Correction - DM no6 - Site de la PSI du lycée Paul Eluard

Correction - DM no 6
Physique
Correction - DM no 6 - Electromagnétisme
1 Solénoïde infini
• Commençons par déterminer la directement du champ magnétique et les variables dont il
dépend.
D’après la symétrie du problème, on utilisera les coordonnées cylindriques d’axe z.
Invariances : La distribution étant invariante par rotation d’angle θ autour de l’axe z et
invariante par translation suivnat l’axe z car le solénoïde est infini, donc on en déduit que
le champ ne dépend ni de θ, ni de z.
Symétries : Choisissons un point M quelconque de l’espace.
→
→
Le plan (M, −
u x, −
u y ) est un plan de symétrie, donc le champ magnétique est perpendiculaire
→
à ce plan, et il est donc colénaire à −
u z en tout point de l’espace.
−
→
→
u
Finalement : B = B (r)−
z
z
• Afin de déterminer la norme du champ magnétique, appliquons tout d’abord le théorème
d’Ampère sur un premier contour C1 rectangulaire de hauteur h, à cheval sur la solénoïde
et orienté comme sur la figure ci-dessous :
h
C1
r
a
z
H −
→
→ −
Pour r < a : C1 B · d ℓ = Bz (0)h − Bz (r < a)h = µ0 Ienlacé = 0
On en déduit que le champ magnétique est uniforme à l’intérieur du solénoïde et vaut
−
→
→
B int = B0 −
u z.
H −
→
→ −
Pour r > a : C1 B · d ℓ = Bz (0)h − Bz (r > a)h = µ0 Ienlacé = µ0 nhI
On en déduit que le champ magnétique est également uniforme à l’extérieur du solénoïde
→
−
→
→
et vaut B ext = B0 −
u z − µ0 nI −
u z.
Cependant, le champ à l’extérieur du solénoïde ne peut prendre une valeur non nulle à
−
→
−
→
l’infini car cela imposerait une énergie infinie, donc B ext = 0 , et finalement :
{−
→
→
B int = µ0 nI −
uz
−
→
−
→
B ext = 0
2 Espace entre deux plans
1. Soit un point M quelconque. Étudions les propriétés des champs électrostatique et magnétostatique au point M .
a) Champ électrostatique
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1
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Physique
Tout plan passant par M et contenant le vecteur (O, ⃗uz ) est un plan de symétrie pour
la distribution de charge.
Comme le champ électrostatique est un vecteur polaire, il appartient, au point M , à
tout plan de symétrie passant par M .
On en déduit que le champ appartient à l’intersection des plans de symétrie passant
par M
−
→
E (M ) = E(M ) ⃗uz
b) Champ magnétostatique
Le plan passant par M et contenant les vecteurs ⃗ux et ⃗uz est un plan de symétrie
pour la distribution de courant.
Comme le champ magnétostatique est un vecteur axial, il est perpendiculaire, au
point M , à tout plan de symétrie passant par M .
On en déduit que le champ au point M est nécessairement suivant ⃗uy
−
→
B (M ) = B(M ) ⃗uy
Par ailleurs, les deux distributions sont invariantes par translation suivant les vecteurs ⃗ux
et ⃗uy . Les champs électrostatique et magnétostatique ne dépendent donc ni de x, ni de y.
Finalement, on trouve
−
→
E (M ) = E(z)⃗uz
et
−
→
B (M ) = B(z)⃗uy
2. Soit un point M appartenant au plan z = 0. Le plan z = 0 est un plan de symétrie pour
la distribution de charge comme pour la distribution de courant.
Le champ électrostatique étant un vecteur polaire, il appartient, au point M , à tout plan
−
→
de symétrie passant par M . Or la question précédente a montré que E = E⃗uz . En z = 0,
−
→
E est perpendiculaire à un plan de symétrie, ce qui n’est possible que si
−
→
→
−
E (z = 0) = 0
Le champ magnétostatique étant un vecteur axial, il est perpendiculaire, au point M , à
−
→
tout plan de symétrie passant par M . Or la question précédente a montré que B = B⃗uy .
−
→
En z = 0, B appartient à un plan de symétrie, ce qui n’est possible que si
−
→
→
−
B (z = 0) = 0
3. ⋆ Calcul du champ électrostatique
On cherche le champ électrostatique en un point M quelconque de l’espace de cote z.
Choisissons comme surface fermée Σ un cylindre droit, de section S, perpendiculaire
au plan z = 0 dont la face inférieure est dans le plan z = 0 et la face supérieure passe
par M (voir figure 1).
Le théorème de Gauss appliqué à Σ s’écrit
∫∫
−
→ Qint
−
→
⃝ E (M ) · dS =
ϵ0
Σ
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2
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Mais le flux sortant du champ à travers Σ se décompose en une somme des flux
sortants à travers la base inférieure Sinf , à la base supérieure Ssup et à la surface
latérale SL
∫∫
−
→
−
→
⃝ E (M ) · dS =
Σ
∫∫
Sinf
−
→
−
→
E (M ) · dS +
∫∫
Ssup
−
→
−
→
E (M ) · dS +
∫∫
SL
−
→
−
→
E (M ) · dS
Figure 1: Choix d’une surface de Gauss pour le calcul du champ électrostatique.
La normale étant sortante, on en déduit l’orientation des éléments de surface
−
→
Ssup ←→ dS = dS ⃗uz
−
→
Sinf ←→ dS = −dS ⃗uz
−
→
SL ←→ dS ⊥ ⃗uz
On en déduit
∫∫
−
→
−
→
⃝ E (M ) · dS = E(z)S − E(z = 0)S = E(z)S
car
E(z = 0) = 0
Σ
La charge intérieure contenue dans Σ vaut



 ρSz,
Qint =
si 0 < z <

a
a

 ρS , si < z.
2
a
;
2
2
On en déduit l’expression du théorème de Gauss


ρ


Sz,

a
si 0 < z < ;
ϵ
2
0
E(z)S =

a
a
ρ


S , si < z.

ϵ0 2
2
Le champ électrostatique vaut donc, pour z > 0,


ρz


,

E(z) =
ϵ0

ρa
a


, si < z.

2ϵ0
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si 0 < z <
3
a
;
2
2
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⋆ Calcul du champ magnétostatique
On cherche le champ magnétostatique en un point M quelconque de l’espace de cote
z.
Choisissons comme contour fermé C un rectangle orienté (voir figure 2) dont deux
côtés sont parallèles à ⃗uy et les deux autres parallèles à ⃗uz . Les deux côtés parallèles
à ⃗uy sont de longueur L, l’un étant dans le plan z = 0, l’autre passant par M .
Figure 2: Choix d’un contour d’Ampère pour le calcul du champ magnétostatique.
Le théorème de d’Ampère appliqué à C s’écrit
I
C
−
→
−
→
B (M ) · dℓ = µ0 Ienlacée
Mais
−
→
– la circulation du champ le long des côtés parralèles à ⃗uz est nulle car B = B⃗uy ⊥
−
→
dℓ = dz⃗uz ;
– la contribution du côté situé en z = 0 est nulle car B(z = 0) = 0.
Ainsi seule contribue la circulation du champ le long du côté passant par M .
On en déduit
I
−
→
−
→
B (M ) · dℓ = B(z)L
C
L’intensité des courants enlacés par C vaut



 −jLz,
Ienlacée =


si 0 < z <
a
2
 −jL , si
a
< z.
2
a
;
2
le signe négatif provenant du choix de l’orientation du contour. On en déduit le champ
magnétostatique, pour z > 0,
B(z) =



 −µ0 jz,

µ ja
a

 − 0 , si < z.
2
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si 0 < z <
4
a
;
2
2
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4. En choisissant une surface de Gauss Σ′ symétrique de la précédente par rapport à z = 0,
on trouve, pour z < 0


ρSz


,
 −
∫∫
a
si − < z < 0 ;
2
a
si z < − .
2
Qint
−
→
−
→
ϵ0
⃝ E (M ) · dS = −E(z)S =
=

′
ρSa
ϵ0
Σ


,

2ϵ0
Finalement, on trouve


ρz


,

E(z) =




a
si − < z < 0 ;
ϵ0
2
a
ρa
− , si z < − .
2ϵ0
2
On remarque que le champ électrostatique est symétrique par rapport au plan
z = 0 car
E(z) × (⃗uz ) = E(−z) ×
(−⃗uz )
| {z }
symétrique de ⃗uz
En choisissant un contour d’Ampère C ′ symétrique de C par rapport à z = 0, on trouve,
pour z < 0
I
C′
−
→
−
→
B (M ) · dℓ = B(z)L = µ0 Ienlacée =

a


 −µ0 jLz, si − < z < 0 ;

a

 µ0 jL ,
2
2
a
si z < − .
2
Finalement, on trouve
B(z) =

a


 −µ0 jz, si − < z < 0 ;

a

 µ0 j ,
2
2
a
si z < − .
2
On remarque que le champ magnétostatique est antisymétrique par rapport au
plan z = 0 car
B(z) × (⃗uy ) = −B(−z) ×
(⃗uy )
|{z}
symétrique de ⃗uy
5. On note E0 =
ρa
. La figure 3 (gauche) représente le graphe de E(z) en fonction de
2ϵ0
z/(a/2).
On note B0 =
z/(a/2).
µ0 ja
. La figure 3 (droite) représente le graphe de B(z) en fonction de
2
6. Globalement, le champ électrostatique diverge à partir des sources (charges) tandis que le
champ magnétostatique tourbillonne autour des sources (courants).
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1
1
E / E0
–3
–2
B / B0
0.5
–1
1
2
–3
3
–2
0.5
–1
1
2z/a
2
3
2z/a
–0.5
–0.5
–1
–1
Figure 3: Graphe de E(z)/E0 (gauche) et B(z)/B0 (droite) en fonction de z/(a/2). On note
µ0 ja
ρa
E0 =
et B0 =
.
2ϵ0
2
7. Un cylindre de section droite d’aire dSet de hauteur a contient une charge dq = ρadS =
σdS.
De même un rectangle de longueur dℓ dans la direction du plan z = 0 et de hauteur a
enlace un courant d’intensité dI = jadℓ = js dℓ.
La limite proposée décrit des distributions surfaciques
– de densité surfacique de charge σ = ρa
– de densité surfacique de courant js = ja
Dans la région z > 0
σ
σ
−
→
E (z) =
⃗uz =
⃗n
2ϵ0
2ϵ0
et
µ0 js
µ0 →
−
→
−
B (z) = −
⃗uy =
ȷ ∧ ⃗n
2
2 s
Le modèle de distribution volumique n’induit aucune discontinuité des champs. En revanche, la modélisation surfacique fait apparaître les discontinuités en z = 0
σ
−
→ +
−
→
E (0 ) − E (0− ) = ⃗n
ϵ0
et
− +
→
−
→
→
B (0 ) − B (0− ) = µ0 −
ȷs ∧ ⃗n
On retrouve les relations de passage à la traversée d’une surface chargée ou d’une nappe
de courant.
Ainsi, les discontinuités des champs ne sont pas des propriétés intrinsèques des champs mais
sont liées à la modélisation "caricaturale" de la distributions des charges et des courants.
3 Écrantage de Debye dans un plasma
1. Détermination du potentiel
a) Le potentiel électrostatique vérifie l’équation de Poisson
∆V +
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ρ
= 0 avec ρ = ρ+ + ρ−
ε0
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En utilisant l’expression du laplacien scalaire pour V qui ne dépend que de r, on a
]
1 d2
ρ0 [
−qV /kT
+qV /kT
(rV
)
+
exp
−
exp
=0
r dr2
ε0
L’équation différentielle vérifiée par le potentiel s’écrit
1 d2
2 ρ0
(rV ) −
sh
2
r dr
ε0
(
qV
kT
)
=0
b) Dans l’approximation qV ≪ kT , on a au premier ordre en x =
(
sh
qV
kT
)
=
qV
kT
qV
kT
et l’équation différentielle se réduit à
1 d2
2 ρ0 q
V =0
(rV ) −
2
r dr
ε0 kT
On pose
U (r) = rV (r) =⇒
On pose
d2 U 2 ρ0 q
U =0
−
dr2
ε0 kT
√
λ=
ε0 kT
2 ρ0 q
de sorte que l’équation différentielle s’écrive
d2 U
1
− 2U = 0
dr2
λ
λ est bien homogène à une longueur et les solutions de l’équation différentielle sont
de la forme
U (r) = A e+r/λ + B exp−r/λ =⇒ V (r) =
A +r/λ B −r/λ
e
+ e
r
r
où A et B sont des constantes d’intégration.
Le potentiel ne peut pas diverger quand r → ∞ ce qui impose B = 0.
Lorsque r → 0, le potentiel s’approche du potentiel créé par l’ion de charge q situé
en Oune charge ponctuelle :
V (r) ∼0
A
q
q
=
=⇒ A =
r
4πε0 r
4πε0
Finalement
V (r) =
q exp−r/λ
4πε0
r
La longueur de Debye λ est la distance caractéristique de décroissance du potentiel.
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c) On retrouve le potentiel créé par une charge ponctuelle de charge équivalente qeq =
q exp−r/λ : c’est un effet d’écran. Le potentiel décroît beaucoup plus vite qu’un potentiel coulombien. En effet, sous l’effet du champ électrique créé par l’ion, les électrons
s’accumulent au voisinage de l’ion, ce qui limite l’influence de la charge q sur des
distances de l’ordre de λ, longueur de Debye.
2. Détermination du champ électrique
Le champ électrique à une distance r de 0 vaut
dV
−−→
−
→
E = −grad V = −
⃗ur
dr
puisque V ne dépend que de r. On en déduit
[
−
→
E =
]
q
r
1+
exp−r/λ
2
4πε0 r
λ
Le champ électrostatique est aussi écranté.
−
→
E =





q
4πε0 r2

q


exp−r/λ

4πε0 rλ
si r ≪ λ (voisinage de l’ion)
si r ≫ λ (loin de l’ion)
3. Étude de la distribution de charge
a)
[
−qV /kT
ρ(r) = ρ+ + ρ− = ρ0 e
−e
+qV /kT
]
(
= −2ρ0 sh
qV
kT
)
Dans l’hypothèse qV ≪ kT , on a
ρ(r) = −2
ρ0 q 2 exp−r/λ
ρ0 q
V (r) = −2
kT
4πε0 kT
r
Mais
λ2 =
ε0 kT
q
⇒ ρ(r) = −
exp−r/λ
2ρ0 q
4πλ2 r
b) La charge contenue dans une sphère de rayon r centrée en O est constituée de la
charge de l’ion et des charges négatives qui l’entourent
∫∫∫
ρ(r′ )d3 V
Q(r) = q +
avec d3 V = r′ sin θ dr′ dθ dφ
2
boule
soit
Q(r) = q − 2ρ0
= q − 4π
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∫
(
r
r′ =0
∫
sh
qV
kT
(
r
r ′ =0
2ρ0 sh
8
)
′2
′
r dr ×
qV
kT
)
∫
π
θ=0
dθ ×
∫
2π
dφ
φ=0
r′ dr′
2
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Dans l’approximation qV ≪ kT , on a
Q(r) = q − 4π
∫
r
r ′ =0
q
q
′
exp−r /λ r′ dr′ = q − 2
2
4πλ
λ
∫
r
r ′ =0
′
exp−r /λ r′ dr′
En intégrant par parties, on trouve
Q(r) = q −




[
]r
q
′
−λ r′ exp−r /λ −
2
0
λ 

{z
}
|

−λr
∫
r
′
(−λ) exp−r /λ dr′
0
exp−r/λ
q {
[
′
−λr exp−r/λ +λ −λ exp−r /λ
= q−









]r }
0
λ2
]
q [
= q − 2 −λr exp−r/λ −λ2 exp−r/λ +λ2
λ
On en déduit
(
r
Q(r) = q 1 +
λ
Pour r → 0 :
)
exp−r/λ
Q(r) ∼0 = q
seul l’ion situé en r = 0 est présent.
Pour r → ∞ :
r→∞
Q(r) −−−→= 0
La distribution de charge est globalement neutre si l’on s’éloigne suffisamment de
l’ion central.
Entre ces deux limites, il doit y avoir une accumulation de charges négatives qui
compensent la charge +q située en O.
c) La densité volumique moyenne de charges dans une boule V de rayon r est définie
par
[
]
∫∫∫
1
′
3
ρ=
q+
ρ(r ) d V
V
V
où V =
4π 3
r est le volume de la boule V.
3
Avec
ρ(r′ ) = −
q
′
exp−r /λ
2
′
4π λ r
d3 V = r′ sin θ dr′ dθ dφ
2
et
on trouve
∫
ρ =
=
Or
∫
r
′
r exp
−r ′ /λ
0
′
[
′
r exp−r /λ
3q
3
q
2
−
×
4πr′ dr′
4π r3 4πr3 4πλ2 0
r′
∫ r
3q
3q
′
−
r′ exp−r /λ dr′
3
3
2
4π r
4πr λ 0
′
dr = −λr exp
−r ′ /λ
]r
0
∫
+λ
0
r
[
′
exp−r /λ dr′ = −λ r exp−r/λ +λ −λ exp−r/λ
−r/λ
= −λ r exp
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+λ − λ exp
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]r
0
−r/λ
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La densité volumique moyenne de charges dans une boule V vaut donc
ρ=
]
3q
3q [ 2
2
−r/λ
−r/λ
λ
−
λ
exp
−λ
r
exp
−
4π r3 4πr3 λ2
soit
3q
ρ=
4πr3
d) Calculons
[
]
r
Q(r)
1+
exp−r/λ =
λ
V
dQ(r)
à partir de l’expression précédente
dr
dQ(r)
= q exp−r/λ
dr
(
1 1
r
− −
λ λ λ2
dQ(r)
=
dr
Cherchons un extremum de
{
dQ
:
dr
0
0
)
=⇒
r
dQ(r)
= −q exp−r/λ 2
dr
λ
pour r = 0
pour r → ∞
[
]
d2 Q
1
r
= −q exp−r/λ 2 − 3 = 0 ⇔ r = λ
dr2
λ
λ
dQ
dQ
≤ 0, r = λ est un minimum de
.
dr
dr
dQ
L’extremum de
correspond au taux de variation le plus rapide de la charge avec
dr
la distance et donc à la zone d’accumulation de charges. Ici, l’extremum est négatif
et se situe en r = λ : les charges négatives s’accumulent sur une sphère de rayon λ et
de centre O.
Comme
Pour r ∈ [0, λ], la charge contenue dans une sphère de rayon r et de centre O ne
fait que diminuer du fait de la présence de charges négatives. Pour r > λ les charges
positives s’accumulent autour des charges négatives.
e) On peut imaginer l’atome comme un modèle simplifié de plasma où le noyau de
charge q = Ze serait situé en O et où les électrons se répartiraient essentiellement
dans une boule de rayon r = λ centrée sur le noyau. Les charges situées au-delà de la
longueur de Debye voient le potentiel du noyau écranté (approximation de Slater).
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