Tilgungsrechnung 2 Formelsammlung

Tilgungsrechnung 2
Bearbeitet von Martin Kubsch
12.01.2005
Tilgungsrechnung 2
1
Formelsammlung
Unterjährige Tilgung
a) mr = mz
Anzahl gleich
Jahres-, Quartals,- Halbjahres oder
Monatsrechnung
b) mz > mr (mehr Zins- als Tilgungsperioden)
Zinsanzahl auf Tilgungsanzahl hochrechnen
mz
(*)
k
i
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i
= (1 + ) mr − 1 , i* = mr (1 + ik(*) ) mz − 1
mz
Tilgungsrechnung 2
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Formelsammlung
c)
mz < mr (ansparen unterjährlicher, einfach verzinster
(nachschüssig gezahlter) Raten a zu einer Gesamtannuität
entsprechend der Ersatzrente re)
i
Ae = a ⋅ [m + ⋅ (m − 1)]
2
S ⋅ qn ⋅
a=
q −1
qn −1
a=
A
i
[m + ⋅ (m − 1)]
2
i
[m + ⋅ (m − 1)]
2
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13. Ein Darlehen von 500.000 € soll monatlich mit 1%
verzinst und in 10 Jahren durch konstante Annuitäten getilgt
werden. Wie hoch sind
a)
die Monatsraten?
geg: p* =1%
Lsg:
mr = mz = 12 (Monatsrechnung)
a = S ⋅qn ⋅ qn−1
q −1
a = 500.000⋅1,01120 ⋅ 0,01
1,01120 −1
a = 7.173,55€
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13. Ein Darlehen von 500.000 € soll monatlich mit 1%
verzinst und in 10 Jahren durch konstante Annuitäten getilgt
werden. Wie hoch sind
b) die Vierteljahresraten
geg: mr = 4 < mz =12
ges: a
Monatszins in Vierteljahreszins umrechnen
i = (1+ i )m −1= (1,01)3 −1
M
Q
i = 0,0303
Q
a = 500.000⋅(1,0303)4⋅10 ⋅ 0,0303
1,03034⋅10 −1
a = 21.736,57€
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14. Ein Hypothekendarlehen von 200.000€ soll in 25 Jahren
durch konstante Annuitäten getilgt werden. Der Zins beträgt
vierteljährlich 2%. Berechnen Sie
a) die Monatsraten,
Geg: mr = 12 > 4 = mz
100 Quartale (Zins), 3 Raten je
Quartal
0,02
100
S ⋅q n ⋅ qn−1 200.000⋅1,02 ⋅ 100
q −1 =
−1
1,02
a=
i
0
,
02
[m + ⋅(m −1)]
[3+
⋅(3−1)]
2
2
a =1.536,61€
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14. Ein Hypothekendarlehen von 200.000€ soll in 25 Jahren
durch konstante Annuitäten getilgt werden. Der Zins beträgt
vierteljährlich 2%. Berechnen Sie
b) die insgesamt zu zahlenden Zinsen.
Z ges = Ages − S =12⋅25⋅1.536,61− 200.000
Z ges = 260.938€
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15. Der Zinsfuß eines Darlehens über100.000 €, welches
monatlich mit 1.198 € zurückzuzahlen ist, beträgt 8%
jährlich. Nach wie viel Jahren ist das Darlehen getilgt?
geg: S =100.000€ a =1.198€ p = 8%
ges: n
Lsg:
S ⋅q n ⋅ qn−1 100.000⋅1,08n ⋅ 0,08
q −1 =
1,08n −1
a=
[m + i ⋅(m −1)]
[12 + 0,08 ⋅(12 −1)]
2
2
14.903,12 =100.000⋅1,08n ⋅ 0,08
1,08n −1
n = ln 2,159 =10Jahre
ln1,08
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16. Eine Schuld von 200.000 € wird mit konstanten
halbjährlichen Annuitäten von 15.877,60 € in 10 Jahren
getilgt. Wie hoch ist der Jahreszinsfuß?
geg: S = 200.000€ a = 15.877,60€
ges: p
q −1
S ⋅ qn ⋅
Lsg:
qn −1
a=
i
[m + ⋅ (m − 1)]
2
n = 10 Jahre
1,921 ⋅ q11 − 2,238 ⋅ q10 + 0,079 ⋅ q + 0,238 = 0 = F (q)
21,131⋅ q10 − 22,38 ⋅ q 9 + 0,079 = F ' (q)
211,31 ⋅ q 9 − 201,42 ⋅ q 8 = F ' ' ( q)
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Newton – Verfahren
q1 = 1,09
F (q1 ) = −0,017
F (q1 ) ⋅ F ' ' (q1 )
= 0,437 < 1
F ' (q1 ) 2
F ' (q1 ) = 1,497
F ' ' (q1 ) = 57,6
− 0,017
= 1,10136
1,497
0,00387
q3 = 1,10136 −
= 1,0996
2,208
q2 = 1,09 −
F (q3 ) = 0,0001 < 1⋅10 −3 − > Abbruch
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Newton – Verfahren
q3 = q = 1,0996
p = 10%
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17. Die Verzinsung für ein Darlehen über 100.000 € erfolgt
halbjährlich. Das Darlehen soll in 6 Jahren mit Hilfe von
monatlichen Annuitäten von 1.939,47 € getilgt werden. Berechnen
Sie den Semesterzinssatz.
geg: mr = 12 > 2 = mz a = 1.939,47€ n = 6− > 12 Halbjahre
ges: p*
q −1
q −1
S ⋅ qn ⋅
100.000 ⋅ q12 ⋅
Lsg:
qn −1
q12 − 1
a=
=
i
q −1
[m + ⋅ (m − 1)]
[6 +
⋅ (6 − 1)]
2
2
9,515 ⋅ q13 − 10,679 ⋅ q12 + 0,485 ⋅ q + 0,679 = 0 = F (q )
123,695 ⋅ q12 − 128,148 ⋅ q11 + 0,485 = F ' (q )
1.484,34 ⋅ q11 − 1.409,6282 ⋅ q10 = F ' ' (q)
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Newton – Verfahren
q1 = 1,05
F (q1 ) = −0,0477
F (q1 ) ⋅ F ' ' (q1 )
= 0,97 < 1
F ' (q1 ) 2
F ' (q1 ) = 3,447
F ' ' (q1 ) = 242,590
− 0,0477
= 1,06384
3,447
0,0254
q3 = 1,0634 −
= 1,0604
7,2868
0,00184
q4 = 1,0604 −
= 1,06006
6,224
q2 = 1,05 −
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Newton – Verfahren
F (q4 ) = 0,000014 < 1⋅10 −3 − > Abbruch
q4 = q = 1,06
p HJ = 6%
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18. Wie hoch sind die gesamten Zinsaufwendungen einer
Schuld von 200.000 €, die durch halbjährliche Annuitäten
von 14.000 € bei einem Jahreszinsfuß von 7% getilgt wird?
geg: mr = 2 > 1 = mz S = 200.000€ a = 14.000€ p = 7%
ges: Z ges
q −1
0,07
S ⋅ qn ⋅
Lsg:
200.000 ⋅1,07 n ⋅
n
q −1
1,07 n − 1
a=
=
i
0,07
[m + ⋅ (m − 1)]
[2 +
⋅ (2 − 1)]
2
2
28.490 = 14.000 ⋅1,07 n ⋅
n=
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1
1,07 n − 1
ln 1,966
= 10 Jahre
ln 1,07
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18. Wie hoch sind die gesamten Zinsaufwendungen einer
Schuld von 200.000 €, die durch halbjährliche Annuitäten
von 14.000 € bei einem Jahreszinsfuß von 7% getilgt wird?
Ages = 14.000 ⋅ 2 ⋅ 10 = 280.000€
Z ges = 280.000 − 200.000 = 80.000€
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19. Ein Teilzahlungskredit über 10.000 € soll in 38 Monaten getilgt
werden. Monatlich müssen 300 € zurückbezahlt werden. Bei der
Kreditauszahlung fällt eine einmalige Gebühr von 800 € an. Berechnen
Sie den effektiven Jahreszins bei monatlicher Verzinsung.
geg: mr = mz = 12 S = 10.000€
ges: p eff
Lsg:
n q −1
a = S ⋅q ⋅
qn −1
n = 38Monate a = 300€
= 9.200 ⋅ q38 ⋅
q −1
q 38 − 1
9,2 ⋅ q 39 − 9,5 ⋅ q 38 + 0,3 = 0 = F (q)
358,8 ⋅ q 38 − 361⋅ q 37 = F ' (q )
13.634,40 ⋅ q 37 − 13.357 ⋅ q 36 = F ' ' (q )
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Newton – Verfahren
q1 = 1,01
F (q1 ) = −0,00358
F (q1 ) ⋅ F ' ' (q1 )
= 0,526 < 1
F ' (q1 ) 2
F ' (q1 ) = 2,0058
F ' ' (q1 ) = 591,972
− 0,00358
= 1,01178
2,0058
0,00098
q3 = 1,01178 −
= 1,0115
3,1291
q2 = 1,01 −
F (q3 ) = 0,000033 < 1⋅10 −4 − > Abbruch
12.01.2005
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Newton – Verfahren
q3 = q = 1,0115
pM = 1,15%
ieff = (1 + p M ) m − 1 = (1 + 0,0115)12 − 1
ieff = 0,1471− > peff = 14,71%
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20. Ein Unternehmer benötigt genau 100.000 € für eine Investition.
Diesen Betrag möchte er durch ein Bankdarlehen decken, welches
zu folgenden Konditionen angeboten wird:
Zins 6,1% p.a., Auszahlung 91,5%, Laufzeit 10 Jahre
a) Wie hoch sind die konstanten Annuitäten?
A = S ⋅ qn ⋅
q − 1 100.000
0,061
=
⋅1,06110 ⋅
q n − 1 0,915
1,06110 − 1
A = 14.919,39€
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20. Ein Unternehmer benötigt genau 100.000 € für eine Investition.
Diesen Betrag möchte er durch ein Bankdarlehen decken, welches
zu folgenden Konditionen angeboten wird:
Zins 6,1% p.a., Auszahlung 91,5%, Laufzeit 10 Jahre
b) Welchen Effektivzins bezahlt er?
A = 14.919,39€
geg: S = 100.000€
Lsg:
A = S ⋅ qn ⋅
n = 10 Jahre
q −1
q −1
= 100.000 ⋅ q10 ⋅
qn −1
q10 − 1
q11 − 1,1492 ⋅ q10 + 0,1492 = 0 = F (q)
11⋅ q10 − 11,492 ⋅ q 9 = F ' (q)
110 ⋅ q 9 − 103,428 ⋅ q 8 = F ' ' (q )
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Newton – Verfahren
q1 = 1,07
F (q1 ) = −0,0066
F (q1 ) ⋅ F ' ' (q1 )
= 0,619 < 1
F ' (q1 ) 2
F ' (q1 ) = 0,511
F ' ' (q1 ) = 24,52
− 0,0066
= 1,0829
0,511
0,00219
q3 = 1,0829 −
= 1,0804
0,8604
q2 = 1,07 −
F (q3 ) = 0,00009 < 1 ⋅10 −4 − > Abbruch
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Newton – Verfahren
q3 = q = 1,0804
p = 8,04%
c) Wie hoch sind die Gesamtaufwendungen für den Kredit?
Ages = A ⋅ n = 14.919,39 ⋅10
Ages = 149.193,90€
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21. Eine Annuitätenschuld von 50.000 € ist monatlich mit
490,38 € zurückzubezahlen. Die jährliche Verzinsung beträgt
5%.
a) Berechnen Sie die Laufzeit
geg: mr = 12 > 1 = mz S = 50.000€ a = 490,38€
Lsg:
q −1
0,05
S ⋅ qn ⋅
50.000 ⋅1,05n ⋅
n
q −1
1,05n − 1
=
a=
i
0,05
[m + ⋅ (m − 1)]
⋅ (12 − 1)]
[12 +
2
2
1
6.019,41 = 2.500 ⋅1,05n ⋅
1,05n − 1
ln 1,71
n=
= 11Jahre
ln 1,05
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21. Eine Annuitätenschuld von 50.000 € ist monatlich mit
490,38 € zurückzubezahlen. Die jährliche Verzinsung beträgt
5%.
b) Wie hoch ist die Restschuld nach 5 Jahren und 3 Monaten?
l p
p l −1
Rk −1,l = S ⋅ q k −1 (1 + ⋅
⋅
) − a ⋅ {( m +
)⋅
m 100
100 2
q k −1 − 1
l p
l
p l −1
⋅ (1 + ⋅
⋅
) + ⋅ (m +
)}
q −1
m 100 m
100 2
3
0,05
⋅ 0,05) − 490,38 ⋅{(12 +
⋅11) ⋅
2
12
1,055 − 1
3
3
0,05
⋅ (1 + ⋅ 0,05) + ⋅ (12 +
⋅ 2)}
0,05
12
12
2
R5,3 = 50.000 ⋅1,055 (1 +
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21. Eine Annuitätenschuld von 50.000 € ist monatlich mit
490,38 € zurückzubezahlen. Die jährliche Verzinsung beträgt
5%.
b) Wie hoch ist die Restschuld nach 5 Jahren und 3 Monaten?
R5,3 = 64.611,75 − 35.154,10
R5,3 = 29.457,65€
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22. Ein Kredit über 20.000 € (3% Disagio)wird zu 10% Jahreszinsen bei
halbjährlicher Verzinsung gewährt. Nach 5 Jahren sollen die Schuld sowie die
angefallenen Zinsen zurückbezahlt werden. Jedoch muss am Ende eines jeden
Jahres eine Gebühr von 0,5% der Kreditsumme an den Kreditgeber überwiesen
werden. Wie hoch ist die Effektivverzinsung?
geg: K 0 = 20.000€ (3% Disagio) n = 5 Jahre p = 10% m = 2
z
Lsg: K = K ⋅ (1 + i ) n⋅m = 20.000 ⋅ (1 + 0,1) 2⋅5
n
0
m
2
K 5 = 32.577,89€
Kapitalwertberechnung:
n
1
− A0
qt
t =1
100 100 100 100 32.677,89
+ 2 + 3 + 4 +
− 19.400
G (q) =
q
q
q
q
q5
G (t ) = ∑ Pt ⋅
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Tilgungsrechnung 2
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Newton – Verfahren
G ' (q) = −
G ' ' (q) =
100 200 300 400 163.389,45
− 3 − 4 − 5 −
q2
q
q
q
q6
200 600 1.200 2.000 980.336,70
+ 4 + 5 + 6 +
q3
q
q
q
q7
q1 = 1,1
G (q1 ) ⋅ G ' ' (q1 )
= 0,07 < 1
G ' ( q1 ) 2
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Tilgungsrechnung 2
G (q1 ) = 1.207,3852
G ' (q1 ) = −92.915,265
G ' ' (q1 ) = 505.501,86
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14
Newton – Verfahren
1.207,3852
= 1,11299
− 92.915,265
2,3337
q3 = 1,11299 −
= 1,11302
− 86.609,466
39,197
q4 = 1,11302 −
= 1,113474
− 86.596,9199
0,04802
q5 = 1,113474 −
= 1,113475
− 86.386,48
q2 = 1,1 −
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Newton – Verfahren
G (q5 ) = 0,0000044 < 1⋅10 −4 − > Abbruch
q5 = q = 1,113475
peff = 11,35%
12.01.2005
Tilgungsrechnung 2
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15
23. Nach 8 Jahren beträgt die Restschuld eines
Annuitätenkredits mit einer Gesamtlaufzeit von 10 Jahren,
der zu 8% verzinst und jährlich getilgt wird noch 2.657,60 €.
a) Erstellen Sie den Tilgungsplan der letzten beiden Jahre.
p = 8% n = 10 Jahre
geg: R8 = 2.657,60€
n
k −1
Lsg: R = S ⋅ q − q
k −1
qn −1
R8 = 2.657,60 = S ⋅
1,0810 − 1,088
1,0810 − 1
S = 10.000€
A = S ⋅ qn ⋅
q −1
0,08
= 10.000 ⋅1,0810 ⋅
= 1.490,29€
n
10
q −1
1,08 − 1
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23. Nach 8 Jahren beträgt die Restschuld eines
Annuitätenkredits mit einer Gesamtlaufzeit von 10 Jahren,
der zu 8% verzinst und jährlich getilgt wird noch 2.657,60 €.
Tilgungsplan der letzten beiden Jahre
Jahr
9
10
12.01.2005
Restschuld
2.657,60
1.379,92
Zinsen
212,61
110,93
Annuität
1.490,29
1.490,29
Tilgungsrechnung 2
Tilgung RS Jende
1.277,68 1.379,92
1.379,90
0,02
32
16
23. Nach 8 Jahren beträgt die Restschuld eines
Annuitätenkredits mit einer Gesamtlaufzeit von 10 Jahren,
der zu 8% verzinst und jährlich getilgt wird noch 2.657,60 €.
b) Wie hoch sind die insgesamt für den Kredit zu zahlenden
Zinsen?
Z ges = Ages − S = 1.490,29 ⋅10 − 10.000
Z ges = 4.902,90€
12.01.2005
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24. Ein Annuitätendarlehen über 300.000 € (bei jährlicher
Tilgung) wurde Ende 1990 zu einem Zinssatz von 9% p.a. bei
einer Bank aufgenommen. Die Laufzeit betrug 8 Jahre.
Weil 3 Jahre später das Zinsniveau auf 7% p.a. gesunken
ist, möchte der Darlehensnehmer die Restschuld jetzt
zurückbezahlen (ablösen). Die Bank macht die Ablösung
des Darlehens davon abhängig, ob der Kunde bereit ist, als
Ersatz für den entstandenen Schaden eine
Vorfälligkeitsentschädigung zu zahlen. Sie berechnet
sich nach der sogenannten Bankformel:
Die Restschuld am Vorfälligkeitstermin wird mit der
Restlaufzeit und der prozentualen Zinsdifferenz zw.
Vertrags- und Wiederanlagezins multipliziert.
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24. Ein Annuitätendarlehen über 300.000 € (bei jährlicher
Tilgung) wurde Ende 1990 zu einem Zinssatz von 9% p.a. bei
einer Bank aufgenommen. Die Laufzeit betrug 8 Jahre.
a)
Wie hoch ist der finanzielle Schaden, welcher der Bank
ohne Berücksichtigung von Kreditbearbeitungskosten
tatsächlich entsteht?
geg: S = 300.000€ p = 9%
n = 8 Jahre p* = 7%
A = S ⋅ qn ⋅
q −1
0,09
= 300.000 ⋅1,098 ⋅
= 54.202,31€
n
8
q −1
1,09 − 1
3 Jahre Annuitätentilgung mit 9% -> Annuität mit
neuem Zinssatz von 7%
12.01.2005
Tilgungsrechnung 2
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24. Ein Annuitätendarlehen über 300.000 € (bei jährlicher
Tilgung) wurde Ende 1990 zu einem Zinssatz von 9% p.a. bei
einer Bank aufgenommen. Die Laufzeit betrug 8 Jahre.
q n − q k −1
1,098 − 1,093
Rk −1 = S ⋅ n
= 300.000 ⋅
q −1
1,093 − 1
R3 = 210.828,10€ = S *
0,07
q * −1
= 210.828,10 ⋅1,075 ⋅
A* = S * ⋅q *n ⋅
1,075 − 1
q *n −1
A* = 51.419,01€
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24. Ein Annuitätendarlehen über 300.000 € (bei jährlicher
Tilgung) wurde Ende 1990 zu einem Zinssatz von 9% p.a. bei
einer Bank aufgenommen. Die Laufzeit betrug 8 Jahre.
Jährlicher Verlust für die Bank ist die Differenz der
Annuitäten.
A − A* = 2.783,30€
Gesamtschaden = Barwert des jährliche Verlustes
Rn 2.783,30 1,07 5 − 1
R0 = n =
⋅
1,07 5
0,07
q
R0 = 11.412,08€
12.01.2005
Tilgungsrechnung 2
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24. Ein Annuitätendarlehen über 300.000 € (bei jährlicher
Tilgung) wurde Ende 1990 zu einem Zinssatz von 9% p.a. bei
einer Bank aufgenommen. Die Laufzeit betrug 8 Jahre.
b) Ermitteln Sie die Höhe der Vorfälligkeitsentschädigung
nach der Bankformel.
Die Restschuld am Vorfälligkeitstermin wird mit der
Restlaufzeit und der prozentualen Zinsdifferenz zw.
Vertrags- und Wiederanlagezins multipliziert.
Rk ⋅ nRe st ⋅ ( p − p*) = Entschädigung
210.828,10 ⋅ 5 ⋅ (0,09 − 0,07) = 21.082,81€
12.01.2005
Tilgungsrechnung 2
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