Infinitesimales Infinitesimal Thinking

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Infinitesimales
Infinitesimal Thinking
Hier wächst Ihr Wissen über das
unendlich Kleine
Your knowledge about infinitely
small objects increases.
1
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2103 http://www.leuphana.de/matheomnibus
Der Modellierungskreislauf
Ein erfundenes Beispiel:
2
A faked example:
The Modelling Circuit
16 Uhr Unfall mit Fahrerflucht in Hann. Münden
Ein Zeuge glaubt einen Transporter mit reichlich
Werbeschrift gesehen zu haben.
At 4 pm o‘clock there had been an accident in H.-Münden, the driver escaped.
A witness had seen a van with multiple commertial marking
how the picture shows.
Der Besitzer behauptet er sei um 16 Uhr gar nicht in
Hann.Münden gewesen.
The owner affirm that at 4 o‘clock he had not been in H.-Münden.
3
Um 15 Uhr war er nachweislich noch in Bodenwerder,
80 km entfernt.
Reale Situation
Der Fahrtenschreiber zeigt:
Länge der gefahrenen Strecke ist gesucht.
•Die Weser entsteht in Hannoversch Münden durch Zusammenfluss von Werra und Fulda.
Sie durchfließt Niedersachen bis zur Nordsee. In Bodenwerder ist das Schloss des Lügenbarons
Freiherr von Münchhausern. Er zog sich am eigenen Zopf aus dem Sumpf usw….
5
4
The Modeling Circuit
At 5 pm o‘clock he was verifiably still in Bodenwerder*, 80 km
downstream the river Weser.
real situation
The trip recorder shows:
We are interested in the length of his drive.
*Notice: the river Weser starts in Hannoversch Münden in Lower Saxony and goes
in the North Sea. In Boderwerder is the castle of the „Lying Lord Münchhausen“.
6
1
Um 15 Uhr war er nachweislich noch in Bodenwerder*,
80 km entfernt.
Reale Situation
real situation
mathematisches Modell
mathematical model
Fläche unter der Modellkurve gesucht.
We search the area under the modeling curve.
•Die Weser entsteht in Hannoversch Münden durch Zusammenfluss von Werra und Fulda.
Sie durchfließt Niedersachen bis zur Nordsee. In Bodenwerder ist das Schloss des Lügenbarons
Freiherr von Münchhausern. Er zog sich am eigenen Zopf aus dem Sumpf usw….
7
*Notice: the river Weser starts in Hannoversch Münden in Lower Saxony and goes
in the North Sea. In Boderwerder is the castle of the „Lying Lord Münchhausen“.
8
80 km entfernt.
Reale Situation
real situation
mathematical model
0.75
mathematische Lösungsidee
s

0.75
v(t ) d t
0
mathematical idea of solving this
80 km entfernt.
Reale Situation
10
real situation
mathematical model
mathematical idea of solving this
mathematische Lösungsidee
0.75
0
v(t ) d t


0
9
s
s
v(t ) d t
mathematische Antwort
s  60 km
11
0.75
s

0
v(t ) d t
mathematical solution
s  60 km
12
2
Funktionen werden zum
Werkzeug
Functions Become a Tool
Man erhält Antworten beim
You have solution with looking
on on the whole issue with the Integral
Blick auf „das Ganze“ mit dem Integral
integer (lat.)= whole
integer (lat.)= ganz
pane integrale (it.) = Vollkornbot
 f ( x)d x
Funktionen beschreiben
Zusammenhänge
pane integrale (it
(it.)) = whohe –grain
grain breadn
Man erhält punktuelle Antworten
mit dem Differential
d f,
 f ( x)d x
functions are describing
connections
dy
,
d x
Youe have punctual solutions
with the differential
f '( x)
dy
,
d x
d f,
13
f '( x)
14
Das Integral
The Integral
 f ( x)d x
Man erhält Antworten beim
b
integer (lat.)= ganz
a f ( x)d x
 f ( x)d x
Blick auf „das Ganze“ mit dem Integral
b
a f ( x)d x
pane integrale (it.) = Vollkornbot
You have solution with looking
on on the whole issue with the Integral
integer (lat.)= whole
pane integrale (it.) = whohe –grain bread
15
Das Riemannsche Integral
b
a f ( x)d x
16
The Riemannian Integral
b
a f ( x)d x
Bernhard Riemann
Abi 1846
Johanneum Lüneburg
Bernhard Riemann
Abitur 1846
Johanneum Lüneburg
Originaltext aus „Gesammelte Werke“
original text out of „Gesammelte Werke“
On the conception of
th definite
the
d fi it iintegral
t
l
and the range of its
validity.
……
So at first: What is the meaning of
17
b
a f ( x)d x
?
18
3
b
a
b
a f ( x)d x
f ( x)d x Riemannsches Integral
Riemannian Integral
Bernhard Riemann
Bernhard Riemann
Abi 1846
Abitur 1846
Johanneum Lüneburg
Johanneum Lüneburg
If the function has not this property, so the symbol
Originaltext aus „Gesammelte Werke“
, bei jeder Zerlegung denselben Grenzwert zu haben,
b
a f ( x)d x
has no meaning.
original text out of „Gesammelte Werke“
, to have the same limit with every dissection,
20
19
Das Integral als verallgemeinertes Produkt
The Integral as a Generalized Product
v
v  v (t )
s  v t
konstant
Geschwindigkeit
Weg
Zeit
variabel
v
b
s   v(t ) d t
constant
s  v t
velocity
path
time
a
v  v (t )
variable
b
s   v(t ) d t
a
Integral für 3D-Flächen, Volumen, Schwerpunkt, Bilanzen....
21
Integral for 3D-areas, volumes, balance points, balances,…
22
v
Geschwindigkeit
F
konstant
Kraft
v  v (t )
s  v t
konstant
Weg
Zeit
W  F s
A b it
Arbeit
Weg
variabel
v
b
s   v(t ) d t
constant
s  v t
velocity
path
a
F  F ( s)
F
constant
forth
b
W   F ( s) d s
a
23
time
W  F s
work
energy
v  v (t )
variable
b
s   v(t ) d t
a
F  F ( s)
b
W   F ( s) d s
a
24
4
v
Geschwindigkeit
F
R
Weg
Arbeit
Energie
konstant
Widerstand
Zeit
W  F s
konstant
Kraft
v  v (t )
s  v t
konstant
Weg
U  R I
Spannung
Stromstärke
variabel
v
b
s   v(t ) d t
constant
s  v t
velocity
path
a
F  F ( s)
F
W   F ( s) d s
work
energy
a
R  R( I )
R
variabel
b
U   R( I ) d I
constant
resistor
Ohn‘s law
a
25
b
a
F  F ( s)
b
W   F ( s) d s
a
R  R( I )
U  R I
voltage
variable
s   v(t ) d t
time
W  F s
constant
forth
b
v  v (t )
variable
b
U   R( I ) d I
electric current
a
26
Das Integral für den
verallgemeinerten Mittelwert
The Integral for the Generalized Mean
Wetter
Temperaturverlauf
weather
temperature profile
Tmittel  14 T7  T14  2  T21 
Integral für Mittelwert und Bilanzen....
27
Tmean  14  T7  T14  2  T21 
Integral for means and financial balances....
28
Ist die Modellierung der
Is the modeling of the
Metereologen
meterologists too rough?
nicht viel zu grob?????
Tmean  14 T7  T14  2  T21 
Tmittel  14  T7  T14  2  T21 
Flächenbilanz=0
29
balance of area =0
integral for means and balances....
30
5
Tmittel  14  T7  T14  2  T21 
Tmean  14 T7  T14  2  T21 
Flächenbilanz=0
balance of area =0
integral for means and balances....
31
32
Mittelwert
mean
der Funktionswerte
of the functions values
1 b
f ( x )dx
b  a a
Mittelwert 
33
mean 
1 b
f ( x )dx
b  a a
integral 3D-areas aund volumes, for means and balances....
34
Eigenschaften des Integrals
Properties of the Integrals
b
b
a f ( x)d x
a f ( x)d x
Intervall [A,B]
interval [A,B]
Sind die Werte von f im ganzen Intervall negativ,
dann ist auch das Integral negativ.
If the values of f are negative in the whole interval
than the integral is negativ.
35
36
6
b
a
b
a f ( x)d x
f ( x)d x
Intervall [A,B]
interval [A,B]
Das IIntegral
D
t
l iistt eine
i Flä
Flächenbilanz
h bil
mit
it negativen
ti
und positiven Flächen.
Th iintegral
The
t
l iis a b
balance
l
off areas with
ith negative
ti
and positive values.
37
38
b
b
a f ( x)d x
a f ( x)d x
Intervall [A,B]
interval [A,B]
Das IIntegral
D
t
l iistt eine
i Flä
Flächenbilanz
h bil
mit
it negativen
ti
und positiven Flächen.
Th iintegral
The
t
l iis a b
balance
l
off areas with
ith negative
ti
and positive values.
By changing the borders
the sign
of the integral changes.
Beim Vertauschen der Grenzen
ändert sich das Vorzeichen
des Integrals
39
40
Übungen zum Integral
b
a f ( x)d x
Exercise with the Integral
 8,  20,  24
mögliche Werte
Intervall [A,B]
b
a f ( x)d x
 8,  20,  24
possible values
interval [A,B]
41
42
7
Übungen zum Integral
b
Exercise with the Integral
 8,  20,  24
a f ( x)d x
mögliche Werte
Intervall [A,B]
b
 8,  20,  24
a f ( x)d x
possible values
interval [A,B]
43
44
Die Integralfunktion
The Integral Funktion
„Teppich-Abroll-Funktion“
a
F ( x, a ) :
x
a
f (t ) d t
„carpet scrolling funktion“
a
a
x
x
F ( x, a ) :
x
a
f (t ) d t
a
x
x
45
46
F ( x, a ) :
x
a
F ( x, a ) :
f (t ) d t
„Teppich-Abroll-Funktion“
Ordinate von P zeigt die abgerollte Fläche an.
x
a
f (t ) d t
„carpet scrolling funktion“
47
The ordinate of P shows the scrolled area.
48
8
F ( x, a ) :
x
a
F ( x, a ) :
f (t ) d t
x
a
Der Zuwachs der
Integralfunktion
hängt nur vom
Zuwachs der Fläche ab.
Also sind die verschiedenen
Integralfunktionen an jeder
Stelle x gleich steil.
f (t ) d t
The growth of the
integral-function
depends only on the
growth of the area.
Therefore all the different
integral functions have in
every position x the same
slope.
(x ist hier die Stelle von B)
(here x is the position of B)
49
50
F ( x, a ) :
x
a
F ( x, a ) :
f (t ) d t
Alle Integralfunktionen
haben dieselbe Form.
x
a
f (t ) d t
All integral functions
have the same form.
In the extrem abscissas of
F the function f has a zero.
An den Extremstellen
von F hat f eine Nullstelle.
An der Sattelstelle von F
In the saddle-abscissa of F
the function f has the x-axis
as a tangent.
hat f eine Berühr-Nullstelle.
Wo F eine Wendestelle hat, hat f eine Extremstelle.
In the position of inflection of F there is an extreme position of f.
51
Nochmal die
Teppichabrollfunktion
52
Once Again the
Carpet scrolling funktion
53
54
9
Die Intergralfunktion F von f
=„Teppichabrollfunktion“
The Integral Function F von f
=„ Carpet scrolling funktion“
55
56
Hauptsatz der Differentialund Integralrechnung
Principal Theorem of the
Calculus
f ( x )  F '( x )
f ( x )  F '( x )
d. h. Alle Integralfunktionen F zu f mit beliebigem Start
That is: All integral functions F of f with arbitrary start
h b ih
haben
ihr f auch
h als
l Ableitung.
Abl it
Sie
Si h
heißen
iß d
daher
h auch
h
h
have
th i own f as their
their
th i derivative.
d i ti
F that
For
th t we callll them
th
„Stammfunktionen“ von f,
„antiderivative“ von f.
sie unterscheiden sich nur um eine
All possible F differ only in an
additive Konstante c. Man schreibt:
additive constant c. One write:
57
58
10

Infinitesimales Infinitesimal Thinking

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