Klausurenskript Finanzmathematik

Prof. Dr. Günter Hellmig
Klausurenskript
Finanzmathematik
Inhalt:
Klausur vom WS 2009/10
1. Einfache Zinsen: Vorschüssigkeit und Nachschüssigkeit
2. Rentenrechnung: Rentenendwert und Rentenbarwert
3. Tilgungsrechnung: Tilgungsplan bei Ratentilgung
Klausur vom SS 2010
1. Zinseszinsen bei Zinsansammlung: Variable Zinssätze sowie unterjährige Zinsperiode
2. Investitionsrechnung: Kapitalwertmethode und Interne-Zinsfuß-Methode
3. Rentenrechnung: Rentenendwert und Zinssatz
Klausur vom WS 2010/11
1. Einfache Zinsen: Rendite und Bearbeitungsgebühr
2. Tilgungsrechnung: Restschuld und Annuität bei Ratentilgung
3. Abschreibungsrechnung: Abschreibungsbetrag und Buchwert bei linearer Abschreibung
Klausur vom SS 2011
1. Einfache Zinsen: Unterjährigkeit
2. Rentenrechnung: Aufgeschobene und abgebrochene Rente
3. Tilgungsrechnung: Tilgungsdauer bei Annuitätentilgung
Klausur vom WS 2011/12
1. Einfache Zinsen: Unterjährigkeit
2. Rentenrechnung: Rentenrate und Rentenbarwert
3. Tilgungsrechnung: Tilgungsplan und Effektivverzinsung bei Disagio und Ratentilung
Klausur vom SS 2012
1. Einfache Zinsen: Vorschüssigkeit
2. Zinseszinsen bei Zinsansammlung: Variable Zinssätze und Renditebestimmung
3. Tilgungsrechnung: Annuitätentilgung und Ratentilgung
Klausur vom WS 2012/13
1. Zinsen: Wertzuwachs, Nachschüssigkeit, Vorschüssigkeit, Rendite
2. Investitionsrechnung: Kapitalwert
3. Rentenrechnung: Kapitalaufbau
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1. Die "Finanzbank" verkauft sog. Bankschätze mit Abzinsung (Nennwert = 5000 Euro,
Laufzeit = 3 Jahre). - Berechnen Sie folgende Prozentzahlen mit 3 Nachkommastellen:
a) Wenn der Verkaufspreis 4570 Euro lautet:
Wie hoch ist der Verkaufszinssatz? .....................................................Lösung:
b) Wenn der Verkaufspreis 4590 Euro lautet:
Wie hoch ist der einfache Zinssatz? .....................................................Lösung:
c) Wenn der Verkaufszinssatz 2,7 Prozent lautet:
Wie hoch ist der einfache Zinssatz? .....................................................Lösung:
d) Wenn der einfache Zinssatz 3,1 Prozent lautet:
Wie hoch ist der Verkaufsszinssatz? ....................................................Lösung:
2.a) Dietrich Doppelspar schließt einen fünfjährigen Ratensparvertrag ab, für den
nachschüssige Einzahlungen von 2000 Euro und 3 Prozent Zinsen vereinbart werden.
Unmittelbar nach Laufzeitende schließt er noch einen siebenjährigen Ratensparvertrag ab,
für den dieselben Konditionen gelten. - Wie lautet das (gemeinsame) Endkapital?
b) Berechnen Sie das Ergebnis zu Frage a) nachvollziehbar auf eine andere Art!
c) Wie lautet der entsprechende Barwert?
3. Oskar Ohnegeld nimmt einen Kredit von 80000 Euro auf, den er grundsätzlich in
konstanten Raten abbezahlen muss, zuzüglich 5,5 Prozent Zinsen. Wie lautet der
Tilgungsplan in den letzten beiden Tilgungsjahren,
a) wenn die regelmäßigen Raten 5000 Euro betragen,
b) wenn die regelmäßigen Raten 6000 Euro betragen?
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1.a) K 0 = Kn ⋅ (1 − n ⋅ iV )
b) Kn = K 0 ⋅ (1 + n ⋅ i )
c) K 0 = Kn ⋅ (1 − n ⋅ iV )
Kn = K 0 ⋅ (1 + n ⋅ i )
d) Kn = K 0 ⋅ (1 + n ⋅ i )
K 0 = Kn ⋅ (1 − n ⋅ iV )
2.a) Rn
2,977
2,938
2,836
5
(wobei n=5) →
qm − 1
q −1
(wobei m=7) →
1,03 − 1
Rn = 2000 ⋅
= 10618,272
1,03 − 1
7
Rn + m = R n ⋅ qm + Rm
qn − 1
b) R n = r ⋅
q −1
R
c) R 0 = nn
q
2,867
...........Lösung:
→
5000 = 4590 ⋅ (1 + 3 ⋅ i )
...........Lösung:
→
K 0 = 5000 ⋅ (1 − 3 ⋅ 0,027) → K 0 = 4595
→
5000 = 4595 ⋅ (1 + 3 ⋅ i )
...........Lösung:
→
5000 = K 0 ⋅ (1 + 3 ⋅ 0,031)
→ K 0 = 4574,57
→ 4574,57 = 5000 ⋅ (1 − 3 ⋅ iV )
...........Lösung:
qn − 1
= r⋅
q −1
Rm = r ⋅
3. n =
4570 = 5000 ⋅ (1 − 3 ⋅ iV )
→
→
Rn + m
1,03 − 1
= 15324,924
1,03 − 1
7
= 10618,272 ⋅ 1,03 + 15324,924 = 28384,06
R m = 2000 ⋅
12
(wobei n=12)
→
→
1,03 − 1
R n = 2000 ⋅
= 28384,06
1,03 − 1
28384,06
R0 =
= 19908,01
12
1,03
S0
T
t −1
)
n
t −1
Zt = S 0 ⋅ (1 −
)⋅i
n
S
T = 0 = konstant
n
S
At = 0 ⋅ [1 + (n − t + 1) ⋅ i ]
n
t
St = S 0 ⋅ (1 − )
n
St −1 = S 0 ⋅ (1 −
→
Zt = St −1 ⋅ i
→
T ∗ = St −1
→
At∗ = Zt + T ∗
→
S t∗
= St −1 − T ∗
a)
Jahr
15
16
Anfangsschuld
10000
5000
Zinsen
550
275
Tilgung
5000
5000
Annuität
5550
5275
Restschuld
5000
0
Jahr
13
14
Anfangsschuld
8000
2000
Zinsen
440
110
Tilgung
6000
2000
Annuität
6440
2110
Restschuld
2000
0
b)
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1. Die "Profitbank" bietet einen Stufenzins-Sparbrief an, der eine fünfjährige Laufzeit hat und
mit Zinsansammlung ausgestattet ist. Die Zinssätze lauten:
1. Jahr: 2,0 Prozent
2. Jahr: 2,2 Prozent
3. Jahr: 3,0 Prozent
4. Jahr: 3,8 Prozent
5. Jahr: 4,0 Prozent
a) Wie hoch ist die Rendite (Prozent mit 3 Nachkommastellen)?
b) Wenn dieser Sparbrief mit einem halbjährlichen Zinszuschlag ausgestattet ist: Wie hoch ist
dann die Rendite (Prozent mit 3 Nachkommastellen)?
2. Der Unternehmer Timo Tüchtig kauft eine Maschine. Der Kaufpreis ist 60000 Euro; die
Nutzungsdauer beträgt 2 Jahre. Im ersten Jahr erwirtschaftet sie Einnahmen von 75000
Euro, die Ausgaben sind 55000 Euro. Im zweiten Jahr hat sie Einnahmen von 80000 Euro
und Ausgaben von 35000 Euro, hinzu kommt noch ein Restwert von 5000 Euro.
a) Berechnen Sie den Kapitalwert (Kalkulationszinssatz = 9 Prozent)!
b) Berechnen Sie den internen Zinsfuß!
c) Nennen und erläutern Sie einen Nachteil der Kapitalwert-Methode und einen Nachteil der
Internen-Zinsfuß-Methode!
3. Gerd Geldhaufe erhält den Auszahlungsbetrag zu seiner Rentenversicherung, die er vor
15 Jahren abgeschlossen hatte und die er jährlich-nachschüssig mit 800 Euro bedient hatte.
a) Als Verzinsung waren ihm 4 Prozent in Aussicht gestellt worden. - Mit welchem
Auszahlungsbetrag kann er rechnen?
b) Tatsächlich werden ihm 15900 Euro ausgezahlt, weil die tatsächliche Verzinsung nur bei
3,9 Prozent liegt. - Prüfen Sie diesen Zinssatz in nachvollziehbarer Weise!
c) Begründen Sie: Liegt die tatsächliche Verzinsung - bei genauester Betrachtung geringfügig über oder unter 3,9 Prozent?
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1.a) Kn = K 0 ⋅ qn
→
q = n q1 ⋅ q 2 ⋅ ... ⋅ qn
q = 5 1,020 ⋅ 1,022 ⋅ 1,030 ⋅ 1,038 ⋅ 1,040 = 1,02997
→
pe = 2,997
q = 5 1,0102 ⋅ 1,0112 ⋅ 1,0152 ⋅ 1,0192 ⋅ 1,0202 = 1,03021 →
pe = 3,021
b) Kn = K 0 ⋅ qn
2.a) C 0 = − A0 +
→
E1 − A1 E 2 − A2
E −A R
+
+ ... + n n n + nn
2
q
q
q
q
C 0 = −60000 +
b) 0 = − A0 +
m
q = n qRm1 ⋅ qRm2 ⋅ ... ⋅ qRn
75000 − 55000 80000 − 35000 5000
+
+
→
1,09
1,092
1,092
C 0 = 432,62
E1 − A1 E 2 − A2
E −A R
+
+ ... + n n n + nn
2
q
q
q
q
0 = −60000 +
75000 − 55000 80000 − 35000 5000
+
+ 2
q
q2
q
1
5
q2 − ⋅ q − = 0
3
6
q=
1
±
6
()+
1 2
6
q1 = 1,09463
5
6
→
q 2 = −0,76129 →
pe = 9,463
pe = − 176,129 → n.d .
c) Nachteil der Kapitalwert-Methode: Ermessensspielraum bei der Festlegung des
Kalkulationszinssatzes, welcher über die Vorteilhaftigkeit der Investition entscheidet
Nachteil der Internen-Zinsfuß-Methode: umständliche Berechnung; bei höheren
Nutzungsdauern überhaupt kein geschlossenes Berechnungsverfahren
3.a) Rn = r ⋅
b) Rn = r ⋅
qn − 1
→
q −1
qn − 1
q −1
→
Rn = 800 ⋅
15900 ≅ 800 ⋅
1,0415 − 1
1,04 − 1
→
Rn = 16018,87
1,03915 − 1
1,039
→
15900 ≅ 15900,36
c) Die tatsächliche Verzinsung liegt geringfügig unter 3,9 Prozent, weil der
Auszahlungsbetrag kleiner ist als 15900,36.
Prof. Dr. Günter Hellmig - Klausurenskript Finanzmathematik - Aufgaben WS 2010/11
1. Die "Bernadetta-Bank" vergibt einjährige Kredite zu 3,49 Prozent Zinsen; die Kredite
werden abzüglich einer Bearbeitungsgebühr von 2 Prozent ausgezahlt. Vorzeitige
Rückzahlung der Kredite ist möglich; in diesem Fall werden die anteiligen Zinsen und die
volle Bearbeitungsgebühr berechnet. - Es ist mit drei Nachkommastellen zu berechnen:
a) Wie hoch ist die Effektivverzinsung, wenn die Rückzahlung nach 1 Jahr erfolgt
(Kredit = 100000 Euro)?
b) Der Kreditnehmer Günter Erbpächter kann die Rückzahlung schon nach 4 Monaten leisten
(Kredit = 100000 Euro). - Wie hoch ist für ihn die Effektivverzinsung?
c) Zusatzfrage: Wie hoch wäre für Günter Erbpächter die Effektivverzinsung, wenn
(1) er nur die Bearbeitungsgebühr bezahlen müsste (also keine Zinsen),
(2) er nur die Zinsen bezahlen müsste (also keine Bearbeitungsgebühr)?
2. Eine Bank vergibt Kredite, die durch Ratentilgung bei 5 Prozent Zinsen abzuzahlen sind.
a) Anton Abzahler hat einen Kredit für 8 Jahre; sein Kreditbetrag ist 100000 Euro. - Wie hoch
ist die Restschuld im 5. Jahr?
b) Thomas Tilger hat einen Kredit für 15 Jahre; seine Tilgungsrate ist 8000 Euro. - Wie hoch
ist die Annuität im 11. Jahr?
3. Der Unternehmer Peter Profitlich kauft zwei Maschinen, die er jährlich linear abschreibt.
a) Die erste Maschine hat einen Anschaffungspreis von 150000 Euro und ist nach 12 Jahren
restlos abgeschrieben.
(1) Wie hoch ist der jährliche Abschreibungsbetrag?
(2) Wie hoch ist der Buchwert am Ende des 10. Jahres?
b) Die zweite Maschine hat einen Anschaffungspreis von 200000 Euro und ist nach 5 Jahren
bis auf den Schrottwert von einem Zehntel des Anschaffungspreises abgeschrieben.
(1) Wie hoch ist der jährliche Abschreibungsbetrag?
(2) Wie hoch ist der Buchwert am Ende des 3. Jahres?
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Kn
K0
1.a) q = n
Kn
K0
b) q = n
1
3
q=n
→
(
1
3
c2) q = n
Kn
K0
q=n
→
) = 1,099996
K 0 ⋅ (1 + n ⋅ 0)
E
100000
= 1,062482
98000
→
Kn
K0
K 0 ⋅ (1 + n ⋅ i )
K0
q=n
→
b) T =
At =
S0
n
→
→
S0
⋅ [1 + (n − t + 1) ⋅ i ]
n
a2) Bn = B 0 − n ⋅ A
→
b1) Bn = B 0 − n ⋅ A →
b2) Bn = B 0 − n ⋅ A
→
→
pe = 10,000
→
n
K0
E
→ q = n 1+ n ⋅i
pe = 3,531
→
 5
S 5 = 100000 ⋅ 1 −  = 37500
 8
S0 = n ⋅T
3.a1) Bn = B 0 − n ⋅ A →
pe = 5,602
pe = 6,248
1
1
q = 3 1 + ⋅ 0,0349 = 1,035308
3
t

2.a) St = S 0 ⋅ 1 − 
 n
→
K 0 ⋅ (1 + n ⋅ i )
E
100000 ⋅ 1 + 13 ⋅ 0,0349
98000
c1) q = n
q=
K 0 ⋅ qn
E
100000 ⋅ 1,0349
= 1,056020
98000
q =1
q=
q=n
→
A=
→
S 0 = 15 ⋅ 8000 = 120000
A11 =
→
B 0 − Bn
n
120000
⋅ [1 + (15 − 11 + 1) ⋅ 0,05] = 10000
15
→
A=
150000 − 0
= 12500
12
B10 = 150000 − 10 ⋅ 12500 = 25000
A=
B 0 − 101 ⋅ B 0
n
→ A=
200000 − 101 ⋅ 200000
B 3 = 200000 − 3 ⋅ 36000 = 92000
5
= 36000
Prof. Dr. Günter Hellmig - Klausurenskript Finanzmathematik - Aufgaben SS 2011
1. Dietrich Dreier zahlt dreimal im Jahr, und zwar zu Beginn eines jeden Jahresdrittels,
1000 Euro auf ein Sparkonto. Wie hoch ist die Summe am Jahresende bei einem Zinssatz
von 1,5 Prozent?
2. Detlef Doppelfrist schließt einen Sparvertrag ab. Der Vertrag beginnt mit einer vierjährigen Aufschubfrist, dann sind zehn Jahre lang regelmäßige Raten von 5000 Euro zu
zahlen, und er endet nach einer sechsjährigen Wartefrist. Der Zinssatz beträgt 4 Prozent.
a) Wie hoch ist, wenn die Zahlungen nachschüssig sind, das gesamte Endkapital?
b) Zusatzfrage: Wie hoch ist der Barwert?
c) Wie hoch ist, wenn die Zahlungen vorschüssig sind, das gesamte Endkapital?
d) Zusatzfrage: Wie hoch ist der Barwert?
3. Otto Ohnegeld hat einen Kredit von 150000 Euro zu 9 Prozent Zinsen aufgenommen.
a) Wann ist der Kredit rechnerisch getilgt, wenn die Annuität 15000 Euro beträgt?
(Nachvollziehbare Rechnung!)
- Zusatzfrage: Welches Kalenderjahr und welcher Monat entspricht diesem Ergebnis, wenn
der Kredit am 1. Januar 2011 aufgenommen wurde?
b) Was würde sich für den Tilgungszeitpunkt ergeben, wenn die Annuität nur 13000 Euro
beträgt? (Nachvollziehbare Rechnung!)
- Zusatzfrage: Wie lässt sich dieses Ergebnis sachlich erläutern und begründen?
Prof. Dr. Günter Hellmig - Klausurenskript Finanzmathematik - Lösungen SS 2011
(
)
(
1. Kn = Kn1 + Kn 2 + Kn3 = K 0 ⋅ (1 + i ) + K 0 ⋅ 1 + 23 ⋅ i + K 0 ⋅ 1 + 13 ⋅ i
)
Kn = 1000 ⋅ (1 + 0,015) + 1000 ⋅ (1 + 23 ⋅ 0,015) + 1000 ⋅ (1 + 13 ⋅ 0,015)
Kn = 1015 + 1010 + 1005 = 3030
qn − 1 m
⋅q
q −1
1,0410 − 1
Rn = R10 = 5000 ⋅
= 60030,54
1,04 − 1
Ks = K 16 = R10 ⋅ q 6 = 60030,54 ⋅ 1,046 = 75957,78
2.a) Ks = Rn ⋅ qm = r ⋅
K 16 75957,78
=
= 34666,14
q 20
1,0420
qn − 1 m
c) Ks = R 'n ⋅ qm = r ⋅ q ⋅
⋅q
q −1
1,0410 − 1
R 'n = R10
' = 5000 ⋅ 1,04 ⋅
= 62431,76
1,04 − 1
Ks = K 16 = R10
' ⋅ q 6 = 62431,76 ⋅ 1,046 = 78996,09
b) K 0 =
Ks
qt
→
d) K 0 =
Ks
qt
→
K0 =
K0 =
K 16 78996,09
=
= 36052,78
q 20
1,0420
 q −1 
3.a) A = S 0 ⋅ qn ⋅  n 
 q −1
 1,09 − 1 
15000 = 150000 ⋅ 1,09n ⋅ 

n
 1,09 − 1 
15000 ⋅ (1,09n − 1) = 150000 ⋅ 1,09n ⋅ 0,09
→
n
1500 ⋅ 1,09 = 15000
→
lg 10
n=
→
lg 1,09
Zusatzfrage: Jahr = 2037, Monat = September
 q −1 
b) A = S 0 ⋅ qn ⋅  n 
 q −1
15000 ⋅ 1,09 n − 15000 = 13500 ⋅ 1,09n
1,09n = 10
n = 26,719
 1,09 − 1 
13000 = 150000 ⋅ 1,09n ⋅ 

n
 1,09 − 1 
13000 ⋅ (1,09n − 1) = 150000 ⋅ 1,09n ⋅ 0,09
→
13000 ⋅ 1,09 n − 13000 = 13500 ⋅ 1,09n
500 ⋅ 1,09 n = −13000
→
1,09n = −26
lg(− 26 )
n=
→
n = n.d .
lg 1,09
Zusatzfrage: Der Kredit wird niemals getilgt, weil die Zinsen höher sind als die Annuität.
Prof. Dr. Günter Hellmig - Klausurenskript Finanzmathematik - Aufgaben WS 2011/12
1. Der Lieferant Egon Ehrlicher hat am 22.07.2011 von seinem Kunden Verzugszinsen
(821,37 Euro) erhalten für einen seit dem 06.01.2011 ausstehenden Rechnungsbetrag von
12600 Euro.
a) Welcher Zinssatz entspricht dieser Zinszahlung (Methode 30E/360, Rechnung mit drei
Nachkommastellen)?
b) Wie hoch wäre der entsprechende Zinssatz, wenn ...
(1) die beiden obigen Termine jeweils genau 1 Monat später wären,
(2) die beiden obigen Termine jeweils genau 1 Jahr später wären?
2. Günter Gutmensch hat seit 20 Jahren an eine karitative Organisation regelmäßige nachschüssige Zahlungen geleistet, welche am Ende der Zeitspanne einen finanzmathematischen
Gesamtwert von 60000 Euro haben. - Wie hoch sind diese Zahlungen gewesen ...
a) bei einem Zinssatz von 4,5 Prozent,
b) bei einem Zinssatz von 3,5 Prozent?
c) Zusatzfrage zu b): Wie hoch ist der finanzmathematische Gesamtwert zu Beginn dieser
Zeitspanne?
3. Gerhard Geldermann erhält einen Kredit von 40000 Euro, welcher bei 4 Prozent Zinsen
innerhalb von 2 Jahren in gleichen Raten zurückzuzahlen ist. Die Auszahlung erfolgt mit
einem Disagio von 2,5 Prozent.
a) Wie lautet der Tilgungsplan?
b) Wie hoch ist der Effektivzinssatz?
c) Wie hoch wäre der Effektivzinssatz, wenn bereits am Ende des ersten Jahres die gesamte
Restschuld zurückgezahlt wird?
d) Warum ist der Effektivzinssatz bei c) höher als bei b)?
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1.a) Kn = K 0 ⋅ (1 + n ⋅ i )
 24 + 30 + 30 + 30 + 30 + 30 + 22 
12600 + 821,37 = 12600 ⋅ 1 +
⋅i
360


196
13421,37 = 12600 + 12600 ⋅
⋅i
→
i = 0,11973
360
p = 11,973
b1) p = 11,973
b2) p = 11,973
1,04520 − 1
1,045 − 1
→
r = 60000 ⋅
1,045 − 1
= 1912,57
1,04520 − 1
1,03520 − 1
1,035 − 1
→
r = 60000 ⋅
1,035 − 1
= 2121,66
1,03520 − 1
2.a) Rn = r ⋅
qn − 1
q −1
→
60000 = r ⋅
b) Rn = r ⋅
qn − 1
q −1
→
60000 = r ⋅
c) R 0 =
Rn
qn
→
R0 =
60000
= 30153,95
1,03520
3.a)
S t −1
40000
20000
t
1
2
b) 0 = − E +
A1 A 2 A3
T
+ 2 + 3 + ... + n
q q
q
q
Zt
1600
800
T
20000
20000
→
At
21600
20800
0 = −39000 +
St
20000
0
21600 20800
+
q
q2
21600
20800
⋅q −
39000
39000
q1 = 1,05796
→
21600
 21600  2 20800
± 
 +
78000
 78000  39000
pe = 5,796
q 2 = −0,50411
→
pe = − 150,411 = n.d .
0 = q2−
A1 A2 A3
T
+ 2 + 3 + ... + n
q q
q
q
21600 20000
0 = −39000 +
+
q
q
→
q=
c) 0 = − E +
→
q = 1,06667
→
pe = 6,667
d) Der Effektivzinssatz ist bei c) höher, weil sich hier das Disagio auf einen verkürzten
Zeitraum bezieht (nur 1 Jahr, anstatt 2 Jahre).
Prof. Dr. Günter Hellmig - Klausurenskript Finanzmathematik - Aufgaben SS 2012
1. Der angehende Industriekaufmann A. Zubi entdeckt alte Aufzeichnungen zu zwei
Wechseln, die von seiner Firma bei einer Bank eingereicht worden waren.
a) Im ersten Fall war ein Wechsel (Wechselsumme = 18000 Geldeinheiten) 90 Tage vor
Fälligkeit bei einer Bank eingereicht worden. - Welche Gutschrift hat die Firma erhalten,
wenn der Diskontsatz 6,5 Prozent betrug? (Jahr = 360 Tage)
b) Im zweiten Fall hatte die Firma eine Wechselgutschrift von 9900 Geldeinheiten von einer
Bank erhalten (Diskontsatz = 5 Prozent). - Wieviel Tage vor Fälligkeit war die Gutschrift
erfolgt, wenn die Wechselsumme 10000 Geldeinheiten betrug? (Jahr = 360 Tage)
2. Die Anlegerin Wilhelmine Rückert kauft einen von einer Bank ausgegebenen Zinsansammlungs-Sparbrief; dieser hat eine Laufzeit von 5 Jahren und folgende Zinsstaffel:
1. Jahr = 3,25 %, 2. Jahr = 3,50 %, 3. Jahr = 3,75 %, 4. Jahr = 4,00 %, 5. Jahr = 4,25 %. Es ist mit drei Nachkommastellen und nachvollziehbar zu berechnen:
a) Wie hoch ist die Rendite ?
b) Wenn hier der Ausgabekurs 101,5 Prozent lautet: Wie hoch ist dann die Rendite?
c) Die Anlegerin kauft den in Frage b) beschriebenen Sparbrief im Nennwert von 9000 Euro.
(1) Wie hoch ist der Kaufpreis (Euro)?
(2) Wie hoch ist der Rückgabepreis (Euro)?
(3) Bestimmen Sie die Rendite aufgrund der Euro-Werte!
3. Otto Ohnegeld hat ein Darlehen von 140000 Euro zu 5,25 Prozent Zinsen erhalten; er muss
10 Jahre lang tilgen.
a) Wie hoch ist, wenn es sich hierbei um Annuitätentilgung handelt, im 6. Jahr:
(1) Restschuld
(2) Zinsen
b) Wie hoch ist, wenn es sich dagegen um Ratentilgung handelt, im 6. Jahr:
(1) Anfangsschuld
(2) Tilgung
(3) Annuität
Prof. Dr. Günter Hellmig - Klausurenskript Finanzmathematik - Lösungen SS 2012
1.a) K 0 = Kn ⋅ (1 − n ⋅ iV )
→
b) K 0 = Kn ⋅ (1 − n ⋅ iV )
→
2.a) q = n
Kn
K0
→
90


K 0 = 18000 ⋅ 1 −
⋅ 0,065 
 360

T


9900 = 10000 ⋅ 1 −
⋅ 0,05 
 360

→
→
Kn
K0
→
T = 72
K 0 ⋅ q1 ⋅ q 2 ⋅ ... ⋅ qn n
= q1 ⋅ q 2 ⋅ ... ⋅ qn
K0
q=n
q = 5 1,0325 ⋅ 1,035 ⋅ 1,0375 ⋅ 1,040 ⋅ 1,0425 = 1,037494
b) q = n
K 0 = 17707,50
→
pe = 3,749
→
pe = 3,441
K 0 ⋅ q1 ⋅ q 2 ⋅ ... ⋅ qn
E
q=n
1,0325 ⋅ 1,035 ⋅ 1,0375 ⋅ 1,040 ⋅ 1,0425
= 1,034409
1,015
c1) E = K 0 ⋅ 1,015
E = 9000 ⋅ 1,015
q=5
→
E = 9135
c2) Kn = K 0 ⋅ q1 ⋅ q 2 ⋅ ... ⋅ qn
K 5 = 9000 ⋅ 1,0325 ⋅ 1,035 ⋅ 1,0375 ⋅ 1,040 ⋅ 1,0425 = 10818,584 → K 5 = 10818,58
c3) q = n
q=5
Kn
K0
→
q=n
Kn
E
10818,58
= 1,034409
9135
3.a1) St = S 0 ⋅
qn − qt
qn − 1
a2) Zt = S 0 ⋅ (q − q
n
S 6 = 140000 ⋅
→
t −1
→
1,052510 − 1,0525 6
10
1,0525 − 1
→
pe = 3,441
S 6 = 64697,07
) ⋅ qn − 1
q −1
1,0525 − 1
→
Z 6 = 4142,56
10
1,0525 − 1
t
5


b1) St = S 0 ⋅ 1 −  → S 5 = 140000 ⋅ 1 − 
→
S 5 = 70000
 n
 10 
S
140000
b2) T = 0
→ T=
→
T = 14000
n
10
S
140000
b3) At = 0 ⋅ [1 + (n − t + 1) ⋅ i ] → A6 =
⋅ [1 + (10 − 6 + 1) ⋅ 0,0525] → A6 = 17675
n
10
10
Z 6 = 140000 ⋅ (1,0525 − 1,0525
6 −1
)⋅
Prof. Dr. Günter Hellmig - Klausurenskript Finanzmathematik - Aufgaben WS 2012/13
1. Von Manfred Mengepenge waren am 1. März 2012 einjährige Finanzierungsschätze im
Nennwert von 9000 Euro und zum Preis von 8900 Euro gekauft worden; diese sind am
1. März 2013 fällig. - Zu folgenden Begriffen sind die Lösungen mit 3 Nachkommastellen
einzutragen:
a) Wertzuwachs (Euro)..........................................................Lösung:
b) Nachschüssiger Zinssatz (Prozent)....................................Lösung:
9999999
c) Verkaufszinssatz (Prozent)................................................Lösung:
d) Rendite (Prozent)..............................................................Lösung:
e) Zinsbetrag (Euro)..............................................................Lösung:
f) Einfacher Zinssatz (Prozent)..............................................Lösung:
g) Vorschüssiger Zinssatz (Prozent)......................................Lösung:
h) Effektiver Zinssatz (Prozent)............................................Lösung:
2. Der Unternehmer Siegesmund Rüstig kauft für 100000 Euro eine Maschine, die eine
Laufzeit von 4 Jahren hat. Im ersten Jahr verursacht sie Ausgaben A=40000 Euro und
Einnahmen E=80000 Euro, im zweiten Jahr lauten die Zahlen A=30000 und E= 90000, im
dritten Jahr ergeben sich A=70000 und E=60000, und im vierten Jahr sind es A=20000 und
E=50000. Der Kalkulationszinssatz beträgt 6 Prozent.
a) Berechnen Sie den Kapitalwert!
b) Der investitionsrechnerische Begriff "Kapitalwert" ist zu definieren. (Genaue Definition!)
3. Sascha Sparmann, der auf seinem Konto einen bestimmtem Anfangsbestand hat, will durch
jährliche vorschüssige Einzahlungen und bei 3 Prozent Zinsen innerhalb von 15 Jahren auf
einen Endbestand von 100000 Euro kommen.
a) Wie hoch muss die jährliche Einzahlung sein, wenn der Anfangsbestand 20000 Euro ist?
b) Wie hoch wäre der Anfangsbestand, wenn die jährliche Einzahlung 4000 Euro wäre?
c) Wie hoch wäre bei Frage b) der Kontostand nach Ablauf des vierten Jahres?
Prof. Dr. Günter Hellmig - Klausurenskript Finanzmathematik - Lösungen WS 2012/13
1.a) Z = Kn − K 0
Lösung für Z:
b) Kn = K 0 ⋅ (1 + n ⋅ ina ) → 9000 = 8900 ⋅ (1 + 1 ⋅ ina )
→
Lösung für pna :
1,124
c) K 0 = Kn ⋅ (1 − n ⋅ iV ) →
→
Lösung für pV :
1,111
Kn
K0
e) Z = Kn − K 0
d) qe = n
→
→
Z = 9000 − 8900
100
→
→
8900 = 9000 ⋅ (1 − 1 ⋅ iV )
9000
= 1,011236 → Lösung für pe :
8900
Z = 9000 − 8900
→ Lösung für Z:
qe = 1
1,124
100
f) Kn = K 0 ⋅ (1 + n ⋅ ina ) →
9000 = 8900 ⋅ (1 + 1 ⋅ ina ) →
Lösung für pna :
1,124
g) K 0 = Kn ⋅ (1 − n ⋅ iV ) →
8900 = 9000 ⋅ (1 − 1 ⋅ iV ) →
Lösung für pV :
1,111
9000
= 1,011236 →
8900
Lösung für pe :
1,124
h) qe = n
Kn
K0
→
qe = 1
E1 − A1 E 2 − A2
E −A
E −A
R
+
+ ... + n − 1n − 1 n − 1 + n n n + nn
2
qe
qe
qe
qe
qe
E − A1 E 2 − A2
E −A
E −A R
C 0 = − A0 + 1
+
+ ... + n − 1 n − 1 n − 1 + n n n + nn
2
q
q
q
q
q
80000 − 40000 90000 − 30000 60000 − 70000 50000 − 20000
C 0 = −100000 +
+
+
+
+0
1,06
1,062
1,063
1,064
C 0 = 6502,25
2.a) 0 = − A0 +
b) Der Kapitalwert ist eine Kennziffer für die Vorteilhaftigkeit einer Investition; er ist die
Differenz zwischen der Anschaffungsausgabe und den laufenden Einnahmeüberschüssen,
welche mit dem Kalkulationszinssatz auf den Beginn der Nutzungsdauer abgezinst
worden sind.
3.a) Kn = K 0 ⋅ qn + r ⋅ q ⋅
qn − 1
q −1
1,0315 − 1
1,03 − 1
→
r = 3593,52
1,0315 − 1
1,03 − 1
→
K 0 = 15001,90
1,034 − 1
K 4 = 15001,90 ⋅ 1,03 + 4000 ⋅ 1,03 ⋅
1,03 − 1
→
K 4 = 34121,31
100000 = 20000 ⋅ 1,0315 + r ⋅ 1,03 ⋅
b) Kn = K 0 ⋅ qn + r ⋅ q ⋅
qn − 1
q −1
100000 = K 0 ⋅ 1,0315 + 4000 ⋅ 1,03 ⋅
c) Kn = K 0 ⋅ qn + r ⋅ q ⋅
qn − 1
q −1
4