VEKTORJI

1
*
1
*
VEKTORJI
5
1*
*
razlaga
*
vaje
*
test
rešitve
➤
Vektor
Vektor je količina, določena s smerjo, usmerjenostjo in velikostjo. Ponazorimo ga z usmerjeno
daljico.
končna točka B
a
AB
A začetna točka
−
−−
Vsak urejen par točk (A, B) določa vektor −a = AB .
Smer vektorja določa premica nosilka vektorja.
Usmerjenost vektorja določa vrstni red začetne in
končne točke na premici nosilki.
Velikost vektorja je dolžina daljice (razdalja med
−
−−
točkama A in B): |AB | = d (A, B ).
Vektorja sta enaka, če imata enako velikost in se ujemata v smeri in usmerjenosti. (Vektor se ne
spremeni, če ga vzporedno premaknemo.) Nasprotni vektor (oznaka −−a ) vektorja −a je vektor, ki ima
−
−−
−
−−
enako velikost in smer kot vektor −a , a je nasprotno usmerjen: −AB = BA . Ničelni vektor je vektor, pri
katerem začetna in končna točka sovpadata (nima smeri in usmerjenosti, velikost pa ima 0). Enotski
vektor je vektor z velikostjo 1.
Računanje z vektorji
Seštevanje vektorjev: a + b
Lastnosti seštevanja:
komutativnost
a+ b = b +a
a +b + c = a + b+c asociativnost
a + (-a) = 0
a +0 = a
trikotniško pravilo
a
paralelogramsko pravilo
Vektorja premaknemo v sosednjo lego (začetna točka
−
b je v končni točki −a ).
b
b
a
a
b
a
a +b
a +b
Vsota −a + b je vektor od začetne točke −a do končne točke b . b
−
−
Odštevanje vektorjev: a- b = a + -b
prištevanje nasprotnega vektorja
a
a
b
-b
a
a- b -b
a
b
a
b
a-b
Množenje vektorja s številom: m a, m
Produkt vektorja −a s številom m = 0 je vektor m−a , ki ima:
▶ enako smer kot −a ,
▶ če je m > 0 enako usmerjenost kot −a in če
je m < 0 nasprotno usmerjenost kot −a ,
▶ velikost |m−a | = |m| · |−a |.
Lastnosti množenja vektorja s številom:
asociativnost v skalarnem faktorju
m(na) = n(ma)
(m + n)a = ma + na distributivnost v skalarnem faktorju
m a +b = ma + mb distributivnost vektorskem faktorju
Enotski vektor v smeri vektorja −a je vektor, ki ima isto smer in usmerjenost kot −a ter velikost 1: e = 1 a.
a
Relacije med vektorji
−
−
−
b sta kolinearna, če sta vzporedna. Če sta vektorja −a
b kolinearna in −a = 0 , potem
Vektorja −a
−
−
obstaja tak m ∈ R , da velja b = m a .
−
−
b je vektor m−a + n b m
n ∈ R.
Linearna kombinacija vektorjev −a
−
−
−
b sta linearno neodvisna, če je m−a + n b = 0 samo za m = n = 0.
Vektorja −a
ma
−
a
b sta linearno odvisna, če in samo če sta kolinearna.
Vektorja −a
−
−
c so komplanarni, če jih lahko vzporedno premaknemo tako, da ležijo v isti ravnini.
Vektorji −a b
−
−
−
c so komplanarni, potem obstajata taka m, n ∈ R, da velja −c = m−a + n b .
Če so vektorji −a b
−
−
−
−
c so linearno neodvisni, če m−a + n b + p−c = 0 samo za m = n = p = 0
Vektorji −a b
−
−
c so linearno odvisni, če in samo če so komplanarni.
Vektorji −a b
6
*
razlaga
*
vaje
*
test
rešitve
1
➤
*
Baza
Baza premice. Bazni
vektor je neničelni vektor.
a
Baza ravnine. Tvorita jo
dva linearno neodvisna vektorja.
b = ma
b
−
Vsak vektor b na premici enolično izrazimo kot linearno kombinacijo baznegaa vektorja −a.
pc
b
a
ma
Vsak vektor −c v ravnini enolično
izrazimo kot linearno kombinaci−
b.
jo baznih vektorjev −a
c = ma + nb
b = ma
linearno neodvisni vektorji.
c
nb c
a
Baza prostora. Tvorijo jo trije
y
−
d = ma + nb + pc
Standardna baza
prostora
1
i = (1, 0)
j = (0,1)
j
0
i
1
z
1
i = (1, 0, 0)
j = (0,1, 0)
k = (0, 0,1)
x
nb
ma
Vsak vektor d v prostoru enolično izrazimo kot linearno kombi−
−
c.
nacijo baznih vektorjev −a b
Ortonormirano bazo sestavljajo enotski vektorji, ki so paroma pravokotni.
Standardna baza
ravnine
d
k
j
y
i 0
1
x 1
Krajevni vektor točke A je vektor od
koordinatnega izhodišča do točke
−
−−
rA = OA)
A(−
(a1, a2, a3) + (b1, b2, b3) = (a1+ b1, a2 + b2 , a3 + b3)
rA = a1i + a2 j + a3k = (a1, a2, a3)
(a1, a2, a3) - (b1, b2, b3) = (a1- b1, a2- b2 , a3- b3)
z
a3
1
x
a1
1
ra
Seštevanje vektorjev:
Odštevanje vektorjev:
Množenje vektorjev s skalarjem:
A(a1, a2, a3)
m (a1, a2, a3) = (ma1, ma2, ma3)
1 a2 y
−
−−
Vektor od točke A do točke B je enak
AB = r−−B − −
rA
AB = rB - rA = (b1- a1, b2- a2 , b3- a3)
Skalarni produkt
−
b , ki oklepata kot
vektorjev −a
a (0 ≤ a ≤ 180)
b
α
a
a�b = a � b � cosα
cosα = a�b
a�b
Kot med neničelnima
−
vektorjema −a b
a = a12 + a22 + a32
cosα =
a1b1 + a2b2 + a3b3
a + a22 + a32 � b12 + b22 + b32
2
1
−
−
b sta pravokotna natanko takrat, ko je njun skalarni produkt −a · b = 0 .
Kosinusni izrek (trikotnik
△ABC s stranicami a, b, c in
notranjimi koti a, b, g)
a2 = b 2 + c 2- 2bccosα
b 2 = a 2 + c 2- 2accosβ
c 2 = a 2 + b 2- 2abcosγ
a�b = a1b1 + a2b2 + a3b3
a = a�a
Dolžina vektorja −a
Neničelna vektorja −a
v pravokotnem koordinatnem sistemu
C
Lastnosti skalarnega produkta:
g
A
a
b
B
a� b = b � a
a� b+ c = a� b + a �c
a� mb = ma � b = m a �b , m
komutativnost
distributivnost
homogenost
7
1*
*
*
vaje
razlaga
➤
*
test
rešitve
Zgled 1.1
V ravnini je dan pravokotnik ABCD s stranicama a = 8 cm in b = 6 cm. Točka S je presečišče diagonal
−
−
−−
−
−−
b = AD .
pravokotnika. Naj bo −a = AB
−
−−
−−
−−
−−
−−
−
−−
b.
a) Nariši vektorje DS + AS DS − AS 2AS 12 BD . Izrazi narisane vektorje z −a
−
−−
b) Zapiši enotski vektor v smeri vektorja BD .
a) Narišimo pravokotnik.
−−
Narišemo vektorja DS
D
C
DS
b
AS
A
Postavimo ju v sosednjo lego.
−−
AS .
D
DS
b
S
a
B
D
C
AS
a
B
Vidimo, da je DS + AS = a .
−
−−
−−
Lahko pa tudi izračunamo: DS + AS = (− 12 b + 12 −a ) + ( 12 −a +
S
A
1−
2 b)
−−
C
DS + AS
DS AS
b
S
A
−−
Narišemo vsoto DS + AS .
a
D
−
=a
B
DS + AS
DS AS
C
S
A
Podobno narišemo še ostale primere.
−−
−−
−−
−−
−−
−−
DS − AS = DS + (−AS ) = DS + SA
D
C
DS
b
-AS
A
−−
a
A
B
DS - AS = -b
−
−−
2AS
D
b
S
2AS
C
a
1
−−
|BD|
1 −−−
2 BD
D
b
S
2AS = a + b
b) Enotski vektor v smeri vektorja BD je vektor −e =
−
−−
B
B
A
C
S
1
—
2 BD
a
B
1
1a —
1b
—
—
2 BD = - 2 + 2
−
−−
· BD.
Izračunati moramo dolžino vektorja BD. Ker je daljica BD diagonala pravokotnika ABCD,
uporabimo Pitagorov izrek: |BD| = a2 + b2 = 82 + 62 = 10.
−
−−
−
−−
1 −−−
BD.
Dolžina vektorja |BD| = 10, zato je enotski vektor v smeri vektorja BD enak −e = 10
1. Dan je pravilen šestkotnik ABCDEF s
stranico 1.
Poišči pravilno trditev.
−
−−
−
−−
A. AB = −ED
−
−−
B. AE je enotski vektor.
−
−−
−
−−
C. BC = AF
−
−−
D. BB je ničelni vektor.
8
2. Dana je pravilna enakoroba štiristrana
piramida. Osnovna ploskev je kvadrat ABCD,
vrh piramide pa V. Poišči pravilno trditev.
−
−−
−
−−
V
−
−−
−
−−
−
−−
−
−−
a D a
−
−−
−
−−
A. AV = CV
B. AD = BC
C. AC = BD
D. AB = CD
A
a
a
B
C
a
*
*
vaje
razlaga
3. Katera trditev za vektorje na sliki ne drži?
−
−
A. −a + b + −c = d
−
−
c
−
B. d − a − c = b
−
−
−
−
d
−
C. −a + b = −c + d
−
−
−
a
−
D. d − −a = −c + b
b
1
➤
*
test
rešitve
*
4. Dana je vektorska enačba
−
−
−
b − 12 ( 14 b − 2−a ) − 7−
x = −a in velja b = 0.
Kaj je rešitev enačbe?
x =0
A. −
x=
B. −
x=
C. −
1
8
1−
8b
−
D. 8−a = b
−
5. Dani so vektorji −a b
c . Nariši:
−
−
−
a) −a − b + −c
b) 2−a + 13 b − 3,5−c
Vektor b razdeli na tri enake
dele s pomočjo Talesovega
izreka o sorazmerjih .
−
a
b
−
c
6. Poenostavi:
−
−
−
a) −a + (− b ) + −c − b − −c + 0 − (−−a ) + −c
b) 35 −a + 2(−c −
1−
5 b)
−
− (3 b − −c ) ·
2
5
− (−4−a ) + −c
7. V ravnini je dan paralelogram ABCD. Točka S je presečišče diagonal paralelograma. Naj bo
−
−
−−
−
−−
−−
−
−−
−
−−
−
−−
−
a = AB
b = AD . Nariši vektor 2DS + 12 AD − AS − 12 AB in ga izrazi z vektorjema −a
b.
Dodatna naloga
e=
1
� NC
NC
1. V ravnini je dan enakokrak trikotnik △ABC z osnovnico c = 10 cm in krakom a = 13 cm. Točka N je nožišče višine na
osnovnico. Izberi bazna vektorja in z njima izrazi vektor v smeri višine na osnovnico. Določi enotski vektor v smeri višine na
osnovnico.
9
1*
*
*
vaje
razlaga
*
test
rešitve
➤
Zgled 1.2
−
−
−−
−
−−
−
−−
−
−−
b = AD ter DC = 23 AB . Naj bo točka M razpolovišče
V enakokrakem trapezu ABCD je −a = AB
−
−−−
stranice DC, točka N pa leži na stranici AB tako, da velja |AN| : |NB| = 2 : 3. Vektor M N izrazi z
−
b.
vektorjema −a
Iz slike razberemo: MN = MD + DA + AN
Najprej določimo:
1
1
1 —
2
1
—
—
—
MD = —
2 DC = - 2 DC =- 2 3 AB =- 3 a
Narišemo sliko.
D
M
C
DA = - AD = - b
b
A
N
a
2
2
—
AN = —
5 AB = 5 a
B
2
1
—
in izrazimo: MN = -—
3a- b + 5 a =
1
15
a- b
8. Dan je kvadrat ABCD. Oglišča kvadrata določajo različne vektorje. Med narisanimi vektorji izberi
−
−−
x in AB :
x tako, da bosta vektorja −
vektor −
a) kolinearna,
D
C
A
B
b) tvorila bazo ravnine,
c) tvorila ortogonalno bazo ravnine.
9. Točke A, B, C in D ležijo na isti premici v tem vrstnem redu tako, da je
−
−−
−
−− −
−−
−
−−
|AC | = 5 |AB | in |BC | = 23 |CD|. Naj bo −a = AB . Nariši sliko in zapiši vektorje AD , DC in DB kot
linearno kombinacijo vektorja −a .
−
−−
−
−
−−
10. V ravnini je dan kvadrat ABCD. Naj bo −a = AB in b = AD . Točka T leži na stranici BC
−
−−
−−
tako, da velja |BT | : |T C | = 1 : 2, točka P pa je presečišče diagonal kvadrata. Izrazi vektorje
−
−
−− −−
−−
−−
BT , AT , AS in T S kot linearno kombinacijo vektorjev −a in b .
TS = TA + AS
10
*
*
vaje
razlaga
*
test
rešitve
−
−−
−
−
−−
1
➤
*
−−−
11. Dan je kvader ABCDA ′B ′C ′D ′ z baznimi vektorji −a = AB, b = AD in −c = AA . Naj bo točka R
razpolovišče roba C ′D ′, točka S pa presečišče diagonal stranske ploskve BCC ′B ′. Izrazi vektorje
−−−
−
−− −−−
−−
AC , BR , D S in SR kot linearno kombinacijo baznih vektorjev.
Zgled 1.3
−
−
Dana je enakost n(−a + 25 b ) = 12 −a + m( 12 −a + b ). Izračunaj vrednosti skalarjev m in n, če sta vektorja
−
−
a
b linearno neodvisna vektorja v ravnini.
Dobimo sistem enačb in ga rešimo:
1 1m
n- 2
-2 =0
Odpravimo oklepaje in na eni strani enačbe zapišemo
−
b.
linearno kombinacijo vektorjev −a
n a + 52 b =
1
1
2a +m 2a +b
1 a 1 ma mb
n a + 52 nb = 2
+
+2
1
1
2
a n- 2 - 2 m + b 5 n- m = 0
0
0
2n m
2 n in
Iz enačbe 5
- = 0 izrazimo m = 5
vstavimo v zgornjo enačbo:
5 m 1
1 1 2n
n- 2
=4
- 2�5 = 0 n = 8
−
b sta linearno neodvisna, zato je njuna
Vektorja −a
linearna kombinacija enaka 0 le, ko sta koeficienta enaka 0.
−
12. Naj bosta vektorja −a in b linearno neodvisna vektorja v ravnini. Izračunaj vrednosti skalarjev
m in n.
−
−
−
a) m−a − 2n b + (1 − n) −a − b = 0
−
b) (m + 1) −a − n b = (m − 3) b + n−a
Težišče deli težiščnico
v razmerju 1 : 2.
Dodatni nalogi
2. V trikotniku △ABC izberemo bazna vektorja
vektorjev, če je točka T težišče trikotnika.
−
−
−−
a = AB
−
−
−−
−−
b = AC . Zapiši vektor AT kot linearno kombinacijo baznih
3. V pravokotniku ABCD točka M leži na stranici CD tako, da je |CD| : |CM| = 4 : 3, točka N leži na stranici BC tako, da velja
|BN| : |NC| = 1 : 2. V kakšnem razmerju deli daljica BM daljico AN?
11
1*
*
*
vaje
razlaga
Zgled 1.4
−
−
−
Dana sta vektorja −a = 2 i + 3 j − k
−
−
−
*
test
rešitve
➤
−
−
b = − i + 4 j − 2 k . Izračunaj vektor 2−a − 3 b .
−
Vektor 2−a − 3 b lahko izračunamo na dva načina:
Vstavimo podatke in upoštevamo računske zakone,
ki veljajo za računanje z vektorji:
2a - 3b =
= 2(2i + 3j - k) - 3(-i + 4j - 2k) =
Zapišemo vektorja s komponentami:
a = (2,3,-1) b = (-1,4,-2)
Računamo po komponentah:
2a - 3b =
= 4i + 6j - 2k + 3i - 12j + 6k =
= 2(2,3,-1)- 3(-1,4,-2) =
= 7i - 6j + 4k
= (4,6,-2)- (-3,12,-6) =
= (7,-6,4)
−
13. Dani so vektorji −a = (0, 1, 2), b = (−2, 3, −1) in −c = (−3, 0, 4). Izračunaj vektorje
− −
−
−
− − −
−
a + b, b − −c , − 5 b, 2−a + b − 3−c in rezultate zapiši v ortonormirani bazi i , j , k .
14. Določi neznana števila a, b, c.
a) (3, 2, -2) + (a, b, c) = (-5, 0, -2)
b) (2, −1, a) − 4 (b, c, 3) = − 12 (−4, 2, 6)
−
15. Ali sta vektorja −a = (3, −7, 11) in b = (−6, 14, −22) kolinearna?
Če sta vektorja kolinearna,
potem obstaja tak m
,
a
=
m
b
da velja
−
16. Vektor −c = (−3, 10) zapiši kot linearno kombinacijo vektorjev −a = (−3, 8) in b = (1, −2)
d = ma + nb + pc
Dodatna naloga
−
12
Dobiš sistem treh enačb
s tremi neznankami .
4. Vektor d =(−3, 3, −3) zapiši kot linearno kombinacijo vektorjev a = (1, 0, −3), b = (2, 2, 6)
c = ( 1, , 0).
*
*
vaje
razlaga
1
➤
*
test
rešitve
*
Zgled 1.5
Točke A(5, 4, -5), B(-1, 3, -3) in C(2, -4, 5) so oglišča trikotnika △ABC.
a) Zapiši krajevne vektorje točke A, B in C.
−
−−
b) Zapiši komponente vektorja BA .
c) Izračunaj koordinate razpolovišča stranice AC.
d) Določi koordinate točke D tako, da bo štirikotnik ABCD paralelogram.
Komponente krajevnega
vektorja so koordinate točke .
a) Krajevni vektorji:
A(5,4,-5)
rA = (5,4,-5)
B(-1,3,-3)
C(2,-4,5)
rB = (-1,3,-3)
rC = (2,-4,5)
rC
C
AD
−
−
rB
rD
B
rD = rA + AD
Ker je AD = BC, je
rD = rA + BC
= (5,4,-5) + (3,-7,8)
−
−−
BC
RAC
A
BC = - −
r−B + −
r−C
−
−
c) Razpolovišče stranice AC:
RAC a1 + c1 , a2 +c2 , a3 +c3
2
2
2
5
+2
44
-5
+5
,
RAC 2 ,
2
2
RAC 7 , 0 , 0
2
d) Koordinate oglišča D lahko izračunamo na
več načinov:
Izračunamo krajevni vektor točke D:
−
−−
−
−−
0
b) BC = rC - rB = (2,-4,5)- (-1,3,-3) = (3,-7,8)
D
C
−
−
(glej podatke pri a) in b))
= (8,-3,3)
Koordinate točke so D(8, -3, 3).
B
−
−
rA
0
Upoštevamo, da je razpolovišče RAC hkrati
tudi presečišče diagonal paralelograma ABCD.
Diagonali se v paralelogramu razpolavljata.
D
Upoštevamo, da je razpolovišče RAC hkrati tudi
razpolovišče diagonale BD.
D
C
C
−
−−
AD
RAC
−
−−
RAC
BR
A
rD A
−
−
B
−
−
rB
0
Izračunamo krajevni vektor točke D:
−
−−
−
r−D = −
r−B + 2BR
−
−−
rR − −
r−B =
Najprej izračunamo: BR = −
7
9
= 2 , 0, 0 − (−1, 3, −3) = 2 , −3, 3
Vstavimo
−
r−D = (−1, 3, −3) + 2
9
2 , −3, 3
Koordinate točke so D(8, -3,3)
= (8, −3, 3)
B
Poiskati moramo drugo krajišče daljice (diagonale)
BD, pri čemer poznamo komponente enega
krajišča B(-1, 3, -3) in razpolovišča RAC 72 , 0, 0 .
RAC = RBD
7
2 , 0, 0
7
2 , 0, 0
=
=
b1 +d1 b2 +d2 b3 +d3
2 ,
2 ,
2
−1+d1 3+d2 −3+d3
,
,
2
2
2
Dobimo sistem treh enačb:
−1+d1
7
⇒ d1 = 8
2 =
2
3+d2
0 = 2 ⇒ d2 = −3
d3
0 = −3+
⇒ d3 = 3
2
Koordinate točke so D(8, -3, 3).
13
1*
*
razlaga
vaje
*
test
*
rešitve
➤
17. Dani sta točki A(-1, 0, 1) in B(4, 3, -2). Izberi tako točko C, da bodo točke A, B in C kolinearne.
A. C(16, 9, -10)
B. C(-2, 2, 0)
C. C(7, 0, -2)
D. C(-5, 2, -1)
18. Dani sta oglišči trikotnika △ABC: A(-2, 3, 6) in C(4, 0, -1). Točka T(1, -1, 3) pa je njegovo
težišče. Določi koordinate oglišča B.
A. B(4, -6, 1)
B. B(-6, 4, -1)
C. B(1, -6, 4)
D. B(-1, 6, -4)
19. Naj bodo točke A(1, -1, 5), B(-8, 2, 0) in C(4, 0, -1) oglišča trikotnika △ABC. Točka M razdeli
stranico BC v razmerju |BM| : |MC| = 1 : 4.
Določi koordinate točke M.
1
BM = —
5 BC
C
−−−
Zapiši komponente vektorja AM .
tc M
A
B
Določi razpolovišča stranic trikotnika △ABC.
20.Pokaži, da je štirikotnik ABCD z oglišči A(2, -2, 3), B(-4, 0, 1), C(7, -1, 3) in D(13, -3, 5)
paralelogram.
Namig: Primerjaj vektorje
AB, BC, CD, DA .
14
*
*
vaje
razlaga
*
test
rešitve
1
➤
*
Zgled 1.6
−
Dolžina vektorja −a je 3 enote, dolžina vektorja b pa 4 enote. Kot j med njima meri 60.
−
b.
a) Izračunaj skalarni produkt vektorjev −a
−
b) Izračunaj dolžino pravokotne projekcije vektorja b na vektor −a .
−
c) Natančno izračunaj dolžino vektorja 2−a − b .
−
−
b.
d) Izračunaj skalarni produkt vektorjev 2−a − b
−
−
b.
e) Na minuto natančno izračunaj kot a med vektorjema 2−a − b
a) Skalarni produkt vektorjev −a
1
b je enak: a�b = a � b � cosα = 3 � 4 � cos60º = 12 � 2
=6
−
−
b) Dolžina pravokotne projekcije vektorja b na vektor −a je enaka:
pra b = a �b = 6 = 2
3
a
a� b = a � prab
oziroma
pra b = a�b
a
−
c) Dolžina vektorja 2 a − b je enaka:
−
2a- b = (2a- b)�(2a- b) = 4a�a- 4a�b- b�b =
Upoštevamo, da je a�a = a 2 =9
a�b =6
b�b = b 2 =16. Dobimo:
2a- b = (2a- b)�(2a- b) = 4a�a- 4a�b- b�b = 2 7
−
d) Skalarni produkt vektorjev 2−a − b
−
b je enak:
(2a- b)�b = 2a�b- b�b = 2�6-16 =-4
-4
e) cosα =
a�b = a � b � cosα
(2a- b)�b
-4
=
2 7 �4
2a- b � b
2 7
4
�
α =100,893º
oziroma
cosα = a�b
a�b
�
α =100º54΄
−
21. V pravilnem šestkotniku ABCDEF meri
stranica 2 enoti. Kolikšen je skalarni produkt
−
−−
−
−−
vektorjev BC · EC ?
22. Izračunaj kot med vektorjema −a in b ,
−
če je |−a | = | b | = 2 in sta vektorja
−
−
2−a + b in −a − 3 b pravokotna.
B. 4
√
C. 4 3
√
D. −4 3
B. 60
A. 0
A. 0
C. 90
Ker sta vektorja 2a + b
in a - 3b pravokotna, je
(2a + b)�(a - 3b) = 0
D. 120
−
23. Vektorji a, b in c z dolžinami |−a | = 3, | b | = 2 in |−c | = 4 ležijo v ravnini kot kaže slika. Nariši
−
−
vektorja −a + b in −c − 2 b ter izračunaj njun skalarni produkt.
−
c
−
b
45
30
−
a
15
1*
*
*
vaje
razlaga
test
*
rešitve
➤
Dodatna naloga
5. Dan je pravokotni trikotnik s katetama a = 5 in b = 12. Točka M deli hipotenuzo AB v razmerju |AM| : |MB| = 12 : 1.
−
−
−−
−
−−
b = CA .
Naj bo −a = CB
−
−
−−
−−−
b.
AB
M
C z vektorjema −a
a) Izrazi vektorja
−
−−
−−−
cos = AB �MC
MC.
b) Izračunaj dolžini vektorjev AB
−
−−
−−−
AB � MC
c) Izračunaj AB · M C .
d) Izračunaj kot, ki ga daljica MC oklepa s hipotenuzo AB.
Zgled 1.7
V deltoidu je a = 4 cm in b = 2,5 cm. Kot med tema dvema stranicama meri a = 9213 ′36 ′′. Izračunaj
dolžino diagonale f na dve decimalni mesti natančno.
Skica:
D
b
A α
b
C
f
a
a
B
Stranici a in b ter diagonala f tvorijo
trikotnik △ABD, s podatki:
Rezultat lahko ocenimo tudi tako, da
a = 4 cm
deltoid konstruiramo v GeoGebri in
b = 2,5 cm
izmerimo razdaljo med točkama B in D.
′ ′′
a = 9213 36
Izračunati moramo tretjo stranico tega trikotnika.
Uporabimo kosinusni izrek:
f2 = a2 + b2 - 2abcosα
f2 = 42 + 2,52 - 2�4�2,5�cos92°13'36''
f = 4,80 cm
24. Stranici trikotnika △ABC merita a = 9,2 cm in b = 11,5 cm in oklepata kot g = 2350 ′.
Izračunaj obseg trikotnika.
−
−−
−
−
−−
−−−
25.V kocki ABCDA ′B ′C ′D ′ tvorijo vektorji −a = AB , b = AD in −c = AA ortonormirano bazo.
Izračunaj kot med stransko diagonalo AC in telesno diagonalo AC ′ na dva načina:
a) z uporabo skalarnega produkta cos ϕ =
−
−
−
−−
AC ·AC
−
−−
|AC ||AC |
−
−
b) z uporabo kosinusnega izreka v trikotniku △ACC ′.
16
*
*
vaje
razlaga
*
test
Zgled 1.7
V prostoru sta dana vektorja −a = (1, −2, −2)
rešitve
b = (3, 0, 3).
−
c = (x, −3, 0) enak 60.
−
a) Dolžini vektorjev sta:
a = a12 + a22 + a32 =
12+ (-2)2+ (-2)2 = 3
b = b12 + b22 + b32 =
3 2+ 0 2 + 32 = 3 2
*
−
b.
a) Natančno izračunaj dolžino vektorjev a
−
−
−
b) Izračunaj a · ( b − 2 a ).
−
c) Določi neznano komponento x tako, da bo kot med vektorjema b
−
1
➤
b) Najprej izračunajmo b - 2a = (3, 0,3)- 2(1,-2,-2) = (1,4,7) in
nato a�(b- 2a) = (1,-2,-2)�(1,4,7) = -21
−
c) Za kot j med b
c velja
−
kjer je c = x 2+ (-3)2+ 0 2 = x 2+9
b�c = b � c � cos
Vnesemo podatke
(3, 0,3)�(x,-3, 0) = 3 2 � x 2+9 � cos 60º uredimo enačbo in jo rešimo
1
2
3x + 0 + 0 = 3 2 � x 2+9 � 2
�3
2x = 2 � x 2+9
4x2 = 2(x 2+9)
x2 = 9
x1,2= ±3
kvadriramo
−
26. Dana sta vektorja −a = (−3, 4) in b = (12, 5).
Koliko meri kot med njima?
A. 7545 ′
27. Točki E 16 , 23 , 56 in F 13 , 13 , 12 določata
−
−−
vektor EF . Kateri je enotski vektor v smeri
−
−−
vektorja EF .
B. 7575 ′
A. −e = 1
C. 10415 ′
B. −e = (1, 1, 1)
D. 10425 ′
C. −e = − 16 , 13 , 13
D. −e =
1
2
2
3, −3, −3
−
−
28. Dana sta vektorja −a = (2, x, 6) in b = (−2, −3, −2x). Določi x tako, da bosta vektorja −a in b
a) kolinearna
b) pravokotna
c) enako dolga
29. Naj bodo točke A(1, 3, 0), B(3, 4, -1) in C(1, -4, -7) oglišča trikotnika △ABC.
−
−−
−
−−
a) Določi vektorje AB AC
−
−−
BC .
−
−−
−
−−
b) Izračunaj dolžine vektorjev AB AC
−
−−
−
−−
BC .
−
−−
c) Izračunaj AB · AC .
d) Pokaži, da je trikotnik △ABC pravokoten.
17
1*
*
*
razlaga
*
test
vaje
rešitve
➤
Čas: 45 minut
Točke:
Zbrane točke in ocena: 20/
9-11 = 2
12-14 = 3
15-137 = 4
18-20 = 5
V nalogah od 1 do 3 obkroži črko pred zahtevano trditvijo.
x=
1. Naj bo −
2−
3a
1−
3b
+
in −y =
−
A. 3−a − 7 b
1−
2a
−
− b . Kolikšna je vrednost izraza 3−
x + 0,5−y − 6 −
x − 14 −y ?
1/
−
B. −3−a + 2 b
C. − 52 −a
D. −−a
−
−−
−
−
−−
−−−
2. V kocki ABCDA ′B ′C ′D ′ so vektorji −a = AB, b = AD in −c = AA bazni vektorji. Točka S je
−−
središče kvadrata DCC ′D ′. Izrazi vektor BS kot linearno kombinacijo baznih vektorjev.
−−
−
A. BS = − a + b +
−
−−
B. BS = − 21 −a +
−−
1−
2b
+
−
C. BS = − 21 −a + b +
−−
1/
1−
2c
−
1−
2c
1−
2c
D. BS = −2−a + 2 b + −c
3. Dana so oglišča štirikotnika A(-2, -1, 1), B(3, -1, 1), C(3, 3, -2) in D(-2, 3, -2).
Kateri štirikotnik je to?
1/
A. kvadrat
B. paralelogram
C. enakokraki trapez
D. deltoid
Naloge od 4 do 7 rešuj tako, da jasno zapišeš potek reševanja.
4. Stranici paralelograma ABCD merita a = 4 cm, b = 5 cm in oklepata kot 60.
4/
a) Na dve decimalni mesti natančno izračunaj dolžino daljše diagonale paralelograma.
b) Na minuto natančno izračunaj kot med daljšo stranico in daljšo diagonalo paralelograma.
−
5. Naj bo −a = (2, −1, 1) in b = (−1, m, 2). Določi število m tako, da bosta vektorja
−
−
−
a + 2 b in 2−a − b pravokotna.
18
4/
*
*
razlaga
*
test
vaje
rešitve
1
➤
*
−
−
6. Vektorja −a in b z dolžinama |−a | = 4 in | b | = 4 ležita v ravnini kot kaže slika.
4/
−
a) Nariši vektor 2 a − 3 b .
1−
−
b
120
−
a
−
b) Natančno izračunaj dolžino vektorja 12 −a − 3 b .
c) Izračunaj skalarni produkt vektorjev −a
1−
2a
−
− 3b.
d) Na minuto natančno izračunaj kot med vektorjema −a
1−
2a
−
− 3b.
−
−−
7. Dane so točke A(4, 9, 1), B(-1, 1, 6) in C(1, -3, -2). Točka R je razpolovišče daljice BC ,
točka M pa leži na daljici AC tako, da velja |AC| : |MC| = 3 : 2.
5/
a) Določi koordinate točke M.
b) Določi komponente krajevnega vektorja točke R.
−−−
c) Zapiši vektor RM in natančno izračunaj njegovo dolžino.
−
−−
−
−−
d) Dokaži, da so vektorji AB AC
−−−
BM komplanarni.
19
1*
*
razlaga
*
vaje
*
test
Obvladam?
znam opredeliti vektor in ga narisati
znam grafično sešteti, razstaviti in množiti vektorje s skalarjem
znam računati z vektorji
znam presoditi kolinearnost in koplanarnost vektorjev
vem, kaj je baza v ravnini oziroma v prostoru
znam zapisati vektor kot linearno kombinacijo baznih vektorjev
vem, kdaj sta vektorja linearno neodvisna
vem, kaj je krajevni vektor točke
znam zapisati vektor s komponentami
znam računati z vektorji, zapisanimi po komponentah
znam izračunati skalarni produkt, kot med vektorjema, dolžino vektorja in pravokotno
projekcijo vektorja na drug vektor
vem, kdaj sta vektorja pravokotna in kdaj vzporedna
poznam kosinusni izrek in ga znam uporabiti
znam uporabiti vektorski račun v trikotniku in paralelogramu
V skladu z učnim načrtom naj bi se v tem razdelku naučil:
narisati vektorje, grafično seštevati in razstavljati vektorje ter množiti vektorje s
skalarjem,
računati z vektorji na grafičnem in računskem nivoju,
presoditi kolinearnost in koplanarnost vektorjev,
presoditi linearno neodvisnost vektorjev,
računati z vektorji, zapisanimi po komponentah,
izračunati kot med vektorjema, dolžino vektorja in pravokotno projekcijo vektorja,
utemeljiti pravokotnost in vzporednost vektorjev,
razumeti pravokotnost v prostoru.
20
rešitve
➤