DM7 14-15

PCSI 2
DM 7 PHYSIQUE
I Moteur Diesel
16/04/2015
p
Dans le fonctionnement d’un moteur Diesel, tout se passe comme si un
B
C
système fermé constitué de n moles de gaz parfait diatomique décrivait le cycle
ABCD représenté sur le diagramme pression p, volume V de la figure cicontre.
• la partie AB du cycle correspond à une compression adiabatique
réversible du gaz,
D
• la partie BC correspond à une détente isobare irréversible du gaz se
produisant lors de la combustion du carburant,
• la partie CD correspond à une détente adiabatique réversible du gaz,
• enfin la partie DA correspond à un refroidissement isochore
A
V
O
irréversible du gaz.
Les pressions aux points A et B du cycle valent respectivement pA = 1,00.105 Pa et pB = 21,7.105 Pa.
Les températures aux points A et C du cycle valent respectivement TA = 300 K et TC = 2176 K.
Le volume du gaz au point A vaut VA = 2,49.10-3 m3.
On désigne par γ = cp/cV = 1,40 le rapport des capacités thermiques molaires à pression constante cp et à volume constant cV.
1) Calculer la température TB correspondant au point B du cycle.
2) Calculer la température TD correspondant au point D du cycle.
3) Calculer le transfert thermique Qc échangé entre le gaz et le milieu extérieur au cours de la phase de compression BC.
4) Calculer le transfert thermique Qf échangé entre le gaz et le milieu extérieur au cours de la phase de refroidissement DA.
5) Calculer le rendement η du moteur.
6) Le comparer à celui ηC d’un moteur décrivant de façon réversible un cycle de Carnot et fonctionnant entre deux sources de
températures égales à TA et TC.
II Etude d'un compresseur à deux étages
Au cours des diverses transformations, nous supposons que l'air décrit une suite continue d'états d'équilibre thermodynamiques
internes.
1) Un compresseur amène une mole de gaz parfait de l'état initial (P1, T1) à l'état (P2, T2) par une compression adiabatique. Le gaz
est ensuite refroidi de manière isobare de la température T2 à la température T1.
a) Représenter la suite des deux transformations dans un diagramme de Clapeyron où l'on fera figurer les deux isothermes
concernées.
γ −1
⎛ P ⎞ γ
b) Pour la suite, on posera a = ⎜ 2 ⎟ avec γ rapport des capacités thermiques à pression constante et à volume constant.
⎝ P1 ⎠
Déterminer la relation donnant T2 en fonction de a et de T1.
c) Etablir l'expression du travail total WT échangé par mole de gaz en fonction de R (constante des gaz parfaits), γ, T1 et a.
€
2) La compression précédente est maintenant réalisée en deux étapes. Dans le premier étage, on comprime de manière adiabatique
P
le gaz de la pression P1 à la pression P1' = b P1, avec b constante comprise entre 1 et 2 .
P1
A la sortie du premier étage, le gaz est refroidi de façon isobare jusqu'à la température T1, puis introduit et comprimé de manière
adiabatique de la pression P1' à la pression P2. Le gaz est enfin ramené à la température initiale T1 par un refroidissement isobare.
a) Quelle est l'expression du travail total WT' échangé par mole de gaz dans
€ la compression bi-étagée ?
(γ-1)/γ
Exprimer WT' en fonction de R, γ, T1, a et x = b
.
b) Comparer le travail WT' à celui, WT, obtenu dans la compression mono-étagée.
c) Quelle valeur faut-il donner à b pour que WT' soit minimal ? Quelle est la valeur Wm' correspondante de WT' ?
W '
d) Calculer le rapport m pour γ = 1,40, P1 = 1,00.105 Pa et P2 = 2,00.105 Pa.
WT
€
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III Mesures thermodynamiques
On rappelle que la variation d’enthalpie massique Δh d’un corps pur lors d’un changement d’état physique est aussi appelée « chaleur
latente de changement d’état » et notée L.
Afin d’éviter les confusions, on notera le temps t, la température absolue T et la température en degrés Celsius θ ; pour les
applications numériques : T = θ + 273,15.
1) Expressions du premier principe
a) Rappeler l’expression du premier principe de la thermodynamique, entre deux états d’équilibre quelconques d’un système
fermé globalement immobile dans le référentiel d’étude.
Expliquer très simplement la différence entre « travail » et « transfert thermique ».
b) On s’intéresse à des systèmes de variables d’état (P, V, T), pour lesquels le seul travail est celui des forces pressantes ; à
partir de l’expression précédente, démontrer la relation entre la variation d’enthalpie et le transfert thermique dans le cas
particulier de transformations isobares.
piston mobile
2) Calorimétrie adiabatique
Le système étudié, constitué de n moles d’air assimilé à un gaz parfait et
cuivre
d’une masse m de cuivre solide, est contenu dans un cylindre schématisé
Po
ext
ci-contre ; on précise que :
GP
cste
• le piston est mobile sans frottement, les autres parois sont fixes ;
(F)
• les éléments hachurés sont athermanes (i.e. imperméables aux
transferts thermiques), tandis que la paroi (F) permet ces
transferts.
Données :
- de Laplace du gaz : γ = 7/5 ; R = 8,314 J.K-1.mol-1 ; n = 1 mol ;
- capacité thermique massique du cuivre : c = 385 J.K-1.kg-1 ; m = 269 g ;
- Po est constante ; les valeurs de γ et de c sont ici indépendantes de la température.
a) Comment définit-on les capacités thermiques CV et CP d’un système thermodynamique ?
Simplifier ces expressions dans le cas d’un gaz parfait et établir dans ce cas les expressions des capacités molaires CV,M et CP,M
en fonction du coefficient γ et de la constante R des gaz parfaits.
b) La température extérieure étant restée longtemps égale à To, le fond (F) du cylindre est mis en contact avec une source (ou
thermostat) à la température T1 ; on laisse le système atteindre l’équilibre. Le volume V occupé par le gaz subit une diminution
relative de 5% à partir de la valeur initiale Vo. En déduire la température Celsius finale si θo = 27°C.
c) En fonction des températures et des données, exprimer la variation d’enthalpie du système lors de la transformation décrite
ci-dessus, sous la forme ΔH = C’ ΔT . Quelles propriétés essentielles de l’enthalpie utilise-t-on pour établir cette expression ?
d) En déduire l’expression du transfert thermique Q
algébriquement reçu par le système à travers (F).
Faire l’application numérique et interpréter son signe.
e) Exprimer et calculer la variation d’énergie interne ΔU du
système.
Interpréter la différence entre ΔU et ΔH dans le cadre du
premier principe.
3) Calorimètre à basse température
Sous pression atmosphérique, la température d'équilibre
liquide-gaz du diazote est Te = 77,4 K. Il est commode de
conserver l’azote liquide dans un « vase de Dewar », c’est-àdire un récipient bien isolé thermiquement (mais non
parfaitement) et communiquant avec l’atmosphère : le faible
apport d’énergie à travers le vase entretient la lente ébullition
du liquide qui s’évapore lentement. On dispose ainsi d’une
« source de froid » commode et économique.
a) Afin de mesurer la chaleur latente Lv de vaporisation de
l’azote sous pression constante, on place sur une balance
électronique un vase Dewar ouvert contenant de l’azote
liquide : la diminution de la masse M mesurée au cours du
temps traduit l’évaporation de l’azote.
Le mode opératoire est le suivant :
phase (1) : entre t = 0 et t = t1, on alimente une résistance
R plongée dans le calorimètre : tension U et intensité I
constantes ;
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phase (2) : le chauffage est coupé à t = t1 = 10 minutes.
La masse M mesurée en grammes est enregistrée à intervalles réguliers de t = 0 à t2 = 15 minutes (figure ci-contre : t en
secondes) ; on précise qu’à tout instant il reste de l’azote liquide dans le récipient.
Comment évolue la température du liquide supposé homogène ? Justifier.
b) Pourquoi la masse diminue-t-elle même en l’absence de chauffage ? Pourquoi est-il difficile de l’empêcher ?
c) Pour chaque phase de l’expérience, estimer la masse d’azote évaporé (m1 et m2). Calculer le rapport noté r des vitesses
d’évaporation (phase1 / phase2).
d) On désigne par PJ la puissance apportée par effet Joule et par P celle des autres transferts thermiques, puissances
algébriquement reçues par l’azote et supposées constantes. Etablir pour chaque phase de l’expérience une relation entre m1, m2,
Lv, PJ, P et les dates nécessaires.
e) En déduire une expression littérale de Lv indépendante de P, puis sa valeur numérique si U = 8,5 V et R = 10 Ω.
IV Equation de Van der Waals
a
) ( V - b ) = R T (équation dite de Van der Waals), dans
V2
laquelle R = 8,31 J.K-1.mol-1 est la constante des gaz parfaits, et a et b deux constantes caractéristiques du gaz.
a
Un tel gaz a pour fonction énergie interne : U(T, V) = Cv T + constante.
V€
Pour les applications numériques, on prendra (cas du dioxyde de carbone) : a = 0,36 J.mol-2.m-3 et b = 4,30.10-5 m3.mol-1.
Dans l'état initial, une mole de ce gaz occupe un volume V1 = 25,0.10-3 m3, sous la pression P1 = 1,00.105 Pa.
€
1) A quelle(s) condition(s) sur a et b le comportement d'un tel gaz se rapproche-t-il de celui d'un gaz parfait ?
2) Ce gaz subit une compression isotherme réversible depuis l'état (P1, V1) jusqu'à un volume V2 = V1/10. Calculer T, P2, le
travail reçu W et le transfert thermique reçu Q.
3) Comparer aux valeurs obtenues dans l'hypothèse d'un gaz parfait.
On considère un gaz non parfait, d'équation d'état pour une mole : ( P +
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