Determinanten - Universität Stuttgart

Mathematik I
für inf, swt
Vortragsübungen 12
Universität Stuttgart
Dr. F. Stoll
Die Vortragsübungen wurden am 22.1.10 besprochen.
Determinanten
Aufgabe V1 Bestimmen Sie die Determinante der Matrix


1 0 0 2
−1 2 3 4


 5 0 0 1
1 1 1 1
Aufgabe V2 Sei A eine 3 × 3-Matrix mit det(A) = 2. Was ist det(2A),
det(−A), det(A−1) und det(AAt)?
Aufgabe V3 Sei n ungerade und A eine reelle n × n-Matrix, sodass A =
−AT ist. Zeigen Sie, dass det A = 0 ist.
Aufgabe V4
(a) Sei K ein Körper, n
nach n, dass

1
1

det  ..
.
1
∈ N und x1, . . . , xn ∈ K . Zeigen Sie per Induktion

x1 x21 · · · xn−1
1
n−1 
2
Y
x2 x2 · · · x2 
(xj − xi)
..  =
.. ..
.  1≤i<j≤n
. .
xn x2n · · · xn−1
n
gilt. Diese Determinante heißt Vandermondsche Determinante.
Hinweis: Das leere Produkt ist 1.
(b) Wann ist die Matrix in (a) invertierbar?
(c) Es seien n paarweise verschiedene Zahlen x1, . . . , xn ∈ K gegeben, außerdem seien n beliebige (nicht notwendigerweise verschiedene) Elemente
y1, . . . , yn ∈ K gegeben. Zeigen Sie, dass es genau ein Polynom
p(x) =
n−1
X
αi xi ∈ Kn−1[x]
i=0
vom Grad ≤ n − 1 gibt, sodass für alle j = 1, . . . , n gilt p(xj ) = yj .
Stellen Sie dazu ein lineares Gleichungssystem für die Koeffizienten αi
von p auf.
Lösung zu Aufgabe V4
(a) Für n ∈ N und x1, . . . , xn ∈ K gilt


n−1
2
1 x1 x1 · · · x1
1 x x2 · · · xn−1
Y
2

2
2 
(xj − xi).
det  .. .. ..
..  =
. . .
.  1≤i<j≤n
1 xn x2n · · · xn−1
n
Beweis per Induktion nach n:
Q
Für n = 1 ist det 1 = 1 = 1≤i<j≤n(xj − xi), da es keine Indizes i, j
mit i < j gibt, d. h. das Produkt ist 1.
Die Behauptung gelte also für n Elemente x1, . . . , xn . Seien nun x1, . . . , xn+1 ∈
K . Folgende Umformungen wurden gemacht (siehe nächste Seite):
➀: Das −xn+1 -fache der vorlezten Spalte wird auf die letzte addiert,
. . . , das −xn+1 -fache der zweiten Spalte wird auf die dritte addiert, das
−xn+1 -fache der ersten Spalte wird auf die zweite addiert.
➁: Entwicklung nach der letzten Zeile
➂: Aus jeder Zeile wird ein Faktor (xi − xn+1) herausgezogen.
➃: Induktionsvoraussetzung

1
1

det  ..
.
1

1
1

➀

= det  ...

1
1

x1
x21 · · · xn1
x2
x22 · · · xn2 

.. 
..
..
. 
.
.
2
n
xn+1 xn+1 · · · xn+1
x1 − xn+1 x1 (x1 − xn+1) · · ·
x2 − xn+1 x2 (x2 − xn+1) · · ·
..
..
.
.
xn − xn+1 xn (xn − xn+1) · · ·
0
0
···

x1 − xn+1 x1(x1 − xn+1)
x − x
n+1 x2 (x2 − xn+1)
➁
 2
=(−1)n+2 det 
..
..

.
.
xn − xn+1 xn (xn − xn+1)

xn−1
(x
−
x
)
1
n+1
1
n−1
x2 (x2 − xn+1) 


..

.

n−1
xn (xn − xn+1)
0

· · · xn−1
(x
−
x
)
1
n+1
1

· · · xn−1
(x
−
x
2
n+1 ) 
2

..

.
n−1
· · · xn (xn − xn+1)


1 x1 · · · xn−1
1
1 x · · · xn−1
2
➂

2 
=(−1)n(x1 − xn+1)(x2 − xn+1) · · · (xn − xn+1) det  .. ..
.. 
. .
. 
n−1
1 xn · · · xn
Y
➃
=(xn+1 − x1)(xn+1 − x2 ) · · · (xn+1 − xn)
(xj − xi)
1≤i<j≤n
=
Y
(xj − xi)
1≤i<j≤n+1
(b) Die Matrix in (a) ist invertierbar, genau dann wenn die Determinante
Q
1≤i<j≤n(xj − xi ) ungleich 0 ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn die
xi paarweise verschieden sind
(c) Behauptung: zu Elementen x1, . . . , xn, y1 , . . . , yn ∈ K , wobei die xi paarweise verschieden sind, gibt es genau ein Polynom
p(x) =
n−1
X
αi xi ∈ Kn−1[x]
i=0
mit p(xj ) = yj .
p soll also die Gleichungen
p(xj ) =
n−1
X
i=0
αi xij = α0 + xj α1 + x2j α2 + . . . + xn−1
αn−1 = yj
j
erfüllen. In Matrizenschreibweise:


 

1 x1 x21 · · · xn−1
α
y
0
0
1
1 x x2 · · · xn−1  α   y 
2
1 

 1 
2
2 
 .. .. ..
..   ..  =  .. 
. . .
.  .   . 
2
n−1
1 xn xn · · · xn
αn−1
yn−1
Dieses Gleichungssystem hat genau dann eine eindeutige Lösung, wenn die
n × n-Matrix invertierbar ist, und das ist der Fall, wenn die xi paarweise
verschieden sind, was sie ja laut Voraussetzung auch sind. (Wären Sie es nicht,
dann ist die Matrix nicht invertierbar, und dann gibt es entweder meherere
Lösungen, wenn die zugehörigen yi ’s ebenfalls übereinstimmen, oder keine
Lösung, wenn diese verschieden sind)