Exercices 12

Exercices de révision
ÉCS2
–
Informatique
Lycée Henri Poincaré
✷
✷
12.31
✷
12.30
12.28
✷
12.29
12.27
12.26
12.25
12.24
12.23
✷
12.22
✷
✷
12.21
12.20
12.18
12.17
12.16
12.15
12.14
12.13
12.12
12.11
12.10
12.9
12.8
12.7
12.6
12.5
12.4
✷
✷
✷
✷
✷
✷
✷
✷
✷
✷
✷
✷
✷
✷
✷
✷
Analyse
Développements limités
ou asymptotiques
Extremums
Rolle & accroissements finis
Formules de Taylor
Intégrales impropres
Limites et prolongements
Séries & sommes
Suites
Probabilités
Corrélation linéaire
Estimateurs et convergence
Indépendance et conditionnement
Inégalités
Variables discrètes
Variables à densité
12.3
✷
12.19
Algèbre
Dénombrements
Diagonalisation de matrices
Inégalité de Cauchy-Schwarz
Meilleure approximation
Orthogonalité
Polynômes
Produit scalaire
Projection orthogonale
Réduction d’endomorphismes
12.2
12.1
Index des thèmes abordés.
✷
✷
✷
✷
✷
✷
✷
✷
✷
✷
✷
✷
✷
✷
✷
✷
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✷
✷
1/11
✷
✷
✷
✷
✷
●❏
Exercices de révision
ÉCS2
Exercice 12.1 Minoration du coefficient d’aplatissement d’une variable aléatoire.
Pour une variable aléatoire X possédant des moments jusqu’à l’ordre 4, on appelle
κυρτ oσις (kurtosis dans la littérature matheuse anglo-saxonne)
ou coefficient d’aplatisse
E (X − E(X))4
µ4 (X)
=
.
ment de X le nombre δ(X) =
µ2 (X)2
V(X)2
1. Soit a < b avec éventuellement a = −∞ et/ou b = +∞.
Soit X une variable aléatoire dont une densité ϕ est continue et ne s’annule pas sur
l’intervalle ] a ; b [, et vaut 0 sur R\ ] a ; b [. Ainsi X(Ω) = ] a ; b [.
On suppose que X possède des moments au moins jusqu’à l’ordre 4.
Z b
a) Justifier que : h., .i : (f, g) 7→ hf, gi =
f (t)g(t)ϕ(t)dt est un produit scalaire sur
l’espace vectoriel R2 [X].
2.
a
b) Montrer que δ(X) > 1.
Soit maintenant une variable aléatoire discrète telle que X(Ω) = N.
On suppose que X possède des moments au moins jusqu’à l’ordre 4.
+∞
X
Justifier que : h., .i : (f, g) 7→ hf, gi =
f (k)g(k)P(X = k) est un produit scalaire
k=0
3.
2
c) Déterminer pour quel couple (a, b) de réels X2 − (aX + b) est minimale.
d) En déduire les réels a et b tels que E (Y2 − (aY + b))2 soit minimale.
e) Quelle conclusion peut-on en tirer ?
Exercice 12.3 D’après EDHEC 2001 S - Autour des séries.
Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on pose :
1
un = n
.
X
2
k
k=1
On se propose de montrer que la série de terme général un converge et de calculer sa
somme.
On pose, pour tout entier n supérieur ou égal à 1 :
n
X
1
vn =
et wn = vn − ln(n).
k
k=1
1.
2.
sur l’espace vectoriel R2 [X] et établir que δ(X) > 1.
Y a-t-il des variables aléatoires telles que δ(X) = 1 ? Si oui, lesquelles ?
Écrire une fonction en Scliab d’argument n et calculant vn .
Z k
dt
En comparant vn aux intégrales Ik =
(k ∈ N∗ ), montrer que
t
1
vn ∼ ln(n).
n→+∞
Exercice 12.2 Étude de la non-corrélation linéaire d’une variable gaussienne centrée
réduite et de son carré.
Soit Y suivant une loi normale centrée réduite.
1. Petit calcul préalable.
Vérifier que Y2 suit la loi Γ(2; 1/2) et en déduire, pour k ∈ [[0 ; 3]], la valeur des
Z +∞ k
2
t
√ e−t /2 dt.
intégrales Ik =
2π
−∞
2. Non-corrélation linéaire de Y et Y2 .
Montrer que ρ(Y, Y2 ) = 0.
3. Meilleure approximation affine de Y2 par aY + b.
Pour préciser les éventuels liens affines entre Y2 et Y, on décide de mesurer l’écart
entre Y2 et aY + b par l’écart quadratique moyen défini par : E (Y2 − (aY + b))2 .
L’objectif de cette question est de déterminer pour quelles valeurs des réels a et b
cet écart est minimal.
Z +∞
P(t)Q(t) −t2 /2
√
a) Soit E = R2 [X]. Montrer que hP, Qi =
e
dt définit un produit
2π
−∞
scalaire sur E.
b) Déterminer une base orthonormale de F = R1 [X].
–
3.a) Justifier que : ∀x ∈ ] 0 ; +∞ [ ,
∗
ln(x) 6 x − 1.
b) Montrer que : ∀n ∈ N , wn − wn+1 > 0.
x
c) Déterminer le développement limité à l’ordre 2, au voisinage de 0, de ln(1+x)−
.
1+x
1
1
.
d) En déduire que, au voisinage de +∞ : wn − wn+1 = 2 + o
2n
n2
4.a) Montrer que la série de terme général wn − wn+1 est convergente.
5.
b) En déduire que la suite (wn ) converge. On note γ sa limite.
Montrer que la série de terme général un converge.
6.a) Déterminer les réels a, b et c tels que pour tout n de N∗ , un =
∗
b) Montrer que : ∀n ∈ N ,
n
X
k=1
c) En déduire que : ∀n ∈ N∗ ,
7.
a
b
c
+
+
.
n n + 1 2n + 1
1
1
= v2n+1 − vn − 1.
2k + 1
2
n
X
k=1
uk = 24(vn − v2n+1 ) + 24 −
En utilisant la convergence de la suite (wn ), calculer
+∞
X
6n
.
n+1
un en fonction de ln 2.
n=1
Lycée Henri Poincaré
2/11
●❏
Exercices de révision
ÉCS2
Exercice 12.4 Limites et prolongements de classe C1 .
Montrer que chacune des fonctions suivantes, définies que ] 0 ; +∞ [, est prolongeable par
continuité en 0 et étudier si ce prolongement par continuité est de classe C1 sur [ 0 ; +∞ [.
1. f : ] 0 ; +∞ [ −→ R, x 7−→ x ln(x) ;
2. g : ] 0 ; +∞ [ −→ R, x 7−→ 2x2 ln(x) − x2 ;
1
1
− ;
3. h : ] 0 ; +∞ [ −→ R, x 7−→ x
e −1 x
cos(x) − 1
4. j : ] 0 ; +∞ [ −→ R, x 7−→
;
x
Exercice 12.5 Développements asymptotiques.
n
X
Pour tout entier naturel non nul n, on pose un =
k!.
Exercice 12.8 Polynômes : racines et divisibilité, étude d’un endomorphisme.
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2.
Sur Rn [X], on définit l’application ϕ par :
ϕ : P 7→ nP − (X + 1)P′ .
1.
2.
3.
1.
2.
k=1
1.
Établir que : un
2.
Montrer que :
∼
n→+∞
n!.
1
1
un
=1+ + 2 +o
n!
n n
1
.
n2
b) Montrer que les (λi )16i6k sont racines de P, préciser leur multiplicité pour P.
c) En déduire que k = 1, puis qu’il existe (α, λ) ∈ C × C tels que P = α(X − λ)m .
3. Soit (α, λ, m) ∈ C × C × N∗ . Montrer que le polynôme P = α(X − λ)m est divisible
par le polynôme P′ .
4. Conclure.
1.
2.
admet une unique solution réelle positive.
On note un cette solution.
Montrer que, pour tout naturel non nul n, ln(n) 6 un 6 n.
Écrire une fonction en Scilab d’argument n et ε et calculant une valeur approchée
de un à moins de ε près par dichotomie.
En déduire un équivalent de un lorsque n tend vers +∞.
pour tout entier naturel non nul n.
Exprimer explicitement eun en fonction de
n, 1
1
.
En déduire : un = ln(n) + ln 2 − 2 + o
4n
n2
Lycée Henri Poincaré
Partie III. Étude de l’endomorphisme ϕ.
Pour k ∈ [[0 ; n]], calculer ϕ(Xk ) et vérifier que ϕ est un endomorphisme de Rn [X].
Montrer que Imϕ = Rn−1 [X]. Quel est le rang de ϕ ? Est-il un automorphisme ?
b) Dans cette sous-question, on suppose que λ est une valeur propre de ϕ distincte de
n. Soit P un vecteur propre unitaire de ϕ associé à λ.
Montrer que P′ divise P puis que P = (X + 1)n−λ .
Quelles sont les valeurs possibles de λ ?
ex + e−x
=n
2
6.
Partie II. Les polynômes divisibles par leur polynôme dérivé.
Justifier qu’un polynôme constant non nul n’est pas divisible par son polynôme dérivé
et qu’un polynôme de degré un est divisible par son polynôme dérivé.
Soit maintenant un polynôme quelconque P non constant de degré m avec m > 2.
On suppose que P est divisible par son polynôme dérivé P′ .
Soit k le nombre de racine(s) complexe(s) de P′ . On note λ1 , λ2 , . . . , λk les k racines
complexes distinctes de P′ en appelant m1 , m2 , . . . , mk leur multiplicité respective.
3.a) Montrer que n est une valeur propre de ϕ et déterminer le sous-espace propre En .
Exercice 12.7 Développement asymptotique d’une suite définie implicitement.
1. Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, l’équation
4.
5.
Partie I. Cas particulier n=3.
Dans le cas n = 3, écrire la matrice représentant ϕ dans la base canonique.
ϕ est-il diagonalisable ? Est-il un automorphisme ?
Écrire les vecteurs propres de ϕ sous forme factorisée.
a) Justifier que 1 6 k 6 m − 1. Que vaut m1 + m2 + · · · + mk ?
Exercice 12.6 Développements asymptotiques, interprétation graphique.
Soit, pour x > 0, f (x) = x ln(x + 1) − (x + 1) ln(x).
1. Montrer que f (x) ∼ − ln(x).
x→+∞
1
1
1
2. Montrer que, en +∞, f (x) = − ln(x) + 1 −
.
+ 2 +o
2x 3x
x2
3. Décrire la position relative des courbes d’équation y = f (x) et y = − ln(x) + 1 quand
x tend vers +∞.
2.
3.
–
4.a) Montrer finalement que Sp(ϕ) = [[0 ; n]] et préciser les sous-espaces propres de ϕ.
b) ϕ est-il diagonalisable ? Que vaut ker ϕ ?
1.
Partie IV. Étude matricielle de l’endomorphisme ϕ.
Écrire la matrice M de ϕ relativement à la base B = (1, X, . . . , Xn ) de Rn [X].
2.a) Retrouver le rang de ϕ, ainsi que ses valeurs propres.
3/11
b) Peut-on en déduire la diagonalisabilité de ϕ ?
c) M est-elle inversible ?
●❏
Exercices de révision
ÉCS2
Exercice 12.9 Deux à deux ou mutuellement ?
On lance deux fois de suite une pièce équilibrée et on définit les événements
☞ F : « le premier lancer donne “face” » ; ☞P : « le second lancer donne “pile” » ;
☞ I : « les deux lancers donne un coté identique ».
1. Étudier si les événements F, P et I sont deux à deux indépendants puis s’ils sont
mutuellement indépendants.
2. Étudier si les événements F, P et I sont deux à deux incompatibles puis s’ils sont
incompatibles dans leur ensemble.
Exercice 12.10 Autour de l’indépendance.
Je dispose d’une pièce juste et d’une pièce truquée pour laquelle probabilité d’obtenir face
est p avec 0 < p < 12 . Je choisis une des pièces au hasard, puis je la lance n fois de suite
avec n > 2. Soit J et Fn les événements « la pièce est juste » et « j’obtiens au face nème
lancer » (respectivement).
1.a) Les événements F1 et F2 sont-ils indépendants ?
2.
b) Déterminer P(J), PF1 (J) et PF1 ∩F2 (J).
Je pose : pn = PF1 ∩F2 ∩···∩Fn (J).
a) Calculer pn et étudier la variation de suite (pn )n>1 .
b) Déterminer lim pn . Est-ce moral ?
n→+∞
Exercice 12.11 Autour du conditionnement.
M. G, mon voisin de gauche, a deux enfants dont le plus jeune est un garçon. M. D, mon
voisin de droite, a aussi deux enfants dont l’un (au moins) est un garçon.
Pour chacun de mes voisins, déterminer la probabilité qu’il ait aussi une fille. On suppose
qu’il n’y a pas de jumeaux et que, pour chaque enfant, il y a équiprobabilité qu’il soit une
fille ou un garçon.
Exercice 12.12 Quasi-impossible.
Une urne contient initialement une boule rouge et une boule bleue. On procède à des
tirages successifs suivant le protocole :
☞ si on obtient une boule bleue, on la replace dans l’urne et on ajoute une autre boule
bleue dans l’urne issue d’un stock annexe inépuisable (ou presque) ;
☞ si on obtient la boule rouge, on interrompt les tirages.
Soit T le nombre de total tirages effectués, on convient que T = 0 si le jeu ne s’arrête pas.
1.a) Soit, pour tout k de N∗ , Ak l’événement (T > k). A l’aide de la formule des probabilités composées, déterminer la probabilité de An pour n dans N∗ .
b) En déduire la loi de T.
Lycée Henri Poincaré
–
c) Justifier que [T = 0] = ∪ ∗ [T = n] et en déduire P [T = 0] puis P(T = 0).
n∈N
2.
En remarquant que [T = 0] = ∩ ∗ An , retrouver P(T = 0) à l’aide de la propriété
n∈N
de continuité monotone.
3. Que simule l’algorithme suivant ? Sommes-nous sûrs que cet algorithme s’arrêtera ?
function b=mystere()
b=1
while rand()<(b/(b+1)) then
b=b+1
end
endfunction
Exercice 12.13 Premier succès dans un tirage sans remise.
Une urne contient exactement une boule blanche et n (n > 1) boules noires. On tire successivement et sans remise des boules de l’urne jusqu’à obtention de la boule blanche. On
note X le nombre total de boules tirées. Déterminer la loi de X.
Exercice 12.14 Sauts de puce.
Une puce se déplace sur une règle graduée en sautant d’une unité soit vers la gauche (vers
les abscisses négatives), soit vers la droite. On suppose qu’à chaque saut, la probabilité de
saut vers la gauche est p avec 0 < p < 1 et est indépendante des autres. Soit :
☞ Gn (resp. Dn ) le nombre de saut(s) effectué(s) vers la gauche (resp. vers la droite)
à l’issue du nème saut ;
☞ Xn l’abscisse de la position de la puce l’issue du nème saut.
1. Déterminer les lois de Gn et Dn .
2. Déterminer la loi du couple (Gn , Dn ) puis le coefficient de corrélation de Gn et Dn .
3. Exprimer Xn à l’aide de Gn et Dn , puis en déduire son espérance et sa variance.
4. Exprimer Xn en fonction de n et de Gn et retrouver E(Xn ) et V(Xn ).
5. Écrire en Scilab une fonction d’arguments n et p simulant Xn .
Exercice 12.15 Tirages successifs à trois issues possibles.
Une urne contient des boules de couleur pivoine en proportion p, des boules de couleur
quetsche en proportion q et des boules rose en proportion r, de sorte que p + q + r = 1.
On suppose p, q et r tous non nuls. On effectue des tirages avec remise et on note P (resp.
Q et R) le rang d’apparition de la première boule pivoine (resp. quetsche et rose).
1. Donner les lois de P, Q et R.
2. On note P1 (resp. Q1 et R1 ) l’événement « la première boule tirée est pivoine (resp.
quetsche et rose). On note X la longueur de la première série monochrome : par
exemple, le tirage quetsche puis quetsche puis rose donne X = 2.
Montrer que la loi de X conditionnée par P1 est géométrique et en déduire E(X).
4/11
●❏
Exercices de révision
ÉCS2
Autrement dit, P et ses n premières dérivées coïncident avec f et ses n premières
dérivées en x0 .
(k)
i!
(X − a)i−k .
1. Soit a ∈ R, i ∈ N et k ∈ [[0 ; i]]. Montrer que (X − a)i
=
(i − k)!
d
X
ai Xi .
2. Soit P un tel polynôme (s’il existe). On pose : Q(X) = P(X + x0 ) =
Exercice 12.16 Fonction définie par une intégrale et intégrale impropre.
Z 2x u
e

du si x 6= 0
.
Soit la fonction G : R −→ R, x 7−→
u
 x
ln 2
si x = 0
1. Vérifier que G est bien définie sur R.
2.a) Montrer que : ∀x ∈ ] 0 ; +∞ [ , ex ln 2 6 G(x) 6 e2x ln 2.
b) Montrer que : ∀x ∈ ] −∞ ; 0 [ , e2x ln 2 6 G(x) 6 ex ln 2.
c) En déduire que G est continue sur R et déterminer lim G(x) et lim G(x).
x→−∞
i=0
x→+∞
3.
3.a) Montrer que G est dérivable sur R∗ et calculer G′ (x) pour x dans R∗ .
b) Montrer que G est de classe C1 sur R et préciser G′ (0).
Z 0 x x
e (e − 1)
déf.
dx.
4. Déduire de ce qui précède la convergence et la valeur de I =
x
−∞
4.
5.
Exercice 12.17 Interpolation polynomiale.
Position du problème : Pour une fonction f : [ a ; b ] → R donnée, on cherche un polynôme
P "s’approchant le plus possible" de f . Deux questions se posent :
✬ Qu’entend-on par "s’approcher le plus possible" de f ?
✬ Sommes-nous en mesure de préciser la performance de cette approximation, c’està-dire d’estimer ou de majorer l’erreur commise en remplaçant f par son polynôme
approximateur P ?
On peut répondre de multiples façons. Chaque réponse débouche sur une méthode différente, qui peut très bien faire l’objet d’un exercice de concours. Passons en revue ces
différentes réponses du point de vue général, puis en l’illustrant sur un l’exemple de la
fonction :
1
.
f : [ −1 ; 1 ] −→ R, t 7−→
1 + t2
Pour cela, vous répondrez aux questions préliminaires suivantes :
1. Quelle est la classe de dérivabilité de f ?
24(t − t3 )
.
2. Montrer que : ∀t ∈ [ −1 ; 1 ] , f (3) (t) =
(1 + t2 )4
2
3. Démontrer que : ∀t ∈ [ −1 ; 1 ] , t − t3 6 .
5
48
.
4. En déduire que : ∀t ∈ [ −1 ; 1 ] , f (3) (t) 6
5
Partie I. Les polynômes de Brook Taylor (1685 - 1731).
On suppose ici que f est n fois dérivable (au moins) et on choisit un point x0 dans
[a; b]. On cherche alors un polynôme P tel que :
1.
Montrer que : ∀k ∈ [[0 ; n]] , Q(k) (0) = f (k) (x0 )
En déduire la valeur de ak pour k dans [[0 ; n]].
Montrer qu’il existe un unique polynôme P de degré au plus n vérifiant les n + 1
égalités (T). On exprimera P comme polynôme en (X − x0 ).
Que constate-t-on ?
A l’aide de quelle inégalité peut-on majorer l’écart P − f ?
Sur l’exemple - Déterminer
x0 = 0 et n = 2.
P, en prenant
Donner un majorant de P(t) − f (t) pour t parcourant [−1; 1].
Partie II. L’interpolation de Joseph Louis Lagrange(1736 - 1813).
On choisit n + 1 points x0 < x1 < · · · < xn dans [a; b]. On cherche alors P tel que :
P(x0 ) = f (x0 ), P(x1 ) = f (x1 ), P(x2 ) = f (x2 ), . . . , P(xn ) = f (xn ) (L).
Autrement dit, P coïncide avec f en chacun des n + 1 points x0 , x1 , . . . , xn .
Sur l’exemple
a) Déterminer un polynôme P0 de degré 2 tel que P0 (−1) = 1 et P0 (0) = P0 (1) = 0, puis
deux polynômes P1 et P2 tels que P1 (0) = 1 et P1 (−1) = P1 (1) = 0, et P2 (1) = 1 et
P2 (−1) = P2 (0) = 0.
b) Soit Q = f (−1)P0 + f (0)P1 + f (1)P2 . Que valent Q(−1), Q(0) et Q(1) ?
c) Montrer qu’il n’existe pas d’autre polynôme R dans R2 [X] tel que
∀x ∈ {−1, 0, 1}, R(x) = f (x).
2. Généralisation - On construit n + 1 polynômes (Lj )nj=0 tels que :
(
1 si i = j
2
∀(i, j) ∈ [[0 ; n]] , Lj (xi ) = δi,j =
(∗)
0 si i 6= j
Y
Il suffit de poser (à méditer ! ! ! !) : ∀j ∈ [[0 ; n]] , Lj (X) =
P(x0 ) = f (x0 ), P′ (x0 ) = f ′ (x0 ), P(2) (x0 ) = f (2) (x0 ), . . . , P(n) (x0 ) = f (n) (x0 ) (T).
Lycée Henri Poincaré
–
5/11
06k6n et k6=j
X − xk
.
xj − xk
a) Vérifier que les polynômes (Lj ) satisfont (∗). Quel est le degré de chacun des Lj ?
n
b) Montrer que (Lj )j=0 est une base de Rn [X], appelée base de Lagrange.
c) Soit Q un polynôme quelconque de Rn [X]. Exprimer Q dans la base (Lj )nj=0 .
d) En déduire qu’il existe un unique polynôme Pn dans Rn [X] vérifiant (L), appelé
polynôme interpolateur de Lagrange.
●❏
Exercices de révision
ÉCS2
Onpeut montrer
que, si f est de classe Cn+1 (au moins) sur [a; b] et M un majorant
(n+1)
sur [a; b], alors
de f
M |(t − x0 )(t − x1 ) . . . (t − xn )|
.
∀t ∈ [ a ; b ] , f (t) − Pn (t) 6
(n + 1)!
3. Sur l’exemple - Proposer une majoration de l’écart entre P2 et f sur [ −1 ; 1 ].
Partie III. Meilleure approximation en norme euclidienne (Hilbert).
On choisit sur l’espace vectoriel des fonctions continues sur [a; b] un produit scalaire
et on projette f orthogonalement sur Rn [X]. On obtient ainsi un polynôme de Rn [X] qui
réalise la meilleure approximation en norme euclidienne de f .
Z
Sur ce graphique apparaissent les courbes de
1
1.
2.
–
f (t)g(t)dt.
Sur l’exemple - Appliquons cette méthode avec n = 2 et hf, gi =
−1
i j
Calculer X , X pour tout couple (i, j) de {0, 1, 2}2 et en déduire une base orthonormale de R2 [X].
45 − 15π 2 6π − 15
Montrer que pR2 [X] (f ) =
X +
.
4
4
Partie IV. Illustration graphique.
Exemples d’approximations polynomiales
☞ la fonction
f : R −→ R, x 7−→
☞ le polynôme de Taylor à l’ordre 2 en 0
PTaylor : R −→ R, x 7−→ 1 − x2 ;
☞ le polynôme d’interpolation de Lagrange aux points −1, 0 et 1
PLagrange : R −→ R, x 7−→ 1 −
1.0
x2
;
2
☞ le polynôme de meilleure approximation en norme euclidienne de degré 2
PHilbert : R −→ R, x 7−→
pour la norme ||g|| =
y
1
;
1 + x2
Z
1
45 − 15π 2 6π − 15
x +
4
4
g(x)2 dx.
−1
Pour achever l’analyse, zoom
0.9
0.8
ons au voisinage de (0; 1).
Exemples d’approximations polynomiales
y
1.0000
0.7
0.9939
0.6
0.9878
0.5
0.9816
0.9755
0.4
0.9694
0.3
0.9633
0.2
0.9572
0.9510
0.1
x
0.9449
−1.20
−0.96
−0.72
−0.48
Fonction f
Taylor d’ordre 2
Lagrange en −1, 0 et 1
Lycée Henri Poincaré
−0.24
0.0
0.00
0.24
0.48
0.72
0.96
1.20
Approximation en norme euclidienne (degré 2)
x
0.9388
Fonction f
Taylor d’ordre 2
Lagrange en −1, 0 et 1
6/11
Approximation en norme euclidienne (degré 2)
●❏
Exercices de révision
ÉCS2
–
Exercice 12.18 Extrema et extrema sous contrainte(s) linéaire(s).
Étudier l’existence d’extremums pour la fonction f définie sur R3 par
f (x, y, z) = 3x2 − 2y 2 − z 2
dans les cas suivants :
1. Sans contrainte ;
2. Sous la contrainte linéaire x −(y + z = 7 ;
x−y+z =3
3. Sous les contraintes linéaires
.
x + y + 3z = −1
Exercice 12.20 Étude d’un endomorphisme dans un espace euclidien.
Soit n un entier au moins égal à 3. On travaille dans l’espace E = Rn muni de son produit
scalaire canonique. Soit deux vecteurs a et b formant une famille orthonormale. On définit
sur E l’application f par :
∀x ∈ E, f (x) = ha, xi b − hb, xi a.
1. Vérifier que f est un endomorphisme de E.
Exercice 12.19 Extremums d’une fonction de n variables.
n
Soit n un entier supérieur ou égal à 2. Sur le domaine
D
=
]
0
;
+∞
[
, on considère la
! n
!
n
X 1
X
xi
fonction f définie par : f (x1 , . . . , xn ) =
.
x
i=1 i
i=1
L’objectif de l’exercice est de déterminer les extremums locaux de f sur D.
1. À l’aide du calcul différentiel.
a) Justifier que f est de classe C2 sur D.
3.
2.a) Déterminer Kerf .
b) En déduire Imf et en donner une base.
déf.
b) Montrer que l’ensemble des points critiques de f est C = {(a, . . . , a), a ∈ ] 0 ; +∞ [}.
c) Soit a ∈ ] 0 ; +∞ [ et A le point critique A = (a, . . . , a).
On note In la matrice unité de Mn (R), Jn la matrice de Mn (R) dont tous les coefficients valent 1 et Hn la matrice nIn − Jn .
2
Montrer que la matrice Hessienne de f en a est 2 Hn .
a
d) Calculer J2n , puis (Hn − nIn )Hn . En déduire les valeurs propres de Hn .
e) La forme quadratique qA associée à la Hessienne de f en A permet-elle de savoir si
f présente un extremum en A ?
2. À l’aide d’une fonction auxiliaire.
X xi
xj
+ n.
+
a) Montrer que, pour (x1 , . . . , xn ) ∈ D, on a : f (x1 , . . . , xn ) =
xj
xi
c) Justifier que Kerf et Imf sont supplémentaires.
Montrer que : ∀(x, y) ∈ E2 , hf (x), yi = − hx, f (y)i.
On dit que f est antisymétrique.
4. Déterminer les valeurs propres réelles de f . f est-il diagonalisable dans R ?
5. Montrer que f ◦ f est symétrique.
6. On note M la matrice représentant f dans la base canonique de Rn , ainsi que A et
B les colonnes représentant a et b. Calculer M × (A + iB) et M × (A − iB), et en
déduire que M est diagonalisable dans Mn (C).
Exercice 12.21 Trois estimateurs d’une probabilité liée à une loi de Poisson.
Soit (Xi )16i6n un n-échantillon d’une variable X suivant une loi de Poisson P(λ). On
cherche un estimateur de e−λ , probabilité que X soit nulle.
n
X
Sn
Xi , Xn =
1. On pose : Sn =
et Zn = e−Xn .
n
i=1
a) Montrer que Xn est un estimateur sans biais et convergent de λ.
b) Montrer que Zn est un estimateur asymptotiquement sans biais de e−λ .
c) Montrer que E(Z2n ) tend vers e−2λ lorsque n tend vers +∞.
2.
16i<j6n
1
b) Étudier les variations de g : ] 0 ; +∞ [ → R, x 7→ x +
et en déduire que f est
x
2
minorée par n sur D.
c) Ce minorant est-il le minimum de f sur D ?
Si oui, préciser en quels points de D il est atteint.
3. À l’aide de l’inégalité de Cauchy-Schwarz.
a) En utilisant le produit scalaire canonique de Rn , donner un minorant de f sur D.
b) Ce minorant est-il le minimum de f sur D ? Si oui, préciser en quels points de D il
est atteint.
Lycée Henri Poincaré
d) Zn est-il un estimateur convergent de e−λ ?
Pour chaque i ∈ [[1 ; n]], on définit Yi par
Yi = 1 si Xi = 0 et Yi = 0 sinon.
n
X
Yi pour le n-échantillon ?
a) Que représente Rn =
i=1
Rn
b) Soit Tn =
. Montrer que Tn est un estimateur sans biais et convergent de e−λ .
n
S
1 n
est un estimateur sans biais de e−λ .
3.a) Montrer que Un = 1 −
n
b) Un est-il un estimateur convergent ?
4. Comparer ces trois estimateurs.
7/11
●❏
Exercices de révision
ÉCS2
Exercice 12.22 Développement asymptotique du reste des séries de Riemann.
Soit α un réel positif. On définit g sur [ 1 ; +∞ [ par
1
∀x > 1,
g(x) = α .
x
1.a) Rappeler le théorème de comparaison série/intégrale.
b) Quelle propriété retrouve-t-on en l’appliquant à la fonction g ?
On suppose jusqu’à la fin de l’exercice que α ∈ ] 1 ; +∞ [.
On pose, pour tout n de N∗ ,
n
+∞
+∞
X
X
X
1
1
1
déf.
déf.
déf.
Sn (α) =
,
S(α)
=
et
R
(α)
=
.
n
kα
kα
kα
k=1
k=1
k=n
On prendra garde au fait que, contrairement à l’usage courant pour le reste d’une
série, la somme Rn (α) commence à n et non n + 1.
2. Écrire un programme en Scilab demandant n et α et affichant Sn (α).
3.a) Montrer que, pour tout entier k > 2,
Z k+1
Z k
g(x)dx 6 g(k) 6
g(x)dx.
k
Lycée Henri Poincaré
Exercice 12.23 Norme sous-multiplicative (d’après ECRICOME 2007).
Soit n > 2 et E = Mn (R). On rappelle qu’on note Tr(A) la somme des coefficients
diagonaux de la matrice A, et que Tr vérifie, pour toutes A et B de Mn (R) et tout λ réel,
Tr( t A) = Tr(A), Tr(λA + B) = λTr(A) + Tr(B) et Tr(AB) = Tr(BA).
On pose, pour A et B dans E,
hA, Bi = Tr( t A.B).
1. Vérifier que h., .i est bien un produit scalaire sur Mn (R).
2. Soit A et B deux matrices de Mn (R). Le but de cette question est de montrer que :
||AB|| 6 ||A|| ||B|| .
a) Justifier qu’il existe une matrice orthogonale P et une matrice diagonale D dans
Mn (R) telles que D = t P( t AA)P.
On notera λi pour 1 6 i 6 n les coefficients diagonaux de D.
b) Soit λ une valeur propre de t AA et X un vecteur propre associé à λ. En calculant
t t
X AAX de deux manières, montrer que λ > 0.
c) On pose S = t PB t BP = (sij )16i,j6n . Monter quelle
2
2
2
||A|| = Tr(D), ||B|| = Tr(S) et ||AB|| = Tr(SD).
n
X
λi sii .
d) Vérifier que Tr(SD) =
k−1
b) En déduire, pour
n > 1, l’encadrement
1
1
1
1
1−
1 − α−1 + 1.
6 Sn (α) 6
α−1
(n + 1)α−1
α−1
n
c) En déduire un encadrement de S(α).
4.a) Montrer à l’aide de 3.a), pour n > 1, l’encadrement
1
1
1
1
6 Rn (α) 6
.
×
×
α − 1 nα−1
α − 1 (n − 1)α−1
1
1
1
b) En déduire
Rn (α) =
.
× α−1 + o
n→+∞ nα−1
α−1 n
5. Soit f la fonction définie sur [ 0 ; +∞ [ par
1
.
∀x > 1, f (x) =
(1 − α)xα−1
a) À l’aide de la formule de Taylor avec reste intégral à l’ordre 2, montrer que, pour
1
α
1
tout k > 1,
f (k + 1) = f (k) + α − × α+1 + Ik ,
k
2
k
α(α + 1)
.
avec 0 6 Ik 6
2 × k α+2
1
b) En isolant α dans l’expression précédente, montrer que
k
1
1
1
1
.
Rn (α) =
× α−1 + α + o
n→+∞ nα
α−1 n
2n
6. Écrire un programme en Scilab demandant n et α et affichant une valeur approchée
de Rn (α).
–
i=1
2
e) On note Ei le ième vecteur de la base canonique de Mn,1 (R).Montrer que || t BPEi || =
t
Ei SEi et en déduire que sii > 0.
f ) Conclure.
Exercice 12.24 Une caractérisation des projecteurs orthogonaux.
1. Soit E l’espace euclidien canonique Rn et f l’endomorphisme canoniquement associé
1
à la matrice M de Mn (R) dont tous les coefficients valent .
n
a) Soit x = (x1 , ..., xn ) un vecteur de E. Montrer que : ||f (x)|| 6 ||x||.
2.
b) Montrer que f est un projecteur orthogonal.
Soit maintenant E un espace euclidien quelconque et p un projecteur de E.
a) On suppose Kerp et Imp orthogonaux. Montrer que pour tout x de E, ||p(x)|| 6 ||x||.
b) On suppose Kerp et Imp non orthogonaux. Montrer qu’il existe x dans E tel que
||p(x)|| > ||x||.
||p(x)||
= 1.
c) En déduire que p est un projecteur orthogonal si, et seulement si, sup
x6=0 ||x||
3. Vrai ou faux ?
En France métropolitaine, je peux toujours me débrouiller pour que mon ombre soit
plus grande que moi (de jour, par temps dégagé et sur un terrain plat et sans obstacle,
évidemment !)
8/11
●❏
Exercices de révision
ÉCS2
Exercice 12.25 Paradoxe du bus et processus poissonnien.
Dans cet exercice, on étudie certaines propriétés des processus Poissonniens.
λ désigne un réel de ] 0 ; +∞ [.
On étudie ici une ligne de bus pour laquelle on suppose que le temps T séparant le passage
entre deux bus suit une loi exponentielle de paramètre λ et est indépendant des temps de
passage précédents.
Plus précisément,
☞ La ligne de bus est mise en service à l’instant t = 0 ;
☞ pour k ∈ N∗ , Tk désigne le temps écoulé entre le passage du (k − 1)ème et du k ème bus,
T1 désignant l’heure de passage du premier bus ;
i
X
☞ pour i ∈ N∗ , Ui =
Tk est ainsi l’heure de passage du ième bus ;
b) En déduire la loi de S et son espérance.
c) Le temps moyen d’attente du passager est-il réellement en contradiction avec la
cadence de 6 bus par heure ?
3. Pour poursuivre son analyse, le passager s’intéresse au temps écoulé entre le passage
du dernier bus avant t0 et t0 . On note ∆ ce temps, en convenant que ∆ = t0 s’il n’est
passé aucun bus avant l’instant t0 .
a) On suppose Nt0 = 0. Que vaut ∆ ?
b) En déduire l’espérance conditionnelle E ∆|[Nt0 = 0]
1 − e−λs
.
1 − e−λt0
d) En déduire la loi conditionnelle de ∆ conditionnée par l’événement (Nt0 > 1).
e) En déduire l’espérance conditionnelle E ∆|[Nt0 > 1] .
c) Soit s ∈ ] 0 ; t0 [. Montrer que P(Nt0 >1) (∆ 6 s) =
k=1
☞ pour t ∈ [ 0 ; +∞ [, Nt désigne le nombre de bus passés entre les instants 0 et t.
Les hypothèses de la modélisation sont :
pour tout i ∈ N∗ , Ti ֒→ E (λ) et les variables (Ti )i>1 sont mutuellement
indépendantes.
1.a) Rappeler, pour i ∈ N∗ , la loi de Ui .
b) Soit t ∈ ] 0 ; +∞ [ et k ∈ N∗ . Comparer les événements [Nt > k] et [Uk 6 t] et en
déduire que Nt suit la loi de Poisson P(λt).
2
2. Soit k ∈ N∗ et (t, x) ∈ ] 0 ; +∞ [ . Montrer que P[Tk >t] (Tk 6 t + x) = P(Tk 6 x).
Cette dernière relation s’appelle « absence de mémoire » : elle montre que, même si
le bus précédent est parti depuis t minutes, la probabilité que le prochain passe dans
les x minutes suivantes est la même que si le précédent venait de partir.
On admet alors dans la suite que le nombre de bus passant entre les instants t et
t + s ne dépend que de la durée s. Concrètement, on utilisera
pour tout t > 0 et s > 0, Nt+s − Nt ֒→ P(λs)
Partie II. Le paradoxe du bus.
On suppose qu’il passe en moyenne 6 bus par heure et on utilise la minute comme
1
.
unité de temps. Justifier que λ =
10
Un passager probabiliste a remarqué que, bien que le temps moyen annoncé entre le
passage de deux bus consécutifs est de 10 minutes, son temps d’attente à l’arrêt est
souvent plus élevé que 5 minutes, et de l’ordre de 10 en moyenne. Il se demande s’il
doit porter une réclamation et décide d’étudier la question.
Soit t0 (t0 ∈ ] 0 ; +∞ [) l’instant d’arrivée du passager à l’arrêt de bus.
2.a) Soit S le temps d’attente avant le passage du premier bus après t0 . Soit x ∈ ] 0 ; +∞ [.
Exprimer l’événement [S 6 x] à l’aide des variables Nt0 +x et Nt0 .
Lycée Henri Poincaré
1 − e−λt0
.
λ
4. Vérifier que E(∆ + S) > E(T). En quoi est-ce paradoxal ?
Partie III. Simulation de la loi de Poisson.
Soit (Xi )i∈N∗ une suite de variables indépendantes et toutes de loi uniforme sur
n
X
− ln Xi .
] 0 ; 1 [. Pour tout n de N∗ , on pose : Zn =
f ) Montrer finalement que E(∆) =
Partie I. Absence de mémoire.
1.
–
1.
2.
3.
i=1
Donner, pour i ∈ N∗ , la loi de − ln Xi et en déduire la loi de Zn .
Pour n dans N∗ , on note Fn la fonction de répartition de Zn . Établir, pour tout
xn
x ∈ [ 0 ; +∞ [,
Fn+1 (x) = − e−x + Fn (x).
n!
Soit λ > 0. On définit la variable X de la façon suivante :
☞ si Z1 > λ, alors X = 0 ;
☞ si Z1 < λ et Z2 > λ, alors X = 1 ;
☞ ...
☞ si Zn < λ et Zn+1 > λ, alors X = n ;
☞ ...
Ainsi, X est le plus grand des entiers i tels que Zi 6 λ.
a) Expliquer pourquoi
Z1 < Z2 < ... < Zn−1 < Zn < Zn+1 < ...
b) En déduire que X suit une loi de Poisson en précisant son paramètre.
4. Que simule l’algorithme suivant ?
function n=simul(lambda)
n=0; p=rand(); a=exp(-lambda);
while p > a then
p=p*rand(); n=n+1
end
endfunction
9/11
●❏
ÉCS2
Exercices de révision
Exercice 12.26 Autour du triangle de Pascal.
Partie I. Calculs de sommes dans le triangle arithmétique de Pascal.
1. Sommes suivant les lignes.
On désigne par E la partie entière et on pose pour tout n de N,
E(n/2) E(n/2) n X
X
X
n
n
n
Sn =
, Pn =
et In =
.
k
2k
2k + 1
k=0
k=0
k=0
Calculer ces sommes à l’aide de la formule du binôme.
2. Sommes suivant les colonnes et les diagonales descendantes. Soit 0 6 n 6 p.
p X
k
k+1
k
k
p+1
Exprimer
à l’aide de
et
et en déduire
=
.
n
n+1
n+1
n
n+1
k=n
3. Diagonales montantes. On rappelle la définition de la suite de Fibonacci :
F0 = 0, F1 = 1 et ∀n ∈ N, Fn+2 = Fn+1 + Fn .
√
1+ 5
1
(le « nombre d’or »).
a) Établir : ∀n ∈ N, Fn = √ (Φn − (−Φ)−n ), où Φ =
2
5
n−1
X n − 1 − i
b) On pose σ0 = 0, et, pour tout n de N, σn =
.
i
i=0
Montrer que : ∀n ∈ N, σn+2 = σn+1 + σn . En déduire σn pour tout n de N.
Partie II. Une matrice « pascalienne ».
Soit n ∈ N∗ . On considère la matrice P ∈ Mn+1 (R)
de coefficients
j−1
∀(i, j) ∈ [[1 ; n + 1]] ,
pi,j =
.
i−1
1. Soit B la base canonique de Rn [X] et C = (1, X + 1, (X + 1)2 , . . . , (X + 1)n )
a) Justifier que P est la matrice de passage de B à C.
b) Pour (j, k) dans N2 , calculer (Xk )(j) , et en déduire P−1 grâce à la formule de Taylor.
2. On considère l’endomorphisme ϕ : Rn [X] → Rn [X], P(X) 7→ P(X + 1).
a) Montrer que ϕ est un automorphisme et expliciter son automorphisme réciproque.
b) Déterminer MB (ϕ) et retrouver alors P−1 .
Exercice 12.27 Dénombrement des dérangements.
Pour tout n de N∗ , on note En l’ensemble [[1 ; n]]. On appelle dérangement de En toute
permutation de En sans point fixe. Autrement dit, σ est un dérangement de En si
σ : En → En est une bijection telle que : ∀e ∈ En , σ(e) 6= e.
On note dn le nombre de dérangements de En et on convient que d0 = 1.
1.a) Que valent d1 , d2 et d3 ?
b) Soit n ∈ N∗ et δ une permutation de En+1 .
i. Combien de choix a-t-on pour δ(1) pour que δ soit un dérangement de En+1 ?
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–
On suppose, jusqu’à la fin de cette question, que m = δ(1) avec m 6= 1.
ii. Justifier qu’il y a exactement dn−1 dérangements δ tels que δ(m) = 1.
iii. On suppose que δ(m) 6= 1 et on définit la permutation σ de En+1 par :
σ(1) = m, σ(m) = 1 et ∀i ∈ E\{1; m}, σ(i) = i.
Montrer que δ est un dérangement de En+1 si, et seulement si, σ ◦ δ réalise un
dérangement de [[2 ; n + 1]].
iv. En déduire le nombre de dérangements δ tels que δ(m) 6= 1.
c) Montrer que la suite (dn ) est complètement définie par
d0 = 1, d1 = 0 et ∀n ∈ N∗ dn+1 = n(dn + dn−1 ).
d) En déduire d4 et d5 .
2. Montrer que : ∀n ∈ N, dn+1 = (n + 1)dn + (−1)n+1 .
Z
1 1 n t
e
.
3.a) Pour tout n de N, soit In =
t e dt. Montrer que : ∀n ∈ N, 0 6 In 6
n! 0
(n + 1)!
b) Calculer I0 , puis exprimer, pour tout entier naturel n, In+1 en fonction de In .
e
.
c) En déduire que : In ∼
n→+∞ (n + 1)!
4.a) Montrer que : ∀n ∈ N, edn = n![1 + (−1)n In ].
n! 1
b) Montrer alors que : ∀n ∈ N, dn −
.
6
e n+1
c) Vérifier que cette dernière inégalité détermine parfaitement dn pour n > 2,
5.a) Écrire une fonction en Scilab prenant pour argument l’entier naturel n et calculant
dn en utilisant 1).
b) Même question en utilisant la relation établie dans le question 2).
c) Même question en utilisant la relation établie dans le question 4.c).
Exercice 12.28 Dénombrement des partitions.
Pour n de N∗ , on note En l’ensemble [[1 ; n]]. Une partition de En est un ensemble
{A1 , A2 , . . . , Ap } de parties non vides de E, deux à deux disjointes, dont la réunion vaut
En . On note πn le nombre de partitions possibles de E, en convenant que π0 = 1.
1. Que valent π1 , π2 et π3 ?
2. En considérant le cardinal de la partie qui contient l’élément 1, montrer que :
n n X
X
n
n
∀n ∈ N, πn+1 =
πn−k , puis πn+1 =
πk .
k
k
k=0
k=0
3. En déduire, en raisonnant par récurrence sur n,
+∞ n
X
i
.
∀n ∈ N,
πn = e−1
i!
i=0
4. Soit X une v.a.r suivant la loi P(1). Que valent ses moments d’ordre 3 à 5 ?
10/11
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Exercices de révision
ÉCS2
Exercice 12.29 Égalité et inégalité des accroissements finis
1. Soit k ∈ N∗ .
a) Justifier qu’il existe c ∈ ] k ; k + 1 [ tel que
Exercice 12.31 Intervalles de confiance
U désigne une variable gaussienne centrée réduite et α un réel de ] 0 ; 1 [.
1. Justifier l’existence d’un unique réel tα strictement positif tel que
1
= ln(k + 1) − ln(k).
c
P(|U| 6 tα ) = 1 − α.
2.
b) En déduire que
2.
3.
1
1
6 ln(k + 1) − ln(k) 6 .
k+1
k
Retrouver l’encadrement précédent à l’aide de l’inégalité des accroissements finis.
En déduire
n
X
1
k
k=1
∼
n→+∞
∗
b) Justifier que Xn suit une loi normale centrée réduite.
ln(n).
3.
c) En déduire un intervalle de confiance de niveau de confiance 1 − α pour µ.
Intervalle de confiance (simplement) asymptotique
Soit (Xi )16i6n un n-échantillon d’une variable de loi de Bernoulli B(p) (avec
p ∈ ] 0 ; 1 [).On souhaite estimer p.
Soit Xn la moyenne empirique de ce n-échantillon.
a) Justifier que Xn est un estimateur convergent de p.
∗
b) Justifier que Xn converge en loi vers U.
f (0) = f ′ (0) = f (a) = 0.
Représenter l’allure de la courbe Cf de f sur [ 0 ; a ].
On se propose de démontrer qu’il existe un point c de ] 0 ; a [ tel que la tangente à
Cf en c passe par l’origine du repère.
a) Tracer une telle tangente sur le dessin précédent.
b) Montrer que le problème posé revient à démontrer l’existence d’un réel c de ] 0 ; a [
tel que cf ′ (c) = f (c).
c) On considère la fonction g : ] 0 ; a ] → R définie par
c) En déduire un intervalle de confiance asymptotique de niveau de confiance au moins
1
1 − α pour p. On pourra utiliser la majoration p(1 − p) 6 après l’avoir justifiée.
4
4. Intervalle de confiance (doublement) asymptotique
Soit (Xi )16i6n un n-échantillon d’une variable de loi de PoissonP(λ) (avec λ ∈
] 0 ; +∞ [). On souhaite estimer λ.
Soit Xn la moyenne empirique de ce n-échantillon.
a) Justifier que Xn est un estimateur convergent de λ.
∗
b) Justifier que Xn converge en loi vers U.
√ Xn − λ
converge en loi vers U.
n p
Xn
d) En déduire un intervalle de confiance asymptotique de niveau de confiance 1 − α
pour λ.
f (x)
.
x
Montrer que g peut être prolongée par continuité en 0.
d) Conclure à l’aide du théorème de Rolle.
c) Justifier que
g(x) =
Lycée Henri Poincaré
Intervalle de confiance
Soit (Xi )16i6n un n-échantillon d’une variable de loi normale N µ; σ 2 .
On suppose σ connu et on souhaite estimer µ.
Soit Xn la moyenne empirique de ce n-échantillon.
a) Justifier que Xn est un estimateur convergent de µ.
Exercice 12.30 Théorème de Rolle
Soit f : [ 0 ; a ] → R dérivable, telle que
.
1.
2.
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