Berechnung von Grundzustandsenergien im Limes N

Transcription

Berechnung von
Grundzustandsenergien im
Limes N → ∞
Computation of ground state energies in the Large-N Limit
Bachelor-Thesis von Matthias Bartelmeß
März 2014
Fachbereich Physik
Institut für Kernphysik
AG Jens Braun
Berechnung von Grundzustandsenergien im Limes N → ∞
Computation of ground state energies in the Large-N Limit
Vorgelegte Bachelor-Thesis von Matthias Bartelmeß
1. Gutachten: Prof. Dr. Jens Braun
2. Gutachten: Dipl. Phys. Dietrich Roscher
Tag der Einreichung:
Erklärung zur Bachelor-Thesis
Hiermit versichere ich, die vorliegende Bachelor-Thesis ohne Hilfe Dritter nur mit den angegebenen Quellen und Hilfsmitteln angefertigt zu haben. Alle Stellen, die aus Quellen entnommen
wurden, sind als solche kenntlich gemacht. Diese Arbeit hat in gleicher oder ähnlicher Form
noch keiner Prüfungsbehörde vorgelegen.
Darmstadt, den 5. März 2014
(Matthias Bartelmeß)
1
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung
5
2. Pfadintegral
2.1. Feynman Pfadintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Berechnung von Zustandssummen mittels des Pfadintegrals . . . .
2.3. Die Zustandssumme des harmonischen Oszillators . . . . . . . . . .
2.4. Inverses des Operators −d2t + ω2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Allgemeine Gaußsche Pfadintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6. Störungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7. Large-N/Mean-Field Näherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.1. Einführen zweier Hilfspfade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.2. Methode der stationären Phase (Stationary Phase Method)
2.7.3. Relevante Sattelpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6
6
7
8
8
8
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12
3. Zweikörperproblem
3.1. Sattelpunkte des Systems . . . . . . . . . .
3.2. Normierung des Pfadintegrals . . . . . . .
3.3. Berechnung höherer Ordnungen . . . . . .
3.4. Quartischer Oszillator . . . . . . . . . . . .
3.5. Verwendete Potentiale . . . . . . . . . . . .
3.6. Potential Typ I . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1. Vergleich mit Störungstheorie . . .
3.6.2. Grenzfall σ → 0 . . . . . . . . . . .
3.7. Potential Typ II . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.1. Vergleich mit der Störungstheorie
3.8. Interpretation der Ergebnisse . . . . . . . .
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19
4. Mehrkörperproblem
4.1. Separation der Schwerpunktsenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1. Jacobi Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2. Transformation in Jacobikoordinaten . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3. Berechnung des Zweikörperproblems in Jacobi Koordinaten
4.2. Sattelpunktnäherung bei Mehrteilchensystemen . . . . . . . . . . . .
4.2.1. Alternative Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Potential Typ I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4. Potential Typ II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5. Fazit und Ausblick
25
A. Anhang: Mathematische Grundlagen & Herleitungen
A.1. Gaußsche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2. Spur und Determinante von Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3. Berechnung der Spur tr ln(−d t2 + λ(·)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
26
26
27
B. Anhang: Tabellen
28
3
1 Einleitung
Ein wichtiges Problem in der Kernphysik ist die Berechnung von Grundzustandsenergien gebundener Systeme.
Während sich für Systeme mit wenigen Teilchen und einfachen Potentialen analytische Lösungen für die Schrödingergleichung finden lassen, aus der sich dann die Grundzustandsenergie einfach berechnen lässt, ist dies bei
realistischen Systemen in der Regel nicht mehr möglich. Daher werden Näherungsverfahren verwendet, um Aussagen über Systeme und deren Eigenschaften zu treffen.
In dieser Thesis wird die Mean-Field/Large-N-Methode im Pfadintegralformalismus vorgestellt. Diese Näherung
erlaubt es, die Zustandssumme eines quantenmechanischen Systems zu berechnen. Mit der Zustandssumme wird
die Grundzustandsenergie
Systemen bestimmt. Hierbei wird die attraktive Zweikörperwechsel
von bosonischen
wirkung U(x) ∝ − exp −x 2 /σ2 , sowie die Erweiterung um eine kurzreichweitige, repulsive Wechselwirkung

U(x) = Aexp −x 2 /σ12 − B exp −x 2 /σ22 , betrachtet. Des Weiteren wird eine Verallgemeinerung dieser Methode
auf Mehrteilchensysteme vorgestellt.
Das von E.D. Jurgenson und R.J. Furnstahl veröffentlichte Paper [4] beschreibt die Grundzustandsenergie des
Zweiteilchensystem exakt und bietet daher eine gute Referenz, um Aussagen über die Qualität der verwendeten
Methode zu treffen.
5
2 Pfadintegral
2.1 Feynman Pfadintegral
Das Feynman Pfadintegral, im Folgenden Pfadintegral genannt, ist eine Methode zur Berechnung der Übergangsamplitude zweier quantenmechanischer Zustände 〈 x 0 , t 0 | x, t 〉, wobei 〈 x 0 , t 0 | x, t 〉 durch den Zeitentwicklungsoperator definiert ist:
〈 x 0 , t 0 | x, t 〉 ≡ 〈 x 0 |Û t, t 0 | x 〉 ≡ 〈 x 0 | exp −i(t − t 0 )Ĥ/ | x 〉.
(2.1)
Der Hamiltonian eines quantenmechanischen Systems habe dabei die Form H = p2 /(2m) + V (q, t). Die Übergangsamplitude lässt sich dann im Pfadintegralformulismus berechnen, indem über alle Pfade q(τ) mit der Randbedingung q(t) = x, q(t 0 ) = x 0 , gewichtet mit der Wirkung des jeweiligen Pfades exp(iS[q]), integriert wird. Die
Wirkung eines Pfades lässt sich durch die Lagrangefunktion ausdrücken:
S[q] ≡ lim SN = lim ε
N →∞
N →∞
N
+1
X

qn − qn−1
ε
n=1
2

− V (q(t n ), t n )
=
t0
Z
dτ L(q(τ), q̇(τ), τ)
(2.2)
t
wobei t n = t + (n − 1)(t − t 0 )/N und ε = 1/N sei. Eine Folge q1 . . . qN +1 beschreibt dabei einen mit N Stützstellen approximierten Pfad. Die Endpunkte sind mit q1 = x und qN +1 = x 0 festgelegt. Die Übergangsamplitude
〈 x 0 , t 0 | x, t 〉 lässt sich dann näherungsweise als Produkt von Raumintegralen über die Wirkung SN schreiben. N
ist dabei ein von der Unterteilung abhängiger Vorfaktor und wird im Folgenden Normierung genannt:
!
N Z ∞
Y
dqn exp iSN .
(2.3)
〈 x 0 , t 0 | x, t 〉 ≈ N (ε)
n=1
−∞
Im Limes N → ∞ ist Gleichung (2.3) exakt und wird als Pfadintegral bezeichnet. Als kompakte Schreibweise für
ein Pfadintegral führen wir die Notation
!
Z
N Z ∞
Y
dqn exp iSN ≡ [dq] exp iS[q]
(2.4)
lim N (ε)
N →∞
n=1
−∞
ein.
In Gleichung (2.4) wird dabei ersichtlich, dass es sich bei einem Pfadintegral um ein Integral über einen Raum
von Funktionen, in diesem Fall Pfade, handelt. Der Pfad mit einer stationären Wirkung liefert dabei den größten
Beitrag des Integrals, da benachbarte Pfade aufgrund des kleinen imaginären Anteils nicht sehr stark oszillieren
und somit diesen Pfad auslöschen könnten.
2.2 Berechnung von Zustandssummen mittels des Pfadintegrals
Die Zustandssumme ist ein Konzept aus der statistischen Physik und beschreibt alle thermodynamischen Eigenschaften eines Systems. Die Zustandssumme eines kanonischen Systems, also eines Systems ohne Teilchenaustausch, ist über die Gleichung
X
Z=
exp −β Ei
(2.5)
i
definiert. Ei bezeichnet dabei einen Energieeigenwert, β = 1/T die inverse Temperatur. Der Grundzustand E0 sei
dabei als kleinstmöglicher Energieeigenwert definiert.
Die Zustandssumme lässt sich auch im Pfadintegralformalismus berechnen. Die äquivalente Definition der Zustandssumme
Z
Z = tr exp −β Ĥ = dq〈 q | exp −β Ĥ | q 〉
(2.6)
6
erlaubt eine Darstellung als Pfadintegral
über alle Pfade mit periodischen Randbedingungen
q(β) = q(0). Dabei
wird der Operator exp −β Ĥ durch den Zeitentwicklungsoperator Û β/i, 0 ausgedrückt.
Die Zustandssumme lässt sich also mit dem Pfadintegral
!
Z
Zβ
Z = [dq] exp
d t Û β/i, 0
(2.7)
0
angeben.
Als Freie Energie F eines Systems bezeichnet man die Differenz zwischen der inneren Energie und dem Produkt
von Temperatur und Entropie. Aus der Definition der Zustandssumme lässt sich dabei der Zusammenhang: F =
−1/β ln Z (β) herleiten [3].
Aus der Zustandssumme eines Systems lässt sich im Limes β → ∞ die Grundzustandsenergie berechnen:
E0 = − lim
β→∞
1
β
ln Z (β)
(2.8)
2.3 Die Zustandssumme des harmonischen Oszillators
Im Folgenden soll die Zustandssumme des harmonischen Oszillators in einer Dimension abgeleitet werden. Die Herleitung orientiert sich dabei an [5]. Dabei werden wir unter anderem die in späteren Rechnungen wichtige Determinante (det(−d t2 +ω)/ det(−d t2 )) berechnen. Das Potential des harmonischen Oszillators ist durch U(q) = (1/2)ω2 q2
gegeben. Zur Berechnung der Zustandssumme verwenden wir das in Gleichung (2.7) angegebene Pfadintegral
( Zβ
) Z
( Zβ
)
Z

1
1
2
2
2
2
2
d t q̇ (t) + ω q(t)
d t q −d t + ω q
Z = [dq] exp
= [dq] exp
(2.9)
2 0
2 0
Betrachtet man das Pfadintegral in seiner diskretisierten Form, so ergibt sich ein Gaußsches Integral mit der Matrix
¯ + ε2 ω. ∇∇
¯ bezeichnet dabei die diskretisierte Form des Ableitungsoperators. Um die Eigenwerte zu
A = −ε2 (∇∇)
bestimmen, stellen wir die Pfade als Fourierreihe dar
q(t) = (N + 1)−1/2
∞
X
exp −iωm t qm
mit ωm =
m=−∞
2πm
β
m∈Z
(2.10)
∗
Da ausschließlich reelle Pfade zulässig sind, muss für die Fourierkomponenten die Bedingung qm = q−m
gelten.
Aufgrund der Diskretisierung können alle qm = 0 für m ≥ N gesetzt werden. Es lässt sich zeigen, dass die Wirkung
beim Übergang zu den Fourierkomponenten qAq = qm T −1 AT qm diagonal wird und die Eigenwerte von A
2 − 2 cos ωm ε + εω2
(2.11)
lauten. Da das diskretisierte Pfadintegral Gaußsch ist, kann es direkt mit Gleichung (A.2) ausgewertet werden. Die
Zustandssumme des harmonischen Oszillators lautet daher
(
)−1/2
N
Y
1
2 2
.
(2.12)
Z = lim
2(1 − cos(ω + mε) + ε ω
=
N →∞
2 sinh(ωβ/2)
0
Möchte man nun die diskrete Formulierung auf eine kontinuierliche Version verallgemeinern, liegt die Form
( Zβ
)
Z

1
2
2
Z = [dq] exp
d t q −d t + ω q
(2.13)
2 0
nahe. Dabei ist jedoch zu beachten, dass die direkte Berechnung des Pfadintegrals über dieQEigenwerte λi des
Operators −d t2 + ω2 nicht unmittelbar durchführbar ist, da die Determinante det(−d t2 + ω2 ) = i λi divergiert. Allerdings lässt sich die Determinante, wie in [5] beschrieben, derart umschreiben, dass nur noch der nicht divergente
Quotient det(−d t2 + ω2 )/ det(−d t2 ) übrig bleibt.
Die beschriebene Divergenz taucht bei so gutRwie allen Pfadintegralen auf. In der Regel ignorieren wir sie während der Rechnung und definieren das Symbol [dq] als entsprechend normiertes Funktionalintegral.
Die Zustandssumme des harmonischen Oszillators taucht in einer Reihe von Herleitungen auf. Im Folgenden
wird sie daher mit Z0 bezeichnet.
7
2.4 Inverses des Operators −d2t + ω2
˜
Um das Inverse des Operators −d2t + ω2 zu bestimmen, betrachten wir die Gleichung mit dem Inversen ∆(t)
˜
(−d2t + ω2 )x(t) = y(t) ⇐⇒ x(t) = ∆(t)
y(t).
(2.14)
Dazu wird die Greensche Funktion ∆(t, t 0 ) eingeführt, welche die Gleichung (−d2t + ω2 )∆(t, t 0 ) = δ(t − t 0 ) erfüllt.
Diese Funktion ist ohne Randbedingungen nicht eindeutig bestimmt, da, falls homogene Lösungen existieren, diese
hinzuaddiert werden können. Da wir ∆ zur Berechnung einer Zustandssumme verwenden wollen, gehen wir von
periodischen Randbedingungen aus. Eine Herleitung der Funktion findet sich in [5], hier sei nur das Ergebnis
angegeben:
∆(t, t 0 ) = ∆(t − t 0 ) ≡ ∆(t) =
1
2ω sinh(ωβ/2)
cosh(ω(β/2 − |t|)).
(2.15)
˜.
∆ ist dann der Operatorkern von ∆
2.5 Allgemeine Gaußsche Pfadintegrale
Viele Näherungsmethoden beruhen auf dem Zurückführen des Pfadintegrals auf ein Gaußsches Pfadintegral mit
periodischen Randbedingungen q(0) = q(β) der Form
Z=
Z
[dq] exp −S[q]
1
S[q] =
Z
2
β
d t q̇2 (t) + ω2 q2 (t) − b(t)q(t)
(2.16)
0
Das Pfadintegral kann dann analog zu der diskreten Lösungsmethode aus Abschnitt A.1 evaluiert werden. Dabei
wird, wie in [9] beschrieben, der Pfad q(t) in einen klassischen Pfad qc (t), der die Bewegungsgleichung −q̈c (t) +
ω2 (t)qc (t) = −b(t) erfüllt, und einen davon abweichenden Pfad r(t) = q(t) − qc (t) aufgeteilt. Die Wirkung lässt
sich dann als S[q, b] = S0 [r] + SG [qc , b] + Slin. [r, b] schreiben. Der Term Slin. [r, b] verschwindet aufgrund der
Wahl von qc (t) und den Randbedingungen. SG [qc , b] hängt nicht mehr von dem Pfad q(t) ab und kann daher vor
das Pfadintegral geschrieben werden. Die Integration über die Wirkung S0 [r] resultiert in der Zustandssumme des
harmonischen Oszillators aus Gleichung (2.13). Die Lösung des Integrals über SG [qc , b] lautet
1
exp −SG [qc , b] = exp
Z
2
β
!
d x d y b(x)∆(x − y)b( y) ,
(2.17)
0
mit der in Abschnitt 2.4 beschriebenen Funktion ∆(t − t 0 ). Das Pfadintegral Z lautet daher:
Z = Z0 (β) exp
1
2
Z
β
!
d x d y b(x)∆(x − y)b( y) .
(2.18)
0
2.6 Störungstheorie
Die Störungstheorie, unter anderem in [5, 9, 8] beschrieben, erlaubt es ein System V zu lösen, dass sich aus einem
Potential V0 , dessen Zustandssumme bekannt ist, sowie einer kleinen Störung λVP zusammensetzt, V = V0 + λVP ,
wobei angenommen wird, dass sich die Störung in einer gleichmäßig konvergenten Reihe entwickeln lässt
VP (q(t)) =
∞
X
ai q(t)i .
(2.19)
i=0
Der harmonische Oszillator V = 1/2mω2 eignet sich aufgrund seines bekannten Energiespektrums als bekanntes
Potential V0 .
8
Die Zustandssumme des Systems lautet dann nach Gleichung (2.7)
Z=
Z
β
Z
[dq] exp
−
m
dt
2
0

q̇(t) + V0 (q(t)) + λVP (q(t))
!
(2.20)
Dieses Pfadintegral ist nicht immer, beziehungsweise nicht immer einfach, lösbar. Um eine Näherung zu finden,
betrachten wir zunächst das Pfadintegral
ZS [J] =
Z
[dq] exp −S0 [J] ≡
Z
Z
[dq] exp
β
−
m
dt
2
0

q̇(t) + V0 (q(t)) − J(t)q(t)
!
(2.21)
Die funktionale Ableitung δZS /δJ(t 1 ) „erweitert“ das Pfadintegral mit der Funktion q(t 1 ). Wenn wir also
β
Z
d t λV
−
exp
!
δ
(2.22)
δJ
0
auf das Funktional ZS [J] wirken lassen, ergibt sich:
Z
exp
β
−
d t VP
0
δ
!
δJ
ZS [J] =
Z
[dq] exp
β
Z
!
d t λVP (q) exp −S0 [J] .
(2.23)
0
Daraus folgt, dass sich die Zustandssumme Z als die Anwendung eines Funktionals auf das Funktional Z [J],
ausgewertet bei J = 0, schreiben lässt.
Z
Z = exp
β
−
d t λVP
!
δ
δJ
0
ZS [J]
(2.24)
J=0
Entwickelt man die Exponentialfunktion in einer Reihe, so kann man bei bekanntem ZS [J] Korrekturen der jeweiligen Ordnung berechnen.
Z=
Rβ
n
δ
∞
− 0 d t λVP δJ
X
n!
n=0
ZS [J]
(2.25)
J=0
Da ZS [J] ein Gaußsches Pfafintegral ist, kann es mit der in Abschnitt 2.5 beschriebenen Methode ausgewertet
werden. Die Normierungskonstante N entspricht dabei der Zustandssumme des harmonischen Oszillators.
ZS [J] = N exp
Z
1
2

0
0
0
d t d t J(t)∆(t, t )J(t )
(2.26)
Da Gleichung (2.26) bei J = 0 ausgewertet wird, verschwinden alle Terme in denen ein Produkt von mehr als n J(t)
vorkommt. Alle Terme mit weniger als n J(t) verschwinden ebenfalls, da die Anwendung der Funktionalableitung
δ/δJ(t) auf ein Funktional in dem kein J(t) vorkommt, ebenfalls 0 ergibt, wobei n die Potenz der Ableitungen
(δ/δJ(t))n sei.
Um die Korrektur erster Ordnung zu berechnen, betrachten wir
Z =N −
Z
β
d t λVP
0
=N −
∞
X
n=0
Z
δ
δJ
β
0
d t λan
ZS [J]
δ
δJ
n
+ O (λ2 )
(2.27)
J=0
ZS [J]
+ O (λ2 ).
(2.28)
J=0
9
Mit (δ/δJ(t))2n ZS [J] = N (2n)!∆(t, t)n /(2n+1 ) folgt
Z =N −N
∞
X
(−1)n a2n (2n)!β
+ O (λ2 ).
λ
2n+1 mn ωn
2
n=0
(2.29)
N beschreibt dabei die Normierungskonstante. Die Berechnung der Grundzustandsenergie erfolgt mit Gleichung (2.8)
E0 = − lim
β→∞
= lim −
β→∞
≈ lim
β→∞
1
β
1
β
1
β
ln Z (β)
ln N −
ln N + λ
1
β
(2.30)
!
∞
X
(−1)n a2n (2n)!β
2
+ O (λ )
1−
λ
22n+1 mn ωn
n=0
ln
∞
X
(−1)n a2n (2n)!
n=0
22n+1 mn ωn
(2.31)
(2.32)
Die Normierungskonstante kann bestimmt werden, indem die bekannte Grundzustandsenergie des harmonischen
Oszillators für den Fall λ = 0 eingesetzt wird. Die erste Korrektur zur Grundzustandsenergie des harmonischen
Oszillators beträgt also
∆E0 = λ
∞
X
(−1)n a2n (2n)!
n=0
22n+1 mn ωn
(2.33)
2.7 Large-N/Mean-Field Näherung
Die Large-N oder Mean-Field Näherung beschreibt den Ansatz, das Verhalten eines Systems im Limes N → ∞ zu
betrachten, wobei N die Anzahl der Freiheitsgrade eines Teilchens beschreibt. Dabei untersuchen wir Systeme mit
einer Radialsymmetrie und einem zeitunabhängigen Potential. Der Hamiltonian lautet also
Ĥ =
1
2m
p2 + N U(q2 /N ).
(2.34)
Wertet man den Hamiltonian bei N = 1 aus, so beschreibt dieser ein Einteilchensystem mit dem Potential U(q2 ).
Die Idee der Large-N Näherung ist es nun, den Hamiltonian für N → ∞, sowie die Korrekturen für N = 1 zu
berechnen. Die Entwicklung des Hamiltonian um N lautet
∞
1 2 X
q4
1
2
Ĥ =
p +
N a0 + a1 q + a2 + O
.
(2.35)
2m
N
N2
i=0
Wie in Abschnitt 2.2 beschrieben, lässt sich die Zustandssumme des Systems durch das Pfadintegral
Z
Zβ

m 2
ZN (β) ≡ [dq] exp −SN [q] mit SN [q] ≡
dt
q̇ (t) + N U(q2 (t)/N )
2
0
(2.36)
berechnen.
Dazu wird in der Wirkung in Form zweier zusätzlicher Pfade eine 1 eingefügt: λ(t) und ρ(t). Mit dem Pfad
N ρ(t) ist es möglich, den Integranden in eine Form zu bringen, in dem alle Terme der Gestalt U(q2 (t)/N ) durch
U(ρ(t)) ersetzt werden und die Wirkung proportional zu N ist. Mit der in Abschnitt 2.7.2 beschriebenen Sattelpunktmethode wird im Limes N → ∞ die Menge der Funktionen {λ(t)} bestimmt, bei denen der Exponent einen
nicht verschwindenden Beitrag zum Pfadintegral liefert. Die Wirkung lautet dann
!
Zβ
N
SN [q] =
d t 2U(ρ) − λρ + tr ln(−d2t + λ(·)) .
(2.37)
2
0
Analog lässt sich auch eine Zustandssumme für Mehrteilchensysteme definieren, deren Auswertung allerdings deutlich komplizierter ist.
Im Folgenden werden die mathematischen Methoden zum Auswerten dieses Integrals, welche ebenfalls in [9]
beschrieben sind, erläutert.
10
2.7.1 Einführen zweier Hilfspfade
Um die Berechnung zu vereinfachen, soll das Skalarprodukt q2 /N durch ein Skalar ρ ersetzt werden. Dazu führen
wir die Pfade ρ(t) und λ(t) ein.
Zunächst betrachten wir das Pfadintegral
Z
[d~q] exp
β
Z
!
2
d t N U(q /N )
−
≈N
0
P
Y
!
Z
N
d qi
exp
−ε
P+1
X
i=1
!
N U(qi /N )
.
(2.38)
i=1
Das Integral
IN =
kann durch Einfügen der Identität f (q) =
werden:
δ(q − N ρ) =
Z
R
Z
dN q exp (−εN U(q/N ))
(2.39)
d(N ρ)δ(q − N ρ) f (N ρ) in der Fourierdarstellung umgeschrieben
i∞

dλ exp −λ(q2 − N ρ)/2 /(4π) ⇒
(2.40)
−i∞
IN =
N
Z
4π
dqdρ
Z
i∞

dλ exp −λ(q2 − N ρ)/2 exp −εN U(ρ)
(2.41)
−i∞
Der von q abhängige Teil ist nun Gaußsch und kann expliziert ausintegriert werden, falls der Realanteil des Pfades
λ positiv ist.
IN = C(N )
Z
dλdρ exp N (λρ/2 − ln λ/2 − εU(ρ)
(2.42)
Die Konstante C hängt ausschließlich von der Diskretisierung J ab, nicht jedoch von dem Pfad bzw. dessen Stützstellen. Daher fließt diese in die noch zu bestimmende Normierung ein und wird vorerst ignoriert.
N (β)
Z
[dρ][dλ] exp
Z
β
!
d t λ(t)(q2 (t) − N ρ(t))/2
=1
(2.43)
0
2.7.2 Methode der stationären Phase (Stationary Phase Method)
Die Methode der stationären Phase erlaubt es, komplexe Integrale der Form
lim I(N ) = lim
N →∞
N →∞
Z
dn x exp −N A(x 1 , . . . , x n )
(2.44)
C
auszuwerten, wobei N ein im Allgemeinen positiver und reeller, in unserem Fall ganzzahliger, Parameter ist.
Um das Integral zu berechnen, betrachtet man die Punkte, die im Limes N → ∞ einen Beitrag liefern, was
im Allgemeinen die reellen Minima von A sind. Diese Punkte zeichnen sich durch die notwendige Bedingung
A0 = 0 aus. Da der Exponent komplexwertig ist, wählt man in einer Umgebung von A einen Pfad mit konstantem
Imaginäranteil. Durch das Ändern des Integrationsweges darf keine Singularität von A überstrichen werden.
Im Grenzfall N → ∞ liefert dann nur noch eine beliebig kleine Umgebung um die Sattelpunkte von A einen Beitrag zum Integral. Es wird zur Vereinfachung angenommen, dass immer genau ein Sattelpunkt existiert. Entwickelt
man A um einen Sattelpunkt x c , so ergibt sich
A(x 1 , . . . , x n ) = A(x c ) +
1 X ∂ 2 A(x c )
2
i, j
∂ xi, x j
(x i − x ci )(x j − x c j ) + Höhere Ordnungen,
(2.45)
11
da laut Vorraussetzung
∂ A/∂ x i = 0 gilt. Um das Integral auszuwerten, führt
pman
eine Koordinatentransformation
p
von x → xc + y/ N durch. Da die Terme der höheren Ordnungen mit O 1/ N skalieren, verschwinden diese im
Limes N → ∞ . Das resultierende Integral ist dann Gaußsch und kann explizit integriert werden.
I(N ) = (2π/N )n/2 det(A)1/2 exp −N A(x 1 , . . . , x n )
(2.46)
Prinzipiell kann jedes Integral mit einem Integranden der Gestalt exp (A(x)) durch die Sattelpunktmethode genähert werden. Dazu setzen wir N = 1. Allerdings liefern dann die höheren Ordnungen einen nicht verschwindenden
Beitrag.
Die Methode der stationären Phase lässt sich auch auf das Pfadintegral verallgemeinern [6]. Dabei betrachen
wir das Pfadintegral mit periodischen Randbedingungen
Z
Zβ
IN =
[dq] exp (−N S[q])
mit
S[q] =
d t L[q]
(2.47)
0
Die Sattelpunktbedingung lautet dann δS[q1 , . . . , qi ]/δqi (t) = 0 ∀i . Interpretiert man S als die Wirkung eines
Systems, so erlaubt die Sattelpunktbedingung ausschließlich Pfade, deren Wirkung stationär ist. Nach dem Hamiltonschen Prinzip sind diese Pfade Lösungen eines klassischen Systems, daher wollen wir Pfade, welche die
Sattelpunktbedingung erfüllen, mit qc bezeichnen.
Entwickelt man nun die Wirkung in einer Taylorreihe, so verschwindet analog zu Gleichung (2.45) die erste
Funktionale Ableitung von S :
Zβ
2
δ
S[q]
1
S[q] = S[qc ] +
(q(t) − qc (t))(q(t 0 ) − qc (t 0 )) + Höhere Ordnungen
(2.48)
dtdt 0
0
2 0
δq(t)δq(t ) q=qc
Für den in dieser Arbeit verwendeten Spezialfall S[q] =
S[q] = S[qc ] +
1
2
Z
Rβ
0
d t f (q(t)) lautet die Wirkung dann
β
d t f 00 (qc (t)) (q(t) − qc (t))2 + Höhere Ordnungen
(2.49)
0
Durch die Festlegung des Wirkungsterms vereinfacht sich die Sattelpunktbedingung zu
!
δS[q]
= f 0 (q(t))
(2.50)
δq
p
Nach einer Koordinatentransformation q → qc + qδ / N fallen im Limes N → ∞ alle höheren Ordnungen weg und
das Pfadintegral lautet
Z

IN →∞ = [dq] exp −N S0 [qc ] exp −S (2) [qc , q]
(2.51)
0=
= N (N ) exp −N S0 [qc ] ·
Z

[dq] exp −S (2) [qc , q] .
Dabei ist N (N ) eine entsprechende Normierungskonstante und S (2) der 2. Summand der funktionalen Taylorreihe
in S[q]|q=qc . Da das Integrationsmaß des Pfadintegrals unter Translation invariant ist, kann das Pfadintegral über
die Wirkung S (2) wie ein Gaußsches Integral berechnet werden. Unter der Annahme, dass die Determinante des
Funktionals δ2 S[q]/δq(t)δq(t 0 ) ungleich 0 ist, absorbieren wir den konstanten Beitrag in die Normierung.
2.7.3 Relevante Sattelpunkte
Nicht jeder Punkt, beziehungsweise Pfad, der die Sattelpunktbedingung erfüllt, liefert auch im Limes N → ∞ einen
nicht verschwindenden Beitrag zum Integral. Denn für jedes (lokale) Maximum in A gilt ebenfalls A0 (x c ) = 0.
Sattelpunkte mit A00 (x c ) < 0 liefern daher keinen Beitrag.
Diese Forderung lässt sich jedoch nicht einfach auf die funktionalen Variante der Sattelpunknäherung übertragen.
Möchte man verifizieren, dass ein Sattelpunkt in der funktionalen Formulierung relevant ist, muss der Wert des
Gaußschen Pfadintegrals S (2) berechnet werden. Ein Beispiel dazu findet sich in [9].
Zur Vereinfachung wird in dieser Arbeit angenommen, dass, sofern nur ein Sattelpunkt existiert, dieser auch
relevant ist.
12
3 Zweikörperproblem
3.1 Sattelpunkte des Systems
Nach dem Einfügen der Hilfspfade ρ und λ lautet die Wirkung des Zweikörperproblems wie folgt:
SN (ρ, λ) =
β
Z
0
1
1
d t N U(ρ) − N λρ + (q̇2 + λq2 )
2
2
(3.1)
Der von q abhängige Teil ist ein Produkt aus N Gaußschen Integralen und kann daher integriert werden. Die
dabei auftretende divergente Determinante lassen wir vorerst in der Wirkung stehen, da zum Auswerten zuerst λ
bestimmt werden muss. Unter Verwendung der Gleichung tr ln(M ) = ln det(M ) erhalten wir
SN (ρ, λ) =
Z
β
d t N U(ρ) −
0
1
2
N λρ +
1
2

N tr ln −d2t + λ(·)
(3.2)
Um die entsprechende Zustandssumme für ein gegebenes Potential auszuwerten, betrachten wir die Sattelpunkte
des Exponenten. Aufgrund der zeitlichen Translationsinvarianz des Problems muss λ(t) konstant sein. Daher teilen
wir λ in einen konstanten Teil λS und einen von t abhängigen Teil λ̃(t) auf:
λ(t) = λS + λ̃(t).
(3.3)
Die Sattelpunktbedingung 2U 0 (ρ) = λ wird durch den Pfad ρ0 (λ, t) erfüllt, so dass gilt:
U 0 (ρ0 (λ(t), t)) =
1
2
λ(t).
(3.4)
Das Pfadintegral über ρ kann nun ausgeführt, beziehungsweise mit der Sattelpunktnäherung genähert werden.
Das in Gleichung (2.51) definierte Integral über S (2) hängt nun ausschließlich vom Sattelpunkt ρ , nicht aber
von λ ab, da λ linear in ρ ist und somit bei der zweiten funktionalen Ableitung verschwindet. Da das Pfadintegral über S (2) [ρ0 , ρ] invariant unter Translationen des Pfades ρc ist, können wir den Wert des Integrals in die
Normierungskonstante absorbieren.
Das verbleibende Integral lautet dann
Z
Z = N [dλ] exp −SN [λ]
(3.5)
SN [λ] =
N
Z
2
β
!
dt
2U(ρ0 ) − λS ρ0 + λ̃ρ0 + tr ln(−d2t
+ λS + λ̃(·))
.
(3.6)
0
Um den zeitabhängigen Teil von λ zu eliminieren, entwickeln wir SN um λ̃(t) = 0:
1
U(ρ0 (λ)) − λ · ρ0 (λ)
2
1
= U(ρ0 (λS + λ̃)) − (λS + λ̃) · ρ0 (λS + λ̃)
2
1
1
1
= U(ρ0 (λS )) − λS · ρ0 (λS ) + λ̃ U 0 ρ0 (λS ) ρ00 (λS ) − λS ρ00 (λS ) − ρ0 (λS ) + O (λ̃2 )
2
2
2
1
1
= U(ρ0 (λS )) − λS · ρ0 (λS ) − λ̃ ρ0 (λS ) + O (λ̃2 )
2
2
(3.7)
(3.8)
(3.9)
(3.10)
Unter Verwendung des Ergebnisses aus Abschnitt A.3 erhält man
1
2
tr ln(−d2t
+ λ) =
1
2
tr ln(−d2t
+ λS ) +
1
2
Z

d t λ̃∆(0) + O λ̃2 ,
(3.11)
13
p
−1
p
.
mit ∆(0) = 2 λS tanh(β λS /2)
R
R
Da d t λ̃(t) keinen Beitrag zur Wirkung liefern darf, müssen die Koeffizienten von d t λ̃(t) gleich Null sein.
−1
p
p
=0
−ρ0 (λS ) + ∆(0) = 0 ⇐⇒ −ρ0 (λS ) + 2 λS tanh(β λS /2)
(3.12)
Im Grenzfall β → ∞ vereinfacht sich die Sattelpunktgleichung zu
p −1
−ρ0 (λS ) + 2 λS
=0
(3.13)
Gleichung (3.6) lässt sich damit schreiben als

1

1
1
SN (ρ, λ) = N β · U(ρ0 (λS )) − λS ρ0 (λS ) + N tr ln −d2t + λS − N tr ln −d2t →
2
2
2
p
1
1
F = − U(ρ0 (λS )) − λS ρ0 (λS ) − ln(2 sinh(β λS /2))
2
β
(3.14)
(3.15)
Die Grundzustandsenergie E0 erhält man durch direktes Lösen der Sattelpunktgleichung, oder, indem man die Freie
Energie F minimiert. Beide Methoden liefen den selben Sattelpunkt λS , da die Ableitung der Freien Energie nach
λS unter Ausnutzung der Sattelpunktgleichung für ρ unmittelbar auf die Sattelpunktgleichung von λ führt.
E0
N
= lim
β→∞
SN
Nβ
=
p
λS
U(ρ0 (λS )) − λS ρ0 (λS ) +
2
2
1
(3.16)
3.2 Normierung des Pfadintegrals
Bis jetzt haben wir einige Vorfaktoren nicht berücksichtigt und diese in die Normierungskonstante N einfließen
lassen.
Um diese Konstante zu bestimmen, betrachten wir als bekanntes Referenzsystem den harmonischen Oszillator. Dazu entwickeln wir das Potential in einer Taylorreihe um ein Minimum, welches wir zunächst im Ursprung
annehmen. Alle Terme mit einer Ordnung ≥ 2 versehen wir dann mit einem Vorfaktor g .
1
U(ρ) = a0 + ω2 ρ + g f (ρ)
2

f (ρ) = O ρ 2
(3.17)
Führt man nun die Sattelpunktnäherung durch, so muss die Zustandssumme für g → 0 gegen die Zustandssumme
des harmonischen Oszillators konvergieren. Dies ist für die verwendeten Potentiale der Fall.
3.3 Berechnung höherer Ordnungen
Um höhere Ordnungen zu berechnen, ist es notwendig, den Sattelpunkt λS genauer zu bestimmen. Dazu entwickeln
wir, wie in [9], die Wirkung SN bis zur zweiten Ordnung λ̃2 . Gleichung (3.7) nimmt dann die folgende Form an:

1
1
1
U(ρ0 (λs )) − λs · ρ0 (λs ) − λ̃ρ0 (λs ) + ρ00 (λS ) ρ00 (λS )U 00 ρ0 (λS ) − 1 λ̃2 + O (λ̃3 )
2
2
2
(3.18)
Der Kern des Operators im Spurterm, den wir mit A bezeichnen wollen, ist in Abschnitt A.3 hergeleitet und lautet
Z
(Af )(x) =
d y K(x, y) f ( y) mit
K(x, y) = δ(x − y)K(−d 2 +λS )−1 ( y, x)
t
(3.19)
Um die Spur tr A2 zu berechnen, verwenden wir Gleichung (A.8), sowie Gleichung (A.7) und erhalten
Z
tr(A2 ) =
14
d x d y λ̃(x)λ̃( y)K(−d 2 +λS )−1 ( y, x) · K(−d 2 +λS )−1 (x, y)
t
t
(3.20)
Der in λ̃ quadratische Anteil der Wirkung lässt sich nun als Integralkern schreiben, indem man den
R Koeffizienten
vor λ̃ aus Gleichung (3.18), zusammen mit der Delta-Funktion δ(x − y), in das Doppelintegral d x d y einfügt.
Mit der in Abschnitt 2.4 hergeleiteten Form des Kerns K(−d 2 +λS )−1 (x, y) = ∆(x − y) lautet nun der Kern
t
K(x, y) =
1

1
ρ00 (λS (x)) ρ00 (λS (x))U 00 ρ0 (λS (x)) − 1 δ(x − y) + ∆2 (x − y)
2
4
(3.21)
Rβ
Die Wirkung enthält nun einen Term der Form −1/2 0 d x d y λs (x)K(x, y)λs ( y) und ist daher Gaußsch. Der Beitrag
des Integrals ist daher mit det(K)−1/2 gegeben. Auf die Berechnung der Determinante von K soll an dieser Stelle
nicht eingangen werden. Da zu erwarten ist, dass das die Kenntnis höherer Ordnungen die Genauigkeit der Large-N
Methode verbessert, ist dies ein guter Ausgangspunkt für weitere Rechnungen. Des weiteren können die Eigenwerte
des Kerns dafür verwendet werden, die notwendige Bedingung für einen relevanten Sattelpunkt zu verifizieren.
3.4 Quartischer Oszillator
Um die Näherung zu testen, betrachten wir zunächst den harmonischen Oszillator mit einer quartischen Störung
U(x 2 ) =
1
2
ω2 x + g x 4 ⇒ U(ρ) =
1
2
ω2 ρ + gρ 2 .
(3.22)
Das Energiespektrum des quartischen Oszillators kann exakt berechnet werden [7] und die Anwendung der Large-N
Methode ist problemlos möglich: Um den Sattelpunkt zu finden, betrachten wir den in Gleichung (3.4) definierten
Pfad ρ0 , der sich im Falle des Potentials (Gleichung (3.22)) einfach in einer geschlossenen Form schreiben lässt.
!
0 = U 0 (ρ0 ) −
λ
2
=
1
2
ω2 + 2gρ0 −
λ
2
⇒ ρ0 (λ(t)) =
λ(t) − ω2
4g
(3.23)
Die Sattelpunktbedingung aus Gleichung (3.13) lautet dementsprechend
λS − ω 2
4g
1
+ p =0
2 λS
(3.24)
und ist, wie man nach der Wahl λS = x 2 leicht sieht, äquivalent zu der Lösung eines Polynom dritten Grades. Mit
Gleichung (3.16) lässt sich dann unmittelbar die Grundzustandsenergie berechnen.
Auch die in Abschnitt 2.6 beschriebene Methode der Störungstheorie lässt sich unmittelbar auf das Potential
anwenden. Die Störung VP lautet dann VP (q(t)) = gq4 (t). Nach Gleichung (2.33) lautet die erste Korrektur zur
Grundzustandsenergie des harmonischen Oszillators
∆E0 =
3g
(3.25)
4ω2
und mit der bekannten Grundzustandsenergie des harmonischen Oszillators folgt
EP =
1
2
ω+
3
4ω2
g.
(3.26)
In Abbildung 3.1 und in Tabelle B.1 ist die exakte Grundzustandsenergie, sowie die mit Large-N bzw. Störungstheorie berechnete Grundzustandsenergie über den Parameter g aufgetragen. Insbesondere für große Werte von g
liefert die Large-N Näherung deutlich bessere Ergebnisse als die Störungstheorie.
3.5 Verwendete Potentiale
Im Folgenden wenden wir die Large-N Näherung auf zwei kompliziertere Potentiale an, die wir mit Potential Typ I,
bzw. Potential Typ II, bezeichnen.
15
E0
ì
500
100
ì
50
10
ì
æ
à
5
æ
à
ì
1
ì
æ
à
ì
ì
ì
æ æ
à
æ
à
à
æ
à
æ
à
1
10
100
1000
g
Abbildung 3.1.: Grundzustandsenergie des quartischen Oszillators. • Exakte Ergebnisse, Störungstheorie erster
Ordnung, Large-N.
V
-2
σ
0.8
V1
12
V2
-12
σ1
0.2
σ2
0.8
Tabelle 3.1.: Parameter der Potentiale aus Gleichung (3.27) sowie aus Gleichung (3.28).
Das Potential des ersten Typs beschreibt eine attraktive Zweiteilchenwechselwirkung und lautet
U(x 2 ) =

V
p exp −x 2 /σ2 .
σ π
(3.27)
mit V < 0.
Mit Potential Typ II wird ein um einen kurzreichweitigen abstoßenden Term erweitertes Potential des ersten Typs
bezeichnet:
U(x 2 ) =

V1
V2
p exp −ρ/σ12 + p exp −ρ/σ22 .
σ1 π
σ2 π
(3.28)
Dabei treffen wir die Wahl V1 ≥ 0 und V2 < 0.
Diese Potentiale wurden bereits mit Methoden der SRG untersucht [4]. Sofern nicht anders angegeben, werden
die in Tabelle 3.1 angegebenen Parameter verwendet.
3.6 Potential Typ I
Im Folgenden soll die Grundzustandsenergie des kernphysikalischen Potentials aus Gleichung (3.27)

V
p exp −x 2 /σ2 bzw.
σ π

V
U(ρ) = p exp −ρ/σ2
σ π
U(x 2 ) =
(3.29)
mit der Large-N/Mean-Field Näherung berechnet werden, wobei V < 0 sei. In diesem Fall ist die Berechnung der
ersten Ordnung analytisch möglich. Nach Gleichung (3.4) gilt
p

p

πλσ3
πλS σ3
1
!
2
ρ0 = − ln −
σ ⇒ − ln −
σ2 + p = 0
2V
2V
2 λS

2 !−1
π1/4
λS = 16 · W ± p
σ4
−32V σ
16
(3.30)
Die Funktion W (x) bezeichnet die Lambert-W-Funktion [1] mit der Eigenschaft
z = W (z)eW (z) ∀z ∈ C.
(3.31)
Es sei angemerkt, dass aufgrund der Definition mehrere Funktionen die Gleichung (3.31) erfüllen. Indem wir
fordern, dass der Sattelpunkt λS reell sein muss, können wir uns auf den Hauptzweig der Lambert-W-Funktion
beschränken.
Von den Lösungen kann allerdings durch die Forderung ρ ≥ 0 die Lösung mit einem positivem Argument in der
W -Funktion ausgeschlossen werden. Des weiteren existieren auch Werte für σ, bei denen sich kein Sattelpunkt
mehr finden lässt.
Unter Verwendung von Gleichung (3.16) lässt sich die Grundzustandsenergie des Systems berechnen.
Die Grundzustandsenergien sind in Abbildung 3.2 aufgetragen.
3.6.1 Vergleich mit Störungstheorie
Das Potential

V
exp −x 2 /σ2
U(x) = p
πσ
(3.32)
kann mittels der Reihe
∞
V X
(−1)n x 2n /σ2n
U(x) = p
n!
πσ n=0
(3.33)
∞
V
(−1)n x 2n /σ2n
V x2
V X
=p
−p 3+p
(3.34)
n!
πσ
πσ
πσ n=2
p
p
dargestellt werden und als Störung eines harmonischen Oszillators mit ω = −2V /( πσ3 ) betrachtet werden.
p
Das Offset V / πσ vernachlässigen wir zunächst, da es lediglich einen konstanten Beitrag zur Grundzustandsenergie liefert. Ein Koeffizientenvergleich liefert für a2n
an =
(−1)n /σ2n
n!
⇒ a2n =
1
σ4n (2n)!
(3.35)
Nach Gleichung (2.33) ergibt sich ∆E0 zu
n
∞
∞ V X
(−1)n
V X
1
∆E0 = p
=
−
p
4σ4 ω
πσ n=2 2(4σ4 ω)n
2 πσ n=2
!
V
1
1
= p
−1+
4σ4 ω
2 πσ 1 + 14
(3.36)
(3.37)
4σ ω
=
1
V
p 9 2
32 πσ ω 1 + 4σ4 ω
(3.38)
In Abbildung 3.2 fällt auf, dass Ergebnisse der Störungstheorie deutlich mehr als die Large-N Ergebnisse vom
Referenzergebnis abweichen.
3.6.2 Grenzfall σ → 0
Im Grenzfall σ → 0 geht das Potential in eine Funktion der Gestalt U(x) ∝ −δ(x) über. Die Grundzustandsenergie
von Systemen mit dem Potential U(x) = −Aδ(x) lässt sich durch das direkte Lösen der Schrödingergleichung
bestimmen [2]. Wendet man die Large-N Methode auf Potentiale mit σ 1 an, so stellt man fest, dass bei
p
e2 π
σcrit ≤ −
(3.39)
32V
kein Sattelpunkt mit ρ ≥ 0 mehr existiert. Die Bedingung für σcrit folgt dabei direkt aus Gleichung (3.30). Im Fall
der in Tabelle 3.1 angegebenen Parameter beträgt σcrit ≈ 0.2046. Offensichtlich funktioniert die Sattelpunktnäherung nur für hinreichend „flache“ Potentiale.
17
E0
-0.4
-0.45
-0.6
-0.46
-0.8
-0.47
-0.48
-1.0
-0.49
-1.2
-0.50
0.7
0.8
0.9
1.0
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
Σ2
Abbildung 3.2.: Grundzustandsenergie E0 von Potential Typ I über den Parameter σ aufgetragen. Large-N (rot,
durchgezogen −), Large-N mit quartisch approximiertem Potential (violett, − · −), Störungstheorie
mit quartisch approximiertem Potential (gelb, −−), sowie die Grundzustandsenergie des harmonisch approximierten Potentials (grün · · · ). Im rechten Plot ist das Ergebnis aus [4] eingetragen.
2.0
Ρ
1.5
1.0
0.5
0.0
0
5
10
15
20
Λ
Abbildung 3.3.: Plot von ρ0 über λ für das von Jurgenson und Furnstahl verwendete Potential.
3.7 Potential Typ II
p
Addiert man zu dem Potential aus Gleichung (3.27) einen Term der Gestalt V1 /( πσ1 ) exp(−x 2 /σ12 ), so lässt sich
ρ0 (λ) nicht in eine geschlossene Form bringen. Allerdings ist
U(ρ) =

V2
V1
p exp −ρ/σ12 + p exp −ρ/σ22
σ1 π
σ2 π
(3.40)
stetig differenzierbar, was die numerische Lösung von Gleichung (3.4) einfach macht. ρ0 (λ) wird durch numerisches Suchen der Nullstelle bei variierenden Werten für λ bestimmt. Die zwischen den Stützstellen liegenden
Werte werden interpoliert. Mit der interpolierten Funktion ρ0 (λ) wird dann durch Einsetzen in Gleichung (3.13)
λS numerisch bestimmt.
In Abbildung 3.7 ist die Punktmenge abgebildet, die die Bedingung U 0 (ρ) − 1/2λ = 0 für das von Jurgenson und
Furnstahl verwendete Potential erfüllt. Offensichtlich ist ρ0 (λ) nicht eindeutig bestimmt. Da für einen Sattelpunkt
einer Funktion A00 (x) ≥ 0 gelten muss, verwerfen wir die entsprechenden Punkte (in der Abbildung entsprechen
diese dem oberen Zweig) und erhalten so eine eindeutige Lösung.
Die Grundzustandsenergien in Abhängigkeit von V1 finden sich in Abbildung 3.4 und Tabelle B.2.
18
E0
6
8
10
12
14
16
V1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
Abbildung 3.4.: Grundzustandsenergie von Potential Typ II. Hierbei wird V1 variiert, alle anderen Parameter sind
wie in Tabelle 3.1 gewählt. Der größere rote Punkt ist das Ergebnis aus der SRG-Rechnung von [4].
Potential
Typ I
Typ II
SRG [4]
-0.474
-0.920
Large-N
-0.466
-5.412
Tabelle 3.2.: Grundzustandsenergien berechnet mit SRG und Large-N.
3.7.1 Vergleich mit der Störungstheorie
Das Potential
V (x) =

V1
V2
p exp −x 2 /σ12 + p exp −x 2 /σ22
σ1 π
σ2 π
(3.41)
hat im Gegensatz zu dem vorherigen Beispiel kein Minimum bei x = 0. Stellt man dieses Potential also als Summe
eines harmonischen Oszillators mit Störung dar, so ist die Annahme, dass die Störung klein sei, nicht mehr erfüllt.
Eine Möglichkeit dieses Problem zu umgehen, ist, das Potential um ein Minimum zu entwickeln.
Das Minimum befindet sich bei
s

V1 σ23 . 2
x 0 = σ1 σ2 ln −
(σ1 − σ22 )
(3.42)
V2 σ13
Da eine Translation des Problems das Spektrum nicht beeinflusst, setzen wir x̃ → x + x 0 . Die Darstellung von V (x̃)
um x̃ in einer geschlossenen Form ist kompliziert, allerdings lassen sich die Koeffizienten sukzessive berechnen.
Unter Verwendung von Gleichung (2.33) lässt sich die störungstheoretische Korrektur der Grundzustandsenergie
berechnen.
Für das von Jurgenson und Furnstahl verwendete Potential ergibt sich so eine Grundzustandsenergie von
E0 pert. = 0.688347
(3.43)
wobei das Potential bis zur 30. Ordnung entwickelt wurde. Da das Potential für x → ∞ gegen 0 konvergiert, würde
eine positive Grundzustandsenergie bedeuten, dass keine gebundenen Zustände möglich sind. Betrachtet man die
Koeffizienten der Reihenentwicklung von V : a0 = −6.01278, a1 = 0, (1/2)ω2 = 83.3549, a3 = −423.908, a4 =
1189.4, a5 = −871.799, . . . , so fällt auf, dass das Potential sich schlecht durch einen harmonischen Oszillator
nähern lässt und daher die Annahme λVP V0 nicht gut erfüllt ist.
3.8 Interpretation der Ergebnisse
In Tabelle 3.2 sind die mittels SRG und mit der Large-N Methode errechneten Ergebnisse gegenübergestellt. Für
das Potential des Typs I liefert die Large-N Näherung einen Wert mit einem relativen Fehler von 1.7% und ist daher
eine gute Approximation der Grundzustandsenergie des Potentials. Für das Potential des zweiten Typs, also mit
einem kurzreichweitigen abstoßenden Term, liegt der relative Fehler bei ungefähr 480% und eignet sich somit nur
für eine grobe Abschätzung der Grundzustandsenergie.
19
4 Mehrkörperproblem
4.1 Separation der Schwerpunktsenergie
Während sich das Zweiteilchenproblem mit dem Übergang zu Relativkoordinaten x r → (x 1 − x 2 )/2 trivial auf
ein System mit einer Schwerpunktsenergie Ecm = 0 reduzieren lässt, ist bei einem Mehrteilchensystem eine genauere Betrachtung erforderlich. Im Folgenden soll die vorgestellte Methode für das Zweiteilchensystem auf ein
M -Körperproblem verallgemeinert werden. Dabei wird zunächst die Methode anhand eines 2-Körperproblems erläutert.
Eine Verallgemeinerung der Large-N Methode auf Mehrteilchensysteme ist nicht trivial möglich. Der Grund dafür
sind die im Mehrkörperpotential auftretenden Mischterme in Form von Skalarprodukten der Teilchenkoordinaten.
Dadurch ist es nicht mehr einfach möglich, die Pfade ρi j = (~qi − ~q j )2 /N einzuführen. Führt man M Pfade ein,
so müssen an einen Pfad zusätzliche Bedingungen gestellt werden, da die Relativpositionen der Teilchen 1 und 2
sowie 1 und 3 den Abstand zwischen den Teilchen 2 und 3 durch die Ungleichung ρ12 + ρ13 ≥ ρ23 einschränken.
Das Pfadintegral über die Wirkung berücksichtigt diese Einschränkung bisher nicht. Aus diesem Grund werden im
Folgenden zwei Methoden vorgestellt um dieses Problem zu lösen.
4.1.1 Jacobi Koordinaten
Bei der Betrachtung von Mehrkörperproblemen erleichtert ein Wechsel des Koordinatensystems die Rechnung erheblich. Zunächst definieren wir die Koordinate
qcm ≡
1 X
m
mit
mi qi
m=
X
i
(4.1)
mi
i
Wie man leicht sieht, repräsentiert diese Koordinate den Schwerpunkt des Systems. Die verbleibenden M − 1
Koordinaten definieren wir wie folgt:
y1 = q1 − q2 ,
yi =
i
1 X
m0 j
m j q j − qi+1
m0 j
j=1
j
X
mk
(4.2)
k=1
Im Fall des 3-Körperproblems mit den Massen m1 = m2 = m3 = 1 lauten diese:
y1 = q1 − q2 ,
y2 =
1
2
q1 − q2 = y1 ,
(q1 + q2 ) − q3 ,
q1 − q3 =
1
2
ycm =
y1 + y2
1
(q1 + q2 + q3 ) ⇒
(4.3)
1
q2 − q3 = − y1 + y2
2
(4.4)
3
4.1.2 Transformation in Jacobikoordinaten
Unter der Annahme, dass sich das Potential in der Wirkung eines M -Teilchen Problems ausschließlich in den
Jacobi-Koordinaten y1 , . . . , y M −1 schreiben lässt, führen wir die Pfade ρ1 , . . . , ρ M −1 sowie λ1 , . . . , λ M −1 ein. Da
der mehrdimensionale Fall die erwähnten Probleme mit sich bringt, setzen wir N = 1. Die Wirkung lautet dann




Zβ
M
M
−1
X
1 X


SN [ yi , ρ, λ] =
dt
mq̇i2 +
λ j ( yi2 − N ρi ) + U(ρ)
(4.5)
2

0
i=1
j=1
Wie auch in der Formulierung für ein Teilchen, lässt sich der von y abhängige Teil als Bilinearform
(q1 , . . . , q M )> B(q1 , . . . , q M ) schreiben und kann, da es sich um ein Gaußsches Integral handelt, über die Berechnung der Determinante det B berechnet werden.
20
Für den kinetischen Term gilt
M
1X
2
mi q̇i2
=
i=1
1
2
2
m ẏcm
+
M
−1
X
!
µi ẏi2
(4.6)
i=1
µi bezeichnet dabei die entsprechenden Vorfaktoren. Im Fall von zwei Teilchen ist µ1 die reduzierte Masse
µ1 =
m1 m2
m1 + m2
(4.7)
Im Fall von drei Teilchen ist µ1 die reduzierte Masse der Teilchen mit den Koordinaten x 1 und x 2 , µ2 lautet
µ2 =
m3 · (m1 + m2 )
m1 + m2 + m3
(4.8)
und lässt sich also als reduzierte Masse von m1 + m2 und m3 auffassen.
Um die Schwerpunktsenergie zu separieren, betrachen wir die Wirkung in Jacobikoordinaten. Es lässt sich zeigen, dass der Betrag der Determinante der Transformationsmatrix T q1 , . . . , qi → ycm , y1 . . . y M −1 1 beträgt. In den
neuen Koordinaten besitzt die Matrix B die Gestalt


m(−d2t ) 0
−1 >
−1
B̃ = (T ) BT = 
(4.9)
..  .
.
0
Betrachtet man den Unterraum ohne die Schwerpunktsbewegung, so gilt det(B̃rel ) = det(m(−d2t ))−1 det(B̃) =
det(m(−d2t ))−1 det(B).
4.1.3 Berechnung des Zweikörperproblems in Jacobi Koordinaten
Um das Zweiköperproblem in Jacobikoordinaten zu betrachten, werden die Pfade λ1 und ρ1 eingeführt (da wir die
Koordinate ycm ignorieren, benötigen wir für diese auch keine Pfade ρ und λ). Die 1 × 1 Matrix der Bilinearfrom
B̃rel von ( ycm , y1 ) aus Gleichung (4.5) lautet dann
B̃rel = µ(−d2t ) + λ1
(4.10)
Um die Determinante zu berechnen, schreiben wir det(B̃rel ) um, sodass vor dem Operator −d2t der Vorfaktor 1
steht.
λ1
(4.11)
det(B̃rel ) = µ det −d2t +
µ
Die reduzierte Masse µ vor der Determinante wird dabei in die Normierung absorbiert. Die Definition von ρ0
bleibt dem Einteilchenfall gegenüber unverändert, da der von ρ abhängige Teil unverändert ist. Anschließend kann
wieder ein Koeffizientenvergleich durchgeführt werden, welcher die Sattelpunktbedingung im Grenzfall β → ∞
liefert:
r !−1
λS
−ρ0 (λS ) + 2
=0
(4.12)
µ
Die Grundzustandsenergie lautet dann
E0
N
= lim
β→∞
SN
Nβ
=
p
λS /µ
U(ρ0 (λS )) − λS ρ0 (λS ) +
.
2
2
1
(4.13)
Um die Normierung zu überprüfen, betrachten wir den quartischen Oszillator U(ρ) = (1/2)µω2 + gρ 2 . Berechnen
und Einsetzen des Sattelpunkts λS in Gleichung (4.13) liefert dann im Grenzfall g → 0 die Grundzustandsenergie
des harmonischen Oszillators. Das Pfadintegral ist also richtig normiert.
21
4.2 Sattelpunktnäherung bei Mehrteilchensystemen
Eine einfache Möglichkeit eine Näherung zu berechnen bietet die Sattelpunktmethode für N = 1. Im Gegensatz
zum Limes N → ∞ ist diese Näherung aber nicht exakt. Im Folgenden betrachten wir also die Wirkung
SN [q] =
Z
β
dt
0
m
2
q̇2tot + U2B (q1 − q2 ) + U2B (q1 − q3 ) + U2B (q2 − q3 ).
(4.14)
mit q̇tot = q̇21 + q̇22 + q̇23 .
Da die potentielle Energie des Systems ausschließlich von den Differenzen der Ortsvektoren abhängt, gehen wir
zu den in Abschnitt 4.1.1 beschriebenen Jacobi-Koordinaten über.
Wir nehmen nun an, dass sich die Wechselwirkung zwischen zwei Teilchen U2B als endliche Summe von Exponentialfunktionen schreiben lässt und betrachten qi bzw. yi als eindimensionale Vektoren:

X
q2
Ai exp − 2 .
U2B (q) =
(4.15)
σi
i
Nach dem Einsetzen der Jacobikoordinaten ist das Potential des Systems gegeben durch:

X
y12
y12 /4 + y1 y2 + y22
y12 /4 − y1 y2 + y22
2
2
Ai exp − 2 + exp −
U( y1 , y2 ) =
+ exp −
σi
σ2i
σ2i
i

X
y2
y 2 /4 + y 2
y1 y2
=
Ai exp − 12 + 2 exp − 1 2 2 cosh
.
σi
σi
σ2i
i
(4.16)
(4.17)
p
In einer Dimension gilt, im Gegensatz zum N -dimensionalen Fall, y1 y2 = y12 y22 . Analog zum Mehrteilchensystem
führen wir nun die Hilfspfade ρ und γ ein, indem wir die Deltafunktion δ( yi2 − ρ) einschieben. Die Wirkung lässt
sich dann nach Ausführung des Pfadintegrals über ẏi und yi in Abhängigkeit von ρi und λi schreiben:
S[ρ, λ] =
Z
β
0
1
1
1
d t U(ρ1 , ρ2 ) − (λ1 ρ1 + λ2 ρ2 ) + tr ln(−d t2 + λ1 (·)/µ1 ) + tr ln(−d t2 + λ2 (·)/µ2 )
2
2
2
(4.18)
Die Sattelpunktbedingungen lassen sich über die Funktionale Ableitung δS/δρi = 0 formulieren und sind daher
äqivalent zu
∂ U(ρ1 , ρ2 )
∂ ρi
1
− λi = 0.
2
(4.19)
Der Sattelpunkt in λi lässt sich wie beim Einteilchensystem durch einen Koeffizientenvergleich unter der Vorraussetzung, dass λi (t) konstant sei, bestimmen.
Die (M-1) Sattelpunktbedingungen schränken die Werte für ρ ein. Unter der Annahme, dass für jedes Tupel
(λ, ρ j6=i ) genau ein Wert ρ0i existiert, der die Sattelpunktbedingung erfüllt, können wir (M − 1) Funktionen definieren ρ0i (λ, ρ j6=i ), die jeweils eine Sattelpunktbedingung bezüglich ρi erfüllen. In den meisten Fällen ist das
Finden der entsprechenden Funktionen ρ0i (λ, ρ j6=i ) nicht einfach möglich. Daher entwickeln wir das Potential zu
führender Ordnung um alle ρi . Dadurch vereinfacht sich Gleichung (4.19) zu einem linearen Gleichungssystem.
Darauf basierend definieren wir unsere Sattelpunktgleichungsfunktionen, die nach der Entwicklung von U nur
noch von λi6= j , jedoch nicht mehr von ρi6= j abhängen.
Wie auch beim Zweiteilchensystem ist eine exakte Bestimmung von λ problematisch. Da auch im Mehrteilchenfall λ nicht explizit von der Zeit abhängen darf, führen wir ebenfalls eine Reihenentwicklung
um einen Punkt
R
λSi = λi − λ̃i (t) durch und fordern, dass der Koeffizient vor Termen der Form d t λ̃i (t) Null sein muss. Daraus
ergeben sich die Summanden der Sattelpunktbedingung
∂ U(ρ1 (λ), . . . , ρ M (λ))
∂ U ∂ ρ1
22
(λS ) + · · · +
∂ U ∂ ρM
(λS )
∂ ρ1 ∂ λi
∂ ρ M ∂ λi
p
−1
p
tr ln(−d t2 + λi (·)/µ1 ) ⇒ 2 λSi /µi tanh(β λSi /µi /2)
.
∂ λi
(λS ) =
(4.20)
(4.21)
E0
1.0
0.5
0.0
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
Σ
-0.5
-1.0
-1.5
-2.0
Abbildung 4.1.: Grundzustandsenergie
eines Systems mit der Zweikörperwechselwirkung

V
2
2
p
.
Der
rote
Punkte stellt das Ergebnis aus [4] dar.
exp
−x
/σ
πσ
Potential
Typ I
Typ II
SRG [4]
-1.708
-2.567
U2B
=
Sattelpunktnäherung
-0.757
[Nicht berechnet]
Tabelle 4.1.: Grundzustandsenergien für das 3-Körperproblem berechnet mit SRG und Large-N.
Die Sattelpunktbedingung kann nun numerisch gelöst werden. Dabei können je nach Wahl der Parameter mehrere
Sattelpunkte in Frage kommen, von denen allerdings durch die Bedingung ρ1 > 0, alle bis auf einen Sattelpunkt
ausgeschlossen werden können.
Mit den Sattelpunkten λSi lässt sich, wie auch im Fall von zwei Teilchen, die Zustandssumme, die Freie Energie
und somit auch die Grundzustandsenergie berechnen. Für 3 Teilchen lautet die Grundzustandsenergie
E0 =
1
1
U(ρS1 , ρS2 ) − λS 1 ρS1 − λS 2 ρS2
2
2
p
λS 1
λS 2
+ p + p
2 µ1
2 µ2
p
(4.22)
4.2.1 Alternative Methode
Um das Mehrkörperproblem in N Dimensionen zu lösen, muss sichergestellt sein, dass ausschließlich über erlaubte
Pfade integriert wird, welche die Bedingung ρ12 +ρ23 ≥ ρ13 erfüllen. Dazu muss der Raum der Pfade eingeschränkt
werden. Dies ist allerdings nicht trivial, weswegen diese Methode nicht weiter behandelt werden soll. Für eine
ausführliche Beschreibung von Pfadintegralen in beschränkten topologischen Räumen sei auf [5] verwiesen.
Alternativ ist auch eine Formulierung des Problems in Kugelkoordinaten denkbar.
4.3 Potential Typ I
Im Folgenden wird die in Abschnitt
4.2
beschriebene Methode auf ein Dreiköperproblem mit der Zweiteilchen
wechselwirkung U2B = pVπσ exp −x 2 /σ2 angewendet. Die Massen der Teilchen sind m1 = m2 = m3 = 1.
Es stellt sich heraus, dass sich bei der numerischer Auswertung der Sattelpunktbedingung genau ein Sattelpunkt
findet, der die Bedingung ρ > 0 erfüllt. Die berechneten Grundzustandsenergien finden sich in Tabelle 4.1, Tabelle B.3, sowie in Abbildung 4.1. Die Energien stimmen zwar in der Größenordnung mit dem Ergebnis von [4]
überein, der relative Fehler beträgt jedoch 55%. Die Genauigkeit kann vermutlich durch die Entwicklung nach
höheren Ordnungen verbessert werden.
Die positiven Grundzustandsenergien für σ ≤ 0.5 schließen gebundene Zustände aus. Da selbst im Grenzfall
σ → 0 noch gebundene Zustände existieren, ist davon auszugehen, dass die Näherungsmethode in diesem Bereich
keine guten Vorhersagen über die Grundzustandsenergien liefert.
23
4.4 Potential Typ II
Für das Potential des zweiten Typs konnten mit der verwendeten Näherungsmethode keine Sattelpunkte gefunden
werden. Der Grund hierfür ist möglicherweise die in Abschnitt 4.2 beschriebene Entwicklung des Potentials um ρ =
0. Die Berechnung höherer Ordnungen, oder die direkte numerische Bestimmung von ρ und λ, ist eine Möglichkeit
die Sattelpunkte dennoch zu finden. Desweiteren ist anzunehmen, dass, wie auch beim Zweiteilchenproblem, die
geringe Tiefe des Potentials zu Ungenauigkeiten führt.
24
5 Fazit und Ausblick
Ziel dieser Arbeit war es, mit der Large-N Näherung die Grundzustandsenergie für bosonische Zwei- und Mehrteilchensysteme zu untersuchen. Dabei wurde die in [9]
Methode
Potentiale generalisiert

für beliebige
vorgestellte
2
2
2
2
und auf das kernphysikalische Potential U(q) = Aexp −q /σ1 − B exp −q /σ2 angewandt. Im Vergleich mit
den in [4] berechneten Ergebnissen wird die Genauigkeit der Large-N Näherung untersucht. Dabei lässt sich feststellen, dass im Hinblick auf die Genauigkeit der Ergebnisse, die Methode für das Potential mit den Parametern
B = 2, σ2 = 0.8, A = 0 gut funktioniert. Die Grundzustandsenergie von sehr „flachen“ oder sehr „steilen“ Potentialen kann dagegen nicht, oder nur sehr ungenau, bestimmt werden. Eine Ausgangspunkt für weitere Untersuchungen liegt deshalb darin, zu ermitteln, welche Eigenschaften ein Potential erfüllen muss, damit die Large-N
Näherung genaue Ergebnisse liefert.
Die mit der in dieser Arbeit vorgestellten Methode berechneten Grundzustandsenergien von Mehrteilchensystemen liegen trotz der groben Näherung in der gleichen Größenordnung wie die mit der SRG-Methode berechneten
Ergebnisse.
Um genauere Ergebnisse zu erhalten, können in zukünftigen Untersuchungen die höheren Ordnungen der 1/N
Entwicklung berechnet werden. Des Weiteren bietet sich die Untersuchung, inwiefern eine genauere Bestimmung
der Sattelpunkte im Mehrteilchensystem eine Verbesserung der Näherung mit sich bringt, an.
25
A Anhang: Mathematische Grundlagen & Herleitungen
A.1 Gaußsche Integrale
Als Gaußsches Integral wird ein Integral der Form
Z
I=
n
1
>
d x exp − x Ax
2
(A.1)
bezeichnet, wobei A eine n × n komplexwertige, symmetrische Matrix sei. Es lässt sich zeigen, dass der Wert des
Integrals
I = (2π)n/2 (det A)−1/2
(A.2)
beträgt. Ist A reell, kann man die obige Form auf Integrale der Form
Z
1 >
n
I = d x exp − x Ax exp (bx)
2
verallgemeinern. Um das Integral zu lösen, bestimmt man zunächst das Minimum des Exponenten:
∂
1
!
− x> Ax + bx = 0 ⇒ xmin = A−1 b
∂ xi
2
x = A−1 b + (x − xmin ) ≡ A−1 b + y
Nach der Substitution x → y lautet das Integral dann
Z
1
1 > −1
I = exp
b A b
dn y exp − y> Ay
2
2
(A.3)
(A.4)
(A.5)
(A.6)
und kann wie zuvor beschrieben gelöst werden.
Die ausführlichen Beweise sind in [9] beschrieben. Gaußsche Integrale lassen sich, wie in Abschnitt 2.5 gezeigt,
ebenfalls auf das Pfadintegral verallgemeinern.
A.2 Spur und Determinante von Operatoren
Um die Spur eines Operators zu definieren, wird das Konzept der Spur einer Matrix auf unendlich dimensionale
Basen verallgemeinert. Dabei wird vorausgesetzt, dass das Skalarprodukt
X
b | ek 〉
tr A ≡
〈 ek | A
k
absolut konvergent ist, wobei ek eine beliebige Orthonormalbasis sei. Eine solcher Operator wird trace-class Operator genannt. Eine äquivalente Darstellung der Spur ist durch den Kern des Operators gegeben [? ].
Z
Z
(Af )(x) =
d t KA(t, x) f (t) ⇒ tr A =
d t KA(t, t)
Für den Operator AB lässt sich der Kern durch die einzelnen Kerne der Operatoren ausdrücken:
Z
KAB =
d t KA(x, t)KB (t, y)
(A.7)
Dementsprechend kann auch die Spur durch die Kerne KA, KB ausgedrückt werden:
Z
tr (AB) =
d x d y KA(x, y) · KB ( y, x).
(A.8)
Daraus folgt direkt, dass sich, sofern KA bekannt ist, die Spur beliebiger Potenzen des Kerns An berechnen lässt.
Für Operatoren der Form (1 + A) lässt sich auch eine Erweiterung der Determinante auf Operatoren definieren.
Falls A trace-class ist, ergibt sich ein einfacher Ausdruck für den Logarithmus der Determinante
∞
X
(−1)i+1
ln det(1 + A) = tr ln(1 + A) =
tr Ai .
(A.9)
i
i=1
26
A.3 Berechnung der Spur tr ln(−d t2 + λ(·))
Zur Berechnung der Spur tr ln(−d t2 + λ(·)) entwickeln wir λ(·) um einen beliebigen Punkt λS mit λ(·) = λS + λ̃(·).
Es sei angemerkt, dass der Operator λ̃ einen Pfad beschreibt und daher in der Basis der Ortskoordinaten q diagonal
ist. Da das Inverse von −d t2 + λS existiert, (siehe Abschnitt 2.3), können wir die Spur entsprechend umschreiben:
tr ln(−d t2 + λS + λ̃) = tr ln(−d t2 + λS ) + tr ln(1 + λ̃(−d t2 + λS )−1 )
Der erste Summand beschreibt dabei einen harmonischen Oszillator mit der Frequenz
kann mit Gleichung (A.9) in einer Reihe entwickelt werden:
p
(A.10)
λS . Der zweite Summand

tr ln(1 + λ̃(−d t2 + λS )−1 ) = tr(λ̃(−d t2 + λS )−1 ) + O λ̃2
(A.11)
Um die Spur zu berechnen, betrachten wir die Kerne der Operatoren λ̃ und (−d t2 + λS )−1 . Den Kern des Operators λ̃ bestimmen wir, indem wir den Operator explizit in Integralform aufschreiben. λ̃(t) bezeichnet dabei den
entsprechenden Pfad.
(λ̃ f )(t) = λ̃(t) f (t) =
Z
du λ̃(t)δ(t − u) f (u) ⇒ Kλ̃ (x, y) = λ̃(x)δ(x − y)
(A.12)
Nach Gleichung (A.8) kann nun die Spur tr(λ̃(−d t2 + λS )−1 ) berechnet werden.
Z
d x d y Kλ̃ (x, y)K−d 2 +λS ( y, x) =
t
Z
d x d y λ̃(x)δ(x − y)K(−d 2 +λS )−1 ( y, x) =
t
Z
d y λ̃( y)K(−d 2 +λS )−1 ( y, y)
t
(A.13)
Da der Kern K(−d 2 +λS )−1 ( y, y) konstant ist, kann er vor das Integral gezogen werden.
t
27
B Anhang: Tabellen
g
0.1
0.3
0.5
1.0
2.0
10.0
100.0
1000.0
Exakte Werte für E0
0.559
0.638
0.696
0.804
0.952
1.505
3.131
6.694
Large-N
0.523
0.56
0.591
0.653
0.743
1.108
2.236
4.745
Tabelle B.1.: Exakte Werte, sowie die mit der Large-N Näherung berechneten Werte für den quartischen Oszillator.
V1
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
9.0
10.0
11.0
12.0
13.0
14.0
15.0
16.0
E0 mit Large-N berechnet
-5.662
-5.603
-5.554
-5.512
-5.475
-5.443
-5.414
-5.387
-5.363
-5.341
-5.32
-5.3
-5.282
-5.265
Tabelle B.2.: Mit der Large-N Näherung berechnete Werte des Zweikörperproblems mit dem Potetial Typ II.
σ
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
E0 mit Large-N berechnet
1.868
0.478
-0.205
-0.563
-0.757
Tabelle B.3.: Mit der Large-N Näherung berechnete Werte des Dreikörperproblems.
28
Literaturverzeichnis
[1] http://mathworld.wolfram.com/LambertW-Function.html, Mai 2013.
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