Mantelfläche des Kegelstumpfs

Mantelfläche des Kegels
M
Für den Umfang des Bodenkreises B gilt u = 2r.
Dies ist auch die Länge des Bogens der Mantelfläche.
Ergänzt man die Mantelfläche zum Vollkreis, so hat
dieser den Umfang u’ = 2s.
Der Anteil des Kreisausschnitts M am Vollkreis ist demnach
u 2r r


u' 2 s s
r
r
Infolgedessen ist   360 und M  s 2   rs .
s
s
h
r
B
(s² ist der Flächeninhalt des gedachten Vollkreises.)
Mantelfläche des Kegelstumpfs
s
u
u
r
s
B


r1
 t 2  s'2
(1)
t
Wegen s’ = t - s und s’2 = (t - s)2 = t2 - 2st + s2,
läßt sich in (1) s’2 ersetzen:
r
M  1 t 2  s' 2 
t
M


s’
t
r2
r
M  1 t 2  ( t 2  2st  s 2 )
t
M

M
Für den Mantel des Kegelstumpfes gilt analog mit modifizierten
Bezeichnungen (siehe dritte Skizze), daß der Anteil des Netzes an
einem kompletten Kreisring r1 beträgt. Es ist somit
t
r1
M
t 2  s' 2
t
s
h
r1
2st  s 2 
t
r1

s2 
M  r1  2s 

t 

s

M  r1 s 2  
t 

t
Teilt man s = t - s’ durch t, erhält man
Nach dem 2. Strahlensatz gilt:
Daraus folgt
s
(2)
s
s'
 1 .
t
t
s' r2
 .
t r1
s
r2
 1  , und man kann in (2) ersetzen:
t
r1



s
r2  
r2 

M  r1s 2    r1 s 2  1     r1 s1    r1 s  r2 s  s r1  r 2 

t
r1  
r1 



M  s r1  r2 
© Arndt Brünner, http://www.arndt-bruenner.de/mathe
s’
M
