7 Die natürliche Exponentialfunktion - Gym

7 Die natürliche Exponentialfunktion
7.1 Definition
Die eulersche Zahl
2,718281828… (nach dem Schweizer Mathematiker
Leonhard Euler) ist eine irrationale, reelle Zahl. Sie bildet die Basis der
natürlichen Logarithmusfunktion und der natürlichen Exponentialfunktion und
wird aufgrund der Zahl häufig auch -Funktion genannt. Außerdem ist sie eine
der bedeutendsten Konstanten der Mathematik.
lim
→
1
2,718281828 …
7.2 Die e-Funktion und ihre Ableitung
ᵡ
∈
Der Graph verläuft in ganz
oberhalb der x-Achse;
; Die y-Achse wird im
Punkt geschnitten. Außerdem
läuft er durch den Punkt 1/ .
´
!
→e-Funktion und ihre Ableitung
sind gleich
7.3 Stammfunktion
"
! #
→ Die Stammfunk3on ist ebenfalls eine -Funktion die um # auf der Achse verschoben wird
7.4 Wettstreit zwischen der $-Funktion und einer
Potenzfunktion:
Normalerweise ist der Graph einer -Funktion stets streng monoton steigend
bzw. fallend. Dies ändert sich wenn man die e-Funktion mit anderen
Funktionen verknüpft, da diese sich an den Rändern des Definitionsbereichs
unterschiedlich verhalten können.
36
Wer gewinnt?
!
Sowohl als auch ! streben bei → ∞ gegen ∞. Allerdings nimmt die Funktion mit wachsenden Werten schneller zu als die lineare Funktion → Die Funktion gewinnt
lim!→
!&
'(
0
„e gewinnt immer“ (für alle n єℕ)
7.5 Kurvendiskussion bei einer Verknüpfung von einer$Funktion mit einer linearen Funktion:
∙
!
,!
Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs
!
lim!→, ( −∞
lim!→
0
„e gewinnt“
(
'
'
→ Der Graph kommt aus dem Negativen und nähert sich der Asymptote (in
diesem Fall die -Achse) von oben
Gemeinsame Punkte mit den Koordinatenachsen
Nullstellen:
0
0 ∙ ,!
→ ₁ 0
0-Achse:
0
0 ∙ ! 0 ∙ 1 0
→ Sowohl die Nullstelle als auch der Schnittpunkt der0-Achse liegen im Punkt
1 0/0
Monotonie und Extrema
1 ∙ ,!
∙
,!
∙ −1
Nullstellen der 1. Ableitung:
´
0
1−
→ ₂
37
0
∙
1
,!
1−
∙
,!
Vorzeichentabelle:
6 1/
´
45
−∞ 3
steigt
31
+
1
0
Hochpunkt H
13
3
-
fällt
,
Wendepunkte
7´´
−1 ∙ ,!
1− ∙
7´´
0⟹0
−2
→
2/2
Graph:
38
,!
,:
∙ −1
−2
∙ ,! ⟹ 9 2
∙
,!
∞