Fachhochschule Jena University of Applied Sciences - EAH-Jena

Fachhochschule Jena
University of Applied Sciences Jena
Fachbereich Grundlagenwissenschaften
WS 2010/2011
Mathematik 1, Studiengänge PIUS, WT
6. Übungsserie
1. Berechnen Sie die 1. Ableitung der Funktion
y = sin2 (ex ) + cos2 (ex ) + x + 1
2. Berechnen Sie die 1., 2. und die 3. Ableitung der Funktionen
d1) y =
9x2 +18x+5
18x
d2) y =
x2 +3x+1
x2 +1
d3) y =
x4 −x3 +1
x−1
3. Berechnen Sie die 1. und 2. Ableitung der Funktion
y = f (x) =
n
X
ak · (x − x0 )k ,
x0 , ak ∈ R, k = 1, 2, ..., n
und n ∈ N
k=1
4. Berechnen Sie die 1. Ableitung von
f1) y = x2x
f2) y = (x + 1)(x−1)
f3) y = (x2 + 2x − 1)
√
x
5. Bestimmen Sie den Denitionsbereich der Funktion
f (x) = x2 · lg(x) .
Berechnen Sie auÿerdem Nullstellen sowie Stellen, an denen Extremwerte vorliegen (mit
Überprüfung, ob Min. oder Max.). Auÿerdem sind diejenigen Intervalle zu berechnen, in
denen f (x) konvex ist.
6. Untersuchen Sie die Funktion y = e−2x +2x auf Extremwerte und Wendepunkte. Bestimmen Sie ferner die Bereiche, in denen die Funktion streng monoton fallend bzw. steigend
ist.
7. Für welche reelle Zahl a besitzt das Polynom P3 (x) = ax3 − 5x2 + 4x + 1 an der Stelle
x0 = 1 einen Extremwert ?
Geben Sie den Typ (Minimum, Maximum) und den Funktionswert an der Stelle x0 = 1
an.
Besitzt P3 (x) für den berechneten Parameter a weitere Extremwerte ?
Wenn ja, dann sind Stellen, Typ und Funktionswert anzugeben.
8. Welchen Anstieg hat der Graph der Funktion f (x) =
und x1 = π ?
x · sin x
π
an den Stellen x0 =
x2 − 1
2
9. Geben Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion f (x) = 2x2 − 6x + 7
im Punkt (1, 3) an!
1
10. Einer Kugel mit Radius R > 0 soll ein gerader Kreiszylinder einbeschrieben werden.
Bestimmen Sie dessen Radius r und Höhe h in Abhängigkeit vom Kugelradius R so, daÿ
das Volumen des Zylinders maximal wird.
Ermitteln Sie Radius und Höhe eines in die Kugel einbeschriebenen Kreiskegels mit
maximalem Volumen.
11. Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte mit Hilfe der Regel von l'Hospital:
arcsin x
,
x→0
x
a) lim
e) lim
x→1
b)
ex
,
x→∞ x
lim
ln x3
,
2(x2 − 1)
c)
ex
,
x→∞ x3
lim
f) lim x · ln x ,
x→0
ex + e−x − 2
,
x→0
1 − cos x
d) lim
g) lim x · cot x ,
x→0
12. Berechnen Sie für die Funktion f (x) = sin x · e−2x das Dierential dy in x = π zum
Zuwachs ∆x = 0.1 und vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit ∆y .
13. Berechnen Sie y 0 =
dy
dx
x2 = y 3 ln x
der folgenden implizit gegebenen Funktionen :
y 3 − 2xy = ex
sowie
(x2 + y 2 )2 − 2x(x2 + y 2 ) = y 2
14. Berechnen Sie für die zur Funktion y = f (x) = ln x + x3 − 5 in Df = (0; +∞) gehörenden
Umkehrfunktion x = g(y) die 1. Ableitung an der Stelle y0 = −4 .
15. Geben Sie für die folgenden, in Parameterdarstellung gegebenen Funktionen die 1. und
2. Ableitung an.
√
√
x(t) = ln t, y(t) = t2
und
x(t) = t, y(t) = t − 1
16. Zeigen Sie, daÿ die Rollkurve (oder Zykloide)
x = x(t) = r(t − sin t),
y = y(t) = r(1 − cos t),
für die Parameterwerte tk = (2k − 1)π,
t ∈ [0; +∞),
r>0
k = 1, 2, 3, ... eine waagrechte Tangente besitzt.
17. Berechnen Sie die jeweils angegebenen partiellen Ableitungen !
a) U = A · sin(ωt + α) (UA , Uω , Ut , Uα ) ,
b) R1 = R11 + R12 (RR1 ),
p
2
(Fm , Fv , Fr ) ,
d) Z = R2 + (XL − XC )2 (ZR , ZXC ) ,
c) F = mv
r
n1
sin α
e) sin β = n2 (αβ ) ,
f ) p · V = const. (Vp )
18. Der p
Raumpunkt P = (x, y, z) besitzt vom Koordinatenursprung den Abstand
r = x2 + y 2 + z 2 . Wie ändert sich der Abstand des Punktes A = (1, 2, 0), wenn man
ihn in den Punkt B = (0.9, 2.2, −0.1) verschiebt ? Berechnen Sie die exakte Abstandsänderung und vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit dem Wert, der sich aus der näherungsweisen
Berechnung unter Verwendung des totalen Dierentials ergibt.
19. In einem exakt rechtwinkligen Dreieck ist die Kathede mit 217 ± 3 cm gemessen worden
und die Hypothenuse mit 573 ± 4 cm. Geben Sie die Länge der zweiten Kathede, den
möglichen absoluten bzw. relativen Fehler an.
20. Für die Funktion y = f (x1 , x2 ) = (x1 − 3)2 + (x2 + 2)2 + 4 ist im Punkt x0 = (0, 0) die
Gleichung der Tangentialebene an die Bildäche von y = f (x1 , x2 ) in parameterfreier
Darstellung anzugeben.
21. Untersuchen Sie die Funktion f (x, y) = x2 (2 − y) + y 2 + 12y auf Extremwerte und
Sattelpunkte. Extremstellen und ihre Art (Min, Max) sind anzugeben. Funktionswerte
sind zu berechnen .
2
22. Ein oben oener Behälter in Form eines Quaders soll 10m3 Fassungsvermögen haben. Er
wird aus Blechtafeln zusammengeschweiÿt. Welche Abmessungen sind zu wählen, wenn
a)
die Oberäche minimal ausfallen soll
b)
die Länge der Schweiÿnähte minimal werden soll ?
23. Berechnen Sie die partiellen Ableitungen 1. und 2. Ordnung von :
a)
f (x, y) = x2 ln y + y 2 ln x + xy + 7;
c)
f (x, y) = (x + 7)3 (y + 1)2 ;
e)
f (x, y, z) = x3 yz 2 + 2x2 y 2 z + 5z 3 ;
2
x −y
x ;
h)
2
f (x, y) = ex+y x2 + ln(x2 ) + y
b)
x
y2
+ x4 ey
p
f (x, y) = y − x2
d) f (x, y) =
f)
f (x, y) = (1 + x2 − 2y 2 )2
g)
f (x, y) =
i)
f (a, b) = sin(2a + b); j) T (m1 , m2 ) =
2
m2
m1 −m2
2
y
F (x, y) = x ln 2x+1
; l) f (x, y) = ex+y
√
m) f (x1 , x2 , x3 ) = x1 ex2 + x3 + x1 x2 + x3
k)
n) f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = x1 x2 + ln(x1 + x23 ) + cos(x1 x4 )
o)
f (x1 , x2 , ..., xn ) =
p) f (x1 , x2 , ..., xn ) =
1
n (x1
√
n
+ x2 + ... + xn )
x1 · x2 · ... · xn
3