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Fisicoquímica Molecular Básica – CCBG – DETEMA 2008 Tema 5: POSTULADOS Y PRINCIPIOS GENERALES DE LA MECÁNICA CUÁNTICA SOLUCIONES Ejercicio 1 a) ; (0,∞) . ∞ 0 . lim lim La función no es cuadráticamente integrable ⇒ No es aceptable como función de onda. b) ; (0, ∞) . sinh . sinh 2 2 4 . lim 1 8 ∞ 0 1 8 1 24 1 8 1 8 1 24 lim . ∞ 0 . 2 . 4 1 8 . 1 8 1 24 . . . ∞ 0 1 24 lim 1 8 1 8 1 24 ⇒ Es aceptable como función de onda. c) . cos . cos ; (0,∞) . . cos . 1 Fisicoquímica Molecular Básica – CCBG – DETEMA . cos 4 4 2 cos 2 sin ∞ 0 4 cos 16 2 cos 2 sin ∞ 0 2 16 . cos 16 lim 1 8 1 16 2 cos 2008 2 1 . 2 1 8 2 sin . 4 ∞ 0 1 16 lim 1 16 3 16 Es aceptable como función de onda. d) ; (0, ∞) . ∞ ∞ 1 2 . lim No es cuadráticamente integrable onda. 1 2 lim 1 2 No es aceptable como función de Ejercicio 2 / 4 / 4 . 1 . 4 2 / . . . . . . . 2 1 . / . 4 2 4 / . . . / . . . 2 Fisicoquímica Molecular Básica – CCBG – DETEMA 2 / 2 . . 2 . 2.16 π / .e . 32 π / . . 2 . . dx 2 32 lim / 2 . 2008 / 32 lim 2 . ∞ ∞ . e / . 0 ⇒ Ambas funciones son ortonormales entre sí. . / 4 . 2 1 . . 2 1 2 2 1 2 . 1 . . . / . . 4 . / . / . 2 / . 4 / 1 4 1 2 . 1 . 1 2 . . . . / . 2 . / . 2 . . . 3 Fisicoquímica Molecular Básica – CCBG – DETEMA • 2008 El primer término dentro del paréntesis corresponde a la integral de una función impar ⇒ su integral entre ±∞ es 0. • El segundo término dentro del paréntesis corresponde a la integral de la función resuelta más arriba (en este mismo ejercicio), también igual a 0. ⇒ Ambas funciones son ortonormales. Ejercicio 3 2 Consideramos y 2 . sin sin , 2 . . sin sin . 2 . 2 sin sin . . sin . Se lleva a cabo un cambio de variable: Límites de integración: . sin . sin 2 sin 1 cos 2 0 . sin . 0 . 1 cos 2 4 Fisicoquímica Molecular Básica – CCBG – DETEMA 2008 Así: 2 . 1 1 sin 0 sin cos 1 cos 2 1 . 1 cos 1 cos 2 . . 1 sin 2 . 1 sin 0 0 0 0 0 ( Ambas funciones son ortonormales. Ejercicio 4 a) ES dependiente del tiempo: Ψ , Ψ , , 2 Ψ , Se considera una función potencial independiente del tiempo: Ψ , Ψ , 2 Ψ , Se buscan soluciones que se puedan expresar como Ψ , 5 Fisicoquímica Molecular Básica – CCBG – DETEMA 2008 Ψ , Ψ , ψ Sustituyendo: 2 Dividiendo entre : 1 1 2 Ambos miembros de la ecuación deben ser dependientes tanto de como de . Como la parte izquierda de la igualdad es independiente de , y el lado derecho es independiente de , ambos lados deben ser iguales a una constante, a la que llamaremos . Así, considerando el miembro derecho de la igualdad: 1 2 ES independiente del tiempo. b) Considerando el miembro izquierdo de la igualdad: 1 6 Fisicoquímica Molecular Básica – CCBG – DETEMA 2008 . ln La constante puede ser incluida en la expresión de , por lo que se puede expresar: Ejercicio 5 Densidad de probabilidad: |Ψ |Ψ , | , | e Ψ , . .Ψ , e . . . . | . |Ψ , | | | | Ejercicio 6 a) Siendo una función propia del operador , se cumple que: (siendo a el valor propio de la función asociado al operador). 7 Fisicoquímica Molecular Básica – CCBG – DETEMA 2008 b) Multiplicando la primera ecuación a la izquierda por . . e integrando: . . Tomando la compleja conjugada de la segunda ecuación, e integrando: multiplicando por . . . . Restando ambas ecuaciones: . Como ⇒ . es hermítico, . . . . 0 0 ⇒ . 0 ⇒ Ambas funciones son ortogonales. Ejercicio 7 8 Fisicoquímica Molecular Básica – CCBG – DETEMA 2008 sin Si es hermítico, verifica que . ♦ . . . . . sin 2 sin 2 sin 2 2 ♦ . sin 1 sin 2 . sin sin 2 . sin 2 sin . sin 2 2 sin 2 . sin . . . 9 Fisicoquímica Molecular Básica – CCBG – DETEMA ⇒ El operador 2008 es hermítico. Ejercicio 8 a) ̂ . ̂ . . . Integrando: ln . . . . . b) . ̂. . . ̂ . . . ̂. . . . Utilizando la fórmula de integración por partes: . . . . y definiendo y Se obtiene . Como y . . . ∞ ∞ . . son funciones bien comportadas, se anulan cuando ∞ (sino, no serían cuadráticamente integrables). 10 Fisicoquímica Molecular Básica – CCBG – DETEMA 2008 . . El operador ̂ es un operador hermítico. Ejercicio 9 a) x ; ; b) ̂ ̂ ̂ – ̂ 11