Leistungselektronische Systeme

Transcription

Leistungselektronische Systeme:
Prüfsteine der Praxis für moderne Regelungsverfahren
Elgersburg Workshop
17. Februar 2011
Johann Reger
[email protected]
R T
R T
Fachgebiet
Regelungstechnik
Fachgebiet
Regelungstechnik
◭ ◮
Regelung leistungselektronischer Systeme — 1/26
Übersicht
1. Motivation — Anwendungsfelder leistungselektronischer Systeme
2. Probleme und Herausforderungen bei der Regelung
Beispielsystem: DC-DC-Wandler vom Boost-Typ
a) Auswahl der Meßgrößen und Minimalphasigkeit
b) Parameter- und Meßunsicherheiten
c) Stell- und Zustandsbeschränkungen
3. Robuste Folgeregelung für einen Boost-Konverter getriebenen DC-Motor
a) H∞ -optimale Folgeregelung
b) integral Input-to-State-Stability im geschlossenen Regelkreis
c) Experimentelle Ergebnisse
4. Zukünftige Anwendungsfelder
5. Zusammenfassung
R T
Fachgebiet
Regelungstechnik
◭ ◮
1. Motivation — Anwendungsfelder
Elektrische Netzwerke, welche elektrische Energie mit Hilfe von elektronischen
Bauelementen wandeln.
Leistungseingang
Leistungsausgang
Konverter
Stellgröße
Regler
Referenz
R T
Fachgebiet
Regelungstechnik
◭ ◮
Elektrische Netzwerke, welche elektrische Energie mit Hilfe von elektronischen
Bauelementen wandeln.
Übliche Schaltkreise enthalten:
passive Bauelemente
Leistungseingang
Leistungsausgang
Konverter
Widerstände, Kapazitäten,
Induktivitäten, Memristoren,
Transformatoren
Stellgröße
aktive Bauelemente
Dioden, Transistoren, Thyristoren,
Optokoppler
Regler
einfache integrierte Schaltungen
Operationsverstärkerschaltungen,
PWM-Schaltungen
Referenz
Die Steuerung bzw. Regelung sogenannter Steller erfolgt meist über Thyristoren oder
Leistungstransistoren wie MOSFET, IGBT.
R T
Fachgebiet
Regelungstechnik
◭ ◮
Schaltnetzteile (AC-DC-Wandler)
z.B. Netzadapter für Geräte mit Gleichstrombedarf
Quelle: Creative Commmons (Christina Horvat, Rainer Knäpper)
R T
Fachgebiet
Regelungstechnik
◭ ◮
Schaltnetzteile (AC-DC-Wandler)
z.B. Netzadapter für Geräte mit Gleichstrombedarf
Quelle: Creative Commmons (Christina Horvat, Rainer Knäpper)
Gleichspannungswandler (DC-DC-Wandler)
z.B. vom Typ Buck in Laptop-Mainboards
i
iS
S
iL
iD
E
C1
G
D
L
iout
vL
C2
v
Quelle: Robert W. Ericksson, Fundamentals of Power Electronics
R T
Fachgebiet
Regelungstechnik
◭ ◮
Gleichrichter (ungesteuerte AC-DC-Wandler)
Dreiphasengleichrichter in Straßenbahnen
Lichtmaschinen in Kraftfahrzeugen
Quelle: Creative Commmons (Zureks)
R T
Fachgebiet
Regelungstechnik
◭ ◮
Wechselrichter (DC-AC-Wandler)
Resonanzwandler (Hintergrundbeleuchtung
von TFT-Bildschirmen, Energiesparlampen)
Solarstromeinspeisung ins Wechselstromnetz
Unterbrechungsfreie Stromversorgung
Netzspannungserzeugung im Auto
Quelle: Bosch Solar Energy
Hybridantriebe (DC-3ph/AC)
R T
Fachgebiet
Regelungstechnik
◭ ◮
Wechselrichter (DC-AC-Wandler)
Resonanzwandler (Hintergrundbeleuchtung
von TFT-Bildschirmen, Energiesparlampen)
Solarstromeinspeisung ins Wechselstromnetz
Unterbrechungsfreie Stromversorgung
Netzspannungserzeugung im Auto
Quelle: Bosch Solar Energy
Hybridantriebe (DC-3ph/AC)
Umrichter (AC-AC-Wandler)
Windkraftanlagen (von AC-DC zu DC-AC)
Bahnoberleitungsnetz (50 Hz auf 16,7 Hz)
Quelle: Creative Commmons (Philipp Hertzog, Heidas)
R T
Fachgebiet
Regelungstechnik
◭ ◮
Pulsweitenmodulation
(a)
L
La
P
Phasenanschnittsteuerungen
R1
Wohnlichtdimmer
R3
Tr
R2
elektrische Heizungen
(b)
Di
N
C1
C2
Quelle: Creative Commons (Michael Schmid)
R T
Fachgebiet
Regelungstechnik
◭ ◮
Pulsweitenmodulation
(a)
L
La
P
Phasenanschnittsteuerungen
R1
Wohnlichtdimmer
R3
Tr
R2
elektrische Heizungen
(b)
Di
N
C1
C2
Batterie-Management-System
Quelle: Creative Commons (Michael Schmid)
Ladelektronik für Batterien
Quelle: Robert W. Ericksson, Fundamentals of Power Electronics
R T
Fachgebiet
Regelungstechnik
◭ ◮
Quelle: Creative Commons, Chevrolet Volt (Mariordo)
i
DC-DC-Wandler
vom Boost-Typ:
vL
E
R T
Fachgebiet
Regelungstechnik
D
L
◭ ◮
iC
S
u
v
C
G
v
i
DC-DC-Wandler
vom Boost-Typ:
D
L
vL
E
iC
S
u
v
C
G
v
Schalterposition u(t) ∈ {0, 1} wählt zeitlich zwischen den beiden Systemmodellen
8
8
< L di = E
< L di = −v + E
dt
dt
(Σ0 )
(Σ1 )
: C dv = −G v
: C dv = i − G v
dt
R T
Fachgebiet
Regelungstechnik
◭ ◮
dt
i
DC-DC-Wandler
vom Boost-Typ:
D
L
vL
E
iC
S
u
v
C
G
v
8
8
< L di = E
< L di = −v + E
dt
dt
(Σ0 )
(Σ1 )
: C dv = −G v
: C dv = i − G v
dt
Schaltendes System:
R T
Fachgebiet
Regelungstechnik
dt
ż = Aσ(t) z + b mit A ∈ {A0 , A1 }, σ : R+ → {0, 1}
◭ ◮
i
DC-DC-Wandler
vom Boost-Typ:
D
L
vL
E
iC
S
u
v
C
G
v
8
8
< L di = E
< L di = −v + E
dt
dt
(Σ0 )
(Σ1 )
: C dv = −G v
: C dv = i − G v
dt
Schaltendes System:
dt
ż = Aσ(t) z + b mit A ∈ {A0 , A1 }, σ : R+ → {0, 1}
Gute Näherung bei hochfrequentem Schalten: mittleres kontinuierliches Modell
8
< Lẋ = −x u + E
1
2
(Σ̄)
mit Stellbeschränkung u(t) ∈ [0, 1]
: C ẋ2 = x1 u − G x2
Systemausgang (gemessen): Verbraucherspannung v bzw. x2
R T
Fachgebiet
Regelungstechnik
◭ ◮
i
DC-DC-Wandler
vom Boost-Typ:
D
L
vL
E
iC
S
v
u
C
G
v
8
8
< L di = E
< L di = −v + E
dt
dt
(Σ0 )
(Σ1 )
: C dv = −G v
: C dv = i − G v
dt
dt
ż = Aσ(t) z + b mit A ∈ {A0 , A1 }, σ : R+ → {0, 1}
Schaltendes System:
Gute Näherung bei hochfrequentem Schalten: mittleres kontinuierliches Modell
8
< Lẋ = −x u + E
1
2
(Σ̄)
mit Stellbeschränkung u(t) ∈ [0, 1]
: C ẋ2 = x1 u − G x2
Systemausgang (gemessen): Verbraucherspannung v bzw. x2
Betriebspunkte:
R T
Fachgebiet
Regelungstechnik
x⋆1
=
G(Vd )2
,
E
◭ ◮
x⋆2 = Vd , u⋆ =
E
Vd
mit
E < Vd (Hochsetzsteller)
2. Direkte Regelungsansätze (Boost-Konverter)
Betriebspunktregelung:
R T
Fachgebiet
Regelungstechnik
Spannung x⋆2 asymptotisch am Ausgang y = x2 stabilisieren
◭ ◮
Vorsteuerung:
Problem:
R T
Fachgebiet
Regelungstechnik
Wahl u = u⋆ =
E
x⋆
2
stabilisiert die Ruhelage x⋆ (global) asymptotisch
Dämpfung von Last G abhängig, Kreisfrequenz von Sollspannung x⋆2
◭ ◮
Vorsteuerung:
Problem:
Wahl u = u⋆ =
E
x⋆
2
Direkte Regelung:
z.B. mit Sliding-Mode-Ansatz
Modellgleichung:
ẋ = f (x) + g(x) u mit f (x) =
Forderung: h(x) = x2 − x⋆2 ≡ 0
Transversalitätsbedingung (Relativgrad 1):
R T
Fachgebiet
Regelungstechnik
◭ ◮
E
L
G
− C x2
Lg h(x) =
!
x1
C
, g(x) =
6= 0
x2
L
x1
C
−
!
(erfüllt)
Vorsteuerung:
Problem:
Wahl u = u⋆ =
E
x⋆
2
Direkte Regelung:
Modellgleichung:
ẋ = f (x) + g(x) u mit f (x) =
E
L
G
− C x2
Transversalitätsbedingung (Relativgrad 1): Lg h(x) =

1, h(x) < 0
Regleransatz: u = 12 (1 − sign h(x)) =
0, h(x) > 0
!
x1
C
, g(x) =
6= 0
x2
L
x1
C
−
!
(erfüllt)
L h(x)
x2
Dieser Regler ist äquivalent zu: ueq = − Lf h(x) = G x
g
1
Dynamik auf Gleitmannigfaltigkeit h(x) ≡ 0: ẋ1 =
R T
Fachgebiet
Regelungstechnik
◭ ◮
G(Vd )2 1
− L x
1
+
E
L
Vorsteuerung:
Problem:
Wahl u = u⋆ =
E
x⋆
2
Direkte Regelung:
Modellgleichung:
ẋ = f (x) + g(x) u mit f (x) =
E
L
G
− C x2
Transversalitätsbedingung (Relativgrad 1): Lg h(x) =

1, h(x) < 0
0, h(x) > 0
!
x1
C
, g(x) =
6= 0
x2
L
x1
C
−
!
(erfüllt)
L h(x)
x2
Dieser Regler ist äquivalent zu: ueq = − Lf h(x) = G x
g
1
Problem:
R T
Fachgebiet
Regelungstechnik
G(Vd )2 1
− L x
1
+
E
L
instabile Nulldynamik, d.h. Ausgang y = x2 nicht-minimalphasig
◭ ◮
2. Indirekte Regelungsansätze (Boost-Konverter)
Indirekte Regelung:
z.B. mit Sliding-Mode-Ansatz [Sira Ramírez et al.]
Modellgleichung:
ẋ = f (x) + g(x) u mit f (x) =
Transversalitätsbedingung (Relativgrad 1):
R T
Fachgebiet
Regelungstechnik
◭ ◮
E
L
−G
C x2
!
, g(x) =
Lg h(x) = − xL2 6= 0
x2
L
x1
C
−
!
(erfüllt)
Indirekte Regelung:
Modellgleichung:
E
L
−G
C x2
ẋ = f (x) + g(x) u mit f (x) =
!
, g(x) =
Transversalitätsbedingung (Relativgrad 1): Lg h(x) = − xL2 6= 0

1, h(x) < 0
0, h(x) > 0
L h(x)
Dieser Regler ist äquivalent zu: ueq = − Lf h(x) =
g
R T
Fachgebiet
Regelungstechnik
◭ ◮
x2
L
x1
C
−
!
(erfüllt)
E
x2
x
−G
C 2
+
G(Vd )2 1
C
x2
Indirekte Regelung:
Modellgleichung:
E
L
−G
C x2
ẋ = f (x) + g(x) u mit f (x) =
!
, g(x) =

1, h(x) < 0
0, h(x) > 0
L h(x)
g
x2
L
x1
C
−
!
(erfüllt)
E
x2
x
−G
C 2
+
G(Vd )2 1
C
x2
Stabilität der Nulldynamik?
LF-Ansatz:
V (x2 ) = 12 (x2 − Vd )2
=⇒
G
V̇ = − Cx
(x2 − Vd )2 (x2 + Vd ) < 0
2
∀x2 6= Vd
=⇒ stabile Nulldynamik, d.h. Ausgang y = x1 minimalphasig
R T
Fachgebiet
Regelungstechnik
◭ ◮
Indirekte Regelung:
Modellgleichung:
E
L
−G
C x2
ẋ = f (x) + g(x) u mit f (x) =
!
, g(x) =

1, h(x) < 0
0, h(x) > 0
L h(x)
g
x2
L
x1
C
−
!
(erfüllt)
E
x2
x
−G
C 2
+
G(Vd )2 1
C
x2
Stabilität der Nulldynamik?
LF-Ansatz:
V (x2 ) = 12 (x2 − Vd )2
=⇒
G
V̇ = − Cx
(x2 − Vd )2 (x2 + Vd ) < 0
2
∀x2 6= Vd
=⇒ stabile Nulldynamik, d.h. Ausgang y = x1 minimalphasig
Problem:
R T
Fachgebiet
Regelungstechnik
Strommessung sehr verrauscht, Regelgüte stark parameterabhängig
(Ansatz h(x) = (x1 − x⋆1 )2 + (x2 − x⋆2 )2 verletzt Transversalitätbedingung)
◭ ◮
2. Fortgeschrittene Methoden (Boost-Konverter)
Regelung mit vollständiger Zustandsinformation
Exakte Zustandslinearisierung [Rudolph et al.]
Das System ist zustandslinearisierbar. Flacher Ausgang y =
1
Lx21
2
+ 21 Cx22 erfüllt
ẏ = Ex1 − Gx22
ÿ = E 2 + 2G2 x22 − x2 (E + 2G x1 ) u
{z
}
|
6=0
R T
Fachgebiet
Regelungstechnik
◭ ◮
1
Lx21
2
+ 21 Cx22 erfüllt
ẏ = Ex1 − Gx22
Wähle
u=
ÿ = E 2 + 2G2 x22 − x2 (E + 2G x1 ) u
{z
}
|
6=0
(E 2 +2G2 x22 )−v
x2 (E+2G x1 )
mit v = −p1 ẏ − p0 (y − y ⋆ ),
y⋆ =
Vd2
2
„ “
«
”2
d
L GV
+C
E
mit p0 , p1 ∈ R so, daß λ2 + p1 λ + p0 ein Hurwitz-Polynom.
R T
Fachgebiet
Regelungstechnik
◭ ◮
1
Lx21
2
+ 21 Cx22 erfüllt
ẏ = Ex1 − Gx22
Wähle
u=
ÿ = E 2 + 2G2 x22 − x2 (E + 2G x1 ) u
{z
}
|
6=0
(E 2 +2G2 x22 )−v
x2 (E+2G x1 )
mit v = −p1 ẏ − p0 (y − y ⋆ ),
y⋆ =
Vd2
2
„ “
«
”2
d
L GV
+C
E
Problem:
R T
Fachgebiet
Regelungstechnik
Regelgüte sehr parametersensitiv, keine Stellbegrenzung, Strom kritisch
◭ ◮
1
Lx21
2
+ 21 Cx22 erfüllt
ẏ = Ex1 − Gx22
Wähle
u=
ÿ = E 2 + 2G2 x22 − x2 (E + 2G x1 ) u
{z
}
|
6=0
(E 2 +2G2 x22 )−v
x2 (E+2G x1 )
mit v = −p1 ẏ − p0 (y − y ⋆ ),
y⋆ =
Vd2
2
„ “
«
”2
d
L GV
+C
E
Problem:
Exakte feedforward-Lineariserung [Hagenmeyer et al.]
„ “
«
”
2
2 2
2
2
V
(E +2G V )−v
d
mit v = −p1 ẏ − p0 (y − y ⋆ ), y ⋆ = 2d L GV
u = u⋆ E 2 +2G2dV 2
+C
E
Verbesserung:
d
R T
Fachgebiet
Regelungstechnik
◭ ◮
1
Lx21
2
+ 21 Cx22 erfüllt
ẏ = Ex1 − Gx22
Wähle
u=
ÿ = E 2 + 2G2 x22 − x2 (E + 2G x1 ) u
{z
}
|
6=0
(E 2 +2G2 x22 )−v
x2 (E+2G x1 )
mit v = −p1 ẏ − p0 (y − y ⋆ ),
y⋆ =
Vd2
2
„ “
«
”2
d
L GV
+C
E
Problem:
Exakte feedforward-Lineariserung [Hagenmeyer et al.]
„ “
«
”
2
2 2
2
2
V
(E +2G V )−v
d
mit v = −p1 ẏ − p0 (y − y ⋆ ), y ⋆ = 2d L GV
u = u⋆ E 2 +2G2dV 2
+C
E
Verbesserung:
d
jedoch: Stellbegrenzung nicht beachtet, Strommessung erforderlich
R T
Fachgebiet
Regelungstechnik
◭ ◮
Passivitätsbasierte Regelungsansätze
Der Boost-Konverter ist ein PCHD-System der Form
“
”T
∂V
ẋ = (J − S) ∂x + Gu (x)u + c
mit Speicherfunktion V (x) =
J = 0,
R T
Fachgebiet
Regelungstechnik
1
Lx21
2
0
0
S=@
0
◭ ◮
+ 21 Cx22 und
0
1
1
x2
−
0
A , Gu (x) = @ L A ,
x
G
C2
1
C
c=
0
1
E
@LA
0
“
”T
∂V
ẋ = (J − S) ∂x + Gu (x)u + c
J = 0,
1
Lx21
2
0
0
S=@
0
+ 21 Cx22 und
0
1
1
x2
−
0
A , Gu (x) = @ L A ,
x
G
C2
IDA-PBC [van der Schaft/Ortega et al.]:
1
C
c=
0
1
E
@LA
0
Dynamikvorgabe für geschlossenen Regelkreis
«
„
∂Vg T
ẋ = (Jg (x) − Sg (x))
,
∂x
R T
Fachgebiet
Regelungstechnik
◭ ◮
“
”T
∂V
ẋ = (J − S) ∂x + Gu (x)u + c
J = 0,
1
Lx21
2
0
0
S=@
0
+ 21 Cx22 und
0
1
1
x2
−
0
A , Gu (x) = @ L A ,
x
G
C2
1
C
c=
0
1
E
@LA
0
«
„
∂Vg T
ẋ = (Jg (x) − Sg (x))
,
∂x
z.B. mit Jg = J, Sg = diag(k1 , k2 ), k1 , k2 > 0 und Vg (x) =
R T
Fachgebiet
Regelungstechnik
◭ ◮
1
kx
2
− x⋆ k22 .
“
”T
∂V
ẋ = (J − S) ∂x + Gu (x)u + c
J = 0,
1
Lx21
2
0
0
S=@
0
+ 21 Cx22 und
0
1
1
x2
−
0
A , Gu (x) = @ L A ,
x
G
C2
1
C
c=
0
1
E
@LA
0
«
„
∂Vg T
ẋ = (Jg (x) − Sg (x))
,
∂x
z.B. mit Jg = J, Sg = diag(k1 , k2 ), k1 , k2 > 0 und Vg (x) =
1
kx
2
− x⋆ k22 .
Gleichsetzen ergibt dann:
´
`
1
2
2
2
⋆
2
⋆
u = L2 x2 +C 2 x2 k1 C L x2 (x1 − x1 ) − k2 L Cx1 (x2 − x2 ) + C E x2 + L G x1 x2
1
Problem:
R T
2
Regelgüte parametersensitiv, keine Stellbegrenzung, Strom kritisch
Fachgebiet
Regelungstechnik
◭ ◮
Lyapunov-basierte Ansätze
Regler nach [Sanders/Verghese]:
E(x1 − x⋆1 ) − Vd G(x2 − x⋆2 )
u = u + λ(x)
1 + (E(x1 − x⋆1 ) − Vd G(x2 − x⋆2 ))2
⋆
mit beliebiger Funktion λ = λ(x) so, daß
0 ≤ λ < 2 min(u⋆ , 1 − u⋆ ) .
R T
Fachgebiet
Regelungstechnik
◭ ◮
E(x1 − x⋆1 ) − Vd G(x2 − x⋆2 )
u = u + λ(x)
1 + (E(x1 − x⋆1 ) − Vd G(x2 − x⋆2 ))2
⋆
0 ≤ λ < 2 min(u⋆ , 1 − u⋆ ) .
Eigenschaften:
(Globale) asymptotische Stabilisierung der Ruhelage x⋆ , vgl. Lyapunov-Funktion
V (x) =
R T
Fachgebiet
Regelungstechnik
◭ ◮
1
1
L(x1 − x⋆1 )2 + C(x2 − x⋆2 )2
2
2
E(x1 − x⋆1 ) − Vd G(x2 − x⋆2 )
u = u + λ(x)
1 + (E(x1 − x⋆1 ) − Vd G(x2 − x⋆2 ))2
⋆
0 ≤ λ < 2 min(u⋆ , 1 − u⋆ ) .
Eigenschaften:
V (x) =
1
1
L(x1 − x⋆1 )2 + C(x2 − x⋆2 )2
2
2
Stellbeschränkung u(t) ∈ (0, 1) stets eingehalten, denn für beliebige x ist
˛
˛
˛ x ˛
˛≤ 1
˛
˛ 1 + x2 ˛
2
R T
Fachgebiet
Regelungstechnik
◭ ◮
E(x1 − x⋆1 ) − Vd G(x2 − x⋆2 )
u = u + λ(x)
1 + (E(x1 − x⋆1 ) − Vd G(x2 − x⋆2 ))2
⋆
0 ≤ λ < 2 min(u⋆ , 1 − u⋆ ) .
Eigenschaften:
V (x) =
1
1
L(x1 − x⋆1 )2 + C(x2 − x⋆2 )2
2
2
Stellbeschränkung u(t) ∈ (0, 1) stets eingehalten, denn für beliebige x ist
˛
˛
˛ x ˛
˛≤ 1
˛
˛ 1 + x2 ˛
2
Problem:
R T
Strommessung erforderlich
Fachgebiet
Regelungstechnik
◭ ◮
Regelung mit partieller Zustandsinformation
Dynamische Ausgangsrückführung (Immersion & Invarianz) [Astolfi/Ortega]
8
Für das System
>
>
< Lẋ1 = −x2 u + E
(Σ̄)
mit u(t) ∈ [0, 1]
C ẋ2 = x1 u − G x2
>
>
:
y = x2
soll eine Ausgangsrückführung zur Stabilisierung der Referenz Vd entworfen werden.
R T
Fachgebiet
Regelungstechnik
◭ ◮
8
Für das System
>
>
< Lẋ1 = −x2 u + E
(Σ̄)
mit u(t) ∈ [0, 1]
C ẋ2 = x1 u − G x2
>
>
:
y = x2
Ansatz:
Seien ǫ, Vd so, daß 0 < ǫ < 1 und ǫ ≤
E
Vd
≤ 1 und γ1 , γ2 > 0 so , daß
Dann stabilisiert die dynamische Ausgangsrückführung
γ1 C
2L
γ2
< ǫ.
ż1 = − γC1 ((z2 + γ2 y)u − Gy)
ż2 = − γC2 ((z2 + γ2 y)u − Gy) +
”
“
z1 +γ1 y
u = sat[ǫ,1]
V
1
L
(z1 + γ1 y − uy)
d
den Ausgang y (global) asymptotisch, limt→∞ y(t) = Vd . Alle Trajektorien des
geschlossenen Regelkreises sind beschränkt.
R T
Fachgebiet
Regelungstechnik
◭ ◮
8
Für das System
>
>
< Lẋ1 = −x2 u + E
(Σ̄)
mit u(t) ∈ [0, 1]
C ẋ2 = x1 u − G x2
>
>
:
y = x2
Ansatz:
Seien ǫ, Vd so, daß 0 < ǫ < 1 und ǫ ≤
E
Vd
≤ 1 und γ1 , γ2 > 0 so , daß
Dann stabilisiert die dynamische Ausgangsrückführung
γ1 C
2L
γ2
< ǫ.
ż1 = − γC1 ((z2 + γ2 y)u − Gy)
ż2 = − γC2 ((z2 + γ2 y)u − Gy) +
”
“
z1 +γ1 y
u = sat[ǫ,1]
V
1
L
(z1 + γ1 y − uy)
d
den Ausgang y (global) asymptotisch, limt→∞ y(t) = Vd . Alle Trajektorien des
geschlossenen Regelkreises sind beschränkt.
Vorteile:
R T
Fachgebiet
Regelungstechnik
insensitiv bzgl. E, keine Strommessung, Stellbeschränkung berücksichtigt
◭ ◮
3. Standardmodell für leistungselektronische Systeme
Für passive leistungselektronische Netzwerke mit
linearen passiven Bauelementen, wie z.B. Spulen, Kondensatoren, Widerstände
einfachen schaltenden Bauelementen, wie z.B. Transistoren
resultieren die Strom-Spannungsbeziehungen und die Kirchhoffschen Regeln in der
R T
Fachgebiet
Regelungstechnik
◭ ◮
Systemklasse:
M ẋ(t) = F x(t)+(b+J1 x(t)) u(t)+ǫ(t),
x(t0 ) = x0 ,
mit x(t) ∈ Rn , u(t) ∈ R
b, ǫ(t) ∈ Rn beschränkt
F ∈ Rn×n mit negativ semi-definitem symmetrischen Anteil
1
(F
2
+ F T)
M ∈ Rn×n symmetrisch und positiv definit
J1 ∈ Rn×n schiefsymmetrisch
R T
Fachgebiet
Regelungstechnik
◭ ◮
Systemklasse:
M ẋ(t) = F x(t)+(b+J1 x(t)) u(t)+ǫ(t),
x(t0 ) = x0 ,
b, ǫ(t) ∈ Rn beschränkt
F ∈ Rn×n mit negativ semi-definitem symmetrischen Anteil
1
(F
2
+ F T)
M ∈ Rn×n symmetrisch und positiv definit
J1 ∈ Rn×n schiefsymmetrisch
bzw. dazu äquivalent
M ẋ(t) = (J(u(t)) − R) x(t)+b u(t)+ǫ(t),
x(t0 ) = x0 ,
J(u(t)) = J0 + J1 u(t) schiefsymmetrisch, wobei J0 =
1
(F
2
− F T)
R = − 12 (F + F T ) symmetrisch und positiv semi-definit
R T
Fachgebiet
Regelungstechnik
◭ ◮
3. Laborversuch: Boost-Konverter/DC-Motor
Schaltplan
i u=1
RL
E
L
u=0
Leistungsteil
R T
Fachgebiet
Regelungstechnik
ia
Rm
C
G
v
8
< L di = −v u − R i + E
L
dt
: C dv = i u − G v − ia
dt
◭ ◮
generator load
S1 S2
motor
Lm
Bm
Ke ω
J1
ω
Km ia , τl
Lastteil
8
<L
:
dia
m dt
J dω
dt
J2
= v − Rm ia − Ke ω
= −Bm ω + Km ia − τl
Schaltplan
i u=1
RL
L
E
Aufgabe:
C
G
v
8
< L di = −v u − R i + E
L
dt
: C dv = i u − G v − ia
dt
generator load
S1 S2
motor
Rm
u=0
Leistungsteil
ia
Lm
Bm
Ke ω
J1
ω
Km ia , τl
Lastteil
8
<L
:
dia
m dt
J dω
dt
J2
Entwurf einer Folgeregelung für die Winkelgeschwindigkeit des Motors
Herausforderungen:
Regelgröße y = ω ist nicht-minimalphasig, d.h. zugehörige interne Dynamik instabil
Motorlastmoment τl ist unbekannt, variiert mit der Zeit
System nicht exakt zustandslinearisierbar, d.h. es gibt keinen flachen Ausgang
R T
Fachgebiet
Regelungstechnik
◭ ◮
Das Gesamtsystem hat bilineare Form
`
´
M ẋ(t) = (J0 − R) x(t) + b̄ + J1 x(t) u(t) + ǫ(t)
mit M = diag(L, C, Lm , J), R = diag(RL , G, Rm , Bm ) und
0 1
1
0
0
0 −u
0
0
B C
C
B
B0C
Bu
0
−1
0 C
B C
C
B
J(u) = J0 + J1 u(t) = B
C , b̄ = B C ,
B0C
B0
1
0
−Ke C
@ A
A
@
0
0
Ke
0
0
R T
Fachgebiet
Regelungstechnik
◭ ◮
0
1
E
C
B
B 0 C
C
B
ǫ(t) = B
C ≡ konst.
B 0 C
A
@
−τl
Das Gesamtsystem hat bilineare Form
`
´
M ẋ(t) = (J0 − R) x(t) + b̄ + J1 x(t) u(t) + ǫ(t)
mit M = diag(L, C, Lm , J), R = diag(RL , G, Rm , Bm ) und
0 1
1
0
0
0 −u
0
0
B C
C
B
B0C
Bu
0
−1
0 C
B C
C
B
J(u) = J0 + J1 u(t) = B
C , b̄ = B C ,
B0C
B0
1
0
−Ke C
@ A
A
@
0
0
Ke
0
0
0
1
E
C
B
B 0 C
C
B
ǫ(t) = B
C ≡ konst.
B 0 C
A
@
−τl
Ein zu einer Referenztrajektorie x⋆ (·, t0 , x0 , u⋆ (·)) gehörige Referenzsystem hat die Form:
und mit
`
´
M ẋ⋆ (t) = (J0 − R) x⋆ (t) + b̄ + J1 x⋆ (t) u⋆ (t) + ǫ(t)
ex (t) := x(t) − x⋆ (t)
und
eu (t) := u(t) − u⋆ (t)
folgt die zeitvariante Fehlerdynamik
R T
Fachgebiet
Regelungstechnik
´
`
ėx = M −1 (J0 − R +J1 u⋆ (t)) ex + M −1 b̄+J1 (ex + x⋆ (t)) eu
{z
}
|
|
{z
}
=: A(t)
=: b̃(t, ex )
◭ ◮
Die formale Berücksichtigung des unbekannten Lastmoments τd führt zunächst auf
ėx = A(t) ex + b̃(t, ex ) eu + g̃(τd − τd⋆ )
R T
Fachgebiet
Regelungstechnik
◭ ◮
mit
`
g̃ T = 0 0 0 −
1
J
´
.
mit
`
g̃ T = 0 0 0 −
Die Nominallast τd⋆ = τd⋆ (t) ist unbekannt, kann aber mit dem Lastschätzer
1
J
´
.
d
τ̂d = −l y − α τ̂d
dt
geschätzt werden.
R T
Fachgebiet
Regelungstechnik
◭ ◮
mit
`
g̃ T = 0 0 0 −
Die Nominallast τd⋆ = τd⋆ (t) ist unbekannt, kann aber mit dem Lastschätzer
1
J
´
.
d
τ̂d = −l y − α τ̂d
dt
geschätzt werden.
Unter der Annahme τd⋆ ≈ τ̂d berechnet man nun die angepaßten Referenzen x⋆ , u⋆ .
Man erhält das bilineare erweiterte System
0
0 1
1 0
1
A(t) ex
b̃(t, ex )
d @ex A
A+@
A eu + g d(t)
=@
dt
τ̂d
−l y − α τ̂d
0
{z
} |
{z
}
| {z }
|
A =: eA
=: a(t, e)
=: b(t, e)
mit Ausgang y = cT e und entsprechende Einheitsvektoren c, g .
R T
Fachgebiet
Regelungstechnik
◭ ◮
H∞ -optimale Regelung (van der Schaft, 1992)
Fehlerdynamik
ė = a(t, e) + b(t, e) eu + g(t, e)d,
e(t0 ) = e0
y = cT e
Value function
V (t0 , e0 ) = sup inf
d(·) eu (·)
1
2
Z
∞
t0
`
2
2
2
kyk + keu k − γ kdk
2
´
dt
Hamilton-Jacobi-Isaacs-Ungleichung (HJIU): suboptimale Lösung
1 + 2
γ2 + 2
1
Vt + Ve a − (eu ) +
(d ) + y 2 ≤ 0
2
2
2
mit
T
T
e+
u (t, e) = −b (t, e)Ve (t, e)
d+ (t, e) =
wobei Vt (t, e) :=
R T
Fachgebiet
Regelungstechnik
(sub-)optimales Regelgesetz
1 T
g (t, e)VeT (t, e)
γ2
schlimmstmögliche Störung
∂V (t, e)
∂V (t, e)
, Ve (t, e) :=
∂t
∂e
◭ ◮
integral Input-to-State Stability (iISS) (Malisoff/Mazenc)
Definition (iISS). Das System
(Σ)
ẋ(t) = f (t, x(t), d(t)),
x(t0 ) = x0
mit f (t, 0, 0) ≡ 0 heißt iISS, wenn es γ, µ ∈ K∞ und β ∈ KL so gibt, daß
µ(kx(t, x0 , t0 , d)k) ≤ β(kx0 k, t − t0 ) +
Rt
γ(kd(s)k)ds,
∀t ≥ t0 ≥ 0, x0 ∈ Rn , d(t) ∈ Rm
t0
Beispiel:
R T
β(kx0 k, t) = e−t kx0 k,
Fachgebiet
Regelungstechnik
◭ ◮
γ(kdk) = kdk2
(Σ)
ẋ(t) = f (t, x(t), d(t)),
x(t0 ) = x0
µ(kx(t, x0 , t0 , d)k) ≤ β(kx0 k, t − t0 ) +
Rt
γ(kd(s)k)ds,
∀t ≥ t0 ≥ 0, x0 ∈ Rn , d(t) ∈ Rm
t0
Beispiel:
γ(kdk) = kdk2
Definition (iISS-Lyapunov-Funktion). V ∈ C 1 mit α(kxk) ≤ V (t, x) ≤ α(kxk), ∀t ≥ 0, x ∈ Rn ,
α, α ∈ K∞ , heißt iISS-Lyapunov-Funktion für das System Σ, wenn
d
V
dt
(t, x) ≤ −ν(kxk) + ∆(kdk),
∀t ≥ 0, x ∈ Rn , d ∈ Rm
mit ∆ ∈ K∞ , ν : R≥0 → R≥0 positiv definit.
R T
Fachgebiet
Regelungstechnik
◭ ◮
(Σ)
ẋ(t) = f (t, x(t), d(t)),
x(t0 ) = x0
µ(kx(t, x0 , t0 , d)k) ≤ β(kx0 k, t − t0 ) +
Rt
γ(kd(s)k)ds,
∀t ≥ t0 ≥ 0, x0 ∈ Rn , d(t) ∈ Rm
t0
Beispiel:
γ(kdk) = kdk2
Definition (iISS-Lyapunov-Funktion). V ∈ C 1 mit α(kxk) ≤ V (t, x) ≤ α(kxk), ∀t ≥ 0, x ∈ Rn ,
α, α ∈ K∞ , heißt iISS-Lyapunov-Funktion für das System Σ, wenn
d
V
dt
(t, x) ≤ −ν(kxk) + ∆(kdk),
∀t ≥ 0, x ∈ Rn , d ∈ Rm
mit ∆ ∈ K∞ , ν : R≥0 → R≥0 positiv definit.
Folglich ist der Ursprung asymptotisch stabil, wenn das System Σ iISS und d ≡ 0.
R T
Fachgebiet
Regelungstechnik
◭ ◮
Lemma. [Mazenc, Malisoff, de Queiroz] Gibt es eine iISS-Lyapunov-Funktion für System Σ,
dann ist es iISS.
R T
Fachgebiet
Regelungstechnik
◭ ◮
dann ist es iISS.
Wann ist der Regelkreis unter H∞ -optimaler Regelung iISS?
Ansatz:
Wir verwenden V als Kandidaten für eine iISS-Lyapunov-Funktion
Sei V Lösung der (HJIU)
γ2 + 2
1
1 + 2
(d ) + y 2 ≤ 0
Vt + Ve a − (eu ) +
2
2
2
R T
Fachgebiet
Regelungstechnik
◭ ◮
dann ist es iISS.
Ansatz:
γ2 + 2
1
1 + 2
(d ) + y 2 ≤ 0
Vt + Ve a − (eu ) +
2
2
2
Umformungen zeigen dann, daß gilt
V̇ (t, e) ≤ Vt + Ve a −
Wir wählen also:
R T
Fachgebiet
Regelungstechnik
∆(kdk) =
◭ ◮
2
(e+
u)
γ2 + 2
γ2 2
+
(d ) +
d
2
2
γ2 2
d
2
dann ist es iISS.
Ansatz:
γ2 + 2
1
1 + 2
(d ) + y 2 ≤ 0
Vt + Ve a − (eu ) +
2
2
2
Umformungen zeigen dann, daß gilt
V̇ (t, e) ≤ Vt + Ve a −
Wir wählen also:
∆(kdk) =
2
(e+
u)
γ2 + 2
γ2 2
+
(d ) +
d
2
2
γ2 2
d
2
Man muß also zeigen, daß ν(kek) existiert so, daß
Vt + Ve a −
R T
Fachgebiet
Regelungstechnik
◭ ◮
2
(e+
u)
γ2 + 2
+
(d ) ≤ −ν(kek) < 0
2
Theorem (H∞ -optimale Regelung und iISS im geschlossenen Regelkreis).
Gegeben sei das um den Lastschätzer erweiterte System
ė = a(t, e) + b(t, e) eu + g d(t)
y = cT e
mit a(t, e), b(t, e), g und c, d.h. mit Matrizen RT = R ≥ 0 und M T = M > 0, wie oben.
Zudem sei γ > 0 eine obere Schranke der L2 -Verstärkung der Störung d nach (eu , y)T .
Ist R positiv definit mit kleinstem Eigenwert λmin und existieren k, α, l so, daß
1
l2
k2
kλmin − −
−
≥ 0,
2
4α
2γ 2
dann ist
V (t, e) = V (e) =
mit
1 T
e P e,
2
0
kM
P =@
0
0
1
e ∈ Rn+1
1
A
eine Lösung der HJIU und eine iISS-Lyapunov-Funktion des geschlossenen Regelkreises.
R T
Fachgebiet
Regelungstechnik
◭ ◮
Folgeregelung für die Winkelgeschwindigkeit
i u=1
RL
E
L
u=0
Leistungsteil
ia
Rm
C
G
v
8
< L di = −v u − R i + E
L
dt
: C dv = i u − G v − ia
dt
generator load
S1 S2
motor
Lm
Bm
Ke ω
J1
ω
Km ia , τl
Lastteil
8
<L
:
dia
m dt
J dω
dt
J2
Erweiterte Fehlerdynamik
1 0
0 1
0
1
A(t) ex
b̃(t, ex )
d @ex A
A
@
@
A eu + g d(t)
=
+
dt
−l y − α τ̂d
τ̂d
0
|
| {z }
{z
} |
{z
}
A =: eA
=: a(t, e)
=: b(t, e)
mit Fehlerkoordinaten ex und Abweichung y = ω − ω ⋆ als Regelgröße.
R T
Fachgebiet
Regelungstechnik
◭ ◮
rot = Referenz
blau = Messung
R T
Fachgebiet
Regelungstechnik
◭ ◮
4. SMART GRID I — Flexible-AC-Transmission-Systems (FACTS)
einige Aspekte von FACTS:
Static Synchronous Compensator (STATCOM):
Frequenzunabhängige Kompensation induktiver oder kapazitiver Blindleistung
Thyristor Controlled Series Capacitors (TCSC):
Steuerbare Kapazitäten zur Dämpfung elektromagnetischer Schwingungen an
Verbindungspunkten von Übertragungssystemen
Unified Power Flow Controller (UPFC):
Leistungsflußregelung per Formung der Blind- & Wirkleistung in Hochspannungsnetzen
R T
Fachgebiet
Regelungstechnik
◭ ◮
4. SMART GRID II — High Voltage DC transmission (HVDC)
Vorteile:
weniger Verluste, kein Skin-Effekt
weniger Leitungen nötig, mehr Leistung
bei bereits bestehenden Freileitungen
höhere Übertragungsleistungen
(blindleistungsfrei)
unterseekabeltauglich
Wegfall der Synchronisation
R T
Fachgebiet
Regelungstechnik
◭ ◮
Vorteile:
Herausforderung:
Wandelung von AC-DC bzw. DC-AC an den Leitungsenden so effizient wie möglich
R T
Fachgebiet
Regelungstechnik
◭ ◮
Vorteile:
Quelle: Siemens AG
Herausforderung:
Wandelung von AC-DC bzw. DC-AC an den Leitungsenden so effizient wie möglich
Beispiel:
5GW bipolare HVDC-Strecke zwischen Yunnan und Guangdong (1500km)
2 % Transportverluste (pro 1000 Kilometer)
1,5 % Verluste in den Umrichterstationen
Kostenreduktion bei Erhöhung des Wirkungsgrads um 0,15%:
R T
Fachgebiet
Regelungstechnik
◭ ◮
ca. 3 Mio. Euro pro Jahr!
5. Zusammenfassung
Leistungselektronische Systeme sind methodisch interesseant ...
R T
Fachgebiet
Regelungstechnik
◭ ◮
5. Zusammenfassung
technisch interessante Systemausgänge nichtminimalphasig
R T
Fachgebiet
Regelungstechnik
◭ ◮
5. Zusammenfassung
praxisrelevante Topologien mitunter nicht zustandslinarisierbar
R T
Fachgebiet
Regelungstechnik
◭ ◮
5. Zusammenfassung
Stellbegrenzungen systemtypisch
R T
Fachgebiet
Regelungstechnik
◭ ◮
5. Zusammenfassung
nichtlineare Modelle: schaltend, bilinear quasikontinuierlich, Netzwerke
R T
Fachgebiet
Regelungstechnik
◭ ◮
5. Zusammenfassung
hohe Anforderungen an robuste Perfomance
R T
Fachgebiet
Regelungstechnik
◭ ◮
5. Zusammenfassung
hohe Anforderungen an robuste Perfomance
Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!
R T
Fachgebiet
Regelungstechnik
◭ ◮

Leistungselektronische Systeme

Transcription

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