Ein anwendungsorientierter Einstieg in Klasse 11 in die Analysis

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OStR Markus Eberle, Gymnasium Fallersleben, Wolfsburg
Ein anwendungsorientierter Einstieg in Klasse 11 in die Analysis
mithilfe des Themas „Funktionsanpassung an
Beobachtungsdaten“1 unter gleichzeitiger Einführung in die
Benutzung eines CAS - Sytems
Häufig findet zu Beginn der Klasse 11 eine Wiederholung der elementaren
Funktionenlehre statt. Dies zeigt sich auch in den entsprechenden Lehrbüchern. Dies
ist für Lehrende und Lernende nicht besonders spannend, weil man inhaltlich und
methodisch kaum über das Niveau der SekI hinauskommt.
Dabei kommt hinzu, dass Funktionen zwar als gedankliche Werkzeuge zur
Beschreibung realer Zusammenhänge ausgegeben werden, aber nicht gesagt wird,
wo die betrachteten Funktionsterme eigentlich herkommen. Der
Modellierungsprozess bleibt also wieder einmal im innermathematischen stecken...
Beispiel aus Diesterweg 1991 Analysis Grundkurs:
In einem Brandherd steigt die Temperatur innerhalb kurzer Zeit nach dem
Brandausbruch steil an. Die Funktion f: t -> 0,12 t^2 – 0,0005 t^3 + 0,025 t + 10
modelliert diesen Anstieg. ... Erstellen Sie eine Wertetabelle...
Im folgenden werden die Funktionen aus Daten gewonnen, wobei die Daten
entweder vorgegeben bzw. selbst gefunden werden. Die Funktionsterme werden
hierbei nicht nur händisch errechnet, sondern mithilfe des Regressionsmoduls –
welches an dieser Stelle als Black Box benutzt wird -, auf der Grundlage der
Methode der kleinsten Fehlerquadrate ermittelt.
Beispiel 1: linearer Zusammenhang
Entwicklung des 5000m – Weltrekords
Jahr
Zeit
1955
13:40,6
1966
13:16,6
1972
13:13,0
1982
1987
1994
1997
13:00,42 12:58,39 12:44,39 12:39,74
1.) Auftragung in ein Koordinatensystem (nach Umrechnung der Zeit in Sekunden;
Wahl von z.B. 1950 als Bezugsjahr)
2.) Ausgleichsgerade per Augenmaß; Bestimmung des Geradenterms und Vergleich
der gefundenen Terme untereinander
3.) Erstellung einer entsprechenden Datentabelle mithilfe des Ti92 (wird hier zum
ersten Mal durchgeführt, also auch die Zeitumrechnung mit z.B. 13*60+16,6;
lineare Regression
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Siehe entsprechenden Artikel von Rüdeger Baumann in Mathematik in der Schule 36 (1998) 4, Seite 228ff
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4.) Welche Zeiten werden damit für die Jahre 1998, 1999 und 2000 prognostiziert?
Vergleich mit den tatsächlichen Werten!
Algebraische Vorgehensweise:
Also:
1998
1999
2000
Vorhersage: 12:39,35 12:38,02 12:36,68
tatsächlich:
graphische Vorgehensweise mit Trace ( auf der Ausgleichsgeraden): hier direkt 48
für xc eingegeben
5.) Übung: Rekordentwicklung beim 3000m -, 10000m -, Marathonlauf (auch bei
Frauen) oder auch beim Schwimmen.
Entweder gibt man Daten an und/oder lässt die Schüler sie aus z.B. der Chronik
des Sports oder des Internets holen.
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Beispiel 2: quadratischer Zusammenhang
Hier können Brückenformen zum Anlass genommen werden, quadratische
Funktionen zu wiederholen. Folgende Kopien sind aus Schöningh ABAKUS
Angewandte Mathematik „.93ff:
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Hat man den Ultraschallsender und –empfänger CBR zur Verfügung, kann man reale
pysikalische Experimente schnell durchführen, wie z.B. der freie Fall eines
Tennisballs und dann den zurückgelegten Weg in Abhängigkeit von der Zeit
untersuchen. Oder man untersucht den Bremsvorgang eines Fahrradfahrers und
erhält – nach gewissen Modifikationen der Messreihen – folgende Wertetabelle, die
grafisch und algebraisch ausgewertet werden kann:
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Bemerkung: Hieran könnte man hervorragend in die Differentialrechnung einsteigen
mit dem Problem der Momentangeschwindigkeit (siehe auch UE „ICE –
Bremsvorgang“), zumal lineare und quadratische Funktionen hiermit aufbereitet
wurden.
Beispiel 3: exponentieller Zusammenhang
Auch hier könnte man mithilfe des CBL und des Temperaturfühlers die Abkühlung
eines vom Schüler mitgebrachten Kaffees in Abhängigkeit von der Zeit untersuchen
oder auch die bekannte Bierschaumzerfallskurve aufnehmen:
Zeit
0
in s
Höhe 2,8
in cm
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
2,2
1,8
1,5
1,2
1,1
0,9
0,8
0,6
0,6
0,5
(Dabei den Befehl seq(i,i,0,100,10) einführen.)
Bem.: Ob man an dieser Stelle über die Transformationen zur Linearisierung spricht,
mag dahingestellt sein.
Beispiel 4: linearer oder exponentieller Zusammenhang
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Arbeitsplatzabbau
Jahr
1991
Anzahl in 36,51
Mill.
1992
35,84
1993
35,22
1994
34,99
1995
34,87
1996
34,46
Unterschiedlicher Ausfall der Prognosen für das Jahr 2000, je nach linearem oder
exponentieller Regression bzw. Trend.
An dieser Stelle ist es spätestens angebracht, einen Bogen zur propädeutischen
Kudi zu bekommen: Die Schüler haben am letzten Beispiel erkannt, dass wenn der
Funktionentyp nicht aufgrund theoretischer oder physikalischer Überlegungen
bekannt ist, im Prinzip ein gewisser Funktionenkatalog durchgegangen werden muss,
um dann mit Augenmass sich für den einen oder anderen zu entscheiden bzw. wenn
mehrere in Betracht kommen, nach erfolgter Linearisierung erneut das Augenmass
entscheiden zu lassen.
So soll ein letztes Beispiel einen experimentellen Zugang zu Kurvenscharen
demonstrieren und propädeutisch Begriffe aus der Kurvendiskussion anreißen.
Danach sollte in die Differentialrechnung eingestiegen werden:
Beispiel 5:
1
2,90
2
3,75
3
3,65
4
3,20
5
2,96
6
2,45
7
2,15
Zeichnen Sie die Punkte in ein Koordinatensystem (mithilfe des Ti92) und überprüfen
Sie, ob die Punkte auf dem Graphen einer der Funktion vom Typ f(x) = a*x/(x^2+b)
liegen.
Plotten von Kurvenscharen, um sich erst einmal ein Bild dieser Funktionen zu
machen:
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Es könnte also durchaus ein solcher Funktionentyp sein...
Passt ...
Will man noch über die Linearisierungstransformationen sprechen, müsste man x* =
x^2 und y* = x/y substituieren.
Ende
ggfs. Demo von solve, d(...,x,..), Integral, Tracemodus, Tangenten an Graph etc..
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