docמומנטי אנרציה ונוסחאות גיאומטריות עבור צורות מוכרות
download 
Report Transcription
מומנטי אנרציה ונוסחאות גיאומטריות עבור צורות מוכרות
25.02.2015 מומנטי אנרציה ונוסחאות גיאומטריות עבור צורות מוכרות המומנט הסטטי הראשון ()First Moment of Area ] 𝑄𝑥 [𝑚3המומנט הסטטי הראשון ]𝑚[̅𝑦 המרחק בין מרכז השטח שעבורו מחשבים את המומנט הסטטי למרכז הפרופיל כולו ] 𝐴[𝑚2שטח החתך 𝐴 ∙ ̅𝑦 = 𝐴𝑑 ∙ 𝑦 ∫ = 𝑥𝑄 𝐴 𝐴 ∙ ̅𝑥 = 𝐴𝑑 ∙ 𝑥 ∫ = 𝑦𝑄 𝐴 שימושים: חוזק חומרים – 2מציאת מאמצי גזירה בקורות ,מציאת שטף הגזירה בקורות. המומנט הסטטי השני /מומנט אנרציה של שטח ( Area Moment of )inertia שימושים: סטטיקה של גוף קשיח – חישוב מומנטי אנרציה של פרופילים חוזק חומרים – 1חישוב מאמצי גזירה ,מומנטי כפיפה בקורות ,מאמצי כפיפה זרימה – 1מציאת נקודת מרכז לחץ ,מציאת נקודת מרכז הציפה ( )Metacenterשל גוף צף הגדרת מומנט אנרציה של שטח ,סביב ציר X 𝑓(𝑥)3 𝑥𝑑 ) 3 𝑏 2 ( ∫ = 𝐴𝑑 ∙ 𝑦 ∫ = 𝑥𝑥𝐼 𝑎 𝑏 הגדרת מומנט אנרציה של שטח ,סביב ציר Y 2 𝑥𝑑))𝑥(𝑓 ∙ 𝐼𝑦𝑦 = ∫ 𝑥 ∙ 𝑑𝐴 = ∫(𝑥 2 𝑎 הגדרת מומנט אנרציה של שטח ,סביב ציר Z 𝑏 𝑓(𝑥)2 ∙ 𝑥( ∫ = 𝑎𝑑 ∙ 𝑦𝑥 ∫ = 𝑥𝑑 ) 2 𝑧𝑧𝐼 𝑎 משפט שטיינר 2 מומנט אנרציה של שטח ,סביב ציר X ] [𝑚𝑚4 ) 𝑛𝑐𝑦 𝐼𝑥𝑥𝑛 = 𝐼𝑥 ∗ 𝑛 + 𝐴𝑛 (𝑌𝑐 − 𝑛∗ 𝑥𝐼 מומנט אנרציה של שטח ביחס למערכת צירים מרכזית (בד"כ קיים בטבלה) ] 𝐴𝑛 [𝑚𝑚2שטח הצורה ]𝑚𝑚[ 𝑐𝑌 קוארדינטת מרכז שטח של כל הצורה ביחס למערכת צירים שהגדרנו ]𝑚𝑚[ 𝑛𝑐𝑦 קוארדינטת מרכז שטח של הצורה עבורה אנו מחשבים ,ביחס למערכת צירים שהגדרנו מומנט אנרציה של שטח ,סביב ציר Y ] [𝑚𝑚4 2 ) 𝑛𝑐𝑥 𝐼𝑦𝑦𝑛 = 𝐼𝑦∗ 𝑛 + 𝐴𝑛 (𝑋𝑐 − 𝑛∗𝑦𝐼 מומנט אנרציה של שטח ביחס למערכת צירים מרכזית (בד"כ קיים בטבלה) ] 𝐴𝑛 [𝑚𝑚2שטח הצורה ]𝑚𝑚[ 𝑐𝑋 קואורדינטת מרכז שטח של כל הצורה ,ביחס לצירים שהגדרנו ]𝑚𝑚[ 𝑛𝑐𝑥 קואורדינטת מרכז שטח של הצורה עבורה אנו מחשבים ביחס לצירים שהגדרנו מכפלת אנרציה של שטח ,סביב ציר xy ] [𝑚𝑚4 ) 𝑛𝑐𝑦 𝐼𝑥𝑦𝑛 = 𝐼𝑥𝑦∗ 𝑛 + 𝐴𝑛 (𝑋𝑐 − 𝑥𝑐𝑛 )(𝑌𝑐 − 𝑛 ∗𝑦𝑥𝐼 מכפלת אנרציה של שטח ביחסת למערכת צירים מרכזית ] 𝐴𝑛 [𝑚𝑚2שטח הצורה מערכת צירים מרכזית – מערכת צירים שראשיתה נמצאת בנקודת מרכז מסה / Gמרכז שטח מערכת צירים ראשית – מערכת צירים שנמצאת על אחד מצירי הסימטריה של הגוף ,ומכפלות האינרציה שלה שוות אפס. מערכת צירים מרכזית וראשית – מערכת צירים שראשיתה נמצאת בנקודת מרכז שטח/מסה וגם נמצאת על צירי הסימטריה של הגוף ,ולכן מכפלות האינרציה שלה שוות אפס. שטח ,נק' מרכז מסה ,מומנטי אנרציה ,עבור צורות גיאומטריות מוכרות מלבן 𝐴 = 𝑏ℎ 𝑏 2 = 𝑐𝑥 ℎ 2 = 𝑐𝑦 𝑏ℎ3 3 = 𝑥𝐼 𝑏ℎ3 12 = ∗ 𝑥𝐼 ℎ𝑏 3 3 = 𝑦𝐼 ℎ𝑏 3 12 = ∗ 𝑦𝐼 פרופיל ריבועי חלול )𝑏 𝐴 = 2𝑡(ℎ + 1 b I x* h3t 1 3 6 h משולש ישר זווית 𝑏ℎ 2 =𝐴 2 𝑏 = 𝑐𝑥 3 1 𝑦𝑐 = ℎ 3 𝑏ℎ3 36 = ∗ 𝑥𝐼 ℎ𝑏 3 36 = ∗ 𝑦𝐼 1 𝑥𝑐 = ℎ 3 1 𝑦𝑐 = ℎ 3 𝑏ℎ3 36 = ∗ 𝑥𝐼 𝑏ℎ3 = 𝑥𝐼 12 ℎ𝑏 3 36 = ∗ 𝑦𝐼 ℎ𝑏 3 12 = 𝑦𝐼 𝑏ℎ 2 משולש שווה שוקיים =𝐴 𝑥𝑐 = 0 ℎ 3 משולש כללי = 𝑐𝑦 𝑏ℎ3 36 = ∗ 𝑥𝐼 ℎ𝑏 3 48 = ∗ 𝑦𝐼 𝑏ℎ 2 𝑏ℎ3 12 = 𝑥𝐼 ) 𝑏ℎ(𝑏 2 + 𝑏𝑐 + 𝑐 2 12 = 𝑦𝐼 =𝐴 )𝑐 (𝑏 + 3 = 𝑐𝑥 ℎ 3 = 𝑐𝑦 𝑏ℎ3 36 = ∗ 𝑥𝐼 ) 𝑏ℎ(𝑏 2 − 𝑏𝑐 + 𝑐 2 = 36 ∗𝑦𝐼 𝜋𝐷 2 4 עיגול = 𝐴 = 𝜋𝑟 2 𝑥𝑐 = 0 𝑦𝑐 = 0 5 𝐼𝑥 = 𝜋𝑟 4 4 𝜋𝐷 4 𝜋 4 𝑟 = 64 4 = ∗ 𝑥𝐼 𝜋𝐷 4 𝜋 4 = 𝑟 = 64 4 ∗𝑦 𝐼 חצי עיגול 𝜋𝑟 2 𝜋𝐷 2 = 2 8 =𝐴 𝑥𝑐 = 0 4 𝑟 𝜋3 𝜋𝑟 4 = 𝑥𝐼 8 = 𝑐𝑦 𝐼𝑥 ∗ = 0.10976𝑟 4 𝜋𝑟 4 8 = ∗ 𝑦𝐼 רבע מעגל 𝜋𝑟 2 𝜋𝐷 2 = 4 16 =𝐴 4 𝑟 𝜋3 = 𝑐𝑥 4 𝑟 𝜋3 = 𝑐𝑦 𝜋𝑟 4 16 = 𝑥𝐼 𝜋 4 𝐼𝑥 ∗ = 𝑟 4 ( − ) = 0.0549𝑟 4 𝜋16 9 𝜋𝑟 4 16 = 𝑦𝐼 𝜋 4 = 𝑟 ( − ) = 0.0549𝑟 4 𝜋16 9 4 ∗ 𝑦𝐼 טבעת דקה -צינור 𝜋 𝜋 𝐴 = 𝜋𝑅 2 − 𝜋𝑟 2 = 𝐷 2 − 𝑑2 4 4 𝑥𝑐 = 0 ) 𝜋(𝐷 4 − 𝑑4 64 = ∗ 𝑥𝐼 ) 𝜋(𝐷 4 − 𝑑4 64 = ∗𝑦𝐼 טרפז שווה שוקיים (𝑎 + 𝑏)ℎ 2 )𝑏 ℎ(2𝑎 + )𝑏 3(𝑎 + 1 3 )𝑏 ℎ (3𝑎 + 12 טרפז ישר זווית = 𝑥𝐼 =A = 𝑐𝑦 ) ℎ3 (𝑎2 + 4𝑎𝑏 + 𝑏 2 )𝑏 36(𝑎 + = ∗ 𝑥𝐼 ) ℎ(𝑎 + 𝑏)(𝑎2 + 𝑏 2 48 = ∗ 𝑦𝐼 )𝑏 ℎ(𝑎 + 2 =A 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 )𝑏 3(𝑎 + = 𝑐𝑥 )𝑏 ℎ(2𝑎 + )𝑏 3(𝑎 + = 𝑐𝑦 ) ℎ3 (𝑎2 + 4𝑎𝑏 + 𝑏 2 )𝐵 36(𝑎 + = ∗ 𝑥𝐼 ) ℎ(𝑎2 + 2𝑎3 𝑏 + 2𝑎𝑏 3 + 𝑏 4 = )𝑏 36(𝑎 + ∗𝑦 𝐼 מומנט אנרציה פולרי ()Polar Moment of inertia מושג שמתאר את התנגדות החתך לפיתול שימושים חוזק חומרים ,1חוזק חומרים ,2חלקי מכונות – חישוב מאמצי פיתול בפרופילים עגולים מומנט אנרציה פולרי של פרופיל עגול (מלא) קוטר חיצוני ]𝑚𝑚[𝐷 מומנט אנרציה פולרי של צינור קוטר חיצוני ]𝑚𝑚[𝐷 קוטר פנימי ]𝑚𝑚[𝑑 𝜋 4 𝐷 32 = 𝑃𝐼 𝜋 ) (𝐷 4 − 𝑑4 32 = 𝑃𝐼 מומנט אנרציה של מסה ()Mass Moment of inertia מושג שמתאר את מידת התנגדות הגוף לתאוצה זוויתית. שימושים פיסיקה מכניקה – אנרגיה קינטית של גוף דינמיקה של גוף קשיח – משוואת סכום מומנטים של גוף קשיח ,אנרגיה קינטית של גוף קשיח, תנע זוויתי של גוף קשיח מומנט אנרציה מסי -הגדרה מומנט אנרציה מרכזי של מוט דק 𝑚𝑑 ∙ I = ∫ 𝑟 2 1 𝑚𝑙 2 12 = 𝐺𝐼 מומנט אנרציה של מוט דק 1 𝐼 = 𝑚𝑙 2 3 מומנט אנרציה מרכזי של גליל מלא 1 𝐼𝐺 = 𝑚𝑅 2 2 מומנט אנרציה של גליל מלא מומנט אנרציה של חישוק דק 1 1 𝐼 = 𝑚𝑅 2 + 𝑚𝑙 2 4 12 1 𝐼 = 𝑚𝑅 2 2 מומנט אנרציה של טבעת דקה (צינור) מומנט אנרציה של צינור מומנט אנרציה מרכזי של פלטה מלבנית דקה מומנט אנרציה של דלת דקה 𝐼 = 𝑚𝑅 2 1 ) 𝐼 = 𝑚(𝑟12 + 𝑅22 2 1 ) 𝑚(𝑎2 + 𝑏 2 12 = 𝐺𝐼 1 𝐼 = 𝑚𝐴2 3 מומנט אנרציה של ספירה (כדור מלא) 2 𝐼 = 𝑚𝑅 2 5 מומנט אנרציה של קליפה כדורית (כדור דק חלול) 2 𝐼 = 𝑚𝑅 2 3 )Area( שטח A )Triangle( משולש bh 2 )Rectangle( מלבן A bh A a b h )Trapezoid( טרפז 2 A 1 5 5 2 5 a2 4 A 3 3 2 a 2 משושה משוכלל A 2 1 2 a2 A r2 מחומש משוכלל D2 4 מתומן משוכלל עיגול )Volume( נפח bh H 2 )Triangle( משולש V bh H )Rectangle( מלבן V )Cube( קוביה V a3 V a b h H V 1 5 5 2 5 a2 H 4 V 3 3 2 a H 2 )Trapezoid( טרפז 2 )Regular Pentagon( מחומש משוכלל )Regular Hexagon( משושה משוכלל )Regular Octagon( מתומן משוכלל V r2 H )Cylinder( גליל 4 V R3 D3 3 6 )Sphere( כדור V V h 3 3R h R2 3 s V H 3 H )Spherical Cap( כיפה כדורית )Cone( חרוט S פירמידה בעלת שטח בסיס שטח פנים ()Surface Area שטח פנים של גליל (צילינדר) כולל המכסים (עליון ותחתון) )𝑟 2𝜋𝑟(𝐿 + שטח פנים של גליל (צילינדר) ללא המכסים (עליון ותחתון) 𝐿𝜋𝑑 = 𝐿𝑟𝜋2 6𝑎2 שטח פנים של קוביה בעלת מקצוע a שטח פנים של כדור (מעטפת כדורית/קליפה כדורית) אורך קשת מעגלית 4𝜋𝑟 2 = 𝜋𝐷 2 ]𝑑𝑎𝑟[𝜃𝑅 = 𝑠
