b - Leuphana Universität Lüneburg

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Infinitesimales
Hier wächst Ihr Wissen über das
unendlich Kleine
1
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2103 http://www.leuphana.de/matheomnibus
Der Modellierungskreislauf
g
Ein erfundenes Beispiel:
16 Uhr Unfall mit Fahrerflucht in Hann. Münden
Ein Zeuge glaubt einen Transporter mit reichlich
Werbeschrift gesehen zu haben.
Der Besitzer behauptet er sei um 16 Uhr gar nicht in
Hann.Münden gewesen.
2
g
Um 15 Uhr war er nachweislich noch in Bodenwerder,
80 km entfernt.
R l Sit
Reale
Situation
ti
Der Fahrtenschreiber zeigt:
Länge der gefahrenen Strecke ist gesucht.
3
g
80 km entfernt.
R l Sit
Reale
Situation
ti
mathematisches Modell
Fläche unter der Modellkurve gesucht
gesucht.
4
g
80 km entfernt
entfernt.
R l Sit
Reale
Situation
ti
gesucht.
0.75
mathematische Lösungsidee
s

0
v(t ) d t
5
80 km entfernt
entfernt.
R l Sit
Reale
Situation
ti
gesucht.
0 75
0.75
s

v(t ) d t
mathematische Antwort
s  60 km
6
0
80 km entfernt
entfernt.
Reale Situation
gesucht.
0 75
0.75
s

v(t ) d t
mathematische Antwort
s  60 km
7
0
Funktionen werden zum
Werkzeug
Man erhält Antworten beim
Blick auf „das Ganze“ mit dem Integral
integer (lat.)= ganz
pane integrale (it.) = Vollkornbot
 f ( x)d x
Funktionen beschreiben
Zusammenhänge
Man erhält punktuelle Antworten
mit dem Differential
d f,
dy
,
d x
f '(( x)
8
Das Integral
 f ( x)d x
Man erhält Antworten beim
b
integer (lat.)=
(lat.) ganz
a
f ( x)d x
Blick auf „das Ganze“ mit dem Integral
pane integrale (it.) = Vollkornbot
9
Das Riemannsche Integral
b
a f ( x)d x
Bernhard Riemann
Abi 1846
Johanneum Lüneburg
Originaltext aus „Gesammelte Werke“
10
b
a
f ( x)d x Riemannsches Integral
Bernhard Riemann
Abi 1846
Johanneum Lüneburg
, bei jeder Zerlegung denselben Grenzwert zu haben,
O i i lt t aus „Gesammelte
Originaltext
G
lt Werke“
W k “
11
Das Integral als verallgemeinertes Produkt
v
konstant
G
Geschwindigkeit
h i di k it
v  v(t )
s  v t
W
Weg
Z it
Zeit
variabel
b
s   v(t ) d t
a
Integral für 3D-Flächen, Volumen, Schwerpunkt, Bilanzen....
12
v
G
Geschwindigkeit
h i di k it
F
konstant
Kraft
v  v(t )
s  v t
konstant
W
Weg
Z it
Zeit
W  F s
A b it
Arbeit
Weg
variabel
b
s   v(t ) d t
a
F  F (s)
b
W   F ( s) d s
a
13
v
G
Geschwindigkeit
h i di k it
F
konstant
Kraft
R
W
Weg
Widerstand
Z it
Zeit
W  F s
Arbeit
Energie
konstant
v  v(t )
s  v t
konstant
Weg
U  R I
Spannung
Stromstärke
variabel
b
s   v(t ) d t
a
F  F (s)
b
W   F ( s) d s
a
R  R( I )
variabel
b
U   R( I ) d I
a
14
Das Integral
g für den
verallgemeinerten Mittelwert
Wetter
T
Temperaturverlauf
t
l f
1
Tmittel  4 T7  T14  2  T21 
Integral für Mittelwert und Bilanzen....
15
Das Integral
g für den
Ist die Modellierung der
M t
Metereologen
l
nicht viel zu grob?????
1
Tmittel  4 T7  T14  2  T21 
Flächenbilanz=0
16
Das Integral
g für den
1
Tmittel  4 T7  T14  2  T21 
Flächenbilanz=0
17
Das Integral
g für den
Mittelwert
der Funktionswerte
1 b
f ( x )dx
Mittelwert 

a
ba
18
Eigenschaften des Integrals
b
a
f ( x)d x
Intervall [A
[A,B]
B]
Sind die Werte von f im ganzen Intervall negativ,
dann ist auch das Integral negativ.
19
b
a
f ( x)d x
Intervall [A
[A,B]
B]
Das IIntegral
D
t
l ist
i t eine
i Flä
Flächenbilanz
h bil
mit
it negativen
ti
und positiven Flächen.
20
b
a
f ( x)d x
Intervall [A
[A,B]
B]
Das IIntegral
D
t
l ist
i t eine
i Flä
Flächenbilanz
h bil
mit
it negativen
ti
und positiven Flächen.
Beim Vertauschen der Grenzen
ändert sich das Vorzeichen
des Integrals
21
Übungen zum Integral
b
a
f ( x)d x
 8,
8  20
20,  24
mögliche Werte
Intervall [A,B]
22
Übungen zum Integral
b
a
f ( x)d x
 8,
8  20
20,  24
mögliche Werte
Intervall [A,B]
23
Die Integralfunktion
„Teppich-Abroll-Funktion
Teppich Abroll Funktion“
a
F ( x, a ) :
a
x
x
a
f (t ) d t
x
24
F ( x, a ) :
x
a
f (t ) d t
„Teppich-Abroll-Funktion“
Ordinate von P zeigt die abgerollte Fläche an.
25
F ( x, a ) :
x
a
f (t ) d t
Der Z
D
Zuwachs
h d
der
Integralfunktion
hängt nur vom
Zuwachs der Fläche ab.
Also sind die verschiedenen
Integralfunktionen an jeder
Stelle x gleich steil.
(x ist hier die Stelle von B)
26
F ( x, a ) :
x
a
f (t ) d t
All IIntegralfunktionen
Alle
t
lf kti
haben dieselbe Form.
An den Extremstellen
von F hat f eine Nullstelle.
Nullstelle
An der Sattelstelle von F
hat f eine Berühr-Nullstelle.
W F eine
Wo
i Wendestelle
W d t ll h
hat,
t h
hatt f eine
i E
Extremstelle.
t
t ll
27
Nochmal die
Teppichabrollfunktion
28
die Intergralfunktion F von f
=„Teppichabrollfunktion“
T
i h b llf kti “
29
Hauptsatz der Differentialund
d IIntegralrechnung
l h
f ( x )  F '( x )
d. h. Alle Integralfunktionen F zu f mit beliebigem Start
h b ih
haben
ihr f auch
h als
l Abl
Ableitung.
it
Si
Sie h
heißen
iß d
daher
h auch
h
„Stammfunktionen“ von f,
sie unterscheiden sich nur um eine
additive Konstante c. Man schreibt:
30

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