77101 מכניקה ויחסות פרטית • המבחן הוא ללא כל חומר עזר, פרט לפריטים

‫דר' גיא רון‬
‫פרופ' ניר שביב‬
‫מכניקה ויחסות פרטית ‪77101‬‬
‫מועד א׳‪ ,‬תשע"ד‬
‫• המבחן הוא ללא כל חומר עזר‪ ,‬פרט לפריטים הבאים‪:‬‬
‫ ‪ 2‬דפי נוסחאות )‪ 4‬עמודי ‪.(A4‬‬‫ מחשבון‬‫ חוברת אינטגרלים או ספר עזר במתמטיקה ) ‪.(Mathematical Handbook‬‬‫ מילון לדוברי שפה זרה‬‫• יש לנמק את התשובות‪ .‬תשובה לא מנומקת לא תתקבל‪.‬‬
‫• משך המבחן ‪ 3‬שעות‪.‬‬
‫• בבחינה ‪ 2‬חלקים‪:‬‬
‫ בחלק א' יש לענות על ‪ 2‬מתוך ‪ 3‬שאלות‪ 35) .‬נק' כל שאלה(‬‫ בחלק ב' יש לענות על ‪ 2‬מתוך ‪ 3‬שאלות‪ 15) .‬נק' כל שאלה(‬‫• יש לכתוב בצד שמאל של המחברת בלבד‪ .‬בצד ימין ניתן להשתמש כטיוטא‪.‬‬
‫• יש לכתוב את פתרון השאלות השונות בעמודים נפרדים ולהקיף את הפתרונות הסופיים במסגרת‪.‬‬
‫• לפני מסירת הבחינה‪ ,‬יש לציין על הצד הפנימי של כנף העטיפה את השאלות שנבחרו לבדיקה‪ .‬כל זאת‬
‫בכדי להקל על הבדיקה ולמנוע טעויות מיותרות‪ .‬תודה!‬
‫• כמו בחיים האמיתיים‪ ,‬בשאלות יתכנו נתונים שאינם דרושים לפתרון הבעיה‪.‬‬
‫בהצלחה!‬
‫חלק א׳‬
‫ענו על שתיים מתוך שלוש השאלות )‪ 35‬נק׳ כל שאלה(‪:‬‬
‫‪ .1‬מוט על גלילים מסתובבים‪ :‬מוט אחיד בעל מסה ‪ M‬מונח על שני גלילים )בעלי צירים הקבועים במרחב(‬
‫ברדיוס ‪ R‬שמרכזיהם במרחק ‪ a‬זה מזה‪ .‬המוט מונח אסימטרית כך שמרחק מרכז המוט מאחד הגלילים‬
‫הוא ‪ . x 0‬מקדם החיכוך הדינמי בין הגלילים למוט הוא ‪) ,‬הניחו בכל השאלה כי החיכוך הוא קינטי –‬
‫כלומר הגלגלים אינם במצב של גלגול ללא החלקה(‪ .‬תנאי ההתחלה של מרכז המוט הם‪:‬‬
‫‪x (0)= x 0‬‬
‫‪x˙ (0)=0‬‬
‫מצאו ופיתרו את משוואות התנועה עבור מרכז המוט כאשר‪:‬‬
‫א‪ .‬הגלילים מסתובבים זה לקראת זה במהירות זוויתית * ‪.‬‬
‫ב‪ .‬הגלילים מסתובבים במהירות זוויתית * בכיוון ההפוך מסעיף א׳‬
‫)כלומר הופכים את הכיוון הסיבוב של שני הגלילים( ‪.‬‬
‫‪ .2‬קליעים ומוטות‪ :‬שלושה מוטות מחוברים זה לזה בקצוותיהם‪ ,‬באופן קשיח‪ ,‬במישור‪ ,‬ויוצרים זווית של ‪120°‬‬
‫ביניהם‪ .‬המוטות דקים‪ ,‬בעלי אורך ‪ L‬ומסה ‪ m‬כל אחד‪ .‬מערכת המוטות נמצאת במנוחה על שולחן אופקי‬
‫חסר חיכוך‪ .‬ברגע מסוים פוגעים שני קליעים שמסותיהם ‪ m‬כל אחד‪,‬‬
‫במהירות ‪ v0‬בקצוות של שניים מהמוטות‪ ,‬בכיוון ניצב להם ונצמדים‪,‬‬
‫כמתואר בציור‪.‬‬
‫א‪ .‬בטאו את ווקטור המיקום של מרכז המסה כתלות בזמן‪ ,‬אחרי‬
‫ההתנגשות‪ .‬הגדירו את ראשית הצירים כמקום החיבור של המוטות‬
‫לפני פגיעת הקליעים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מהי המיהירות הזוויתית של המערכת סביב מרכז המסה?‬
‫ג‪ .‬מהי המהירות המקסימלית של הקצה ללא קליע יחסית לשולחן‪ ,‬וכעבור‬
‫כמה זמן מהירות זו תתקבל?‬
‫‪ .3‬מיואונים ופיונים‪:‬‬
‫א‪ .‬לחלקיק מסוג מיואון מסת מנוחה של ‪ M ,=106 MeV /c2‬וזמן חיים של ‪ . 2.2⋅10-6 Sec‬חלקיקים‬
‫כאלו נוצרים באטמוספירה )נאמר בגובה של ‪ 10‬ק"מ( ונמדדים לעיתים בכדור הארץ )כמו בחדר‬
‫ההרצאות בבניין פלדמן(‪ .‬מהי האנרגיה המינימלית לחלקיק כזה ע"מ שיגיע לפני כדור הארץ בזמן קצר‬
‫מזמן החיים שלו?‬
‫ב‪ .‬פרוטונים בעלי אנרגיה גבוהה מאוד ) ‪ ( M p =938 MeV /c 2‬יכולים לאבד אנרגיה ע"י התנגשויות עם‬
‫‪+‬‬
‫פוטונים של קרינת הרקע הקוסמית וייצור פיונים ) ‪ ( M -=139 MeV /c 2‬בתהליך‪. p&+' p&- :‬‬
‫‪-4‬‬
‫לפוטונים של קרינת הרקע הקוסמית אנרגיה של ‪) E +=3.45⋅10 eV‬לידע כללי‪ ,‬המתאימה‬
‫לטמפרטורה של ‪ 2.7‬מעלות( וכמובן פוטונים הם חסרי מסה‪ .‬מהי האנרגיה הדרושה לפרוטון ע"מ‬
‫שהתהליך יתאפשר )רמז‪ :‬הוכיחו קודם כי באנרגיה מספיק גבוהה מתקיים בקירוב ‪E p =P p c‬‬
‫‪6‬‬
‫והשתמשו בקירוב זה‪ .‬כמו כן‪.( MeV =10 eV ,‬‬
‫חלק ב׳‬
‫ענו על שתיים מתוך שלוש השאלות )‪ 15‬נק׳ כל שאלה(‪:‬‬
‫*‬
‫‪ .4‬חרוז על חישוק‪ :‬חרוז בעל מסה ‪ m‬נע ללא חיכוך על חישוק בעל רדיוס ‪.R‬‬
‫החישוק מאולץ להסתובב בתדירות זוויתית * קבועה‪ .‬בבעיה אין כבידה‪.‬‬
‫מצאו את התדירות ‪ .‬של תנודות קטנות שיבצע החרוז סביב הנקודות‬
‫הרחוקות מציר הסיבוב‪ ,‬כמתואר בציור‪.‬‬
‫‪ .5‬פרצסיית כדו״א‪ :‬ציר הסיבוב של כדו״א מבצע פרצסיה כתוצאה ממונט ממוצע המופעל ע״י גרמי‬
‫שמיים אחרים בזמן מחזור של ‪ 26000‬שנים‪ .‬אם הציר סביבו מבצע כדו״א את הפרצסיה ניצב למסלול‬
‫סיבובו של כדו״א סביב השמש )כמתואר בציור(‪ ,‬מצאו את גודלו הממוצע של מומנט זה‪ .‬מה כיוונו בכל‬
‫רגע נתון?‬
‫‪24‬‬
‫‪37‬‬
‫‪2‬‬
‫לשימושכם‪ ,‬מסת כדו״א היא ‪ M E =6.0×10 kg‬ומומנט האינרציה שלו הוא ‪. I E =8.0×10 kg m‬‬
‫כמו כן ציר סיבוב כדו״א נתוי בזווית של ‪ 23.4°‬יחסית למסלול הסיבוב של כדו״א סביב השמש‪.‬‬
‫‪ .6‬תנודות כדורים וקפיצים‪ :‬שני כדורים בעלי מס ה ‪ 2m‬ו‪3m 3m-‬‬
‫מחוברים ע״י שני קפיצים במקביל‪ ,‬בעלי קבועי קפיץ ‪ 2k‬ו‪.3k-‬‬
‫הכדורים נזרקים באוויר‪ .‬מה תהיה התדירות הזוויתית של‬
‫התנודה אם המערכת אינה מסתובבת?‬
‫‪3k‬‬
‫‪2k‬‬
‫‪2m‬‬