IntroToParticles-Exam-2011a-v1.0

‫מבוא לחלקיקים וגרעין‪:‬‬
‫פתרון מבחן מועד א' תשע"א‬
‫גרסה ‪ ,1.0‬ספטמבר ‪2011‬‬
‫ברק שושני‬
‫‪[email protected] | http://baraksh.co.il/‬‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫א‪ .‬משוואת הגלים של שרדינגר מתארת השתנות בזמן של מצב קוונטי לא־יחסותי‪ .‬הסבירו את ההקבלה בין משוואת‬
‫שרדינגר למשוואת קליין־גורדון במקרה היחסותי‪ .‬מהי הבעייתיות העיקרית שמציגה משוואת קליין־גורדון?‬
‫ב‪ .‬נטפל בבעיית פיזור אלקטרון על פרוטון‪ .‬נתחיל בקירוב של פיזור רתרפורד‪ .‬מהם הקירובים שנניח לשם כך? מהו‬
‫ההבדל בין חישוב רתרפורד לחישוב מוט? בשלב זה‪ ,‬הגיע הזמן לבצע מדידה‪ .‬כיצד נוכל מתוצאות המדידה ללמוד‬
‫על קבוע המבנה וצפיפות המטען של הפרוטון?‬
‫ג‪ .‬הסבירו את המושג ‪) Helicity‬בורגיות(‪ .‬מה ניתן ללמוד על חוקי השימור באינטראקציות חלשות מהפעלת אופרטורי‬
‫‪) Parity‬זוגיות( ו‪/‬או ‪) Charge Conjugation‬צימוד מטען( על חלקיקי נייטרינו?‬
‫ד‪ .‬רשמו ארבע דוגמאות לאינטראקציות המאפשרות למדוד את האיברים השונים במטריצת ‪Cabibbo-Kobayashi-‬‬
‫‪ ,Maskawa‬אחת לכל איבר‪ .‬ניתן להדגים באמצעות דיאגרמות פיינמן‪.‬‬
‫ה‪ .‬תנועת הנוקליאונים בגרעין‪ :‬כיצד נעריך את אנרגיית פרמי על־פי מודל גז פרמי?‬
‫פתרון סעיף א'‬
‫נשתמש ביחידות טבעיות‪ .~ = c ≡ 1 ,‬במקרה הלא־יחסותי מתקיים‪ ,‬עבור חלקיק חופשי‪ ,‬הקשר הבא בין האנרגיה והתנע‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫|‪|p‬‬
‫‪2m‬‬
‫=‪E‬‬
‫נחליף את הגדלים באופרטורים‪:‬‬
‫∂‬
‫‪,‬‬
‫‪∂t‬‬
‫∇‪p = −i‬‬
‫‪E=i‬‬
‫ונקבל את משוואת שרדינגר‪:‬‬
‫∂‬
‫‪∇2‬‬
‫‪ψ=−‬‬
‫‪ψ‬‬
‫‪∂t‬‬
‫‪2m‬‬
‫‪i‬‬
‫במקרה היחסותי מתקיים‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪E = |p| + m‬‬
‫נחליף שוב את הגדלים באופרטורים ונקבל את משוואת קליין־גורדון‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫∂‬
‫‪ψ − ∇2 ψ = −m2 ψ‬‬
‫‪∂t2‬‬
‫‪q‬‬
‫‪2‬‬
‫הבעיה במשוואת קליין־גורדון היא שלפתרונות יכולה להיות אנרגיה חיובית ‪ E = + |p| + m2‬או אנרגיה שלילית‬
‫‪q‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .E = − |p| + m2‬ניתן לפתור את הבעיה אם מניחים שהפתרונות בעלי אנרגיה שלילית מתאימים לחלקיקים בעלי‬
‫‬
‫אותה מסה‪ ,‬אך בעלי מטען הפוך ‪ -‬כלומר‪ ,‬אנטי־חלקיקים‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫פתרון סעיף ב'‬
‫בחישוב רתרפורד נניח כי האלקטרון לא־יחסותי‪ ,‬חסר מסה וחסר ספין‪ ,‬וכן כי הפרוטון לא זז כתוצאה מהפיזור‪ .‬בחישוב‬
‫מוט נניח כי האלקטרון יחסותי‪ ,‬בעל מסה ‪ m‬ובעל ספין ‪ ,1/2‬אך הפרוטון עדיין נשאר במקום‪ .‬חתך הפעולה הדיפרנציאלי‬
‫לפיזור יהיה‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪dσ‬‬
‫‪dσ‬‬
‫‪F q 2 2‬‬
‫=‬
‫‪dΩ‬‬
‫‪dΩ Mott‬‬
‫‬
‫כאשר ‪ F q 2‬היא פונקציית המבנה של הפרוטון‪ ,‬שהיא טרנספורם פורייה של צפיפות המטען בתוך הפרוטון‪:‬‬
‫ˆ‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫‪F q = ρ (r) ei q·r d3 r‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫פוטון וירטואלי(; ככל ש־ ‪ q 2‬גדול יותר‪ ,‬כך אנו "נכנסים עמוק יותר" לתוך‬
‫|‪ q ≡ |q‬הוא גודל ה־‪4‬־תנע‪dσ‬שהועבר )ע"י ‬
‫‪dσ‬‬
‫הפרוטון‪ .‬לאחר שמדדנו את ‪ dΩ‬נחלק ב־ ‪ , dΩ Mott‬אשר ערכו ידוע‪ ,‬ונקבל את פונקציית המבנה‪ .‬ע"י ביצוע טרנספורם‬
‫‬
‫פורייה הפוך לפונקציית המבנה נוכל לקבל את צפיפות המטען של הפרוטון‪ ,‬ולגלות כי היא אינה אחידה‪.‬‬
‫פתרון סעיף ג'‬
‫נסמן ב־‪ s‬את הספין של החלקיק וב־ ‪ ms‬את הטלת הספין על כיוון התנועה של החלקיק‪ .‬אז הגודל ‪ h ≡ ms /s‬נקרא‬
‫הבורגיות של החלקיק‪ .‬בפרט‪ ,‬עבור חלקיק בעל ספין חצי הבורגיות יכולה להיות ‪) +1‬בורגיות ימנית( או ‪) −1‬בורגיות‬
‫שמאלית(‪ .‬לחלופין‪ ,‬נגדיר את כיוון הספין של חלקיק בתור הכיוון החיובי של ציר ‪ z‬כאשר הסיבוב הוא נגד כיוון השעון‬
‫במישור ‪ ,xy‬במערכת צירים ימנית‪ .‬אז הבורגיות של חלקיק היא ימנית אם הספין הוא בכיוון התנועה של החלקיק‪,‬‬
‫ושמאלית אם הוא מנוגד לו‪.‬‬
‫אם החלקיק חסר־מסה‪ ,‬אז הבורגיות שלו תהיה זהה בכל מערכות הייחוס‪ .‬אם יש לו מסה‪ ,‬אז הבורגיות שלו עשויה‬
‫להיות ימנית במערכת ייחוס אחת‪ ,‬ושמאלית באחרת )כי כיוון התנועה מתהפך כאשר הצופה נע מהר יותר מהחלקיק(‪.‬‬
‫בנוסף‪ ,‬עבור חלקיק חסר־מסה‪ ,‬הבורגיות שווה לידיות )‪ .(Chirality‬אנו נניח כי הנייטרינו חסר־מסה‪ ,‬ולכן יש לו בורגיות‬
‫מוגדרת‪ .‬בניסויים נמצא כי חלקיקי נייטרינו הם תמיד בעלי בורגיות שמאלית‪ ,‬ואילו אנטי־נייטרינו הם תמיד בעלי בורגיות‬
‫ימנית‪.‬‬
‫אופרטור הזוגיות ‪ P‬מקיים ‪ P (v) = −v‬אם ‪ v‬הוא וקטור רגיל‪ ,‬ו־‪ P (a) = a‬אם ‪ a‬הוא פסבדו־וקטור )למשל מכפלה‬
‫וקטורית של שני וקטורים רגילים‪ ;(a ≡ v × w ,‬בנוסף הוא מקיים ‪ P (c) = c‬אם ‪ c‬הוא סקלר רגיל‪ ,‬ו־‪P (p) = −p‬‬
‫אם הוא פסבדו־סקלר )למשל מכפלה סקלרית של וקטור עם פסבדו־וקטור‪ .(p ≡ v · a ,‬נשים לב כי ‪) P 2 = I‬אופרטור‬
‫הזהות(‪ ,‬לפיכך הערכים העצמיים של ‪ P‬הם ‪ .±1‬הזוגיות של מערכת חלקיקים במצב היסוד היא מכפלת ערכי הזוגיות של‬
‫‪l‬‬
‫כל החלקיקים‪ .‬עבור מערכת מעוררת של שני חלקיקים יש להכפיל ב־ )‪ ,(−1‬כאשר ‪ l‬הוא התנע הזוויתי המסלולי‪.‬‬
‫הכוח החזק והכוח האלקטרומגנטי משמרים את הזוגיות‪ ,‬כלומר‪ ,‬הם סימטריים לפעולה של אופרטור הזוגיות‪ .‬אך הכוח‬
‫החלש אינו משמר את הזוגיות‪ .‬ניתן לראות זאת‪ ,‬למשל‪ ,‬בדעיכה של פאיון ) ‪ ,(π + → µ+ + νµ‬המתרחשת באמצעות‬
‫אינטראקציה חלשה‪ .‬מכיוון שלפאיון ספין ‪ ,0‬הספין של הנייטרינו חייב להיות בכיוון מנוגד לזה של האנטי־מיואון )כדי‬
‫לבטל אותו(‪ .‬אך גם כיוון התנועה שלו מנוגד לזה של האנטי־מיואון‪ ,‬ולכן בהכרח תהיה לשניהם אותה בורגיות‪ .‬אם‬
‫הזוגיות הייתה נשמרת‪ ,‬היינו מצפים שגם התהליך בו האנטי־מיואון והנייטרינו הם ימניים וגם התהליך בו שניהם הם‬
‫שמאליים )אשר מתקבל מהתהליך הקודם באמצעות הפעלת ‪ (P‬יופיעו בטבע באותה תדירות‪ .‬בפועל‪ ,‬רק התהליך בו שני‬
‫החלקיקים הם בעלי בורגיות שמאלית נצפה בטבע‪.‬‬
‫אופרטור צימוד המטען ‪ C‬מעביר חלקיק לאנטי־חלקיק שלו‪ .C |pi = |pi ,‬כלומר‪ ,‬הוא משנה את סימנם של המספרים‬
‫הקוונטיים "הפנימיים" ‪ -‬מטען חשמלי‪ ,‬מספר בריוני ולפטוני‪ ,‬טעמים )‪ b ,c ,s‬ו־‪ (t‬והטלת האיזוספין ‪ -‬אך לא את המסה‪,‬‬
‫האנרגיה‪ ,‬התנע והספין‪ .‬גם כאן הערכים העצמיים האפשריים הם ‪ ,±1‬אך רק חלקיקים שהם האנטי־חלקיקים של‬
‫עצמם )כמו פוטונים ומזונים מסוימים‪ ,‬למשל ‪ (π 0‬יכולים להוות מצבים עצמיים של ‪ .C‬מערכת של חלקיק בעל ספין ‪1/2‬‬
‫‪l+s‬‬
‫)‪ (−1‬כאשר ‪ l‬הוא התנע הזוויתי ו־‪ s‬הוא הספין הכולל‪.‬‬
‫והאנטי־חלקיק שלו מהווה מצב עצמי של ‪ C‬עם ערך עצמי‬
‫בדומה לזוגיות‪ ,‬הכוח החזק והכוח האלקטרומגנטי משמרים את צימוד המטען‪ ,‬אך הכוח החלש לא משמר אותו‪ .‬אם נפעיל‬
‫את ‪ C‬על נייטרינו )שהוא‪ ,‬כאמור‪ ,‬תמיד בעל בורגיות שמאלית( נקבל אנטי־נייטרינו בעל בורגיות שמאלית ‪ -‬וחלקיק כזה‬
‫לא נצפה בטבע‪ .‬לפיכך‪ ,‬התהליך הצמוד לכל תהליך שכולל נייטרינו )ולכן הוא בהכרח מתבצע באמצעות האינטראקציה‬
‫החלשה( לא יכול להתרחש‪ .‬דוגמה לכך הוא התהליך הצמוד להתפרקות פאיון אשר הוזכרה למעלה ) ‪.(π − → µ− + ν µ‬‬
‫אנו נצפה לקבל בניסוי מיואון בעל בורגיות שמאלית )כמו שהייתה לאנטי־מיואון לפני שהפעלנו את ‪ ,(C‬אך למעשה נקבל‬
‫רק מיואונים בעלי בורגיות ימנית‪ ,‬מכיוון שהאנטי־נייטרינו חייבים להיות בעל בורגיות ימנית‪.‬‬
‫לבסוף‪ ,‬נתבונן בהפעלה עוקבת של ‪ P‬ו־‪ :C‬אופרטור ‪ .CP‬על־פניו‪ ,‬נראה שהכוח החלש אמור לשמר ‪ ,CP‬מכיוון שלמשל‬
‫נייטרינו בעל בורגיות שמאלית יהפוך לאחר הפעלה של ‪ CP‬לאנטי־נייטרינו בעל בורגיות ימנית ולהפך‪ .‬אך נתבונן במזון‬
‫‪0‬‬
‫‪ .K 0‬המזון עשוי להפוך לאנטי־חלקיק שלו‪ ,K ,‬באמצעות אינטראקציה חלשה‪ .‬מתקיים‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫‪C|K i = |K 0 i‬‬
‫‪0‬‬
‫‪C|K 0 i = |K i,‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪P |K i = −|K i,‬‬
‫‪2‬‬
‫‪P |K 0 i = −|K 0 i,‬‬
‫ולכן‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪CP |K i = −|K 0 i‬‬
‫‪CP |K 0 i = −|K i,‬‬
‫לפיכך נוכל ליצור מצבים עצמיים )מנורמלים( של ‪ CP‬כך‪:‬‬
‫‬
‫ ‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪|K1 i ≡ √ |K 0 i − |K i ,‬‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫ ‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪|K2 i ≡ √ |K 0 i + |K i‬‬
‫‪2‬‬
‫כאשר‪:‬‬
‫‪CP |K1 i = |K1 i,‬‬
‫‪CP |K2 i = −|K2 i‬‬
‫אם נניח כי ‪ CP‬נשמר באינטראקציה חלשה‪ ,‬אז ‪ K1‬יכול לדעוך רק למצב בעל ‪ ,CP = +1‬ואילו ‪ K2‬יכול לדעוך רק‬
‫למצב בעל ‪ .CP = −1‬לרוב‪ ,‬קאונים נייטרליים דועכים לשניים )‪ (CP = +1‬או שלושה )‪ (CP = −1‬פאיונים‪ .‬לפיכך‬
‫נצפה כי ‪ K1‬ידעך רק לשני פאיונים ו־ ‪ K2‬לשלושה‪ .‬הדעיכה לשני פאיונים היא מהירה בהרבה‪ ,‬מכיוון שיש בה יותר‬
‫אנרגיה חופשית‪ .‬לכן‪ ,‬אם נתחיל עם אלומה של ‪:K 0‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪|K 0 i = √ (|K1 i + |K2 i‬‬
‫‪2‬‬
‫רכיב ה־ ‪ K1‬ידעך במהרה‪ ,‬וניוותר עם אלומה של ‪ K2‬בלבד‪ .‬ליד המקור נצפה לקבל הרבה דעיכות לשני פאיונים‪ ,‬והרחק‬
‫ממנו נצפה לקבל דעיכות לשלושה פאיונים בלבד‪ .‬אך בניסוי שערכו ‪ Cronin & Fitch‬נמדד‪ ,‬הרחק מהמקור‪ ,‬מספר קטן‬
‫של אירועי דעיכה לשני פאיונים ‪ -‬בסתירה להנחתנו‪ .‬לפיכך האינטראקציה החלשה אינה משמרת ‪ CP‬בצורה מושלמת‪.‬‬
‫פתרון סעיף ד'‬
‫מטריצת ‪ CKM‬היא מטריצה אוניטרית המוגדרת כך‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪Vub‬‬
‫‪|di‬‬
‫‪Vcb   |si ‬‬
‫‪Vtb‬‬
‫‪|bi‬‬
‫‪Vus‬‬
‫‪Vcs‬‬
‫‪Vts‬‬
‫‪|d0 i‬‬
‫‪Vud‬‬
‫‪ |s0 i  =  Vcd‬‬
‫‪|b0 i‬‬
‫‪Vtd‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫כאשר | ‪ |Vxy‬מייצג את ההסתברות שקווארק מסוג ‪ x‬ידעך לקווארק מסוג ‪) y‬או להפך( באינטראקציה חלשה‪.‬‬
‫את ‪ Vud‬ניתן למדוד באמצעות האינטראקציה‪:‬‬
‫‪n (udd) → p (udu) + e− + ν e‬‬
‫את ‪ Vus‬ניתן למדוד באמצעות‪:‬‬
‫‬
‫‪→ π + ud + e− + ν e or π − (du) + e+ + νe‬‬
‫‬
‫‪ds + sd‬‬
‫√‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫‪KL0‬‬
‫את ‪ Vcs‬ניתן למדוד באמצעות‪:‬‬
‫‪D0 (cu) → K − (su) + e+ + νe‬‬
‫ואת ‪ Vcb‬ניתן למדוד באמצעות‪:‬‬
‫‪B − (bu) → D0 (cu) + e− + ν e‬‬
‫‬
‫פתרון סעיף ה'‬
‫אנו מניחים כי הפרוטונים והנייטרונים נעים בחופשיות בתוך נפח ‪ .V‬אנרגיית פרמי היא האנרגיה של הרמה המאוכלסת‬
‫המלאה הגבוהה ביותר‪ .‬הקשר )הלא־יחסותי( בין אנרגיית פרמי ‪ EF‬ותנע פרמי ‪ pF‬הוא‪:‬‬
‫‪p2F‬‬
‫‪2m‬‬
‫= ‪EF‬‬
‫‪3‬‬
‫כאשר ‪ m‬היא מסת הנוקליאון‪ .‬נניח כי בגרעין יש ‪ A‬נוקליאונים‪ ,‬מתוכם חצי נייטרונים וחצי פרוטונים‪ ,‬וכל רמות האנרגיה‬
‫של הפרוטונים והנייטרונים מאוכלסות במלואן עד הקליפה האחרונה‪ .‬הרדיוס האופייני של הפוטנציאל של הנוקליאונים‬
‫‪4π‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪,Vp = 4π‬‬
‫הוא ‪ .r0 ≈ 1.2 fm‬מספר הנוקליאונים מכל סוג יהיה הנפח הפיזיקלי ‪ ,V = 3 Ar0‬כפול הנפח במרחב התנע ‪3 pF‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫כפול ‪) 2‬כי שני פרמיונים יכולים לאכלס את אותו מצב‪ ,‬עם ספינים מנוגדים(‪ ,‬לחלק לנפח )~‪ h = (2π‬במרחב הפאזה‪:‬‬
‫‪A‬‬
‫‪4π 3 4π 3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4Ar03 3‬‬
‫‪p‬‬
‫=‬
‫· ‪Ar0‬‬
‫· ‪pF · 2‬‬
‫=‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪9π~3 F‬‬
‫)~‪(2π‬‬
‫מכאן‪:‬‬
‫~‬
‫‪r0‬‬
‫‪1/3‬‬
‫‪9π‬‬
‫‪8‬‬
‫‬
‫= ‪pF‬‬
‫ולכן‪:‬‬
‫‪~2‬‬
‫‪2mr02‬‬
‫‪2/3‬‬
‫‪9π‬‬
‫‪8‬‬
‫‬
‫= ‪EF‬‬
‫‬
‫שאלה ‪2‬‬
‫א‪ .‬הסבירו מהם שני התהליכים המרכזיים הגורמים להיווצרות מפל אלקטרומגנטי )‪(Electromagnetic Shower‬‬
‫בגלאים מסוג קלורימטר אלקטרומגנטי‪ :‬תהליך אחד עבור אלקטרונים‪/‬פוזיטרונים אנרגטיים ותהליך שני עבור‬
‫פוטונים אנרגטיים‪ ,‬כאשר לכל אחד מהתהליכים קיימות שתי דיאגרמות פיינמן אפשריות‪ .‬ציירו את הדיאגרמות‬
‫הרלוונטיות‪.‬‬
‫ב‪ .‬המפל ייעצר כאשר לכל החלקיקים שנוצרו תהיה אנרגיה שווה או קטנה מהאנרגיה הקריטית ‪ ,EC‬האופיינית לחומר‬
‫ממנו עשוי הגלאי‪ .‬לצורך הפשטה נבנה את המודל למפל באופן הבא‪:‬‬
‫‪ .i‬אלקטרון‪/‬פוזיטרון עם אנרגיה ‪ E > EC‬עובר מרחק קרינה אחד ומאבד חצי מהאנרגיה שלו דרך פליטה של‬
‫פוטון‪.‬‬
‫‪ .ii‬פוטון עם אנרגיה ‪ E > EC‬עובר מרחק קרינה אחד ומאבד את כל האנרגיה שלו דרך יצירת זוג אלקטרון‪-‬‬
‫פוזיטרון‪ ,‬כאשר האנרגיה מחולקת שווה בשווה ביניהם‪.‬‬
‫‪ .iii‬אלקטרון‪/‬פוזיטרון עם אנרגיה ‪ E < EC‬מפסיק לפלוט פוטונים‪.‬‬
‫‪ .iv‬פוטון עם אנרגיה ‪ E < EC‬מפסיק ליצור זוגות‪.‬‬
‫הניחו כי מרחק הקרינה של האלקטרון והפוזיטרון זהה לזה של הפוטון‪ .‬מצאו כמה חלקיקים )פוטונים‪ ,‬אלקטרונים‬
‫ופוזיטרונים( יתקבלו לאחר ‪ n‬מאחרי קרינה ומה תהיה האנרגיה של כל אחד מהחלקיקים במצב הזה עבור אלקטרון‬
‫הנכנס לגלאי עם אנרגיה ‪ .E0 > EC‬בטאו את תשובתכם במונחים של ‪ n‬ושל ‪.E0‬‬
‫ג‪ .‬מצאו את מספר הצעדים המרבי ‪ nmax‬שעבורו המפל ייעצר וחשבו את מספר החלקיקים‪ ,Nmax ,‬במצב זה במונחים‬
‫של ‪ E0‬ושל ‪.EC‬‬
‫פתרון סעיף א'‬
‫התהליך הראשון נקרא קרינת בלימה )‪ ,(Bremsstrahlung‬ובו נפלטת קרינה אלקטרומגנטית מחלקיק טעון )אלקטרון או‬
‫פוזיטרון( שמאט את מהירותו‪:‬‬
‫‪↔ γ‬‬
‫‪← e+‬‬
‫⇒‬
‫‪e+‬‬
‫‪l‬‬
‫‪O‬‬
‫‪↔ γ‬‬
‫‪→ e−‬‬
‫)‪(γ‬‬
‫⇒‬
‫⇒‬
‫‪e−‬‬
‫‪l‬‬
‫‪O‬‬
‫)‪(γ‬‬
‫⇒‬
‫כאשר )‪ (γ‬הוא פוטון וירטואלי ו־‪ O‬מייצג חומר‪ .‬התהליך השני נקרא יצירת זוגות )‪ (Pair Production‬ובו פוטון מתפרק‬
‫לאלקטרון ופוזיטרון‪:‬‬
‫‪e−‬‬
‫‪e+‬‬
‫‪%‬‬
‫‪.‬‬
‫‪γ‬‬
‫‪γ‬‬
‫‪-‬‬
‫&‬
‫‪e−‬‬
‫‪e+‬‬
‫‪4‬‬
‫‬
‫פתרון סעיף ב'‬
‫נצייר את המפל בשלושת מרחקי הקרינה הראשונים‪ ,‬עבור אלקטרון הנכנס לגלאי עם אנרגיה ‪:E0 > EC‬‬
‫‪n=3‬‬
‫‪γ‬‬
‫‪e−‬‬
‫‪γ‬‬
‫‪e+‬‬
‫‪e−‬‬
‫‪e+‬‬
‫‪γ‬‬
‫‪e−‬‬
‫‪n=2‬‬
‫↔‬
‫→‬
‫↔‬
‫←‬
‫→‬
‫←‬
‫→‬
‫→‬
‫‪n=1‬‬
‫‪e−‬‬
‫→‬
‫‪e+‬‬
‫←‬
‫‪γ‬‬
‫→‬
‫‪e−‬‬
‫→‬
‫‪n=0‬‬
‫→‬
‫‪γ‬‬
‫‪e−‬‬
‫‪e−‬‬
‫מכאן ברור כי מספר החלקיקים לאחר ‪ n‬מרחקי קרינה יהיה ‪ ,2n‬והאנרגיה של כל אחד מהם תהיה ‪.E0 /2n‬‬
‫‬
‫פתרון סעיף ג'‬
‫המפל ייעצר כאשר האנרגיה של כל חלקיק תגיע לאנרגיה הקריטית‪:‬‬
‫‪E0‬‬
‫‪EC‬‬
‫‪nmax = log2‬‬
‫⇒=‬
‫‪E0‬‬
‫‪= EC‬‬
‫‪2nmax‬‬
‫לפיכך מספר החלקיקי המרבי יהיה‪:‬‬
‫‪E0‬‬
‫‪EC‬‬
‫= ‪Nmax = 2nmax‬‬
‫‬
‫שאלה ‪3‬‬
‫בסעיפים הבאים‪ ,‬אילו מהתהליכים אינו אפשרי ומדוע? אם תהליך מסוים אפשרי‪ ,‬ציינו באילו אינטראקציות‪.‬‬
‫ציינו במפורש אם קיים תנאי מגביל כלשהו לקיום התהליך‪ ,‬או אם התהליך אפשרי עקרונית אבל יהיה נדיר‬
‫מאוד‪.‬‬
‫א‪π − + n → Ξ− + K 0 + K 0 .‬‬
‫ב‪K − + p → Ξ0 + K 0 .‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫‪K − + p → Ξ0 + K‬‬
‫ד‪K − + p → π 0 + Λ .‬‬
‫ה‪K + + π − → νe + νe .‬‬
‫ו‪e− + e+ → p + π 0 + π − .‬‬
‫ז‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫‪) K 0 → K‬אם אפשרי‪ ,‬ציירו את הדיאגרמה(‬
‫ח‪) Σ+ → n + e+ + νe .‬ציירו דיאגרמה אחת לפחות וכתבו מהו קבוע הפרופורציה של האמפליטודה‪ .‬שימו לב‬
‫ש־ ‪ gud = gW cos θC‬בעוד ש־ ‪ ,gus = gW sin θC‬כאשר ◦‪(θC ≈ 13‬‬
‫‪5‬‬
‫פתרון סעיף א'‬
‫להלן מידע על המספרים הקוונטיים השונים והאינטראקציות השומרות אותם‪:‬‬
‫• מטען חשמלי ‪ ,Q‬מספר בריוני ‪ ,B‬מספר לפטוני ‪ :L‬נשמרים בכל סוגי האינטראקציות‪.‬‬
‫• הטלת האיזוספין ‪ ,I3‬מוזרות ‪ ,S‬זוגיות ‪ ,P‬צימוד מטען ‪ :C‬נשמרים באינטראקציות חזקות ואלקטרומגנטיות בלבד‪.‬‬
‫• איזוספין ‪ :I‬נשמר באינטראקציות חזקות בלבד‪.‬‬
‫התהליך‪.π − + n → Ξ− + K 0 + K 0 :‬‬
‫חלקיק‬
‫‪π−‬‬
‫‪n‬‬
‫‪Ξ−‬‬
‫‪K0‬‬
‫מסה ב־‪MeV‬‬
‫‪140‬‬
‫‪940‬‬
‫‪1320‬‬
‫‪500‬‬
‫קווארקים‬
‫‪du‬‬
‫‪udd‬‬
‫‪dss‬‬
‫‪ds‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪B‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪L‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪I, I3‬‬
‫‪1, −1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2, −2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2, −2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2, +2‬‬
‫‪S‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪JPC‬‬
‫‪0−‬‬
‫‪1+‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1+‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−‬‬
‫‪0‬‬
‫• מטען חשמלי‪ −1 :‬בהתחלה ובסוף‪ ,‬נשמר‪.‬‬
‫• מספר בריוני‪ 1 :‬בהתחלה ובסוף‪ ,‬נשמר‪.‬‬
‫• מספר לפטוני‪ 0 :‬בהתחלה ובסוף‪ ,‬נשמר‪.‬‬
‫• הטלת האיזוספין‪ − 32 :‬בהתחלה ו־ ‪ + 21‬בסוף‪ ,‬לא נשמרת‪ .‬לכן האינטראקציה חייבת להיות חלשה‪.‬‬
‫‬
‫פתרון סעיף ב'‬
‫התהליך‪K − + p → Ξ0 + K 0 :‬‬
‫חלקיק‬
‫‪K−‬‬
‫‪p‬‬
‫‪Ξ0‬‬
‫‪K0‬‬
‫מסה ב־‪MeV‬‬
‫‪490‬‬
‫‪940‬‬
‫‪1310‬‬
‫‪500‬‬
‫קווארקים‬
‫‪su‬‬
‫‪uud‬‬
‫‪uss‬‬
‫‪ds‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪+1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪B‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪L‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪I, I3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2, −2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2, +2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2, +2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2, +2‬‬
‫‪S‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪JPC‬‬
‫‪0−‬‬
‫‪1+‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1+‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−‬‬
‫‪0‬‬
‫• מטען חשמלי‪ 0 :‬בהתחלה ובסוף‪ ,‬נשמר‪.‬‬
‫• מספר בריוני‪ 1 :‬בהתחלה ובסוף‪ ,‬נשמר‪.‬‬
‫• מספר לפטוני‪ 0 :‬בהתחלה ובסוף‪ ,‬נשמר‪.‬‬
‫• הטלת האיזוספין‪ 0 :‬בהתחלה ו־‪ 1‬בסוף‪ ,‬לא נשמרת‪ .‬לכן האינטראקציה חייבת להיות חלשה‪.‬‬
‫‬
‫פתרון סעיף ג'‬
‫‪0‬‬
‫התהליך‪K − + p → Ξ0 + K :‬‬
‫חלקיק‬
‫‪K−‬‬
‫‪p‬‬
‫‪Ξ0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪K‬‬
‫מסה ב־‪MeV‬‬
‫‪490‬‬
‫‪940‬‬
‫‪1310‬‬
‫‪500‬‬
‫קווארקים‬
‫‪su‬‬
‫‪uud‬‬
‫‪uss‬‬
‫‪sd‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪+1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪B‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪L‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪I, I3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2, −2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2, +2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2, +2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2, −2‬‬
‫‪S‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪JPC‬‬
‫‪0−‬‬
‫‪1+‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1+‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−‬‬
‫‪0‬‬
‫• מטען חשמלי‪ 0 :‬בהתחלה ובסוף‪ ,‬נשמר‪.‬‬
‫• מספר בריוני‪ 1 :‬בהתחלה ובסוף‪ ,‬נשמר‪.‬‬
‫• מספר לפטוני‪ 0 :‬בהתחלה ובסוף‪ ,‬נשמר‪.‬‬
‫• הטלת האיזוספין‪ 0 :‬בהתחלה ובסוף‪ ,‬נשמרת‪.‬‬
‫• מוזרות‪ −1 :‬בהתחלה ו־‪ −3‬בסוף‪ ,‬לא נשמרת‪ .‬לכן האינטראקציה חייבת להיות חלשה‪ .‬נשים לב כי ‪,|∆S| = 1‬‬
‫‬
‫לכן התהליך הוא מסדר שני‪ ,‬ויהיה נדיר יחסית‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫פתרון סעיף ד'‬
‫התהליך‪K − + p → π 0 + Λ :‬‬
‫חלקיק‬
‫‪K−‬‬
‫‪p‬‬
‫‪π0‬‬
‫‪Λ‬‬
‫מסה ב־‪MeV‬‬
‫‪490‬‬
‫‪940‬‬
‫‪130‬‬
‫‪1120‬‬
‫קווארקים‬
‫‪su‬‬
‫√ ‪uud‬‬
‫‪uu − dd / 2‬‬
‫‪uds‬‬
‫‪B‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪+1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪I, I3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2, −2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2, +2‬‬
‫‪L‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪JPC‬‬
‫‪0−‬‬
‫‪S‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪1, 0‬‬
‫‪0, 0‬‬
‫‪1+‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−+‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1+‬‬
‫‪2‬‬
‫• מטען חשמלי‪ 0 :‬בהתחלה ובסוף‪ ,‬נשמר‪.‬‬
‫• מספר בריוני‪ 1 :‬בהתחלה ובסוף‪ ,‬נשמר‪.‬‬
‫• מספר לפטוני‪ 0 :‬בהתחלה ובסוף‪ ,‬נשמר‪.‬‬
‫• הטלת האיזוספין‪ 0 :‬בהתחלה ובסוף‪ ,‬נשמרת‪.‬‬
‫• מוזרות‪ −1 :‬בהתחלה ובסוף‪ ,‬נשמרת‪.‬‬
‫• זוגיות‪:‬‬
‫‪Li‬‬
‫)‪= − (−1‬‬
‫‪Li‬‬
‫)‪ (−1) (+1) (−1‬לפני ו־‬
‫‪Lf‬‬
‫)‪= − (−1‬‬
‫‪Lf‬‬
‫)‪ (−1) (+1) (−1‬אחרי‪ ,‬נשמרת אם ‪.Li = Lf‬‬
‫• צימוד מטען‪ :‬לא רלוונטי ‪ -‬המצב ההתחלתי והסופי אינם מצבים עצמיים של ‪.C‬‬
‫• איזוספין‪ 0, 1 :‬לפני ו־‪ 1‬אחרי‪ ,‬נשמר‪.‬‬
‫‬
‫התהליך יכול להתרחש‪ ,‬לפי סדר השכיחויות‪ ,‬באינטראקציה חזקה‪ ,‬אלקטרומגנטית או חלשה‪.‬‬
‫פתרון סעיף ה'‬
‫התהליך‪K + + π − → νe + νe :‬‬
‫חלקיק‬
‫‪K+‬‬
‫‪π−‬‬
‫‪νe‬‬
‫מסה ב־‪MeV‬‬
‫‪490‬‬
‫‪140‬‬
‫‪0‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪0‬‬
‫קווארקים‬
‫‪us‬‬
‫‪du‬‬
‫‪−‬‬
‫‪L‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪B‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪I, I3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2, +2‬‬
‫‪1, −1‬‬
‫‪−‬‬
‫‪S‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪JPC‬‬
‫‪0−‬‬
‫‪0−‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫• מטען חשמלי‪ 0 :‬בהתחלה ובסוף‪ ,‬נשמר‪.‬‬
‫• מספר בריוני‪ 0 :‬בהתחלה ובסוף‪ ,‬נשמר‪.‬‬
‫• מספר לפטוני‪ 0 :‬בהתחלה ו־‪ 2‬בסוף‪ ,‬לא נשמר‪ .‬לפיכך האינטראקציה אסורה‪.‬‬
‫‬
‫פתרון סעיף ו'‬
‫התהליך‪e− + e+ → p + π 0 + π − :‬‬
‫חלקיק‬
‫‪e−‬‬
‫‪e+‬‬
‫‪p‬‬
‫‪π0‬‬
‫‪π−‬‬
‫מסה ב־‪MeV‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪940‬‬
‫‪130‬‬
‫‪140‬‬
‫קווארקים‬
‫‪−‬‬
‫‪−‬‬
‫√ ‪uud‬‬
‫‪uu − dd / 2‬‬
‫‪du‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪+1‬‬
‫‪+1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪B‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪L‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪I, I3‬‬
‫‪−‬‬
‫‪−‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪,‬‬
‫‪2 +2‬‬
‫‪1, 0‬‬
‫‪1, −1‬‬
‫‪S‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪JPC‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1+‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−+‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0−‬‬
‫• מטען חשמלי‪ 0 :‬בהתחלה ובסוף‪ ,‬נשמר‪.‬‬
‫• מספר בריוני‪ 0 :‬בהתחלה ו־‪ 1‬בסוף‪ ,‬לא נשמר‪ .‬לפיכך האינטראקציה אסורה‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫‬
‫פתרון סעיף ז'‬
‫‪0‬‬
‫התהליך‪K 0 → K :‬‬
‫מסה ב־‪MeV‬‬
‫‪500‬‬
‫‪500‬‬
‫חלקיק‬
‫‪K0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪K‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫קווארקים‬
‫‪ds‬‬
‫‪sd‬‬
‫‪B‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪L‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪I, I3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2, +2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2, −2‬‬
‫‪S‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪JPC‬‬
‫‪0−‬‬
‫‪0−‬‬
‫• מטען חשמלי‪ 0 :‬בהתחלה ובסוף‪ ,‬נשמר‪.‬‬
‫• מספר בריוני‪ 0 :‬בהתחלה ובסוף‪ ,‬נשמר‪.‬‬
‫• מספר לפטוני‪ 0 :‬בהתחלה ובסוף‪ ,‬נשמר‪.‬‬
‫• הטלת האיזוספין‪ + 12 :‬בהתחלה ו־ ‪ − 21‬בסוף‪ ,‬לא נשמרת‪ .‬לפיכך האינטראקציה חייבת להיות חלשה‪.‬‬
‫הדיאגרמה‪:‬‬
‫→‬
‫↑‬
‫‪W−‬‬
‫↑‬
‫← ‪u‬‬
‫‪u‬‬
‫‪s‬‬
‫‪d‬‬
‫→‬
‫↓‬
‫‪W−‬‬
‫↓‬
‫←‬
‫‪d‬‬
‫‪s‬‬
‫‬
‫פתרון סעיף ח'‬
‫התהליך‪Σ+ → n + e+ + νe :‬‬
‫חלקיק‬
‫מסה ב־‪MeV‬‬
‫קווארקים‬
‫‪Q‬‬
‫‪B‬‬
‫‪L‬‬
‫‪I, I3‬‬
‫‪Σ+‬‬
‫‪n‬‬
‫‪e+‬‬
‫‪νe‬‬
‫‪1190‬‬
‫‪940‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪0‬‬
‫‪uus‬‬
‫‪udd‬‬
‫‪−‬‬
‫‪−‬‬
‫‪+1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪+1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1, +1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2, −2‬‬
‫‪−‬‬
‫‪−‬‬
‫‪S‬‬
‫‪JPC‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1+‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1+‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫• מטען חשמלי‪ 1 :‬בהתחלה ובסוף‪ ,‬נשמר‪.‬‬
‫• מספר בריוני‪ 1 :‬בהתחלה ובסוף‪ ,‬נשמר‪.‬‬
‫• מספר לפטוני‪ 0 :‬בהתחלה ובסוף‪ ,‬נשמר‪.‬‬
‫האינטראקציה חייבת להיות חלשה‪ ,‬מכיוון שמשתתף בה נייטרינו‪ .‬לפיכך כל שאר המספרים הקוונטיים לא רלוונטיים‪.‬‬
‫דיאגרמה אפשרית היא‪:‬‬
‫‪→ e+‬‬
‫‪→ νe‬‬
‫→‬
‫→ ‪u‬‬
‫‪u‬‬
‫→‬
‫‪d‬‬
‫→‬
‫→ ‪u‬‬
‫‪d‬‬
‫↓‬
‫‪W+‬‬
‫→‬
‫‪s‬‬
‫‪d‬‬
‫↓‬
‫‪W+‬‬
‫↓‬
‫→‬
‫‪u‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ,(gW‬בשלישי יש מעבר‬
‫בדיאגרמה ארבעה קדקודים‪ :‬בשניים מהם יש מעבר מ־‪ u‬ל־‪) d‬לכן הם תורמים פקטור ‪cos2 θC‬‬
‫מ־‪ s‬ל־‪) u‬לכן הוא תורם פקטור ‪ (gW sin θC‬וברביעי משתתפים רק לפטונים‪ ,‬לכן הוא תורם פקטור ‪ .gW‬בסה"כ‪ ,‬קבוע‬
‫‪4‬‬
‫‬
‫‪.gW‬‬
‫הפרופורציה של האמפליטודה יהיה ‪cos2 θC sin θC‬‬
‫‪8‬‬
‫שאלה ‪4‬‬
‫נדון בדעיכת החלקיק ‪ :∆+ = uud‬מסה ‪ ,m = 1232 MeV‬ספין־זוגיות‬
‫‪3+‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪ J P‬ואיזוספין ‪.I, I3 = 32 , + 12‬‬
‫א‪ .‬שני תהליכים אפשריים דרכם מתרחשת הדעיכה הם ‪ ∆+ → π + n‬ו־‪ .∆+ → π 0 p‬ציירו את הדיאגרמות )ברמה‬
‫הקווארקית( המתאימות לשני התהליכים הנ"ל‪.‬‬
‫‬
‫ב‪ .‬מצאו מהו היחס בין חתכי הפעולה של שני התהליכים הנ"ל‪ ,‬כלומר את ‪.R = σ (∆+ → π + n) /σ ∆+ → π 0 p‬‬
‫ג‪ .‬סמנו את זמן החיים של ‪) ∆+‬שהוא חלקיק לא יציב( ב־ ‪ ,τ‬ורשמו את פונקציית הגל )‪ ψ (t‬של החלקיק במערכת‬
‫המנוחה שלא )אין צורך לנרמל(‪.‬‬
‫ד‪ .‬בניסוי פיזור פאיון־נוקליאון ) ‪ πN → ∆+ → π 0 N 0‬כאשר ‪ (N = p or n‬ניתן למדוד את המסה של מערכת‬
‫הפאיון־נוקליאון בכל מאורע‪ .‬הסבירו בקצרה איך תמדדו זאת‪.‬‬
‫ה‪ .‬כאשר מודדים את חתך הפעולה הדיפרנציאלי כתלות במסת מערכת הפאיון־נוקליאון‪ ,‬נצפה רזוננס מתאים לחלקיק‬
‫‪ ∆+‬בנקודה ‪ .E = 1232 MeV‬בצעו טרנספורם פורייה לפונקציית הגל שמצאתם ממרחב הזמן למרחב האנרגיה‪:‬‬
‫∞ ˆ‬
‫= )‪Ψ (E‬‬
‫‪ψ (t) ei Et dt‬‬
‫‪0‬‬
‫חשבו את ריבוע האמפליטודה במרחב האנרגיה והוכיחו שהתוצאה המתקבלת אכן מתאימה לרזוננס שנצפה בניסוי‪.‬‬
‫הניחו כי ניתן לבצע את האינטגרציה רק בתחום ‪.t ≥ 0‬‬
‫ו‪ .‬הניחו כי אפשר לבצע התאמה )‪ (fit‬לנתונים הניסיוניים בכדי לקבל את כל הפרמטרים של הפונקציה שמצאתם‬
‫בסעיף האחרון‪ .‬איך הייתם מעריכים את זמן החיים של החלקיק ‪ ∆+‬בעזרת הפרמטרים הנ"ל?‬
‫פתרון סעיף א'‬
‫‬
‫התהליך )‪:∆+ (uud) → π + ud + n (udd‬‬
‫‪u → u‬‬
‫‪u → u‬‬
‫‪d → d‬‬
‫‪g → d‬‬
‫‪→ d‬‬
‫‬
‫התהליך )‪:∆+ (uud) → π 0 uu − dd + p (uud‬‬
‫‪u → u‬‬
‫‪u → u‬‬
‫‪d → d‬‬
‫‪g → u/d‬‬
‫‪→ u/d‬‬
‫‬
‫פתרון סעיף ב'‬
‫בבסיס איזוספין מתקיים‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪1 1‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪|pi = , +‬‬
‫‪,‬‬
‫‪|ni = , −‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪π = |1, 0i ,‬‬
‫‪ +‬‬
‫‪π = |1, +1i ,‬‬
‫לפי הטבלאות של מקדמי קלבש־גורדן‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪ +‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪π + n = |1, +1i 1 , − 1 = 2 1 , + 1 + √1 3 , + 1‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪3 2 2‬‬
‫‪3 2 2‬‬
‫‪9‬‬
‫‬
‫‬
‫‪ + 3 1‬‬
‫‪∆ = , +‬‬
‫‪2 2 ,‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫ ‪ r‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪ 0‬‬
‫‬
‫‪π + p = |1, 0i 1 , + 1 = − √1 1 , + 1 + 2 3 , + 1‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪3 2 2‬‬
‫‪3 2 2‬‬
‫לכן האמפליטודה למעבר מ־‪ |∆+ i‬ל־‪ |π + + ni‬היא‪:‬‬
‫ ‪r‬‬
‫‬
‫‬
‫ ‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫!‬
‫‬
‫ ‪3 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3 1 3 1‬‬
‫‪2 1 1‬‬
‫‪1 3 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫= ‪h∆ |H|π + ni‬‬
‫√=‬
‫‪,+ H‬‬
‫‪,+‬‬
‫‪+ √ ,+‬‬
‫‪,+ H ,+‬‬
‫‪≡√ A‬‬
‫‬
‫‪2 2‬‬
‫‪3 2 2‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪3 2 2‬‬
‫‪3 2 2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‬
‫והאמפליטודה למעבר מ־‪ |∆+ i‬ל־ ‪ π + p‬היא‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫ ‬
‫‬
‫ ‪ r‬‬
‫ ‪! r‬‬
‫‪ r‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2 3 1 3 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪+‬‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫= ‪h∆ |H|π + pi‬‬
‫‪, + H −√ , +‬‬
‫‪+‬‬
‫‪,+‬‬
‫=‬
‫‪,+ H ,+‬‬
‫≡‬
‫‪A‬‬
‫‬
‫‪2 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫היחס בין חתכי הפעולה יהיה‪ ,‬אם כן‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪ √1 2‬‬
‫‪A‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫)‪σ (∆ → π n‬‬
‫‪3‬‬
‫=‪R‬‬
‫= ‪= q 2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪0‬‬
‫)‪σ (∆ → π p‬‬
‫‪2‬‬
‫ ‪ 2‬‬
‫‪ 3 A‬‬
‫‬
‫פתרון סעיף ג'‬
‫פונקציית הגל של חלקיק חופשי היא‪:‬‬
‫)‪− i(Et−p·r‬‬
‫‪=e‬‬
‫‪− i pµ x µ‬‬
‫‪ψ (t) = e‬‬
‫במערכת המנוחה ‪ p = 0‬ו־‪ ,E = m‬לכן‪:‬‬
‫‪ψ (t) = e− i mt‬‬
‫נוסיף מקדם דעיכה ונקבל‪:‬‬
‫‪ψ (t) = e−t/τ e− i mt‬‬
‫‬
‫פתרון סעיף ד'‬
‫בכל מאורע ניתן למדוד באמצעות גלאים את ה־‪4‬־תנעים של ה־ ‪ π 0‬וה־ ‪ N 0‬שהתקבלו‪ ,‬ולחשב בעזרתם את מסת המערכת‬
‫כך‪:‬‬
‫~| = ‪mπ0 N 0‬‬
‫| ‪pπ0 + p~N 0‬‬
‫פתרון סעיף ה'‬
‫נסמן ‪ Γ ≡ 1/τ‬ונבצע טרנספורם פורייה‪:‬‬
‫∞‬
‫ˆ‬
‫‪ψ (t) ei Et dt‬‬
‫= )‪Ψ (E‬‬
‫∞ ‪ˆ0‬‬
‫‪e−t/τ e− i mt ei Et dt‬‬
‫=‬
‫ˆ‬
‫‪0‬‬
‫∞‬
‫‪e−(Γ+i(m−E))t dt‬‬
‫∞‬
‫ ‪e−(Γ+i(m−E))t‬‬
‫=‬
‫‪− (Γ + i (m − E)) 0‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫)‪Γ + i (m − E‬‬
‫=‬
‫‪0‬‬
‫‪10‬‬
‫‬
‫ריבוע האמפליטודה יהיה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‬
‫‬
‫ = |)‪|Ψ (E‬‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫)‪Γ + i (m − E‬‬
‫)‪Γ + (m − E‬‬
‫הפונקציה שקיבלנו מקבלת בבירור מקסימום גלובלי בנקודה ‪ ,E = m‬ולכן נראה רזוננס סביב הנקודה הזאת‪ ,‬כפי שרצינו‬
‫‬
‫להוכיח‪.‬‬
‫פתרון סעיף ו'‬
‫אם ניתן לקבל את כל הפרמטרים של הפונקציה באמצעות התאמה לנתונים הניסיוניים‪ ,‬אז בפרט ניתן לקבל גם את ‪,Γ‬‬
‫‬
‫ואז זמן החיים יהיה בקירוב ‪.τ = 1/Γ‬‬
‫שאלה ‪5‬‬
‫פצצת אטום )כמו גם כורים גרעיניים( מבוססת על תהליך הביקוע של אורניום בו משתחררת אנרגיה בתהליך‬
‫‪93‬‬
‫‪140‬‬
‫‪ .n + 235‬נחשב את אנרגיית הקשר של היסודות בתהליך הנ"ל‪ ,‬תוך שימוש‬
‫כגון ‪92U → 37Rb + 55Cs + 3n‬‬
‫במודל טיפת הנוזל‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪B (A, Z) = aV A − aS A2/3 − aC z 2 A−1/3 − aA (Z − A/2) A−1 − aP A−1/2‬‬
‫כאשר‪:‬‬
‫‪aA ≈ 93.14‬‬
‫‪aS ≈ 17.23,‬‬
‫‪aC ≈ 0.697,‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪−12 A even and Z even‬‬
‫‪aP = 0‬‬
‫‪A odd‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪+12 A even and Z odd‬‬
‫‪aV ≈ 15.56,‬‬
‫והיחידות של כל המקדמים נתונות ב־‪.MeV‬‬
‫א‪ .‬חשבו את אנרגיית הקשר של כל אחד מהיסודות‬
‫יתרמו ואילו לא‪.‬‬
‫‪235‬‬
‫‪93‬‬
‫‪140‬‬
‫‪92U, 37Rb, 55Cs‬‬
‫במסגרת מודל הטיפה‪ .‬שימו לב אילו איברים‬
‫ב‪ .‬חשבו את סך האנרגיה המשתחררת בהתפרקות אחת‪ .‬הזניחו את האנרגיה הקינטית של הנייטרון במצב ההתחלתי‪,‬‬
‫את מסת האלקטרונים באטום ואת אנרגיית הקשר של האלקטרונים‪.‬‬
‫ג‪ .‬נתון כי מסת האורניום בפצצה היא ‪ m ≈ 25 kg‬ומסת נוקליאון אחד היא ‪ .1 amu ≈ 1.66 × 10−27 kg‬חשבו את‬
‫האנרגיה המשתחררת )בקילוטון ‪ (1 MeV = 3.83 × 10−26 kT ,TNT‬בהנחה שכל אטומי האורניום מתפרקים‪.‬‬
‫ד‪ .‬השוו לעוצמת פצצת האטום שהוטלה על הירושימה )כ־‪ .(15 kT‬הסבירו האם ההנחות שעשינו סבירות‪.‬‬
‫פתרון סעיף א'‬
‫נחשב ונקבל‪:‬‬
‫‪≈ 1157 MeV‬‬
‫‬
‫‪140‬‬
‫‪55Cs‬‬
‫‪B‬‬
‫‬
‫‪B 93‬‬
‫‪37Rb ≈ 792 MeV,‬‬
‫‪≈ 1787 MeV,‬‬
‫‬
‫‪235‬‬
‫‪92U‬‬
‫‪B‬‬
‫‬
‫פתרון סעיף ב'‬
‫האנרגיה המשתחררת היא ההפרש בין אנרגיית הקשר הכוללת לפני ואחרי‪:‬‬
‫‪∆E ≈ 792 MeV + 1157 MeV − 1787 MeV ≈ 162 MeV‬‬
‫‪11‬‬
‫‬
‫פתרון סעיף ג'‬
‫נחשב ונקבל כ־‪.398 kT‬‬
‫‬
‫פתרון סעיף ד'‬
‫הפצצה שלנו הרבה יותר חזקה‪ ,‬פי ‪ 26‬בערך‪ .‬בהנחה כי גם הפצצה שהוטלה על הירושימה הכילה ‪ 25 kg‬אורניום‪ ,‬נראה‬
‫‬
‫שההנחות שעשינו אינן סבירות‪ .‬למשל‪ ,‬אולי לא כל אטומי האורניום מתפרקים‪.‬‬
‫‪12‬‬