die erwünschte Neuordnung in der Nutzung eines Gebietes
sowie die Kostentabelle gegeben. Normalerweise wird die angestrebte Anordnung nicht so klar dargestellt wie in
Aufgabe 1.
Bei dieser Aufgabe 2 nun werden wir die Karte 1 benutzen und die Kostentabelle aus Aufgabe 1. Ihr werdet
jedoch mehr Freiheit bekommen für die Konstruktion der Neuordnung. In der neuen Anordnung sollen alle vier
Teile die gleiche Fläche umfassen wie auf der Karte 2, aber sie können auf andere Weise in dem Gebiet
angeordnet werden.
Das Ziel ist, eine preiswertere Lösung für die Neuordnung zu finden als die in Karte 2 dargestellte. Um das zu
erreichen ist es hilfreich, sorgfältig zu notieren, was ihr tut.
Aufgabe 2: Ordnet das gegebene Gelände neu, und zwar so, dass die Flächen der
vier Teile die gleichen sind wie auf Karte 2, wobei aber ihre Form und ihre Lage
davon abweichen können.
Erklärt kurz eure Vorgehensweise und erklärt auch, wie sicher ihr seid (und
warum), dass ihr die preiswerteste Lösung gefunden habt.
Sachrechnen 06
5„Methodenoffene Aufgaben“
Zu welchem Zeitpunkt nach 4 Uhr
stehen der große und der kleine Zeiger genau übereinander?
Wie offen ist die Aufgabe wirklich?
Unter welchen Bedingungen wählen Schüler wirklich individuelle Methoden?
Welche Lösungswege gibt es?
Wie sind sie zu bewerten?
Sachrechnen 06
6 „Schulbuchaufgaben öffnen durch Weglassen“ von detaillierten
Angaben oder Fragestellungen
1. Beispiel
Montags besuchen durchschnittlich nur 50 Leute das Cinemagic-Kino. Der Kinoinhaber
versucht mehr Besucher am Montag anzulocken, indem er den ersten 30 Besuchern ein
Getränk und eine Tüte Popkorn umsonst gibt. Die ersten 30 Besucher am folgenden Montag
machten 42,8% aller Besucher aus.
Preise: Kinokarte 6 €, Getränk + Tüte Popkorn 1,50 €.
War die Werbeaktion eine gute Idee? Warum?
2. Beispiel
In einem Mietshaus wohnt die dreiköpfige Familie Adam in einer 64 m² großen Wohnung, die
fünfköpfige Familie Bensen in einer 128 m² großen Wohnung und das Ehepaar Dolde im
einer 40 m² großen Wohnung. Die Nebenkosten (Straßenreinigung, Abwassergeld, Steuern,
usw.) betragen in diesem Jahr 3867,26 €.
Die Nebenkosten sollen so aufgeteilt werden, dass der Nebenkostenanteil der
einzelnen Familien proportional der Wohnfläche ist.
Die Nebenkosten sollen so aufgeteilt werden, dass der Nebenkostenanteil der
einzelnen Familien proportional der Anzahl der Familienmitglieder ist
Die Hälfte der Heizkosten soll wie in a), der Rest wie in b) aufgeteilt werden.
Mögliche Öffnung der Aufgabenstellung:
Stell dir vor, du bist Vermieter dieses 3-Familien- Hauses. Wie würdest du die
anfallenden Nebenkosten möglichst gerecht zwischen den Mietparteien aufteilen?
Stelle entsprechend deines Vorschlags eine Nebenkostenabrechnung auf.
3. Beispiel
Ein Sportverein hat 3500 Mitglieder, davon 2000 Jugendliche. Diese bezahlten bisher
2,50 € Monatsbeitrag, die Erwachsenen 3,50 €. Die gesamten Beitragseinnahmen müssen auf
17250 € monatlich erhöht werden.
Berechne die neuen Beiträge, wenn die Jugendlichen wie bisher 1 € weniger als die
Erwachsenen zahlen sollen.
Mögliche Öffnung der Aufgabenstellung:
Wie sollen die neuen Beiträge festgesetzt werden?
Wie offen sind die Aufgaben? Kann man weiter gehen? Versuchen Sie, weitere
Aufgaben aus Ihren Schulbüchern auf diese Weise zu öffnen.
Sachrechnen 06
7„Schulbuchaufgaben öffnen durch Zielumkehr“
Viele Standard-Aufgaben werden offener, wenn man auch die umgekehrte Fragestellung
betrachtet.
1. Beispiel: „Steckbriefaufgaben“:
Eine Funktion f hat eine konstante erste Ableitung f’. Skizzieren sie den Graphen von f!
2. Beispiel:
Gib mindestens drei verschiedene lineare Gleichungssysteme an, die alle das Paar
(-1| 3) als Lösung haben.
3. Beispiel:
Wie kann ein Tarifmodell für einen Taxifahrer aussehen, bei dem man für 5,75 € eine Strecke
von 6 km fahren kann?
Versuchen Sie, Aufgaben aus Ihren Schulbüchern auf diese Weise zu öffnen.
Sachrechnen 06
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Klaus Huber: Arbeitshilfen für Schule und Seminar
 Klaus Huber
Fermi-Aufgaben
MATHE
„In Mathe wird gerechnet!“ — Ja, aber nicht nur und nicht immer!
Der Mathematikunterricht soll und kann auch das Mathematisieren vermitteln, das Übersetzen in die leistungsfähige
Sprache der Mathematik, und das Finden verschiedener, angemessener Lösungswege. Hier helfen ungewöhnliche,
offene Aufgabenstellungen.
Typisch dabei ist, dass nicht das Rechnen im Zentrum steht, sondern vielmehr die Schritte vor dem Rechnen:
„Here is a situation. Think about it!“ (Henry Pollak).
Der Wert dieser Aufgaben — oder richtiger: ihrer Lösungen — liegt in dem Vergnügen, sich kreativ und mutig auf den
Weg gemacht zu haben, und in der Erfahrung, selbstständig zu einer (zugegebenermaßen angenäherten) Lösung
gelangt zu sein statt „zu einer Antwort nur ehrfürchtig aufzuschauen oder sie jemand anderes finden zu lassen (von
Baeyer)
Mathematische Grundausbildung muss mehr vermitteln als Fertigkeiten, die auch automatisiert werden können. Die
Kraft des mathematischen Denkens liegt in der Fähigkeit zur Begriffs- und Modellbildung und zur Entwicklung
leistungsfähiger Algorithmen für konkrete Problemlösungen; dafür muss Verständnis und Begeisterung geweckt
werden.
Das Schlüsselproblem
Das Bild zeigt ein Brett mit drei Öffnungen.
Konstruieren Sie gedanklich einen Körper, der als Schlüssel für alle Öffnungen zu
benutzen ist.
Skizzieren Sie Ihre Lösungsidee.
aus: Senftleben, Hans-Günter,
Die „Geowand“ und das kleine Geobrett, in
Schubert, Anten (Hrsg.), Mathematik lehren wie Kinder lernen, Braunschweig, 2002
Wie schwer ist das Bisonbaby?
„Fermi-Aufgaben“
(Enrico Fermi, Physik-Nobelpreisträger, 1954):
•
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Wie viele Klavierstimmer hat Chikago?
Wie viele Luftballons passen in den Klassenraum?
Wie viele Noten werden jährlich in Deutschland vergeben?
Wie viel Papier braucht unsere Schule pro Monat?
Wie lange wird der Streifen, wenn man eine Zahnpastatube auf einmal leert?
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