Formelsammlung Finanzmathematik

ZÜRCHER HOCHSCHULE WINTERTHUR (ZHW)
INSTITUT BANKING & FINANCE
Formelsammlung
Finanzmathematik
n
C(X, Y) = ∑ Pi · (x i − E[x])·* (y i − E[y])
i=1
 D + Pt 
rt = n π  t
−1
t =1
 Pt −1 
n
 1


· Ct
n·· m
R
PV(A) = ∑  m
+
t
n· m
rM 
rM 
t =1 

  1 +
1 +
m  
m

1. Zinsformen ................................................................................................1
2. Rentenformen ...........................................................................................2
3. Verschuldungsformen..............................................................................4
4. Kursrechnen..............................................................................................6
5. Rendite von festverzinslichen Wertpapieren .........................................7
6. Rendite von Aktien ...................................................................................9
7. Rendite mit Cash-Flows .........................................................................10
8. Rendite anderer Anlagemedien .............................................................11
9. Risiko und Rendite von Einzelpositionen ............................................12
10. Risiko und Rendite im Portfolio ............................................................13
11. Performancemessung ............................................................................14
12. Derivative Elemente................................................................................15
Anhang.............................................................................................................17
©1988-2004 Prof. Dr. Günter A. Hobein
INSTITUT BANKING & FINANCE ZHW
1. Zinsformen
Einfache
Verzinsung
lineare
Verzinsung
Zinses-Zins
exponentielle
Verzinsung
Unterjährige
Verzinsung
Aufzinsung
Kn
K0
p
i
n
=
=
=
=
=
Endkapital
Anfangskapital
Zinsfuss
Zinssatz ( = p/100 )
Gesamtlaufzeit in Jahren
Abzinsung
Kn
K0
p
i
n
=
=
=
=
=
Endkapital
Anfangskapital
Zinsfuss
Zinssatz ( = p/100 )
Gesamtlaufzeit in Jahren
Aufzinsung
Kn
K0
p
i
q
n
=
=
=
=
=
=
Endkapital
Anfangskapital
Zinsfuss
Zinssatz (= p/100 )
Aufzinsungsfaktor (=1+i)
Gesamtlaufzeit in Jahren
Kn
K0
p
i
q
n
v
=
=
=
=
=
=
=
Endkapital
Anfangskapital
Zinsfuss
Zinssatz (= p/100)
Aufzinsungsfaktor (= 1+i)
Gesamtlaufzeit in Jahren
Abzinsungsfaktor (= 1/q)
p
i
= Zinsfuss
= Zinssatz ( = p/100 )
Abzinsung
nominelle
K0 =
Kn
Kn
=
p
(1 + i ⋅ n)
(1 + 100 ⋅ n)
K n = K 0 ⋅ (1 + i) n = K 0 ⋅ (1 +
p
i
= Zinsfuss
= Zinssatz ( = p/100 )
K0 =
Kn
Kn
1
n =
p n = Kn ⋅ n =
(1 + i)
q
(1 + 100 )
= K n ⋅ vn
p nom = p
Gemischte
Verzinsung
Stetige Verzinsung
i = Zinssatz ( = p/100 )
m = Anz. Verzinsungen pro
Jahr
Kn = Endkapital
K0 = Anfangskapital
n = Gesamtlaufzeit in Jahren
konforme
Siehe Rentenformen
p
) = (1 + i)
100
1
p
=
m
m
p
1
i
= (1+
⋅ ) = (1 + )
m
100 m
p rel = p ⋅
qrel
effektive
p eff = 100 ⋅ (qeff − 1)
p 1 m
i
qeff = (1 +
⋅ ) = (1 + ) m
100 m
m
p 1 mn
i
K n = K 0 ⋅ (1 +
) = K 0 ⋅ (1 + ) mn
m
100 m
Laufendes Jahr wird linear, volle Jahre exponentiell und letztes angefangenes Jahr
wieder linear verzinst.
e
i
Kn
K0
=
=
=
=
Euler’sche Konstante
Zinssatz nominell
Endkapital
Anfangskapital
p
qeff = e i = e 100
p
p eff = 100 ⋅ ( e i − 1 ) = 100 ⋅ ( e 100 − 1 )
p
p
K n = K 0 ⋅ (e 100 )n = K 0 ⋅ e 100
K
K 0 = nn
q eff
© Prof. Dr. G. Hobein
p n
)
100
= K 0 ⋅ qn
qnom = (1 +
relative
p
⋅ n)
100
K n = K 0 ⋅ (1 + i ⋅ n) = K 0 ⋅ (1 +
⋅ n
= K 0 ⋅ ei
n
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2. Rentenformen
Theorie
Renten sind vorschüssig / Sparen ist nachschüssig / Leasing (Miete) ist vorschüssig
Endwert
vorschüssig
Rn
r
q
sn’
n
=
=
=
=
=
Rentenendwert
Rate / Rente
Aufzinsungsfaktor
Endwertfaktor vorschüssig
Anzahl Raten
nachschüssig
Rn
r
q
sn
n
=
=
=
=
=
Rentenendwert
Rate / Rente
Aufzinsungsfaktor
Endwertfaktor nachschüssig
Anzahl Raten
Umrechnung vor- ↔ nachschüssig
Barwert
Unterjährige Renten
vorschüssig
R0
r
q
an‘
n
=
=
=
=
=
Rentenbarwert
Rate / Rente
Aufzinsungsfaktor
Barwertfaktor vorschüssig
Anzahl Raten
nachschüssig
R0
r
q
an
n
=
=
=
=
=
Rentenbarwert
Rate / Rente
Aufzinsungsfaktor
Barwertfaktor nachschüssig
Anzahl Raten
qn − 1
= r ⋅ sn '
Rn ' = r ⋅ q ⋅
q −1
Rn = r ⋅
qn − 1
= r ⋅ sn
q−1
sn ' = sn +1 − 1
R0 ' = r ⋅
1 qn − 1
= r ⋅ an '
⋅
qn-1 q − 1
R0 = r ⋅
1 qn − 1
⋅
= r ⋅ an
qn q − 1
Umrechnung vor- ↔ nachschüssig
an ' = an − 1 + 1
Methode A
r = r ⋅ n + r ⋅ i ⋅ f = r ⋅ (n + i ⋅ f)
r
r
n
f
i
= Rate einer Frist
= Rate eines Jahres für
End - oder Barwertformel
= Anzahl Fristen
= Fristenmittel
= Zinssatz
Fristenmittel (f)
f (vorschüssig):
n+1
f (nachschüssig):
2
Aufaddieren der anteiligen Restlaufzeiten
der Raten. z.B. bei vierteljährlicher, nachschüssiger Zahlung:
0
3
1. Rate
6
2. Rate
9
3. Rate
9/12
n−1
6/12
2
3/12
0/12 = 18/12 =
n = Anzahl Raten pro Jahr
Methode B
(konformer
Zinssatz)
qkonf = q für End- oder
Barwertformel
qrel = relativer Aufzinsungsfaktor
i
= Zinssatz
m = Anzahl Verzinsungen p. a.
r
x
= Rate einer Frist
= Anzahl Ratenzahlungen
innerhalb einer Zinsperiode
12
4. Rate
q konf = x qrel = x (1 +
X=
i
)
m
Anzahl Raten p. a.
m
Hinweise:
Es wird fast immer von jährlicher Verzinsung
ausgegangen, also m =1, ausser bei anderen Angaben, z. B. Sparplänen.)
Zusätzlich muss r als Rate in die End- oder
Barwertformel eingesetzt werden.
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2. Rentenformen (Forts.)
Progressive Renten
vorschüssig
Rn
r
q
t
n
R0
=
=
=
=
=
=
Endwert
Rate / Rente
Aufzinsungsfaktor
Progressionsfaktor
Anzahl Raten
Barwert
qn − t n
Rn ' = r ⋅ q ⋅
q−t
1 qn − t n
R 0 ' = r ⋅ n-1 ⋅
q−t
q
nachschüssig
Rn
r
q
t
n
R0
=
=
=
=
=
=
Endwert
Rate / Rente
Aufzinsungsfaktor
Progressionsfaktor
Anzahl Raten
Barwert
qn − t n
Rn = r ⋅
q− t
u
t
= Prozentsatz der Veränderung
= Progressionsfaktor
t = (1 ± u)
R0
q
i
r
=
=
=
=
R0 ' =
Progressionsfaktor
Ewige Renten
vorschüssig
(Barwerte)
Barwert
Aufzinsungsfaktor
Zinssatz nachschüssig
Rate / Rente
1 qn − t n
R0 = r ⋅ n ⋅
q− t
q
t > 1 progressive Rente
mit
t = 1 konstante Rente
t < 1 degressive Rente
r ⋅ q r ⋅ q r ⋅ 100 ⋅ q
=
=
⋅
q −1
i
p
(bei mehreren Raten pro Jahr konformer i, Methode B bei unterjährigen Renten, r ist dabei die
effektive (z.B. monatliche) Rente)
nachschüssig
R0
q
i
r
=
=
=
=
Barwert
Aufzinsungsfaktor
Zinssatz
Rate / Rente
R0 =
r
r 100 ⋅ r
= =
q−1 i
p
(bei mehreren Raten pro Jahr konformer i, Methode B bei unterjährigen Renten, r ist dabei die
effektive (z.B. monatliche) Rente)
Leibrenten
Die Leibrente ist an die Lebensdauer des Empfängers gebunden und ist daher eine endliche Rente, bei
der Bar- und Endwertberechnung normal möglich sind. Die Anzahl Jahre muss aus der Sterbetafel entnommen werden.
Berechnung erfolgt via Barwertformeln Seite 2, die Laufzeit n muss aus der Sterbetafel ”Formeln und
Tafeln” gelesen werden, Kolonne ex respektive ey, x für die Frauen, y für die Männer.
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3. Verschuldungsformen
Arten
ohne Tilgung
während der
Laufzeit
mit Tilgung
während der
Laufzeit
Annuitätenanleihe
(immer nachschüssig)
Einmalige Schuld
Rückzahlung von Kapital und Zins
am Ende der Laufzeit (z.B. Geldmarktinstrumente, Festgelder, etc.)
Zinsschuld / - anleihe
Zinsen laufend (z.B. jährlich), Rückzahlung des Kapitals am Ende der
Laufzeit (z.B. Obligationen)
Ratenschuld
konstante (Tilgungs-)Raten (z.B.
jährlich), Zinsen sind abnehmend
(z.B. 2. Hypotheken)
Annuitätenschuld
Jährliche Aufwendung konstant
(Zins inkl. Tilgung), (z.B. Kleinkredite, Euro-Hypotheken)
Jahr
1
2
3
Kapital zu Beginn des Jahres
K0
K1=K0-T1
K2=K1-T2
Tilgungsrate
am Ende des
1. Jahres
T1
n
K0
sn
q
=
=
=
=
=
1. Tilgungsrate
Anzahl Tilgungsjahre
Kapital zu Beginn
Endwertfaktor nachschüssig
Aufzinsungsfaktor
Tilgungsrate
am Ende des
k-ten Jahres
Tk
T1
q
k
=
=
=
=
Tilgungsrate Ende k-ten J.
1. Tilgungsrate
Aufzinsungsfaktor (1+i)
”Jahrzahl”
Tk = T1 ⋅ qk −1
Barwert K0
T1
n
K0
sn
=
=
=
=
1. Tilgungsrate
Anzahl Tilgungsjahre
Kapital zu Beginn
Endwertfaktor nachschüssig
qn − 1
K 0 = T1 ⋅ s n = T1 ⋅
q−1
K0
n
A
an
q
=
=
=
=
=
Kapital zu Beginn
Anzahl Jahre
Annuität
Barwertfaktor nachsch
Aufzinsungsfaktor (1+i)
Kk
K0
T1
k
sk
=
=
=
=
=
Restschuld Ende k-ten J.
Kapital zu Beginn
1. Tilgungsrate
”Jahrzahl”
Endwertfaktor nachschüssig
Tilgungsplan
Restschuld Kk
(Restschuld
am Ende des
k-ten Jahres
bzw. Barwert
der folgenden Annuität)
Tilgung am
Ende des Jahres
T1
T2=T1+(T1·i)=T1·q
2
T3=T2+(T2·i)=T2·q=T1·q
T1 =
Jahresaufwand
z1 + T1 (= A)
z2 + T2 (= A)
z3 + T3 (= A)
K0
K
K ⋅ (q − 1)
= n 0 = 0 n
sn
q −1
q −1
q-1
[für 1 ≤ k ≤ n]
K 0 = A ⋅ an = A ⋅
1 qn − 1
⋅
qn q − 1
k
−1
K k = K 0 − T1 ⋅
= K 0 − T1 ⋅ s k
q−1
q
[für
1 ≤ k ≤ n]
Im Tilgungsplan ist für das k-te
Jahr K(k-1) zu berechnen.
speziell: K n = K 0 − T1 ⋅ s n = 0
A
Kk
K0
q
k
sk
K k = K 0 ⋅ qk − A ⋅ s k =
=
=
=
=
=
=
Kk =
n-k =
A =
q =
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Zinsen am
Ende des Jahres
z1
z2=z1-(T1·i)
z3=z2-(T2·i)
Annuität
Restschuld Ende k-ten J.
Kapital zu Beginn
Aufzinsungsfaktor (1+i)
”Jahrzahl”
Endwertfaktor nachschüssig
Restschuld Ende k-ten J.
Restlaufzeit
Annuität
Aufzinsungsfaktor (1+i)
qk − 1
= K0 ⋅q − A⋅
q−1
k
Kk = A ⋅
1
qn − k
⋅
qn − k − 1
q−1
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3. Verschuldungsformen (Forts.)
Serienanleihen /
mit Stückelung
Annuität
K0
n
A
an
q
=
=
=
=
=
Kapital zu Beginn
Anzahl Jahre
Annuität
Barwertfaktor nachschüssig
Aufzinsungsfaktor (1+i)
n
K0
K 0 ⋅ q ⋅ (q − 1)
A=
=
=
n
n
an
1 q −1
q −1
⋅
n
q−1
q
Faktor q
A
T1
q
n
=
=
=
=
Annuität
1. Tilgungsrate
Aufzinsungsfaktor (1+i)
Anzahl Jahre
qn =
A
T1
q=n
Laufzeit n
A
T1
q
n
=
=
=
=
Annuität
1. Tilgungsrate
Aufzinsungsfaktor (1+i)
Anzahl Jahre
qn =
A
T1
n=
Jahr
Kapital zu Beginn des Jahres
Stück
Zinsen am
Ende des Jahres
K0
Tilgung am
Ende des Jahres
Tilgungk = Tilgung am Ende
des k-ten Jahres
Restk-1 = Rest des Vorjahres
Nominal = Nominal der Obligationenstückelung
Stück
A
T1
lg A − lg T1
lg q
Rest
Jahresaufwand
+ Rest
k
k−1
Nominal
Tilgung
Stück =
(Betrag ist abzurunden)
Dies entspricht der effektiv möglichen zu tilgenden Obligationenschuld, wobei der Rest des Vorjahres mitberücksichtigt werden
muss.
(
)-
Rest
Tilgungk = Tilgung am Ende
des k-ten Jahres
Restk-1 = Rest des Vorjahres
Stückk = Stück des k-ten Jahres
Nominal = Nominal der Obligationenstückelung
Rest = Tilgung + Rest
k
k -1
Jahresaufwand
JW
= Jahresaufwand
Zinsenk = Zinsen des k-ten
Jahres
Stückk = Stück des k-ten Jahres
Nominal = Nominal der Obligationenstückelung
JW = Zinsenk + (Stückk · Nominal)
Kapital im
Folgejahr
K0
= Kapital
Nominal = Nominal der Obligationenstückelung
KFolgejahr = KVorjahr −
(StückVorjahr · Nominal)
Bei gleicher
Tilgung
Bei gleichem
Jahresaufwand
(Annuität)
Tilgung bestimmen, wobei das
Gesamtnominal der gesamten
Anleihensschuld (nominell) entspricht.
Der Jahresaufwand ergibt sich
aus Tilgung + Zinsen.
Annuität bestimmen.
K0 = Kapital zu Beginn
n = Anzahl Jahre
A = Annuität
an = Barwertfaktor nachsch.
Tilgung =
(Stück k * Nominal)
Gesamtnominal
Laufzeit in Jahren
n
K0
K 0 ⋅ q ⋅ (q − 1)
A =
=
=
n
n
1 q −1
an
q −1
n ⋅
q
q−1
K0
Die Tilgung ergibt sich aus der
Differenz von Annuität − Zinsen.
© Prof. Dr. G. Hobein
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4. Kursrechnen
Kursrechnen
Kurs
Kurs / Wert
einer einmaligen Schuld
C0 = Kurs
nom
K = Nominalwert
real
K = Barwert der ausstehen
den Cash-Flows
abgezinst mit qreal
pnom= nomineller Zinsfuss
preal = realer Zinsfuss
W = Übernahmewert
K0 = Schuldenauszahlung zu
Beginn
C0 = Kurs einmalige Schuld
n = Gesamtlaufzeit
k = verstrichene Anzahl
Jahre
n-k = Restlaufzeit
qreal = Aufzinsungsfaktor real
qnom= Aufzinsungsfaktor nominal
Kurs einer
Zinsanleihe
C0 = Kurs einer Zinsanleihe
R = Rücknahmepreis
n = Laufzeit
qreal = Aufzinsungsfaktor real
pnom= Zinsfuss nominal
Kurs einer
ewigen Rente
C0 = Kurs einer ewigen
Rente
pom= Zinsfuss nominal
peal= Zinsfuss real
K (0real )
C0 = ( nom ) * 100
K0
q 
C 0 =  nom 
 qreal 
n −k
⋅ 100
q(nom) > q(real) = über pari
q(nom) < q(real) = unter pari
W=
qnnom ⋅ K 0
q(n-k)
real

1

n
q real
C 0 =  p nom ⋅
C0 =
q real − 1 
n
⋅
q real
R
+
− 1  q nreal
p nom
⋅ 100
preal
Î gilt für alle Formeln als Schätzformel!
Kurs einer
Annuitätenanleihe
Kurs einer
Ratenschuld
(direkte Berechnung)
Kurs einer
Ratenschuld
(Konversion)
Æ einfacher!
C0 = Kurs einer Annuitätenanleihe
qreal = Aufzinsungsfaktor real
qnom= Aufzinsungsfaktor
nominal
n = Laufzeit in Jahren
C0 = Kurs für Ratenschuld
n = Laufzeit
pnom= Zinsfuss nominal
preal = Zinsfuss real
qreal = Aufzinsungsfaktor real
qnom= Aufzinsungsfaktor
nominal
C0 = Kurs für Ratenschuld
x = mittlere Laufzeit
n = Laufzeit
R = Rücknahmekurs
pnom= Zinsfuss nominal
qreal = Aufzinsungsfaktor real
qnom= Aufzinsungsfaktor
nominal
C0 =
a(nreal )
* 100
a(nnom )
mit an =
C0 =
1 qn − 1
*
qn q − 1

100  (real) p(nom)
* an +
* n − a(nreal) 
n 
p(real)

(
(real)
n
mit a
)
qn(real) − 1
= n *
q(real) q(real) − 1
1
 1 qnreal − 1
lg n − lg n ⋅

 qreal qreal − 1
x=
lg qreal
x

− 1
1 qreal
R
C 0 = p nom ⋅ x ⋅
+ x
qreal qreal − 1 qreal

Rentabilitätsrechnung Das Rentabilitäts- oder Renditerechnen bildet das Gegenstück zum Kursrechnen.
Î Es werden die gleichen Formeln wie beim Kursrechnen benutztt, nur die VorausÎ setzungen sind andere:
Beim Kursrechnen ist pnom und preal gegeben, gesucht ist der Kurs C0.
Beim Rentabilitätsrechnen ist pnom und C0 gegeben, gesucht ist preal.
Dieses preal.heisst dann auch peff oder Rendite (auf Verfall) r oder Yield (to maturity).
© Prof. Dr. G. Hobein
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5. Rendite von festverzinslichen Wertpapieren
für eine
Einfache (statische)
Periode
Obligationenrendite
Barwertmodell
C = Coupon (in Prozenten)
P0 = Kaufpreis
für mehrere
Perioden
C
P0
R
n
=
=
=
=
Coupon (in Prozenten)
Kaufpreis
Rücknahmepreis
(Rest-)Laufzeit
jährliche
Coupons
PV =
C =
rM =
n =
R =
Tagespreis (Present-Value)
Coupon (in Prozenten)
Marktzinssatz
(Rest-)Laufzeit in Jahren
Rücknahmepreis
PV =
C =
n =
R =
an =
n
q =
Tagespreis (Present-Value)
Coupon
(Rest-)Laufzeit in Jahren
Rücknahmepreis
Barwertfaktor nachsch.
Aufzinsungsfaktor
reinfach =
C
P0
reinfach =
C  1 R − P0 

+ ⋅
P0  n P0 
n

1 
R
+
PV(A) =  C ⋅ ∑
t
(1 + rM ) n

t =1 (1 + rM ) 
R
PV(A) = C ⋅ a n + n
q
n
1 q −1 R
= C⋅ n ⋅
+ n
q−1 q
q
= C⋅
mehrere Cps
jährlich
PV =
C =
n =
rM =
m =
R =
q =
x =
Barwert (Present-Value)
Jahres-Coupon
(Rest-)Laufzeit in Jahren
Marktzinssatz
Anzahl Coupons pro Jahr
Rücknahmepreis
qkonf
Anzahl Zahlungen in einer
Zinsperiode (meist 1)
n
(1 + rM ) − 1
1
R
n ⋅ (1 + r ) − 1 +
n
(1 + rM )
(1 + rM )
M

 1

⋅C 
n⋅m
R
 m t 
PV(A) = ∑ 
t +
n⋅m
t =1 
  1 + rM    1 + rM 
m  
m

PV(A) =
Ct
1 qn⋅m − 1 R
* n⋅m *
+ n⋅m
m q
q−1
q
mit q = x 1 +
Barwert
während
der Laufzeit
Endwert
© Prof. Dr. G. Hobein
PV∆t = Barwert während der
Laufzeit
PV = Tagespreis (Present-Value)
rM = Marktzinssatz
∆t = Tage seit letzter CouponZahlung bis heute
FV
C
rM
n
R
= Future Value (Endwert)
= Jahres-Coupon
= Marktzinssatz
= (Rest-)Laufzeit in Jahren
= nom. Rückzahlungsbetrag
rM
m
PV∆t ( A ) = (1 + rM )
n
(
∆t
360
⋅ PV( A )
FV(A) = ∑ C t ⋅ (1 + rM )
t =1
n− t
) +R
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5. Rendite von festverzinslichen Wertpapieren (Forts.)
Rendite auf Verfall
(Yield to Maturity)
Unmittelbar
bei CpsVerfall
Unterjährig
(d.h. nicht
per Verfalltag)
P0
Ct
n
R
rA
PT
P0
Ct
n
=
=
=
=
=
Börsen- / Tagespreis
Jahres-Coupon
(Rest-)Laufzeit
Rücknahmepreis
Rendite
(Effektivverzinsung)
=
=
=
=
Börsen- / Tagespreis
Preis flat oder ex
Jahres-Coupon
(Rest-)Laufzeit aufgerundet
R = Rücknahmepreis
rA = Rendite
(Effektivverzinsung)
∆ t = Tage seit letzter CouponZahlung bis zum Erwerb
1 qn − 1 R
P0 = C t ⋅ n ⋅
+
q q − 1 qn
[mit q = (1 + r )]
A
∆t
PT = (1 + rA ) 360 ⋅ P0
∆t

1 qn − 1 R 
PT = q 360 ⋅  C t ⋅ n ⋅
+ 
q q − 1 qn 

[mit q = ( 1 + r )]
A
Ex oder flat
Die Anleihe / Der Preis ist exklusive Marchzinsen
Cum
Die Anleihe / Der Preis ist inklusive Marchzinsen
Î normaler Kurs ist immer ex: ‚Preis flat’ plus Marchzinsen ergibt ‚Preis cum’.
Marchzinsen
Rendite auf
mittlerem Verfall
Duration
Berechnung
mittlerer
Verfall
n = mittlere Laufzeit
n1 = Anzahl Jahre bis 1. Auslosung
n2 = Anzahl Jahre von 1. Auslosung bis Rückzahlung
Bankenformel
rA = Rendite
(Effektivverzinsung)
PT = Börsen-/Tagespreis
C = Jahres-Coupon
n = mittlere Laufzeit
R = Rücknahmepreis
Berechnung
D = Duration
P0 = Börsen- / Tagespreis
Ct = Cash-Flows
(Cps. oder Rückzahlung)
rM = Marktzins oder, falls nicht
vorhanden, Rendite auf Verfall
t = Dauer, z.T. auf Tage ge
nau
Anwendung
(als modified
Duration)
© Prof. Dr. G. Hobein
M = Marchzinsen
Ct = Jahres-Coupon
rA = Rendite
(Effektivverzinsung)
∆t = # Tage seit der letzten
Coupon-Zahlung bis
zum Erwerb
D = Duration
∆C = Veränderung des
Obligationen-Kurs (in %)
rA = Rendite auf Verfall (in %)
∆preal= Veränderung des Markt
zinses (in %)
∆t
q 360 − 1
M = Ct ⋅
q−1
[mit q = ( 1 + r )]
A
oder einfacher:
M = Ct ⋅
∆t
360
n = n1 +
n2
2
rA =
R − Pt
n
⋅ 100
R + Pt
2
C+
n
D=


* t 
M)

Ct
∑  (1 + r
t =1

t
P0
Berechnung in Tabelleform
t
CF Barwert Barwert x t
∆C ≈
−D
⋅ ∆p real
1 + rA
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6. Rendite von Aktien
Historische Renditen Einfache Rendite
für eine Periode
stetige Rendite
Historische Renditen Einfache Gesamt-rendite
für mehrere Perioden
Jahresrendite
Kaufpreis
Verkaufspreis
Dividende in SFr
rt =
r =
Pt-1 =
Pt =
Dt =
stetige Jahresrendite
Kaufpreis
Verkaufspreis
Dividende in SFr
k t
rGes =
Pt-1 =
Pt =
Dt =
einfache Gesamtrendite
Kaufpreis
Verkaufspreis
Dividende in SFr
rGes =
k t
n
π xt
t =1
r = ln(
Einfache durchschnittliche Rendite
steige durchschnittliche
Rendite
gegenseitige
Überführung
Annualisierte
Rendite
r
r
Pt-1
Pt
Dt
n
= stetige Gesamtrendite
= stetige Jahresrendite
= Kaufpreis
= Verkaufspreis
= Dividende in SFr
= Anzahl Summanden
Anzahl Zeitperioden
(meistens Jahre oder
Monate, Wochen, Tage)
rA
rGes
Pt-1
Pt
Dt
n
= einfache Anlagerendite
= einfache Gesamtrendite
= Periodenanfangspreis
= Periodenendpreis
= Dividende in SFr
= Anzahl Faktoren =
Anzahl Zeitperioden
(meistens Jahre oder
Monate, Wochen Tage)
r
r
krt
=
=
=
k Ges
k t
k A
k Ges
stetige Anlagerendite
stetige Gesamtrendite
stetige Jahresrendite
r = stetige Rendite
rt = einfache Rendite
k t
Durchschnittliche Tages-, Wochen- oder Monatsrenditen müssen annualisiert werden: Mögliche Werte für n
sind: n = 12, 50 oder 252, je nach dem, ob von durchschnittlichen Monats-, Wochen- oder Tageswerten
ausgegangen wird.
Effektive annualisier- Einfache Rendite
te Rendite
ann
reff
= (1 + r ) − 1
Zukünftige Renditen einfaches Modell
E[rA] = erwartete Rendite
= Rendite im Szenario i
ri
pi = Wahrscheinlichkeit
des Szenarios i
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n
Pt + Dt
)
Pt −1
n
 Pt + Dt 
 − 1 =
P
t
1
−


πt =1
P
=  n
 P0
= x1 ⋅ x 2 ⋅....⋅xn
Î geometrisches Mittel
stetige Gesamtrendite
(Pt − Pt −1 ) + D t Pt + D t
=
−1
Pt −1
Pt −1
rt =
Pt-1 =
Pt =
Dt =
k rGes =

 − 1, falls Dt = 0

n
∑ k rt =
t =1
 Pt + D t

ln
∑
 P
t =1
t −1

n

=


P 
= ln  n  , falls D t = 0
 P0 
n  P +D
t
rA = n 1+ rGes −1 = n π  t
t =1
 Pt −1
P
= n  n
 P0

 − 1 =


 − 1, falls Dt = 0

1
1 n
r
=
⋅
r
=
⋅ ∑k rt
k A
k Ges
n
n t=1
r = ln(rt + 1)⇔rt = e k rt − 1
k t
rann = (Rendite pro Periode) ·
(Anzahl Perioden p.a.)
rann = r · n
Stetige annualisierte Renditen sind
immer effektiv.
[ ]
n
E rA = ∑ ri ⋅ p i
i =1
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7. Rendite mit Cash-Flows
Es gibt zwei Ansätze, wie eine Durchschnittsrendite mit Cash-Flows (Zahlungsströmen) berechnet
wird: Die Geld- und die Zeitrendite.
Geldrendite
Bei der Geldrendite werden alle Zahlungsströme wie auch das investierte Vermögen auf einen Zeitpunkt bezogen und entsprechend umgerechnet (diskontiert).
Somit ist die Geldrendite abhängig vom Timing und der Höhe der Cash-Flows.
Sie kommt daher insbesondere dann zum Einsatz, wenn der Vermögensverwalter
Einfluss auf die Höhe und den Zeitpunkt der Cash-Flows nehmen kann.
Formel:
Kommentar:
Zeitrendite
Mit
Po
t
Ct
n
rG
=
=
=
=
=
Anfangskurs
Fälligkeit der CFs
Zahlungsstrom
Laufzeit
Geldrendite
Po =
n
∑
t =1
Ct
( 1 + rG )t
mit
Ct < 0, falls Ct Inflow (Zufluss)
Ct > 0, falls Ct Outflow (Abfluss)
Die Formel ist analog zum Internen Ertragssatz (IRR) der dynamischen Investitionsrechnung und ist nur mit einem Gleichungslöser lösbar.
Die Zeitrendite ist um die Zahlungsströme bereinigt und widerspiegelt den erwirtschafteten durchschnittlichen Ertrag aus dem Vermögensbestand.
Die Cash-Flows werden gar nicht in die Rechnung einbezogen, Man tut also so, als
ob gar keine Cash-Flows stattgefunden haben. Somit ist die Zeitrendite unabhängig
vom Timing und der Höhe der Cash-Flows.
Sie kommt überall dort zum Einsatz, wo der Vermögensverwalter keinen Einfluss
auf die Höhe und den Zeitpunkt der Zahlungsströme nehmen kann.
Formel:
Kommentar:
Wichtiger Hinweis
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Mit
Pn = Endkurs / -wert
P0 = Anfangskurs /
-wert des Portfolios
rGes Gesamtrendite
n = Laufzeit in Jahren
rZ = Zeitrendite
rZ = n
Pn
− 1 oder
P0
= n (1+ rGes ) − 1
Die Berechnung ist somit denkbar einfach und entspricht der
Renditeberechnung von Aktien ohne Dividenden.
Die beiden Resultate können stark differieren; entscheidend ist der Anwendungszweck.
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8. Rendite anderer Anlagemedien
Auch hier gibt es wieder zwei Ansätze: einfache oder stetige Rendite (Verzinsung).
Edelmetalle
Für eine
Periode
rt =
krt =
Pt =
Pt-1 =
einfache Jahresrendite
stetige Jahresrendite
Preis Zeitpunkt t
Preis 1 Jahr vor Zeitpunkt t
rt =
(Pt − Pt −1 )
(einfache Rendite)
Pt −1
 P 
r = ln t 
 Pt −1 
(stetige Rendite)
k t
Für mehrere
Perioden
erhält man
folgende
Durchschnittswerte
rE =
krE =
Pt =
Pt-1 =
n =
einfache Rendite
stetige Rendite
Preis Zeitpunkt t
Preis 1 Jahr vor Zeitpunkt t
Anzahl Faktoren bzw. Summanden
n 
P 
rE = n π  t  − 1
t =1  Pt −1 
(einfache Edelmetall-Rendite)
wobei
n
π x t = x1 ⋅ x 2 ⋅....⋅xn
t =1
k rE =
(Das gr. Π steht für ein Produkt)
Anlagefonds
ohne jährliche
Ausschüttung
Mit jährlicher Ausschüttung
1 n  Pt 
∑ ln 
n t =1  Pt −1 
(stetige Edelmetall-Rendite)
Fonds ohne jährliche Ausschüttung (‘thesauriende Fonds’) verhalten sich wie
Edelmetalle: Der Ertrag liegt einzig im Kursgewinn, Formeln wie oben.
Für eine Periode
rt =
krt =
Pt =
Pt-1 =
At =
einfache Jahresrendite
stetige Jahresrendite
Preis Zeitpunkt t
Preis 1 Jahr vor Zeitpunkt t
jährliche Ausschüttung
rt =
(Pt − Pt −1 ) + A t
Pt −1
(einfache einperiodige Rendite)
P + At
r = ln t
 Pt −1
k t



(stetige einperiodige Rendite)
Für mehrere
Perioden
erhält man
folgende
Durchschnittswerte
rF =
krF =
rF =
Pt =
Pt-1 =
At =
n =
n
einfache Rendite
stetige Rendite
Rendite Anlagefonds
Preis Zeitpunkt t
Preis 1 Jahr vor Zeitpunkt t
jährliche Ausschüttung
Anzahl Faktoren bzw. Summanden
π x t = x1 ⋅ x 2 ⋅....⋅xn
t =1
n 
P + At 
 −1
rF = n π  t
Pt −1 
t =1 
(einfache Fonds-Rendite)
k rF =
1 n  Pt + A t 

∑ ln
n t=1  Pt−1 
(stetige Fonds-Rendite)
P.S.: Diese Formeln sind identisch mit den Formeln für historische Renditen bei Aktien,
siehe Kap 6.
Immobilien
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Für Immobilien gelten die gleichen Formeln wie für Edelmetalle oder Anlagefonds,
je nachdem, ob jährliche Erträge mit zu berücksichtigen sind oder nicht.
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9. Risiko und Rendite von Einzelpositionen
Streuung / Risiko
(Standardabweichung)
für historische
Daten
s =
HP
s =
n =
xi =
Standardabweichung
Standardabweichung HP
Anzahl Daten
Renditewert i
x = Renditen-Mittelwert
Umrechnung n ↔ n – 1
(Stichprobe vs.
1 n
⋅ ∑ (xi − x) 2
n i =1
s=
1 n
x = ⋅ ∑ xi
n i =1
s HP ⋅
Gesamtpopulation)
n−1
=s
n
(Achtung: HP rechnet immer mit n-1)
Falls die Zeitabschnitte nur Teile eines ganzen Jahres sind, muss die so berechnete Standardabweichung - wie schon bei den Renditen zuvor - annualisiert werden: s ann = n ⋅ s , (mit
n = 12, 50 oder 252 wie zuvor, aber wichtig: hier steht n unter der Wurzel).
für zukünftige
Daten
σx
pi
= Standardabweichung
= Wahrscheinlichkeit des
Szenarios i
xi = Rendite im Szenario i
E[X] = erwartete Rendite
n = Anzahl Daten
n
σx =
∑ p ⋅ (x
i
i =1
i
− E[ X ]) 2
Idee der Normalverteilung für die Interpretation, d.h. Wahrscheinlichkeit von 68%: E[X] ± s
bzw. Wahrscheinlichkeit von 95%: E[X] ± 2s
Kovarianz
für historische
(stetige)
Renditen
C(X,Y) = Kovarianz der Anlagen X und Y
n = Anzahl Daten
xi = Rendite i der Anlage X
yi = Rendite i der Anlage Y
x = Renditen-Mittelwert von X
y = Renditen-Mittelwert von Y
für zukünftige
(erwartete)
Renditen
C(X,Y) = Kovarianz der Anlagen X und Y
n = Anzahl Daten
xi = Rendite i der Anlage X
yj = Rendite j der Anlage Y
E[X] = erwartete Rendite
C(X,Y) =
x=
1 n
⋅ ∑ (x − x) ⋅ (y i − y)
n i =1 i
1 n
⋅∑x
n i =1 i
C(X, Y) =
y=
n
∑p
i =1
n
i
⋅ (x i − E[ X ]) ⋅ (y i − E[ Y ])
E[ X] = ∑ p i ⋅ xi
i=1
1 n
⋅ ∑ yi
n i=1
n
E[ Y ] = ∑ p j ⋅ y j
j=1
Falls die Zeitabschnitte nur Teile eines ganzen Jahres sind, muss die so berechnete Kovarianz - wie bereits oben die Standardabweichung - annualisiert werden, C(X,Y)ann = n C(X,Y).
Für n nimmt man die bekannten Werte, wie n = 12, 50 oder 252 wie oben.
Korrelation
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für historische
Daten
ρxy = Korrelation der Anlage X
mit der Anlage Y
C(X,Y) = Kovarianz der Anlagen X und Y
sx = Standardabweichung der
Anlage X
sy = Standardabweichung der
Anlage Y
für zukünftige
Daten
ρxy = Korrelation der Anlage X
mit der Anlage Y
C(X,Y) = Kovarianz der Anlagen X und Y
σX = Standardabweichung der
Anlage X (zukünftige)
σY = Standardabweichung der
Anlage Y (zukünftige)
ρxy =
C(X, Y)
sx ⋅ sy
ρxy =
C(X, Y)
σX ⋅σY
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10. Risiko und Rendite im Portfolio
Erwartete
Portfolio-Rendite
Notationen
E[rPF]
n =
zj =
E[ rj ]
E rPF = ∑ z j ⋅ E r j
pi
mit E r j = ∑ p i ⋅ ri
ri
Portfolio-Risiko
Formeln
= erwartete PF-Rendite
Anzahl Anlagen im PF
Anteil der Anlage j im PF
= erwartete Rendite der
Position j
= Wahrscheinlichkeit des
Szenarios i
= Rendite bei Szenario i
Die Doppelsumme ist als eine
For-Next-Schlaufe zu verstehen
σPF = Standardabweichung
des Portfolios
n = Anzahl Anlagen im PF
zi = Anteil der Anlage i in %
zj = Anteil der Anlage j in %
σj = Standardabweichung
der Anlage j
C(i,j) = Kovarianz der Anlagen
i und j
σ* = durchschnittliche Varianz
C(i,j)* = durchschnittliche
Kovarianz
j =1
[]
σ PF 2 =

n
n
i =1
n
∑  ∑ z
i =1
j =i
i
n

 n

⋅ z j ⋅ σ ij  = ∑  ∑ z i ⋅ z j ⋅ C(i, j)
 i =1  j = i

 n
  n  n

=  ∑ z j 2 ⋅ σ j 2  +  ∑  ∑ z i ⋅ z j ⋅ C(i, j) 
 j =1
  i =1  j = i

 n −1  n
 n


=  ∑ z j 2 ⋅ σ j 2  + 2 ⋅  ∑  ∑ z i ⋅ z j ⋅ C(i, j) 
 j =1


 i =1  j > i
mit
σ PF = σ PF 2
σPF2 = z12 · σ12 + z22 · σ22 + 2 · z1 · z2 · C(1,2)
Für 3
Anlagen
σPF2 = z12 · σ12 + z22 · σ22 + z32 · σ32 + 2 · [z1 · z2 ·
C(1,2) + z1 · z3 · C(1,3) + z2 · z3 · C(2,3)]
mit je
gleichgrossen Anteilen im PF
Durchschnittliche Varianz und
Kovarianz
σ PF
 n−1  n 1 1
 n  1 2


2


=  ∑   ⋅ σ j  + 2 ⋅  ∑  ∑ ⋅ ⋅ C(i, j) 

 j=1  n 

 i=1  j>i n n
σ PF =
Für 1 Aktie
1
n−1
*
⋅ σ*2 +
⋅ C(i, j)
n
n
n −1
n
σ* =
Grenze des
Falls
Diversifikationseffektes dann:
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[ ]
Für 2
Anlagen
Für n
Anlagen
und
Beta-Faktor
[]
n
∑σ
i =1
2
i
n
C(i, j) * =


n
∑  ∑ C(i, j)
i=1
j> i
n ⋅ (n − 1)
2
n →∞
σ PF = C(i, j) * = Marktrisiko (nicht wegdiversifizierbar)
βA = Beta-Faktor der Aktie A
C(A,M) = Kovarianz der Anlage
A und dem Markt M
(z.B. Aktienindex SPI)
2
sM = historische Varianz des
Marktes
2
σM = zukünftige Varianz des
Marktes
βA =
C(A,M)
,
sM 2
βA =
C(A,M)
σM2
Seite 13
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11. Performancemessung
Beta-Faktor (Forts.)
Für ein PF
βPF =
βj =
zj =
n
Theorie
Bestimmtheitsmass R2 Für 1 Aktie
=
Beta-Faktor des PFs
Beta-Faktor der Aktie j
Anteil der Aktie j am
Portfolio in %
Anzahl Aktien
n
β PF = ∑ β j ⋅ z j
j=1
Der Beta-Faktor widerspiegelt die Sensitivität einer Aktie bzw. eines Portfolios gegenüber einem nationalen Markt. Er stellt die relative Schwankung der Aktie bzw. des Portfolios gegenüber einem nationalen Marktindex dar.
2
RA
βA
2
sM
2
sA
=
=
=
=
Markt-Risiko-Anteil in %
Beta-Faktor der Aktie A
Varianz des Marktes
Varianz der Aktie A
RA =
ρAM =
2
RA =
Korrelation Markt / Aktie
Markt-Risiko-Anteil in %
ρAM 2 = R A 2
2
2
β A 2 ⋅ sM 2
sA2
2
, RA =
β A 2 ⋅ σM2
σA2
RPF =
βPF =
2
sM =
2
sPF =
Markt-Risiko-Anteil in %
Beta-Faktor des PFs
Varianz des Marktes
Varianz des Portfolios
Theorie
R2
bestimmt den Anteil der marktbedingten Varianz (systemati
sches Risiko) an der gesamten Varianz (in Prozenten).
Capital-Market-Line
(CML)
Theorie
Bei der CML erscheint die erwartete Rendite als lineare Funktion
des Gesamtrisikos eines PFs.
Alle effizienten PFs liegen auf der
CML, nicht aber Einzeltitel.
E[ rPF ] = rf +
Security-Market-Line
(SML)
Theorie
Bei der SML erscheint die erwartete Rendite als lineare Funktion
von β. Alle korrekt bewerteten
Assets liegen auf der SML.
E[ rA ] = rf + ( E[ rM] – rf ) βA
Im CAPM erscheint die erwartete
Rendite als lineare Funktion des
systematischen Risikos eines PFs
E[ rA ] = rf +
E[rA]=
βA =
rf =
2
σA =
Erwarteter Ertrag von A
Beta-Faktor der Aktie A
risikofreier Zinssatz
Varianz der Aktie A
SR A =
Theorie
SRA
gibt die Überschussrendite pro Gesamtrisikoeinheit σ an.
Für 1 Aktie
E[rA]=
βA =
rf =
Erwarteter Ertrag von A
Beta-Faktor der Aktie A
risikofreier Zinssatz
Für ein PF
Capital-Asset-Pricing- Theorie
Modell (CAPM)
Sharpe-Ratio SRA
Treynor-Ratio TRA
α - Faktor
Für 1 Aktie
RPF
2
β PF 2 ⋅ s M 2
β PF 2 ⋅ σ M 2
2
=
,RPF =
s PF 2
σ PF 2
TR A =
( E[ rM ] − rf )
σM
( E[ rM ] − rf )
E[rA ] − rf
σA
E[rA ] − rf
βA
σ M2
σ PF
σ AM
‘Rew. to Volatility'
‘Reward to β'
Theorie
TRA gibt die Überschussrendite pro systematische Risikoeinheit β an.
Für 1 Aktie
E[rM]= Erw. Ertrag des Marktes
βA = Beta-Faktor der Aktie A
rf = risikofreier Zinssatz
rA = Ertrag der Aktie A
Theorie
α gibt das Ungleichgewicht zwischen effektiver und erwarteter Rendite an
αA
=
rA − E[rA]
= rA − ( rf + ( E[rM] − rf ) βA )
und ist für unterbewertete Aktien positiv und für überbewertete negativ.
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12. Derivative Elemente
Allen Derivaten ist gemeinsam, dass sie auf einem real existierenden (Finanz-) Produkt
aufbauen, mit diesem verknüpft oder – wie man hier sagt – von diesem abgeleitet (engl.
derivative) sind. Als zugrundeliegenden Produkte (‚underlyings’) eignen sich grundsätzlich
jedes (Finanz-) Produkt: Aktien, Obligationen, Devisen, Zinsen, Indizes, Baskets, etc.
Daher ist der Markt der Derivate der am stärksten und am kreativsten wachsende Markt.
Optionen
Call
Der Call-Käufer erwirbt mit der Bezahlung des Optionspreis das Recht, innerhalb der Laufzeit den Underlying zum festgesetzten (Strike-) Preis zu kaufen.
Er wird insbesondere dann von seinem Recht Gebrauch machen, wenn der
Underlying den Strikepreis mindestens erreicht hat. Nur dann hat die Option
einen wirklichen oder inneren Wert.
Der Call-Schreiber oder Verkäufer erhält den Optionspreis und muss bei Ausübung den Underlying liefern.
Graphik: Optionspreis: 100, Strike: 1400
250
200
150
100
Gewinn/
50
Verlust
0
-50
-100
-150
1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800
Aktienkurs
Put
Der Put-Käufer erwirbt mit der Bezahlung des Optionspreis das Recht, innerhalb der Laufzeit den Underlying zum festgesetzten (Strike-) Preis zu verkaufen. Er wird insbesondere dann von seinem Recht Gerauch machen, wenn
der Preis des Underlying unter den Strike gefallen ist.
Der Put-Schreiber oder Verkäufer erhält den Optionspreis und muss bei Ausübung den Underlying entgegennehmen.
Graphik: Der PUT-Kauf als Absicherung: Optionspreis: 20, Strike: 1300
300
200
100
Gewinn/
Verlust
0
-100
-200
-300
1100
1200
1300
1400
1500
1600
1700
Aktienkurs
Long Puts
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Portfeuille
Gesamtposition
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12. Derivative Elemente (Forts.)
Typen von Optionen
Es muss stets zwischen europäischen und amerikanischen Optionen unterschieden werden:
Europäischen Optionen können nur am Verfall ausgeübt werden, während amerikanische schon während der Laufzeit ausgeübt werden können. Ein Handel (also Kauf und Verkauf) ist jedoch immer möglich.
Optionsstrategien
Beliebt ist das Eingehen von Optionsstrategien. Dazu werden verschiedene Optionen, Calls und Puts, des gleichen Underlyings gekauft und
geschrieben zu verschiedenen Strikepreisen.
Auch können Optionen mit Festgeldanlagen kombiniert werden. So entstehen die sehr beliebten strukturierten Produkte mit den exotischen
Namen, wie GROI, EROS, REVEXUS, etc., die alle dadurch einen Kapitalschutz erhalten.
Pricing von Optionen Das Pricing von Optionen ist aufwendig und schwierig. Für gewisse Spezialfälle lassen sich jedoch Abschätzungen oder Formeln angeben.
Black & Scholes Formel
(gilt in dieser Form nur für
europäische Optionen, kann
aber als gute Annäherung
auch für amerikanische Optionen benutzt werden.)
Greek Letters
Ct = K Φ(d1) - S e-r∆t Φ(d2)
Pt = S e-r∆t Φ(-d2) - K Φ(-d1)
mit
d1 = ( ln(K/S) + (rf + ½σ2 )∆t ) / σ∆t½
d2 = d1 - σ ∆t½
(Für die Variablen: siehe Greek Letters)
Einflussfaktoren
Call Put Parameter
steigender Faktor
Ausübungspreis (S)
↓
↑
Aktueller Basiswertkurs (K)
↑
↓
χ (Gamma)
Optionsdelta (δ)
Call – Put – Theorem
Futures
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δ (Delta)
Restlaufzeit (∆t)
↑
↑
ϑ (Theta)
Volatilität des Basiswertes (σ)
↑
↑
τ (Tau)
Risikofreier Zins (rf)
↑
↓
ρ (Rho)
Dividende
↓
↑
Pt = Ct + PV∆t(S) - Kt
(gilt so nur für europäische Optionen)
Futures sind spezielle Termingeschäfte, in denen sich die Partner
jedoch zur Lieferung oder (sogar) täglichen Abgeltung verpflichten.
Ähnlich den Optionen sind auch hier Menge, Underlying, Laufzeit
und Ausübungspreis für die Vertragsdauer fixiert. Futures können
nur am Verfall ausgeübt werden, die meisten werden vorher verkauft oder glattgestellt. Da eine physische Lieferung meist nicht
möglich ist, bleibt nur die Möglichkeit des Barausgleichs.
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Anhang
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