s vt dt Der Modellierungskreislauf

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Der Modellierungskreislauf
Infinitesimales
Ein erfundenes Beispiel:
16 Uhr Unfall mit Fahrerflucht in Hann. Münden
Ein Zeuge glaubt einen Transporter mit reichlich
Werbeschrift gesehen zu haben.
Hier wächst Ihr Wissen über das
unendlich Kleine
1
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2103 http://www.leuphana.de/matheomnibus
Der Besitzer behauptet er sei um 16 Uhr gar nicht in
Hann.Münden gewesen.
2
Um 15 Uhr war er nachweislich noch in Bodenwerder,
80 km entfernt.
Reale Situation
Der Fahrtenschreiber zeigt:
80 km entfernt.
Reale Situation
Länge der gefahrenen Strecke ist gesucht.
mathematisches Modell
Fläche unter der Modellkurve gesucht.
3
4
80 km entfernt.
Reale Situation
80 km entfernt.
Reale Situation
0.75
mathematische Lösungsidee
s

0
v(t ) d t
5
0.75
s

0
v(t ) d t
mathematische Antwort
s  60 km
6
1
Funktionen werden zum
Werkzeug
80 km entfernt.
Reale Situation
Man erhält Antworten beim
Blick auf „das Ganze“ mit dem Integral
integer (lat.)= ganz
pane integrale (it.) = Vollkornbot
Funktionen beschreiben
Zusammenhänge
0.75
s

v(t ) d t
mathematische Antwort
Man erhält punktuelle Antworten
mit dem Differential
s  60 km
7
0
d f,
dy
,
d x
f '( x)
8
Das Riemannsche Integral
Das Integral
 f ( x)d x
Man erhält Antworten beim
b
integer (lat.)= ganz
a f ( x)d x
 f ( x)d x
b
Blick auf „das Ganze“ mit dem Integral
a f ( x)d x
Bernhard Riemann
Abi 1846
Johanneum Lüneburg
Originaltext aus „Gesammelte Werke“
pane integrale (it.) = Vollkornbot
9
b
a
10
Das Integral als verallgemeinertes Produkt
f ( x)d x Riemannsches Integral
v
konstant
Geschwindigkeit
v  v (t )
s  v t
Weg
Zeit
variabel
b
s   v(t ) d t
a
Bernhard Riemann
Abi 1846
Johanneum Lüneburg
, bei jeder Zerlegung denselben Grenzwert zu haben,
Originaltext aus „Gesammelte Werke“
11
Integral für 3D-Flächen, Volumen, Schwerpunkt, Bilanzen....
12
2
v
Geschwindigkeit
F
konstant
Kraft
v  v (t )
s  v t
konstant
Weg
Zeit
W  F s
A b it
Arbeit
Weg
variabel
v
Geschwindigkeit
b
s   v(t ) d t
a
F  F ( s)
F
W   F ( s) d s
Arbeit
Energie
a
R
Weg
konstant
Widerstand
Zeit
W  F s
konstant
Kraft
b
v  v (t )
s  v t
konstant
Weg
U  R I
Spannung
Stromstärke
variabel
b
s   v(t ) d t
a
F  F ( s)
b
W   F ( s) d s
a
R  R( I )
variabel
b
U   R( I ) d I
a
13
14
Das Integral für den
verallgemeinerten Mittelwert
Ist die Modellierung der
Metereologen
nicht viel zu grob?????
Wetter
Temperaturverlauf
Tmittel  14 T7  T14  2  T21 
Integral für Mittelwert und Bilanzen....
Tmittel  14  T7  T14  2  T21 
Flächenbilanz=0
15
16
Mittelwert
der Funktionswerte
Tmittel  14  T7  T14  2  T21 
Flächenbilanz=0
17
1 b
f ( x )dx
b  a a
Mittelwert 
18
3
Eigenschaften des Integrals
b
a
b
f ( x)d x
a f ( x)d x
Intervall [A,B]
Intervall [A,B]
Das IIntegral
D
t
l iistt eine
i Flä
Flächenbilanz
h bil
mit
it negativen
ti
und positiven Flächen.
Sind die Werte von f im ganzen Intervall negativ,
dann ist auch das Integral negativ.
19
20
Übungen zum Integral
b
a f ( x)d x
b
 8,  20,  24
a f ( x)d x
Intervall [A,B]
mögliche Werte
Intervall [A,B]
Das IIntegral
D
t
l iistt eine
i Flä
Flächenbilanz
h bil
mit
it negativen
ti
und positiven Flächen.
Beim Vertauschen der Grenzen
ändert sich das Vorzeichen
des Integrals
21
22
Die Integralfunktion
Übungen zum Integral
b
a
f ( x)d x
 8,  20,  24
„Teppich-Abroll-Funktion“
F ( x, a ) :
mögliche Werte
x
a
f (t ) d t
Intervall [A,B]
a
a
x
23
x
24
4
F ( x, a ) :
x
a
F ( x, a ) :
f (t ) d t
x
a
f (t ) d t
Der Zuwachs der
Integralfunktion
hängt nur vom
Zuwachs der Fläche ab.
Also sind die verschiedenen
Integralfunktionen an jeder
Stelle x gleich steil.
„Teppich-Abroll-Funktion“
(x ist hier die Stelle von B)
Ordinate von P zeigt die abgerollte Fläche an.
25
26
Nochmal die
Teppichabrollfunktion
F ( x, a ) :
x
a
f (t ) d t
Alle Integralfunktionen
haben dieselbe Form.
An den Extremstellen
von F hat f eine Nullstelle.
An der Sattelstelle von F
hat f eine Berühr-Nullstelle.
Wo F eine Wendestelle hat, hat f eine Extremstelle.
27
die Intergralfunktion F von f
=„Teppichabrollfunktion“
28
Hauptsatz der Differentialund Integralrechnung
f ( x )  F '( x )
d. h. Alle Integralfunktionen F zu f mit beliebigem Start
h b ih
haben
ihr f auch
h als
l Ableitung.
Abl it
Sie
Si h
heißen
iß d
daher
h auch
h
„Stammfunktionen“ von f,
sie unterscheiden sich nur um eine
additive Konstante c. Man schreibt:
29
30
5

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