EXAMEN #2: CLAVE DEL PROFE! PARTE I: Ejercicios de respuesta

EXAMEN #2: CLAVE DEL PROFE!
PARTE I: Ejercicios de respuesta r´
apida y de computaci´
on.
1. Defina:
(a) Subgrupo normal
(2 pts)
Respuesta: Un subgrupo H de un grupo G se dice que es normal si g −1 Hg ⊆ H para
todo g en G.
Vea la lista de t´
opicos para el examen #2 (primer “item”).
(b) Grupo Cociente
(2 pts)
Respuesta: Suponga que G es un grupo y N es normal en G. El grupo cociente G/N est´
a
definido por G/N = {gN | g ∈ G} donde el producto est´a definido por
g1 N · g2 N = g1 g2 N.
Vea la lista de t´
opicos para el examen #2 (primer “item”).
(c) Ideal Maximal
(3 pts)
Respuesta: Suponga que R es un anillo e I un ideal de R. Decimos que I es un ideal
maximal de R si satisface lo siguiente: Si J es un ideal de R que satisface I ⊆ J, entonces
J =I ´
o J = R.
Vea la lista de t´
opicos para el examen #2 (primer “item”).
2. Enuncie el Tercer Teorema de Homomorfismo para Grupos.
(3 pts)
Respuesta: Suponga que ϕ : G → G0 es un epimorfismo de grupos con kernel K. Si N 0 G0 y
N = {a ∈ G | ϕ(a) ∈ N 0 }, entonces G/N ' G0 /N 0 . Equivalentemente,
G/N ' (G/K)/(N/K).
Vea la lista de t´
opicos para el examen #2 (tercer “item”).
3. Enuncie el Teorema de Correspondencia para Anillos.
(3 pts)
Respuesta: Suponga que ϕ : R → R0 es un epimorfismo de anillos con kernel K. Si I 0 es un
ideal de R0 , entonces sea I = {a ∈ R | ϕ(a) ∈ I 0 }. Entonces, I es un ideal de R, K ⊆ I e
I/K ' I 0 .
Vea la lista de t´
opicos para el examen #2 (tercer “item”).
4. Cierto o Falso. Explique su respuesta. No se otorgar´an puntos a respuestas sin explicaci´
on.
(a) Suponga que F es un grupo abeliano bajo + y F × un grupo bajo ×. Suponga que para
todo a, b, c ∈ F , tenemos
a(b + c) = ab + ac y (b + c)a = ba + ca.
Entonces F es un cuerpo.
(3 pts)
Respuesta: Falso. Esta es la definici´on de anillo de divisi´on. Observe que no se menciona
nada acerca de la conmutatividad de la operaci´on de multiplicaci´on.
(b) Todo cuerpo es un anillo de divisi´on.
(3 pts)
Respuesta: Super cierto! Un cuerpo es un anillo de divisi´on conmutativo.
1
(c) Z10 es un dominio integral.
(3 pts)
Respuesta: Falso. Note que 2 y 5 son distintos de cero en Z10 , pero su producto produce 0.
(d) Si ϕ : R1 → R2 es un epimorfismo de anillos y R1 tiene divisores de 0, entonces R2 tiene
divisores de 0.
(3 pts)
Respuesta: Vea la asignaci´
on #6, ejercicio 5.
PARTE II: Ejercicios computacionales
1. Haga lo siguiente:
(a) Enliste los elementos del subgrupo normal N = h2i en U21 . Encuentre U21 /h2i.
Soluci´
on: Observe que
h2i = {1, 2, 4, 8, 16, 11}.
Sabemos que U21 /h2i es el grupo de las clases laterales de h2i y por Lagrange sabemos
que existen
|U21 |/|h2i| = 12/6 = 2
de estas clases. Por lo tanto, las clases laterales est´an dadas por
h2i =
5h2i =
{1, 2, 4, 8, 16, 11}
{5, 10, 20, 19, 17, 13}.
Concluimos que U21 /h2i = {h2i, 5h2i}.
(b) Considere D6 = {e, r, r2 , r3 , r4 , r5 , t, rt, r2 t, r3 t, r4 t, r5 t} con r6 = t2 = e y tri = r6−i t.
Verifique que N = {e, r2 , r4 } es normal en D6 .
Soluci´
on Por Lagrange sabemos que existen
|D6 |/|N | = 12/3 = 4
´
clases laterales (tanto por la derecha como por la izquierda) de N . Estas
son
N
= {e, r2 , r4 }
rN
= {r, r3 , r5 } = N r
tN
= {t, r4 t, r2 t} = N t
rtN
= {rt, r5 t, r3 t} = N rt.
Concluimos que N es normal en D6 .
2. Considere el mapa can´
onico
ϕ : Z → Z18 .
(a) Encuentre el kernel de ϕ.
(5 pts)
(b) Encuentre los ideales de Z18 .
(5 pts)
(c) Encuentre los ideales en Z que corresponden a los ideales en Z18 .
(5 pts)
Respuesta: Compare este ejercicio con el ejercicio 7 de la asignaci´
on #6.
2
PARTE III: Ejercicios te´
oricos
1. Si ψ es un automorfismo de G y N G, entonces demuestre que ψ(N ) G.
(10 pts)
Demostraci´
on: Compare este ejercicio con el ejercicio 8 de la asignaci´
on #4.
2. Supponga que R es un anillo conmutativo y que a ∈ R \ {0} est´a fijo. El aniquilador de a est´
a
definido como
(10 pts)
Ann(a) = {r ∈ R | ra = 0}.
Demuestre que Ann(a) es un ideal de R.
Demostraci´
on: Note que 0 · a = 0, por lo tanto 0 ∈ Ann(a) y por consiguiente Ann(a) 6= ∅.
Suponga que m, n ∈ Ann(a). Entonces m · a = 0 y n · a = 0. Por lo tanto, 0 = m · a − n · a =
(m−n)a. Concluimos que m−n ∈ Ann(a). Suponga ahora que m ∈ Ann(a) y r ∈ R. Entonces
m · a = 0 y por lo tanto rm · a = r(m · a) = r · 0 = 0. Por lo tanto, rm ∈ Ann(a) y como R
es conmutativo, entonces no hace falta verificar la absorci´on por la derecha y concluimos que
Ann(a) es un ideal.
3. Suponga que p es un entero primo. Sin utilizar el hecho de que Zp es un cuerpo, demuestre
que (p) = pZ es un ideal maximal en Z.
(15 pts)
Demostraci´
on: Compare este ejercicio con el ejercicio 1 de la asignaci´
on #7.
√
√
4. Defina R = Z[ 2] = {a + b 2 | a, b ∈ Z}.
(a) Demuestre que R es un subanillo de R.
(7 pts)
Demostraci´
on: Compare este ejercicio con el ejercicio 3 de la asignaci´
on #6.
Observe que este ejercicio es incluso m´
as f´
acil que el de la asignaci´
on. M´
as
a´
un, este es el ejemplo 4 de la secci´
on 4.4, p´
agina 150.
√
(8 pts)
(b) Demuestre que I = {a + b 2 ∈ R | 5|a y 5|b} es un ideal de R.
Demostraci´
on: Secci´
on 4.4, ejemplo 4, p´
agina 150.
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