11. Klasse¨Ubungsaufgaben 11 Kurvenscharen 9 - SINUS

www.strobl-f.de/ueb119.pdf
11. Klasse Übungsaufgaben
Kurvenscharen
11
9
1. Auf welcher Kurve liegen beim Term f (x) = x3 −2ax2 +a2 x−2a3 (→ grund119.pdf)
im Fall a > 0 die Maxima? Auf welchem Teil der Kurve liegen sie?
2. Gegeben ist die Funktionenschar fk mit fk (x) = 2kx + 3 mit dem Parameter k ∈ IR.
• Wie sieht die Gesamtheit der Graphen aus?
• Welche Gerade schneidet die Parabel mit der Gleichung p(x) = x2 − 2x + 5 in
P (1|4)? Wo liegt der zweite Schnittpunkt?
• Welche der Geraden berühren die obige Parabel nur? Welche Koordinaten hat
jeweils der Berührpunkt?
3. Gegeben ist die Funktionenschar fk mit fk (x) =
kx − 2
.
x2
• Diskutieren Sie die Kurven für k = 3 und k = −1.
Tipps: Führt man die Kurvendiskussion allgemein mit dem Parameter k durch, so ist z. B. bei
der Monotonie die Bestimmung der Vorzeichenbereiche nun allgemein mit dem Parameter k
durchzuführen.
Beispiel: Ist fk0 (x) = 4−kx
x3 , so sind auf dem Zahlenstrahl (→ grund113.pdf) die Zähler-Nullstelle
4
und
die
Definitionslücke
0 zu markieren, und zwar befindet sich k4 im Fall k < 0 links von 0.
k
Zur Bestimmung des Vorzeichens von fk0 in den sich nun ergebenden Teilbereichen gibt es mehrere Möglichkeiten:
Bei Verwendung der Einsetzmethode (→ grund113.pdf) bieten sich z. B. die Werte k8 , k2 und − k2
k3
an; dabei ist z. B. fk0 ( k8 ) = − 128
im Fall k < 0 positiv, also fk0 > 0 im Bereich ] − ∞; k4 [.
Bei Verwendung der Linearfaktor-Vorzeichen-Methode ist das Vorzeichen von x3 klar (bei 0
Wechsel von − nach +); bei 4 − kx hat man sich im Fall k < 0 eine steigende Gerade (Steigung
−k positiv wegen k < 0) vorzustellen (also bei k4 Wechsel von − nach +), so dass sich im Fall
k < 0 im Bereich ] − ∞; k4 [ wegen negativem Zähler und negativem Nenner wieder fk0 > 0
ergibt. Entsprechend betrachtet man die anderen Fälle.
• Bestimmen Sie die Ortskurven der Extremwerte und Wendepunkte!
• Gibt es Kurven, die die Gerade g mit g(x) = − 12 x + 3 berühren?
Tipps: Für Berührung müssen zwei Bedingungen gelten: Gemeinsamer Punkt (Funktionsterme
gleichsetzen) und gemeinsame Steigung (Ableitungen gleichsetzen). Damit erhält man zwei Gleichungen für zwei Unbekannte x und k, aus denen man eine geeignete Variable eliminiert und auf
diese Weise obige Fragestellung beantwortet.